Krzysztof Hansen Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym. Filozofia Nauki 19/2, 85-97
|
|
- Iwona Skowrońska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Krzysztof Hansen Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym Filozofia Nauki 19/2,
2 Filozofia Nauki Rok XIX, 2011, Nr 2(74) Krzysztof Hansen Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym Celem niniejszego artykułu jest analiza argumentu Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym, przedstawienie wybranych sposobów obalenia tego argumentu oraz wskazanie, gdzie tkwi błąd w oryginalnej wersji rozumowania Ungera NIHILIZM MEREOLOGICZNY W swoich wczesnych tekstach Peter Unger argumentuje za pewną wersją stanowiska określanego w literaturze jako nihilizm mereologiczny. 2 Zgodnie z tą koncepcją jedynymi istniejącymi przedmiotami są cząstki elementarne. 3 Podstawowe różnice między nihilizmem Ungera a innymi odmianami nihilizmu są następujące: (i) Unger nie stara się w jakikolwiek sposób złagodzić nieintuicyjnych konsekwencji swojego stanowiska na przykład nie próbuje mówić za van Inwagenem o odpowiednio zaaranżowanych cząstkach elementarnych. 4 Unger nie chce pogodzić nihilizmu z naszymi zdroworozsądkowymi intuicjami. Zamiast tego pokazuje, że powinniśmy odrzucić lub zmodyfikować nasze przekonania na temat obiektów makroskopowych. 5 1 Odnoszę się tu jedynie do wczesnych poglądów Petera Ungera. Obecnie Unger zdaje się odrzucać nihilizm mereologiczny por. (Unger 2004, s ; 2006, s ). 2 Zwolennikami nihilizmu mereologicznego są także: (Cameron 2006), (Sider 2010), (Dorr 2002). Za umiarkowaną odmianą nihilizmu opowiadają się (van Inwagen 1990, s ) oraz (Mericks 2001, s. 1-53). 3 Por. (Unger 1979a, s. 122, 150). 4 Por. (van Inwagen 1990, s ). 5 Por. (Unger 1979a, s. 149).
3 86 Krzysztof Hansen (ii) Unger w odróżnieniu od innych zwolenników nihilizmu uznaje istnienie pewnych mikroskopowych przedmiotów złożonych. 6 Nihilizm mereologiczny jest jednym ze stanowisk w sporze o odpowiedź na sformułowane przez van Inwagena szczególne pytanie o kompozycję. Szczególne pytanie o kompozycję: jakie konieczne i wystarczające warunki muszą spełniać określone przedmioty, aby mógł istnieć obiekt składający się z tych przedmiotów? 7 Główną zaletą nihilizmu jest jego prostota i elegancja. 8 Ponadto nihilizm pozwala uniknąć argumentu z nieostrości Davida Lewisa. 9 Zwykle uważa się także, że na gruncie nihilizmu można rozwiązać (na zasadzie eliminacji) wiele klasycznych problemów i paradoksów ontologicznych takich jak: statek Tezeusza, kot Tibbles, kolumna Zygmunta, problem identyczności w czasie. 10 Jeżeli na przykład nie istnieje i nie może istnieć statek Tezeusza, to nie ma również żadnego paradoksu związanego ze statkiem Tezeusza. Oczywiście nihilizm ma również wiele poważnych wad, z których największą jest niezgodność tego stanowiska z potocznymi intuicjami na temat faktów kompozycyjnych. Zasadnicza teza nihilizmu głosi, że przedmioty potocznego doświadczenia samochody, budynki, komputery, telewizory nie istnieją. Co oznacza, że jest to tak ontologicznie ubogie stanowisko, że nie jest ono w stanie zadowolić naszych zdroworozsądkowych intuicji dotyczących obiektów makroskopowych. Jeżeli uznamy za Ungerem skrajny nihilizm, to musimy stawić czoła konkretnej wersji przedstawionej powyżej trudności musimy przyjąć, że nie ma takich przedmiotów jak organizmy. Unger przedstawia argument za tym, że on sam, a także wszyscy inni ludzie nie istnieją. 11 Jeżeli jednak uznamy tak skrajną tezę, to stajemy przed szeregiem poważnych problemów, z których Unger zdawał sobie sprawę, ale pomimo ich doniosłości nie poświęcał im zbyt dużej uwagi. 12 Najprostszym sposobem na złagodzenie tych kuriozalnych konsekwencji nihilizmu byłoby uznanie, że co prawda nasze ciała nie istnieją, ale my nie jesteśmy identyczni z naszymi ciałami, 6 Por. (Unger 1979a, s. 150). 7 Por. (van Inwagen 1990, s ), (Markosian 2005, s. 2-3), (Grygianiec 2007, s ). 8 Por. (Markosian 2005, s. 8). 9 Według Lewisa, jeśli uznamy, że istnieją pewne restrykcje kompozycji, to zgodnie z naszymi intuicjami musimy przyjąć, że restrykcje te są nieostre. Jednak nieostre restrykcje dopuszczają takie nieprawdopodobne przypadki, w których nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy kompozycja zachodzi, czy nie por. (Lewis 1986, s ). Oczywiście zgodnie z nihilizmem kompozycja nigdy nie zachodzi, tak więc nie istnieją żadne restrykcje kompozycji, które mogłyby być nieostre. 10 Por. np. (Markosian 2005, s. 8). Opis wymienionych problemów można znaleźć w (Grygianiec 2007, s ). 11 Por. (Unger 1979c, s. 238). 12 Por. (Unger 1979c, s ).
