Model bonitacyjny dla sosny na podstawie tablic zasobności Szymkiewicza
|
|
- Mirosław Rybak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Chris j. cieszewski, michał Zasada SYLWAN nr 1: 51 62, 2003 Model bonitacyjny dla sosny na podstawie tablic zasobności Szymkiewicza Site index model for Scots pine based on Szymkiewicz yield tables ABSTRACT Tested are three approaches to development of site dependent height age model based on published Scots pine tabular data. The approaches included fitting four parameter modified Gompertz function individu ally to all site productivity classes; fitting a one parameter anamorphic dynamic site index equation to all the data; and fitting a three parameter polymorphic dynamic site index equation with variable asymptotes to all data. The common fit to all data was based on a base age invariant approach, in which the site spe cific parameters different for each of the site productivity classes are estimated simultaneously with the global model parameters that are common to all site productivities. The best model proved to be based on the polymorphic dynamic equation with variable asymptotes by Cieszewski [2001, Three methods of deriving advanced dynamic site equations demonstrated on Inland Douglas fir site curves. Can. J. For. Res. 31(1): ], which fitted the data best and provided one common model for all the site classes. The produced model was concluded to be superior to the other models and to the original tables. The presented approach is recommended for modeling of other stand growth attributes. KEY WORDS yield tables, site productivity, site index model, growth model, dynamic equations, initial condition models Wstęp Pierwotnie wzrost i zasobność drzewostanów były ustalane za pomocą tablic zawierających śred nie wartości pomiarowe dla różnych klas bonitacji i wieku [np. Szymkiewicz 1971]. Tablice były pierwszymi powszechnie stosowanymi modelami wzrostu drzewostanów. Początkowo były one tworzone przez odręczne wyrównywanie danych za pomocą wykresów dla poszczególnych klas jakości siedliska, oznaczanych najczęściej symbolami [Graves 1910], jak na przykład I, II, III [np. Szymkiewicz 1971]. W późniejszym okresie krzywe wzrostu i zasobności przedstawiane były w postaci prostych równań matematycznych, ustalanych za pomocą podstawowych analiz statystycznych dla indywidualnych klas bonitacji [np. Bruchwald 1977, Socha 1997, Jarosz i Kłapeć 2002]. Obecnie wiele proponowanych na świecie modeli jest opartych na mniej lub bardziej skomplikowanych równaniach funkcji warunków początkowych z parametrami statystycznie oszacowanymi dla jednoczesnego dopasowania przebiegu wszystkich krzywych bez izolacji poszczególnych klas bonitacji. Modele te mogą być oparte na równaniach statycz nych ze stałym wiekiem bazowym [np. Bruchwald 1988], lub na równaniach dynamicznych (z warunkami początkowymi) ze zmiennym wiekiem bazowym [np. Schumacher 1939, Bailey and Clutter 1974, Borders i in. 1984, Cieszewski i Bella 1989, Cieszewski i Bailey 2000, Cieszewski i Zasada 2002]. Początkowo modele z warunkami początkowymi były oparte na Chris J. Cieszewski Warnell School of Forest Resources, University of Georgia, Athens, GA, 30602, USA Michał Zasada Samodzielny Zakład Dendrometrii i Nauki o Produkcyjności Lasu SGGW ul. Rakowiecka 26/ Warszawa zasada@delta.sggw.waw.pl
2 52 Chris J. Cieszewski, Michał Zasada funkcjach anamorficznych (proporcjonalnych) ze zmiennymi asymptotami, czyli posiadających taki sam kształt, skalowany w dół i w górę zależnie od klasy bonitacji siedliska [np. Schumacher 1939, Bailey and Clutter 1974, Bruchwald 1988]. W późniejszym okresie stosować zaczęto krzy we polimorficzne (nieproporcjonalne) o kształtach uzależnionych od klasy bonitacji siedliska, które miały na ogół jedną asymptotę [Stage 1963, Bailey i Clutter 1974]. Jednak najbardziej zaawansowane modele siedliskowe to równania dynamiczne, charakteryzujące się jednocześnie polimorfizmem i zmiennymi asymptotami [Cieszewski i Bella 1989, 1993, Cieszewski i in. 1999, Cieszewski 2000, 2001, 2002, Cieszewski i Bailey 2000, Cieszewski i Nigh 2002, Elfving i Kiviste 1997]. Początek rozwoju matematycznych modeli wzrostu w naukach przyrodniczych w Polsce sięga co najmniej lat czterdziestych ubiegłego wieku [Czarnowski 1948]. Matematyczne mode le bonitacyjne, jako bardziej zaawansowana klasa modeli wzrostu, rozwijają się w Polsce od mniej więcej dwóch dekad [Bruchwald 1985, Bruchwald i in. 2000, Cieszewski i Zasada 2002 i wiele innych]. Jednakże pomimo ciagłego rozwoju modeli matematycznych i wielu zastrzeżeń co do dokładności stosowanych w praktyce tablic zasobności zestawionych przez Szymkiewicza dla warunków polskich [Szymkiewicz 1971, Bruchwald i in. 1979], tabele te są nadal powszech nie stosowane w polskim leśnictwie (np. do ustalania klas bonitacji siedliska) i nic nie wskazu je na to, że będą one wkrótce zapomniane czy porzucone. Nie oznacza to jednak, że jesteśmy obecnie w okresie przejściowym od używania tablic do używania modeli matematycznych, albo że natura leśnikow jest nieracjonalna, ale raczej, że obydwie formy modeli tablice i równania są użyteczne do innych zastosowań i w pewnym sensie wzajemnie się uzupełniają. Niemniej jednak modele matematyczne oferują więcej w użytkowaniu niż tablice, gdyż na przykład umożliwiają one dokładną nieliniową interpolację niemożliwą do wykonania w tablicach. W niniejszej pracy przedstawiony został matematyczny model wzrostu wysokości dla sosny w postaci polimorficznego równania dynamicznego ze zmiennymi asymptotami, którego para metry zostały oszacowane przez jednoczesne dopasowanie krzywych do I, II, III i IV klasy boni tacji z tablic Szymkiewicza [1971]. Wybrane cztery klasy bonitacji są podstawowymi klasami spotykanymi w Polsce [Szymkiewicz 1949, Bruchwald i Kliczkowska 1997, 2000] i były dobrze reprezentowane przez dane pomiarowe [Szymkiewicz 1949]. Pozostałe dwie ekstremalne klasy (Ia i V) nie były użyte do ustalania parameterów modelu ponieważ klasa Ia nie była oparta na danych pomiarowych lecz na ekstrapolacji [Szymkiewicz 1949], a klasa V była oparta na mini malnej liczbie danych i przedstawia drzewostany nieistotne z punktu widzenia gospodarczego. Przedstawione zostało również porównanie proponowanego modelu z innymi modelami testo wanymi na tych samych tablicach. Metodyka Jedną z krzywych bardzo często stosowanych do matematycznego modelowania wzrostu jest funkcja Gompertza [1825]. Specjalnie do modelowania wzrostu drzewostanów na podstawie tablic zasobności oryginalna funkcja została zmodyfikowana przez Jarosza i Kłapcia [2002] przez dodanie parametru przecięcia osi pionowej: gdzie: Y wartość zmiennej zależnej (np. wysokości) w wieku t, t wiek (zmienna niezależna), a i, b i, c i, d i parametry funkcji, i kolejne klasy bonitacji. [1]
