Prognozowanie liczby pacjentów poradni ortopedycznej

Transkrypt

1 Zeszyty Naukowe Metody analizy danych Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 876 Kraków 2011 Studia Doktoranckie Wydziału Zarządzania Prognozowanie liczby pacjentów poradni ortopedycznej 1. Wprowadzenie W miarę pogarszania się stanu zdrowia społeczeństwa i wzrostu zachorowań pojawia się zwiększone zapotrzebowanie społeczeństwa na świadczenia medyczne. Możliwość łatwego dostępu do lekarzy specjalistów stwarza pacjentom szanse kontynuacji leczenia na poziomie dostosowanym do ich potrzeb zdrowotnych. W związku z powyższym szczególnie ważną rolę odgrywa prognozowanie przyjęć pacjentów w określonym przedziale czasu. Racjonalne planowanie i nadzór nad wizytami w poradni specjalistycznej potrzebny jest nie tylko do poprawy dostępności do lekarzy danej specjalności, ale także pozwoli ustalić oczekiwane przychody i zaplanować zmiany organizacyjne w jednostce. Celem pracy jest pokazanie, jakie problemy pojawić się mogą podczas budowania modelu szeregu czasowego, dobrze oddającego jego przebieg w przeszłości oraz pozwalającego na sformułowanie sensownych prognoz przyjęć pacjentów. Badanie przeprowadzono w poradni ortopedycznej, która wchodzi w skład Samodzielnego Publicznego Zespołu Opieki Zdrowotnej, znajdującego się na terenie województwa małopolskiego. Poradnia świadczy usługi medyczne w ramach umowy podpisanej z Małopolskim Oddziałem Narodowego Funduszu Zdrowia. Zatrudnionych jest w niej siedmiu lekarzy. W badaniach wykorzystano szereg mierzony z częstotliwością jednego dnia powszedniego i odwzorowujący liczbę przyjętych pacjentów przez lekarzy w godzinach pracy poradni. Oczywiście istnieje naturalny związek pomiędzy dzienną liczbą przyjęć pacjentów a dziennym harmonogramem pracy lekarzy.

2 72 W pracy przedstawiono kolejne etapy budowy regresyjnego modelu prognostycznego. W wielu zagadnieniach praktycznych tego typu modele okazują się zadowalająco skuteczne. Oszacowano również model ARIMA oraz zastosowano procedurę wyrównywania wykładniczego. Wszystkie obliczenia i rysunki wykonano w programie STATISTICA ver. 9 (por. [Kot, Jakubowski i Sokołowski 2007]) Liczba porad skorygowana Rys. 1. Wykres skorygowanej liczby porad Oryginalny szereg czasowy obejmował okres od 1 stycznia 2004 r. do 30 października 2009 r. Z szeregu wyodrębniono ostatnie cztery tygodnie i potraktowano je jako zbiór testowy. Jakość prognozy dla tego okresu będzie podstawowym kryterium oceny jakości budowanych modeli prognostycznych. Tydzień w badanym szeregu obejmuje pięć dni roboczych od poniedziałku do piątku. Jeżeli w dni te przypadało święto, to szereg skorygowano w ten sposób, że przyjęto wartość sprzed tygodnia. Jak widać na rys. 1, w rozpatrywanym szeregu wariancja jest niestabilna. Po zlogarytmowaniu wartości empirycznych szereg nadal wykazywał dwa wyraźne

3 Prognozowanie liczby pacjentów Liczba porad Rys. 2. Wykres szeregu empirycznego liczby porad w poradni ortopedycznej podokresy, jeżeli chodzi o rozmiar wariancji. W związku z tym zdecydowano się jako część uczącą dla modeli przyjąć wartości tylko z drugiego okresu. Rozpoczyna się on od 1 listopada 2006 r. Szereg skrócony zawiera 763 obserwacje. Na rys. 2 widać, że tym razem rozsądnie można uznać, iż w badanym okresie wariancja była stabilna. 2. Model regresyjny Analizę rozpoczynamy od poszukiwania ewentualnego trendu. Najpierw do danych dopasowano parabolę. Jednak parametr przy kwadracie zmiennej czasowej nie wykazywał istotności statystycznej (p = 0,2068), co oznacza, że parabola nie jest dobrą funkcją aproksymującą trend w tym zjawisku. Zgodnie z zasadami regresji krokowej zstępującej eliminujemy zmienną t 2 i dopasowujemy trend liniowy.

