MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut

Transkrypt

1 MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut Każde zadanie od początku do końca jest mojego autorstwa. Odkąd istnieje nowa matura, każde z zadań rozwiązałem na wiele sposobów. Zaznajomiłem się z obszernym zbiorem zadań przygotowanym przez Centralną Komisje Egzaminacyjną. Nie da się zawrzeć tego wszystkiego w jednym arkuszu. Opracowując ten arkusz kładłem nacisk, aby rozpiętość dosięganych zagadnień była jak największa. Znajdują się tu najczęściej występujące typy zadań, jak i te sprawiające największe problemy. Jest też kilka zadań, gdzie trzeba się wykazać po prostu myśleniem (zad 1), ten aspekt też należy ćwiczyć. Jedyne czego się wyrzekłem, to zadań typowo banalnych. Gwarancją sukcesu było by udane przestudiowanie wielu podobnych arkuszy tego typu. Jestem przekonany, że dokładne przestudiowanie tego tylko arkusza, zwiększy wynik ucznia nawet o kilkanaście punktów procentowych. Odpowiedzi znajdują się na 1. Liczb pierwszych spełniających nierówność 4 x 1 < 64 jest A. B. 6 C. 7 D.8 2. O ile procent zmniejszy się pole kwadratu, jeśli jego przekątną zmniejszymy o 10%? A. 9% B. 11% C. 18% D.19%. Liczba a stanowi odwrotność i przeciwność sumy liczb 2 i. Liczba b jest o 2 mniejsza od a. Różnica b a wynosi A. 2 B. 2 C. 2 2 D Wskaż prawdziwe równanie A. log 2 1, log 2 1, = log 2 B. log 2 27 = log 2 9 C. log 2 = 1 D. log log 2 2 = log 2 log 2. Równanie x(x 2 1)(x 2 + 4) = 0 ma A. 2 rozwiązania B. rozwiązania C. 4 rozwiązania D. rozwiązań

2 6. Kwadrat wyrażenia 1 + x jest równy A. x B. 1 2 x + x 2 C x 2 x + x 2 D x 2 x + x 2 7. Dla każdej liczby ujemnej różnej od -2 wyrażenie 2x x 2 przyjmuje postać x 2 4 A. 1 x+2 B. 1 x 2 C. x 2 x 2 4 D. 2x+1 x 2 8. Kwotę x zł wpłacono do banku na procent składany. Oprocentowanie w tym banku wynosi % w skali roku. Odsetki kapitalizowane są co kwartał. Po 2 latach zysk będzie wynosił A. x(1,0 8 1) B. x(1,0 6 1) C. x(1 + 0,0 8 ) D. 1,0 8 x 9. Dla jakiego parametru a układ równań { 1 1 y 2 x = x 2y = 2a jest sprzeczny. A. a = R\ { 2 } B. a = R\ { 1 } C. a = R\ { 2 } D. a = R\{} Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z układów równań. Wskaż ten układ y = 2 x y = 2 x y = 2x y = 2 x A. { y = 1 1 x 1 B. { y = 1 1 x 1 C. { y = 2 x 1 D. { y = 2 x Funkcja liniowa spełnia warunek: f( 1) =, a jej miejscem zerowym jest liczba 4. Współczynnik kierunkowy tej funkcji wynosi A. a = B. a = C. a = D. a =