4 Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym 87 lecz z duszami lub pewnymi obiektami prostymi. 13 sprzeciwiał się takim rozwiązaniom. 14 Unger jednak zdecydowanie 2. ARGUMENT Z RÓWNI POCHYŁEJ W swoich pracach Unger nie rozwija ontologii nihilistycznej, ale koncentruje się na swoim sławnym argumencie mającym świadczyć na rzecz nihilizmu, określanym w literaturze jako argument z równi pochyłej (Sorites of decomposition by minute removals). 15 Argument z równi pochyłej (AR) ma postać dowodu nie wprost Unger sprowadza do absurdu założenie, zgodnie z którym makroskopowe przedmioty codziennego doświadczenia istnieją. Choć Unger prezentował swój argument jako wyzwanie dla filozofów, to on sam był całkowicie przekonany o ogromnej sile AR i niezaprzeczalnej prawdziwości konsekwencji tego argumentu: The more I reflect upon them, the more I become convinced of their essential truth, or justice, for any errors I ever find are superficial mistakes, requiring at most only minor changes in formulation. 16 Spróbujmy teraz zrekonstruować argument Ungera. Załóżmy, że istnieje przynajmniej jeden stół. Według naszej współczesnej wiedzy naukowej każdy stół składa się z ogromnej, lecz skończonej liczby atomów, tj. każdy stół jest komponowany przez określony zbiór n atomów. 17 Jeżeli ze zbioru n cząstek składających się na stół odejmiemy (tak delikatnie jak to tylko możliwe) jeden atom lub kilka atomów, to nie wpłynie to na istnienie stołu po odjęciu jednego atomu stół nie zniknie ani nie zamieni się w łosia. W ten sam sposób możemy odjąć kolejny atom i kolejny i nigdy nie wpłynie to na istnienie stołu. Jednakże każdy przedmiot składa się ze skończonej liczby atomów, co oznacza, że po odjęciu powiedzmy biliona atomów otrzymamy stół, który składa się z zerowej liczby atomów. Jednak tam gdzie nie ma atomów, nie może być również stołu. Tak więc (według Ungera) teza, zgodnie z którą stoły istnieją, została sprowadzona do absurdu. Przedstawmy argument Ungera w czytelniejszej postaci: (1) Istnieje przynajmniej jeden stół. (2) Każdy stół składa się ze skończonej liczby atomów, tj. każdy stół jest komponowany przez określony zbiór n atomów. 13 Na temat dualizmu por. (Olson 2007, s ). Za ontyczną prostotą osób argumentował (Chisolm 1989, s ), a także (Lowe 2000; 2001). Na ten temat por. również (Grygianiec 2007, s ), Olson (2007, s ). 14 Por. (Unger 1979c, s. 245); (Unger 1990, s. 297). 15 Por. (Grygianiec 2007, s ). 16 Por. (Unger 1979c, s. 236). 17 Chodzi tu oczywiście o kompozycję mereologiczną por. (Grygianiec 2007, s ).
5 88 Krzysztof Hansen (3) Nie może istnieć stół, który nie jest złożony z atomów tam gdzie nie ma atomów, nie może być również stołu. (4) Jeżeli ze zbioru atomów składających się na stół odejmiemy (tak delikatnie jak to tylko możliwe) jeden atom lub kilka atomów, to nie wpłynie to na istnienie stołu. Jeżeli zbiór n atomów komponuje stół, to zbiór n-1 cząstek jest równie dobrym kandydatem na zbiór, którego elementy komponują stół. (5) Po serii operacji opisanych w punkcie (4) otrzymamy stół składający się z zerowej liczby atomów. 18 Oczywiście AR ma formę dowodu nie wprost, tak więc jego poprawność nie wymaga istnienia stołu. Przedstawione powyżej przesłanki tworzą zbiór sprzeczny, a jedynym sposobem (według Ungera) na usunięcie tej sprzeczności jest odrzucenie pierwszej przesłanki, tj. zanegowanie istnienia przedmiotów takich jak stoły. W ten sam sposób Unger pokazuje, że on sam nie istnieje i nie może istnieć. Przyjęcie tezy o istnieniu Petera Ungera prowadzi do sprzeczności. (1) Peter Unger istnieje. (2) Przedmiot będący Peterem Ungerem składa się ze skończonej liczby komórek, tj. określony zbiór n komórek komponuje Petera Ungera. (3) Gdzie nie ma komórek, tam nie może być Petera Ungera. (4) Jeżeli ze zbioru komórek składających się na Petera Ungera odejmiemy jedną lub kilka komórek (tak delikatnie jak to tylko możliwe), to nie wpłynie to na istnienie Petera Ungera. (5) Po serii operacji opisanych w punkcie (4), Peter Unger będzie się składał z zerowej liczby komórek. 19 Podobnie jak w poprzednim rozumowaniu otrzymaliśmy zbiór sprzeczny, a jedynym sposobem na usunięcie tej sprzeczności jest odrzucenie pierwszej przesłanki. 20 Zanim przejdziemy do przedstawienia innych wersji AR i analizy różnych sposobów obalenia tego argumentu, należy poczynić pewne uwagi wyjaśniające związane z pierwotnym sformułowaniem AR. Wyrażenie: tak delikatnie jak to tylko możliwe wydaje się niejasne. Dlatego Unger stara się sprecyzować, jak dokładnie usunięcie atomu powinno wyglądać: 21 (i) Atom musi być usunięty całkowicie, tj. usunięty atom nie może zostać niczym zastąpiony. (ii) Usunięcie atomu musi zostać przeprowadzone w tak ostrożny i niemający wpływu na pozostałe cząstki sposób, jak to tylko możliwe powinniśmy na przykład usunąć atom umieszczony na zewnętrznej pozycji skupiska cząstek. 18 Por. (Unger 1979a, s. 120). 19 Por. (Unger 1979c, s. 238). 20 Oczywiście argument skierowany przeciwko organizmom porusza wiele kwestii niezwiązanych z poprzednią wersją AR, takich jak życie czy świadomość por. (Unger 1979c, s ). 21 Por. (Unger 1979a, s. 124).
6 Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym 89 (iii) Usunięcie atomu powinno odbyć się w taki sposób, który ma jak najmniejszy wpływ na czynniki takie jak: ciśnienie, temperatura, magnetyzm itd. (iv) Jeżeli nie możemy usunąć pojedynczego atomu, to powinniśmy usunąć tak mało atomów, jak to możliwe. Unger korzysta z pojęcia atomu, ale AR nie wymaga istnienia ani atomów, ani jakichkolwiek cząstek elementarnych. 22 Argument Ungera będzie poprawny, nawet jeśli odrzucimy tezę, zgodnie z którą wszędzie tam, gdzie są obecne przedmioty makroskopowe, muszą również być cząstki elementarne. Moglibyśmy zrezygnować z pojęcia atomu i mówić o delikatnym usuwaniu drobin pyłu z odpowiednich przedmiotów. Zauważmy, że w drugim sformułowaniu AR Unger mówi o usuwaniu komórek a nie atomów czy cząstek elementarnych. Argument Ungera pozostałby poprawny, nawet jeżeli przyjęlibyśmy, że świat wypełnia jednorodna substancja, której modyfikacje są niezręcznie określane jako cząstki elementarne. Tak więc, aby skonstruować argument w stylu Ungera wystarczy przyjąć, że dla każdego złożonego przedmiotu makroskopowego istnieje przynajmniej jeden sposób na usunięcie bardzo małej części tego przedmiotu, tak aby nie wpłynęło to na istnienie tego obiektu. Zauważmy, że argument Ungera opisuje okoliczności, które moglibyśmy określić jako idealne. Na przykład jest wątpliwe, czy możemy usunąć pojedynczy atom lub komórkę w taki sposób, jaki został opisany powyżej. 23 Jednak nie sądzę, by była to istotna trudność. Zawsze możemy przyjąć, że AR ma formę eksperymentu myślowego. AR pokazuje nam, że nie ma takich makroskopowych obiektów jak stoły czy kamienie, ale z argumentu tego nie wynika, że nie istnieją żadne obiekty fizyczne. 24 Argument Ungera pozwala nam uznać istnienie wielu przedmiotów fizycznych, jednak żaden taki obiekt nie będzie nigdy stołem, planetą lub słoniem. Innymi słowy, zgodnie z AR nie ma żadnych przedmiotów makroskopowych, ale mogą istnieć przynajmniej pewne cząstki elementarne oraz atomy gdybyśmy usunęli pojedynczą cząstkę wchodzącą w skład atomu, to zgodnie z naszą dzisiejszą wiedzą przestałby on istnieć. Zauważmy, że pomimo tego, iż stanowisko Ungera jest zwykle przedstawiane jako nihilizm skrajny, to tak naprawdę Unger przyjmował silną odmianę nihilizmu umiarkowanego kompozycja nie może zachodzić na poziomie makroskopowym, ale fakty kompozycyjne (przynajmniej niektóre) mogą wystąpić na poziomie mikroskopowym. Na przykład pewne cząstki elementarne mogą komponować atom. Ponadto zgodnie z AR na poziomie makroskopowym nie istnieją przedmioty takie jak zdarzenia, procesy czy stany rzeczy oraz wszelkie inne obiekty związane z przedmiotami makroskopowymi. 25 Jeżeli przyjmiemy, że erupcja wulkanu jest zdarzeniem, to musimy się zgodzić, że do wystąpienia tego zdarzenia wymagane jest 22 Por. (Unger 1979a, s. 122); (Unger 1979c, s. 240). 23 Por. (Unger 1979c, s. 239). 24 Por. (Unger 1979a, s. 150). 25 Por. (Unger 1979a, s. 151).