4 74 Otrzymujemy równanie trendu o postaci: ŷ t = 60, ,0115t. Współczynnik kierunkowy jest istotny statystycznie (p = 0,0009). Średni błąd dopasowania trendu wyniósł 21 pacjentów (dziennie). Trend zilustrowano na rys Liczba porad Rys. 3. Trend liniowy liczby pacjentów Na przedstawionym wykresie widzimy, że liczba porad w badanym okresie rośnie. Nieznaczny trend usprawiedliwia policzenie funkcji autokorelacji na danych oryginalnych, bez różnicowania. Funkcja autokorelacji (rys. 4) wskazuje na występowanie wyraźnych wahań tygodniowych. Przypominamy, że poradnia nie jest czynna w soboty i niedziele. Na wstępie analizy uzupełniono brakujące dane (dni wolne od pracy przypadające w środku tygodnia) poprzez wykorzystanie informacji z poprzedniego tygodnia, z analogicznego dnia. Na przykład dla Bożego Ciała wprowadzono liczbę pacjentów z czwartku poprzedniego tygodnia. Ten zabieg zapewnił stałą długość cyklu tygodniowego.

5 Prognozowanie liczby pacjentów 75 Opóźn. Kor. S.E. Funkcja autokorelacji Q P 1,242,0361 2,126,0361 3,131,0361 4,245, ,809,0360 6,239,0360 7,130,0360 8,120,0360 9,249, ,790, ,245, ,125, ,133, ,236, ,89, ,01, ,22, ,6 0, ,8 0, ,8 0, ,9 0, ,1 0, ,1 0, , 0, , 0, , 0, , 0, , 0,000 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 Rys. 4. Funkcja autokorelacji szeregu oryginalnego Wykres średnich wyraźnie pokazuje, że najwięcej porad udzielanych było we wtorek, a najmniej w poniedziałek. Ta informacja pozwala zbudować model ze zmiennymi zero-jedynkowymi opisującymi dni tygodnia. Wynik estymacji takiego modelu przedstawia tabela 1. Jego średni błąd dopasowania wyniósł ok. 10 pacjentów, zaś współczynnik determinacji 0,764. Rozsądne wydaje się przypuszczenie, że w liczbie udzielanych porad ortopedycznych mogą występować wahania sezonowe. Gdy zastosowano jednoczynnikową analizę wariancji do szeregu pozbawionego trendu liniowego, to okazało się, że średnie odchylenia od trendu liczone dla poszczególnych miesięcy nie wykazują istotnego zróżnicowania (p = 0,608). Można sądzić, że ewentualny cykl roczny został w pewnym sensie przygaszony przez cykl tygodniowy, który w różnych proporcjach wchodził w skład poszczególnych miesięcy. Ponownie zastosowano więc test jednoczynnikowej analizy wariancji, tym razem dla reszt modelu zaprezentowanego w tabeli 1. W tym przypadku hipoteza o równości średnich (reszt)

