MODELOWANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO METODĄ CZĄSTEK WIROWYCH Z WYKORZYSTNIEM OBLICZEŃ RÓWNOLEGŁYCH NA KARTACH GRAFICZNYCH

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 44, s , Gliwice 2012 MODELOWANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO METODĄ CZĄSTEK WIROWYCH Z WYKORZYSTNIEM OBLICZEŃ RÓWNOLEGŁYCH NA KARTACH GRAFICZNYCH ANDRZEJ KOSIOR, HENRYK KUDELA Instytut Inżynierii Lotniczej, Procesowej i Maszyn Energetycznych, Politechnika Wrocławska henryk.kudela@wr.wroc.l, andrzej.kosior@wr.wroc.l Streszczenie. W artykule rzedstawiono metodę wiru w komórce (VIC Vortex in Cell) służącą do rozwiązywania równań ruchu łynu. Ze względu na długi czas obliczeń rzy użyciu jednego rocesora w racy została rzedstawiona imlementacja metody VIC z wykorzystaniem obliczeń równoległych w środowisku kart graficznych. Uzyskano dzięki temu 46-krotne skrócenie czasu obliczeń. Przedstawione zostały dwa rzyadki testowe. Pierwszy rezentuje orawność obliczeń rowadzonych z wykorzystaniem kart graficznych. Drugi okazuje wływ lekości na rędkość rzemieszczania się ierścienia wirowego. 1. WSTĘP Znaczenie wirowości dla badań zjawisk hydrodynamicznych jest trudne do rzecenienia. Wszystkie rzeływy rzeczywiste mają wirowość różną od zera. Jedną z rostszych, a jednocześnie fascynujących, trójwymiarowych struktur wirowych obserwowanych w ekserymentach, jest ierścień wirowy. Znajduje ona liczne róby wykorzystania w zagadnieniach technicznych, takich jak odwierty odwodne, gaszenie ożarów lub modelowanie zjawisk ogodowych tyu szkwał [6]. Wzajemna interakcja ierścieni wirowych rowadzi do ciekawych zjawisk hydrodynamicznych, takich jak gra wirów (wzajemne rzeciąganie się ierścienie wirowych) czy też rekonekcja (zmiana toologii dwóch zderzających się ierścieni). Do modelowania numerycznego ruchu ierścienia wirowego wybrano metodę cząstek wirowych. Jest to metoda wyjątkowo dobrze nadająca się do modelowania zjawisk wirowych, a także bardzo dobrze nadaje się do rowadzenia obliczeń w środowisku wielorocesorowym. W obliczeniach wykorzystuje się cząstki, które są nośnikami wirowości. Cząstki wirowe umożliwiają w łatwy i efektywny sosób analizę ewolucji ól wirowych. Rozwiązywanie równań ruchu cieczy dla zagadnień trójwymiarowych, niezależnie od użytej metody, wiąże się z długimi czasami obliczeń. Przyrost mocy obliczeniowej komuterów, związany ze zwiększeniem częstotliwości zegara taktującego racę rocesora, w ostatnich latach zdecydowanie się zmniejszył. Dlatego dla rzysieszenia obliczeń zmuszani jesteśmy do stosowania wielorocesorowych środowisk obliczeniowych i oracowywania algorytmów właściwych dla obliczeń równoległych. Niesodziewanie okazało się, że budowane dla gier komuterowych karty graficzne, osiadające niekiedy kilkaset rocesorów strumieniowych, można wykorzystać do obliczeń

2 146 A. KOSIOR, H. KUDELA naukowych. W racy rzedstawiono wyniki numeryczne dla ruchu ierścienia wirowego dla cieczy doskonałej (nielekiej) oraz badania dotyczące wływu lekości na rędkość rzemieszczania się ierścienia. 2. RÓWNANIA RUCHU Równania nieściśliwego, lekiego łynu można zaisać w nastęujący sosób: u 1 u u u t (1) u 0 (2) gdzie u, v, w u jest wektorem rędkości, - gęstością łynu, - ciśnieniem, - kinematycznym wsółczynnikiem lekości, w równaniu (1) działając obustronnie oeratorem można rzekształcić je w równanie Helmholtza dla ewolucji wirowości : ω u ω ω u ω t (3) gdzie ω u. Z warunku nieściśliwości (2) wynika istnienie wektora otencjału A u A (4) Zakładając dodatkowo, że wektor A jest nieściśliwy A 0, jego składowe można wyznaczyć, rozwiązując równanie Poissona Ai i, i 1,2,3 (5) Rozwiązując równanie (5), można obliczyć rędkość ze wzoru (4). W metodzie cząstek wirowych używany jest algorytm dekomozycji lekościowej. Rozwiązanie uzyskuje się w dwóch krokach: najierw rozwiązywane jest równanie Eulera (dla cieczy nielekiej). ω u ω ω u t (6) W drugim kroku symulowany jest efekt lekości orzez rozwiązanie równania dyfuzji. ω ω t (7) Do rozwiązania równania dyfuzji można użyć różnych metod, takich jak Particle Strength Exchange (PSE), metodę Monte Carlo lub metody różnic skończonych. W obecnej racy zastosowano metodę różnic skończonych ze schematem niejawnym do rzybliżonego rozwiązania równania (7). 3. OPIS METODY WIR W KOMÓRCE DLA PRZYPADKU CIECZY NIELEPKIEJ W racy została wykorzystana metoda dekomozycji lekościowej. W metodzie tej rozwiązanie znajdowane jest w dwóch odkrokach. Najierw rozwiązywane są równania ruchu dla łynu nielekiego. W tym celu obszar obliczeniowy został okryty trójwymiarową