3 Model bonitacyjny dla sosny 53 Funkcja [1] jest funkcją dwuwymiarową, zdolną do opisania tylko jednej krzywej dla dowolnego zestawu czterech parametrów. Tak więc do opisania na przykład sześciu klas bonitacji, równanie [1] wymaga aż 24 parametrów, a do tego nie daje ono możliwości automatycznej nieliniowej interpolacji wartości między różnymi klasami bonitacji. Bardziej zaawansowaną grupą modeli są równania z warunkami początkowymi. Równania takie są oparte na funkcjach trójwymiarowych, które z jednym zestawem parametrów mogą definiować nieskończoną ilość krzywych dla dowolnych klas, nieliniowej interpolacji między klasami oraz ekstrapolacji poza zasięg oryginalnych danych. Jak wspomnieliśmy we wstępie, najprostsze z tych modeli to modele anamorficzne (proporcjonalne). Anamorficzny, sześcio parametrowy model bonitacyjny dla polskiej sosny został oryginalnie zbudowany przez Bruchwalda [1988] i zmodyfikowany jako model dwuparametrowy przez Bruchwalda i innych [2000]. Cieszewski i Zasada [2002] wyprowadzili z tego modelu nowe, uogólnione jednopara metrowe równanie dynamiczne opisujące identyczne krzywe, które zostało użyte w tych bada niach jako drugi kandydat do przedstawienia wzrostu wysokości z rozważanych tablic: ( ) æ t a + t 0 [2] 0 i ( ) ö Y = Y ç è t 0 a + t ø gdzie: Y wartość zmiennej zależnej (np. wysokości) w wieku t, a parametr, t 0, Y 0i warunki początkowe (wiek i wartość zmiennej zależnej Y dla klasy bonitacji i w wieku t 0 ); gdy t 0 równe jest wiekowi bazowemu, Y 0i odpowiada indeksowi bonitacyjnemu. Krzywe anamorficzne generowane przez wzór [2] charakteryzują się podobnym kształtem dla wszystkich klas bonitacji siedliska. Są one w istocie produktem jednej krzywej skalowanej w górę i w dół przez indeks bonitacyjny Y 0i. Jako najbardziej zaawansowany model w niniejszej pracy przedstawione zostało trzypara metrowe równanie dynamiczne wyprowadzone przez Cieszewskigo [2001], charakteryzujące się polimorfizmem i zmiennymi asymptotami. Poniżej przedstawiona została postać tego modelu z parametrem b zastąpionym wyrażeniem e b, co pozwoliło na łatwiejsze dopasowanie funkcji do danych: 2 [3] gdzie: zaś j, f, oraz b to parametry, a pozostałe symbole zostały zdefiniowane powyżej. Dla każdej z opisanych tutaj funkcji [1], [2] i [3] ustalone zostały jej parametry przez wyrówanie danych dotyczących wzrostu wysokości drzewostanów sosnowych zawartych w tabli cach Szymkiewicza (tablice A silniejsze zabiegi pielęgnacyjne). Parametry modelu [1] ustalone zostały dla wszystkich klas bonitacji osobno, gdyż model ten nie może być bezpośrednio ekstrapolowany poza zakres istniejących klas, do których został dopasowany. Modele [2] i [3] mogą być natomiast automatycznie stosowane do dowolnej klasy bonitacji bez względu na to, do jakich klas zostały one dopasowane, na tej samej zasadzie, na jakiej model [1] dopasowany do kilku klas wieku może być stosowany dla dowolnego wieku. W związku z tym modele [2] i [3] [4]
4 54 Chris J. Cieszewski, Michał Zasada zostały dopasowane do danych z klas I, II, III, i IV, które były w oryginalnych tablicach jedyny mi zbudowanymi na podstawie reprezentatywnych danych pomiarowych [Szymkiewicz 1949]. Jednakże pomimo pominięcia dwóch skrajnych klas podczas dopasowania modeli, modele te mogą być stosowane do predykcji wartości dla nich na zasadzie automatycznej ekstrapolacji. Parametry takich modeli, jak równania [2] i [3] są na ogół estymowane przy użyciu jednego z dwóch sposobów. W prostszym przypadku Y 0i ma przypisane wartości pochodzące z pomiaru w wybranym wieku bazowym, które są traktowane jako bezbłędne [np. Curtis i in. 1974, Monserud 1984]. Jest to sposób najczęściej stosowany, chociaż może on powodować zniekształ cenie kształtu krzywych przez arbitralny wybór wieku bazowego. Parametry tego typu modeli nazywane są w literaturze anglojęzycznej base age specific, co można przetłumaczyć jako pod wpływem wieku bazowego lub specyficzne dla wieku bazowego z interpretacją, że są to parametry obciążone błędem wynikającym z arbitralnego wyboru wieku bazowego. Aby uniknąć tego problemu, Bailey i Clutter [1974] zaproponowali estymację parametrów sposobem, który nazwali base age invariant, co może być przetłumaczone jako niezmienne przy różnym wyborze wieku bazowego lub niezależne od wyboru wieku bazowego. Sedno takiego ustalania parametrów tkwi w szacowaniu wszystkich wartości Y 0i, charakterystycznych dla każdej indywidualnej serii danych, równocześnie z szacowaniem parametrów modelu wspólnych dla wszystkich serii. Oznacza to w istocie, że indeks bonitacyjny (klasa bonitacji) staje się jednym z dodatkowych parametrów równania. Może być on nazwany zmiennym para metrem równania ( varying parameter ), czyli jednym parametrem z różnymi wartościami dla różnych części danych. Metoda ta jest znacznie bardziej skomplikowana obliczeniowo, ale jest jednocześnie bardziej uzasadniona tak teoretycznie, jak i praktycznie [Cieszewski i in. 2000], i dlatego właśnie ona została użyta w niniejszej pracy. Ponieważ wyrównanie funkcji dla tak niewielkiego materiału liczbowego, jaki stanowią tablice zasobności, jest stosunkowo proste, parametry oszacowane były za pomocą modułu Solver arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel, przy czym kryterium dopasowania funkcji była minimalizacja kwadratów odchyleń poszczególnych wartości tablicowych od linii regresji. Przy poszukiwaniu parametrów poszczególnych funkcji [2] i [3] na podstawie danych z tablic, wartoś ci Y 0i (osobne dla każdej klasy bonitacji) były ustalane równocześnie z ogólnymi parametrami równania. Rozwiązanie takie zastosowano po to, aby wszystkie krzywe mogły przebiegać przez dane bez żadnych ograniczeń czy też większego wpływu jednych danych nad drugimi. W kon sekwencji jednoparametrowy model [2] dopasowywany do danych z czterech klas bonitacji (I, II, III, i IV) wymagał ustalenia pięciu parametrów (a, Y 0I, Y 0II, Y 0III, i Y 0IV ), a trzyparametrowy model [3] wymagał ustalenia siedmiu parametrów (j, f, b, Y 0I, Y 0II, Y 0III, i Y 0IV ). Rezultaty Oszacowane parametry zmodyfikowanej funkcji Gompertza dla wszystkich sześciu klas boni tacji (Ia V) przedstawiono w tabeli 1. Parametr a funkcji [2] oszacowany został na 29,2029 a wartości Y 0I, Y 0II, Y 0III, i Y 0IV na odpowiednio 28,08; 24,02; 20,17 i 16,06. Parametry j, b oraz f funkcji [3] oszacowano odpowied nio na 1,44604; 10, i 5,15428, zaś Y 0I, Y 0II, Y 0III, i Y 0IV na 28,08; 24,11; 20,32 i 16,29. Wynikowe krzywe bonitacyjne przedstawiono na wykresie (ryc. 1). Wykres zawiera również oryginalne dane tablicowe i krzywe dla klas bonitacji Ia i V (ryc. 1 linie przerywane). Wyniki dopasowania poszczególnych funkcji do danych dotyczących wzrostu wysokości na podstawie tablic zasobności przedstawiono w tabeli 2. Błędy dopasowania (odchylenia resztowe) przedstawione zostały na rysunku 2 (ryc. 2).
