AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ

AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Exploring potential tumour growth modulating mechanisms in cells having different status of TP53 gene (W poszukiwaniu mechanizmów regulujących wzrost nowotworu w komórkach o różnym statusie genu TP53) autor: Jan Poleszczuk promotorzy: dr hab. Urszula Foryś (MIM UW) dr hab. n. med. Maria Wideł (Politechnika Śląska) Motywacją moich dotychczasowych badań, począwszy od pracy licencjackiej, przez magisterską, do doktorskiej, jest rosnąca liczba zachorowań na nowotwory, przy jednoczesnym braku w 100% skutecznych metod leczenia nowotworów złośliwych. Prezentowana praca stanowi podsumowanie moich dotychczasowych badań nad popromiennym efektem sąsiedztwa (badania eksperymentalne wykonywane wraz z zespołem dr hab. n. med. Marii Wideł z Politechniki Śląskiej, kopromotor rozprawy), senescencji komórkowej (także wraz z M. Wideł, ale również z zespołem Heiko Enderlinga wcześniej z Center of Cancer System Biology, Boston, USA, a obecnie z Moffitt Cancer Center, Tampa, USA) oraz procesem angiogenezy nowotworowej i leczenia antyangiogennego (wraz z zespołem dr hab. Urszuli Foryś, promotor rozprawy, jak również z Heiko Enderlingiem i Philipem Hahnfeldtem z Center of Cancer System Biology, Boston, USA). 1 Podstawy biologiczne Na początku omówię pokrótce najważniejsze procesy biologiczne, których znajomość jest istotna dla zrozumienia przeprowadzonych badań i postawionej w pracy hipotezy. Radioterapia obok chemioterapii i interwencji chirurgicznej pozostaje jednym z głównych sposobów walki z nowotworami i ma na celu bezpośrednie napromienienie guza w celu jego zniszczenia. Indukowana promieniowaniem jonizacja zasad azotowych składających się na nić DNA może prowadzić do powstawania w niej pęknięć i co za tym idzie uszkodzeń materiału genetycznego. W dodatku, reakcje zasad azotowych tworzących DNA z produktami radiolizy wody mogą prowadzić do wystąpienia licznych uszkodzeń, także śmiertelnych dla komórki. Przyjmuje się, że najbardziej szkodliwe dla komórki jest powstawanie jednoczesnych pęknięć na obu niciach DNA na tyle blisko siebie, że dochodzi do rozerwania całego łańcucha DNA, tzw. dwuniciowe pęknięcie (ang. Double Strand Break, DSB). Ważnym elementem mechanizmu ochronnego komórki jest białko p53, które odgrywa znaczącą rolę w procesie naprawy DNA. W związku z tym moje badania koncentrowały się także na sprawdzeniu, w jaki sposób na promieniowanie reagują komórki o różnym statusie genu TP53, kodującego to białko. Ze względu na tak duże znaczenie dla mechanizmów utrzymujących spójność DNA gen TP53 zwany jest strażnikiem genomu. Popromienny efekt sąsiedztwa związany jest z wpływem, jaki promieniowanie jonizujące może mieć nie tylko bezpośrednio na naświetlaną komórkę, ale także na nienapromienione komórki znajdujące się w jej otoczeniu. Nieco ponad dwie dekady temu na próbę wystawiony został jeden z ważniejszych paradygmatów radiobiologii mówiący o tym, że do zmian w komórkach napromienianej tkanki dochodzi wyłącznie na skutek bezpośredniego przejścia wiązek promieniowania przez struktury komórkowe. W 1992 panowie Nagasawa i Little donieśli, że nienaświetlone komórki 1

