Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 1 Wykład 6 Wersja robocza Elementy mechaniki kwantowej. 6.1 Modele atomu Thomsona i Rutherforda. Pierwsza próbę stworzenia modelu atomu na podstawie zebranych danych doświadczalnych dokonał J.J. Thomsona w 1903 roku. Zgodnie z tym modelem, atom można przedstawić jako równomiernie naładowaną dodatnim ładunkiem kulę o promieniu rzędu 10-10 m, wewnątrz której wokół swoich położeń równowagi drgają elektrony; sumaryczny ujemny ładunek elektronów jest równy dodatniemu ładunkowi kuli (Rysunek 11.1). Model Thomsona okazał się Rysunek 11.1 błędnym. Dużą rolę w rozwoju wyobrażeń o budowie atomu odegrały doświadczenia E. Rutherforda związane z rozproszeniem cząstek α w materiale. Cząstki α są jądrami helu i powstają w wyniku tzw. promieniotwórczości naturalnej. Ich masa jest około 7300 razy większa od masy elektronu. Wiązki cząstek α charakteryzują się dużym stopniem monochromatyczności (mają praktycznie jednakową prędkość rzędu 10 7 m/s). Rutherford badając przechodzenie cząstek α przez cienkie folie (np. przez folię złota o grubości 1μm), pokazał, że główna ich część przechodzi przez folię doznając tylko nieznacznych odchyleń, ale niektóre z nich (mniej więcej jedna na 0000) znacznie odchylają się od kierunku pierwotnego (kąt odchylenia dochodzi do180 0 ). Ponieważ elektrony nie mogą zmieniać w sposób istotny toru na tyle ciężkich cząstek jakimi są cząstki α, to z doświadczeń Rutherforda wynikał wniosek, że znaczne ich odchylenie spowodowane jest oddziaływaniem cząstek α z ładunkiem posiadającym dużą masę. Jednak znaczne odchylenia doznają tylko niektóre cząstki α ; w związku z tym tylko niektóre z nich muszą przechodzić w pobliżu danego dodatniego ładunku. To z kolei oznaczało, że dodatni ładunek zgromadzony jest w objętości bardzo małej w porównaniu z rozmiarami atomu. Na podstawie swoich badań, Rutherford przedstawił jądrowy (planetarny) model budowy atomu. Zgodnie z tym modelem, wokół dodatnio naładowanego jądra posiadającego ładunek Ze (Z liczba porządkowa, e ładunek elektronu), rozmiar 10-14 10-15 m i masę praktyczne
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki równą masie atomu, w obrębie promienia rzędu 10-10 m krążą po zamkniętych orbitach elektrony tworząc otoczkę elektronową atomu. Ponieważ, atom jest obojętny, to sumaryczny ładunek krążących elektronów powinien wynosić Ze. Ponieważ w modelu Rutherforda elektrony krążą, załóżmy dla prostoty po orbitach kołowych, to zgodnie z drugą zasadą dynamiki pod wpływem sił kulombowskich możemy zapisać Zee 4 r 0 mv r 11.1 Równanie to zawiera dwie niewiadome r i v prędkość elektronu. W rezultacie musi istnieć nieskończona ilość promieni i prędkości (czyli i energii), które spełniają to równanie. Dlatego też, wielkości r i v (energia) mogą zmieniać się w sposób ciągły i podczas przejścia elektronu z jednej orbity na drugą bliższą jądru, może być wysyłana dowolna, a nie ściśle określona porcja energii. Oznacza to, że widmo atomu powinno być ciągłe. W rzeczywistości doświadczenie pokazuje, że atomy mają widmo liniowe. Jak łatwo policzyć dla promienia orbity rzędu r 10 10 6 m prędkość elektronu wynosi v 10 m/ s, a przyspieszenie dośrodkowe elektronów na orbitach kołowych powinno być rzędu 10 m/s. W rezultacie, zgodnie z klasyczną teorią elektromagnetyzmu, elektrony powinny wysyłać fale elektromagnetyczne, a tym samym powinny przez cały czas tracić swoją energię. W rezultacie elektrony będą zbliżać się do jądra i w końcu spadną na nie. W ten sposób model Rutherforda okazał się układem nie stabilnym. Pokonanie tych trudności spowodowało konieczność stworzenia jakościowo nowej kwantowej teorii atomu. 6. Widmo liniowe atomu wodoru. Badania widm rozrzedzonych gazów (tzn. widm promieniowania poszczególnych atomów) pokazały, ze dla każdego rodzaju gazu istnieje charakterystyczne widmo, składające się z oddzielnych linii widmowych. Najprostszym widmem liniowym jest widmo atomu wodoru. Szwajcarski fizyk J.J.Balmer stworzył empiryczne równanie opisujące, wszystkie znane w tym czasie, linie spektralne wodoru w części widzialnej widma:
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 3 1 1 1 R' n (n = 3, 4, 5,...), 11. gdzie 7 1 R' 1,1010 m - stała Rydberga. Ponieważ c / również przedstawiony w postaci, to wzór 11. może być 1 1 R (n = 3, 4, 5,...), 11.3 n gdzie 15 1 R R' c 3,910 s jest także stałą Rydberga. Z powyższych wzorów wynika, że linie widmowe, różniące się różnymi wartościami n, tworzą grupę albo serię linii, zwaną serią Balmera. Wraz ze wzrostem n linie serii zbliżają się do siebie; wartość serii. n określa granicę Później (na początku XX wieku) w widmie wodoru odkryto jeszcze inne serie. W zakresie ultrafioletowym występuje seria Lymana: 1 1 R (n =, 3, 4, 5,...), 11.4 1 n W części podczerwonej widma również zaobserwowano serie: Seria Paschena: Seria Bracketta: 1 1 R (n = 4, 5, 6...), 11.5 3 n Seria Pfunda: 1 1 R 4 n (n = 5, 6, 7,...), 11.6 1 1 R 5 n (n = 6, 7, 8...). 11.7
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 4 Wszystkie przedstawione serie w widmie atomu wodoru można zapisać za pomocą jednego ogólnego wzoru Balmera: 1 1 R, 11.8 m n gdzie m ma dla każdej serii stałą wartość m = 1,, 3, 4, 5, a n przyjmuje wartości całkowite dla danej serii poczynając od m + 1. Przedstawione powyższe wzory na kolejne serie zostały zapisane na podstawie dobrania stałych na podstawie doświadczenia i przez długi czas nie były wyjaśnione teoretycznie, chociaż zgadzały się z dużą dokładnością z rzeczywistością. 11.3 Postulaty Bohra. Pierwszą próbę zbudowania jakościowego modelu kwantowego modelu atomu wodoru podjął w 1913 roku fizyk duński Niels Bohr. Postawił przed sobą zadanie powiązania w całość doświadczalne prawidłowości dotyczące serii widmowych atomu wodoru z jądrowym modelem atomu Rutherforda. Jako podstawę swojej teorii przyjął dwa postulaty. Pierwszy postulat Bohra (postulat stanów stacjonarnych): w atomie istnieją stacjonarne (nie zmieniające się w czasie) stany, w których nie emituje on energii. Stanom stacjonarnym odpowiadają stacjonarne orbity, po których krążą elektrony. Ruchowi elektronów po orbitach stacjonarnych nie towarzyszy emisja fal elektromagnetycznych. W stanie stacjonarnym atomu elektron poruszając się po orbicie kołowej posiada dyskretne (nieciągłe), skwantowane wartości momentu pędu, spełniające warunek mv r n n, 11.9 gdzie m masa elektronu, v jego prędkość na n-tej orbicie o promieniu r n, h/. Drugi postulat Bohra: podczas przechodzenia z jednej stacjonarnej orbity na inną zostaje wypromieniowana (pochłonięta) energia w postaci kwantu