5 Model bonitacyjny dla sosny 55 Tabela 1. Parametry funkcji [1] dla poszczególnych klas bonitacji Function [1] parameters for site quality classes Klasa bonitacji a i b i c i d i Ia 776, , , ,006 I 171, , , ,088 II 157, , , ,259 III 81, , , ,328 IV 78, , , ,156 V 14, , , ,172 Ryc. 1. Dane dotyczące wzrostu wysokości z tablic Szymkiewicza dla sosny (symbole na rysunkach a, b, i c) i krzy we bonitacyjne uzyskane na podstawie wyrównanych funkcji [1], [2] i [3] porównane z danymi (a, b i c) i między sobą (d) Height growth data from yield tables by Szymkiewicz for pine (symbols in Fig a, b and c) and site quality curves obtained from smoothed functions [1], [2] and [3], compared with the data (a, b and c) and with themselves (d)
6 56 Chris J. Cieszewski, Michał Zasada Tabela 2. Wyniki dopasowania poszczególnych funkcji do danych tablicowych Results of fitting individual functions to data in the yield tables Funkcja [1] Funkcja [2] Funkcja [3] Błąd standardowy 0,12 0,418 0,11 Suma kw. odchyleń 0,40 9,88 0,52 Zakres błędów 0,17; +0,17 0,55; +0,88 0,30; +0,22 Śr. arytm. błędów 0,00 0,02 0,00 Ryc. 2. Odchylenia resztowe poszczególnych funkcji w stosunku do danych tablicowych Residual deviation of individual functions in comparison with data in the yield tables
7 Model bonitacyjny dla sosny 57 W celu sprawdzenia, czy dopasowanie poszczególnych funkcji nie zależy od jakości siedliska, przeprowadzono szczegółową analizę błędów w klasach bonitacji. Jej wyniki przed stawiono w tabeli 3. Tabela 3. Analiza błędów poszczególnych funkcji w klasach bonitacji Analysis of errors of individual functions in site quality classes Funkcja Błąd[m] Klasa bonitacji Ia I II III IV V [1] Min. 0,3 0,2 0,1 0,1 0,1 0,0 Max. +0,2 +0,2 +0,2 +0,1 0,0 0,0 Śr. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 [2] Min. 1,0 0,5 0,2 0,2 0,4 0,6 Max. +1,1 +0,7 +0,3 +0,5 +0,9 +1,3 Śr. 0,2 0,1 0,0 +0,1 +0,1 +0,1 [3] Min. 0,1 0,1 0,3 0,1 0,1 0,3 Max. +0,5 +0,2 +0,1 +0,1 +0,2 +0,6 Śr. 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 Dyskusja Modele przedstawione w niniejszej pracy sa przykładami trzech (spośród wielu) faz ewolucji matematycznych modeli wzrostu wysokości. Funkcja Gompertza [1], dopasowana oddzielnie dla każdej klasy bonitacji, reprezentuje najprostszą metodę użycia modelu matematycznego do wyrównywania danych, która zastąpiła ręczne kreślenie krzywych i pozwoliła na automatyczną interpolację pomiędzy danymi z różnych klas wieku. Przy użyciu tej metody, dopasowane mo dele (np. model [1]) lepiej reprezentują prawdziwe dane od samych tablic, ponieważ przed stawiają one średnie kierunki wzrostu dla wszystkich klas wieku w modelowanych klasach boni tacji. Tablice Szymkiewicza w dalszym ciągu zawierają znaczny składnik losowy, który był wyrównany tylko częściowo przez uśrednienie wartości w indywidualnych klasach wieku i boni tacji, lecz nie pomiędzy tymi klasami. Każda tablicowa wartość reprezentuje informację uzyskaną na podstawie tylko jednej klasy wieku i bonitacji, podczas gdy każdy punkt krzywej dopasowanego modelu [1] jest wynikiem informacji z wszystkich klas wieku w danej klasie bonitacji. Interpolacja danych z tablic, na przykład pomiędzy wiekiem 40 i 50 lat, jest oparta tylko na informacji z tych dwóch klas wieku, podczas gdy taka interpolacja przy użyciu modelu [1] oparta jest na danych z wszystkich klas wieku. Ponieważ celem modelowania jest generali zacja informacji zawartej w danych pomiarowych i wyrównanie błędów przypadkowych, model matematyczny dopasowany do wszystkich obserwacji w danej serii jest z punktu widzenia statystycznego bardziej efektywny, niż tablice zawierające indywidualne podsumowania dla pojedynczych klas wieku i bonitacji. W pojedynczej klasie bonitacji indywidualne wartości tablicowe dla poszczególnych klas wieku mają się tak do modelu [1] dopasowanego do tej klasy bonitacji, jak poszczególne mo dele dopasowane indywidualnie do różnych klas bonitacji mają się do bardziej uogólnionego modelu dopasowanego równocześnie do wszystkich (lub prawie wszystkich) klas bonitacji i wieku. Model oparty na wspólnym opisie wszystkich pożądanych danych i dopasowany
8 58 Chris J. Cieszewski, Michał Zasada równocześnie do wszystkich tych danych zawiera w każdym swoim punkcie informację uzyskaną na podstawie analizy całości danych i przez to jest lepszą reprezentacją modelowanego zjawiska, niż pojedyncze modele, chyba że nie jest on wystarczająco elastyczny do odpowied niego opisania modelowanego zjawiska. Przykładem niewystarczająco elastycznego modelu jest równanie [2]. Można je dopasować jednocześnie do wszystkich klas wieku i bonitacji, ale nie opisuje ono wystarczająco wiernie tych danych (tab. 2, ryc. 1). Suma kwadratów odchyleń wartości tablicowych od linii regresji (kryterium dopasowania) jest w jego przypadku ponad dwudziestokrotnie większa, a błąd standardowy prawie 4 razy większy, od analogicznych wartoś ci dla modelu [1]. Tego rzędu dysproporcje błędów nie mogą być zrekompensowane nawet przez ogromną różnicę w liczbie parametrów (24 w porównaniu z 5) pomiędzy tymi modelami. Odwrotną sytuację obserwujemy w przypadku modelu [3], który dobrze opisuje dane (tab. 2, ryc. 1 i 2) i który jest najlepszym przykładem potwierdzającym to stwierdzenie o wyższości modeli całościowych nad częściowymi. Aby lepiej rozważyć tę tezę, zwroćmy uwagę na to, że model [1], który może reprezentować tylko jedną serię bonitacyjną dla dowolnego zestawu parametrów, został dopasowywany oddzielnie do poszczególnych sześciu klas bonitacji za pomocą 24 parametrów, a model [3] był dopasowany równocześnie do danych z czterech klas bonitacji za pomocą tylko siedmiu parametrów. Jednocześnie ten 