3 MODELOWANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO METODĄ CZĄSTEK 147 siatką strukturalną j1 x, j2y, j3z j 1, j2, j3 1,2,..., N, gdzie x y z h. Ta sama siatka będzie wykorzystywana do rozwiązania równania Poissona. Ciągłe ole wirowości zostało zastąione dyskretnym rozkładem delt Diraca. [1, 4] gdzie ω N x α x x x 1 (8) α oznacza masę (cyrkulację) cząstki wirowej 1, 2, 3 x 1, x 2, x 3 jest zdefiniowana rzez wyrażenie: 3 3 x, x x d x h x, x V V h x. i -ta składowa i i V i i, α w unkcie gdzie V jest objętością komórki z indeksem. Z twierdzenia Helmholtza [7] wiadomo, że wirowość jest unoszona rzez łyn, a więc równanie ruchu cząstek wirowych ma ostać: d x ux, t dt (10) Należy także wziąć od uwagę fakt, że w trójwymiarowym olu wirowym intensywność cząsteczek jest zmieniana rzez efekt zwany rozciąganiem linii wirowych (rawa strona równania (6). A więc: dα u x, t α dt (11) Prędkość w węzłach została obliczona w wyniku rozwiązania równania Poissona (5) metodą różnic skończonych rzy użyciu (4). Układ równań (8), (9) został rozwiązany metodą Rungego Kutty 4. rzędu. W drugim odkroku algorytmu symulowany był wływ lekości na cząsteczki orzez rozwiązanie równania: ω ω t (12) (9) 4. REDYSTRYBUCJA MASY CZĄSTEK WIROWYCH NA WĘZŁY SIATKI W metodzie wirów w komórce cząsteczki mają tendencję do zbierania się w obszarach dużych gradientów rędkości. Może to rowadzić do niedokładności sowodowanych zbytnim zbliżaniem się cząsteczek do siebie. Aby temu zaobiec, cząsteczki umieszcza się z owrotem na węzłach siatki numerycznej (tzw. remeshing). Wykonuje się to rzy omocy interolacji: ~ ~ x j x 3 j n h h (13) gdzie j jest indeksem węzła siatki, a jest indeksem cząsteczki. Jakość interolacji zależy od własności jądra φ. W tej racy zostało wykorzystane nastęujące jądro interolacyjne:

4 148 A. KOSIOR, H. KUDELA 2 5x 2 3 x 2 2 x 1 x 3 / 2 / 2 0 x 1 1 x x (14),. Proces redystrybucji musi być dokonywany w każdym kroku czasowym, aby możliwe było rozwiązanie równania Poissona (5). Jądro (14) jest rzędu m = 4. W rzyadku trójwymiarowym x y, z x y z 4. REALIZACJA NA GPU Z owodu długiego czasu obliczeń owstała otrzeba zastosowania obliczeń równoległych. Wybrana została architektura CUDA wykorzystująca karty graficzne (GPU - Grahics Processing Unit). Szczegóły imlementacji znajdują się w [3]. W celu srawdzenia orawności imlementacji orównano otrzymane wyniki obliczeń na ojedynczym rocesorze (CPU - Central Processing Unit) i na karcie graficznej. Wyniki wykazały orawność imlementacji. Na GPU obliczenia były 46 razy szybsze niż na CPU. Rys.1. Porównanie wyników dla ewolucji ierścienia wirowego o n = 100 krokach czasowych dla obliczeń rowadzonych na CPU (Intel Core i góra) i GPU (NVIDIA GTX480 - dół). Obliczenia na GPU były 46 razy szybsze. 5. PRZEPŁYW NIELEPKI I LEPKI Przerowadzono badania symulujące wływ lekości na zachowanie się ewolucji ierścienia wirowego. Liczbę Reynoldsa rzeływu definiowano jako Re /. Ewolucja ierścienia wirowego w rzeływie nielekim jest widoczna na rys. 1. a w rzeływie lekim na rys. 2. Na rys. 4. i 5. widoczne są odowiednio rzemieszczenie i rędkość ierścienia wirowego w czasie z zależności od lekości. Z zarezentowanych wyników widać, że rędkość translacji ierścienia wirowego w łynie lekim maleje z czasem. Jest to zgodne z wynikami teoretycznymi [2]. Dla rzeływu nielekiego rędkość translacji ierścienia wirowego jest stała, co widać na rys. 4. Pokrywa się ona ze wzorem teoretycznym Kelvina [5]. Wahania w rędkości rzemieszczania wynikają z ustalania się rozkładu wirowości wewnątrz rdzenia ierścienia wirowego. Do obliczeń rzyjęto równomierny rozkład wirowości. Wraz z uływem czasu rozkład wirowości wewnątrz rdzenia rzyjmuje rozkład odobny do rozkładu Gaussa.

5 MODELOWANIE DYNAMIKI PIERŚCIENIA WIROWEGO METODĄ CZĄSTEK 149 Rys.2. Ewolucja ierścienia wirowego w rzeływie nielekim dla Γ = 1.0. Dół - t = 0, góra - t = 10 Rys.3. Ewolucja ierścienia wirowego w rzeływie lekim (Re = 1000) dla Γ = 1.0. Dół - t = 0, góra - t = 10 Rys.4. Zależność ołożenia środka ierścienia wirowego od czasu dla rzeływu nielekiego i lekiego Rys.5. Zależność rędkości środka ierścienia wirowego od czasu dla rzeływu nielekiego i lekiego 6. WNIOSKI Z zarezentowanych wyników można wysnuć wnioski, że metoda cząstek wirowych jest odowiednia do badania zagadnień związanych z ewolucją trójwymiarowych struktur wirowych. Mają one fundamentalne znaczenie dla zrozumienia rocesów owstawania i rozwoju turbulencji. Zbudowany rogram obliczeniowy ozwala na symulację trójwymiarowych rzeływów lekich. W racy wykorzystano karty graficzne do obliczeń równoległych. Pozwoliło to na uzyskanie 46-krotnego rzysieszenia obliczeń w stosunku do ojedynczego rdzenia. Rozkład wirowości w rzekroju ierścienia wirowego jest ważnym czynnikiem mającym wływ na jego zachowanie.

6 150 A. KOSIOR, H. KUDELA LITERATURA 1. Cottet G. H., Koumoutsakos P. D.: Vortex Methods: Theory and ractice. Cambridge University Press, 2000, Kalansky F.B., Rudi Yu. A.: Evolution of a viscous vortex ring. Fluid Dynamics 2001, Vol. 36, No Kosior A., Kudela H.: Parallel comutations on GPU in 3D using the vortex article method. htt://dx.doi.org/ /j.comfluid , 4. Kudela H., Regucki P.: The vortex-in-cell method for the study of three-dimensional flows by vortex methods. Tubes, Sheets and Singularities in Fluid Dynamics. Fluid Mechanics and Its Alications. Kluwer Academic Publisher, 2009, Vol. 7, Lim T. T., Nickels T. B.: Vortex rings. Fluid vortices. Editor: Sheldon I. Green. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, Shariff K., Leonard A.: Vortex rings. Annu. Rev. Fluid Mech 1992, Vol. 24, Wu J. Z., Ma H. Y., Zhou M. D.: Vorticity and vortex dynamics. Berlin, Heidelberg: Sringer, Zadanie wsółfinansowane ze środków Unii Euroejskiej w ramach Euroejskiego Funduszu Sołecznego MODELING OF THE VORTEX RING DYNAMICS BY VORTEX PARTICLE METHOD USING PARALLEL COMPUTATION ON GRAPHICS CARDS Summary. The aer resented the Vortex in Cell (VIC) method for solving the fluid motion equations in 3D. Due to the long time of comutation on single rocessor the arallel imlementation of the VIC method was resented. The seed-u for the entire VIC method imlementation on the GPU was 46 times. Two test cases were resented. First one, shows correctness of the arallel imlementation on GPU. Second examle shows influence of viscosity on the translation velocity of the vortex ring.