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 5 h E n E m, 11.10 równa różnicy energii odpowiednich orbit stacjonarnych (E n i E m odpowiednio energie stanów stacjonarnych atomu przed i po wypromieniowaniu (pochłonięciu) energii. Dla E m < E n następuje wypromieniowanie kwantu (przejście atomu ze stanu o wyższej energii do stanu o niższej energii, tzn. przejście elektronu z orbity bardziej oddalonej od jądra na orbitę położoną bliżej jądra). Jeżeli E m > E n następuje pochłonięcie (absorpcja) kwantu energii (przejście elektronu ze stanu o niższej energii do stanu posiadającego wyższą energię, tzn. przejście elektronu na orbitę bardziej oddaloną od jądra. Zbiór możliwych dyskretnych wartości częstości E E h widmo liniowe atomu. podczas tych kwantowych przejść tworzy właśnie n m / 11.4 Doświadczenie Francka i Hertza. Niemieccy fizycy Franck i Hertz badając metodą potencjału hamującego zderzenia elektronów z atomami gazów (1913) wykazali doświadczalnie istnienie dyskretnych stanów energetycznych w atomie. Zasadniczy schemat ich przyrządu przedstawiony jest na rysunku 11.1.1. Rysunek 11.1.1 W próżniowej rurce wypełnionej parami rtęci (ciśnienie około 13Pa) znajdowała się katoda (K), dwie siatki (C 1 i C ) i anoda (A). Elektrony emitowane przez katodę ulegają przyspieszeniu dzięki różnicy potencjałów między katodą a siatką C 1. Między siatką C a anodą przyłożony był niewielki potencjał hamujący (około 0,5V). Elektrony przyspieszane w obszarze 1, trafiały w przestrzeń między siatkami i doznawały zderzeń z atomami par rtęci. Te elektrony, które po zderzeniu miały dostateczną energię, aby pokonać potencjał hamujący w obszarze 3 osiągały anodę. Podczas zderzeń niesprężystych elektronów z atomami rtęci, te ostatnie mogą ulegać wzbudzeniu. Zgodnie z teorią Bohra, każdy atom rtęci może otrzymać tylko ściśle określoną porcję energii, przechodząc przy tym do jednego z wyższych stanów
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 6 wzbudzonych. Dlatego też, jeżeli atom rzeczywiście posiada określone stacjonarne stany wzbudzone, to elektrony zderzając się z atomami rtęci powinny tracić energię określonymi porcjami, równymi różnicy energii odpowiednich stanów stacjonarnych atomu. Rysunek 11. V Z doświadczenia wynika (Rysunek 11.), że podczas zwiększania potencjału przyspieszającego aż do 4,86V natężenie prądu anodowego I rośnie w sposób monotoniczny, przechodzi przez maksimum (4,86V), następnie gwałtownie spada i ponownie zaczyna rosnąć. Dalsze maksima obserwowane są dla napięć 4,86V i 3 4,86V. Stan najbliższy do stanu nie wzbudzonemu rtęci jest stan wzbudzony odległy na skali energetycznej o 4,86eV. Dopóki różnica potencjałów między katodą, a siatką jest mniejsza niż 4,86V, to elektrony spotykając na swojej drodze atomy rtęci doznają z nimi tylko zderzeń sprężystych. Dla e 4, 86eV energia elektronu osiąga wartość wystarczającą, aby spowodować zderzenie nie sprężyste, dla której elektron oddaje atomowi rtęci całą swoją energię kinetyczną, wzbudzając przejście jednego z elektronów rtęci do stanu wzbudzonego. Elektrony, które straciły swoją energię kinetyczną nie mogą już pokonać pola hamującego i osiągnąć anodę. W ten sposób wyjaśnia się powstawanie pierwszego minimum. Dla wartości energii będących krotnością energii e 4, 86eV, elektrony mogą doznawać z atomami rtęci, 3,... niesprężystych zderzeń, tracąc swoją całą energię i nie osiągają anody, czyli znów występuje ostry spadek prądu anodowego (Rysunek 11.). W ten sposób doświadczenia Francka i Hertza udowodniły, że elektrony podczas zderzeń z atomami rtęci przekazują atomom tylko określone porcje energii, przy czym 4,86eV jest minimalną możliwą porcją energii (najmniejszym kwantem energii), która może być
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 7 pochłonięta przez atom rtęci znajdującym się w swoim podstawowym stanie energetycznym. W ten sposób idea Bohra o istnieniu dyskretnych stanów energii w atomie została w pełni potwierdzona doświadczalnie. 11.5 Widmo atomu wodoru według Bohra. Postulaty Bohra pozwoliły na wyliczenie widma atomu wodoru i atomów wodoropodobnych układów składających się z jądra o ładunku Ze i jednego elektronu (He +, Li + ), a także na teoretyczne policzenie stałej Rydberga. Rozpatrzmy ruch elektronu(rysunek 11.a) w układzie atomu wodoropodobnego, który porusza się po stacjonarnych orbitach kołowych. Rozwiązując dwa równania stacjonarnej: Zee 4 r 0 mv r i mv r n n Rysunek 11.11 Rysunek 11.a, otrzymamy wyrażenie na promień n-tej orbity r n 40 n, 11.11 mze gdzie n = 1,, 3,... Z równania tego wynika, że promienie orbit rosną proporcjonalnie do kwadratu liczb całkowitych. Dla atomu wodoru (Z = 1) promień pierwszej orbity elektronu (n = 1) nazywa się promieniem Bohra (a), i wynosi 0 r1 a 0,5810 me 4 10 m, 11.1 co odpowiada odpowiednim obliczeniom na podstawie kinetycznej teorii gazów. Zatem r n = r 1 Z n Całkowita energia elektronu w układzie atomu wodoropodobnego składa się z energii kinetycznej i energii potencjalnej w polu elektrostatycznym:
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 8 mv Ze 1 Ze E 11.13 4 r 4 r 0 0 Uwzględniając skwantowanie orbit atomu 11.11 otrzymamy, że energia elektronu może przybierać tylko określone wartości: E n 4 1 Z me (n = 1,, 3,...), 11.14 n 8h 0 gdzie znak minus oznacza, że elektron znajduje się w stanie związanym. Z równania 11.14 wynika, że stany energetyczne atomu tworzą szereg poziomów energetycznych, zmieniających się w zależności od wartości n. Liczba całkowita n w równaniu 11.14 określająca poziomy energetyczne atomu nazywa się główną liczbą kwantową. Stan energetyczny, dla którego n = 1 nazywa się stanem podstawowym, a stany, dla których n >1 nazywają się stanami wzbudzonymi. Mamy równię odpowiednio poziomy energetyczne podstawowy i wzbudzone. Jeżeli n w atomie wodoru będzie przyjmowało kolejne wartości liczb całkowitych to zgodnie ze wzorem 11.14 otrzymamy możliwe poziomy energetyczne schematycznie przedstawione na rysunku 11.3. Wraz ze wzrostem n energia wodoru zwiększa się, a poziomy energetyczne zbliżają się do siebie do granicy, gdy n. W związku z tym atom wodoru posiada minimalną energię (E 1 = - 13,55eV) dla n = 1 i maksymalną ( E 0) dla n, w przypadku usunięcia elektronu z atomu. W związku z tym E 0 odpowiada jonizacji atomu (oderwaniu od niego elektronu). Zgodnie z drugim postulatem Bohra podczas przejścia atomu wodoru ze stanu stacjonarnego n o większej energii do stanu stacjonarnego m o mniejszej energii zostaje wysłany kwant energii: 4 me 1 1 h En Em 8h n m 0 Seria Lymana Paschena Seria Balmera Rysunek 11.3
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 9 skąd wynika częstość promieniowania gdzie 4 me 1 1 1 1 R 3 8h m n n m, 11.15 0 4 me R. 11.16 3 8h 0 Podstawiając stałe uniwersalne do 11.16 otrzymamy teoretyczną wartość stałej Rydberga pokrywającą się z empiryczną stałą Rydberga podaną wcześniej we wzorach na widmo promieniowania atomu wodoru. Zgodność ta w sposób przekonywujący wskazuje na prawidłowość wyprowadzonego przez Bohra równania 11.14. Rysunek: (a)widmo wodoru, (b) widmo rtęci Teoria Bohra była znaczącym krokiem w kierunku rozwoju fizyki atomowej i ważnym etapem w stworzeniu fizyki kwantowej. Teoria ta jednak posiada wewnętrzne sprzeczności (z jednej strony, stosuje zasady fizyki klasycznej, a z drugiej oparta jest o postulaty kwantowe). Teoria ta była w stanie przeanalizować widma atomów wodoru i wodoropodobnych i pozwalała wyliczyć odpowiednie częstości linii widmowych, jednak nie była w stanie wyjaśnić ich natężenia i odpowiedzieć na pytanie dlaczego niektóre przejścia nie zachodzą? Poważnym brakiem teorii Bohra był fakt, że nie była ona w stanie opisać atomu helu jednego z najprostszych atomów, który występuje zaraz po atomie wodoru.