24 parametrowy model [1] przedstawia tylko sześć krzywych i każdy punkt na każdej z tych krzywych zawiera informację opartą na osobnej analizie tylko jednej indywidualnej klasy bonitacji. Z drugiej strony 7 para meterowe równanie [3] modeluje nieskończoną ilość krzywych i każdy punkt na każdej z tych krzywych zawiera informację opartą na analizie wszystkich klas wieku i bonitacji, do których ta funkcja była dopasowana. Innymi słowy, równanie [3] modeluje nieliniową powierzchnię wzros tu wysokości w trójwymiarowej przestrzeni zdefiniowanej przez ciągłe wartości: wieku, klasy bonitacji i wysokości (ryc. 3a). Poszczególne krzywe wzrostu modelu [3] są zdefiniowane jako przecięcia jego trójwymiarowej powierzchni z płaszczyznami przedstawiającymi stałe wartości bonitacji dla wszelkich wartości wieku i wysokości (ryc. 3b). Równanie dynamiczne [3] jest modelem zależności między wysokością, wiekiem i produkcyjnością siedliska zdefiniowanego przez warunki początkowe. Model ten opisuje nie tylko zależność między wysokoscią i wiekiem, jak w przypadku modelu [1], ale również zależności między wysokością i produk cyjnością oraz wiekiem i produkcyjnością. Pomimo, że model [3] nie był dopasowany do wartości z klasy Ia, może być on w prak tycznym zastosowaniu użyty dla tej klasy z większą ufnością, niż model [1] dopasowany do niej. Uzasadnienie tego jest takie, że klasa Ia była pierwotnie stworzona przez ekstrapolację wartoś ci z pozostałych klas [Szymkiewicz 1949] za pomocą metod uboższych, niż przedstawione w niniejszej pracy nowoczesne sposoby analizy matematyczno statystycznej. Tak więc model [3] tylko pozornie reprezentuje klasę bonitacji Ia gorzej, niż model [1]. W rzeczywistości nato miast nie tylko jego przedstawienie tej klasy produkcyjności jest z pewnością lepsze, niż dostar czone przez model [1], ale w gruncie rzeczy jest ono najprawdopodobniej wręcz bardziej odpowiednie (lepiej reprezentujące rzeczywistość), niż same wartości tablic Szymkiewicza dla tej klasy. Innymi słowy, najprawdopodobniej model [3] opisuje klasę Ia tak, jakby była ona zbu dowana na podstawie bezpośrednich danych pomiarowych, czyli podaje dane bliższe rzeczy wistości, niż tablice ekstrapolowane przez Szymkiewicza. Stwierdzenie to odnosi się w pełni również do wszystkich innych wartości leżących między klasami I i Ia. Jednocześnie duże podobieństwo pomiędzy przewidywaniami modelu [3] dla klasy Ia i odpowiadającymi im wartościami tablicowych jest potwierdzeniem dobrej ekstrapolacji wykonanej przez Szymkiewicza, co w tamtym okresie było trudnym problemem [Szymkiewicz 1948, 1949].
9 Model bonitacyjny dla sosny 59 a) b) Ryc. 3. Model [3] jako trójwymiarowa przestrzeń zdefiniowana przez ciągłe wartości wieku, klasy bonitacji i wyso kości (ryc. 3a), która może być użyta do definiowania krzywych wzrostu porzez przecięcie z płaszczyzną sieczną zdefiniowaną dla dowolnej stałej w klasie bonitacji (ryc. 3b). Model [3] as a three dimensional space defined by continuous values of age, site quality class and height (Fig. 3a) which can be used in defining height curves through the intersection with the secant plane defined for any constant in the site quality class (Fig. 3b)
10 60 Chris J. Cieszewski, Michał Zasada Nie jest natomiast jasne w jakim stopniu wymienione stwierdzenie odnosi się do klasy V, reprezentowanej przez minimalną liczbę danych, które najprawdopodobniej pochodziły z drze wostanów różnowiekowych [Bruchwald i in. 1979]. Z drugiej jednak strony drzewostany w klasie bonitacji V są bez istotnego znaczenia gospodarczego. Według Bruchwalda i Kliczkowskiej [1997, 2000] średnia bonitacja drzewostanów sosnowych na bardzo słabym siedlisku (bór suchy) wynosi około 17 metrów (wysokość górna mierzona w wieku 100 lat), co odpowiada w przybliżeniu boni tacji IV. Stosunkowo mało prawdopodobne jest więc znalezienie drzewosta nów gospodarczych należących do klasy V, która ma średnią wysokość około 12,5 metra w wieku 100 lat, i która według statystyk stanowi 2,3% ogólnej powierzchni leśnej w Lasach Państwowych [ZHL 1988]. Główne różnice modelu [3] w stosunku do wartości z klasy V występują dla wieku od 30 do 50 lat (ryc. 2c) podczas gdy przewidywania tego modelu dla wieku od 0 do 20 lat (dla wszystkich klas bonitacji) są znacznie rozsądniejsze, niż prognozy modelu [1] (por. ryc. 1a i ryc. 1c). Jednakże, jako że generalnie błędy modelu [3] są w granicach wartości błędów po miarowych (tab. 3), model ten może być tak czy owak praktycznie akceptowalny dla klasy V i w związku z tym również dla dowolnej interpolacji pomiędzy klasami IV i V. Ogólnie rzecz biorąc wydaje się oczywiste, że model [3], dopasowany równocześnie do kilku klas bonitacji, powinien dawać większe błędy, niż model [1] dopasowany do każdej klasy osobno. Analogicznie model [1] dopasowany do wszystkich klas wieku w obrębie klasy bonitacji dawać będzie większe błędy, niż przy dopasowaniu tylko do ich części. Z tego też względu opieranie się wyłącznie na bezpośrednich wartościach błędów w analizie modeli może być bezpodstawne i mylące. Inne miary, np. błąd standardowy przewidywań, uwzględniający również liczbę szacowanych parametrów, są w tym przypadku znacznie bardziej uzasadnione. I tak model [3] ma mniejszy błąd standardowy, niż model [1] (tab. 2), chociaż ma on większą sumę kwadratów odchyleń ze względu na jego dopasowanie do bardziej skomplikowanego zbioru danych, opisującego równocześnie wzrost dla różnych klas bonitacji zamiast pojedynczej serii wzrostu. W prostszym ujęciu oznacza to, że nawet gdyby obydwa modele opisywały te same relacje, model [3] z mniejszym błędem standardowym byłby bardziej parsymonijny, niż model [1]. Jednakże w przypadku