6 Liczba porad Dzień tygodnia Rys. 5. Wykres średniej liczby porad według dni tygodnia Tabela 1. Wyniki estymacji modelu ze zmiennymi zero-jedynkowymi (skorygowany współczynnik determinacji = 0,764; średni błąd dopasowania = 10,3) Zmienna Współczynnik regresji cząstkowej Wartość p Wyraz wolny 43,69 0,0000 Zmienna czasowa t (w dniach) 0,01 0,0000 Wtorek 51,50 0,0000 Środa 13,70 0,0000 Czwartek 2,86 0,0157 Piątek 13,85 0,0000 Źródło: obliczenia własne. we wszystkich miesiącach została odrzucona (p = 0,0000). Rys. 6 pokazuje kształt czystego cyklu rocznego. Wielkość pudełek w wykresie ramkowym odpowiada błędowi średniemu. Podobne wielkości tych pudełek świadczą o podobieństwie poziomu zmienności w poszczególnych miesiącach.

7 Prognozowanie liczby pacjentów Reszty Miesiąc Rys. 6. Wykres ramkowy reszt modelu z tabeli 1 Tabela 2. Wyniki estymacji modelu ze zmiennymi zero-jedynkowymi oznaczającymi dni tygodnia i miesiące (skorygowany współczynnik determinacji = 0,773; średni błąd dopasowania = 10,1) Zmienna Współczynnik regresji cząstkowej Wartość p Wyraz wolny 37,28 0,0000 Zmienna czasowa t (w dniach) 0,01 0,0000 Wtorek 51,55 0,0000 Środa 13,73 0,0000 Czwartek 2,87 0,0135 Piątek 13,84 0,0000 Styczeń 6,17 0,0005 Luty 6,79 0,0002 Marzec 8,33 0,0000 Kwiecień 5,76 0,0011 Maj 4,31 0,0140 Czerwiec 2,21 0,2105

8 78 cd. tabeli 2 Zmienna Współczynnik regresji cząstkowej Wartość p Sierpień 7,27 0,0000 Wrzesień 5,60 0,0016 Październik 5,87 0,0022 Listopad 8,57 0,0000 Grudzień 7,48 0,0000 Źródło: obliczenia własne. Opóźn. Kor. S.E ,014,027,054,042 +,162 +,012,056 +,007,058 +,109,004,035,040 +,001 +,079,046,035,061 +,013 +,039 +,032,034,011,011 +,094 +,020 +,002,021 +,013 +,066,0361,0361,0361,0361,0360,0360,0360,0360,0359,0359,0359,0359,0358,0358,0358,0358,0358,0357,0357,0357,0357,0356,0356,0356,0356,0355,0355, ,0354 Funkcja autokorelacji Q,15,72 2,99 4,34 24,64 24,74 27,15 27,19 29,78 39,07 39,08 40,05 41,29 41,29 46,16 47,85 48,82 51,76 51,88 53,10 53,90 54,83 54,93 55,02 62,00 62,33 62,33 62,66 62,79 66,24 P,6987,6971,3929,3918,0002,0004,0003,0007,0005,0000,0002,0000,0002,0003,0002,0003,0002 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 Rys. 7. Funkcja autokorelacji reszt modelu ze zmiennymi zero-jedynkowymi opisującymi cykle tygodniowy i roczny Powyższe wyniki upoważniają do poszerzenia modelu regresyjnego o zmienne zero-jedynkowe oznaczające miesiące. Jako punkt odniesienia wybrano miesiąc

9 Prognozowanie liczby pacjentów 79 z najmniejszą liczbą porad, czyli lipiec. Taki model ma postać zaprezentowaną w tabeli 2. Funkcja autokorelacji reszt powyższego modelu wskazuje, że w przebiegu reszt mamy istotną autokorelację dla opóźnienia pięciodniowego (w naszych danych jest to tydzień) i jego niektórych wielokrotności (rys. 7). Tabela 3. Wyniki estymacji modelu autoregresji reszt (średni błąd dopasowania = 9,76) Opóźnienie reszt Współczynnik autoregresji cząstkowej Wartość p 5 dni 0, dni 0, , dni 0, ,0172 Źródło: obliczenia własne Liczba obserwacji Rys. 8. Rozkład reszt ostatecznego modelu regresyjnego Wartości funkcji autokorelacji przekraczające wartości krytyczne wskazują na potencjalne opóźnienia reszt, które należy uwzględnić w modelu autokorelacji reszt. Po zastosowaniu procedury regresji krokowej uzyskano model przedsta-