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 10 11.6 Korpuskularno falowy dualizm własności materii. W 194 roku Louis de Broglie wysunął śmiałą hipotezę, że nie tylko fotony, ale także elektrony i inne dowolne cząstki materii obok własności korpuskularnych posiadają własności falowe. Zgodnie z hipotezą de Broglie a, z jednej strony związane są cechy korpuskularne takie jak pęd p i energia E, a z drugiej strony cechy charakterystyczne dla fali częstość ν i długość fali λ. Związki między tymi wielkościami są takie same jak dla fotonów: E h, h p 11.17 Śmiałość hipotezy de Broglie a polegała właśnie na tym, że związki 11.17 były postulowane nie tylko dla fotonów, ale również dla innych mikrocząstek posiadających masę spoczynkową. W rezultacie dowolnej cząstce posiadającej pęd, odpowiada określona długość fali: h h 11.18 p mv gdzie p = mv jest pędem cząstki posiadającej masę m i poruszającej się z prędkością v. Hipoteza ta została szybko potwierdzona doświadczalnie. W 197 r C. Davisson i L. Germer odkryli, że wiązka elektronów, ulegających rozproszeniu na naturalnej siatce dyfrakcyjnej, jaką jest sieć krystaliczna niklu, daje wyraźny obraz dyfrakcyjny. Również hipoteza de Broglie a została potwierdzona doświadczalnie przez G.P. Thomsona, który zaobserwował obraz dyfrakcyjny podczas przechodzenia wiązki szybkich elektronów (energia 50keV ) przez metalową folię o grubości około jednego mikrona. Później własności falowe zostały potwierdzone dla innych cząstek takich jak protony i neutrony. Mikrocząstkami nazywamy cząstki elementarne (elektrony, protony, fotony i inne proste cząstki), a także cząstki złożone, składające się ze stosunkowo niewielkiej liczby cząstek elementarnych. Jednak termin mikrocząstka reprezentuje tylko jeden aspekt obiektu, w stosunku do którego go używamy. Każdy mikro-obiekt stanowi twór szczególnego rodzaju, łączący w sobie zarówno własności fali, jak i cząstki. Być może bardziej prawidłowe byłoby
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 11 użycie nazwy fala-cząstka. Obiekty bardzo małe nie zachowują się jednak tak jak duże. Trzeba je poznawać na drodze abstrakcyjnej, a nie przez powiązanie z naszym bezpośrednim doświadczeniem. Przed powstaniem fizyki kwantowej zrozumieć oznaczało wytworzyć sobie poglądowy obraz jakiegoś obiektu czy zjawiska. Fizyki kwantowej nie można zrozumieć w takim sensie tego słowa. Każdy model poglądowy nieuchronnie musi nieuchronnie funkcjonować zgodnie z prawami klasycznymi i dlatego nie nadaje się do przedstawiania procesów kwantowych. Widać zatem, że najbardziej prawidłową rzeczą, jaką możemy uczynić, jest rezygnacja z prób zbudowania poglądowych modeli zachowania się obiektów kwantowych. Na początku brak poglądowości może wywoływać uczucie niezadowolenia, ale z czasem to uczucie przechodzi i wszystko wraca do normy. Rysunek 11.4 Osobliwy charakter mikrocząstek przejawia się w następującym doświadczeniu myślowym. Na przegrodę z dwoma równoległymi szczelinami skierujmy równoległą wiązkę monoenergetycznych (tj. mających jednakowe energie kinetyczne) elektronów (Rysunek 11.4). Za przegrodą ustawmy płytę fotograficzną. Na początku zakryjmy szczelinę numer i naświetlajmy kliszę przez czas τ. Zaczernienie na wywołanej kliszy można scharakteryzować za pomocą krzywej 1 (Rysunek 11.4 b). Drugą kliszę naświetlmy z takim samym czasem ekspozycji τ, zakrywając szczelinę numer 1. w tym przypadku charakter zaczernienia będzie opisany krzywą. Na koniec odkryjmy obie szczeliny i przez czas τ naświetlajmy trzecią kliszę. Otrzymamy w tym przypadku rozkład zaczernień przedstawiony na rysunku 14.4c. Rozkład ten oczywiście nie przypomina złożenia dwu poprzednich rozkładów. Jest on analogiczny do obrazu interferencyjnego otrzymanego dla dwu spójnych fal świetlnych. Charakter tego rozkładu świadczy o tym, że obie szczeliny wpływają na ruch każdego elektronu. Wniosek ten jest sprzeczny z pojęciem trajektorii. Gdyby elektron w każdym
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 1 momencie czasu znajdował się w określonym punkcie przestrzeni, czyli poruszał się po trajektorii, to przechodziłby przez określoną szczelinę pierwszą lub drugą. Występowanie dyfrakcji dowodzi, że w przechodzeniu elektronu biorą udział obie szczeliny pierwsza i druga. 11.7 Zasada nieoznaczoności. W mechanice klasycznej dowolna cząstka porusza się po określonym torze, w ten sposób, że w każdej chwili w pełni określone jest jej położenie i pęd. Mikrocząstki, ponieważ charakteryzują się własnościami falowymi w sposób istotny różnią się od cząstek klasycznych. Jedna z podstawowych różnic polega na tym, że mikrocząstka nie posiada trajektorii i nie mamy prawa mówić o dokładnym jej położeniu i pędzie. Wynika to z korpuskularno falowego dualizmu. Na przykład pojęcie długość fali w danym punkcie nie ma fizycznego sensu, a ponieważ pęd jest określony przez długość fali, to wynika stąd, że mikrocząstka o określonym ściśle pędzie, ma całkowicie nieokreśloną współrzędną. I na odwrót, jeżeli mikrocząstka znajduje się w stanie o ściśle określonej współrzędnej, to jej pęd jest w pełni nieokreślony. W. Heisenberg uwzględniając falowe własności mikrocząstek i związku z tym ich ograniczenia doszedł do wniosku, że obiekt mikroświata nie można jednocześnie z jednakowym stopniem dokładności scharakteryzować za pomocą jego współrzędnej i pędu. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, mikrocząstka nie może mieć jednocześnie określonej współrzędnej (x,y,z) i określonej składowej pędu (p x, p y, p z ), przy czym nieokreśloności tych wartości muszą spełniać następujący warunek: xpx h, yp y h, zpz h, 11.19 tzn. iloczyn nieokreśloności współrzędnej i składowej pędu nie może być mniejszy od wartości rzędu h. E
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 13 Z zależności 11.19 wynika, że jeżeli mikrocząstka znajduje się w dokładnie określonym miejscu (Δx = 0), to w takim stanie składowa pędu będzie całkowicie nieokreślona x p i odwrotnie. Pokażmy, że związki 11.19 wynikają z własności falowych cząstki. Niech strumień elektronów przechodzi przez wąską szczelinę o szerokości x, prostopadłą do ich kierunku ruchu (Rysunek 11.5). Ponieważ elektrony posiadają własności falowe, to dla rozmiarów szczeliny rzędu długości fali de Broglie a elektronu będzie obserwowana dyfrakcja. Obraz dyfrakcyjny obserwowany na ekranie (E) będzie się charakteryzował głównym maksimum, położonym symetrycznie względem osi Y i niewielkimi maksimami po obu stronach maksimum głównego (nie będziemy ich analizować ze względu na to, że główna część natężenia przypada na maksimum główne). Przed przejściem przez szczelinę elektrony poruszają się wzdłuż osi Y, dlatego składowa pędu p x = 0 i tym samym p 0, a współrzędna x-owa cząstki będzie całkowicie x nieokreślona. W chwili przechodzenia elektronów przez szczelinę ich położenie względem osi X ulegnie uściśleniu z dokładnością do szerokości szczeliny x. W tym samym momencie, w wyniku dyfrakcji elektrony ulegną odchyleniu od kierunku pierwotnego i będą poruszać w granicach kąta φ (φ kąt odpowiadający pierwszemu minimum dyfrakcyjnemu). W związku z tym pojawi się nieokreśloność wartości składowej pędu wzdłuż osi X, która jak wynika z rysunku11.5 i wzoru 11.18 jest równa Rysunek 11.5 h p x psin sin. 11.0 Dla prostoty ograniczmy się tylko do elektronów padających tylko w obrębie głównego maksimum. Z teorii dyfrakcji (patrz: wykład 8) wiadomo, że pierwsze minimum odpowiada kątowi φ spełniającemu zależność x sin 11.1