porównania modeli [1] i [3], różnica w błędach standardowych nie odzwierciedla najistotniejszej przewagi równania [3] nad równaniem [1]. Przewaga ta jest zawarta głównie w tym, że model [3] opisuje ciągłą relację pomiędzy wzrostem, wiekiem i pro dukcyjnością siedliska zamiast tylko pojedynczej relacji pomiędzy wysokością i wiekiem dla pojedynczej serii wzrostu. Oznacza to, że nie tylko dopasowanie modelu [3] jest statystycznie lepsze, niż dopasowanie modelu [1], ale również to, że model [3] wyraża większy zasięg relacji pomiędzy większą liczbą zmiennych i opisuje modelowane zjawisko na podstawie większej licz by danych. Na dodatek model [3] jest biologicznie znacznie bardziej uzasadniony niż model [1], ponieważ model [1] przewiduje nierealne wartości dla młodych drzewostanów poniżej 20 lat (ryc. 1a), zaś model [3] przewiduje dla tych klas wieku sensowne wartości (ryc. 1c, d), które mogą być stosowane jako interpolacja modelu dla młodszych drzewostanów. Podsumowanie i wnioski W niniejszej pracy przedstawione zostało porównanie różnych funkcji zastosowanych do opisu schematu zmian z wiekiem wysokości przeciętnej drzewostanów sosnowych zawartego w tabli cach Szymkiewicza. Do analizy wybrane zostały funkcje reprezentujące różne podejście do modelowania bonitacji, indeksu bonitacyjnego i wzrostu wysokości: oddzielne równania dla poszczególnych klas bonitacji siedliska na przykładzie zmody fikowanej przez Jarosza i Kłapcia [2002] funkcji Gompertza [1825],
11 Model bonitacyjny dla sosny 61 dynamiczne równanie anamorficzne wyprowadzone przez Cieszewskiego i Zasadę [2002] jako udoskonalenie modelu Bruchwalda dla sosny [Bruchwald 1985, 1988], opartego na funkcji Hossfelda [1822], i dynamiczne równanie polimorficzne ze zmiennymi asymptotami w postaci wyprowa dzonej przez Cieszewskiego [2001] również z podstawowej funkcji Hossfelda [1822]. Dopasowanie modelu [1] Jarosza i Kłapcia [2002] do danych okazało się słabsze, niż dla modelu [3] (błąd standardowy większy, niż dla modelu [3] z powodu znacznie większej liczby para metrów). Ponadto, ze względu na utrudnioną interpolację między różnymi klasami bonitacji, rozwiązanie to nie stanowi optymalnego podejścia do modelowania krzywych wzrostu wysokoś ci. Równanie dynamiczne [2] [Cieszewski i Zasada 2002] wykazuje wiele zalet w stosunku do oddzielnych krzywych wzrostowych dla każdej klasy bonitacji, ale jest zbyt mało elastyczne do wystarczająco dobrego opisu danych. Dynamiczne równanie polimorficzne ze zmiennymi asymptotami [3] [Cieszewski 2001] dało najlepsze rezultaty i najlepsze wyrównanie danych. Model [3] jest polecany do użytku w miejsce innych modeli będących substytutem trady cyjnych tablic Szymkiewicza [1971]. W pracy tej zostało również dowiedzione, że przewidywa nia proponowanego modelu powinny być dokładniejsze, niż oryginalne wartości zawarte w tablicach. Szczególnie wartości wysokości dla klasy bonitacji Ia pochodzące z modelu [3] mogą być bardziej odpowiednie, niż oryginalne wartości w tablicach Szymkiewicza dla sosny, które są oparte na ręcznej ekstrapolacji z pozostałych danych. Proponowana metodyka jest zalecana do stosowania we wszystkich podobnych rozwiązaniach zastępujących zależności między różnymi cechami w istniejących tablicach oraz przy tworzeniu nowych modeli. Literatura Bailey R.L., Clutter J.L., Base age invariant polymorphic site curves. For. Sci. 20: Borders B.E., Bailey R.L., Ware K.D., Slash pine site index from a polymorphic model by joining (splining) nonpolynomial segments with an algebraic difference method. For. Sci. 30: Bruchwald A., Change in Top Height of Pine Forest Stands with Age. Bull. Acad. Pol. Sc., Ser. Biol., 5: Bruchwald A., 1985: Model wzrostowy MDI 1 dla sosny. Las Pol. 9: 10, 15. Bruchwald A., Introductory program of the MDI 1 growth model for Scots pine. Ann. Warsaw Agric. Univ. SGGW AR, For. and Wood Technol., 36: 3 9. Bruchwald A., Rymer Dudzińska T., Dudek A., Wróblewski L., Ocena schematu Schwappacha i Płońskiego przebiegu z wiekiem średniej wysokości drzewostanów sosnowych. Sylwan, 3: 1 9. Bruchwald A., Kliczkowska A., Kształtowanie się bonitacji dla drzewostanów sosnowych Polski. Prace IBL, s. A, 838. Bruchwald A., Kliczkowska A., Kształtowanie się bonitacji dla drzewostanów sosnowych Polski. W: Przestrzenne zróznicowanie wzrostu sosny. Fundacja Rozwój SGGW: Bruchwald A., Michalak K., Wróblewski L., Zasada M., Analiza funkcji wzrostu wysokości dla różnych regionów Polski. W: Przestrzenne zróżnicowanie wzrostu sosny. Fundacja Rozwój SGGW : Cieszewski C.J., Analytical Solution to the Generalized Log Logistic Equation. For. Sci. 46: Cieszewski C.J., Three methods of deriving advanced dynamic site equations demonstrated on Inland Douglas fir site curves. Can. J. For. Res. 31 (1): Cieszewski C.J., Comparing fixed and variable base age polymorphic site equations having single versus mul tiple asymptotes. For. Sci. 48(1): Cieszewski C.J., Bailey R.L., Generalized Algebraic Difference Approach: A New Methodology for Derivation of Biologically Based Dynamic Site Equations. For. Sci. 46: Cieszewski C.J., Bella L.E., Polymorphic height and site index curves for lodgepole pine in Alberta. Can. J. For. Res. 19: Cieszewski C.J., Bella I.E., Walker D., Implementation of a base age invariant height model for lodgepole pine in company timber supply analysis. For. Chron. 75:1 3. Cieszewski C.J., Harrison M.W., Martin S.W., Examples of Practical Methods for Unbiased Parameter Estimation in Self Referencing Functions. W: Cieszewski C.J. (Editor) Materiały The First International Conference on Measurements and Quantitative Methods and Management, Jekyll Island, Georgia, listopa da 1999.
