Zadanie T1. Rys. 1. Rys. 2.

Transkrypt

1 ZADANIA TEORETYCZNE Należy przesłać rozwiazania trzech(i tylko trzech) dowolnie wybranych zadań teoretycznych. Za każde z trzech zadań można otrzymać maksimum 20 punktów. Zadanie T1 Rys. 1. Rozważmy klocek(patrzrys.1)omasiem, któregojednaczęść jestściętapodk atem 45 o dopoziomu. Wysokośćklockawynosih,aściętaczęśćkończysięnawysokościh/2. Klocek może ślizgać się bez tarcia po poziomym stole. Naklockupołożonomałeciałoomasiem(patrzRys.1),którezaczęłosięześlizgiwaćbez tarcia po klocku. Rozważajac dwa przypadki: a)m m; b)m m; wyznacz odległość d między klockiem a ciałem w chwili, gdy ciało uderzy w stół. W którym z tych przypadków szukana odległość jest większa? Przyspieszenie ziemskie wynosi g. Zadanie T2 Rys. 2. 2

2 Cylinderztłokiemomasie M i powierzchnis jestustawiony pionowowpolu grawitacyjnym o natężeniu g (patrz Rys. 2). Cylinder jest wypełniony jednoatomowym gazem doskonałym, poczatkowootemperaturzet 0 iobjętościv 0. Gazjestizolowanytermicznie od otoczenia. Między ściankami cylindra a tłokiem nie występuje tarcie, a na zewnatrz cylindra jest próżnia. Na tłoku postawiono ciężarek o masie m. Wyznacz temperaturę T k gazu po ustaleniu się stanu równowagi. Pomiń pojemność cieplna cylindra i tłoka. Zadanie T3 Elektryczna czarna skrzynka z dwoma wyprowadzeniami została dołaczona do źródła napięcia5v.potymdołaczeniunatężeniepłyn acegopr adu zmieniało się w czasie. Przez pierwszekilkamikrosekundwynosiłookoło1a,poupływie1msbyłobliskie0,5aprzez kolejne kilka milisekund. Po 1 s przez skrzynkę płyn ał pr ad o natężeniu około 2 A, które prawie nie zmieniało się przez dowolnie długi czas. Zaprojektuj wnętrze tej czarnej skrzynki, wykorzystujac tylko oporniki, cewki i kondensatory w sumie nie więcej niż 6 elementów. Podaj parametry(oporność, indukcyjność lub pojemność) użytych elementów. Zadanie T4 numeryczne Rozważmał akulkęomasiem=0,1kgzawieszon ananiciodługościl=1m. Opróczsiły ciężkościnakulkędziałasiłaoporuproporcjonalnadokwadratuprędkości: F oporu =b v 2. Wchwilit=0nitkajestodchylonaodpionuok at90 o. Wyznacz numerycznie zależność od czasu kata,ojakinićodchylasięodpionu,wprzedziale czasuod0do100siwykonajodpowiedniwykresdlastałychbrównych0kg/m,0,0025 kg/m oraz 0,01 kg/m. Dla każdego z wykresów podaj czas, po którym amplituda drgań spadnie do połowy oraz czas, po którym spadnie do jednej czwartej poczatkowej wartości. Przyjmij,żeprzyspieszenieziemskiewynosig=9,81m/s 2. Uwaga: Rozwiazanie powinno zawierać: (i)wzoryużywanewrozwi azaniu wraz z wyprowadzeniem lub uzasadnieniem; (ii) opis zastosowanego algorytmu; (iii) opis kodu programu(lub np. arkusza kalkulacyjnego) użytego do rozwiazania wraz ze sposobem zagwarantowania(lub sprawdzenia) właściwej dokładności wyników; (iv) wykresy ruchu kulki dla każdej z podanych wartości b; (v) czasy, o których mowa w poleceniu; (vi) jakościowe omówienie otrzymanych wyników. Nie jest dopuszczalne użycie programów do obliczeń symbolicznych lub programów wyznaczajacych tor lub ruch automatycznie po podaniu wzoru na siłę. Dodatkowe wskazówki dotyczacerozwi azywania zadań numerycznych znajdziesz w treściachirozwi azaniach zadań numerycznych z poprzednich olimpiad. 3