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 14 gdzie x - szerokość szczeliny, a λ długość fali de Broglie a. Ze wzorów 11.0 i 11.1 otrzymamy, że x p h. x Jeżeli uwzględnimy, że część chociaż niewielka elektronów trafia poza granicę maksimum głównego, to p x psin. W rezultacie dla ogólnego przypadku otrzymamy związek x p h, 11. x tzn. otrzymaliśmy jedną z zależności 11.19. Niemożność jednoczesnego dokładnego określenia współrzędnej i odpowiadającemu jej pędowi nie jest związana z niedoskonałością przyrządów pomiarowych czy metod pomiaru, a jest następstwem wyjątkowości mikrocząstek, polegającej na ich dwoistej, korpuskularno falowej naturze. Jest ograniczeniem mechaniki klasycznej narzuconym przez mechanikę kwantową. Związek nieokreśloności charakteryzując specyfikę mikrocząstek pozwala ocenić, na przykład w jakim stopniu można stosować pojęcia mechaniki klasycznej do mikrocząstek, w szczególności z jakim stopniem dokładności można mówić o torze cząstki. Przekształcając równanie 11. możemy je zapisać w postaci h x v x. 11.3 m Z równania tego wynika, że im większa masa cząstki, tym mniejsza nieokreśloność jej współrzędnej i prędkości i już dla masy pyłku rzędu 10-14 kg, której współrzędną określa się z dokładnością do Δx = 10-8 m nieokreśloność prędkości wyniesie rzędu 10-13 m/s. Analogicznie, wychodząc z zasady nieoznaczoności można ocenić nieokreśloność położenia elektronu w lampie oscyloskopowej. Jeżeli elektron w lampie porusza się z prędkością v x = 10 10 m/s, określoną z dokładnością do 0,01%, to nieokreśloność w wartości współrzędnej wyniesie około 10-7 m, co oznacza, że będzie znikomo mała w porównaniu z wielkością plamki na ekranie.
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 15 Zastosujmy zasadę nieoznaczoności do elektronu poruszającego się w atomie wodoru. Załóżmy, że nieokreśloność w ustaleniu współrzędnej elektronu wynosi x 10 10 m (jest to rząd wielkości samego atomu, tzn. jesteśmy w stanie stwierdzić jedynie, że elektron należy do 34 31 6 danego atomu). Wtedy zgodnie z 11.3 v x 6,610 / 9,1110 10 7,710 m / s Wykorzystując prawa fizyki klasycznej można udowodnić, że prędkość ruchu elektronu 10 6 wokół jądra po orbicie o promieniu r 0,510 m wynosi v,310 m / s. Tym samym wielkość nieoznaczoności w określeniu wartości prędkości jest kilka razy większa od samej wartości prędkości. Wynika stąd jasno, że w danym przypadku nie można mówić o ruchu elektronu po określonym torze, innymi słowy w celu opisania ruchu elektronu w atomie nie można stosować zasad fizyki klasycznej. W teorii kwantowej rozpatruje się także zasadę nieoznaczoności dla energii E i czasu t. Nieoznaczoność tę można zapisać w postaci 10. E t h 11.4 W rezultacie układ posiadający średni czas życia t nie może być scharakteryzowany określoną wartością energii; rozrzut energii E h/ t wzrasta wraz ze zmniejszeniem średniego czasu życia. Z wyrażenia 11.4 wynika, że częstotliwość wypromieniowanego fotonu też powinna mieć nieokreśloność E / h, co oznacza, że linie widma powinny charakteryzować częstością E / h. Rzeczywiście doświadczenie pokazuje, że wszystkie linie widma są rozmyte; mierząc szerokość linii widmowej można ocenić rząd wielkości czasu, w którym atom istnieje w stanie wzbudzonym. 11.8 Funkcja falowa i jej sens fizyczny. Doświadczalne potwierdzenie hipotezy de Broglie a o uniwersalności teorii korpuskularno- falowej natury materii, ograniczoność stosowania praw mechaniki klasycznej w stosunku do mikrocząstek wynikająca z zasady nieoznaczoności, a także cały szereg sprzeczności teorii z danymi doświadczalnymi doprowadził do rozwoju na początku XX wieku nowej teorii mechaniki kwantowej, opisującej prawa ruchu i oddziaływania mikrocząstek z uwzględnieniem ich własności falowych. Stworzenie i rozwój tej teorii
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 16 obejmuje lata od 1900 roku do lat dwudziestych i związany jest przede wszystkim z pracami E. Schrődingera, W. Heisenberga i P.A. Diraca. Na tym etapie rozwoju powstały zasadnicze problemy, w szczególności natury fizycznej fal de Broglie a. W celu wyjaśnienia tego problemu porównajmy dyfrakcję światła i mikrocząstek. Obraz dyfrakcyjny obserwowany dla fal świetlnych charakteryzuje się tym, że w wyniku nałożenia się fal na siebie w różnych punktach przestrzeni zachodzi wzmocnienie lub osłabienie amplitudy drgań. Zgodnie z falową teorią światła natężenie obrazu dyfrakcyjnego jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fal świetlnych. Z punktu widzenia fotonowej natury światła natężenie określone jest ilością fotonów trafiających w dany punkt obrazu dyfrakcyjnego. W rezultacie, ilość fotonów w danym punkcie obrazu dyfrakcyjnego jest określona kwadratem amplitudy fali świetlnej, podczas gdy, dla jednego fotonu kwadrat amplitudy określa prawdopodobieństwo trafienia w jakiś punkt. Obraz dyfrakcyjny obserwowany dla mikrocząstek, także charakteryzuje się nierównomiernym podziałem strumienia mikrocząstek, rozproszonych w różnych kierunkach w jednych kierunkach obserwuje się większą ilość cząstek niż innych. Obecność maksimów w obrazie dyfrakcyjnym, z punktu widzenia teorii falowej, oznacza, że te kierunki odpowiadają największemu natężeniu fal de Broglie a. Z drugiej strony, natężenie fal de Broglie a okazuje się być większe w tych punktach, gdzie znajduje się większa ilość cząstek, tzn. natężenie fal de Broglie a w danym punkcie przestrzeni określa ilość cząstek, które trafiły w ten punkt. W rezultacie, obraz dyfrakcyjny dla mikrocząstek jest przejawem statystycznej (prawdopodobnej) prawidłowości, zgodnie z którą cząstki trafiają w te miejsca, gdzie natężenie fal de Broglie a jest największe. W 196 M. Born założył, ze zgodnie z prawidłowościami falowymi zmienia się nie samo prawdopodobieństwo, a pewna wielkość zwana amplitudą prawdopodobieństwa, oznaczana x, y, z, t. Funkcję tę nazywa się również funkcją falową. Funkcja falowa może być zespolona i prawdopodobieństwo W jest proporcjonalne do kwadratu jej modułu: x, y, z, W ~ t 11.5 W rezultacie, opisanie stanu mikrocząstki za pomocą funkcji falowej ma charakter statystyczny, oparty na rachunku prawdopodobieństwa: kwadrat modułu funkcji falowej (kwadrat modułu amplitudy fal de Broglie a) określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w chwili t w obszarze określonym współrzędnymi x i x + dx, y i y + dy, z i z + dz.