pochodzące z jajnika chomika chińskiego (Cricetulus griseus) wykazują zwiększoną częstość wymiany materiału genetycznego pomiędzy siostrzanymi chromatydami (identycznymi kopiami tego samego chromosomu, które powstają przed podziałem komórki) w momencie, gdy komórki znajdujące się w ich pobliżu są naświetlane małymi dawkami promieniowania α. Później wiele badań potwierdziło, że nie można sprowadzić odpowiedzi populacji komórkowej na promieniowanie jonizujące do prostego zagregowania odpowiedzi poszczególnych komórek. W radiobiologii zaczęło zyskiwać na znaczeniu zjawisko najczęściej nazywane popromiennym efektem sąsiedztwa, czyli zjawisko polegające na wywołaniu zmian w komórce poprzez poddanie innej komórki działaniu promieniowania jonizującego. Senescencję komórkową definiuje się jako nieodwracalne zatrzymanie cyklu podziału komórki, która pozostaje mimo tego przy życiu i jest dalej metabolicznie aktywna. Po raz pierwszy senescencję w eksperymentach zaobserwował Hayflick w latach 60., gdy po wykonaniu kilkudziesięciu pasaży część z hodowanych komórek ludzkich zaniechała podziałów. Komórki w stanie senescencji można rozpoznać po zwiększonej w stosunku do komórek aktywnie dzielących się objętości, czy też powiększonym jądrze komórkowym. Dochodzi również do szeregu zmian biochemicznych wewnątrz komórki, z których najczęściej stosowanym markerem do oznaczania senescencji jest zwiększony poziom enzymu β-galaktozydazy. Od wielu lat senescencję komórkową wiąże się bezpośrednio z procesem starzenia organizmu. Eksperymenty wykorzystujące enzym telomerazy, który odbudowuje końcowe fragmenty chromosomów (telomery), wykazały, że wejście w stan senescencji po wyczerpaniu liczby możliwych podziałów jest konsekwencją stopniowego skracania telomerów, które ma miejsce przy każdym podziale komórki. W dalszych eksperymentach in vitro wykazano jednak, że w stan senescencji może wprowadzić komórkę szereg innych bodźców. Jednym z najważniejszych i najczęściej występujących bodźców indukujących senescencję komórkową jest wystąpienie odpowiednio dużych uszkodzeń DNA, które powstają w skutek poddawania komórki różnego rodzaju stresom, takim jak działanie promieniowania jonizującego, czy reaktywnych form tlenu (ang. stress induced senescence, SIS). Do indukcji senescencji komórkowej może również prowadzić aktywacja onkogenu (ang. oncogene-induced senescence, OIS) lub mutacja genu supresorowego (ang. PICS PTEN loss-induced senescence, PPIS). Onkogen oraz gen supresorowy są genami, które mogą prowadzić do transformacji komórki w komórkę nowotworową. Wyniki eksperymentów sugerują, że nie ma jednej uniwersalnej ścieżki sygnałowej prowadzącej do stanu senescencji komórkowej, ale uniwersalną wydaje się być zależność programu senescencji komórkowej od statusu genu TP53. Najczęściej przytaczana hipoteza mówi o tym, że senescencja służy jako dodatkowy mechanizm zapobiegający powstawaniu nowotworu. Angiogeneza to proces tworzenia nowych naczyń krwionośnych pod wpływem czynników proangiogennych, takich jak czynnik wzrostu śródbłonka naczyń (ang. vascular endothelial growth factor, VEGF), które stymulują proliferację i różnicowanie komórek endotelialnych tworzących naczynia krwionośne. Angiogeneza zachodzi głównie w rozwoju embrionalnym, ale może także zachodzić w życiu pozapłodowym, zarówno jako proces fizjologiczny, jak i patologiczny. Proces fizjologiczny dotyczy m.in. gojenia się ran czy menstruacji, a proces patologiczny to angiogeneza nowotworowa. W początkowej fazie rozwoju guz nowotworowy nie wymaga obecności naczyń krwionośnych pobiera składniki pokarmowe z tkanki otaczającej nowotwór na zasadzie procesu dyfuzji. Gdy jednak osiągnie wielkość około 2 mm 3, tak jak inne tkanki, wymaga dostarczania tlenu i substancji odżywczych. W związku z tym zaczyna uwalniać czynniki stymulujące proces angiogenezy, co w efekcie prowadzi do powstania sieci naczyń krwionośnych