10 80 wiony w tabeli 3. Zauważmy, że model ten nie ma wyrazu wolnego. W związku z tym, że model podstawowy szacowany był metodą najmniejszych kwadratów, wartość przeciętna reszt jest równa zero. Stąd model autoregresji reszt pozbawiony jest wyrazu wolnego. Ostateczny prognostyczny model regresyjny otrzymujemy, dodając wartości teoretyczne modelu ze zmiennymi zero-jedynkowymi oraz wartości teoretyczne modelu autoregresji reszt. Reszty takiego modelu nie wykazują już autokorelacji, a ich rozkład bardzo dobrze pasuje do rozkładu normalnego (rys. 8). 3. Model ARIMA W toku budowy modelu regresyjnego stwierdzono występowanie cyklu tygodniowego oraz cyklu rocznego. W znakomitej większości programów komputerowych estymacja modeli ARIMA pozwala uwzględnić tylko jeden komponent sezonowy. Pewnym wyjściem jest wymnożenie przez siebie okresów składowych harmonicznych i utworzenie nowego okresu. W naszym zagadnieniu tego podejścia nie można zastosować ze względu na posiadaną długość szeregu. Zdecydowano się więc uwzględnić tylko cykl tygodniowy, licząc, że parametry modelu umożliwią jego wędrówkę po cyklu rocznym. W pierwszej kolejności wyeliminowano dwie składowe systematyczne, czyli trend liniowy i wahania tygodniowe. W tym celu poddano szereg jednokrotnemu różnicowaniu o opóźnieniu 1 oraz jednokrotnym różnicowaniu o opóźnieniu 5. Następnie metodą prób i błędów, z weryfikacją istotności parametrów modelu oraz autokorelacji reszt poszukiwano najbardziej odpowiedniego modelu. Przyjął on postać przedstawioną w tabeli 4. Funkcja autokorelacji reszt wskazuje, że model ARIMA dobrze uwzględnił składniki szeregu możliwe do opisania, a to, co pozostało, jest komponentem czysto losowym. Histogram reszt, którego tu nie przytaczamy, zdecydowanie przemawia za normalnością składnika losowego. Tabela 4. Wyniki estymacji modelu ARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1), średni błąd dopasowania = 11,12 Parametr Współczynnik Wartość p Niesezonowej średniej ruchowej q (1) 0, ,0000 Sezonowej średniej ruchomej Q s (1) 0, ,0000 Źródło: obliczenia własne.

11 Prognozowanie liczby pacjentów 81 Opóźn. Kor. S.E. 1,005,0363 2,021,0362 3,049,0362 4,012, ,013, ,061,0362 7,032, ,049,0361 9,013, ,005, ,051, ,004, ,009, ,055,0360 Funkcja autokorelacji Liczba porad: ARIMA (0, 1, 1)(0, 1, 1) reszty Q P,02,8863,34,8424 2,14,5434 2,25,6907 2,38,7943 5,24,5133 6,03,5366 7,84,4497 7,96,5384 7,98, ,00, ,02, ,08, ,38, ,002, ,38,6501 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 Rys. 9. Funkcja autokorelacji reszt modelu ARIMA 4. Wyrównywanie wykładnicze W związku z informacjami o strukturze analizowanego szeregu uzyskanymi z poprzednich analiz wybrano model wyrównywania wykładniczego trendem liniowym i addytywnym składnikiem sezonowości o okresie 5. Znaleziono optymalne wartości parametrów modelu na drodze przeszukiwania wszystkich możliwości z przedziału [0, 1], ze skokiem 0,001. Podstawowy parametr wyrównywania wykładniczego alfa wyniósł 0,025, natomiast parametr wygładzający wahania okresowe delta przyjął wartość 0,078. Reszty modelu podlegały rozkładowi normalnemu. Średni błąd dopasowania dla okresu testowego wyniósł 10,16. Model ten okazał się lepiej dopasowany niż model ARIMA, ale gorzej niż model regresyjny.