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 17 Podsumowując, w mechanice kwantowej stan mikrocząstek jest opisany zupełnie w nowy sposób - za pomocą funkcji falowej, która jest podstawowym nośnikiem informacji o ich własnościach falowych i korpuskularnych. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w objętości dv jest równe dw dv, 11.6 gdzie wielkość dw dv (kwadrat modułu funkcji psi) ma sens fizyczny gęstości prawdopodobieństwa. W rezultacie, fizyczny sens ma nie sama funkcja falowa Ψ, a kwadrat jej modułu * ( Ψ* - funkcja zespolona sprzężona z funkcją Ψ), który określa natężenie fal de Broglie a. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w chwili t, w skończonej objętości V, zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw, jest równe W dw dv. V V Ponieważ dv określone jest jako prawdopodobieństwo, to konieczne jest znormalizowanie funkcji falowej Ψ w ten sposób, aby prawdopodobieństwo było równe 1, jeżeli jako objętość V przyjąć objętość całej przestrzeni. W rezultacie warunek normalizacji prawdopodobieństwa ma postać dv 1, 11.7 gdzie całka potrójna jest liczona po całej przestrzeni tzn. dla współrzędnych x, y, z od do. W ten sposób warunek 11.7 mówi o obiektywnym istnieniu cząstki w czasie i przestrzeni.
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 18 Aby funkcja falowa charakteryzowała stan mikrocząstki, powinna spełniać szereg ograniczających warunków. Funkcja Ψ charakteryzująca prawdopodobieństwo znalezienia działania cząstki w jednostce objętości powinna być skończona (prawdopodobieństwo nie może być większe od jedności), jednoznaczna (prawdopodobieństwo nie może być niejednoznaczną wielkością) i ciągła (prawdopodobieństwo nie może zmieniać się skokowo). Funkcja falowa spełnia zasadę superpozycji: jeżeli układ może znajdować się w różnych stanach opisanych funkcjami falowymi Ψ 1, Ψ,... Ψ n, to może on również znajdować się w stanie Ψ, opisanym liniową kombinacją tych funkcji: C, n n n gdzie C n (n = 1,,...) określone liczby zespolone. Składanie funkcji falowych (amplitud prawdopodobieństwa), a nie prawdopodobieństw (kwadratów funkcji falowej) różni zasadniczo teorię kwantową od klasycznej teorii statystycznej, w której dla niezależnych zdarzeń prawdziwe jest twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw. Znając funkcję falową Ψ w mechanice kwantowej oblicza się średnie wartości wielkości fizycznych. Na przykład średnią odległość r elektronu od jądra wylicza się za pomocą wzoru r r dv, gdzie całkowanie odbywa się jak w przypadku 11.7. 11.9 Ogólne równanie Schrődingera. Równanie Schrődingera dla stanów stacjonarnych. Statystyczna interpretacja fal de Broglie a i zasada nieoznaczoności Heisenberga doprowadziły do wniosku, że równaniem ruchu w mechanice kwantowej, opisującym ruch mikrocząstek, powinno być równanie, z którego by wynikały obserwowane doświadczalnie własności cząstek. Podstawowe równanie powinno równaniem względem funkcji falowej Ψ(x, y, z, t), ponieważ właśnie ona, albo dokładniej określa prawdopodobieństwo przebywania cząstki w chwili t w objętości dv. Ponieważ szukane równanie powinno
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 19 uwzględniać falowe własności cząstek, to powinno ono być równaniem falowym, podobnym do równania opisującego fale elektromagnetyczne. Podstawowe równanie nierelatywistycznej mechaniki kwantowej zostało podane przez E. Schrődingera (196). Równanie Schrődingera, tak jak wszystkie podstawowe równania fizyki (na przykład równanie Newtona w mechanice klasycznej, czy równania Maxwella dla pól elektromagnetycznych), nie są wyprowadzane ale postulowane. Prawidłowość tego równania jest zweryfikowana zgodnością wyprowadzonych z niego praw i wniosków z danymi doświadczalnymi. Równanie Schrődingera ma postać: m Ux, y, z, t i t 11.8 gdzie h/, m masa cząstki,, x y z - operator Laplace a ( ) i = 1 jednostka urojona, U(x, y, z, t) energia potencjalna cząstki w polu sił, w którym cząstka się porusza. Równanie 11.8 jest ogólnym równaniem Schrődingera, zależnym od czasu. Dla wielu zjawisk fizycznych zachodzących w mikroświecie, równanie 11.8 można uprościć, pozbywając się zależności Ψ od czasu. Jest to możliwe jeżeli pole sił, w którym porusza się cząstka jest stacjonarne, tzn. U = U(x,y,z) nie zależy od czasu i ma sens energii potencjalnej. W tym przypadku równanie Schrődingera może być przedstawione w postaci iloczynu dwu funkcji, z których jedna jest tylko funkcją współrzędnych, a druga czasu, przy czym zależność od czasu wyrażona jest przez mnożnik e it e i E / t ie / t x, y, z, t ( x, y, z) e 11.9 gdzie E całkowita energia cząstki, stała w przypadku pola stacjonarnego. Podstawiając 11.9 do 11.8 otrzymamy i E / e m U e i i e ; E / ie / ie t
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 0 skąd po podzieleniu obu stron przez wyrażenie, określające funkcję ψ: e i E / t i odpowiednich przekształceniach otrzymamy m E U 0. 11.30 Równanie 11.30 nazywa się równaniem Schrődingera dla stanów stacjonarnych. Będziemy analizować tylko to równanie i dalej nazywać po prostu równaniem Schrődingera. W równaniu Schrődingera 11.30 jako parametr występuje energia całkowita E cząstki. W teorii równań różniczkowych udowadnia się, że tego typu równania mają rozwiązania nie dla dowolnych wartości E, a tylko dla określonych. Wartości te nazywamy własnymi. Rozwiązania, które odpowiadają wartościom własnym energii nazywają się funkcjami własnymi. Wartości własne E mogą tworzyć zarówno szereg ciągły, jak i dyskretny. W pierwszym przypadku mówi się o widmie ciągłym, a w drugim o widmie dyskretnym. 11.10 Ruch cząstki swobodnej. Podczas ruchu cząstki swobodnej (U(x) = 0) jej energia całkowita pokrywa się z energią kinetyczną. W przypadku cząstki swobodnej poruszającej się wzdłuż osi x, równanie Schrődingera 11.30 dla stanów stacjonarnych przyjmie postać: m E 0 x 11.31 Poprzez proste podstawienie można przekonać się, że rozwiązaniem szczególnym tego x Ae równania jest funkcja ikx, gdzie A = const i k = const i energiami własnymi k E. 11.3 m