nowotworu. Kiedy w 1971 Judah Folman zidentyfikował proces angiogenezy nowotworowej, postawił jednocześnie hipotezę, że jeśli uda się zahamować ten proces, to nowotwór zaniknie sam z siebie. Jednak okazało się, że nie jest to takie proste. Od tamtego czasu trwają badania nad terapią antyangiogenną, czyli terapią, która ma na celu zahamowanie procesu angiogenezy nowotworowej. Wiadomo już jednak, że sama terapia antyangiogenna nie prowadzi do wyleczenia z choroby nowotworowej, nie tylko dlatego, że natychmiast po zaprzestaniu podawania leków proces angiogenezy zaczyna się na no- 2

wo, ale też dochodzi do tworzenia nowych ognisk choroby. Rozważa się natomiast stosowanie tej terapii jako terapii uzupełniającej, w szczególności uzupełniającej chemioterapię, gdyż badania Jaina wykazały, że sieć naczyniowa nowotworów ma patologiczną strukturę, zaś pierwszy etap terapii antyangiogennej prowadzi do normalizacji tej struktury, dzięki czemu podawany w trakcie chemioterapii lek może być skuteczniej rozprowadzony wewnątrz nowotworu. W postawionej przeze mnie hipotezie proponuję także stosowanie tej terapii jako uzupełniającej do radioterapii. 2 Przedmiot badań i hipoteza W pracy postawiona została hipoteza, że radioterapia, na skutek indukcji senescencji komórkowej, może prowadzić do angiogenezy nowotworowej i, co za tym idzie, szybszego rozwoju wcześniej niewidocznych ognisk choroby nowotworowej. W związku z tym zaproponowałem, aby łączyć radioterapię z terapią antyangiogenną, co stanowi nowość w stosunku do proponowanego w literaturze łączenia terapii antyangiogennej i chemioterapii. Pierwszą część badań przeprowadzonych i opisanych w pracy stanowią eksperymenty in vitro, które mają na celu częściowe biologiczne potwierdzenie postawionej hipotezy. Dalsze badania poświęcone były stworzeniu i przeanalizowaniu modeli matematycznych, które umożliwiałyby dobranie optymalnej dawki leków antyangiogennych w trakcie badań klinicznych, gdyż tylko takie badania stanowiłyby ostateczne narzędzie weryfikacji postawionej hipotezy. 3 Treść pracy Praca powstała w oparciu o już opublikowane wyniki badań i najnowsze hipotezy dotyczące indukowania procesu angiogenezy nowotworowej przez komórki w stanie senescencji, indukowane bezpośrednio przez promieniowanie jonizujące oraz pojawiające się w wyniku popromiennego efektu sąsiedztwa. Artykuły bezpośrednio związane z treścią pracy: (1) Poleszczuk J., Hahnfeldt P., Enderling H. Therapeutic implications from sensitivity analysis of tumor angiogenesis models. PloS ONE 2015;10(3): e0120007. IF (2014): 3.702 (2) Poleszczuk J., Piotrowska M.J., Foryś U. Optimal protocols for the anti-vegf tumor treatment. Mathematical Modelling of Natural Phenomena 2014;9(4): 204 215. IF (2014): 0.807 (3) Poleszczuk J., Bodnar M., Foryś U. New approach to modeling of antiangiogenic treatment on the basis of Hahnfeldt et al. model. Mathematical Biosciences and Engineering 2011;8(2): 591 603. IF (2014): 1.128 Artykuły, których wyniki powstały w trakcie studiów doktoranckich i zostały użyte w pracy: (4) Poleszczuk J., Krzywon A., Forys U., Widel M. Connecting radiation induced bystander effects and senescence to improve radiation response prediction. Radiation Research 2015;183(5): 571 577. IF (2014): 2.880 (5) Widel M., Lalik A., Krzywon A., Poleszczuk J., Fujarewicz K., Rzeszowska-Wolny J. The different radiation response and radiation-induced bystander effects in colorectal carcinoma cells differing in p53 status. Mutation Research 2015;778: 61 70. IF (2014): 3.521 (6) Poleszczuk J., Hahnfeldt P., Enderling H. Biphasic modulation of cancer stem cell-driven solid tumour dynamics in response to reactivated replicative senescence. Cell Proliferation 2014;47(3): 267 276. IF (2014): 2.777 (7) Piotrowska M.J., Bodnar M., Poleszczuk J., Foryś U. Mathematical modelling of immune reaction against gliomas: Sensitivity analysis and influence of delays. Nonlinear Analysis: Real World Applications 2013;14(3): 1601 1620. IF (2014): 2.322 3