3 Rozwiazanie zadania T1. Przypadek a) Zuwaginaduż amasęklockamożemyprzyj ać, że pozostaje on nieruchomy, natomiast ciało najpierw zsuwa się z wysokości h/2 po pochyłej części klocka, a następnie spada swobodnie z wysokości h/2zprędkości apocz atkowa skierowanapodk atem45 o dopionu. Z zasady zachowania energii wnioskujemy, że w momencie oderwania od klocka wartość prędkości ciała jest równa v 1 = gh. (1) Pozioma składowa prędkości to v poz = v 1 / 2, a pionowa składowa to v pion = v 1 / 2. Oznaczaj ac przez t czas swobodnego spadku ciała, mamy h 2 =1 2 gt2 +v pion t, (2) d=v poz t. (3) Rozwiazuj acrównaniekwadratowenatiwybieraj ac dodatni pierwiastek, otrzymujemy t= v pion+ (v pion ) 2 +gh. (4) g Zatem w przypadku a) d= gh/2+ gh/2+gh g gh 2 = 3 1 h. (5) 2 Przypadek b) Wtymprzypadkuzewzględunasw aznikom amasęklocekniewpływanaruchciała,więcporusza się ono w kierunku pionowym z przyspieszeniem g. Z zasady zachowania energii stwierdzamy, że w chwili oderwania ciało ma skierowana pionowo prędkość v pion = v 1 = gh. Więzy powoduj a, że w tym momencie klocek ma prędkość v poz = v 1 skierowan a poziomo. W przypadku b) również obowiazuj a wzory (2), (3)i(4), ale z innymi wartościami v pion oraz v poz. Uwzględniaj ac ten fakt, otrzymujemy d= gh+ gh+gh ( ) gh= 2 1 h. (6) g Szukana odległość jest większa w przypadku b). Punktacja zadania T1 Jakościowy opis zachowania układu w przypadku a) 1 pkt. Prędkość ciała w chwili oderwania w przypadku a)(obie składowe) 1 pkt. Wzory pozwalajace na wyznaczenie szukanej odległości(wzory(2),(3) i(4) lub równoważne) 3pkt. Odległośćwprzypadkua)(wzór(5)) 1pkt. Jakościowy opis zachowania układu w przypadku b) 1 pkt. Prędkośćciaławchwilioderwaniawprzypadkub),wtymzauważenie,żejestonapionowa 1pkt. Odległośćwprzypadkub)(wzór(6)) 1pkt. Wniosek,żeszukanaodległośćwprzypadkub)jestwiększaniżwprzypadkub) 1pkt. 1

4 Rozwiazanie zadania T2 Wstaniepocz atkowym spełniony jest warunek równowagi mechanicznej oraz równanie stanu gazu doskonałego p 0 =Mg/S, (7) p 0 V 0 =NRT 0, (8) gdzie p 0 jest ciśnieniem w cylindrze, N liczb a moli gazu w cylindrze, a R uniwersaln a stał a gazowa. Popostawieniunatłokuciężarkaomasiemtłokzaczyniesięobniżaćzewzrastaj ac a prędkościa. Objętość gazu będzie malała, a ciśnienie będzie wzrastać. Nawet gdy ciśnienie w cylindrze osiagnie (M+m)g/S, ze względu na bezwładność tłok nadal będzie się obniżał. Po osi agnięciu pewnej minimalnej wysokości tłok zacznie się podnosić, a następnie znowu opuszczać. Będa występowały drgania tłoka (podnoszenie i opuszczanie). Ten proces nie jest procesem odwracalnym podczas sprężania gazu siła działajaca na tłok jest nieco większa niż podczas rozprężania. W efekcie, mimo izolacji termicznej od otoczenia, energia wewnętrzna gazu będzie wzrastać kosztem energii drgań tłoka. Po odpowiednio długim czasie drgania tłoka ustana. W stanie końcowym mamy równowagę mechaniczna oraz spełnione jest równanie stanu gazu doskonałego p k =(M+m)g/S, (9) p k V k =NRT k, (10) gdziep k,v k orazt k s a odpowiednio ciśnieniem, objętościaitemperatur a gazu w stanie końcowym. Z zasady zachowania energii zmniejszenie energii potencjalnej cylindra i masy jest równe wzrostowi energii wewnętrznej gazu, czyli 3 2 NR(T k T 0 )=(M+m)gd, (11) gdziedjestwysokości a,ojak aobniżyłsiętłok,równ a Po przekształceniach dostajemy d= V 0 V k. (12) S ( T k = 1+ 2 ) m T 0. (13) 5M Punktacja zadania T2 Warunek równowagi mechanicznej w stanie końcowym(wzór(9)) 2 pkt. Zasada zachowania energii(wzór(11) lub równoważny) 3 pkt. Wykorzystanie równania stanu gazu doskonałego 2 pkt. Wynikkońcowy(wzór(13)) 3pkt. Rozwiazanie zadania T3 Rys. 1. Schemat układu realizujacego warunki zadania. 2