7 90 Krzysztof Hansen istnienie wulkanu. Jednakże zgodnie z AR przedmioty takie jak wulkany nie istnieją, a więc zdarzenie będące erupcją wulkanu nie może nigdy wystąpić. Oczywiście mogą istnieć pewne mikroskopowe zdarzenia, procesy i stany rzeczy, ponieważ na gruncie nihilizmu Ungera cząstki elementarne istnieją, co oznacza, że mogą one wchodzić w skład zdarzeń i innych podobnych obiektów. Argument Ungera jest współczesną odmianą starożytnego paradoksu stosu sformułowanego wraz z paradoksem kłamcy przez megaryjskiego myśliciela Eubulidesa. 26 Paradoks stosu oparty jest na nieostrości pojęcia stos ile ziaren pszenicy, grochu lub ryżu potrzeba, aby utworzył się stos. Jedno ziarno pszenicy nie tworzy stosu, dwa też nie. Czy milion ziaren wystarczy do utworzenia stosu? Unger sugeruje, że jednym ze sposobów odparcia AR byłoby uznanie, że argument ten ma formę paradoksu, co oznacza, że nie możemy wyprowadzić z niego żadnych wniosków. Można odnieść wrażenie, że Unger uznaje paradoksy za pewnego rodzaju łamigłówki logiczne, które nie mogą być wykorzystane jako argumenty filozoficzne. 27 Należy poczynić pewne dodatkowe uwagi na temat możliwości niewłaściwej interpretacji argumentu Ungera: 28 (i) Można by dojść do wniosku, że AR dotyczy jedynie słów (tj. odniesienia pewnych wyrażeń), ale nie przedmiotów. Naturalnie AR dotyczy słów, ponieważ pokazuje, że (co najmniej) duża część naszych słów nie posiada odniesienia. Jeżeli jednak nasze słowa nazywające przedmioty makroskopowe nie mogą się odnosić do czegokolwiek rzeczywistego, to nie mogą istnieć żadne obiekty, które mogłyby być desygnowane przez te słowa. A zatem AR różni się od problemów czysto językowych, które dotyczą jedynie słów. (ii) Analizując argument Ungera, można dojść do błędnego przekonania, że dotyczy on rodzajów, ale nie ich instancji. 29 Oczywiście AR dotyczy rodzajów, ponieważ pokazuje, że wiele z nich nie może być egzemplifikowanych. Jeżeli jednak zgodzimy się z tą tezą, to musimy uznać, że wszystkie przedmioty będące instancjami tych rodzajów nie istnieją. Dlatego AR dotyczy zarówno rodzajów, jak i ich instancji. Unger sformułował również trzy inne wersje swojego argumentu, choć żadna z nich nie jest tak efektywna jak AR. Argument z cięcia i niszczenia (The Sorites of Slicing and Grinding) 30 Załóżmy, że istnieje przynajmniej jedna deska. Każdą deskę można podzielić na równe części, powiedzmy na pięć fragmentów. Przyjmijmy teraz, że mamy przed sobą trzydziestocentymetrową drewnianą deskę. Jeżeli od takiej deski odetniemy pię- 26 Por. (Unger 1979a, s. 118; Unger 1979c, s ). 27 Por. (Unger 1979a, s ). 28 Por. (Unger 1979a, s ). 29 Por. (Unger 1979a, s. 148). 30 Por. (Unger 1979a, s. 132).
8 Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym 91 ciocentymetrowy kawałek i całkowicie go zniszczymy, to uzyskany w ten sposób przedmiot wciąż będzie deską po stracie takiej części deska nie przestanie istnieć. Jeżeli znów usuniemy pięciocentymetrowy kawałek, to deska wciąż nie przestanie istnieć. Jednak po serii takich operacji otrzymamy deskę mierzącą jedynie pięć centymetrów. Oczywiście jeżeli raz jeszcze odejmiemy pięciocentymetrowy kawałek, to deska przestanie istnieć. Zauważmy jednak, że zawsze możemy usunąć mniejszy kawałek, na przykład jednocentymetrowy odcinek deski. Po pewnym czasie znów otrzymamy jednocentymetrową deskę, ale tym razem możemy odjąć kawałek długości jednego milimetra. Tak więc zawsze będziemy mieli możliwość usunięcia bardzo małej części danego przedmiotu tak, aby nie wpłynęło to na istnienie tego przedmiotu. Jednakże musimy odpowiedzieć na pytanie: w którym momencie deska przestała istnieć? Unger twierdzi, że nigdy nie przestała, ponieważ już na samym początku nie było żadnej deski. Argument z cięcia i rozdzielania (The Sorites of Cutting and Separating) 31 Jeżeli przetniemy stół na dwie równe części, to wciąż będziemy mieli do czynienia ze stołem, nawet jeśli obydwie części będą oddalone od siebie o wiele setek kilometrów. Unger twierdzi, że zgodnie ze zdroworozsądkowymi intuicjami moglibyśmy jedną połówkę stołu dostarczyć do Tokio, a drugą do Kairu, a mimo to mielibyśmy do czynienia ze stołem. Ponadto żadna operacja polegająca na cięciu i separowaniu części stołu nie może spowodować, że stół przestanie istnieć. Jednakże po serii takich operacji otrzymamy stół złożony z drobinek pyłu lub nawet atomów rozsianych po całym układzie słonecznym. Jednak w takiej sytuacji nie będziemy już mieli do czynienia ze stołem: stół przestanie istnieć. Tak więc raz jeszcze sprowadziliśmy założenie o istnieniu przedmiotów makroskopowych do absurdu. Argument z akumulacji (The Sorites of Accumulation) 32 Argument Ungera można sformułować jako dowód wprost i nie wprost, w formie bardziej zbliżonej do oryginalnego paradoksu Eubulidesa. (1) Dowód nie wprost: Załóżmy, że istnieje co najmniej jeden stół. Jeżeli do zbioru cząstek składających się na stół dodamy jeden atom (tak delikatnie jak to tylko możliwe), to nie wpłynie to na istnienie stołu. Jednak po serii takich operacji powiększania otrzymamy ogromny obiekt, większy od bloku mieszkalnego, który na pewno nie będzie już stołem. (2) Dowód wprost: Jeżeli w pustym regionie przestrzeni umieścimy jeden atom, to na pewno nie uzyskamy stołu. Dodając jeden atom do czegoś, co nie jest 31 Por. (Unger 1979a, s. 137). 32 Por. (Unger 1979a, s ).