3.1 Wyniki eksperymentalne Do eksperymentów wykorzystano trzy linie komórkowe: dwie wyprowadzone z raka okrężnicy (ang. human corolectar cancer, HCT116) oraz jedną wyprowadzoną z ludzkich fibroblastów (ang. normal human dermal fibroblasts, NHDF). Linie komórek HCT116 różniły się od siebie statusem genu TP53. Pierwsze miały pozostawiony gen TP53 w funkcjonalnej i niezmienionej formie (HCT116 p53 +/+), podczas gdy drugie były tego genu całkowicie pozbawione (HCT116 p53 / ). Do badania efektu sąsiedztwa wykorzystano płytki hodowlane Falcon TM. Na pojedynczy zestaw składa się płytka, na której znajduje się sześć izolowanych kolistych studzienek (dołków) oraz sześć oddzielnych insertów. Płytki z komórkami rosnącymi w dołkach poddawane były działaniu promieniowania jonizującego w pojedynczej dawce wynoszącej 2, 4, 6 oraz 8 Gy. Natychmiast po napromienieniu do dołków wstawiane były wcześniej przygotowane inserty z nienapromienianymi komórkami (sąsiednimi) i taki zestaw był dalej inkubowany przez określony czas. Wyniki eksperymentów zaprezentowane w rozdziale trzecim pokazują, że promieniowanie jonizujące indukuje senescencję komórkową zarówno w komórkach bezpośrednio napromienionych, jak i znajdujących się jedynie w otoczeniu komórek napromienionych. Wyraźnie widać jednak, że dla dawek powyżej 2 Gy odsetek komórek w stanie senescencji w całej populacji w przypadku linii komórek z funkcjonalną postacią genu TP53 (p53 +/+) jest dużo wyższy niż dla linii komórek tego genu pozbawionych (p53 / ). 3.2 Modelowanie procesu angiogenezy nowotworowej i terapii antyangiogennej W ostatnich trzech rozdziałach pracy omówione są wyniki badań dotyczących procesu angiogenezy, a dokładniej modelowania terapii antyangiogennej. W rozdziale czwartym omówiona została rodzina modeli procesu angiogenezy zaproponowana przez Hahnfeldta i in. (1999). Model opisuje wzrost objętości nowotworu, V(t), zasilanego przez składniki pokarmowe poprzez sieć naczyń o wydajności K(t). Podstawowe równanie dynamiki nowotworu bazuje na modelu Gompertza, który jest szeroko stosowany w dziedzinie matematycznego modelowania wzrostu nowotworów: V(t) = ε ln ( V(t)/K ), gdzie ε oznacza współczynnik reprodukcji, zaś K to maksymalny rozmiar nowotworu możliwy do osiągnięcia przez nowotwór nieunaczyniony. Hahnfeldt założył, że proces angiogenezy wpływa na zmianę K, mamy więc K = K(t), a zmienna ta w najprostszy sposób może być interpretowana jako wydajność naczyń. Hahnfeldt zaproponował ogólną postać równania K(t) = µk(t) + bs ( V(t), K(t) ) + di ( V(t), K(t) ), gdzie pierwszy składnik opisuje naturalną degradację naczyń, funkcja S odzwierciedla produkcję stymulatorów angiogenezy, zaś I to produkcja inhibitorów. Konkretna postać funkcji S i I wynika z wyprowadzenia modelu z równania dyfuzji-konsumpcji dla substancji stymulujących i hamujących proces angiogenezy oraz rozważań przedstawionych przez Hahnfeldta i in. (1999). Ogólna zależność wyprowadzona w oryginalnym artykule ma postać I(V, K)/S (V, K) = V α K β, gdzie α + β = 2/3. W ramach tej zależności Hahnfeldt i in. wybrali S (V, K) = V, I(V, K) = KV 2/3, Ergun i in. S (V, K) = K 2/3, I(V, K) = K 4/3, a d Onofrio i Gandolfi S (V, K) = K, I(V, K) = KV 2/3. Dodatkowo, w modelu uwzględniony został wpływ leczenia, które przez Hahnfeldta i in. zostało określone jako antyangiogenne, natomiast naszym zdaniem może ono odzwierciedlać tylko leczenie antynaczyniowe, gdyż opisujący je składnik ek(t)u(t), gdzie u(t) to stężenie podawanego leku, ma 4