5 Jednym z możliwych rozwiazań jest schemat zamieszczony na Rys.1. Wykorzystuje on fakty, że cewka przeciwstawia się zmianom płynacegoprzezni apr adu, natomiast przez naładowany kondensatorpr ad nie płynie. Obecnośćcewkiwdolnejgałęzipowoduje,żewchwilipocz atkowejpr adpłynietylkoprzezgórn a iśrodkow agał aź,zatemr 1 R 2 /(R 1 +R 2 )=5Ω(kondensatorpocz atkowo nie jest naładowany, więc wtymmomencienieprzeciwstawiasięonpłynięciupr adu). Przy odpowiednim doborze parametrów CiL(zob. niżej)poczasie1mspr ad w środkowej gałęzi zaniknie(kondensator będzie naładowany), zanim zacznie płynaćznacz acypr adwgałęzidolnej,st adr 1 =10Ω,azoporuzastępczegopodanego wyżej mamy R 2 = 10 Ω. Wreszcie po długim czasie pr ad będzie płyn ał zarówno w górnej, jak iwdolnejgałęzi. Ponieważpr adpłyn acywgórnejgałęzimanatężenie0,5a,wdolnejbędziepłyn ał pr adonatężeniu1,5a,czylir 3 =3,33Ω. Czas charakterystyczny dla zmian praduwobwodziercjestrzęduiloczynur C,awobwodzie RL rzęduilorazul/r. DlategowartośćR 2 C powinnabyćwiększaod1µsimniejszaod1ms np. 0,2ms(C 20µF),natomiastwartośćL/R 3 powinnabyćwiększaod1msimniejszaod1s, np. 0,2s(L 0,7H). Punktacja zadania T3 Wykorzystanie kondensatora jako elementu niemajacegowpływunapocz atkowy przepływ pradu, aleblokuj acegotenprzepływponaładowaniu 2pkt. Wykorzystanie cewki jako elementu blokujacegopocz atkowo przepływ pradu, ale pozwalajacego natenprzepływpodłuższymczasie 2pkt. Układ prowadzacy do oczekiwanego zachowania na 1. etapie(pierwsze kilka mikrosekund) wraz z podaniem wartości parametrów liczbowych odpowiednich elementów 2 pkt. Układ prowadzacydooczekiwanegozachowaniana2.etapie(poupływie1ms)wrazzpodaniem wartości parametrów liczbowych odpowiednich elementów 2 pkt. Układ prowadzacydooczekiwanegozachowaniana3.etapie(poupływie1s)wrazzpodaniem wartości parametrów liczbowych odpowiednich elementów 2 pkt. Rozwiazanie zadania T4(numerycznego) Równania ruchu Kulkaporuszasiępookręguopromieniul. Stycznadookręguskładowasiładziałaj acej na kulkę jest dana wzorem F s = mgsinα b v v, gdzieαjestk atemodchylenianiciodpionu, mgsinα odpowiedni askładow a siły ciężkości(znak wskazuje,żesiłataprzeciwstawiasięodchyleniu),v=l dα dt prędkości akulki, b v v sił a oporu(taki zapis gwarantuje, że jest ona skierowana przeciwnie do prędkości). Ruch kulki jest zatem określony przez równanie ε= g l sinα bl m ω ω, Gdzieε= dω dα,ω=. Równanietomożnaprzepisaćwpostaciukładurównań dt dt dω dt = g l dα dt =ω. sinα bl m ω ω, Gdy wprowadzimy zmienne bezwymiarowe T = g t, Ω = ω/ g, ten układ równań przyjmie l l 3

6 postać zawierajac atylkojedn astał ab= bl m dω dt = sinα B Ω Ω, dα dt =Ω. Dopowyższychrównańnależydodaćwarunek,żedlaT =0(czylit=0) α= π, Ω=0. (14) 2 Algorytm numeryczny Wcelurozwi azanianumerycznegozamieniamy dα dt α T, dω dt Ω,gdzie T odpowiadaróżnicy T między wartościawchwilit n orazwchwilit n+1 =T n + T. Prowadzitodoukładurównańróżnicowych. Istnieje bardzo wiele algorytmów pozwalajacych na numeryczne rozwiazanie rozważanego zagadnienia. W niniejszym rozwiazaniu krok dzielimy na dwie części: najpierw wyznaczamy położeniewchwilit n + T/2,wtympołożeniuobliczamysiłę,najejpodstawiewyznaczamyprędkośćw chwilit n + T, anastępniepołożeniewchwilit n + T. Wefekciedostajemynastępuj acy układ równań rekurencyjnych wiaż acyodchyleniekulkiwchwilit n zodchyleniemwchwilit n+1 : α n+1/2 =α n +Ω n T/2, (15) Ω n+1 =Ω n ( sinα n+1/2 +B Ω n Ω n ) T, (16) α n+1 =α n+1/2 +Ω n+1 T/2. (17) Algorytm odpowiadajacy powyższym równaniom jest przy tej samej wartości T znacznie dokładniejszy od algorytmu, w którym położenie i prędkość w chwili T n + T wyznaczamy wprost na podstawie siły odpowiadajacejpołożeniuwchwilit n. Do powyższego układu równań należy dodać warunki(14) odpowiadajacechwilit =0=T 0 α 0 = π 2, Ω 0=0. (18) Powyższe równania rekurencyjne (15) (17) można wykorzystać w arkuszu kalkulacyjnym. W arkuszu dostępnym na stronie utworzono kolumny n α n Ω n α n+1/2 Ω n+1 α n+1 T t(s) gdzie n jest numerem kroku(i jednocześnie numeruje wiersze), a wyrażenia w pozostałych kolumnach odpowiadaja wyrażeniom pojawiajacymsięwrozważanychrównaniachrekurencyjnych. Wartościα n orazω n dlan=0s a określone na podstawie wartości poczatkowych. Na podstawie wartości z kolumn α n orazt(s)sporz adzonowykres,przyczymwziętopoduwagęwiersze dlatod0do100sekund. Rozważane równania rekurencyjne bardzo łatwo jest również przekształcić na program komputerowy, który oblicza w pętli kolejne wartości położenia i prędkości zgodnie z następujacym pseudokodem(ponieważ większość programów komputerowych nie akceptuje greckich liter, zamiast α, Ω oraz T użyliśmy odpowiednio oznaczeń alfa, Omega oraz dt) alfa=alfa+omega dt/2 Omega=Omega (sin(alfa)+b Omega abs(omega)) dt alfa=alfa+omega dt/2 Do powyższych poleceń wykonywanych w pętli należy dodać przypisanie poczatkowych wartości zmiennym alfa oraz Omega, zapisywanie wartości alfa i Omega obliczonych w danym kroku (lub rysowanie)orazwarunekkońcaiteracji(chwilat=100 s, czyli T = g 100 s = 313). Programy l w C++ oraz w Logo działaj ace zgodnie z powyższym algorytmem sa doł aczone do rozwi azania dostępnego na stronie KGOF. 4

7 Krok czasowy oraz sprawdzenie dokładności Dla każdej z podanych w treści zadania wartości parametru b wykonano wykresy dla T = 0,1565 (2000kroków)oraz T =0,07825(4000kroków)dlaczasutod0sdo100s. Ponieważdladanego b wykresy były wizualnie nieodróżnialne, a w szczególności końcowe położenie ciała było takie samo (w ramach dokładności odczytu położenia z wykresu) dla obu rozważanych wartości T, uznano, że T = 0,07825 gwarantuje wystarczajac a dokładność. Rys2. Wykresruchukulkidlab=0. 5

8 Rys3. Wykresruchukulkidlab=0,0025Ns 2 /m 2. 6

9 Rys4. Wykresruchukulkidlab=0,01Ns 2 /m 2. Wstępna dyskusja otrzymanych wykresów W przypadku b = 0 zgodnie z oczekiwaniami mamy do czynienia z drganiami nietłumionymi. Dla b>0drganias a tłumione, przy czym szybkość tłumienia wzrasta ze wzrostem b. Czas, po którym amplituda drgań spadnie do połowy, oraz czas, po którym spadnie do jednej czwartej poczatkowej wartości Szukane czasy wyznaczono z wykresu. Zgodnie z poleceniem odczytano czasy odpowiadajace maksymalnym wartościom odchylenia zbliżonym do π/4 = 0,79 oraz do π/8 = 0,39. Otrzymane wartości sanastępuj ace: 7

10 dlab=0: drganianies a tłumione, zatem szukane czasy nie istnieja, dlab=0,0025: czasspadkuamplitudydopołowyt 1/2 19s,czasspadkuamplitudydojednej czwartejt 1/4 57s, dlab=0,01: czasspadkuamplitudydopołowyt 1/2 5s,czasspadkuamplitudydojednej czwartejt 1/4 14s. Zauważmy, że ponieważ drgania sa tłumione, pojęcie amplitudy drgań nie jest dokładnie określone. Ponieważ okres drgań wynosi około 2 s i ze względu na niedokładności przy odczytywaniu danych z wykresu, przyjęto, że niepewność powyższych wyników wynosi 1 s. Dyskusja otrzymanych czasów tłumienia oraz otrzymanych wykresów Zauważmy,żewobuprzypadkach,wktórychwystępujetłumienie,mamyT 1/4 >2 T 1/2 (podczas gdywprzypadkusiłyoporuproporcjonalnejdoprędkościzachodziłabyrównośćt 1/4 =2 T 1/2,tak jak dla rozpadu promieniotwórczego). Jest to zgodne z oczekiwaniem szybszy wzrost tłumienia ze wzrostem prędkości oznacza równocześnie szybszy spadek tłumienia ze spadkiem prędkości, a więc ze spadkiem amplitudy. Również przyjrzenie się otrzymanym wykresom, szczególnie w przypadku b=0,01,prowadzidowniosku,żepocz atkowo mamy do czynienia z silnym tłumieniem, jednak dla większych czasów(powyżej 60 s) szybkość spadku amplitudy drgań znaczaco maleje. Punktacja zadania T4(numerycznego) Równanie ruchu kulki wraz z warunkami poczatkowymi 1pkt. Układ równań różnicowych lub rekurencyjnych pozwalajacy na numeryczne wyznaczenie ruchu 1pkt. Opis algorytmu oraz sposobu jego implementacji 1 pkt. Przedstawienie sposobu weryfikacji prawidłowości otrzymanych wykresów 2 pkt. Wykresy zgodne z przedstawionymi w rozwiazaniu wzorcowym 2 pkt. Czasy tłumienia zgodne z otrzymanymi powyżej(wraz z podaniem niepewności wyniku) 2 pkt. Jakościowe omówienie otrzymanych wyników 1 pkt. Uwaga: nie jest wymagane, aby rozwiazanie zawierało przejście do zmiennych bezwymiarowych. 8