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 1 Funkcja x Ae ikx Ae i mex jest tylko częścią funkcji falowej Ψ(x,t), zależną od współrzędnej. Dlatego też zależąca od czasu funkcja falowa, zgodnie z 11.9 będzie miała postać x i Et p x itikx x, t Ae Ae 11.33 (tutaj E / i k / ). Funkcja 11.33 jest płaską monochromatyczną falą de Broglie a. p x Ze wzoru 11.3 wynika, że zależność energii od pędu m p / m E k / x okazuje się typową dla cząstek nierelatywistycznych. W rezultacie energia swobodnej cząstki może przybierać dowolne wartości (ponieważ liczba falowa może przybierać dowolne wartości), tzn. jej widmo energetyczne jest ciągłe. W ten sposób, swobodna cząstka kwantowa jest opisana płaską, monochromatyczną falą de Broglie a. Odpowiada temu niezależne od czasu prawdopodobieństwo znalezienia cząstki * A, przy czym jest ono jednakowe w dowolnym punkcie przestrzeni. 11.11 Cząstka w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału. Rysunek 11.6 Przeprowadzimy jakościową analizę rozwiązania równania Schrődingera zastosowanego do cząstki znajdującej się nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału. Taka
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki jama opisana jest energią potencjalną w postaci (dla prostoty załóżmy, że cząstka porusza się wzdłuż osi x) U x, x 0, 0,0 x l,, x l, gdzie l szerokość jamy, a energia liczona jest względem jej dna (Rysunek 11.6) postaci Równanie Schrődingera w przypadku jednowymiarowego zadania można zapisać w m x E U 0. 11.34 Ze względu na warunek o nieskończenie wysokich ściankach, cząstka nie jest w stanie przeniknąć poza granice bariery potencjału, dlatego też prawdopodobieństwo znalezienia jej poza granicami ścianek (a w związku z tym funkcja falowa) jest równe zeru. Na granicach jamy (dla x = 0 i x = l) ciągła funkcja falowa także powinna przybierać wartość równą zeru. W rezultacie, warunki graniczne w tym przypadku mają postać 0 l 0. 11.35 W obszarze jamy ( 0 x l ) równanie Schrődingera sprowadzi się do równania lub m E 0 x 0 k, 11.36 x gdzie
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 3 k me/. 11.37 Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego 11.36 ma postać: x Asinkx Bcos kx. Ponieważ 0 0, to B = 0. Wtedy x Asinkx. 11.38 Warunek l Asinkl 0 jest spełniony tylko dla kl n, gdzie n liczy całkowite, tzn. musi być spełniony warunek n k, gdzie n = 1,,3, 11.39 l Z wyrażeń 11.37 i 11.39 wynika, że E n n h 8ml, 11.40 lub E n = n E 1 11.40a gdzie: E 1 = h 8ml co oznacza, że równanie Schrődingera, opisujące ruch cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału, jest spełnione tylko dla wartości własnych energii E n, zależnych od liczby całkowitej n. W związku z tym, energia E n cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału nie może mieć wartości dowolnych, ale przyjmuje określone dyskretne wartości, tzn. jest skwantowana. Skwantowane wartości energii E n nazywane są poziomami energii, a liczba n, określająca poziomy energetyczne nazywa się liczbą kwantową. Tak więc, cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału może znajdować się tylko na określonym
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 4 poziomie energetycznym E n, lub inaczej, cząstka może znajdować się określonym stanie kwantowym n. Podstawiając do 11.38 wartość k z 11.39 możemy znaleźć funkcje własne: x n Asin x. l Stałą całkowania A można określić z warunku normalizacji 11.7, który w tym przypadku można zapisać w postaci A l 0 n sin xdx 1. l W wyniku scałkowania otrzymujemy A / l, a funkcje własne będą miały postać n x n sin x (n = 1,, 3,...) 11.41 l l a) b) Rysunek 11.7 Wykresy funkcji własnych 11.41odpowiadające poziomom energii dla n = 1,, 3, przedstawione są na rysunku 11.7a. Na rysunku 11.7b przedstawiona jest gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w odległości x od ścianki jamy, która równa jest x x x dla n = 1,, 3. Z rysunku wynika, że na przykład w kwantowym n n n * stanie o n =, cząstka nie może znajdować się w środku jamy. Takie zachowanie cząstki
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 5 pokazuje, że opisywanie położenia cząstki w mechanice kwantowej za pomocą trajektorii jest nieadekwatne. Z równania 11.40 wynika, że przerwa energetyczna między dwoma stanami energetycznymi jest równa En En 1 En n 1. 11.4 ml Na przykład dla elektronu przy rozmiarach jamy potencjału l = 10-1 m (elektrony swobodne w metalu) E 0,7410 16 ev, co oznacza, że poziomy energetyczne elektronów swobodnych rozmieszczone są na tyle gęsto, że ich widmo można uważać za ciągłe. Jednak, jeżeli rozmiary jamy są porównywalne z rozmiarami atomu ( l E 0,7410 10 10 m ), to dla elektronu ev tzn., otrzymuje się wyraźne widmo dyskretne. W ten sposób zastosowanie równania Schrődingera do cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału prowadzi do kwantowych wartości energii, podczas gdy mechanika klasyczna nie nakłada na tą energię żadnych ograniczeń. Oprócz tego, podejście kwantowo mechaniczne do tego problemu prowadzi do wniosku, że cząstka nieskończenie głębokiej studni potencjału nie może mieć energii mniejszej niż minimalna energia / ml. Pojawienie się minimalnej energii różnej od zera jest nieprzypadkowe, a wynika zasady nieoznaczoności Heisenberga. Nieokreśloność współrzędnej Δx w jamie potencjału jest równa Δx = l. Zatem, zgodnie z zasadą nieoznaczoności 11.19 pęd nie może mieć w tym wypadku dokładnej wartości. Ni określoność pędu wynosi kinetyczna ~ p / m ~ h / ml p ~ h/ l. Takiej wartości nieokreśloności pędu odpowiada energia E. Wszystkie pozostałe poziomy (n > 1) mają min energię większą od tej minimalnej energii. E Z równania 11.4 i 11.40 wynika, że dla dużych wartości liczb kwantowych (n >> 10) n / E / n 1, co oznacza, że sąsiednie poziomy są rozmieszczone ciasno: tym n ciaśniej im większe n. Jeżeli n jest rzeczywiście bardzo duże to można mówić o praktycznie ciągłym położeniu poziomów i cecha charakterystyczna procesów kwantowych dyskretność ulega zatarciu. Taki wynik okazuje się szczególnym przypadkiem zasady (odpowiedniości) korespondencji Bohra, zgodnie z którą prawa mechaniki kwantowej powinny, dla dużych wartości liczb kwantowych, przechodzić w prawa mechaniki klasycznej
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 6 11.1 Przechodzenie cząstki przez barierę potencjału. Efekt tunelowy. b) Rysunek 11.8 Rozważmy barierę potencjału o najprostszym prostokątnym kształcie (Rysunek 11.8a) i ruch cząstki w kierunku osi x. Taką barierę potencjału o wysokości U i szerokości l możemy przedstawić w postaci U x 0, x 0 U,0 x l 0, x l W danych warunkach cząstka klasyczna, posiadająca energię E, albo bez przeszkód przechodzi nad barierą potencjału (dla E > U), albo odbije się od niej (dla E < U) i będzie poruszać się w przeciwnym kierunku, co oczywiście oznacza, że nie jest ona w stanie przeniknąć przez barierę. Jednak w przypadku mikrocząsteczki nawet dla E > U istnieje większe od zera prawdopodobieństwo, że cząstka odbije się od bariery i będzie poruszać się w kierunku odwrotnym. Dla E < U istnieje także różne od zera prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x > l, tzn. przeniknie przez barierę. Tego typu, wydawało by się paradoksalne wyniki, wynikają bezpośrednio z równania Schrődingera, opisującego ruch mikrocząstki w przedstawionych warunkach.