9 92 Krzysztof Hansen stołem, również nie otrzymamy stołu. Pojedynczy atom nie może wpłynąć na istnienie stołu, a zatem musimy uznać, że ile byśmy nie dodali cząstek do naszego początkowego atomu, to i tak nie otrzymalibyśmy stołu. 3. SPOSOBY OBALENIA ARGUMENTU Z RÓWNI POCHYŁEJ Przejdźmy teraz do różnych sposobów obalenia argumentu Ungera. Najprostszym sposobem odparcia AR jest przyjęcie esencjalizmu mereologicznego, tj. uznanie, że przedmioty posiadają swoje części z konieczności. 33 Oznacza to, że usunięcie nawet najmniejszej części złożonego przedmiotu jest niemożliwe. Po utracie choćby najmniejszej części przedmiot przestanie istnieć. Niestety esencjalizm mereologiczny jest równie niezgodny ze zdroworozsądkowymi intuicjami co nihilizm mereologiczny. Z drugiej strony zazwyczaj uważa się, że jedynym sposobem na rozwiązanie klasycznych problemów i paradoksów ontologicznych jest przyjęcie pewnej skrajnej i nieintuicyjnej ontologii, co oznacza, że esencjalizm mereologiczny pozostaje pewną propozycją wartą rozważenia. Unger formułując swój argument, przyjął pewne reguły wnioskowania. Dlatego kolejnym sposobem obalenia AR jest uznanie, że logika zastosowana przez Ungera jest błędna gdybyśmy przyjęli inną logikę, to AR nie mógłby zostać przeprowadzony. Unger odpowiada na taki zarzut, odwołując się do pluralizmu logicznego możemy dobrać taki aparat logiczny, jaki jest nam akurat potrzebny, tak jak możemy używać różnych młotków i śrubokrętów zależnie od potrzeby. 34 Zatem żadne dobre rozumowanie nie może zostać zamrożone w systemie logicznym. Niezależnie od mojej opinii na poglądy Ungera na ten temat, uważam, że nie ma żadnej potrzeby odwoływania się do logik nieklasycznych, by pokazać, że AR jest błędny. Unger rozważa także możliwość zablokowania AR przez odwołanie się do logik wielowartościowych i logiki nieostrości (logic of vagueness), co pokazuje jak mocno wierzył on w nieodpartą siłę swojego argumentu. 35 Inną drogą odparcia argumentu Ungera jest odwołanie się za Georgem E. Moorem do zdrowego rozsądku, czyli uznanie, że powinniśmy przedkładać koncepcje zgodne ze zdrowym rozsądkiem nad stanowiska niespełniające tego warunku. Innymi słowy możemy być bardziej pewni istnienia stołów i kamieni niż jakiegokolwiek rozumowania przedstawionego przez Ungera. Zatem w argumencie Ungera musi być błąd, nawet jeżeli nie jesteśmy w stanie wskazać gdzie. Uważam, że zdrowy rozsądek jest bardzo niejasnym i nieostrym pojęciem. Czym tak naprawdę jest zdrowy rozsądek? Nie możemy przyjąć, że na zdrowy roz- 33 Szczegółową analizę esencjalizmu mereologicznego można znaleźć w (Grygianiec 2005; 2007, s ), (Chisholm 1973; 1975). 34 Por. (Unger 1979c, s. 239). 35 Por. (Unger 1979a, s ). Próbę stworzenia logiki nieostrości podjął David Sanford por. (Sanford 1975, s. 29).
10 Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym 93 sądek składają się wszystkie przekonania w pełni akceptowane przez każdy kompetentny podmiot poznawczy, ponieważ niektóre przekonania uważane dziś za zdroworozsądkowe były całkowicie odrzucane powiedzmy pięćset lat temu. To co jest zdroworozsądkowe dla fizyka, może być kuriozalne dla osoby, która nie miała nigdy styczności z nauką. Spróbujmy zmodyfikować naszą początkową definicję i uznać, że przekonania zdroworozsądkowe to najbardziej podstawowe i trywialne przekonania uznawane przez każdy kompetentny podmiot poznawczy. Wciąż jednak definicja taka będzie niepoprawna, na przykład dawniej każdy kompetentny podmiot poznawczy uznałby, że takim najbardziej podstawowym i trywialnym przekonaniem jest przeświadczenie o płaskim kształcie Ziemi. Dzisiaj jednak wiemy, że nie tylko przekonanie to nie jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem, ale w dodatku jest trywialnie fałszywe. Możliwe, że za pięćset lat pewne nasze przekonania, uważane dzisiaj za zdroworozsądkowe, zostaną odrzucone i uznane za trywialnie fałszywe. Dlatego twierdzę, że niezgodność ze zdrowym rozsądkiem może być wadą (nawet poważną wadą) stanowiska filozoficznego, ale nie może stanowić kontrargumentu przemawiającego za odrzuceniem danej koncepcji. Zauważmy jeszcze, że z jednej strony Unger bardzo często powołuje się na zdrowy rozsądek (na przykład czwarta przesłanka AR jest przedstawiona jako oparta na zdroworozsądkowych intuicjach), jednak z drugiej strony wydaje się, że Unger całkowicie odrzuca zdrowy rozsądek jako błędny i mylący. 36 AR można obalić w pewien dość egzotyczny sposób. Zauważmy, że zgodnie z argumentem Ungera nie istnieje ani nauka, ani zdrowy rozsądek. Jednak przesłanki (2), (3) i (4), nawet jeśli nie zakładają żadnej konkretnej teorii fizycznej, to jednak są oparte na nauce i zdrowym rozsądku. Jednakże AR pokazuje nam, że cała nasza nauka (może z wyjątkiem fizyki cząstek) zajmuje się w najlepszym wypadku fikcjami. Co więcej, jeżeli ludzie nie istnieją, to zarówno nauka, jak i zdrowy rozsądek nie mogły nigdy powstać. Jeżeli jednak nie możemy się powołać ani na naukę, ani na zdrowy rozsądek, to czy jesteśmy w stanie uzasadnić przesłanki (2), (3) i (4)? Zauważmy również, że Unger próbuje udowodnić, że on sam nie istnieje. Jeżeli jednak Peter Unger nie istnieje, to nie mógł on sformułować swojego argumentu na rzecz nihilizmu mereologicznego, a zatem AR nie istnieje. Jeśli jednak argument Ungera nie istnieje i istnieć nie może, to nie musimy się przejmować ani samym argumentem, ani jego nihilistycznymi konsekwencjami. Unger rozważa także dwie możliwości obalenia AR, które według niego angażują pojęcie cudu: (1) Przedmioty makroskopowe mogłyby być chronione przez samą naturę przed argumentami w stylu Ungera. Na przykład mogłoby być tak, że po usunięciu kilku pierwszych atomów, usunięcie następnych stałoby 36 Por. (Unger 1979a, s. 149; Unger 1979c, s ).