taką samą postać jak składnik naturalnej śmiertelności komórek endotelialnych. W moich badaniach zaproponowałem inne podejście do tego typu modelowania. Stosując takie samo wyprowadzenie jak Hahnfeldt i in., ale wprowadzając lek w taki sposób, aby odzwierciedlał działanie antyangiogenne, więc hamujące stymulację procesu angiogenezy, wyprowadziłem funkcję S (V, K) w innej postaci. Ostatecznie w artykule (3) wyprowadziłem model procesu angiogenezy z uwzględnieniem terapii antyangiogennej: V = εv ln V K, (β + V K p )V = µk + b a(β + V p ) + u(t) dkv2/3, (1) gdzie a, β i p są dodatkowymi parametrami związanymi ze stymulacją procesu angiogenezy i działaniem leku antyangiogennego, zaś proces inhibicji opisany jest za pomocą funkcji wybranej przez Hahnfeldta i in., tzn. KV 2/3. Ilość leku wyrażamy za pomocą typowej funkcji farmakokinetycznej, przy założeniu, że ta sama ilość leku A jest podawana w chwilach t 1,..., t n : n u(t) = D exp ( clr(t t i ) ) l {t ti }, (2) i=1 gdzie clr to tzw. klirens (współczynnik usuwania leku z organizmu). Zaproponowany układ (1) został w (3) poddany analizie matematycznej, jak również porównany z oryginalnym modelem Hahnfeldta (również na drodze symulacji numerycznych). Wyniki te zaprezentowałem w rozdziale 4 zatytułowanym Tumor angiogenesis model. Formalna analiza matematyczna została przeprowadzona przy założeniu stałego leczenia, czyli u(t) u = const, jak również dla µ = 0, co jest zgodne z obserwacjami eksperymentalnymi. Wykazano, że w zbiorze niezmienniczym D = (R + ) 2, gdzie R + = (0, + ), jeśli istnieje dokładnie jeden dodatni stan stacjonarny, to jest on globalnie stabilny. Podany został także warunek gwarantujący istnienie takiego stanu: ( ) b p [0, 2] lub p > 2 i u > a 3 3 3p 2 p + 2 1 3p 2 3 β ad p 2. 3 Co więcej, wykorzystując regułę znaków Descartesa można pokazać, że układ (1) ma co najwyżej 3 stany stacjonarne, możliwa jest więc tzw. bistabilność. Należy podkreślić, że wnioski płynące z modelu oryginalnego i zmodyfikowanego są różne w modelu Hahnfeldta dostatecznie duża dawka leku zawsze prowadzi do wyleczenia, gdyż przy odpowiedniej dawce leku następuje bifurkacja i dodatni stan stacjonarny przestaje istnieć, co prowadzi do globalnej stabilności rozwiązania zerowego (które leży na brzegu rozpatrywanego obszaru), natomiast w modelu zmodyfikowanym rozwiązanie zerowe nie może być atraktorem, nie ma więc mowy o całkowitym wyleczeniu przy zastosowaniu wyłącznie terapii antyangiogennej, co zgadze się z obserwacjami klinicznymi. Badania numeryczne przeprowadzone zostały dla parametrów wyznaczonych przez Hahnfeldta i in., czyli ε = 0.192, µ = 0, b = 5.85, d = 4.052, a = 1, e = 0.1, β = 1. Całkowita dzienna ilość leku D d zmieniała się w symulacjach, przy czym pojedyncza dawka D = D d /n, gdzie n jest liczbą dawek podawanych każdego dnia. Jeśli z kolei lek podajemy co k dni, to n = 1/k. Należy zauważyć, że dla wybranych wartości parametrów istnieje jeden dodatni stan stacjonarny. W symulacjach porównany został oryginalny model Hahnfeldta z modelem zmodyfikowanym (1) dla p = 1 oraz zachowanie modelu zmodyfikowanego dla różnych wartości p, konkretnie p = 0 i p = 2. Okazuje się, że dla różnych protokołów terapeutycznych jakościowe zachowanie porównywanych modeli jest podobne, występują natomiast różnice ilościowe, więc wybór konkretnego modelu musi następować poprzez porównanie z wynikami eksperymentalnymi. 5