12 62 Chris J. Cieszewski, Michał Zasada Cieszewski C.J., Nigh G., A Dynamic Equation for a Sitka Spruce Height Age Model. For. Chron. 78(5): 1 5. Cieszewski C.J., Zasada M., Dynamiczna forma anamorficznego modelu bonitacyjnego dla sosny pospolitej w Polsce. Sylwan, 7: Curtis R.O., Demars D.J., Herman F.R., Which dependent variable in site index height age regression? For. Sci. 20: Czarnowski M.S., Przyrost wysokości sosny pospolitej. Kosmos, , 1 3: Elfving B., Kiviste A., Construction of site index equations for Pinus sylvestris L. using permanent plot data in Sweden. For. Ecol. Manag. 98: Gompertz B., On the nature of the function expressive of the law of human mortality, and a new mode of deter mining the value of live contengencies. Phil. Trans. Roy. Soc. 182, Graves H.S., Forest Mensuration. John Wiley & Sons, New York, First Edition: Hossfeld J.W., Mathematik für Forstmänner, Ökonomen und Cameralisten. Gotha, T. 4. Bd., S Jarosz K., Kłapeć B., Modelowanie wzrostu wysokości przy pomocy funkcji Gompertza. Sylwan, 4: Monserud R.A., Height growth and site index curves for inland Douglas fir based on stem analysis data and forest habitat type. For. Sci. 30: Schumacher F.X., A new growth curve and its application to timber yield studies. J. For. 37: Socha J., Matematyczne ujęcie bonitacji siedliska. Sylwan, 2: Stage A.R., A mathematical approach to polymorphic site index curves for grand fir. For. Sci. 9: Szymkiewicz B., Niektóre zagadnienia dotyczące tablic zasobności drzewostanów sosnowych. Prace IBL, s. A., 54. Szymkiewicz B., Rozszerzenie tablic zasobności Schwappacha dla sosny o klasę Ia. Sylwan 3 4. Szymkiewicz B., Tablice zasobności i przyrostu drzewostanów ważniejszych gatunków drzew leśnych, zesta wione na podstawie tablic niemieckich, radzieckich i polskich. PWRiL Warszawa. ZHL Zasady Hodowli Lasu. Wydanie V znowelizowane. Ministerstwo Rolnictwa i Gospodarki Żywnościowej, PWRiL Warszawa. summary Site index model for Scots pine based on Szymkiewicz yield tables Different functions used for the description of the pattern of changes in the mean height of pine stands over time included in the yield tables by Szymkiewicz were compared in the paper. The functions representing different approaches to modelling site quality, site index and height growth were selected for the analysis: a separate equations for individual site quality classes on the example of the Gompertz function [1825] modified by Jarosz and Kłapeć [2002], a dynamic anamorphic equation proposed by Cieszewski and Zasada [2002] as a modifi cation of the Bruchwald model for pine [Bruchwald 1985, 1986, 1988] based on the Hossfeld function [1822] and a dynamic polymorphic equation with variable asymptotes in the form also derived from the Hossfeld function [1822] by Cieszewski [2001]. Fitting the model [1] of Jarosz and Kłapeć [2002] to the data appeared to be weaker than that for the model [3] (standard error greater than that for the model [3] with the higher number of parameters). Besides, due to difficult interpolation between various site quality classes, this solu tion is not an optimal solution to modelling the height growth curves. The dynamic equation [Cieszewski and Zasada 2002] has many advantages as compared with the separate growth curves for individual site quality classes, but it does not show sufficient flexibility to obtain an efficient data description. The dynamic polymorphic equation with variable asymptotes [3] [Cieszewski 2001] proved the most desirable evenness of data. The model [3] is recommended for use to replace other models being alternative to the traditional Szymkiewicz yield tables [1952, 1971]. The paper proves that the predictions of the proposed mode should be more precise than the original values contained in the tables. The height values for the Ia site quality class deriving from the model [3] should be particularly more suitable than the original values in the Szymkiewicz yield tables for pine as being based on manual extrapolation with other data.
Model wzrostu wysokości
Model wzrostu wysokości Modele wzrostu wysokości w matematyczny sposób ujmują zmiany wysokości drzewa z wiekiem. Najprostszym sposobem prześledzenia zmian wysokości drzewa z wiekiem są tablice zasobności.
Modelowanie wzrostu drzew i drzewostanów
Modelowanie wzrostu drzew i drzewostanów Zajęcia specjalizacyjne i fakultet Dr hab. Michal Zasada Samodzielny Zakład Dendrometrii i Nauki o Produkcyjności Lasu Wydział Leśny SGGW w Warszawie Stacjonarne
Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Geoinformacja o lasach w skali kraju z pomiarów naziemnych. Baza danych WISL - wykorzystanie informacji poza standardowymi raportami
Geoinformacja o lasach w skali kraju z pomiarów naziemnych. Baza danych WISL - wykorzystanie informacji poza standardowymi raportami Bożydar Neroj, Jarosław Socha Projekt zlecony przez Dyrekcję Generalną
LABORATORIUM Z FIZYKI
LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)
( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Analiza składowych głównych. Wprowadzenie
Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących
Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
KORELACJA 1. Wykres rozrzutu ocena związku między zmiennymi X i Y. 2. Współczynnik korelacji Pearsona
KORELACJA 1. Wykres rozrzutu ocena związku między zmiennymi X i Y 2. Współczynnik korelacji Pearsona 3. Siła i kierunek związku między zmiennymi 4. Korelacja ma sens, tylko wtedy, gdy związek między zmiennymi
ANALIZA DYNAMIKI DOCHODU KRAJOWEGO BRUTTO
ANALIZA DYNAMIKI DOCHODU KRAJOWEGO BRUTTO Wprowadzenie Zmienność koniunktury gospodarczej jest kształtowana przez wiele różnych czynników ekonomicznych i pozaekonomicznych. Znajomość zmienności poszczególnych
PROGNOZOWANIE CENY OGÓRKA SZKLARNIOWEGO ZA POMOCĄ SIECI NEURONOWYCH
InŜynieria Rolnicza 14/2005 Sławomir Francik Katedra InŜynierii Mechanicznej i Agrofizyki Akademia Rolnicza w Krakowie PROGNOZOWANIE CENY OGÓRKA SZKLARNIOWEGO ZA POMOCĄ SIECI NEURONOWYCH Streszczenie W
ZASTOSOWANIE MODELU GOMPERTZ A W INŻYNIERII ROLNICZEJ
Inżynieria Rolnicza 7(105)/2008 ZASTOSOWANIE MODELU GOMPERTZ A W INŻYNIERII ROLNICZEJ Zofia Hanusz Katedra Zastosowań Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Zbigniew Siarkowski, Krzysztof Ostrowski
w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy
MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze
Knovel Math: Jakość produktu
Knovel Math: Jakość produktu Knovel jest agregatorem materiałów pełnotekstowych dostępnych w formacie PDF i interaktywnym. Narzędzia interaktywne Knovel nie są stworzone wokół specjalnych algorytmów wymagających
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
WPŁYW SZYBKOŚCI STYGNIĘCIA NA WŁASNOŚCI TERMOFIZYCZNE STALIWA W STANIE STAŁYM
2/1 Archives of Foundry, Year 200, Volume, 1 Archiwum Odlewnictwa, Rok 200, Rocznik, Nr 1 PAN Katowice PL ISSN 1642-308 WPŁYW SZYBKOŚCI STYGNIĘCIA NA WŁASNOŚCI TERMOFIZYCZNE STALIWA W STANIE STAŁYM D.
Nauka o produkcyjności lasu
Nauka o produkcyjności lasu Wykład 6 Studia I Stopnia, kierunek leśnictwo Konkurencja Czynnki abiotyczne Czynniki biotyczne Czynniki antropogeniczne wzrost konkurencja Struktura drzewostanu SIEDLISKO Konkurencja
Niepewności pomiarów
Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane
Dopasowywanie modelu do danych
Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik
MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą
Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE
Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE Prognozowanie jest procesem przewidywania przyszłych zdarzeń. Obszary zastosowań prognozowania obejmują np. analizę danych giełdowych, przewidywanie zapotrzebowania na pracowników,
Ścieżka rozwoju polskiej gospodarki w latach gospodarki w latach W tym celu wykorzystana zostanie metoda diagramowa,
Barbara Batóg, Jacek Batóg Uniwersytet Szczeciński Ścieżka rozwoju polskiej gospodarki w latach - W artykule podjęta zostanie próba analizy, diagnozy i prognozy rozwoju polskiej gospodarki w latach -.