11 94 Krzysztof Hansen się fizycznie niemożliwe. Mogłoby się również zdarzyć, że usunięcie powiedzmy szóstego atomu doprowadziłoby do niespodziewanych rezultatów dany przedmiot przestałby istnieć lub zamieniłby się w łosia. 37 (2) Druga możliwość polega na uznaniu, że po usunięciu kilku atomów przedmiot przestałby istnieć, ale z konieczności nie bylibyśmy w stanie tego stwierdzić. 38 Przedstawiłem mniej lub bardziej skuteczne strategie obalenia argumentu Ungera. Teraz chciałbym pokazać najbardziej obiecujący sposób odparcia AR oraz wykazać, gdzie tkwi błąd w oryginalnej wersji argumentu Ungera. Jeżeli zgodzimy się, że przedmioty posiadają pewne własności konieczne, to możemy uznać, że obiektom złożonym przysługują stałe limity, tj. uznać, że dla każdego przedmiotu istnieje pewna liczba atomów n taka, że dany przedmiot nie może składać się z mniej atomów niż n. 39 A zatem usuwając atom po atomie zawsze dojdziemy do punktu, w którym utrata nawet najmniejszej części, spowoduje utratę własności koniecznej. Załóżmy, że każdy stół ma z konieczności cztery nogi. Jeżeli usuniemy jedną nogę stołu, to stół nie przestanie istnieć fizycznie, ale utraci jedną ze swoich własności koniecznych, czyli przestanie być stołem; zostanie zastąpiony przez obiekt fizyczny posiadający kształt stołu, ale nie będący stołem. Stałe limity mogą również zostać użyte do obalenia pozostałych wersji argumentu Ungera łącznie z argumentem z akumulacji. Jeżeli przyjmiemy (ze względu na stałe limity), że stół nie może się składać z mniej niż dziesięciu atomów, to dodanie jednego atomu do przedmiotu złożonego z dziewięciu atomów wpłynie (wbrew temu co twierdzi Unger) na istnienie stołu. Uznanie stałych limitów wydaje się jednak rozwiązaniem dość arbitralnym i problematycznym. Zamiast tego esencjalista atrybucyjny może postulować, iż usuwając atom po atomie zawsze dojdziemy do momentu, w którym utrata kolejnego atomu będzie po prostu powodowała utratę pewnej własności koniecznej. Załóżmy raz jeszcze, że każdy stół ma z konieczności cztery nogi. Noga od stołu składa się z określonej liczby atomów. Usuwając atom po atomie ze stołu, dojdziemy do momentu, w którym przynajmniej jedna noga stołu będzie się składała z jednego atomu. Jeżeli usuniemy ten ostatni atom, to stół straci jedną ze swoich własności koniecznych, a więc nie będzie już stołem. Oczywiście noga od stołu sama posiada pewne własności konieczne, tak więc nigdy nie otrzymamy nogi złożonej z jednego atomu. Załóżmy, że każda noga od stołu, aby mieć wszystkie swoje własności konieczne nie może utracić więcej niż połowę swojej początkowej objętości. Oczywiście połowa nogi składa 37 Por. (Unger 1979a, s. 125). 38 Por. (Unger 1979a, s ). 39 Na temat esencjalizmu atrybucyjnego por. (Grygianiec 2007, s ). Przyjęcie esencjalizmu jest tu konieczne, ponieważ gdyby istniały stałe limity, to byłyby one własnościami koniecznymi.
12 Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym 95 się z konkretnej liczby atomów, tak więc usuwając atom po atomie, otrzymamy w pewnym momencie dokładnie połowę nogi stołowej. Jeżeli ze zbioru atomów składających się na połowę nogi odejmiemy kolejny atom, to utraci ona swoją własność konieczną utraci więcej niż połowę swojej pierwotnej objętości. Przykłady tego rodzaju można mnożyć, co pokazuje, że esencjalista atrybucyjny może się obejść bez postulowania stałych limitów. AR można także obalić w łatwiejszy i bardziej ontologicznie oszczędny sposób. Przyjrzyjmy się bliżej czwartej przesłance AR. Unger twierdzi, że usunięcie pojedynczego atomu z przedmiotu nie może nigdy wpłynąć na istnienie tego przedmiotu. Łatwo jednak wykazać, że czwarta przesłanka jest trywialnie fałszywa. Po usunięciu odpowiedniej liczby atomów otrzymamy przedmiot złożony z jednego atomu. Mając taki jednoatomowy obiekt, nie możemy już usunąć kolejnego atomu tak, aby nie wpłynęło to na istnienie tego przedmiotu. Czyli wbrew czwartej przesłance nie możemy usunąć kolejnego atomu tak, aby rozważany obiekt nie przestał istnieć. Oznacza to, że również piąta przesłanka AR jest fałszywa nigdy nie otrzymamy przedmiotu złożonego z zerowej liczby atomów. Zatem argument Ungera pokazuje co najwyżej, że wbrew naszym intuicjom przedmioty makroskopowe mogą się skurczyć do rozmiarów jednego atomu i zachować swoją tożsamość zgodnie z AR dowolny stół może się skurczyć do rozmiarów jednego atomu i wciąż być stołem. Unger mógłby w tym miejscu odpowiedzieć, że obaliliśmy jedynie pewną wersję AR na rzecz innej samo stwierdzenie, że stół może się skurczyć do rozmiarów pojedynczego atomu i wciąż być stołem jest paradoksalne i stanowi argument za tym, że stoły nie istnieją. 40 Nie sądzę jednak, aby taki wniosek był słuszny. AR pokazuje jedynie, że nasze rozumienie terminu stół nie jest do końca poprawne nie zdajemy sobie sprawy, że przedmioty makroskopowe mogą się skurczyć do rozmiarów jednego atomu. Omawiane zagadnienie można przedstawić jeszcze prościej AR stawia nas przed wyborem między: (i) nieintuicyjnym i sprzecznym ze zdrowym rozsądkiem twierdzeniem, zgodnie z którym przedmioty makroskopowe nie istnieją, a (ii) mniej nieintuicyjnym twierdzeniem o naturze przedmiotów makroskopowych, zgodnie z którym przedmioty makroskopowe mogą się skurczyć do rozmiarów jednego atomu i zachować swoją tożsamość. Jedynym racjonalnym wyjściem z tego dylematu jest przyjęcie rozwiązania mniej nieintuicyjnego, czyli przyjęcie twierdzenia (ii). Zauważmy, że jeżeli uznamy, iż przedmioty posiadają pewne własności konieczne i odrzucimy rozwiązania AR oparte na esencjalizmie atrybucyjnym, to zmodyfikowana wersja argumentu Ungera pozostaje w mocy: 40 Tak właśnie rekonstruuje argument Ungera Mariusz Grygianiec por. (Grygianiec 2007, s ).