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 7 Równanie Schrődingera dla każdego z wydzielonego na rysunku 11.8a obszaru ma postać x 1,3 k 1,3 0 (dla obszarów 1 i 3; m E ), k x k 0 m (dla obszaru ; q E U ). 11.43 Ogólne rozwiązania tych równań różniczkowych mają postać 1 x ikx A1e 1 B e ikx (dla obszaru 1); 11.44 x iqx Ae (dla obszaru ); 3 x B e ikx A3e 3 B e iqx ikx (dla obszaru 3). 11.45 W szczególności, dla obszaru 1 całkowita funkcja falowa ma postać x t x 1, i Et i i Et p x Et p x 1 1 e A e B e. 11.46 1 1 1 W wyrażeniu tym pierwszy człon reprezentuje falę płaską typu 11.33 rozchodzącą się w kierunku dodatnim osi x (odpowiada cząstce poruszającej się w kierunku bariery), a drugim falę rozchodzącą się w kierunku przeciwnym, tzn. odbitą od bariery. Współczynnik A 1 w wyrażeniu 11.44 (i odpowiednio w 11.46) związany jest z natężeniem wiązki cząstek
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 8 poruszających się w kierunku bariery i dlatego jest ustalony dowolnie. Zwykle wybiera się A 1 = 1. Rozwiązanie 11.45 zawiera także fale (po pomnożeniu przez czynnik czasowy) rozchodzące w obie strony. Jednak w obszarze 3 istnieje tylko fala, która przeszła przez barierę i rozprzestrzenia się tylko w dodatnim kierunku osi x. Dlatego współczynnik B 3 we wzorze 11.45 należy przyrównać do zera. W obszarze rozwiązanie zależy od tego czy E > U, czy E < U. Fizyczne znaczenie ma przypadek, gdy całkowita energia cząstki jest mniejsza od wysokości bariery potencjału, ponieważ przy E < U prawa klasycznej fizyki w sposób jednoznaczny nie pozwalają przeniknąć cząstce przez barierę potencjału. W danym przypadku, zgodnie z 11.43, liczba urojona, gdzie U E m q i - Uwzględniając wartości q, A 1 = 1 i B 3 = 0, otrzymujemy rozwiązanie równania Schrődingera dla tych trzech obszarów w postaci: 1 x ikx e 1 (dla obszaru 1), B e ikx x x Ae (dla obszaru ), B e x 11.47 3 x 3 ikx A e (dla obszaru 3). W obszarze funkcja 11.47 nie odpowiada już falom płaskim, rozchodzącym się w obu kierunkach, ponieważ wykładniki funkcji eksponencjalnych nie są urojone, a rzeczywiste. B także należy przyjąć jako równe zeru z powodu warunku skończoności nakładanego na funkcję falową. Jakościowe postacie funkcji ψ 1 (x), ψ (x) i ψ 3 (x) przedstawione są na rysunku 11.8b. Z rysunku wynika, że funkcja falowa nie jest równa zeru wewnątrz bariery, a w obszarze 3, jeżeli bariera nie jest zbyt szeroka, znów będzie miała postać fali de Broglie a o tym samym
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 9 pędzie, tzn. z tą samą częstością, ale mniejszą amplitudą. W rezultacie, otrzymaliśmy, że cząstka ma różne od zera prawdopodobieństwo przejścia przez barierę potencjału o skończonej szerokości. W ten sposób, mechanika kwantowa prowadzi do zasadniczo nowego zjawiska zwanego efektem tunelowym, w wyniku którego mikrocząstka może przejść na drugą stronę bariery potencjału. W celu opisania efektu tunelowego wykorzystuje się pojęcie współczynnika transmisji D bariery potencjału, który jest równy stosunkowi natężenia przechodzącego przez barierę do natężenia przechodzącego. Obliczenia pokazują, że współczynnik transmisji dla prostokątnej bariery potencjału ma postać D exp mu El, 11.48 gdzie U wysokość bariery potencjału, E energia cząstki, l szerokość bariery. Z wyrażenia 11.48 wynika, że D silnie zależy od m masy cząstki, szerokości bariery l i od (U - E), im szersza bariera potencjału tym mniejsze prawdopodobieństwo przejścia cząstki przez barierę. Rysunek 11.9 Dla bariery potencjału dowolnego kształtu (Rysunek 11.9) x D exp mu Edx x1, gdzie U = U(x).