Rozdział piąty poświęcony został próbie zaproponowania optymalnego schematu leczenia w oparciu o model zmodyfikowany z uwzględnionymi różnymi funkcjami inhibicji I(V, K) (Hahnfeldta i in., Erguna i in. i d Onofria i Gandolfiego) opisanymi powyżej, przy czym w modelu (1) zakładamy p = 0. Wyniki dla modelu zmodyfikowanego zostały także porównane z wynikami dla oryginalnego modelu Hahnfeldta. Badane zagadnienie optymalizacji różni się od typowo rozważanych w literaturze. Obok standardowych składników funkcjonału celu opisujących wielkość nowotworu po terapii oraz całkowitą ilość leku podaną w trakcie trwania terapii (czyli w przedziale czasu [0, T]) rozważamy także składnik związany z hipotezą dotyczącą normalizacji siecie naczyniowej. W ujęciu przedstawionym w artykule (2) terapia antyangiogenna ma stanowić uzupełnienie chemioterapii i być podawana w oknach tej zasadniczej terapii. W związku z tym w wyniku terapii antyangiogennej chcemy otrzymać jak najlepszą proporcję objętości naczyń w stosunku do objętości nowotworu. Ostatecznie funkcjonał, który minimalizujemy ma postać: P[u( )] = V(T) k 1 K(T) V(T) + k 2 T 0 u(t)dt, (3) gdzie parametry k 1, k 2 odzwierciedlają swego rodzaju kompromis pomiędzy różnymi celami terapii. Oczywiście ze względu na koszt terapii musimy także uwzględnić ograniczoność całkowitej dawki, więc T u(t)dt A 0 max. Ostatecznym celem jest minimalizacja P[u( )] na zbiorze rozwiązań układu V(t) = εv(t) ln V(t) K(t), l K(t) = µk(t) + S (V(t), K(t)) di(v(t), K(t)), (4) a + u(t) dla ustalonego czasu terapii T, mierzalnych funkcji u : [0, T] [ 0, Ã ] (Ã to maksymalna możliwa do podania dawka leku). Głównym narzędziem zastosowanym do uzyskania wyników analitycznych była zasada minimum Pontriagina. W pracy przedstawione zostały następujące wyniki analityczne. Dla k 1 = k 2 = 0 rozwiązanie optymalne polega na podaniu maksymalnej dawki leku przez cały czas trwania terapii, czyli u (t) Ã. Sterowanie optymalne dla układu (4) kończy się przedziałem (τ, T] wolnym od podawania leku jest to wynik, który nie zależy od funkcji inhibicji I. Do przełączania między przedziałami, w których podawana jest pełna dawka leku oraz gdy leczenie jest wstrzymywane, dochodzi jedynie przy wykorzystaniu sterowań osobliwych. Sterowanie optymalne dla układu (4) w przypadku S (V, K) = K 2/3 oraz I(V, K) = K 4/3 składa się z co najwyżej jednego przedziału ze sterowaniem osobliwym. Sterowanie optymalne dla układu (4) w przypadku S (V, K) = K oraz I(V, K) = KV 2/3 składa się z co najwyżej jednego przedziału ze sterowaniem osobliwym, który poprzedzony jest przedziałem, na którym lek nie jest podawany. W pracy opracowane i zawarte zostały również procedury numeryczne, które służą do wyznaczania optymalnych sterowań w zależności od parametrów modelu. W związku z występowaniem sterowań osobliwych, ich wykorzystanie jest niezbędne w przypadku stosowania modelu przy ewentualnych próbach klinicznych radioterapii łączonej z terapią antyangiogenną. Rozdział szósty poświęcony jest innemu ważnemu zagadnieniu analizie wrażliwości modeli na zaburzenia w wartościach parametrów. Z uwagi na wysoki stopień skomplikowania przeważającej większości modeli biologicznych, integralnym elementem badań nad ich zachowaniem powinno być precyzyjne oszacowanie, jaki wpływ na dynamikę mogą mieć niepewności w przyjętych wartościach parametrów. Ocena wpływu niepewności, zwana analizą wrażliwości, pomaga lepiej zrozumieć zachowanie modelu, zgodność jego przewidywań z rzeczywistym zjawiskiem oraz jak poszczególne 6