3 12. Proste o równaniach 2x + y = 4m oraz 2mx x + 2y = 2 są wzajemnie prostopadłe dla A. m = 1 B.m = 0 C. m = 1 D. m = 2 1. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = 2(x 1) Zbiorem wartości funkcji: g(x) = f( x) jest przedział: A. ( ; 1 > B.( ; 1 > C. < 1; ) D. < 1; ) 14. Funkcja f, określona dla wszystkich liczb nieparzystych dodatnich, przyporządkowuje liczbie x liczbę o 20% mniejszą o niej samej. Średnia arytmetyczna wartości tej funkcji dla czterech najmniejszych argumentów jest równa A. 0,8 B.,2 C. 4,2 D. 4,8 1. Dwie osoby zbierają wiadro truskawek w 10 minut. Ile najmniej osób potrzeba, aby przy zachowaniu tej samej wydajności zapełnić wiadro w mniej niż minuty. A. B.6 C. 7 D Dany jest ciąg a n = 2 n 4 2. Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 224 A. 10 B. 11 C. 12 D Proste k i l są równoległe. Długości odcinków AB, BD i BC są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Odcinek CE ma długość A. 7 B. 8 C. 8, D Jeżeli sin α = 0,6, to cosinus tego samego kąta jest równy: A. 4 B. 4 C. 4 lub 4 D. 4 i Liczba cos 127 równa się liczbie A. cos B. sin C. sin 7 D. sin

4 20. W trójkącie prostokątnym ABC sinus kata przy wierzchołku B wynosi 0,6 oraz AC =6. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi A. 2, B. C. 8 D Punkt S jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku oraz ABC = 11. Wskaż poprawną wartość kąta rozwartego ASC A. ASC = 11. B. ASC = 120 C. ASC = 12 D ASC = Punkty P = (, 1 ) i Q = (, 1 1 ) są możliwie najbardziej oddalonymi od siebie 2 2 wierzchołkami sześciokąta foremnego. Bok sześciokąta ma długość A. 2 B. 2 C. D Objętość bryły A 1 wynosi. Bryła A 2 jest podobna do bryły A 1 w skali 2. Objętość bryły A 2 wynosi A. 10 B C. 10 D Na ile sposobów 4 kule różnego koloru można rozmieścić w szufladach, jeśli czerwona nie może być w tej samej szufladzie co niebieska? A. 11 B. 12 C. 48 D.4 ZADANIA OTWARTE 2. (2 pkt) Rozwiąż nierówność (2 2x)( 2x + 2) 22 12x 26. (2 pkt) Wykaż, że liczba jest podzielna przez 1.

5 27. (2 pkt) W trapezie ABCD ( AB CD ) z wierzchołka C poprowadzono wysokość dzielącą podstawę AB w stosunku 2:. Wysokość poprowadzona z wierzchołka D dzieli podstawę AB w stosunku :4. Wykaż, że przekątna DB dzieli wysokość poprowadzoną z wierzchołka C w stosunku :7. D C F A H G B 27. (2 pkt) Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = a(x + ) 2, gdzie a 0, w przedziale domkniętym ; jest równa -2. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 1;. 29. (2 pkt) Suma ciągu arytmetycznego jest określona wzorem S n = 2n 2 + n. Napisz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. 0. (2 pkt) Wyznacz wartość x, wiedząc że podane liczby są kolejno pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego: log 2 0,, sin 10, log 16 x. Wynik obliczeń podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. 1. (4 pkt) Zabawa polega na równoczesnym losowaniu dwóch wierzchołków graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego. Jeżeli okaże się, że wylosowane wierzchołki należą do wspólnej przekątnej przechodzącej przez wnętrze bryły, to uczestnik wygrywa nagrodę. Jeżeli uczestnik wylosuje 2 wierzchołki, które są końcami tej samej przekątnej ściany bocznej lub jednej z podstaw, to dostaje jeszcze jedną szansę. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania, jeśli powtórzenie jest jednorazowe i biorą w nim udział wszystkie wierzchołki z początku gry. 2. (4 pkt) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 6. Tangens jednego z katów ostrych wynosi 2 2. Trójkąt obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Wyznacz kąt wycinka koła, jaki tworzy po rozwinięciu powierzchnia boczna tak otrzymanego stożka.. (6 pkt) Dane są punkty A=(-2 1, ) i B=(2, 1). Odcinek AB stanowi cięciwę oddaloną od środka okręgu o 10. Napisz równanie tego okręgu, rozważ wszystkie przypadki.