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 30 Z klasycznego punktu widzenia przechodzenie cząstki przez barierę potencjału, gdy E < U przeczy zasadzie zachowania energii. Rzecz polega na tym, że jeżeli klasyczna cząstka znajdowała by się w jakimś punkcie wewnątrz bariery, to jej całkowita energia okazała by się mniejsza od jej energii potencjalnej, co oczywiście jest niemożliwe. Z kwantowego punktu widzenia nie ma takiej sprzeczności. Jeżeli cząstka porusza się w stronę bariery, to do zderzenia z barierą ma ona ściśle określoną energię. Jeżeli oddziaływanie z barierą trwa przez czas Δt, to, zgodnie z zasadą nieoznaczoności, energia cząstki w stanie oddziaływania z barierą nie będzie już ściśle określona, a będzie charakteryzować się nieokreślonością E h/ t (Rysunek 11.9). Jeżeli ta nieokreśloność jest rzędu wysokości bariery, to przestaje ona być przeszkodą nie do pokonania i cząstka przejdzie przez barierę. Tunelowe przechodzenie przez barierę potencjału leży u podstaw wielu zjawisk fizyki ciała stałego (na przykład zjawiska w warstwie kontaktowej półprzewodników), fizyki atomowej i jądrowej (na przykład rozpad α, zachodzenie reakcji termojądrowych). 11.13 Liniowy oscylator harmoniczny w fizyce kwantowej. Liniowy oscylator harmoniczny jest układem wykonującym jednowymiarowe drgania pod wpływem siły kwasi-sprężystej i jest modelem wykorzystywanym w wielu problemach fizyki klasycznej i kwantowej. Wahadło matematyczne lub fizyczne są przykładami klasycznych oscylatorów harmonicznych. Energia potencjalna oscylatora harmonicznego jest równa U m / 11.49 0 x0 gdzie ω 0 częstość własna drgań oscylatora, m masa oscylującej cząstki. Zależność 11.49 ma postać paraboli (Rysunek 11.10), co oznacza, że jama potencjału ma w tym przypadku kształt paraboli. Jeżeli oscylator klasyczny wykonuje niewielkie drgania, to jego energia całkowita opisana jest amplitudą drgań. W punktach o współrzędnych xmax całkowita energia jest równa energii potencjalnej. Dlatego też, z klasycznego punktu widzenia cząstka nie może wyjść poza granice ( x, x max max Rysunek 11.10 ). Gdyby tak nie było, prowadziło by to do absurdalnego
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 31 wyniku, że energia kinetyczna jest ujemna. Tak więc, oscylator klasyczny znajduje się zawsze w przedziale wskazanym wyżej i nigdy nie może wyjść poza ten przedział. Oscylator harmoniczny w mechanice kwantowej oscylator kwantowy opisany jest równaniem Schrődingera 11.30 uwzględniającym wyrażenie 11.49 na jamę potencjału. W takim przypadku stacjonarne stany oscylatora kwantowego będzie opisywać równanie Schrődingera postaci m m x ( E x ) 0, 11.50 gdzie E całkowita energia oscylatora. W teorii równań różniczkowych udowadnia się, że równanie 11.50 ma rozwiązanie tylko w przypadku gdy wartości własne energii mają postać: 1 E n n 0. 11.51 Podobnie można wyprowadzić wzory określające funkcje falowe odpowiadające poszczególnym poziomom. Funkcja falowa poziomu podstawowego (n = 0) jest funkcją Gaussa z wierzchołkiem w x = 0: ψ 0 = A 0 e ax gdzie A 0 i a są stałymi. Wykres tej funkcji i funkcji falowej dla pierwsze poziomu wzbudzonego pokazany jest na rysunku 11.10a. Rysunek 11.10a Wzór 11.51 pokazuje, że energia oscylatora kwantowego może przybierać tylko dyskretne wartości, tzn. jest skwantowana. Energia ta jest ograniczona od dołu, tak jak dla nieskończonej jamy prostokątnej, posiada różną od zera minimalną wartością energii.
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 3 1 E 0 0. Istnienie minimalnej energii, zwanej energią drgań zerowych jest typową cechą układów kwantowych i wynika bezpośrednio z zasady nieoznaczoności. Obecność zerowych drgań oznacza, że cząstka nie może znajdować się na dnie jamy potencjalnej, przy czym wniosek ten nie zależy od kształtu jamy. Rzeczywiście upadek cząstki na dno jamy oznaczałby, że pęd przybiera wartość równą zeru, a zatem i jego nieokreśloności. Wtedy nieokreśloność współrzędnej stawałaby się nieskończenie dużą, co z kolei, przeczyłoby znajdowaniu się cząstki w jamie potencjału. Wniosek o obecności energii drgań zerowych oscylatora kwantowego przeczy wnioskom wynikającym z fizyki klasycznej, zgodnie z którą najmniejsza energia, jaką może mieć oscylator, jest równa zeru (wtedy gdy cząstka znajduje się w spoczynku w położeniu równowagi). Na przykład, fizyka klasyczna prowadzi do wniosku, że jeżeli T = 0, to energia ruchu drgającego atomów kryształu powinna być równa zeru. W rezultacie powinno również zniknąć rozpraszanie światła wywołane drganiami atomów. Jednak doświadczenie pokazuje, że natężenie światła rozproszonego, podczas zniżania temperatury nie maleje do zera, a dąży do pewnej granicznej wartości, wskazującej, iż przy T 0 drgania atomów w krysztale nie zanikają. Zjawisko to potwierdza istnienie zerowych drgań. Z równania 11.51 wynika, że poziomy energii w oscylatorze nie zależą od liczby kwantowej n i są położone w równych odległościach od siebie (Rysunek 11.11), podczas gdy dla jamy potencjału z nieskończenie wysokimi ściankami wraz ze wzrostem n odległości między poziomami wzrastają. Dla n 1 n1 / n poziomy energii oscylatora pokrywają się z wartościami energii oscylatora kwantowego ( n 0 nh 0 ) postulowanego przez Plancka w teorii promieniowania ciała doskonale czarnego. Ścisłe rozwiązanie zadania oscylatora kwantowego prowadzi n = 5 n = 4 n = 3 n = n = 1 Rysunek 11.11 do jeszcze jednej różnicy miedzy nim, a oscylatorem klasycznym. Obliczenia kwantowo n = 0
Piotr Posmykiewicz Wykład z fizyki 33 mechaniczne pokazują, że cząstkę można znaleźć poza granicami dozwolonego obszaru x xmax (Rysunek 11.1), podczas gdy z punktu widzenia klasycznego cząstka nie może wyjść poza obszar (- x max, + x max ). A zatem, istnieje różne od zera prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tej części, która klasycznie jest zabroniona. Wynik ten jest przedstawiony na rysunku 11.1, na którym zestawione są kwantowe gęstości prawdopodobieństwa W kw (x) znalezienia oscylatora w obszarze od x do x + dx dla n = 1 z klasyczną gęstością prawdopodobieństwa W kl (x). Istnienie różnych od zera wartości W kw (x) poza przedziałami klasycznie dozwolonego obszaru x x max jest wyjaśnione możliwością przechodzenia cząstek obdarzonych własnościami falowymi przez barierę potencjału. -x min W kw (x) Rysunek 11.1 x max W kl (x) 11.14 Równanie Schrödingera w trzech wymiarach. Równanie Schrödingera w trzech wymiarach, niezależne od czasu i dane równaniem 11.30 możemy przepisać w postaci: ħ m ψ + ψ + ψ x y z + Uψ = Eψ 11.5 Aby prześledzić kilka zagadnień w trzech wymiarach rozważmy cząstkę znajdującą się w nieskończonej, przestrzennej studni potencjału o kwadratowych ścianach o boku L. określonej poprzez U(x,y,z) = 0 dla 0 < x < L, 0 < y < L, 0 < z < L. Na zewnątrz studni U(x,y,z) =. Jak wiadomo, w tym wypadku funkcja falowa musi być równa zero na ścianach sześcianu. Istnieje standardowa metoda rozwiązywania równania różniczkowego 11.5. Musimy odgadnąć kształt rozwiązania na podstawie naszej wiedzy o prawdopodobieństwie. Dla przypadku jednowymiarowej jamy potencjału, na podstawie równania 11.38, możemy stwierdzić, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze dx w położeniu x wynosi A 1 sin k 1 xdx, gdzie A 1 jest znormalizowaną stałą, a k 1 = nπ/l jest liczbą falową. Podobnie dla kierunku wzdłuż osi y jamy prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze dy wynosi A sin k ydy. Prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest iloczynem prawdopodobieństw wystąpienia tych zdarzeń (Na przykład rzucamy dwiema kostkami do gry). Zatem prawdopodobieństwo, że cząstka znajduje się w obszarze dx i dy jest równe A 1 sin k 1 xdxa sin k ydy = A 1 sin k 1 xa sin k ydxdy. Prawdopodobieństwo, że