12 82 5. Porównanie prognoz Prognozy porównano z wartościami rzeczywistymi dla okresu testowego obejmującego cztery pięciodniowe tygodnie. Na rys. 10 przedstawiono prognozy trzech modeli i wartości zaobserwowane. Wszystkie modele na ogół poprawnie zaprognozowały przebieg szeregu, szczególnie dużą liczbę pacjentów, jaką obserwuje się we wtorek. W analizowanym okresie było też kilka takich dni, w których wszystkie modele prognozowały wartości za niskie lub za wysokie w stosunku do rzeczywistości Zbiór testowy Model regresyjny ostateczny ARIMA WyrWykł Rys. 10. Porównanie prognoz z wartościami rzeczywistymi W tabeli 5 pokazano ogólne charakterystyki ex-post uzyskiwanych modeli prognostycznych. Średni błąd standardowy jest w zasadzie podobny dla wszystkich modeli. Myliliśmy się średnio o 9 pacjentów, interpretując wyniki z nadmiarem. Stosunkowo duże wartości średniego absolutnego błędu procentowego wynikają stąd, że zależą one też od podstawy odniesienia. Dla wtorków błędy były dwukrotnie mniejsze od średniej. Ogólnie wynik porównywania prognoz z wartościami rzeczywistymi

13 Prognozowanie liczby pacjentów 83 jest nieco zaskakujący. Najlepszy okazał się model wyrównywania wykładniczego, mimo że w okresie uczącym miał gorszą dobroć dopasowania niż model regresyjny. Świadczy to o konieczności weryfikowania modeli prognostycznych na okresach testowych. Dobroć dopasowania modelu w okresie uczącym niekoniecznie musi skutkować jego dobrą jakością prognostyczną. Tabela 5. Błędy prognoz dla okresu testowego Model prognostyczny Największe niedoszacowanie liczby pacjentów Największe przeszacowanie liczby pacjentów Średni błąd standardowy Średni absolutny błąd procentowy Regresja ,37 12,30% ARIMA ,79 13,67% Wyrównywanie wykładnicze ,17 11,43% Źródło: obliczenia własne. W zakresie rozważanego problemu merytorycznego można twierdzić, że w kształtowaniu się liczby pacjentów w analizowanej poradni ortopedycznej obserwuje się występowanie istotnego trendu liniowego, wahań tygodniowych oraz wahań rocznych. Wydaje się, że stosunkowo duże znaczenie ma również składnik losowy. Pokazane modele prognostyczne pozwalają przewidywać dzienną liczbę pacjentów w horyzoncie miesięcznym ze średnim błędem 9 osób. Literatura Kot S.M., Jakubowski J., Sokołowski A. [2007], Statystyka, Centrum Doradztwa i Informacji Difin, Warszawa. Predicting the Number of Orthopedic Clinic Patients The paper analyses a time series of the daily number of patients visiting an orthopedics clinic. A learning set was chosen to ensure the homogeneity of series variance and three forecasting models were built. The regression model consists of the linear trend, dummy variables describing weekly and yearly seasonal components and the auto-regression of the residuals. ARIMA, with non-seasonal and seasonal differencing, contains only the components of the first order moving average. The exponential smoothing model covers the linear trend and weekly harmonic component. The residuals from all three models very closely follow normal distribution. Forecasts have been compared with actual data for a monthly test period and all models allow us to forecast the number of patients, with a mean square error of 9 people. Exponential smoothing appears to have the lowest MAPE for the test period.