Porównywanie populacji
3 Porównywanie populacji 2 Porównywanie populacji Tendencja centralna Jednostki (w grupie) według pewnej zmiennej porównuje się w ten sposób, że dokonuje się komparacji ich wartości, osiągniętych w tej
BŁĘDY OKREŚLANIA MASY KOŃCOWEJ W ZAKŁADACH SUSZARNICZYCH WYKORZYSTUJĄC METODY LABORATORYJNE
Inżynieria Rolnicza 5(103)/2008 BŁĘDY OKREŚLANIA MASY KOŃCOWEJ W ZAKŁADACH SUSZARNICZYCH WYKORZYSTUJĄC METODY LABORATORYJNE Zbigniew Zdrojewski, Stanisław Peroń, Mariusz Surma Instytut Inżynierii Rolniczej,
ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34
Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 006 Bogusław GUZIK ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO W artykule sformułowano standardowy układ założeń stochastycznych
NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ SERII NORM PN-EN ISO 3740
PRACE INSTYTUTU TECHNIKI BUDOWLANEJ - KWARTALNIK BUILDING RESEARCH INSTITUTE - QUARTERLY 2 (162) 2012 ARTYKUŁY - REPORTS Anna Iżewska* NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ
deep learning for NLP (5 lectures)
TTIC 31210: Advanced Natural Language Processing Kevin Gimpel Spring 2019 Lecture 6: Finish Transformers; Sequence- to- Sequence Modeling and AJenKon 1 Roadmap intro (1 lecture) deep learning for NLP (5
Nauka o produkcyjności lasu
Nauka o produkcyjności lasu Wykład 9 Studia I Stopnia, kierunek leśnictwo Treść wykładu: Pojęcia związane z produkcyjnością drzewostanów i tablicami zasobności Tablice zasobności: ich budowa, historia
DOPASOWYWANIE KRZYWYCH
DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.
PAKIETY STATYSTYCZNE
. Wykład wstępny PAKIETY STATYSTYCZNE 2. SAS, wprowadzenie - środowisko Windows, Linux 3. SAS, elementy analizy danych edycja danych 4. SAS, elementy analizy danych regresja liniowa, regresja nieliniowa
WYKORZYSTANIE MODELI AUTOREGRESJI DO PROGNOZOWANIA SZEREGU CZASOWEGO ZWIĄZANEGO ZE SPRZEDAŻĄ ASORTYMENTU HUTNICZEGO
5/18 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2006, Rocznik 6, Nr 18 (1/2) ARCHIVES OF FOUNDRY Year 2006, Volume 6, N o 18 (1/2) PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 WYKORZYSTANIE MODELI AUTOREGRESJI DO PROGNOZOWANIA SZEREGU
Projektowanie systemów pomiarowych. 02 Dokładność pomiarów
Projektowanie systemów pomiarowych 02 Dokładność pomiarów 1 www.technidyneblog.com 2 Jak dokładnie wykonaliśmy pomiar? Czy duża / wysoka dokładność jest zawsze konieczna? www.sparkfun.com 3 Błąd pomiaru.
Regresja logistyczna (LOGISTIC)
Zmienna zależna: Wybór opcji zachodniej w polityce zagranicznej (kodowana jako tak, 0 nie) Zmienne niezależne: wiedza o Unii Europejskiej (WIEDZA), zamieszkiwanie w regionie zachodnim (ZACH) lub wschodnim
Prognoza terminu sadzenia rozsady sałaty w uprawach szklarniowych. Janusz Górczyński, Jolanta Kobryń, Wojciech Zieliński
Prognoza terminu sadzenia rozsady sałaty w uprawach szklarniowych Janusz Górczyński, Jolanta Kobryń, Wojciech Zieliński Streszczenie. W uprawach szklarniowych sałaty pojawia się następujący problem: kiedy
Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia
Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki
Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);
FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS
FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION
Ćw. 32. Wyznaczanie stałej sprężystości sprężyny
0/0/ : / Ćw.. Wyznaczanie stałej sprężystości sprężyny Ćw.. Wyznaczanie stałej sprężystości sprężyny. Cel ćwiczenia Sprawdzenie doświadczalne wzoru na siłę sprężystą $F = -kx$ i wyznaczenie stałej sprężystości
Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych
Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych autor: Robert Drab opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter 1. Wstęp Zagadnienie generowania trójwymiarowego
Zmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka
Zmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka Jakub S. Prauzner-Bechcicki Grupa: Chemia A Kraków, dn. 7 marca 2018 r. Plan wykładu Rozważania wstępne Prezentacja wyników
Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków
36/3 Archives of Foundry, Year 004, Volume 4, 3 Archiwum Odlewnictwa, Rok 004, Rocznik 4, Nr 3 PAN Katowice PL ISSN 64-5308 CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ E. ZIÓŁKOWSKI
Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.
Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych
NAPRĘŻENIA ŚCISKAJĄCE PRZY 10% ODKSZTAŁCENIU WZGLĘDNYM PRÓBEK NORMOWYCH POBRANYCH Z PŁYT EPS O RÓŻNEJ GRUBOŚCI
PRACE INSTYTUTU TECHNIKI BUDOWLANEJ - KWARTALNIK 1 (145) 2008 BUILDING RESEARCH INSTITUTE - QUARTERLY No 1 (145) 2008 Zbigniew Owczarek* NAPRĘŻENIA ŚCISKAJĄCE PRZY 10% ODKSZTAŁCENIU WZGLĘDNYM PRÓBEK NORMOWYCH
ZASTOSOWANIE SPLOTU FUNKCJI DO OPISU WŁASNOŚCI NIEZAWODNOŚCIOWYCH UKŁADÓW Z REZERWOWANIEM
1-2011 PROBLEMY EKSPLOATACJI 205 Zbigniew ZDZIENNICKI, Andrzej MACIEJCZYK Politechnika Łódzka, Łódź ZASTOSOWANIE SPLOTU FUNKCJI DO OPISU WŁASNOŚCI NIEZAWODNOŚCIOWYCH UKŁADÓW Z REZERWOWANIEM Słowa kluczowe
Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
ANALIZA REGRESJI SPSS
NLIZ REGRESJI SPSS Metody badań geografii społeczno-ekonomicznej KORELCJ REGRESJ O ile celem korelacji jest zmierzenie siły związku liniowego między (najczęściej dwoma) zmiennymi, o tyle w regresji związek
Rozpoznawanie twarzy metodą PCA Michał Bereta 1. Testowanie statystycznej istotności różnic między jakością klasyfikatorów
Rozpoznawanie twarzy metodą PCA Michał Bereta www.michalbereta.pl 1. Testowanie statystycznej istotności różnic między jakością klasyfikatorów Wiemy, że możemy porównywad klasyfikatory np. za pomocą kroswalidacji.
Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów re
Wykład 4 Wybór najlepszej procedury. Estymacja parametrów regresji z wykorzystaniem metody bootstrap. Wrocław, 22.03.2017r Wybór najlepszej procedury - podsumowanie Co nas interesuje przed przeprowadzeniem
Regresja linearyzowalna
1 z 5 2007-05-09 23:22 Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Regresja linearyzowalna mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie Data utworzenia:
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Statystyka i Analiza Danych
Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania wybranych technik regresyjnych do modelowania współzależności zjawisk Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki
Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817
Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Zadanie 1: wiek 7 8 9 1 11 11,5 12 13 14 14 15 16 17 18 18,5 19 wzrost 12 122 125 131 135 14 142 145 15 1 154 159 162 164 168 17 Wykres
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2)
Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2) Wprowadzenie Na poprzednim wykładzie wprowadzone zostały statystyki opisowe nazywane miarami położenia (średnia, mediana, kwartyle, minimum i maksimum, modalna oraz
Regresja i Korelacja
Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja W przyrodzie często obserwujemy związek między kilkoma cechami, np.: drzewa grubsze są z reguły wyższe, drewno iglaste o węższych słojach ma większą gęstość, impregnowane
ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH
Małgorzata Szerszunowicz Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Wprowadzenie Statystyczna kontrola jakości ma na celu doskonalenie procesu produkcyjnego
Metody komputerowe statystyki Computer Methods in Statistics. Matematyka. Poziom kwalifikacji: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 3L
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Metody komputerowe statystyki Computer Methods in Statistics Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład,
Zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów kierunku zamawianego Biotechnologia na Wydziale Biologii i Ochrony Środowiska rok akademicki 2010/2011
Zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów kierunku zamawianego Biotechnologia na Wydziale Biologii i Ochrony Środowiska rok akademicki 2010/2011 Kierunek zamawiany: Biotechnologia Liczba grup: 2 (po
WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH
Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Zarządzanie sieciami telekomunikacyjnymi
SNMP Protocol The Simple Network Management Protocol (SNMP) is an application layer protocol that facilitates the exchange of management information between network devices. It is part of the Transmission
MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ
Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie
Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznego nt. Wybrane metody statystyczne w analizach makroekonomicznych dr
Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 3. Zmienne losowe 4. Populacje i próby danych 5. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test
Analiza korelacyjna i regresyjna
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Analiza korelacyjna i regresyjna Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, kwiecień 2014 Podstawy Metrologii i
Pattern Classification
Pattern Classification All materials in these slides were taken from Pattern Classification (2nd ed) by R. O. Duda, P. E. Hart and D. G. Stork, John Wiley & Sons, 2000 with the permission of the authors
Statystyka. Wykład 13. Magdalena Alama-Bućko. 12 czerwca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 12 czerwca / 30
Statystyka Wykład 13 Magdalena Alama-Bućko 12 czerwca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 12 czerwca 2017 1 / 30 Co wpływa na zmiany wartości danej cechy w czasie? W najbardziej ogólnym przypadku, na
Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Obliczanie wartości średniej i odchylenia standardowego średniej w programie Origin
Obliczanie wartości średniej i odchylenia standardowego średniej w programie Origin Po uruchomieniu programu pojawia się arkusz kalkulacyjny Data1, do którego (w dowolnej kolumnie) wpisujemy wyniki pomiarów
Inwentaryzacja zasobów drzewnych
Inwentaryzacja zasobów drzewnych Metody inwentaryzacji zapasu. Charakterystyka metody reprezentacyjnej. Przypomnienie Metody inwentaryzacji: - pomiarowa - szacunkowa - pomiarowo-szacunkowa - reprezentacyjna
BADANIA ZRÓŻNICOWANIA RYZYKA WYPADKÓW PRZY PRACY NA PRZYKŁADZIE ANALIZY STATYSTYKI WYPADKÓW DLA BRANŻY GÓRNICTWA I POLSKI
14 BADANIA ZRÓŻNICOWANIA RYZYKA WYPADKÓW PRZY PRACY NA PRZYKŁADZIE ANALIZY STATYSTYKI WYPADKÓW DLA BRANŻY GÓRNICTWA I POLSKI 14.1 WSTĘP Ogólne wymagania prawne dotyczące przy pracy określają m.in. przepisy
Analiza sezonowości. Sezonowość może mieć charakter addytywny lub multiplikatywny
Analiza sezonowości Wiele zjawisk charakteryzuje się nie tylko trendem i wahaniami przypadkowymi, lecz także pewną sezonowością. Występowanie wahań sezonowych może mieć charakter kwartalny, miesięczny,
PRÓBA OSZACOWANIA AKTUALNEJ WARTOŚCI WSKAŹNIKA KOSZTU NAPRAW CIĄGNIKÓW ROLNICZYCH UŻYTKOWANYCH W WARUNKACH GOSPODARSTW WIELKOOBSZAROWYCH
Roczniki Akademii Rolniczej w Poznaniu CCCLVIII (2003) ZENON GRZEŚ PRÓBA OSZACOWANIA AKTUALNEJ WARTOŚCI WSKAŹNIKA KOSZTU NAPRAW CIĄGNIKÓW ROLNICZYCH UŻYTKOWANYCH W WARUNKACH GOSPODARSTW WIELKOOBSZAROWYCH
Fig 5 Spectrograms of the original signal (top) extracted shaft-related GAD components (middle) and
Fig 4 Measured vibration signal (top). Blue original signal. Red component related to periodic excitation of resonances and noise. Green component related. Rotational speed profile used for experiment
Analiza współzależności zjawisk
Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.
Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego
2019/02/14 13:21 1/5 Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego Ćw. nr 1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego 1. Cel ćwiczenia Wyznaczenie przyspieszenia
W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:
Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,
Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)
ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
MODEL WZROSTU NIEPIELĘGNOWANYCH DRZEWOSTANÓW SOSNOWYCH * II. LOKALNY MODEL BONITACYJNY PINUS
ACTA SCIENTIARUM POLONORUM Silv. Colendar. Rat. Ind. Lignar. 12(3) 2013, 15-23 MODEL WZROSTU NIEPIELĘGNOWANYCH DRZEWOSTANÓW SOSNOWYCH * II. LOKALNY MODEL BONITACYJNY PINUS Cezary Beker, Tomasz Andrzejewski
Inwentaryzacja zasobów drzewnych w IV rewizji urządzania lasu
Inwentaryzacja zasobów drzewnych w IV rewizji urządzania lasu - ogólnie Obecnie obowiązuje statystyczna metoda reprezentacyjnego pomiaru miąższości w obrębie leśnym. Metoda reprezentacyjna oznacza, iż
ANALIZA ISTNIEJĄCYCH DZIAŁEK SIEDLISKOWYCH NA TERENIE GMINY DOMANIÓW
Problemy Inżynierii Rolniczej nr 3/2009 Edmund Mulica, Edward Hutnik Katedra Budownictwa i Infrastruktury Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu ANALIZA ISTNIEJĄCYCH DZIAŁEK SIEDLISKOWYCH NA TERENIE GMINY
ANALIZA DOPASOWANIA POLIPOWIERZCHNI SKLEJANYCH DO POWIERZCHNI SIATKOWYCH ANALYSIS OF COMBINED POLYSURFACES TO MESH SURFACES MATCHING
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 83 Nr kol. 1904 Marek WYLEŻOŁ 1 ANALIZA DOPASOWANIA POLIPOWIERZCHNI SKLEJANYCH DO POWIERZCHNI SIATKOWYCH Streszczenie. Artykuł dotyczy przykładu
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR Wojciech Zieliński Katedra Ekonometrii i Statystyki SGGW Nowoursynowska 159, PL-02-767 Warszawa wojtek.zielinski@statystyka.info
Edward Sawiłow Analiza dokładności określenia jednostkowej wartości nieruchomości metodą korygowania ceny średniej
Edward Sawiłow Analiza dokładności określenia jednostkowej wartości nieruchomości metodą korygowania ceny średniej Acta Scientiarum Polonorum. Administratio Locorum 5/1/2, 63-71 2006 .J jm rot ł? J2 %
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący