Ekonometryczne normowanie indywidualnej wydajności pracy

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekonometryczne normowanie indywidualnej wydajności pracy"

Transkrypt

1 Jacek BATÓG Mirosława GAZIŃSKA Magdalena MOJSIEWICZ Ekonometryczne normowanie indywidualnej wydajności pracy Wśród zjawisk ekonomicznych, które podlegają istotnym zmianom zwłaszcza w warunkach zmian strukturalnych w gospodarce ważne miejsce zajmuje wydajność pracy. Wzrost wydajności pracy jest jednym z najważniejszych czynników zwiększających konkurencyjność produktów i usług wytwarzanych przez przedsiębiorstwa. Poziom i dynamika wydajności pracy decydują jednocześnie o poziomie i dynamice płac w gospodarce. Poznanie mechanizmów kształtujących prawidłowości w zakresie wydajności pracy, zarówno zespołowej jak i indywidualnej stanowi podstawę do analiz, diagnoz i formułowania prognoz tego zjawiska. Obecnie w przypadku większości polskich przedsiębiorstw mamy do czynienia z dwiema głównymi przyczynami wzrostu indywidualnej wydajności pracy. Pierwsza z nich o charakterze zmian krótkookresowych polega na zmniejszaniu się liczby zatrudnionych, co w sposób bezpośredni przy założeniu odpowiednich trendów w zakresie przychodów ze sprzedaży powoduje wzrost wydajności pracy w przeliczeniu na jednego pracownika. Zjawisko to w istotny sposób utrudnia formułowanie wniosków dotyczących charakteru zmian wydajności pracy w czasie. Druga znacznie trudniejsza do określenia przyczyna to zbiór czynników będących efektem zmian procesów produkcyjnych o charakterze technologicznym oraz procesów zarządzania przedsiębiorstwami. Badania indywidualnej wydajności pracy mają na celu analizę, w jaki sposób różne czynniki o charakterze osobistym, zawodowym, organizacyjnym oraz psychologicznym i społecznym wpływają na kształtowanie się wydajności pracy poszczególnych pracowników [Z. Pawłowski, 1978, s 3]. Przy czym najczęściej zakłada się, że stosowana technologia, technika i organizacja pracy nie ulegają zmianom. Skutkiem powyższego założenia jest przeprowadzanie badania indywidualnej wydajności pracy w większości przypadków na podstawie danych przekrojowych charakteryzujących to zjawisko na dany moment. Analiza przekrojowa pozbawia nas możliwości obserwacji zmian wydajności pracy w czasie, lecz jednocześnie umożliwia porównywanie wydajności pracy poszczególnych badanych obiektów. Tego typu podejście jest przydatne zwłaszcza w przypadku zachodzenia gwałtownych zmian wydajności pracy w krótkim czasie oraz w przypadku, gdy celem,

2 sl.badania jest dyskryminacja pracowników lub przedsiębiorstw według poziomu wydajności pracy. Do podstawowych czynników wpływających na indywidualną wydajności pracy zaliczyć można między innymi: płeć, wiek, staż pracy, poziom wykształcenia, posiadane kwalifikacje, długość serii produkcyjnej. W literaturze spotkać się można z opisem wpływu na wydajność również innych zjawisk, na przykład wyposażenia robotników w maszyny i urządzenia [M. Cieślak, 1967, s.41], fluktuacji kadr [Z. Pawłowski, 1967, s.121] oraz organizacji miejsca pracy, istnienia dodatkowego źródła utrzymania, czasu dojazdu do pracy, rodzaju systemu płac [E. Nowak, 199, s.23]. Większość stosowanych metod analizy indywidualnej wydajności pracy opiera się na wykorzystaniu funkcji regresji odzwierciedlającej związek tej zmiennej z innymi czynnikami. Do najbardziej znanych postaci tego typu funkcji zaliczają się modele opisujące wpływ stażu pracy oraz wieku na indywidualną wydajności pracy [Z. Pawłowski, 1976, s.121]: W i 1 T i 1) 2 W i e gdzie: Wi - wydajność pracy i-tego pracownika, Ti - staż pracy i-tego pracownika, Xi - wiek i-tego pracownika. log(, (1) 1 2 X i 3X i i 2 i, (2) Wykorzystanie w analizie wydajności pracy funkcji regresji wymaga spełnienia stosunkowo licznego zbioru warunków. Najważniejszym z nich jest wysoki poziom korelacji wydajności z poszczególnymi zmiennymi o charakterze egzogenicznym. Spełnienie tego warunku w praktyce nie zawsze jest możliwe. Stawia to wówczas pod znakiem zapytania możliwość wnioskowania o istniejących prawidłowościach w zakresie wydajności pracy w oparciu o ekonometryczne modele regresji. W przypadku gdy w analizie wydajności pracy nie jest możliwe wykorzystanie funkcji regresji należy poszukiwać innych rozwiązań. Obecnie przedstawione zostanie podejście do modelowania indywidualnej wydajności pracy opierające się na wykorzystaniu rozkładów zmiennych losowych. Proponowana metoda zostanie omówiona z wykorzystaniem wyników rzeczywistego badania wydajności pracy przeprowadzonego w jednym z przedsiębiorstw województwa zachodniopomorskiego. 2

3 Indywidualna wydajność pracy mierzona może być w dwojaki sposób: jako ilość produkcji przypadająca na przepracowaną roboczogodzinę lub w procentach wykonania normy [Z. Pawłowski, 1976, s 122]. W niniejszym badaniu ze względu na brak normy ogólnej skorzystano z pierwszego sposobu pomiaru indywidualnej wydajności pracy. Wstępnie podjęto próbę oceny siły i kierunku związku między wydajnością pracy a wybranymi zmiennymi w celu identyfikacji czynników kształtujących indywidualną wydajność pracy oraz określenia czy możliwa jest budowa modeli regresji. Wśród czynników wpływających na indywidualną wydajność pracy wyróżniono m.in.: przepracowane godziny, absencję, wiek, staż pracy oraz kategorię zaszeregowania pracowników 1. Zbudowano bazę danych osobowych zawierającą informacje o wyróżnionych zmiennych za 12 miesięcy 2 roku. Obserwacje każdego miesiąca traktowano jako obserwacje pochodzące z różnych populacji ze względu na odmienne warunki pogodowe. Słuszność takiego podejścia potwierdzona została po analizie kształtów rozkładów wydajności w poszczególnych podgrupach. Wyznaczone współczynniki korelacji przedstawione zostały w tabeli 1. Współczynniki korelacji liniowej Pearsona między wydajnością pracy i wybranymi zmiennymi w okresie 12 miesięcy 2 roku Tabela 1 Miesiąc Przepracowane godziny Absencja Wiek Staż (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) Styczeń,9 -,6 -,6,5 -,15 -,13 -,15 -,13 Luty,9,3 -,11 -,1 -,15 -,5 -,15 -,15 Marzec,11,3 -,5 -,2 -,6 -,6 -,3 -,7 Kwiecień,8 -,7 -,3,9 -,9 -,13 -,7 -,14 Maj,12 -,2 -,6,5 -,1 -,1 -,8 -,6 Czerwiec,7 -,5 -,1,2 -,9 -,9 -,8 -,7 Lipiec,7 -,2 -,7, -,9 -,6 -,9 -,3 Sierpień,7, -,8,1 -,8 -,8 -,5 -,3 Wrzesień,12 -,1 -,13 -,1 -,9 -,11 -,8 -,8 Październik,7,1 -,6 -,1 -,8 -,9 -,9 -,8 Listopad,9 -,1 -,15 -,5 -,5 -,8 -,5 -,2 Grudzień,13 -,8 -,19,2 -,8 -,1 -,7 -,5 (1) - obliczone dla danych w jednostkach naturalnych, (2) - obliczone dla logarytmów zmiennych. Źródło: obliczenia własne. Między indywidualną wydajnością pracy a wyszczególnionymi zmiennymi stwierdzono brak związku (por. rys. 1-3), co wyklucza możliwość skonstruowania opisanych wcześniej modeli regresji indywidualnej wydajności pracy. 1 Pracownicy wykonywali czynności o jednorodnym charakterze. 3

4 Wydajność pracy [kg\godz.] Przepracowane godziny Rys.1. Diagram korelacyjny wydajności pracy i liczby przepracowanych godzin (luty 2) 6 Wydajność pracy [kg\godz.] Wiek pracownika [w latach] Rys.2. Diagram korelacyjny wydajności pracy i wieku pracownika (luty 2) Wydajność pracy [kg.\godz] Staż pracy [w latach] Rys.3. Diagram korelacyjny wydajności pracy i stażu pracy pracownika (luty 2) 4

5 Badanie wpływu kwalifikacji posiadanych przez pracownika, mierzonych przy pomocy kategorii zaszeregowania, na wydajność pracy zostało przeprowadzone przy wykorzystaniu statystyki 2 oraz współczynnika korelacji Czuprowa. W tym celu wydajność pracy występująca pierwotnie w postaci cechy ciągłej poddana została kategoryzacji, w której uwzględniono 6 przedziałów o rozpiętości,3 kg/godz., przy założeniu górnej granicy pierwszego przedziału na poziomie równym rozpiętości przedziałów. Rezultaty obliczeń przedstawione zostały w tabeli 2. Statystyki 2 oraz współczynniki korelacji Czuprowa dla wydajności pracy i kategorii zaszeregowania w 12 miesiącach 2 roku Miesiąc Statystyka 2 T xy Styczeń 43,73,11 Luty 39,29,1 Marzec 21,81,8 Kwiecień 54,41,12 Maj 3,71,9 Czerwiec 24,24,8 Lipiec 58,35,12 Sierpień 24,2,8 Wrzesień 27,33,8 Październik 54,13,12 Listopad 27,34,8 Grudzień 4,7,1 Źródło: obliczenia własne. Tabela 2 Otrzymane wyniki nie pozwalają jednoznacznie stwierdzić, czy wraz ze wzrostem posiadanych kwalifikacji rośnie również wydajność pracy badanych pracowników. Jedynie w przypadku sześciu miesięcy (styczeń, luty, kwiecień, lipiec, październik i grudzień) zaobserwowana została istotna statystycznie zależność między badanymi zmiennymi. Jednakże zarówno w tych, jak i w pozostałych miesiącach siła korelacji między wydajnością i kategorią zaszeregowania jest niska. W praktyce wyklucza to możliwość budowy modelu współzależności między tymi zmiennymi. W związku z tym proponujemy ekonometryczne modelowanie indywidualnej wydajności pracy z wykorzystaniem modeli rozkładu. Celem takiego modelowania jest uzyskanie teoretycznej normy indywidualnej wydajności pracy, umożliwiającej ocenę pracowników. W pierwszej kolejności w celu oceny struktury i jednorodności danych pierwotnych dotyczących pracowników zbudowano rozkłady wydajności pracy pracowników. Na rysunkach 4 i 5 przedstawiono rozkłady indywidualnej wydajności pracy dla dwóch 5

6 wybranych miesięcy 2 roku. Zbliżony kształt rozkładów występował we wszystkich pozostałych miesiącach Liczba pracowników ,,5 1, 1,5 2, 2,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, Wyd ajno ś ć [kg /g o d z.] Rys. 4. Rozkład wydajności pracy pracowników zatrudnionych w lutym Liczba pracowników ,,5 1, 1,5 2, 2,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Wydajność [kg/godz.] Rys.5. Rozkład wydajności pracy pracowników zatrudnionych w czerwcu 2 Powyższe rozkłady wydajności charakteryzują się silną asymetrią prawostronną. Obserwacje nietypowe bardzo zawyżają średni poziom wydajności pojedynczego pracownika, co powoduje, że średnia arytmetyczna nie może pełnić roli wartości normatywnej w procesie 6

7 dyskryminacji pracowników pod względem charakteryzującego ich poziomu wydajności. Niewłaściwe byłoby także ustalanie normy wydajności pracy w oparciu o inne miary tendencji centralnej wskazujące na środkowe lub najczęściej występujące wartości. Wszystkie analizowane rozkłady charakteryzują się jednocześnie pewną prawidłowością ich kształt jest zbliżony do rozkładu logarytmiczno-normalnego. Przyjęcie założenia o logarytmicznonormalnym rozkładzie wydajności pracy wydaje się słuszne z punktu widzenia ekonomii, socjologii i biologii. Pogląd taki można spotkać w wielu pracach z tego zakresu. W tym miejscu można przytoczyć kilka stwierdzeń potwierdzających przyjęcie powyższej tezy. Z. Pawłowski twierdzi, iż... na ogół zmienne losowe, z jakimi spotykamy się badając zjawiska ekonomiczne, mają pewną, większą lub mniejszą asymetrię prawostronną, co sugeruje, że mają one na przykład rozkład logarytmiczno-normalny lub rozkład typu gamma... [Z. Pawłowski, 1965, s.15]. Również L. Klein pisząc o rozkładzie dochodów ludności stwierdza, iż... jednym z podstawowych faktów obserwacji ekonomicznej jest to, że wielka różnorodność sytuacji społecznych kształtuje krzywą gęstości rozkładu w taki sposób, że jej maksimum przesunięte jest na lewo [L. R. Klein, 1965, s.27]. Z kolei S. Zubrzycki wyraża pogląd, że... w niektórych zastosowaniach biologicznych przyjmuje się inny mechanizm zjawiska. Przyjmuje się mianowicie, że skutek zależy nie tylko od wielkości losowego bodźca, ale także od wielkości organu, na który ów bodziec działa. Wtedy gdy skutek jakiegoś bodźca jest proporcjonalny do wielkości organu poddanego jego działaniu, jako rozkład graniczny pojawia się tak zwany rozkład logarytmiczno-normalny... [S. Zubrzycki, 197, s.193]. Najbardziej ogólny sąd na temat kształtowania się zachowań ludzkich wyraża W. Winkler twierdząc, iż "... zdolności umysłowe i biegłość techniczna ludzi w miarę przechodzenia na coraz wyższy stopień występują coraz rzadziej..." [W. Winkler, 1957, s. 16]. Powyższe stwierdzenia upoważniają nas do przyjęcia hipotezy o prawostronnej asymetrii rozkładu indywidualnej wydajności pracy. Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego, a taką zmienną jest wydajność pracy wyznaczona jako wielkość stosunkowa, można określić poprzez zdefiniowanie funkcji gęstości. W badaniach empirycznych typ funkcji gęstości oraz jej parametry są z reguły nieznane. Zazwyczaj przyjmuje się założenie, że rozkład badanej zmiennej pochodzi z pewnej rodziny rozkładów gęstości i estymuje się jej kształt poprzez ocenę parametrów położenia i skali. Poddaje się następnie weryfikacji statystycznej odchylenia danych empirycznych od rozkładu hipotetycznego. Podstawowy problem polega na tym, że obserwacje zmiennych mają charakter dyskretny, a zmienne modelowane mają charakter ciągły. Z obserwacji zmiennej dyskretnej przechodzi się na rozkład cechy ciągłej poprzez konstrukcję histogramu. 7

8 Należy jednak w tym zakresie stosować procedury, w których dobór szerokości przedziału nie zniekształca rzeczywistego kształtu rozkładu. Konstruując histogram wybieramy punkt x na prostej oraz liczbę h>. Określamy rodzinę podprzedziałów: I m [ x mh; x ( m 1) h], m=, 1, 2,...,k. (3) Szerokość klasy h dobiera się teoretycznie w taki sposób, aby scałkowany błąd średniokwadratowy, jako miara przeciętnego dopasowania estymatora do estymowanej funkcji, był najmniejszy niezależnie od estymowanej funkcji gęstości. Asymptotycznie optymalny wybór szerokości przedziału w rozważanej klasie estymowanych gęstości wyraża się wzorem: gdzie: 1 5 h cn, (4) c 1, 5 S( x). (5) Wyrażenie powyższe skonstruowano w oparciu o szerokość pasma gaussowskiego estymatora jądrowego. Modelując rozkłady wydajności pracy pracowników porównywano dystrybuantę empiryczną i teoretyczną logarytmów naturalnych wydajności pracy w przedziałach szeregu rozdzielczego. Wykresy zbudowanych histogramów na tle funkcji gęstości rozkładu normalnego 2 w wybranych miesiącach 2 roku prezentują rysunki 6 8. Modelowanie kształtu rozkładu było podstawą dyskryminacji pracowników ze względu na ich wydajność pracy. W przypadku badanego przedsiębiorstwa spostrzeżono dwa zakłócenia. Pierwsze polegało na pojawieniu się wydłużonych lewych "ogonów rozkładów, na których koncentrują się lokalnie liczebności pracowników. Podstawą dyskryminacji było wówczas porównanie dystrybuanty empirycznej i teoretycznej rozkładu. Drugie zakłócenie wiązało się z silną leptokurtycznością. Przyczynę występowania tego zjawiska upatrywano w braku właściwego systemu motywacyjnego. Należy zaznaczyć, że nie wskazujemy w ten sposób na konkretną normę wydajności, lecz wyłącznie te przedziały wartości wydajności, które powinny być mniej licznie reprezentowane. 2 Parametry rozkładu normalnego ustalono na poziomie średniej i odchylenia standardowego logarytmu naturalnego wydajności pracy w badanym miesiącu. 8

9 Liczba pracowników ,121-3,494-2,866-2,239-1,612 -,984 -,357,27,898 Wy dajność [w ln] Rys.6. Histogram indywidualnej wydajności pracy na tle funkcji gęstości (luty 2 roku) Liczba pracowników ,835-4,146-3,458-2,77-2,82-1,394 -,76 -,18,67 1,359 Wydajność [w ln] Rys.7. Histogram indywidualnej wydajności pracy na tle funkcji gęstości (kwiecień 2 roku). 9

10 Liczba pracowników ,127-3,482-2,837-2,192-1,546 -,91 -,256,389 1,34 Wy dajność [w ln] Rys.8. Histogram indywidualnej wydajności pracy na tle funkcji gęstości (maj 2 roku). Liczbę dyskryminowanych pracowników oraz dyskryminującą wartość wydajności pracy w poszczególnych miesiącach 2 roku przedstawia tabela 3. Liczba zdyskryminowanych pracowników w poszczególnych miesiącach Miesiąc Odsetki zdyskryminowanych pracowników [%] Graniczna wydajność pracy [kg/godz.] I 1,26, II 5,5, III 5,81,16459 IV 7,2, V 5,82, VI 8,25,268 VII 6,54, VIII 4,25,12156 IX 5,68, X 9,2, XI 7,17, XII 5,86, Źródło: obliczenia własne. Tabela 3 Zaproponowany sposób dyskryminacji statystycznej pozwala na wskazanie pracowników, których należy poddać szczegółowej analizie pod względem określenia przyczyn nietypowego kształtowania się ich wydajności. 1

11 Przedstawiona powyżej metoda badania indywidualnej wydajności pracy ma charakter uniwersalny. Istotną zaletą proponowanego podejścia jest fakt, iż może ono być zastosowane nawet w przypadku braku norm technicznych i technologicznych.. Metoda ta może być wykorzystywana w sytuacji, gdy niemożliwe jest zastosowanie innych metod, a zwłaszcza ekonometrycznych modeli regresji. Jest to szczególnie ważne w okresach istotnych przemian gospodarczych, kiedy mamy do czynienia z gwałtownymi zmianami proporcji strukturalnych oraz znaczącymi zmianami poziomów badanych zjawisk w krótkim okresie. Bibliografia Cieślak M.: O konstrukcji modelu wydajności pracy, Przegląd Statystyczny 4/67. Nowak E.: Ocena wpływu niektórych czynników na indywidualną wydajność pracy, Wiadomości Statystyczne 4/9. Pawłowski Z.: Ekonometria, s.3. Pawłowski Z.: Ekonometryczna analiza procesu produkcyjnego. Pawłowski Z.: Przyczynek do teorii predykcji indywidualnej wydajności pracy, Przegląd Statystyczny 2/67. Statystyka. Część I Opis statystyczny, pr. zb. pod red. J.Hozera, Uniwersytet Szczeciński, Szczecin Pawłowski Z.: Wstęp do statystyki matematycznej. PWN, Warszawa Klein L.R.: Wstęp do ekonometrii. PWE, Warszawa Zubrzycki S.: Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. PWN, Warszawa 197. Winkler, Podstawowe zagadnienia ekonometrii, PWN, Warszawa

FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS

FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Ekonometryczna analiza popytu na wodę

Ekonometryczna analiza popytu na wodę Jacek Batóg Uniwersytet Szczeciński Ekonometryczna analiza popytu na wodę Jednym z czynników niezbędnych dla funkcjonowania gospodarstw domowych oraz realizacji wielu procesów technologicznych jest woda.

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 10. Magdalena Alama-Bućko. 14 maja Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31

Statystyka. Wykład 10. Magdalena Alama-Bućko. 14 maja Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja / 31 Statystyka Wykład 10 Magdalena Alama-Bućko 14 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 14 maja 2018 1 / 31 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia miary

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss

Bardziej szczegółowo

Próba własności i parametry

Próba własności i parametry Próba własności i parametry Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41

Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41 Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 13 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca 2017 1 / 41 Na poprzednim wykładzie omówiliśmy następujace miary rozproszenia: Wariancja - to średnia arytmetyczna

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski

Statystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski Literatura STATYSTYKA OPISOWA A. Aczel, Statystyka w Zarządzaniu, PWN, 2000 A. Obecny, Statystyka opisowa w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne, Helion, 2002. A. Obecny, Statystyka matematyczna w Excelu

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności zjawisk

Analiza współzależności zjawisk Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.

Bardziej szczegółowo

Wiadomości ogólne o ekonometrii

Wiadomości ogólne o ekonometrii Wiadomości ogólne o ekonometrii Materiały zostały przygotowane w oparciu o podręcznik Ekonometria Wybrane Zagadnienia, którego autorami są: Bolesław Borkowski, Hanna Dudek oraz Wiesław Szczęsny. Ekonometria

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 19 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca / 33

Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 19 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca / 33 Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 19 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 19 marca 2018 1 / 33 Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności (rozproszenia,

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 7. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 16 kwietnia / 35

Statystyka. Wykład 7. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 16 kwietnia / 35 Statystyka Wykład 7 Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 16 kwietnia 2017 1 / 35 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5 Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających

Bardziej szczegółowo

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności: Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34

Statystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34 Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.6

Zadania ze statystyki, cz.6 Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia statystyczne

Podstawowe pojęcia statystyczne Podstawowe pojęcia statystyczne Istnieją trzy rodzaje kłamstwa: przepowiadanie pogody, statystyka i komunikat dyplomatyczny Jean Rigaux Co to jest statystyka? Nauka o metodach ilościowych badania zjawisk

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu

Bardziej szczegółowo

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe 1. Cele i przydatność ujęcia modelowego w ekonomii 2.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności zjawisk. dr Marta Kuc-Czarnecka

Analiza współzależności zjawisk. dr Marta Kuc-Czarnecka Analiza współzależności zjawisk dr Marta Kuc-Czarnecka Wprowadzenie Prawidłowości statystyczne mają swoje przyczyny, w związku z tym dla poznania całokształtu badanego zjawiska potrzebna jest analiza z

Bardziej szczegółowo

PARAMETRY, WŁAŚCIWOŚCI I FUNKCJE NIEZAWODNOŚCIOWE NAPOWIETRZNYCH LINII DYSTRYBUCYJNYCH 110 KV

PARAMETRY, WŁAŚCIWOŚCI I FUNKCJE NIEZAWODNOŚCIOWE NAPOWIETRZNYCH LINII DYSTRYBUCYJNYCH 110 KV Elektroenergetyczne linie napowietrzne i kablowe wysokich i najwyższych napięć PARAMETRY, WŁAŚCIWOŚCI I FUNKCJE NIEZAWODNOŚCIOWE NAPOWIETRZNYCH LINII DYSTRYBUCYJNYCH 110 KV Wisła, 18-19 października 2017

Bardziej szczegółowo

Analiza współzależności dwóch cech I

Analiza współzależności dwóch cech I Analiza współzależności dwóch cech I Współzależność dwóch cech W tym rozdziale pokażemy metody stosowane dla potrzeb wykrywania zależności lub współzależności między dwiema cechami. W celu wykrycia tych

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

METODOLOGIA BADAŃ HUMANISTYCZNYCH METODYKA NAUCZANIA JĘZYKA OBCEGO CZ.II

METODOLOGIA BADAŃ HUMANISTYCZNYCH METODYKA NAUCZANIA JĘZYKA OBCEGO CZ.II METODOLOGIA BADAŃ HUMANISTYCZNYCH METODYKA NAUCZANIA JĘZYKA OBCEGO CZ.II Podział zmiennych Zmienne zależne zmienne, które są przedmiotem badania, których związki z innymi zmiennymi chcemy określić Zmienne

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

Wykład ze statystyki. Maciej Wolny

Wykład ze statystyki. Maciej Wolny Wykład ze statystyki Maciej Wolny T1: Zajęcia organizacyjne Agenda 1. Program wykładu 2. Cel zajęć 3. Nabyte umiejętności 4. Literatura 5. Warunki zaliczenia Program wykładu T1: Zajęcia organizacyjne T2:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

2008-03-18 wolne wolne 2008-03-25 wolne wolne

2008-03-18 wolne wolne 2008-03-25 wolne wolne PLAN SPOTKAŃ ĆWICZEŃ: Data Grupa 2a Grupa 4a Grupa 2b Grupa 4b 2008-02-19 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-02-26 Zajęcia 1 Zajęcia 1 2008-03-04 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-11 Zajęcia 2 Zajęcia 2 2008-03-18 wolne

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 9 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Ekonometria (Gładysz B., Mercik J., Modelowanie ekonometryczne. Studium przypadku, Wydawnictwo PWr., Wrocław 2004.) 2

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 5. Magdalena Alama-Bućko. 26 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40

Statystyka. Wykład 5. Magdalena Alama-Bućko. 26 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca / 40 Statystyka Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 26 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 26 marca 2018 1 / 40 Uwaga Gdy współczynnik zmienności jest większy niż 70%, czyli V s = s x 100% > 70% (co świadczy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2)

Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2) Wykład 5: Statystyki opisowe (część 2) Wprowadzenie Na poprzednim wykładzie wprowadzone zostały statystyki opisowe nazywane miarami położenia (średnia, mediana, kwartyle, minimum i maksimum, modalna oraz

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI

LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego w Warszawie Wydział Elektroniki LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI Grupa Podgrupa Data wykonania ćwiczenia Ćwiczenie prowadził... Skład podgrupy:

Bardziej szczegółowo

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 10. Magdalena Alama-Bućko. 15 maja Magdalena Alama-Bućko Statystyka 15 maja / 32

Statystyka. Wykład 10. Magdalena Alama-Bućko. 15 maja Magdalena Alama-Bućko Statystyka 15 maja / 32 Statystyka Wykład 10 Magdalena Alama-Bućko 15 maja 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 15 maja 2017 1 / 32 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia miary

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)

KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol) KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ekonometria 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak Wzory dla szeregu szczegółowego: Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) ->Średnia harmoniczna (1) ->Średnia harmoniczna (6) (2) ->Średnia

Bardziej szczegółowo

MIARY KLASYCZNE Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy

MIARY KLASYCZNE Miary opisujące rozkład badanej cechy w zbiorowości, które obliczamy na podstawie wszystkich zaobserwowanych wartości cechy MIARY POŁOŻENIA Opisują średni lub typowy poziom wartości cechy. Określają tą wartość cechy, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości badanej cechy. Wśród nich można wyróżnić miary tendencji

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na

Podstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony zbiór jednostek, które

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31

Statystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31 Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 10 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia 2017 1 / 31 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2013/2014

Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2013/2014 Krakowska Akademia im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Karta przedmiotu obowiązuje studentów, którzy rozpoczęli studia w roku akademickim 2013/2014 WydziałPrawa, Administracji i Stosunków Miedzynarodowych

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne.

W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne. dr hab. Jerzy Nakielski Katedra Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. Etapy wnioskowania statystycznego 2. Hipotezy statystyczne,

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

X Y 4,0 3,3 8,0 6,8 12,0 11,0 16,0 15,2 20,0 18,9

X Y 4,0 3,3 8,0 6,8 12,0 11,0 16,0 15,2 20,0 18,9 Zadanie W celu sprawdzenia, czy pipeta jest obarczona błędem systematycznym stałym lub zmiennym wykonano szereg pomiarów przy różnych ustawieniach pipety. Wyznacz równanie regresji liniowej, które pozwoli

Bardziej szczegółowo

O LICZBIE ABONENTÓW TELEFONII KOMÓRKOWEJ W POLSCE ZDANIEM TRZECH STATYSTYKÓW

O LICZBIE ABONENTÓW TELEFONII KOMÓRKOWEJ W POLSCE ZDANIEM TRZECH STATYSTYKÓW Rafał Czyżycki, Marcin Hundert, Rafał Klóska Wydział Zarządzania i Ekonomiki Usług Uniwersytet Szczeciński O LICZBIE ABONENTÓW TELEFONII KOMÓRKOWEJ W POLSCE ZDANIEM TRZECH STATYSTYKÓW Wprowadzenie Poruszana

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 3. Magdalena Alama-Bućko. 6 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28

Statystyka. Wykład 3. Magdalena Alama-Bućko. 6 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca / 28 Statystyka Wykład 3 Magdalena Alama-Bućko 6 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 6 marca 2017 1 / 28 Szeregi rozdzielcze przedziałowe - kwartyle - przypomnienie Po ustaleniu przedziału, w którym

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie

Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Regresja i Korelacja

Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja W przyrodzie często obserwujemy związek między kilkoma cechami, np.: drzewa grubsze są z reguły wyższe, drewno iglaste o węższych słojach ma większą gęstość, impregnowane

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak Redakcja i korekta Bogdan Baran Projekt graficzny okładki Katarzyna Juras Copyright by Wydawnictwo Naukowe Scholar, Warszawa 2011 ISBN

Bardziej szczegółowo

Inteligentna analiza danych

Inteligentna analiza danych Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: ZIE n Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: -

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: ZIE n Punkty ECTS: 6. Poziom studiów: Studia I stopnia Forma i tryb studiów: - Nazwa modułu: Statystyka opisowa i ekonomiczna Rok akademicki: 2013/2014 Kod: ZIE-1-205-n Punkty ECTS: 6 Wydział: Zarządzania Kierunek: Informatyka i Ekonometria Specjalność: - Poziom studiów: Studia I

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny 2. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Mieczysław Kowerski. Program Polska-Białoruś-Ukraina narzędziem konwergencji gospodarczej województwa lubelskiego

Mieczysław Kowerski. Program Polska-Białoruś-Ukraina narzędziem konwergencji gospodarczej województwa lubelskiego Mieczysław Kowerski Wyższa Szkoła Zarządzania i Administracji w Zamościu Program Polska-Białoruś-Ukraina narzędziem konwergencji gospodarczej województwa lubelskiego The Cross-border Cooperation Programme

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY Liczebności i częstości Liczebność liczba osób/respondentów/badanych, którzy udzielili tej konkretnej odpowiedzi. Podawana w osobach. Częstość odsetek,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;

Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; LABORATORIUM 4 Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; dwie zmienne zależne mierzalne małe próby duże próby rozkład normalny

Bardziej szczegółowo