elementy modelu wzajemnie ze sobą oddziałują. Wrażliwość układu na nieduże zaburzenia wartości parametrów jest zazwyczaj mierzona poprzez wartości pochodnych cząstkowych rozwiązania, liczonych ze względu na każdy parametr z osobna. Chociaż ten typ analizy dostarcza bezpośredniej informacji o wpływie małego zaburzenia, nie jesteśmy w stanie oszacować wpływu, jaki mogą mieć duże zaburzenia kilku parametrów jednocześnie. Niestety, w typowym przypadku duża część parametrów nie jest dokładnie wyznaczona i ich niedokładność może sięgać nawet kilku rzędów wielkości. W przypadku modeli nie zawierających opóźnień czasowych, jeśli założymy pewien rozkład prawdopodobieństwa dla wartości parametrów, to możemy na przykład numerycznie przybliżyć rozkład rozwiązania w dowolnej chwili. Następnie, korzystając z otrzymanego rozkładu, możemy wyznaczyć pewne statystyki, takie jak średnia czy wariancja. Istnieje kilka matematycznie zaawansowanych metod, które pozwalają zredukować złożoność tego typu obliczeń. Jedną z nich jest metoda FAST (ang. Fourier Amplitude Sensitivity Test). Można ją wykorzystać do wyznaczenia przybliżonego wkładu wariancji w wartościach poszczególnych parametrów do całkowitej wariancji rozwiązania. Wielkość ta, w notacji bayesowskiej, wyrażona jest jako var X [E(Y X)], var(y) gdzie Y oznacza rozwiązanie modelu (zmienną zależną), X określa parametr modelu, E(X Y) oznacza wartość oczekiwaną Y pod warunkiem konkretnej wartości parametru X oraz wariancja var X jest liczona względem wszystkich możliwych wartości parametru. W pracy wykorzystane zostały obie metody, aby w oparciu o rozważane modele angiogenezy nowotworowej odpowiedzieć na pytanie, która z dwóch analizowanych metod leczenia (antynaczyniowe i anytangiogenne) jest mniej wrażliwa na naturalnie występujące różnice pomiędzy pacjentami. Wyniki opublikowane w (1) pokazują, że średnia wielkość nowotworu po zakończeniu terapii jest podobna dla obu leków, jednak to leki antyangiogenne wydają się być bardziej uniwersalne. Bibliografia uzupełniająca 1. A. d Onofrio, A. Gandolfi. Tumour eradication by antiangiogenic therapy: analysis and extensions of the model by Hahnfeldt et al.(1999). Mathematical Biosciences, 191:159 184, 2004. 2. A. d Onofrio, A. Gandolfi. The response to antiangiogenic anticancer drugs that inhibit endothelial cell proliferation. Applied Mathematics and Computation, 181(2):1155 1162, 2006. 3. A. d Onofrio, A. Gandolfi. A family of models of angiogenesis and antiangiogenesis anti-cancer therapy. Mathematical Medicine and Biology, 26(1):63 95, 2009. 4. A. Ergun, K. Camphausen, L. Wein. Optimal scheduling of radiotherapy and angiogenic inhibitors. Bulletin of Mathematical Biology, 65:407 424, 2003. 5. J. Folkman. Tumor angiogenesis: therapeutic implications. New England Journal of Medicine, 18:1182 1184, 1971. 6. J. Folkman. Angiogenesis in cancer, vascular, rheumatoid and other disease. Nature Medicine, 1(1):27 30, 1995. 7. P. Hahnfeldt, D. Panigrahy, J. Folkman, L. Hlatky. Tumor development under angiogenic signaling: a dynamical theory of tumor growth, treatment response, and postvascular dormancy. Cancer Research, 59:4770 4775, 1999. 8. R. K. Jain. Normalization of tumor vasculature: an emerging concept in antiangiogenic therapy. Science, 307:58 62, 2005. 9. R. K. Jain. Taming vessels to treat cancer. Scientific American, 298:56 63, 2008. 7