13 96 Krzysztof Hansen Argument z esencjalizmu (1) Istnieje przynajmniej jeden stół. (2) Każdy stół ma pewne własności konieczne. (3) Każdy stół składa się ze skończonej liczby atomów, tj. każdy stół jest komponowany przez określony zbiór n atomów. (4) Jeżeli ze zbioru atomów składających się na stół odejmiemy (tak delikatnie jak to tylko możliwe) jeden atom lub kilka atomów, to nie wpłynie to na istnienie stołu. (5) Odjęcie pojedynczego atomu ze zbioru cząstek komponujących stół nie może spowodować, że stół utraci jedną ze swoich własności koniecznych. (6) Po serii operacji opisanych w punkcie (4) otrzymamy stół składający się z jednego atomu. (7) Przedmiot składający się z jednego atomu nie może egzemplifikować własności koniecznych stołu. Najlepszym sposobem obalenia tego argumentu jest odrzucenie przesłanki (5), czyli uznanie, że usuwając atom po atomie z przedmiotu prędzej czy później dojdziemy do momentu, w którym utrata kolejnego atomu spowoduje utratę pewnej własności koniecznej. Zauważmy, że powyższe rozumowanie może również zostać użyte jako argument przeciwko esencjalizmowi atrybucyjnemu. Nihilizm Petera Unger jest nie do utrzymania: oryginalna wersja AR jest ewidentnie niepoprawna. Jeżeli AR w ogóle coś udowadnia, to jedynie to, że wbrew naszym potocznym intuicjom przedmioty makroskopowe mogą się skurczyć do rozmiarów pojedynczych atomów i zachować swoją tożsamość. Jednakże takie nieintuicyjne twierdzenie nie dowodzi, że przedmioty makroskopowe nie istnieją. Zmodyfikowana wersja argumentu Ungera (argument z esencjalizmu) jest stosunkowo łatwa do obalenia. BIBLIOGRAFIA Cameron, Ross (2006) Much ado About Nothing: a Study of Metaphysical Nihilism, Erkenntnis 64: Chisholm, Roderick, M. (1973) Parts as Essential to their Wholes, Review of Metaphysics 26: Chisholm, Roderick, M. (1975) Mereological Essentialism: Some Further Considerations, Review of Metaphysics 28: Chisholm, Roderick, M. (1989) On metaphysics, University of Minnesota Press, Mineapolis. Dorr, Cian (2002) The Simplicity of Everything, artykuł dostępny online: Grygianiec, Mariusz (2005) W obronie mereologicznego esencjalizmu, Filozofia Nauki 3: Grygianiec, Mariusz (2007) Identyczność i trwanie: studium ontologiczne, Semper, Warszawa. Lewis, David, K. (1986) On the Plurality of Worlds, Blackwell, Oxford.
14 Argument Petera Ungera za nihilizmem mereologicznym 97 Lowe, Jonathan, E. (2000) In defense of the Simplicity Argument, Australian Journal of Philosophy 78: Lowe, Jonathan, E. (2001) Identity, Composition, and the Simplicity of the Self, [w:] K. Corcoran (red.), Souls, Body, and survival. Essays on the Metaphysics of Human Persons, Cornell University Press, Ithaca. Markosian, Ned (2005) Restricted Composition, artykuł dostępny online: Merricks, Trenton (2001) Objects and Persons, Clarendon Press, Oxford Moore, George, E. (1959) Four Forms of Scepticism, [w:] Philosophical Papers, Macmillan, New York. Olson, Eric, T. (2007) What are we? A study in Personal Ontology, Oxford University Press, Oxford. Sanford, David, H. (1975) Borderline Logic, American Philosophical Quarterly 12, No. 1, Sider, Theodore (2010) Against Parthood, artykuł dostępny online: Unger, Peter (1979a) There Are No Ordinary Things, Synthese 41: Unger, Peter (1979b) Why There Are No People, [w] P. French, T. Uehling. H. Wettstein (red.), Midwest Studies in Philosophy IV, University of Minnesota Press, Minneapolis: Unger, Peter (1979c) I do not exist, [w:] Graham Macdonald (red.), Perception and indentity: essays presented to A. J. Ayer with his replies to them, Macmillan Press, London. Unger, Peter (1980) Scepticism and Nihilism, Noűs 14: Unger, Peter (1990) Świadome doświadczenie i podmioty świadomości: sześć doktryn metafizycznych, [w:] Joanna Górnicka-Kalinowska (red.), Fragmenty filozofii analitycznej: Filozofia podmiotu, Aletheia, Warszawa. Unger, Peter (2004) The Mental Problems of the Many, [w:] Dean W. Zimmerman (red.), Oxford Studies in Metaphysics: Volume 1, Clarendon Press, Oxford. Unger, Peter (2006) All the Power in the World, Oxford University Press, New York. van Inwagen, Peter (1990) Material Beings, Cornell University Press, London.
Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta
5 lutego 2012 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 4 Materializm Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej
Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów.
2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii
Rodzaje argumentów za istnieniem Boga
Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Podział argumentów argument ontologiczny - w tym argumencie twierdzi się, że z samego pojęcia bytu doskonałego możemy wywnioskować to, że Bóg musi istnieć. argumenty
Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna.
Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia średniowieczna a starożytna 2 3 Ogólna charakterystyka filozofii średniowiecznej Ogólna charakterystyka filozofii
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Filozofia, Historia, Wykład IX - Filozofia Kartezjusza
Filozofia, Historia, Wykład IX - Filozofia Kartezjusza 2010-10-01 Plan wykładu 1 Krytyka nauk w Rozprawie o metodzie 2 Zasady metody Kryteria prawdziwości 3 Rola argumentów sceptycznych Argumenty sceptyczne
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Logika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
EGZAMIN MATURALNY 2013 FILOZOFIA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2013 FILOZOFIA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2013 2 Zadanie 1. (0 4) Obszar standardów Opis wymagań Znajomość i rozumienie
NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
Rozprawka materiały pomocnicze do pisania rozprawki przygotowane przez Katarzynę Buchman. Rozprawka - podstawowe pojęcia
Rozprawka materiały pomocnicze do pisania rozprawki przygotowane przez Katarzynę Buchman Rozprawka - podstawowe pojęcia 1. rozprawka - forma wypowiedzi pisemnej, w której piszący prezentuje własne stanowisko
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Wstęp Komentarze jako metoda wyjaśniania oraz interpretacji w średniowieczu Komentarz Akwinaty do Etyki nikomachejskiej krótka prezentacja Próba
Izabella Andrzejuk Wstęp Komentarze jako metoda wyjaśniania oraz interpretacji w średniowieczu Komentarz Akwinaty do Etyki nikomachejskiej krótka prezentacja Próba analizy fragmentu Komentarza według reguł
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne
5. Rozważania o pojęciu wiedzy. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016
5. Rozważania o pojęciu wiedzy Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Wiedza przez znajomość [by acquaintance] i wiedza przez opis Na początek
dr Anna Mazur Wyższa Szkoła Promocji Intuicja a systemy przekonań
dr Anna Mazur Wyższa Szkoła Promocji Intuicja a systemy przekonań Systemy przekonań Dlaczego mądrzy ludzie podejmują głupie decyzje? Odpowiedzialne są nasze przekonania. Przekonania, które składają się
Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant
Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant 2011-10-01 Plan wykładu 1 Immanuel Kant - uwagi biograficzne 2 3 4 5 6 7 Immanuel Kant (1724-1804) Rysunek: Immanuel Kant - niemiecki filozof, całe życie
EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 2010 2 Zadanie 1. (0 2) problemów i tez z zakresu ontologii, epistemologii,
Konspekt do wykładu z Logiki I
Andrzej Pietruszczak Konspekt do wykładu z Logiki I (z dnia 24.11.2006) Poprawność rozumowania. Wynikanie Na wykładzie, na którym omawialiśmy przedmiot logiki, powiedzieliśmy, że pojęcie logiki wiąże się
Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa
Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2011-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Różnice w metodzie uprawiania nauki Krytyka platońskiej teorii idei Podział
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych
Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych 2011-10-01 Plan wykładu 1 Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych 2 Podział dyscyplin filozoficznych Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych:
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 204/205 FORMUŁA DO 204 ( STARA MATURA ) FILOZOFIA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MFI-R MAJ 205 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
WYNIKI ANKIETY PRZEPROWADZONEJ WŚRÓD UCZESTNIKÓW WARSZTATÓW W DNIACH
WYNIKI ANKIETY PRZEPROWADZONEJ WŚRÓD UCZESTNIKÓW WARSZTATÓW W DNIACH 21-23.02.2017 TYTUŁ ANKIETY: Ankietę Poglądy na temat istoty nauki przeprowadzono wśród uczestników warsztatów Natura nauki i jej powiązania
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Porównywanie populacji
3 Porównywanie populacji 2 Porównywanie populacji Tendencja centralna Jednostki (w grupie) według pewnej zmiennej porównuje się w ten sposób, że dokonuje się komparacji ich wartości, osiągniętych w tej
Wyrok z dnia 22 lutego 1994 r. I PRN 5/94
Wyrok z dnia 22 lutego 1994 r. I PRN 5/94 Dla wyłączenia prawa do odprawy pieniężnej na podstawie art. 8 ust. 3 pkt 2 ustawy z dnia 28 grudnia 1989 r. o szczególnych zasadach rozwiązywania z pracownikami
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Z reguł wnioskowania na oddzielne traktowanie zasługują reguły Claviusa:
WYKŁAD 9 Z reguł wnioskowania na oddzielne traktowanie zasługują reguły Claviusa: ( p p) p, (p p) p Mówią one, że jeżeli z zaprzeczenia jakiegoś zdania wyprowadzimy to właśnie zdanie, to musi być ono prawdziwe.
10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
POSTANOWIENIE. SSN Piotr Prusinowski
Sygn. akt I UK 42/18 POSTANOWIENIE Sąd Najwyższy w składzie: Dnia 21 lutego 2019 r. SSN Piotr Prusinowski w sprawie z odwołania A. S.-H. przeciwko Zakładowi Ubezpieczeń Społecznych Oddziałowi w B. o zasiłek
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Algebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE. Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych
ARGUMENTY KOSMOLOGICZNE Sformułowane na gruncie nauk przyrodniczych O CO CHODZI W TYM ARGUMENCIE Argument ten ma pokazać, że istnieje zewnętrzna przyczyna wszechświata o naturze wyższej niż wszystko, co
INFORMATYKA a FILOZOFIA
INFORMATYKA a FILOZOFIA (Pytania i odpowiedzi) Pytanie 1: Czy potrafisz wymienić pięciu filozofów, którzy zajmowali się także matematyką, logiką lub informatyką? Ewentualnie na odwrót: Matematyków, logików
Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego
Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Aktualizacja materiałów z logiki dla doktorantów PW
Aktualizacja materiałów z logiki dla doktorantów PW Rodzaje definicji Definicja sprawozdawcza, inaczej analityczna, wskazuje, jakie znaczenie miał dotychczas wyraz definiowany w pewnym języku. Definicja
Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa
Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Podział nauk Arystoteles podzielił wszystkie dyscypliny wiedzy na trzy grupy:
UJĘCIE SYSTEMATYCZNE ARGUMENTY PRZECIWKO ISTNIENIU BOGA
UJĘCIE SYSTEMATYCZNE ARGUMENTY PRZECIWKO ISTNIENIU BOGA ARGUMENTY PRZECIW ISTNIENIU BOGA ARGUMENTY ATEISTYCZNE 1 1. Argument z istnienia zła. (Argument ten jest jedynym, który ateiści przedstawiają jako
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
POSTANOWIENIE. SSN Jolanta Strusińska-Żukowska
Sygn. akt III UK 123/17 POSTANOWIENIE Sąd Najwyższy w składzie: Dnia 24 kwietnia 2018 r. SSN Jolanta Strusińska-Żukowska w sprawie z odwołania Z. S. od decyzji Zakładu Ubezpieczeń Społecznych Oddziału
DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Katarzyna Wojewoda-Buraczyńska Koncepcja multicentryczności prawa a derywacyjne argumenty systemowe. Studenckie Zeszyty Naukowe 9/13, 84-87
Katarzyna Wojewoda-Buraczyńska Koncepcja multicentryczności prawa a derywacyjne argumenty systemowe Studenckie Zeszyty Naukowe 9/13, 84-87 2006 Katarzyna Wojewoda-Buraczyńska Koncepcja multicentryczności
Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI
Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Filozofia INFORMATYKA Metodologia Wykład 1. Wprowadzenie. Filozofia, metodologia, informatyka Czym jest FILOZOFIA? (objaśnienie ogólne) Filozofią nazywa się
Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy
Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Jak przekonywać innych do swoich racji? Dr Witold Szumowski Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 3 listopada 2014r. Plan dzisiejszych zajęć Istota przekonywania Wywieranie
Wprowadzenie do logiki Klasyfikacja wnioskowań, cz. I
Wprowadzenie do logiki Klasyfikacja wnioskowań, cz. I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan: definicja pojęcia wnioskowania wypowiedzi inferencyjne i wypowiedzi argumentacyjne
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa
Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego
POSTANOWIENIE. SSN Piotr Prusinowski
Sygn. akt II PK 124/18 POSTANOWIENIE Sąd Najwyższy w składzie: Dnia 7 maja 2019 r. SSN Piotr Prusinowski w sprawie z powództwa M. S. przeciwko P. K., Ł. K. o odszkodowanie, po rozpoznaniu na posiedzeniu
Główne problemy kognitywistyki: Reprezentacja
Główne problemy kognitywistyki: Reprezentacja Wykład 4 Reprezentacja a koncepcje rozszerzonego umysłu i rozszerzonego narzędzia Andrzej Klawiter http://www.amu.edu.pl/~klawiter klawiter@amu.edu.pl Rozszerzone
EGZAMIN MATURALNY 2013 FILOZOFIA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2013 FILOZOFIA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2013 2 Egzamin maturalny z filozofii Część I (20 punktów) Zadanie 1. (0
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
O badaniach nad SZTUCZNĄ INTELIGENCJĄ
O badaniach nad SZTUCZNĄ INTELIGENCJĄ Wykład 7. O badaniach nad sztuczną inteligencją Co nazywamy SZTUCZNĄ INTELIGENCJĄ? szczególny rodzaj programów komputerowych, a niekiedy maszyn. SI szczególną własność
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Równoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Jednostka. Przepis Proponowane zmiany i ich uzasadnienie Decyzja projektodawcy. Lp. zgłaszająca. ogólne
Stanowisko projektodawcy do uwag resortów nieuwzględnionych w projekcie Założeń do projektu ustawy zmieniającej ustawę o organizacji i funkcjonowaniu funduszy emerytalnych w zakresie implementacji przepisów
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
ROZWIĄZANIA PARADOKSU LOTERII
EDUKACJA FILOZOFICZNA Vol. 59 2015 POLEMIKI I DYSKUSJE TOMASZ LECHOWSKI Uniwersytet Warszawski ROZWIĄZANIA PARADOKSU LOTERII Paradoks loterii został po raz pierwszy opisany przez Henry ego Kyburga 1 w
Poprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Algorytmy sztucznej inteligencji
www.math.uni.lodz.pl/ radmat Przeszukiwanie z ograniczeniami Zagadnienie przeszukiwania z ograniczeniami stanowi grupę problemów przeszukiwania w przestrzeni stanów, które składa się ze: 1 skończonego
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Dalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
Dlaczego matematyka jest wszędzie?
Festiwal Nauki. Wydział MiNI PW. 27 września 2014 Dlaczego matematyka jest wszędzie? Dlaczego świat jest matematyczny? Autor: Paweł Stacewicz (PW) Czy matematyka jest WSZĘDZIE? w życiu praktycznym nie
Trzy razy o indukcji
Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Nowoczesna teoria atomistyczna
Nowoczesna teoria atomistyczna Joseph Louis Proust Prawo stosunków stałych (1797) (1754-1826) John Dalton, Prawo stosunków wielokrotnych (1804) Louis Joseph Gay-Lussac Prawo stosunków objętościowych (1808)
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Filozofia z elementami logiki Klasyfikacja wnioskowań I część 1
Filozofia z elementami logiki Klasyfikacja wnioskowań I część 1 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan: definicja pojęcia wnioskowania wypowiedzi inferencyjne i wypowiedzi
Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Paradygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Zatem może wyjaśnijmy sobie na czym polega różnica między człowiekiem świadomym, a Świadomym.
KOSMICZNA ŚWIADOMOŚĆ Kiedy mowa jest o braku świadomi, przeciętny człowiek najczęściej myśli sobie: O czym oni do licha mówią? Czy ja nie jesteś świadomy? Przecież widzę, słyszę i myślę. Tak mniej więcej
O argumentach sceptyckich w filozofii
O argumentach sceptyckich w filozofii - Czy cokolwiek można wiedzieć na pewno? - Czy cokolwiek można stwierdzić na pewno? Co myśli i czyni prawdziwy SCEPTYK? poddaje w wątpliwość wszelkie metody zdobywania
Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei
Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Metafora jaskini 2 Świat materialny - świat pozoru Świat idei - świat prawdziwy Relacja między światem idei i światem
David Hume ( )
David Hume (1711-1776) Chciał być Newtonem nauk o człowieku. Uważał, że wszystkie nauki (oprócz matematyki i logiki), również filozofia, powinny kierować się metodą eksperymentalną, opartą na doświadczeniu.
XXI Konferencja SNM UKŁADY RÓWNAŃ. Kilka słów o układach równań.
1 XXI Konferencja SNM UKŁADY RÓWNAŃ Piotr Drozdowski (Józefów), piotr.trufla@wp.pl Krzysztof Mostowski (Siedlce), kmostows@o.pl Kilka słów o układach równań. Streszczenie. 100 układów równań w 5 min, jak
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Epistemologia. #00 Abstrakty prac. Paweł Łupkowski. Instytut Psychologii UAM
Epistemologia #00 Abstrakty prac Paweł Łupkowski Instytut Psychologii UAM 1 / 13 Abstrakt imię i nazwisko autora, numer indeksu, tytuł pracy, adres e-mail do kontaktu, abstrakt (około 250 słów), zestaw
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych. Ćwiczenie 3 stos Laboratorium Metod i Języków Programowania
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Ćwiczenie 3 stos Laboratorium Metod i Języków Programowania Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z najprostszą dynamiczną strukturą
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Recenzja pracy doktorskiej mgr Tomasza Świsłockiego pt. Wpływ oddziaływań dipolowych na własności spinorowego kondensatu rubidowego
Prof. dr hab. Jan Mostowski Instytut Fizyki PAN Warszawa Warszawa, 15 listopada 2010 r. Recenzja pracy doktorskiej mgr Tomasza Świsłockiego pt. Wpływ oddziaływań dipolowych na własności spinorowego kondensatu
Konsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami