Numeryczne rozwiązywanie dwuwymiarowego równania transportu masy w powierzchniowych wodach płynących

Transkrypt

1 Numeryczne rozwiązywanie dwuwymiarowego równania transportu masy w powierzchniowych wodach płynących Monika Kalinowska Instytut Geofizyki Polskiej Akademii Nauk Rozprawa Doktorska wykonana w Zakładzie Zasobów Wodnych pod kierunkiem doc. dr. hab. Pawła Rowińskiego Warszawa, 007

2

3 All models are wrong but some models are useful George Box

4

5 Podziękowania Pragnę podziękować wszystkim osobom, które w jakikolwiek sposób przyczyniły się do powstania niniejszej rozprawy doktorskiej. Przede wszystkim dziękuję: ˆ mojemu promotorowi doc. dr. hab. Pawłowi Rowińskiemu, ˆ kierownikowi studiów doktoranckich prof. dr. hab. Jarosławowi Napiórkowskiemu, ˆ prof. Ianowi Guymerowi, ˆ oraz mojemu mężowi Arturowi. Badania przedstawione w niniejszej rozprawie doktorskiej były częściowo finansowane przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego, w ramach grantu promotorskiego numer P04D 06 9.

6

7 Streszczenie Przedmiotem rozważań w niniejszej pracy jest matematyczne modelowanie procesów transportu pasywnych substancji rozpuszczonych w wodzie (mogą nimi być różnego rodzaju zanieczyszczenia) w kanałach otwartych. W większości sytuacji stosowną reprezentacją przenoszenia masy jest uśrednione wzdłuż głębokości, dwuwymiarowe adwekcyjno-dyfuzyjne równanie różniczkowe cząstkowe. W ogólnym przypadku równanie to zawiera mieszane pochodne przestrzenne, których eliminacja (często spotykana w literaturze tematu) nie zawsze jest uzasadniona. W naturalnych warunkach odpowiednie zagadnienie początkowo-brzegowe nie posiada rozwiązania analitycznego, wobec czego musi być rozwiązywane numerycznie. Celem pracy jest stworzenie dwuwymiarowego modelu transportu pasywnych substancji rozpuszczonych w powierzchniowych wodach płynących, nazwanego w pracy RivMix, który mógłby być używany dla rzek o różnej geometrii koryta. Ważnym elementem pracy jest dobór odpowiedniej metody numerycznej z uwzględnianiem przede wszystkim dokładności i kosztów obliczeniowych. Pod uwagę brane są metody różnic skończonych, wykorzystywane do dyskretyzacji pełnego, dwuwymiarowego równania przenoszenia masy z pozadiagonalnymi współczynnikami dyspersji w kartezjańskim układzie współrzędnych. Wybrane metody przetestowano, wyznaczono dla nich błąd obcięcia i porównano szybkość ich działania. Ponadto przeprowadzone zostały analizy uproszczeń stosowanych w określaniu niediagonalnego tensora dyspersji. Uproszczenia tego rodzaju pozwalają na zapis równania transportu bez mieszanych pochodnych przestrzennych, co ułatwia jego rozwiązanie, nie zawsze jednak stosowane są one ze świadomością generowanych przez nie błędów.

8 Abstract Numerical solutions of two-dimensional mass transport equation in flowing surface waters Mathematical modeling of the processes of transport and mixing of passive, dissolved and conservative substance released into open channels is considered in the paper. The process, except for the initial distance, can be represented by the depth-averaged, two-dimensional advection-diffusion, partial differential equation. In general, the equation includes the mixed spatial derivatives, and their elimination (often met in literature) is not always valid. The main purpose of this research work is to create a two-dimensional mass transport model for open channels, which could be used for different types of natural channel planform geometry. Because the problem must be solved numerically it is important to choose an algorithm, which is accurate, stable and fast. In this work the finite differences methods, used to approximate the full two-dimensional advection-diffusion equation with off-diagonal dispersion coefficients in Cartesian coordinate system, are considered. Selected methods have been tested; for each of them truncation error and computational speed have been checked. In addition, errors introduced by the simplifications of the dispersion tensor in transport equation have been analysed.

9 Spis treści 1 Wstęp Opis zagadnienia i cel pracy Metodyka badań Zakres pracy Istniejący stan wiedzy w zakresie tematu badań Transport masy w kanałach otwartych 9.1 Wstęp Podstawy fizyczne modelowania przenoszenia masy w kanałach otwartych Dwuwymiarowe równanie transportu masy Współczynniki dyspersji Rozwiązywanie D równania transportu Uproszczenia D równania transportu masy Wstęp Wyznaczanie współczynników tensora dyspersji Obrót Quasi obrót Obrót wektora Przekształcenie tożsamościowe Testy obliczeniowe Chwilowy zrzut substancji rozpuszczonej i

10 SPIS TREŚCI 3.3. Ciągły dopływ substancji rozpuszczonej Metody numeryczne Wstęp Metoda Różnic Skończonych Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu Schemat jawny Pod Prąd Schemat Cranka-Nicolsona z ilorazem różnicowym centralnym Metoda Kierunków Naprzemiennych Warunki graniczne Własności rozważanych schematów numerycznych Wstęp Dokładność błąd obcięcia Metoda Równania Zmodyfikowanego Błąd obcięcia dla Metody Kierunków Naprzemiennych Stabilność i szybkość obliczeń Opis programu RivMix Wstęp Parametry symulacji Algorytm Weryfikacja modelu Wstęp Szeroki kanał prostokątny Chwilowy zrzut zanieczyszczeń Ciągły dopływ zanieczyszczeń Dwudzielny kanał laboratoryjny Podsumowanie 19 DODATKI 133 ii

11 SPIS TREŚCI A D równanie transportu 135 B Operatory różnicowe używane w pracy 137 C Wyniki testów tensora dyspersji 139 C.1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń C. Ciągły dopływ zanieczyszczeń D Warunki brzegowe 161 E Szczegóły konstruowania Równania Zmodyfikowanego 171 Spis ważniejszych symboli 175 Spis ważniejszych skrótów 179 Spis rysunków 181 Spis tabel 188 Bibliografia 193 iii

12

13 Rozdział 1 Wstęp 1.1 Opis zagadnienia i cel pracy Ochrona i jakość wody to problemy będące w centrum uwagi na całym świecie. Dotyczą one w sposób istotny również Polski. Współczesne wymagania i zalecenia w tej dziedzinie w Unii Europejskiej regulowane są między innymi przez Ramową Dyrektywę Wodną (UE, 000), której jednym z celów jest ochrona wód przed zanieczyszczeniami. W realizacji tego celu istotne są nie tylko monitoring jakości wody i kontrola odprowadzanych do niej zanieczyszczeń, ale również opracowanie sposobów postępowania w razie ewentualnego skażenia wody, do którego może dojść w przypadku różnego rodzaju katastrof i awarii. Ewentualny ciągły jak i gwałtowny zrzut zanieczyszczeń i ich rozprzestrzenienie się może mieć zgubny wpływ zarówno na roślinność i zwierzęta zamieszkujące środowisko wodne, jak i na ludzi korzystających z ujęć wodnych. Dlatego w takich sytuacjach istotna jest informacja zarówno o stężeniu szkodliwych substancji rozpuszczonych w wodzie, jak i o dynamice rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w danym rejonie, aby we właściwym czasie można było podjąć odpowiednie kroki w celu zminimalizowania skażenia. Sposób i szybkość rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń są również istotne w przypadku zrzutów zanieczyszczeń komunalnych i przemysłowych do rzek. Ocena ewentualnego skażenia wymaga złożonej analizy i opisu przepływu wody i transportu rozpuszczonych w niej substancji. Modele transportu masy prowadzą do równań różniczkowych cząstkowych nie posiadających rozwiązań analitycznych w rzeczywistych warunkach, dlatego też problem musi być rozwiązywany numerycznie. 1

14 1. WSTĘP Głównym celem pracy jest stworzenie i analiza dwuwymiarowego modelu transportu pasywnych substancji rozpuszczonych w powierzchniowych wodach płynących, który mógłby być używany dla rzek o różnej geometrii koryta. Zważywszy na to, że równania opisujące procesy przenoszenia masy w praktyce muszą być rozwiązywane numerycznie, ważnym elementem pracy jest dobór odpowiedniej metody numerycznej, zapewniającej pożądaną dokładność i możliwie niskie koszty obliczeniowe. Do rozwiązywania pełnego, dwuwymiarowego, uśrednionego wzdłuż głębokości równania przenoszenia masy z pozadiagonalnymi współczynnikami dyspersji w kartezjańskim układzie współrzędnych, brane są pod uwagę jedne z najczęściej stosowanych w hydromechanice metody różnic skończonych. Dodatkowym zadaniem jest przeprowadzenie analiz uproszczonego wyznaczania bez pozadiagonalnych składowych tensora dyspersji, występującego w równaniu i związanych z takimi uproszczeniami błędów. 1. Metodyka badań Uśrednione w pionie, dwuwymiarowe, adwekcyjno-dyfuzyjnego równania różniczkowe, opisujące transport masy w kanałach otwartych, w naturalnych warunkach można rozwiązać tylko przy pomocy metod numerycznych. Podstawę pracy stanowi zatem dobór metody numerycznej odpowiedniej dla rozwiązywanego problemu. W pracy rozważane są wybrane metody różnic skończonych, z których zaimplementowano: ˆ schemat Pod prąd (ang. Upwind) schemat jawny z ilorazem różnicowym wstecznym i przednim, ˆ schemat Cranka-Nicolsona niejawny schemat z ilorazem różnicowym centralnym, ˆ Metodę Kierunków Naprzemiennych (ang. Alternative Direction Implicit method) schemat dwuetapowy, oparty na schemacie Cranka Nicolsona. Przeprowadzono analizę ich dokładności i szybkości obliczeń. Wykonano testy dla prostego kanału, w którym rozwiązania numeryczne możne porównać z istniejącym, dla tego szczególnego przypadku, rozwiązaniem analitycznym. W przypadku metod niejawnych podstawą uzyskania wyniku w danym kroku czasowym jest rozwiązanie układu równań

15 1. Metodyka badań linowych. Ze wzglądu na duże rozmiary otrzymywanych układów równań ważne jest zastosowanie właściwej metody do ich rozwiązania. Wykorzystano metody iteracyjne (Bjorc & Dahlquist, 1987), a w przypadku Metody Kierunków Naprzemiennych dodatkowo analityczną metodę Thomasa dla macierzy blokowo trój-przekątniowych (Szymkiewicz, 003). Dla wszystkich stosowanych schematów, wyznaczono błędy dyfuzji i dyspersji numerycznych, wynikające z obcięcia szeregu Taylora w trakcie aproksymacji odpowiednich pochodnych. W celu sprawdzenia poprawności wykonanych kalkulacji porównano błędy uzyskane z obliczeń z błędami numerycznymi otrzymywanymi w trakcie symulacji w szczególnym przypadku, dla którego jest znane ścisłe rozwiązanie analityczne równania. Znaczną część czasu zajęła praca nad modelem komputerowym: zaprojektowanie modelu i implementacja kodu. Program komputerowy został napisany w języku programowania C++ dla systemu operacyjnego LINUX. Do wizualizacji wyników użyty został pakiet do analizy danych ROOT (Object Oriented Data Analysis Framework), stworzony w Europejskim Laboratorium Fizyki Cząstek Elementarnych CERN (Brun & Rademakers, 1997). Zaimplementowany przez autorkę model nazwano RivMix (skrót od angielskiego River Mixing Model). Istotną część pracy stanowi analiza stosownych uproszczeń tensora dyspersji. Wykonano ją dla prostego kanału, dla którego, w przypadku chwilowego zrzutu zanieczyszczeń, można wyznaczyć rozwiązanie analityczne. Z rozwiązaniem analitycznym porównano wyniki otrzymywane przy użyciu prawidłowo wyznaczonego niediagonalnego tensora dyspersji oraz wyniki otrzymane przy użyciu tensora diagonalnego wyznaczonego za pomocą różnych metod. W przypadku ciągłego zrzutu zanieczyszczeń, dla którego trudno jest określić rozwiązanie analityczne, uproszczone metody wyznaczania tensora dyspersji porównano z wynikami z zastosowaniem pełnego niedieganolanego tensora dyspersji. Końcowym etapem pracy była weryfikacja modelu. Wyniki otrzymywane z użyciem zaimplementowanego modelu porównano z rozwiązaniem analitycznym dla kanału, w którym analityczne rozwiązanie istnieje. Do weryfikacji modelu zostały również wykorzystane dane eksperymentalne udostępnione przez prof. Iana Guymera z School of Engineering, University of Warwick. Dane obejmują zarówno dwuwymiarowe pole prędkości, współczynniki mieszania poprzecznego, jak i dwuwymiarowe krzywe stężeń znacznika uzyskane w kanale laboratoryjnym o złożonej geometrii. 3

16 1. WSTĘP 1.3 Zakres pracy Rozdział 1 jest rozdziałem wprowadzającym. Podstawy fizyczne modelowania transportu masy w kanałach otwartych, ze szczególnym naciskiem na dwuwymiarowe równane adwekcji-dyfuzji przedstawiono w rozdziale. Dla szczególnych warunków początkowobrzegowych, zaproponowano również rozwiązanie analityczne równania, używane w dalszej części pracy. W następnym rozdziale (rozdział 3) omówiono uproszczenia dwuwymiarowego równania transportu. Przedstawiono analizy różnych sposobów wyznaczania współczynników tensora dyspersji, prowadzące do zapisu równania transportu bez przestrzennych pochodnych mieszanych. Rozdział 4 zawiera opis metod numerycznych stosowanych do rozwiązywania równania transportu. Szczegółowo opisano metody zaimplementowane w modelu RivMix, ich własności, zwłaszcza dokładność i szybkość obliczeń, zostały omówione w rozdziale 5. Kolejny rozdział (rozdział 6) zawiera opis i algorytm modelu RivMix, rozdział 7 jego weryfikację porównanie wyników z otrzymywanymi w szczególnym przypadku w rozwiązaniu analitycznym, oraz z danymi eksperymentalnymi. W ostatnim rozdziale (rozdział 8) przedstawiono podsumowanie i wnioski, oraz plany dalszej pracy. Niektóre elementy pracy zostały opublikowane w: Kalinowska (005, 006); Kalinowska & Rowiński (004, 007a,b); Rowiński & Kalinowska (006). 1.4 Istniejący stan wiedzy w zakresie tematu badań W literaturze tematu istnieje wiele publikacji na temat rozwiązywania równania transportu masy w kanałach otwartych. Autorzy proponują różnego rodzaju uproszczenia i sposoby rozwiązywania równań adwekcyjno-dyfuzyjnego przenoszenia masy. Bogaty przegląd literatury i różnych podejść stosownych w opisie fizyki procesu w naturalnych kanałach, jak również propozycje metod jego modelowania, możemy znaleźć w monografii Water Quality Hazards and Dispersion of Pollutants (Czernuszenko & Rowiński, 005), ważnymi opracowaniami są również: Czernuszenko (1990); Fischer et al. (1979); Holley & Jirka (1986); Rutherford (1994); Sawicki (003). W praktyce na ogół spotyka się próby modelowania procesu rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń z użyciem jednowymiarowego równania adwekcji-dyfuzji, bądź jego różnych modyfikacji (np. Beer & Young (1983); 4

17 1.4 Istniejący stan wiedzy w zakresie tematu badań Cheong & Seo (003); Czernuszenko et al. (1998); Karahan (006); Tsai et al. (001)). Przejrzysty przegląd metod numerycznych rozwiązywania jednowymiarowego równania zawiera praca Szymkiewicza (000) w języku polskim i Fletchera (1991) w języku angielskim. W analizie zjawisk związanych ze zrzutem zanieczyszczeń często istotny jest etap, na którym nie dochodzi jeszcze do pełnego rozprzestrzenienia się zanieczyszczeń w poprzek kanału. W takich sytuacjach podejście jednowymiarowe jest niewystarczające. Większość rzek jest płytka w porównaniu z ich długością i szerokością, co gwarantuje stosunkowo szybkie wymieszanie substancji domieszkującej w pionie (Jirka & Weitbrecht, 005). W tym przypadku transport pasywnych substancji rozpuszczonych w wodzie może być reprezentowany przez uśrednione w pionie, dwuwymiarowe, adwekcyjno-dyfuzyjne równanie różniczkowe cząstkowe (patrz np. Czernuszenko (1990)). Dwuwymiarowym modelowaniem przenoszenia masy, przeprowadzanym w celu analizy różnych aspektów procesów mieszania, zajmowali się m.in.: Beltaos & Arora (1988); Czernuszenko (1987); Guan & Zhang (005); Manson & Wallis (1998); Manson et al. (00); Sloan & Pender (1998); Somlyody (1978). W wymienionych publikacjach rozważane dwuwymiarowe równania transportu są zazwyczaj upraszczane. W prezentowanej pracy, w odróżnieniu od większości opracowań z tej dziedziny, rozwiązywane jest pełne dwuwymiarowe równanie z pozadiagonalnymi współczynnikami tensora dyspersji, będącego wynikiem uśrednienia równania w pionie. Zaniedbanie pozadiagonalnych współczynników tensora, powoduje pominięcie w równaniu członów z przestrzennymi pochodnymi mieszanymi. Używanie tego rodzaju uproszczeń przy opisie i rozwiązywaniu problemu przenoszenia masy w rzekach, jest spotykane w literaturze tematu, w tym w wielu wypadkach stosowane nieświadomie. Podejście takie, w kartezjańskim układzie współrzędnych, jest słuszne tylko, gdy oś x skierowana jest wzdłuż kierunku przepływu, co jest trudne do osiągnięcia w przypadku naturalnych rzek o różnej geometrii koryta. Często proponowanym rozwiązaniem jest zastosowanie krzywoliniowych układów współrzędnych (Czernuszenko, 1987; Holley & Jirka, 1986), które jednak w przypadku skomplikowanych geometrii, zmuszają do wprowadzenia wielu uproszczeń. Numeryczne rozwiązywanie równania transportu odbywa się wtedy zwykle przy zastosowaniu tzw. stream tube concept (np. Beltaos & Arora, 1988; Guan & Zhang, 005; Lau & Krishnappan, 1981). W innych przypadkach (dotyczących procesów mieszania) rozważanych w kartezjańskim układzie współrzędnych przyjmowane jest 5

18 1. WSTĘP założenie, że oś x skierowana jest w kierunku przepływu (jak np. w publikacji Siemons, 1970), albo problem jest przemilczany (np. Tsai et al., 001). Przegląd literatury światowej wskazuje, że problematyka rozwiązywania pełnego dwuwymiarowego równania adwekcji-dyfuzji w układzie kartezjańskim w aspekcie transportu substancji rozpuszczonej w kanałach otwartych jest rzadko poruszana. Numeryczne rozwiązywanie równania bez mieszanych pochodnych w kartezjańskim układzie współrzędnych rozważane jest w pracach np.: Fletcher (1991); Noye & Tan (1989); Noye (1984). Nieliczne prace nad rozwiązaniem równania adwekcji-dyfuzji z uwzględnieniem mieszanych pochodnych opublikowane zostały przez matematyczne ośrodki brytyjskie (McKee et al., 1996; Smith & Yongming, 001). W szczególności trudno znaleźć prace dotyczące badania wpływu zaniedbywania pozadiagonalnych składowych tensora dyspersji w przypadkach, gdy kierunek przepływu nie jest równoległy do osi układu współrzędnych. Problem ten jest jednak sygnalizowany np. w opracowaniach (Piasecki & Katopodes, 1999; Sawicki, 003). W niniejszej pracy przedstawiono analizę błędów związanych z różnymi sposobami transformacji tensora dyspersji, w sytuacji gdy kierunek przepływu tworzy różne katy z osią x układu współrzędnych. Jest to równoważne analizie różnych, stosowanych w praktyce, uproszczeń tensora dyspersji. Osobnym zagadnieniem jest prezentowana analiza błędów numerycznych związanych z dyskretyzacją rozwiązywanego równania. Błędy te są określany w literaturze mianem dyfuzji numerycznej i dyspersji numerycznej. Większość pozycji literaturowych dotyczy jednak analizy błędów dla problemów jednowymiarowych jak np. prace: Ataie-Ashtiani et al. (1996, 1999); Dehghan (004); Fletcher (1991); Karahan (006) w przypadku jednowymiarowego równania adwekcji-dyfuzji, oraz Fletcher (1991); Grandjouan (1990); Odman (1997); Thomas (1995); Zoppou & Roberts (1993) w przypadku jednowymiarowego równania czystej adwekcji. Podobne analizy, w odniesieniu do równania czystej adwekcji w przypadku dwuwymiarowym prowadził zespół prof. Szymkiewicza z Politechniki Gdańskiej (Bielecka-Kieloch, 1998; Szymkiewicz, 006). W przypadku metod numerycznych stosownych dla dwuwymiarowego równania adwekcji-dyfuzji należy wymienić prace: Ataie-Ashtiani & Hosseini (005a,b); Noye & Tan (1989); Noye (1984); Peyret & Taylor (1986). Zwykle jednak w opracowaniach pomijane są mieszane pochodne przestrzenne lub analizowana jest jedynie dyfuzja numeryczna. W niniejszej pracy przedstawiono błąd 6

19 1.4 Istniejący stan wiedzy w zakresie tematu badań dyspersji i dyfuzji numerycznych dla wybranych schematów metod różnic skończonych używanych do rozwiązywania pełnego równania adwekcji-dyfuzji. Stosowane schematy porównano także z rozwiązaniem analitycznym dla przypadku kanału, w którym rozwiązanie takie można wyznaczyć. Szczegółowy opis literatury w odniesieniu do konkretnych zagadnień rozważanych w pracy można znaleźć w poszczególnych rozdziałach w dalszej części pracy. 7

20

21 Rozdział Transport masy w kanałach otwartych.1 Wstęp Monitoring jakości wód i kontrola wprowadzanych do nich zanieczyszczeń, jak i opracowanie sposobów postępowania w razie ewentualnego skażenia, skłaniają nas do tworzenia modeli opisujących procesy przepływu wody i transportu rozpuszczonych w niej substancji. W niniejszej pracy rozważane są procesy przenoszenia i mieszenia się substancji rozpuszczonych w powierzchniowych wodach płynących np. rzekach i kanałach otwartych. Pod uwagę brany jest transport substancji pasywnych i konserwatywnych, które w krótkim czasie rozpuszczają się w wodzie. W środowisku naturalnym większość domieszek ma charakter pasywny (Szymkiewicz, 000). Substancje takie nie mają wpływu na pole prędkości wody, co pozwala na ograniczenie rozważań do przepływów jednofazowych. Substancje konserwatywne (zachowawcze) to substancje, których całkowita masa nie ulega zmianie w czasie. Nie są więc uwzględniane generacja lub zanik czynnika rozpuszczonego. W innym wypadku należałoby w opisanym w dalszej części pracy równaniu transportu uwzględnić człony reprezentujące równania reakcji lub przemian chemicznych, fizycznych, czy biologicznych opisujących procesy generowania się lub zanikania czynnika źródłowego. Człony te zależą oczywiście od rodzaju uwzględnianego procesu i rozważanej substancji rozpuszczonej. Opis podstawowych procesów transportu jak i sposoby matematycznego ich modelowania są szeroko omawiane w literaturze tematu. Przegląd podstawowej teorii w odniesieniu 9

22 . TRANSPORT MASY W KANAŁACH OTWARTYCH do kanałów otwartych przedstawiają między innymi: Czernuszenko (1990, 000a,b); Czernuszenko & Rowiński (1994); Fischer et al. (1979); Holley & Jirka (1986); Rutherford (1994); Szymkiewicz (000). Obszerną pracą dotyczącą przenoszenia masy i energii jest Migracja zanieczyszczeń (Sawicki, 003), wymienić należy również monografię Water Quality Hazards and Dispersion of Pollutants (Czernuszenko & Rowiński, 005), w której znajduje się zbiór prac czołowych ekspertów zajmujących się różnymi aspektami modelowania rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w rzekach. Równania opisujące transport substancji rozpuszczonej wynikają z jednego z podstawowych praw fizyki jakim jest zasada zachowania masy (wyprowadzenie przedstawia np.: Czernuszenko (1990); Sawicki (003); Szymkiewicz (000)). W najbardziej ogólnym przypadku będzie to trójwymiarowe równanie adwekcji-dyfuzji, w praktyce zwykle stosuje się jego uśrednione wersje prowadzące do równań dwu i jednowymiarowych.. Podstawy fizyczne modelowania przenoszenia masy w kanałach otwartych Podstawową miarą zawartości substancji rozpuszczonej w wodzie jest stężenie (koncentracja) definiowane przez stosunek masy czynnika do objętości wody, w której jest on rozpuszczony: c = M V [ ] kg, (.1) m 3 gdzie: c stężenie, M masa czynnika, V objętość płynu. Proces przenoszenia dowolnego czynnika rozpuszczonego w wodzie jest efektem działania dwóch podstawowych mechanizmów: adwekcji mechanizm związany z ruchem wody, oraz dyfuzji, która jest samoistnym procesem przenoszenia czynnika w kierunku zmniejszającej się jego koncentracji. Dyfuzja w przeciwieństwie do adwekcji jest procesem nieodwracalnym. 10

23 . Podstawy fizyczne modelowania przenoszenia masy w kanałach otwartych Tabela.1: Rzędy wielkości współczynników mieszania w rzekach; na podstawie (Smith, 199) Współczynnik Rząd wielkości dyfuzja molekuralna dyfuzja turbulentna dyspersja od m do 10 s od m do 10 s od 1 do 10 3 m s Dokładne określenie wartości koncentracji w danym punkcie przestrzeni w wybranej chwili czasowej nie jest możliwe, dlatego w praktyce poszukujemy wartości koncentracji, które są uśrednione w czasie. Najbardziej ogólny trójwymiarowy przypadek równania transportu substancji rozpuszczonej, wymaga zastosowania hipotezy Reynoldsa, pozwalającej na rozłożenie wartości koncentracji i prędkości na wartości średnie tych wielkości i ich wartości pulsacyjne (turbulentne) (Czernuszenko, 000b; Czernuszenko & Rowiński, 005; Rowiński, 00; Sawicki, 003; Szymkiewicz, 000). Procedura ta wprowadza dodatkowy mechanizm burzliwego transportu masy zwany dyfuzją turbulentną. Rozwiązanie równania wymaga przyjęcia hipotezy, która uzależnia turbulentny strumień masy od gradientu średniej koncentracji (Czernuszenko, 000b). W równaniu pojawia się tensor dyfuzji turbulentnej, mający w ogólnym wypadku 9 składowych. Współczynniki dyfuzji molekularnej są zazwyczaj dużo mniejsze od współczynników dyfuzji turbulentnej (tabela.1), dlatego często są pomijane. Przy odpowiednio wybranym układzie współrzędnych tensor dyfuzji turbulentnej jest diagonalny i ma tylko trzy niezerowe składowe (Czernuszenko, 000b; Sawicki, 003). Jakkolwiek rozwiązanie pełnego trójwymiarowego równania wymaga informacji na temat nie tylko trudnych do określenia współczynników dyfuzji turbulentnej, ale również dokładnych pomiarów pola prędkości i głębokości, którymi w rzeczywistości rzadko dysponujemy. Jednocześnie koszty obliczeniowe przy rozwiązywaniu zagadnienia trójwymiarowego są bardzo duże. W praktyce informacja o trójwymiarowym polu koncentracji nie jest zwykle potrzebna. Ponadto większość naturalnych rzek i kanałów jest płytka w porównaniu z ich szerokością i długością, dlatego też proces mieszania wzdłuż głębokości zachodzi relatywnie szybko, zarówno w przypadku dużych jak i małych rzek (patrz tabela.). Można przyjąć, że cał- 11

24 . TRANSPORT MASY W KANAŁACH OTWARTYCH Tabela.: Odległości do całkowitego wymieszania w pionie i w poziomie w przypadku przykładowej dużej i małej rzeki, dla punktowego i pasywnego źródła umieszczonego na powierzchni wody przy brzegu kanału; dane zaczerpnięte z pracy (Jirka & Weitbrecht, 005) Odległość do całkowitego wymieszania pionowego poprzecznego Rzeka (wzdłuż głębokości) (wzdłuż szerokości) Duża 150 m m B = 50 m, H = 3 m Mała 5 m 400 m B = 5 m, H = 0,5 m B szerokość rzeki; H średnia głębokość kowite wymieszanie w pionie następuje na odległości równej maksymalnie kilkudziesięciu głębokościom wody (Jirka & Weitbrecht, 005). Naturalnym wydaje się więc traktowanie procesów rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w rzekach (za wyjątkiem krótkiego, początkowego odcinka) jako procesów dwuwymiarowych. Opisujące je równanie (przedstawione w dalszej części pracy patrz rów..) otrzymujemy poprzez uśrednienie równania trójwymiarowego wzdłuż głębokości. Matematyczny opis procesu uśredniania można znaleźć w wielu pracach (np.: Czernuszenko, 1990, 000b; Fischer et al., 1979; Rowiński, 00; Rutherford, 1994). W praktyce na ogół spotyka się próby opisu procesu rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń z użyciem jednowymiarowego równania adwekcji-dyfuzji, które otrzymuje się uśredniając równanie trójwymiarowe w danym przekroju kanału. Podejście takie może być bardzo użyteczne, nie mniej jednak często jest niewystarczające. O ile całkowite wymieszanie w pionie następuje relatywnie szybko, to mieszanie wzdłuż szerokość może trwać bardzo długo (tabela.). W dużych rzekach w skrajnym przypadku, mogą to być odległości rzędu setek kilometrów. Zdjęcia.1,. i.3 bardzo dobrze ilustrują ten proces. Podejście jednowymiarowe może więc być skutecznie stosowane począwszy dopiero od momentu kiedy nastąpiło całkowite wymieszanie substancji wzdłuż szerokości kanału. Dla typowej rzeki (B/H = 10 do 100) będzie to odcinek równy od 100 do 1000 szerokości rzeki (Endrizzi et al., 00; Jirka & Weitbrecht, 005). 1

25 . Podstawy fizyczne modelowania przenoszenia masy w kanałach otwartych Rysunek.1: Zdjęcie lotnicze (1960 r.) przemysłowego zrzutu zanieczyszczeń do rzeki Ren; źródło: (Jirka & Weitbrecht, 005) Można zatem wyróżnić trzy charakterystyczne strefy warunkujące wymiar zagadnienia: ˆ STREFA BLISKA, PRZYZRZUTOWA (ang. near field) najkrótsza rozpoczynająca się w punkcie zrzutu (rys..4 i.5) i trwająca aż do momentu całkowitego wymieszania w pionie. Jej długość zależy głównie od głębokości i sposobu zrzutu zanieczyszczeń. W strefie tej dominuje mieszanie pionowe. ˆ STREFA POŚREDNIA (ang. mid field) może trwać bardzo długo (rys..1,. i.3) rozciąga się w dół rzeki aż do chwili gdy nastąpi całkowite wymieszanie w przekroju poprzecznym kanału. W strefie tej dominuje mieszanie poprzeczne. 13

26 . TRANSPORT MASY W KANAŁACH OTWARTYCH Rysunek.: Test znacznikowy poprzecznego mieszania w Missouri w USA (szerokość rzeki: od B = 150 m do B = 40 m, maksymalna głębokość: H = 7, 5 m); źródło: (Holley, 001) Rysunek.3: Test znacznikowy oddziaływania strumienia na jezioro Spring Creek; źródło: autor: Prof. Wayne Wurtsbaugh STREFA DALEKA (ang. far field ) rozpoczynająca się po całkowitym wymieszaniu wzdłuż głębokości i szerokości kanału (rys..6) w której transport substancji rozpuszczonej odbywa się już tylko w dół rzeki, dominuje więc tutaj mieszanie podłużne. Mieszanie w każdej z tych stref powinno być modelowane odpowiednio z użyciem równań trój, dwu lub jednowymiarowych. W literaturze na ogół spotyka się próby modelowania procesu rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń z użyciem jednowymiarowego równania adwekcji dyfuzji, bądź jego różnych modyfikacji (Beer & Young, 1983; Cheong & Seo, 003; Czernuszenko et al., 1998; Karahan, 006; Tsai et al., 001). O ile modelowanie strefy bliskiej, w której podejście trójwymiarowe musi być stosowane (przykładowe prace: Chau & Jiang, 00; Czernuszenko & Rylov, 005), ze względu na krótki odcinek, na którym 14

27 . Podstawy fizyczne modelowania przenoszenia masy w kanałach otwartych Rysunek.4: Test znacznikowy na rzece Narew (czerwiec 005 r.); miejsce zrzutu znacznika Rysunek.5: Test znacznikowy na rzece o szerokości B = 5 m i głębokości H = 1 m, miejsce zrzutu znacznika; źródło: (Holley, 001) 15

28 . TRANSPORT MASY W KANAŁACH OTWARTYCH Rysunek.6: Test znacznikowy na rzece Narew w 005 roku (Rowiński et al., 007); Obszar, na którym nastąpiło już pełne wymieszanie wzdłuż szerokości kanału występuje, ma małe praktyczne zastosowanie, to w analizie zjawisk związanych ze zrzutem zanieczyszczeń często istotna jest strefa pośrednia, w której nie dochodzi jeszcze do pełnego rozprzestrzenienia się zanieczyszczeń w poprzek kanału. W takich sytuacjach, jak wspomniano wcześniej podejście, jednowymiarowe jest niewystarczające. Przedmiotem pracy jest pomijana w wielu wypadkach, aczkolwiek istotna strefa przejściowa, której modelowanie wymaga rozwiązywania dwuwymiarowego, uśrednionego równania transportu. Podejście dwuwymiarowe jest niezbędne również w przypadku mieszania się rzek (łączenie się dwóch lub więcej rzek, dopływy), pozwala także uwzględnić skomplikowaną geometrię (np. zakręty), z którą mamy do czynienia w przypadku naturalnych kanałów..3 Dwuwymiarowe równanie transportu masy Większość rzek jest płytka w porównaniu z ich długością i szerokością, co jak wspomniano wcześniej gwarantuje stosunkowo szybkie wymieszanie substancji domieszkującej w pionie. W tym przypadku transport pasywnych substancji rozpuszczonych w wo- 16

29 .3 Dwuwymiarowe równanie transportu masy dzie może być reprezentowany przez uśrednione w pionie, dwuwymiarowe, adwekcyjnodyfuzyjne równanie różniczkowe cząstkowe (Czernuszenko, 1990): gdzie: t czas, c(x, t) h(x) t [ + h(x) ] v(x) c(x, t) } {{ } człon adwekcyjny [ x = (x, y) podłużna i poprzeczna współrzędna, c(x, t) koncentracja (stężenie), h(x) lokalna głębokość, v(x) dwuwymiarowe pole prędkości, D(x) tensor dyspersji. ] h(x)d(x) c(x, t) = 0; (.) } {{ } człon dyfuzyjny Skutkiem uśrednienia równania wzdłuż głębokości (lub w przekroju) jest pojawienie się dodatkowych członów w równaniu transportu, wynikających z niejednorodności koncentracji i prędkości w pionie. Człony te reprezentują dodatkowy istotny mechanizm transportu zwany dyspersją (ang. dispersion, shear dispersion). Dyspersja nie jest fizycznym procesem a jedynie konsekwencją uśrednienia równania. Analogicznie jak w przypadku dyfuzji turbulentnej zakłada się, że strumień dyspersji jest proporcjonalny do gradientu średniej koncentracji (Czernuszenko, 000b; Rowiński, 00; Rutherford, 1994). Proporcjonalność tą określają tzw. współczynniki dyspersji (D xx, D xy, D yx, D yy ), które w ogólnym przypadku w układzie kartezjańskim tworzą niediagonalny tensor: D = D xx D yx D xy D yy. (.3) Dla odpowiednio obranego układu współrzędnych, gdy kierunek przepływu jest równoległy do osi rzędnych, pozadiagonalne składowe tensora są równe zeru. W takiej sytuacji zamiast pełnego równania: ( ) c h t + v c x x + v c y y ( c hd xx x ) x + hd c xy ( ) c hd yy y y y + hd c yx = 0, x (.4) 17

30 . TRANSPORT MASY W KANAŁACH OTWARTYCH można rozwiązywać uproszczone równanie różniczkowe (.5), w którym nie występują pochodne mieszane: gdzie: ( ) c h t + v c x x + v c y y ( ) c hd xx ( ) c hd yy = 0. (.5) x x y y v x, v y uśrednione składowe wektora prędkości odpowiednio w kierunku x i y. W praktyce rzadko mamy do czynienia z kanałem, dla którego kierunek przepływu jest równoległy do osi rzędnych we wszystkich punktach przepływu i dlatego powinno być stosowane pełne równanie (.4) zawierające mieszane pochodne. Niemniej jednak w literaturze, nawet dla skomplikowanych geometrii, stosowane są wersje uproszczone (.5) równania, bez stosownego uzasadnienia. Problem ten został szczegółowo przedyskutowany w rozdziale 3. Jeżeli w danym punkcie osie układu współrzędnych skierowane są wzdłuż głównych kierunków przepływu to współczynnik dyspersji D xx nazwany jest współczynnikiem dyspersji podłużnej (ang. longitudinal dispersion coefficient) i oznaczany symbolem D L, a współczynnik D yy współczynnikiem dyspersji poprzecznej (ang. transverse dispersion coefficient) i oznaczany symbolem D T. Wtedy tensor dyspersji przyjmuje postać: D = D xx 0 = D L 0. (.6) 0 D yy 0 D T Znajomość wartości współczynników dyspersji jest, obok informacji na temat pola prędkości, rzeczą niezbędną przy rozwiązywaniu dwu lub jednowymiarowych równań transportu..4 Współczynniki dyspersji Współczynniki dyspersji, określające szybkość rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w kanale, są w rzeczywistości najważniejszymi i najtrudniejszymi do określenia współczynnikami charakteryzującymi procesy mieszania (Czernuszenko, 1990, 000b). Współczynniki te, zależą od wielu czynników związanych z geometrią kanału oraz dynamiką 18

31 .4 Współczynniki dyspersji i turbulencją przepływu. W praktyce wyznacza się je na podstawie eksperymentów znacznikowych przeprowadzonych w rozważanym kanale, lub na podstawie dostępnych, wcześniej wyznaczonych, empirycznych zależności. Współczynniki dyspersji podłużnej i poprzecznej, ze względu na ich wagę jak i trudności związane z ich określeniem, są przedmiotem wielu rozważań w literaturze tematu. Większość badań związana jest z próbami wyznaczenia uniwersalnych empirycznych formuł określających wartości współczynników na podstawie znanych parametrów charakterystycznych dla danego rodzaju rzeki lub kanału. Wybór jednak właściwej formuły w rozważanym przypadku nie jest sprawą prostą. Relacje prawdziwe dla jednej rzeki nie zawsze sprawdzają się dla innych, inaczej należy traktować kanały proste, a inaczej meandrujące (Deng et al., 00; Guymer, 1998). Według Czernuszenki (1990) pomiary laboratoryjne w przypadku rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w kanale prostokątnym prowadzą do ogólnej relacji: D = ahu, (.7) gdzie: D podłużny lub poprzeczny współczynnik dyspersji, H średnia głębokość, u prędkość dynamiczna (ang. shear velocity, friction velocity), a bezwymiarowy współczynnik. Prędkość dynamiczna obliczana jest najczęściej ze wzoru: gdzie: R promień hydrauliczny, S 0 nachylenie kanału, g przyspieszenie ziemskie. u = grs 0, (.8) W literaturze znane są jednak bardziej złożone formuły wyznaczania prędkości dynamicznej (patrz np. (Rowiński et al., 005a)). W niektórych przypadkach w wyznaczonych 19

32 . TRANSPORT MASY W KANAŁACH OTWARTYCH Tabela.3: Wartości parametru a dla poprzecznego współczynnika dyspersji (Rutherford, 1994) Rodzaj kanału Zakres parametru a kanały proste od 0,15 do 0,3 kanały meandrujące od 0,3 do 1,0 bardzo kręte kanały od 1,0 do 3,0 relacjach na współczynnik D L zamiast prędkości dynamicznej używana jest średnia prędkość przepływu (U), a zamiast średniej głębokości, szerokość kanału (B), lub kombinacja wszystkich tych wielkości. Współczynnik a jest różny dla dyspersji podłużnej i poprzecznej, a ponadto zależy od rodzaju rozważanej rzeki, jej krętości itp. W przypadku dyspersji podłużnej często spotyka się wartość a = 5, 93, wyznaczoną przy założeniu rozkładu logarytmicznego prędkości (Elder, 1959). Dla dyspersji poprzecznej Rutherford (1994) sugeruje, w zależności od krętości kanału, wartości zebrane w tabeli.3. Czernuszenko (1990) podaje przykładowe zakresy współczynnika a: dla dyspersji poprzecznej w kanale prostokątnym od 0,1 do 0,5 i dla dyspersji podłużnej w trapezowym kanale od 150 do 400. W tej samej pracy możemy znaleźć również opis sposobu wyznaczania współczynników dyspersji na podstawie pomiarów znacznikowych. Przedstawione metody zostały zastosowane do wyznaczania współczynników dyspersji podłużnej i poprzecznej dla Wisły na terenie Warszawy. Średnia wartość tych współczynników wynosi odpowiednio D L =, 77 m s, D T = 0, 4 m s, dla średniej głębokości rzeki H = 1, 4 m i średniej prędkość U = 0, 67 m s. Warto zauważyć, że wartość współczynnika dyspersji podłużnej jest około 1 razy większa od wartości współczynnika dyspersji poprzecznej. W większości przypadków procesom mieszania podłużnego i poprzecznego poświęcone są oddzielne prace. Współczynniki dyspersji podłużnej wyznaczane są zwykle w sytuacji odpowiadającej chwilowemu zrzutowi zanieczyszczeń na etapie, gdy doszło już do pełnego wymieszania wzdłuż szerokości kanału. Opis metod wyznaczania oraz zestawienia i dyskusję różnych empirycznych relacji pozwalających wyznaczyć współczynnik D L można znaleźć m.in. w pracach: (Guymer et al., 1999; Rieckermann et al., 005; Sukhodolov et al., 1998; Wallis et al., 007; Wallis & Manson, 004). Badania dotyczące mieszania porzecznego dotyczą zwykle sytuacji odpowiadającej ciągłemu zrzutowi zanieczyszczeń 0

33 .5 Rozwiązywanie D równania transportu (Boxall et al., 003; Holley & Abraham, 1973a,b; Rutherford et al., 199; Seo et al., 006), kiedy możemy przyjąć że c = 0. Przegląd formuł empiryczny służących do wyznaczania współczynnika dyspersji porzecznej D T można znaleźć w artykule (Jeon et al., t 007). Współczynnik D T jest w niektórych pracach nazywany współczynnikiem mieszania poprzecznego (ang. transverse mixing coefficient). Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów znacznikowych tworzone są również bazy danych współczynników dyspersji dla poszczególnych rzek wraz z opisem ich podstawowych parametrów (np.: Deng et al., 00; Kashefipour et al., 00; Lau & Krishnappan, 1981; Rutherford, 1994; Sukhodolov et al., 1998)), które następnie mogą być przydatne dla rzek o analogicznych parametrach. Z wykorzystaniem takich danych tworzone są również modele sztucznej inteligencji do szacowania współczynników dyspersji na podstawie takich danych jak głębokość, szerokość i krętość koryta (np.: Kashefipour et al., 00; Piotrowski, 005; Piotrowski et al., 006; Rowiński et al., 005b; Tayfur & Singh, 005). Najlepszym źródłem informacji o współczynnikach dyspersji dla danej rzeki jest jednak ciągle eksperyment znacznikowy. Jeżeli nie ma możliwości przeprowadzenia eksperymentu, używając zarówno dostępnych danych, jak i empirycznych zależności lub modeli przeznaczonych do wyznaczania współczynników, należy zawsze brać pod uwagę w jakich warunkach i dla jakich rzek były one konstruowane..5 Rozwiązywanie D równania transportu Adwekcyjno-dyfuzyjne równanie transportu (.4) bez utraty jego ogólnego charakteru może być zapiane w postaci: c t + v c x x + v c y y D c xx x D c xy x y D c yy = 0; (.9) y lub w odpowiadającym mu zapisie wektorowym: c(x, t) t [ ] + v(x, t) c(x, t) D(x, t) c(x, t) = 0. (.10) Równanie to może być efektywnie stosowane w sytuacji stałej głębokości kanału i przy stałych współczynnikach dyspersji lub gdy zmiany głębokości i współczynników są niewielkie. W przypadku ich znacznej zmienności w kierunku x lub y uśrednione składowe 1

34 . TRANSPORT MASY W KANAŁACH OTWARTYCH prędkości w równanie (.9) powinny być zastąpione przez wcześniej wyznaczone wartości (patrz dodatek A): v x 1 (hd xx ) 1 (hd xy ) h x h y i v y 1 (hd yy ) 1 h y h (hd xy ). (.11) x Do rozwiązania dwuwymiarowego równania transportu niezbędne są informacje na temat współczynników dyspersji, dwuwymiarowego pola prędkości, głębokości kanału oraz warunków początkowo brzegowych. Niestety, w naturalnych warunkach przepływu, równanie adwekcji-dyfuzji (.9) z rzeczywistymi warunkami brzegowymi i początkowymi nie posiada rozwiązania analitycznego i dlatego w praktyce musi być ono rozwiązywane numerycznie. Problem taki pojawia się dla wielu zagadnień mechaniki płynów. Istnieją oczywiście rozwiązania analityczne dla szczególnych warunków przepływu i warunków granicznych oraz specyficznych geometrii, mają one jednak niewielkie zastosowanie w praktyce. Propozycje różnych rozwiązań analitycznych dla specyficznych przypadków przedstawiają między innymi: Boczar (1980, 1991); Rutherford (1994); Socolofsky & Jirka (005). W przypadku chwilowego zrzutu zanieczyszczeń przy stałych współczynnikach dyspersji i stałym polu prędkości w kanale prostokątnym o stałej głębokości, rozwiązanie dwuwymiarowego równania transportu w sytuacji, gdy osie układu współrzędnych skierowane są wzdłuż głównych kierunków przepływu, może być zapisane w postaci dwuwymiarowego rozkładu Gaussa (Rutherford, 1994): gdzie: exp [ (x v xt) ] exp [ (y v yt) ] 4πD xx t 4πD c(x, y, t) = M yy t ; (.1) 4πDxx t 4πDyy t M masa zrzucona w punkcie (x = 0, y = 0) i czasie t = 0. Rozwiązanie to jest prawdziwe daleko od brzegów tj. do momentu kiedy zanieczyszczenie nie dopłynęło jeszcze do ścianek kanału. Dla równania z niediagonalnym tensorem dyspersji, przy tych samych założeniach, analogicznie można napisać: c(x, y, t) = M [ 4πt D exp (x µ x) (y µ y) + (x µ ] x) (y µ y ) ; (.13) 4tD/D yy 4tD/D xx td/d xy

35 .5 Rozwiązywanie D równania transportu gdzie: M masa zrzucona w punkcie (x0, y0 ) i czasie t = 0; µx = x0 + vx t, µy = y0 + vy t; D = Dxx Dyy Dxy. Zapisując powyższe rozwiązanie analityczne skorzystano z rozwiązania prezentowanego w pracy (Smith, 199). Sprawdzono, że zaproponowane rozwiązanie spełnia rozważane równanie adwekcji-dyfuzji (.9). Przykładowe rozwiązanie analityczne dla wybranych wartości prędkości i współczynników dyspersji, w przypadku chwilowego zrzutu masy odpowiadającej 10 jednostkom arbitralnym, przedstawiono na rysunku.7. Przedstawione powyżej rozwiązania analityczne w dalszej części pracy będą stosowane do weryfikacji modelu numerycznego, testów rozważanych schematów numerycznych, jak również w przypadku analiz dotyczących uproszczeń niediagonalnego tensora dyspersji. Rozwiązanie analityczne, czas = 500s Rysunek.7: Przykład rozwiązania analitycznego (.13) po czasie t = 500 s, dla vx = vy = 0, 8 ms, Dxx = Dyy = 1, 6 ms, Dxy = 1, 4 ms i M = 10 j.a. zrzuconej w punkcie (x0, y0 ) = (0, 0) i czasie t = 0 s 3

36

37 Rozdział 3 Uproszczenia dwuwymiarowego równania transportu masy 3.1 Wstęp Transport substancji rozpuszczonej w wodzie w ogólnym przypadku jest opisywany przez trójwymiarowe równanie adwekcji-dyfuzji. Rozwiązanie takiego równania, jak wspomniano w poprzednim rozdziale, wymaga dużej ilości danych, które w większości rzeczywistych przypadków są trudne do uzyskania. Ponadto koszty obliczeniowe numerycznego rozwiązywania takiego równania są duże. W praktyce stosuje się więc różnego rodzaju uproszczenia, w większości prowadzące do równań dwu, lub jednowymiarowych, uśredniając równanie trójwymiarowe lub (oraz) pomijając człony, które wydają się być małe w porównaniu z pozostałymi. W rozdziale pokazano, że w przypadku rzek i kanałów otwartych, których głębokość jest niewielka w porównaniu z ich długością i szerokością, do opisu transportu substancji rozpuszczonej podejście dwuwymiarowe może być skutecznie stosowane. Dwuwymiarowe równanie transportu zapisano w postaci pełnej (.4) i uproszczonej (.5). Uproszczona wersja może być stosowana jeżeli główne kierunki przepływu pokrywają się z osiami układu współrzędnych. Niestety często spotykaną praktyką jest używanie łatwiejszej do rozwiązania wersji (.5) równania bez pochodnych mieszanych, nawet jeżeli rozważana jest skomplikowana geometria kanału. Podejście uwzględniające tylko diagonalne składowe tensora dyspersji, jak sygnalizuje Sawicki (003), dla analogicznego problemu w przypadku tensora dyfuzji turbulentnej, może prowadzić do wyników zbytnio odbiegających od rzeczywistości. Na otrzymywany w rezultacie błąd wpływa 5

38 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY geometria kanału, oraz sposób w jaki zostały pominięte pozadiagonalne składowe tensora dyspersji. Stosowane mogą tu być różnego rodzaju uproszczenia. Przedstawione w niniejszym rozdziale testy umożliwiają porównanie błędów oraz wskazują kiedy poszczególne uproszczenia mogą być stosowane. Analizy zostały przeprowadzone dla dwóch podstawowych sytuacji z jakimi mamy do czynienia w rzeczywistych warunkach: chwilowego zrzutu (np. zrzut zanieczyszczeń w wyniku awarii) lub ciągłego dopływu zanieczyszczeń (np. ciągły dopływ do zbiorników wodnych ciepłej lub gorącej wody pochodzącej z procesów chłodzenia). W przypadku dwuwymiarowego równania transportu stosowaną praktyką jest również rozwiązywanie równania w układzie krzywoliniowym, zwanym czasami układem rzeki (np.: Czernuszenko, 1987, 1990; Guan & Zhang, 005; Holley & Jirka, 1986; Lau & Krishnappan, 1981; Manson et al., 00), w którym tensor dyspersji zawsze jest diagonalny. Podejście takie wprowadza jednak innego rodzaju problemy, związane z określeniem współczynników opisujących geometrię kanału, zwłaszcza jeżeli mamy do czynienia ze złożoną geometrią. 3. Wyznaczanie współczynników tensora dyspersji Z dostępnych w literaturze danych i formuł empirycznych lub na podstawie danych eksperymentalnych, otrzymujemy informację na temat podłużnego D L i poprzecznego D T współczynnika dyspersji dla danej rzeki lub kanału. Jeżeli nie da się osi układu współrzędnych skierować wzdłuż głównych kierunków przepływu (patrz rys. 3.1) należy dla każdego punktu przepływu wyznaczyć na ich podstawie wszystkie elementy tensora dyspersji (D xx, D xy, D yx, D yy ), przekształcając diagonalny tensor D D w tensor niediagonalny D: D D = D L 0 D = D xx 0 D T D yx D xy D yy. (3.1) Poza prawidłowym sposobem wyznaczania tych współczynników, którym jest obrót tensora w skrócicie Obrót (ang. Rotation) poniżej omówione zostały sposoby uproszczonego wyznaczania elementów D xx i D yy (bez elementów pozadiagonalnych) umownie nazwane: Quasi obrót (ang. Quasi rotation), Przekształcenie tożsamościowe (ang. Identity transformation) i Obrót wektora (ang. Vector-like rotation). 6

39 3. Wyznaczanie współczynników tensora dyspersji (a) oś x układu współrzędnych skierowana wzdłuż kierunku przepływu (b) oś x układu współrzędnych skierowana w innym kierunku niż kierunek przepływu Rysunek 3.1: Schematycznie przedawniony tensor dyspersji w kartezjańskim układzie współrzędnych dla prostokątnego kanału 3..1 Obrót D D = D L 0 0 D T OBRÓT TENSORA D = D xx D yx D xy D yy (3.) Prawidłowym podejściem, pozwalającym na otrzymanie pełnego tensora D, jest obrót tensora diagonalnego D D (rys. 3.) o kąt jaki tworzy w danym punkcie wektor prędkości (kierunku przepływu) z osią x układu współrzędnych: D = R(α) D D R 1 (α), (3.3) Rysunek 3.: Obrót tensora D D o kąt α 7

40 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY gdzie: R(α) = cos α sin α sin α macierz obrotu, cos α α kąt między kierunkiem przepływu (wektorem prędkości) a osią x w danym punkcie. sin α = v y v cos α = v x v Obrót tensora prowadzi do następujących zależności: gdzie: D xx = D T + D v x v, D xy = D yx = D v xv y v, D yy = D T + D v y v ; (3.4) D = D L D T, v = v x + v y. 3.. Quasi obrót D D = D L 0 0 D T OBRÓT TENSORA D = D xx D yx D xy (3.5) D yy W podejściu tym stosuje się prawidłowy sposób wyznaczania elementów tensora zdefiniowany przez (3.3). Aby otrzymany tensor był diagonaln,y pozadiagonalne elementy są zaniedbywane (arbitralnie przyjmuje się, że są one równe 0). Elementy tensora wynoszą zatem odpowiednio: D xx = D T + D v x v, D xy = D yx = 0, D yy = D T + D v y v. (3.6) Uproszczenie to spotykane jest w sytuacji, gdy niewygodne człony z mieszanymi pochodnymi są pomijane przy założeniu, że pozadiagonalne elementy tensora dyspersji są bardzo małe. Jednak skomplikowana geometria kanału często nie pozwala na takie założenie. 8

41 3. Wyznaczanie współczynników tensora dyspersji 3..3 Obrót wektora D V = D L D T OBRÓT WEKTORA D = D xx (3.7) D yy Zakłada się że elementy D L i D T tworzą wektor D V (rys. 3.3). Rysunek 3.3: Schematycznie przedstawiony wektor D V = [D L, D T ] dla prostokątnego kanału, którego oś główna nie jest równoległa do osi x Współczynniki D xx i D yy otrzymuje się obracając D V zgodnie z regułą obrotu wektora (rys. 3.4) o kąt, jaki tworzy w danym punkcie wektor prędkości (kierunku przepływu) z osią x układu współrzędnych: D = R(α) D V. (3.8) Rysunek 3.4: Obrót wektora D V o kąt α 9

42 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Jeżeli po obrocie wartość którejkolwiek ze składowych wektora jej ujemna, wtedy powinna być brana pod uwagę jej bezwględna wartość. Wartości wyznaczonych współczynników będą w efekcie wynosić: D xx = D L v x v D T v y v, D xy = D yx = 0, D yy = D L v y v + D T v x v. (3.9) Takie podejście jest nieprawidłowe, ponieważ macierz współczynników dyspersji tworzy tensor rzędu drugiego. Uproszczenie to zwykle stosowane jest nieświadomie Przekształcenie tożsamościowe D = D xx D yx D xy D yy D D = D L 0 (3.10) 0 D T W tym podejściu w prosty sposób przyjmujemy elementy D xx i D yy równe odpowiednio współczynnikowi dyspersji podłużnej i poprzecznej, nie rozważając współczynników D xy i D yx : D xx = D L, D xy = D yx = 0, D yy = D T. (3.11) Jest to często stosowana praktyka w literaturze tematu, w wielu przypadkach bez świadomości konsekwencji i wpływu na uzyskiwane wyniki. Każde z wyżej opisanych uproszczeń wprowadza pewien błąd. Dalsze rozważania pozwalają na określenie i porównanie wielkości wprowadzanych błędów w sytuacjach odpowiadających chwilowemu i ciągłemu zrzutowi substancji rozpuszczonej. W celu uproszczenia zapisu na przedstawionych w dalszej części wykresach przyjęto następujące oznaczenia dla poszczególnych metod: ˆ Obrót O, kolor czerwony; ˆ Quasi obrót Q, kolor różowy; ˆ Przekształcenie tożsamościowe T, kolor zielony; ˆ Obrót wektora W, kolor niebieski. 30

43 3.3 Testy obliczeniowe 3.3 Testy obliczeniowe Testy opisanych powyżej metod wykonano dla szerokiego, prostokątnego kanału, którego oś tworzyła różne kąty z osiami układu współrzędnych. Rozważano obszar położony daleko od brzegów, dla którego znane jest rozwiązanie analityczne (.13). Rysunek 3.5 przedstawia schematycznie rozważaną geometrię. Analizy zostały przeprowadzone dla kilku wartości kątów α w zakresie od 0 do 90. Obliczenia numeryczne wykonano przy użyciu programu RivMix stworzonego przez autorkę na potrzeby niniejszej rozprawy, szczegółowo opisanego w rozdziale 6. Użyto Metod Kierunków Naprzemiennych (patrz rozdział 4.3.3), która jak pokazano w rozdziale 5 jest metodą dokładną, stabilną i relatywnie szybką. Porównano wszystkie opisane w rozdziale 3. sposoby wyznaczania tensora dyspersji dla różnych kątów α. Dla uproszczenia interpretacji wyników założono jednorodny rozkład prędkości równej v = 0, 15 m, skierowanej równolegle do osi kanału. s Głębokość kanału była stała. Parametry symulacji zostały przedstawione w tabeli 3.1. Rysunek 3.5: Schemat kanału, w którym przeprowadzono testy obliczeniowe 31

44 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Tabela 3.1: Parametry symulacji używane w przeprowadzonych testach Składowe Współczynniki Kroki Krok prędkości dyspersji przestrzenne czasowy [ ] [ ] [ ] [ ] v m x v m s y D m s L D m s T s x[m] y[m] t[s] 0, 15 cos α 0, 15 sin α 0, 75 0, Tabela 3.: Współczynniki dyspersji dla różnych kątów α, wyznaczone na podstawie rozważanych metod; obliczenia wykonano dla D L = 0, 75 m s i D T = 0, 1 m s Metoda wyznaczania tensora dyspersji Obrót Quasi obrót Obrót wektora Przekształcenie tożsamościowe α D xx D xy D yy D xx D xy D yy D xx D xy D yy D xx D xy D yy 0 0,75 0 0,1 0,75 0 0,1 0,75 0 0,1 0,75 0 0,1 5 0,745 0,056 0,105 0, ,105 0, ,165 0,75 0 0,1 10 0,730 0,111 0,119 0, ,119 0,71 0 0,9 0,75 0 0,1 15 0,706 0,16 0,143 0, ,143 0, ,90 0,75 0 0,1 30 0,587 0,81 0,6 0, ,6 0, ,461 0,75 0 0,1 45 0,45 0,35 0,45 0,45 0 0,45 0, ,601 0,75 0 0,1 60 0,6 0,81 0,587 0,6 0 0,587 0,88 0 0,699 0,75 0 0,1 90 0,1 0 0,75 0,1 0 0,75 0,1 0 0,75 0,75 0 0,1 3

45 3.3 Testy obliczeniowe Współczynnik D xy Rysunek 3.6: Zależność współczynnika D xy od kąta α dla rozważanych metod; D L = 0, 75 m s i D T = 0, 1 m s Tabela 3. przedstawia wartości współczynników dyspersji D xx, D xy i D yy otrzymanych za pomocą wspomnianych wcześniej metod dla danych D L = 0, 75 m i D s T = 0, 1 m. s Można zauważyć, że różnice między współczynnikami są najmniejsze dla kątów bliskich 0 i 90. Wyjątkiem jest przekształcenie tożsamościowe, dla którego różnice dla kąta 90 są największe. Warto również podkreślić znaczące wartości pozadiagonalnych współczynników dyspersji dla nietrywialnych kątów α w przypadku poprawnego wyznaczania współczynników niediagonalnego tensora (obrót). Zależność współczynnika D xy od kąta α została pokazana na rysunku 3.6. W szczególności dla α bliskich 45, D xy jest rzędu D L. Nie bez znaczenia jest, czy rozważany przypadek odpowiada chwilowemu czy ciągłemu zrzutowi substancji rozpuszczonej, dlatego oba przypadki zostały poniżej przeanalizowane oddzielnie. 33

46 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Chwilowy zrzut substancji rozpuszczonej Dwuwymiarowe równanie transportu (.9) z warunkiem początkowym zadanym deltą Diraca opisuje sytuację odpowiadającą chwilowemu zrzutowi substancji rozpuszczonej. Do chwili dotarcia substancji do brzegów kanału rozkład koncentracji po czasie t od zrzutu można wyznaczyć korzystając z rozwiązania analitycznego (.13). W rozważanej sytuacji zrzut masy M = 10 jednostek arbitralnych nastąpił w punkcie x 0 = 50 m, y 0 = 50 m. Rozkład koncentracji w chwili t = 0 w przeprowadzonych testach jest wynikiem rozwiązania analitycznego po 00 sekundach. Tak przyjęty warunek początkowy pozwala wykluczyć błędy wynikające z dużych gradientów wartości koncentracji na siatce obliczeniowej, które w przypadku rozwiązań numerycznych mogłyby wystąpić, jeżeli rozkład koncentracji w chwili t = 0 zostałby zadany deltą Diraca. Wykorzystano go do uzyskania rozwiązań numerycznych przy użyciu każdej z omawianych metod wyznaczania tensora dyspersji. Rozwiązania dla kąta α = 45 po 400 krokach symulacji zostały zaprezentowane na rysunkach 3.8, 3.10, 3.1 i Otrzymane wyniki mogą być porównane z odpowiadającym im ścisłym rozwiązaniem analitycznym (rys. 3.7). Błędy (różnice między rozwiązaniem Rozwiązanie analityczny, t = 400 s Rysunek 3.7: Rozwiązanie analityczne dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 sekundach od zrzutu 34

47 3.3 Testy obliczeniowe Obrót, t = 400 s Błąd Rysunek 3.8: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody obrót dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, dla α = 45 Rysunek 3.9: Różnica między rozwiązaniem analitycznym i rozwiązaniem numerycznym z użyciem metody obrót, po 400 krokach czasowych dla α = 45 Quasi obrót, t = 400 s Błąd Rysunek 3.10: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody quasi obrót dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, dla α = 45 Rysunek 3.11: Różnica między rozwiązaniem analitycznym i rozwiązaniem numerycznym z użyciem metody quasi obrót, po 400 krokach czasowych dla α = 45 35

48 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Obrót wektora, t = 400 s Błąd Rysunek 3.1: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody obrót wektora dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, dla α = 45 Rysunek 3.13: Różnica między rozwiązaniem analitycznym i rozwiązaniem numerycznym z użyciem metody obrót wektora, po 400 krokach czasowych dla α = 45 Przekształcenie tożsamościowe, t = 400 s Błąd Rysunek 3.14: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody przekształcenie tożsamościowe dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, dla α = 45 Rysunek 3.15: Różnica między rozwiązaniem analitycznym i rozwiązaniem numerycznym z użyciem metody przekształcenie tożsamościowe, po 400 krokach czasowych dla α = 45 36

49 3.3 Testy obliczeniowe numerycznym i analitycznym) dla każdej z rozważanych metod zostały przedstawione na rysunkach 3.9, 3.11, 3.13 i Trudno zauważyć różnicę między rozkładami koncentracji przedstawiającymi rozwiązanie analityczne (rys. 3.7) i rozwiązanie numeryczne z użyciem metody obrotu (rys. 3.8). Jak pokazuje rysunek 3.9 jest ona rzędu W przypadku pozostałych metod różnica jest wyraźna, zarówno w kształcie rozkładu koncentracji jak i w otrzymywanych wartościach. Rysunki przedstawiają najbardziej ekstremalną sytuację dla kąta α = 45, kiedy rozbieżności między rozważanymi metodami są najbardziej widoczne. Oznaczone na wykresach wartości Mean x i Mean y wyznaczają położenie maksimum koncentracji w rozważanym obszarze (jego wartość przedstawia zmienna Max ). Wartość Integral przedstawia całkowitą masę, która znajduje się w obszarze przedstawionym na wykresie. W przypadku obrotu wektora i przekształcenia tożsamościowego jest ona mniejsza od początkowych 10 jednostek arbitralnych. Oznacza to, że część małych wartości koncentracji leży poza przedstawionym na wykresach obszarem. Rozkłady koncentracji dla innych kątów (0, 5, 15, 30, 60, 90 ) można znaleźć w dodatku C. Wszystkie metody prowadzą do wyniku identycznego jak w przypadku rozwiązania analitycznego w sytuacji, gdy kąt α wynosi 0 lub 90 (z wyjątkiem przekształcania tożsamościowego dla kąta 90 ). Dla pozostałych kątów (0 < α < 90 ) tylko obrót tensora, uwzględniający pozadiagonalne składowe daje takie same wyniki jak rozwiązanie analityczne. Różnica między rozwiązaniem numerycznym i analitycznym zależy zarówno od wybranej metody wyznaczania tensora jak i od kąta α. Maksymalne wartości otrzymywanych błędów w funkcji kąta α zostały przedstawione na wykresie W przypadku przekształcenia tożsamościowego błąd rośnie wraz ze wzrostem wartości kąta α. Dla quasi obrotu błąd ten jest symetryczny względem kąta 45 i zmniejsza się, gdy kąt jest bliski 0 lub 90 stopni. Obrót wektora również powoduje duże różnice, które maleją gdy kąt jest bliski 0 lub 90 stopni. Błąd w tym przypadku jest maksymalny dla kąta (45 β), gdzie β jet kątem między wektorem D V = [D L, D T ] a kierunkiem przepływu. Dla obrotu wektora maksymalny błąd otrzymamy więc dla kąta ok. 38. W przypadku pełnego obrotu tensora, maksymalny błąd jest bardzo mały, rzędu Nie jest on widoczny na przedstawionym wykresie

50 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Maksymalny błąd, t = 400 s Rysunek 3.16: Maksymalna różnica ( c) między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym dla rozważanych metod wyznaczania tensora dyspersji w zależności od kąta α, po 400 sekundach symulacji w przypadku chwilowego zrzutu W przypadku rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w rzekach i kanałach otwartych, istotna jest znajomość maksymalnej wartości stężenia zanieczyszczeń. Wielkość ta może być kluczowa w podejmowaniu decyzji w razie ewentualnego skażenia. Na rysunku 3.17(a) przedstawiono maksymalne wartości stężenia po 400 sekundach symulacji w zależności od kąta α. Warto zauważyć, że maksimum rozkładu koncentracji przemieszcza się prawidłowo (w taki sam sposób jak maksimum rozwiązania analitycznego) dla wszystkich rozważanych metod, na co wskazują wartości określające jego położenie: Mean x i Mean y (rysunki 3.8, 3.10, 3.14, 3.1 i 3.7). Wartości maksimum zależą jednak silnie od wybranej metody i kąta α. Poprawnie określają je przekształcenie tożsamościowe i obrót. Widoczne niewielkie rozbieżności na powiększeniu 3.17(b) są efektem numerycznym. W przypadku quasi obrotu i obrotu wektora błąd może wynosić odpowiednio nawet do 35, 55% i 47, 93% (patrz tabela 3.3). Wartość maksimum w przypadku rozwiązania analitycznego wynosiła c max = 0,

51 3.3 Testy obliczeniowe Maksymalna koncentracja, t = 400 s (a) (b) Powiększenie obszaru widocznego na wykresie (a) od c max = 0, do c max = 0, Rysunek 3.17: Maksymalna koncentracja (c max ) po 400 sekundach symulacji w zależności od kąta α w przypadku chwilowego zrzutu; 39

52 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Tabela 3.3: Wyrażony w procentach błąd wartości koncentracji maksymalnej zdefiniowany jako (c anal max c num max)/c anal max, gdzie c anal max jest wartością maksymalną koncentracji w rozwiązaniu analitycznym, a c num max w rozwiązaniu numerycznym; pogrubioną czcionką oznaczono maksymalne błędy dla poszczególnych metod, kolorem czerwonym największe otrzymane błędy α Obrót Quasi obrót Obrót wektora Przekształcenie tożsamościowe 0 0,10 % 0,10% 0,10% 0,10 % 5 0,07% 1,99% 1,50% 0,07% 10 0,05% 7,30% 3,54% 0,05% 15 0,04% 13,93% 39,19% 0,09% 30 0,06% 30,4% 47,93 % 0,07% 45 0,11 % 35,55% 47,89% 0,01% 60 0,06% 30,4% 39,01% 0,04% Obserwacje wskazują, że jeżeli w rozważanej sytuacji istotna jest przede wszystkim informacja na temat maksymalnego stężenia, wówczas równie dobre wyniki jak w przypadku rozwiązywania pełnego równania transportu (.4) otrzymamy rozwiązując równanie uproszczone (.5) z przekształceniem tożsamościowym. Należy jednak pamiętać, że metody uproszczone nie pozwalają na uzyskanie poprawnych kształtów rozkładu koncentracji Ciągły dopływ substancji rozpuszczonej W tym przypadku warunki graniczne sformułowano w taki sposób, aby uzyskać ciągły dopływ substancji rozpuszczonej, o wydajności 1 jednostka arbitralna na sekundę. Źródło zostało umieszczone w punkcie x 0 = 100 m, y 0 = 100 m. W rozważanej sytuacji otrzymanie rozwiązania analitycznego nie jest proste, dlatego też wszystkie uproszczone metody wyznaczania tensora zostały porównane z poprawną metodą, którą jest obrót. Poniżej, analogicznie jak w przypadku chwilowego zrzutu, przedstawiono wyniki dla najbardziej ekstremalnej sytuacji gdy kąt α wynosi 45. Rysunki 3.18, 3.19, 3.1, 3.3 przedstawiają numeryczne rozwiązania po 1000 sekundach od momentu rozpoczęcia ciągłego zrzutu 40

53 3.3 Testy obliczeniowe Obrót, t = 1000 s Rysunek 3.18: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody obrót dla ciągłego zrzutu zanieczyszczeń po 1000 krokach czasowych, dla α = 45 Quasi obrót, t = 1000 s Błąd Rysunek 3.19: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody quasi obrót dla ciągłego zrzutu zanieczyszczeń po 1000 krokach czasowych, dla α = 45 Rysunek 3.0: Różnica między rozwiązaniem z użyciem metody obrót i rozwiązaniem z użyciem metody quasi obrót, po 1000 krokach czasowych dla α = 45 41

54 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Obrót wektora, t = 1000 s Błąd Rysunek 3.1: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody obrót wektora dla ciągłego zrzutu zanieczyszczeń po 1000 krokach czasowych, dla α = 45 Rysunek 3.: Różnica między rozwiązaniem z użyciem metody obrót i rozwiązaniem z użyciem metody obrót wektora, po 1000 krokach czasowych dla α = 45 Przekształcenie tożsamościowe, t = 1000 s Błąd Rysunek 3.3: Rozwiązanie numeryczne z użyciem metody przekształcenie tożsamościowe dla ciągłego zrzutu zanieczyszczeń po 1000 krokach czasowych, dla α = 45 Rysunek 3.4: Różnica między rozwiązaniem z użyciem metody obrót i rozwiązaniem z użyciem metody przekształcenie tożsamościowe, po 1000 krokach czasowych dla α = 45 4

55 3.3 Testy obliczeniowe substancji. Łatwo zauważyć, że metody uproszczone powodują większe rozpływanie się plamy zanieczyszczeń. W przypadku przekształcenia tożsamościowego rozkład koncentracji jest dodatkowo silnie nachylony w kierunku prawego brzegu (rys. 3.3). Na rysunkach 3.0, 3. i 3.4 przedstawiono różnice między rozwiązaniami uzyskanymi z użyciem metody obrót, a rozwiązaniami uzyskanymi przy użyciu poszczególnych uproszczonych metod. Maksymalna różnica w funkcji kąta α została przedstawiona na rysunku 3.5. Wyniki są podobne jak w przypadku chwilowego zrzutu. Rozważając wartości maksymalnego stężenia (na rysunkach wartość Max ), wyraźnie widać rozbieżności pomiędzy różnymi metodami. Na rysunku 3.6 pokazano wartości maksymalne koncentracji w zależności od kąta α. Wszystkie metody przewidują poprawną wartość maksimum dla kąta 0 i 90 stopni, za wyjątkiem przekształcenia tożsamościowego w przypadku α = 90. Przekształcenie tożsamościowe, inaczej niż w przypadku chwilowego zrzutu, błędnie wskazuje wartości maksimum dla kątów α > 0. Maksymalny błąd, t = 1000 s Rysunek 3.5: Maksymalna różnica ( c) między obrotem tensora a pozostałymi rozważanymi metodami wyznaczania tensora dyspersji w zależności od kąta α po 1000 sekundach symulacji w przypadku ciągłego zrzutu 43

56 3. UPROSZCZENIA D RÓWNANIA TRANSPORTU MASY Maksymalna koncentracja, t = 1000 s Rysunek 3.6: Maksymalna koncentracja (c max ) po 1000 sekundach symulacji w zależności od kąta α w przypadku ciągłego zrzutu Różnica między wartością uzyskiwaną, a wartością poprawną rośnie wraz z kątem α. W przypadku quasi obrotu i obrotu wektora zależność maksymalnego stężenia od kąta zachowuje się analogicznie jak w przypadku chwilowego zrzutu. Widoczne niewielkie oscylacje wartości maksimum w przypadku obrotu tensora, związane są ze sposobem dyskretyzacji wartości koncentracji na siatce prostokątnej. Każda z metod powoduje, że maksymalna koncentracja stabilizuje się na innym poziomie (rys. 3.7). Dla kąta 0 (rys. 3.7(a)) uzyskujemy te same, właściwe wartości dla wszystkich metod. Dla pozostałych kątów (rys. 3.7(b) 3.7(f)) wartości maksymalnego stężenia domieszki są różne i ściśle zależą od użytej metody. Widoczne różnice są największe dla kąta 45 (rys. 3.7(d)). Wykresy pokazują, że w przypadku ciągłego zrzutu zanieczyszczeń użycie uproszczonych metod powoduje większe rozproszenie plamy zanieczyszczeń a tym samym znaczne zaniżenie wartości koncentracji maksymalnej. 44

57 3.3 Testy obliczeniowe (a) α = 0 (b) α = 5 (c) α = 15 (d) α = 45 (e) α = 60 (f) α = 90 Rysunek 3.7: Wartość maksymalnego stężenia w czasie symulacji ciągłego zrzutu dla różnych kątów α 45

58

59 Rozdział 4 Metody numeryczne rozwiązywania dwuwymiarowego równania transportu masy 4.1 Wstęp W naturalnych warunkach przepływu równanie transportu (.4), z odpowiednimi warunkami brzegowymi i początkowymi, nie ma rozwiązania analitycznego i dlatego musi być rozwiązywane numerycznie. Rozwój badań dotyczących procesów transportu w kanałach otwartych jak i ciągle rosnące możliwości obliczeniowe pociągają za sobą wzrost wymagań dotyczących dokładności i efektywności rozwiązań, a co za tym idzie ciągłą potrzebę nowych, lepszych schematów numerycznych, których dokładność, stabilność i szybkość potrafimy określić. Poszukując numerycznych rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych możemy wyróżnić trzy podstawowe podejścia polegające na transformacji obszaru ciągłego, w którym poszukujemy rozwiązania, w obszar dyskretny. Są nimi: ˆ Metoda Różnic Skończonych MRS (ang. Finite Difference Method), ˆ Metoda Elementów Skończonych MES (ang. Finite Element Method), ˆ Metoda Objętości Skończonych MOS (ang. Finite Volume Method). Ostatecznie otrzymujemy równanie lub układ liniowych równań algebraicznych, po rozwiązaniu którego uzyskujemy wartości poszukiwanych wielkości w węzłach siatki. W przypadku kanałów otwartych przeważają podejścia z użyciem metody różnic skończonych 47

60 4. METODY NUMERYCZNE i metody elementów skończonych. Opis metody elementów skończonych w zastosowaniu do równań adwekcji-dyfuzji można znaleźć w opracowaniu (Gresho & Sani, 000). Przedmiotem rozważań w tej pracy są metody różnic skończonych, koncepcyjnie najprostsze, a co za tym idzie często stosowne. Przegląd metod różnic skończonych w zastosowaniu do jednowymiarowego równania adwekcji-dyfuzji przedstawiają np.: Fletcher (1991); Islam & Chaudhry (1997); Szymkiewicz (000); Wang & Hutter (001). W przypadku równania dwuwymiarowego (bez pochodnych mieszanych) różne metody numeryczne opisują np.: Noye & Tan (1989); Noye (1984). 4. Metoda Różnic Skończonych Metoda różnic skończonych została po raz pierwszy zaproponowana około 190 roku przez Thoma (Thom & Apelt, 1961). Nazywana wtedy metodą kwadratów, znalazła później zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, w tym do rozwiązywania równań opisujących procesy transportu substancji rozpuszczonych w kanałach otwartych. Metoda różnic skończonych polega na bezpośrednim zastąpieniu równania różniczkowego przez odpowiednie równanie różnicowe (operatory różniczkowe zastępuje się operatorami różnicowymi), którego rozwiązanie prowadzi do przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego (rys. 4.1). Ciągły obszar rozwiązania zastępuje się obszarem dyskretnym (przypadek jednowymiarowy został pokazany na rys. 4.), a następnie poszczególne pochodne cząstkowe aproksymuje się z użyciem tzw. ilorazów różnicowych. Rysunek 4.1: Schemat rozwiązywania równania różniczkowego cząstkowego metodą różnic skończonych 48

61 4. Metoda Różnic Skończonych Rysunek 4.: Jednowymiarowa, jednorodna siatka różnicowa Ilorazy te wynikają z rozwinięć poszukiwanej funkcji w szereg Taylora. Jeżeli funkcja jednej zmiennej c(x) jest ciągła i różniczkowalna w przedziale x, x + x, to funkcję tę można rozwinąć w szereg Taylora (Bronsztejn & Siemiendiajew, 1997): c(x i + x) = c(x i ) + x c + x c x xi x + x3 c xi 6 x (4.1) xi w i-tym węźle siatki może być przybliżona za po- Wartość ciągłej, pierwszej pochodnej c x mocą: ˆ ilorazu różnicowego przedniego: c x = c i+1 c i + O( x), (4.) x x i-1 x i x i+1 ˆ ilorazu różnicowego wstecznego: c x = c i c i 1 + O( x), (4.3) x x i-1 x i x i+1 ˆ ilorazu różnicowego centralnego: c x = c i+1 c i 1 + O( x ), (4.4) x x i-1 x i x i+1 gdzie: O oznacza rząd dokładności aproksymacji; c i 1, c i, c i+1 wartości koncentracji odpowiednio w punktach x i 1, x i, x i+1. 49

62 4. METODY NUMERYCZNE Tabela 4.1: Ilorazy różnicowe stosowane do aproksymacji pierwszej i drugiej pochodnej; tabele od (a) do (e) zawierają współczynniki stojące przy wartościach koncentracji w zadanych węzłach siatki w przypadku aproksymacji ilorazami różnicowymi: (a) i (c) przednim, (b) i (d) wstecznym, (e) centralnym (a) Aproksymacja do przodu O( x) (b) Aproksymacja do tyłu O( x) x c x c i c i+1 c i x c x 1-1 x c x c i c i 1 c i 1-1 x c x 1-1 (c) Aproksymacja do przodu O( x ) (d) Aproksymacja do tyłu O( x ) x c x c i c i+1 c i+ c i x c x x c x c i 3 c i c i 1 c i x c x (e) Aproksymacja centralna O( x ) x c x c i 1 c i c i x c x 1-1 Rząd aproksymacji związany jest z tzw. błędem obcięcia szeregu, popełnianym podczas tworzenia ilorazów różnicowych. Można zauważyć, że w przypadku ilorazu różnicowego wstecznego i przedniego (dla x 0) błąd ten maleje liniowo z x. W przypadku ilorazu centralnego błąd obcięcia maleje z x. Analogicznie w różny sposób można aproksymować drugą pochodną (patrz tabela 4.1). Szczegóły tworzenia ilorazów różnicowych można znaleźć w pracach np. (Fletcher, 1991; Peyret & Taylor, 1986; Szymkiewicz, 000, 003). W dodatku B w tabeli B.1 zebrane zostały wszystkie ilorazy różnicowe używane w pracy. 50

63 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu Rysunek 4.3: Różnicowa siatka węzłów na płaszczyźnie (x, y) Po aproksymacji wszystkich pochodnych cząstkowych otrzymujemy równanie różnicowe, które z odpowiednimi warunkami granicznymi należy rozwiązać dla tak dobranych parametrów siatki obliczeniowej, aby zapewnić niezbędną dokładność i stabilność oraz możliwie niskie koszty obliczeniowe. Efektem końcowym będzie przybliżone rozwiązanie wyjściowego równanie różniczkowego w węzłach zadanej siatki. W pracy używano prostokątnej siatki różnicowej na płaszczyźnie (x, y), o rozmiarach oczek x y (patrz rys. 4.3). 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu Stosując prostokątną siatkę punktów na płaszczyźnie (x, y) (rys. 4.3) równanie różniczkowe cząstkowe (.9) w ogólnym przypadku możemy aproksymować za pomocą równania różnicowego: c n+1 i,j c n i,j t = D xx [ (1 θ) δ x c n i,j + θδ xc n+1 i,j [ ] + D xy (1 θ) δxy c n i,j + θδ xy c n+1 i,j ] [ ] + Dyy (1 θ) δ y c n i,j + θδyc n+1 i,j + (4.5) v x [ (1 θ) x c n i,j + θ x c n+1 i,j ] [ ] vy (1 θ) y c n i,j + θ y c n+1 i,j ; gdzie: x, y kroki przestrzenne (rozmiary oczek siatki obliczeniowej), 51

64 4. METODY NUMERYCZNE t krok czasowy, θ 0, 1 parametr wagowy, δ xc i,j, δ yc i,j, δ xy c i,j, x c i,j, y c i,j operatory różnicowe. Operatory różnicowe dla drugiej pochodnej przestrzennej mają postać: δ xc i,j = c i 1,j c i,j + c i+1,j x, δ yc i,j = c i,j 1 c i,j + c i,j+1 y. (4.6a) W przypadku pochodnej mieszanej i pierwszej pochodnej przestrzennej wynoszą one odpowiednio: δ xy c i,j = c i+1,j+1 c i+1,j 1 c i 1,j+1 + c i 1,j 1, (4.6b) 4 x y gdzie: x c i,j = (1 α 1)c i,j + α 1 c i+1,j (1 α 1 )c i 1,j α 1 c i,j, x y c i,j = (1 α )c i,j + α c i,j+1 (1 α )c i,j 1 α c i,j, y α 1, α parametry wagowe o wartościach z przedziału 0, 1. (4.6c) Występujący w równaniu (4.5) parametr wagowy θ decyduje o uśrednieniu w czasie: ˆ θ = 0 otrzymujemy schemat jawny (ang. explicit); ˆ θ (0, 1 schemat niejawny (ang. implicit), w szczególności dla: θ = 1 schemat zwany całkowicie niejawnym, θ = 1 schemat zwany schematem Cranka-Nicolsona. Parametry α i, dla i {1, } determinują sposób aproksymacji pierwszej pochodnej przestrzennej: ˆ ilorazem różnicowym wstecznym (4.3) gdy α i = 0; ˆ ilorazem różnicowym centralnym (4.4) gdy α i = 1; ˆ ilorazem różnicowym przednim (4.) gdy α i = 1. 5

65 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu W szczególności, dla odpowiednio dobranych parametrów θ oraz α 1 i α, można otrzymać następujące schematy numeryczne: Schemat jawny Pod Prąd 0, dla v x > 0 gdy θ = 0, α 1 = 1, dla v x < 0 i α 0, dla v y > 0 = 1, dla v y < 0 ; Schemat jawny z ilorazem różnicowym centralnym gdy θ = 0, α 1 = α = 1 ; Schemat Cranka-Nicolsona z ilorazem różnicowym centralnym gdy θ = α 1 = α = 1 ; Metodę Kierunków Naprzemiennych z ilorazem różnicowym centralnym gdy θ = α 1 = α = 1 ; Schemat całkowicie niejawny z ilorazem różnicowym centralnym gdy θ = 1, α 1 = α = 1. W zaimplementowanym modelu rozprzestrzeniania się substancji rozpuszczonych możliwe jest użycie: schematu jawnego Pod Prąd, schematu Cranka-Nicolsona oraz Metody Kierunków Naprzemiennych z ilorazem różnicowym centralnym. Metody te, zebrane w tabeli 4., szczegółowo opisano poniżej. Tabela 4.: Metody zaimplementowane w modelu RivMix Metoda Rząd aproksymacji Pod Prąd (UP) jawna O( x, y, t) Cranka-Nicolsona (CN) niejawna O( x, y, t ) Kierunków Naprzemiennych (ADI) niejawna O( x, y, t ) Kierunków Naprzemiennych wersja (ADI) niejawna O( x, y, t ) 53

66 4. METODY NUMERYCZNE Schemat jawny Pod Prąd Schemat Pod Prąd, zwany również w języku polskim Pod Wiatr (ang. Upwind) bierze swą nazwę od zastosowania do aproksymacji pierwszej pochodnej przestrzennej ilorazów różnicowych wstecznego (4.3) lub przedniego (4.) w zależności od znaku prędkości w danym obszarze (α i = 0, gdy odpowiednia składowa prędkości jest większa lub równa zero i α i = 1, dla składowej mniejszej od 0). Dla uproszczenia zapisu schemat ten w dalszej części pracy będzie oznaczany w skrócie UP. W rozważanym przypadku schemat ten jest schematem jawnym (θ = 0), co oznacza że w równaniu różnicowym występuje tylko jedna niewiadoma w n + 1 kroku czasowym c n+1 i,j, która może być bezpośrednio wyznaczona na podstawie wartości koncentracji w poprzednim kroku czasowym n: c n+1 i,j = f ( c n i+1,j, c n i 1,j, c n i,j+1, c n i,j 1, c n i+1,j+1, c n i+1,j 1, c n i 1,j+1, c n i 1,j 1). Wartości w n+1 kroku czasowym w wewnętrznych punktach siatki obliczamy więc na podstawie równania różnicowego: c n+1 i,j = [ 1 v x t x v y t y +D xx tδ x + D xy tδ xy + D yy tδ y] c n i,j. (4.7) Równanie to, po uwzględnieniu odpowiednich operatorów różnicowych, przyjmuje postać: gdzie: c n+1 i,j [ ] [ ] = c n i,j + Cr d x c n i+1,j c n i,j + c n i 1,j + Cr d y c n i,j+1 c n i,j + c n i,j 1 + [ ] + Cr d xy c n i+1,j+1 c n i+1,j 1 c n i 1,j+1 + c n i 1,j 1 + [ ] (4.8) Cr a x (1 α1 )c n i,j + α 1 c n i+1,j (1 α 1 )c n i 1,j + [ ] Cr a y (1 α )c n i,j + α c n i,j+1 (1 α )c n i,j 1 ; Cr a x = vx t, Cr a x y = vy t y Cr d x = Dxx t x adwekcyjne liczby Couranta;, Cr d xy = Dxy t, Cr d 4 x y y = Dyy t y dyfuzyjne liczby Couranta. W przypadku schematu UP, po uporządkowaniu dla v x > 0 i v y > 0 (w pozostałych przypadkach patrz tabela 4.3) otrzymujemy: c n+1 i,j = ( 1 Cr a x Cr d x Cr a y Cr d y) c n i,j + + ( Cr d x) c n i+1,j + ( Cr a x + Cr d x) c n i 1,j + ( Cr d y) c n i,j+1 + ( Cr a y + Cr d y) c n i,j ( Cr d xy) c n i+1,j+1 + ( Cr d xy) c n i+1,j 1 + ( Cr d xy) c n i 1,j+1 + ( Cr d xy) c n i 1,j 1. (4.9) 54

67 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu Tabela 4.3: Współczynniki w równaniu (4.9) w zależności od znaków składowych prędkości v x 0 v y 0 v x 0 v y < 0 v x < 0 v y 0 v x < 0 v y < 0 Współczynniki przed: c n i,j c n i+1,j c n i 1,j c n i,j+1 c n i,j 1 1 Cr a x Cr d x Cr a y Cr d y Cr d x Cr a x + Cr d x Cr d y Cr a y + Cr d y 1 Cr a x Cr d x + Cr a y Cr d y Cr d x Cr a x + Cr d x Cr a y + Cr d y Cr d y 1 + Cr a x Cr d x Cr a y Cr d y Cr a x + Cr d x Cr d x Cr d y Cr a y + Cr d y 1 + Cr a x Cr d x + Cr a y Cr d y Cr a x + Cr d x Cr d x Cr a y + Cr d y Cr d y Współczynniki przed: c n i+1,j+1, cn i+1,j 1, cn i 1,j+1 i cn i 1,j 1 nie zależą od znaku prędkości Wyznaczenie wartości koncentracji w punktach znajdujących się na brzegach siatki obliczeniowej wymaga specjalnego traktowania. Problem ten został omówiony w dalszej części rozdziału (podrozdział 4.4). Innym przykładem schematu jawnego jest wspomniany wcześniej schemat jawny z ilorazem różnicowym centralnym. W schemacie tym pierwsze pochodne przestrzenne aproksymowane są ilorazami różnicowymi centralnymi (4.4) Schemat Cranka-Nicolsona z ilorazem różnicowym centralnym Schemat Cranka-Nicolsona (CN) zaproponowany w 1947 roku (Crank & Nicolson, 1947) jest przykładem schematu niejawnego. Schemat niejawny (ang. implicit) otrzymamy jeżeli parametr wagowy θ będzie różny od 0. Gdy θ = 1 otrzymany schemat nazywamy całkowicie niejawnym (ang. Fully Impllicit) FI: [ 1 + vx t x + v y t y D xx tδ x+ D xy tδ xy D yy tδ y ] c n+1 i,j = c n i,j. Schemat Cranka-Nicolsona otrzymuje się dla parametru θ = 1. Równanie różnicowe w tym przypadku dla wewnętrznych punktów siatki przyjmuje postać: [ 1 + v x t x + v y t y D xx t δx D xy tδ xy D ] yy t δy = [ 1 v x t x v y t y + D xx t δx + D xy tδ xy + D yy t δy c n+1 i,j = ] c n i,j. (4.10) 55

68 4. METODY NUMERYCZNE Po uwzględnieniu odpowiednich ilorazów różnicowych i uporządkowaniu, dla każdego z punktów wewnętrznych obszaru otrzymujemy równanie: gdzie: ( ) ci,j n Cr d x + Cr d y + c n+1 i+1,j ( Cr a x 4 Cr d x ( Cr a +c n+1 y i,j+1 4 Cr d y ( ) ( ) +c n+1 i+1,j+1 Cr d xy + c n+1 i+1,j 1 Cr d xy + c n+1 i 1,j+1 ) ) + c n+1 i 1,j + c n+1 i,j 1 ( ) Cr a x 4 Cr d x + ( ) Cr a y 4 Cr d y + ( Cr d xy ) + c n+1 i 1,j 1 ( Cr d xy ) = ( ( ) = c n i,j 1 Cr d x Cr d y + c n i+1,j Cr a x 4 + Cr d ) ( x Cr + c n a x i 1,j 4 + Cr d ) x + ( +c n i,j+1 Cr a y 4 + Cr d ) ( y Cr a + c n y i,j Cr d ) y F + i,j ( ) ( ) ( ) ( ) +c n i+1,j+1 Cr d xy + c n i+1,j 1 Cr d xy + c n i 1,j+1 Cr d xy + c n i 1,j 1 Cr d xy (4.11) F i,j wartość obliczana na podstawie znanych wartości koncentracji w n-tym kroku czasowym. Można zauważyć, że wartości koncentracji w n + 1 kroku czasowym (c n+1 i,j ) zależą zarówno od wartości koncentracji w kroku poprzednim n jak i w rozważanym kroku czasowym n+1. Wyznaczenie wartości w n+1 kroku czasowym jest więc trudniejsze niż w przypadku schematów jawnych i wymaga rozwiązania układu równań liniowych. Dla uproszczenia równanie (4.11) można zapisać w postaci: ac n+1 i,j + bc n+1 i+1,j + cc n+1 i 1,j + dc n+1 i,j+1 + ec n+1 i,j 1+ +fc n+1 i+1,j+1 + gc n+1 i+1,j 1 + hc n+1 i 1,j+1 + ic n+1 i 1,j 1 = F i,j ; (4.1) gdzie współczynniki równania przyjmują postać: a = 1 + Cr d x + Cr d y, d = Cr a y 4 Cr d y, g = Cr d xy, b = Cr a x 4 Cr d x, e = Cr a y 4 Cr d y, h = Cr d xy, c = Cr a x 4 Cr d x, f = Cr d xy, i = Cr d xy. 56

69 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu Rysunek 4.4: Przykład transformacji współrzędnych punktu siatki na jego numer (brane pod uwagę są tylko punkty z wnętrza obszaru całkowania) Numerując węzły siatki analogicznie jak na rysunku 4.4, na którym para liczb całkowitych (i, j) została zastąpiona numerem węzła, możemy zapisać szukany wektor wartości koncentracji w n + 1 kroku czasowym w postaci: X = (c 0, c 1, c,, c m ) T, i odpowiednio wartości F i,j jako wektor: F = (F 0, F 1, F,, F m ); gdzie: m jest liczbą węzłów siatki. Układ równań który należy rozwiązać przyjmuje wtedy postać: A X = F, (4.13) gdzie: A wstęgowa macierz współczynników układu (patrz rys. 4.5). Rysunek 4.5: Schematycznie przedstawiona macierz współczynników układu równań otrzymywanego przy użyciu schematu CN 57

70 4. METODY NUMERYCZNE W przypadku dużej liczby węzłów siatki, z którą zwykle mamy do czynienia, rozwiązanie otrzymanego układu równań w każdym kroku czasowym pociąga za sobą duże koszty obliczeniowe. Do jego rozwiązania stosuje się w praktyce metody iteracyjne. Metody te startują z początkowego przybliżenia (X 0 ), a następnie przybliżenie to jest stopniowo ulepszane (tworzony jest ciąg kolejnych przybliżeń: X 1, X, ), aż do momentu gdy suma bezwzględnych wartości poprawek na całej siatce jest mniejsza od zadanej wartości. Poniżej przedstawiono zaimplementowane metody (Bjorc & Dahlquist, 1987) : ˆ Metoda Jacobiego (J) c k+1 p = m q=1,p q a p,q c k q + F p a p,p ; (4.14) ˆ Metoda Gaussa-Seidela (GS) c k+1 p = punkty dla których punkty dla których wartości w k+1 nie znamy jeszcze zostały już wyznaczone { }} { wartości w k+1 { }} { p 1 q=1 a p,q c k+1 q m q=p+1 a p,q c k q +F p a p,p ; (4.15) ˆ Metoda Nadrelaksacji, ang. Successive Over Relaxation (SOR) c k+1 p = c k p + ωr k p; r k p = p 1 q=1 a p,q c k+1 q m a p,q c k q + F p q=p a p,p ; (4.16) gdzie: p, q = {0, 1,,, m}; 0 < ω < parametr relaksacji (dla ω = 1 otrzymujemy metodę GS); początkowe przybliżenie np.: c 0 p = 0. 58

71 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu Tabela 4.4: Liczba iteracji w jednym kroku czasowym przy rozwiązaniu układu równań otrzymanego w schemacie CN dla przykładowych parametrów symulacji; w obu przypadkach: x = y = 1 m, t = 0, 5 s i m = 6500 węzłów; kolorem czerwonym oznaczono liczbę iteracji przy optymalnym parametrze relaksacji ω Metoda: J GS SOR Param. relaksacji: - 1 1, 1 1, 15 1, 1, 5 1, 7 1, 8 Liczba iteracji: v x = v y = 0, m s > 00 D L = D T = 0, 5 m s Liczba iteracji: v x = v y = 0, 11 m s > 00 D L = 0, 75 m s D T = 0, 1 m s Najprostszą metodą iteracyjną jest metoda Jacobiego (4.14), metoda ta nie jest jednak wystarczająco szybko zbieżna. Aby otrzymać wynik z pożądaną dokładnością niezbędna jest duża liczba iteracji. Dlatego zwykle stosuje się metodę Gaussa-Seidela (4.15) lub metodę nadrelaksacji SOR (4.16). W tabeli 4.4, dla dwóch przykładowych zestawów parametrów, przedstawiono liczbę iteracji w jednym kroku czasowym niezbędną do uzyskania rozwiązania z założoną dokładnością przy użyciu różnych metod iteracyjnych. Obliczenia przeprowadzano do momentu, gdy suma wartości bezwzględnej δ p była mniejsza niż : m p=0 δ p < 10 15, gdzie: δ p = c k+1 p c k p. (4.17) Metoda SOR pozwala na uzyskanie rozwiązania przy stosunkowo niewielkiej liczbie iteracji, wymaga jednak określenia tzw. parametru relaksacji, który źle dobrany może bardzo wydłużyć czas obliczeń. Metoda ta jest zbieżna tylko gdy 0 < ω <. Pożądany wynik otrzymujemy w mniejszej liczbie iteracji niż przy użyciu metody GS tylko gdy ω > 1. W modelu RivMix zaimplementowano specjalną metodę (opisaną w rozdziale 6) dobierającą optymalny parametr relaksacji, który wg. przeprowadzonych testów zależy nie tylko od rozmiarów siatki obliczeniowej, ale również od pozostałych parametrów symulacji. W tabeli 4.4 na czerwono zaznaczono najmniejszą liczbę iteracji uzyskiwaną przy odpowiednio wybranym ω. 59

72 4. METODY NUMERYCZNE Metoda Kierunków Naprzemiennych Mimo użycia metod iteracyjnych do rozwiązywania układów równań otrzymywanych w metodzie CN, uzyskanie rozwiązania jest procesem czasochłonnym (patrz rozdzial 5.3). Znaczne przyśpieszenie całego procesu obliczeń, bez utraty dokładności, można uzyskać stosując Metodę Kierunków Naprzemiennych ADI (ang. Alternative Direction Implicit method). Metoda ADI była po raz pierwszy zaproponowana przez Douglasa (1955) i Peacemana i Rachforda (1955) do rozwiązywania dwuwymiarowego równania transportu ciepła. Podstawą metody jest rozwiązanie równania z użyciem standardowego schematu niejawnego w dwóch etapach (rys. 4.6). Podziału na etapy dokonuje się w taki sposób, aby każdy etap był niejawny tylko w jednym z kierunków przestrzennych. Rysunek 4.6: Schematycznie przedstawiona metoda ADI W rozważanym w pracy przypadku metoda ADI bazuje na niejawnym schemacie Cranka-Nicolsona. Schemat ten, po niezbędnych modyfikacjach, umożliwiających podział rozwiązania na dwa etapy, możemy zapisać w postaci (McKee et al., 1996): [ 1 + v x t x D ] [ xx t δx 1 + v y t y D ] yy t δy c n+1 i,j = {[ = 1 v x t x + D ] [ xx t δx 1 v y t y + D ] } yy t δy + D xy tδ xy c n i,j. (4.18) Stosując metodę ADI wg. algorytmu Douglasa-Rachforda (Douglas & Rachford, 1956) równanie to można podzielić na dwa etapy w następujący sposób: ETAP I niejawny w kierunku x, jawny w kierunku y: = [ [ 1 + v x t x D xx t δ x ] c n+ 1 i,j = 1 v y t y + D yy tδy v x t x + D ] xx t δx + D xy tδ xy c n i,j ; (4.19) 60

73 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu ETAP II jawny w kierunku x, niejawny w kierunku y: [ 1 + v y t y D yy t δ y ] c n+1 i,j = c n+ 1 i,j [ v y t y + D ] yy t δy c n i,j. (4.0) Formuły (4.19) i (4.0) są równoważne wyjściowej (4.18). W literaturze można spotkać również inne sposoby podziału rozwiązania na dwa etapy, opisywane zwykle w przypadku równania dyfuzji (np. McKee & Mitchell, 1970, 1971). W zaimplementowanym modelu możliwe jest również użycie metody ADI przedstawionej w pracy (Smith & Yongming, 001) do rozwiązania dwuwymiarowego równania adwekcji-dyfuzji z członem źródłowym i członem reakcji, nazywanej tutaj w skrócie ADI. Formuła aproksymująca, po zaadaptowaniu do rozwiązywanego w niniejszej pracy dwuwymiarowego równania adwekcji-dyfuzji (.9), przyjmuje wówczas postać: [ 1 + v x t x D ] [ xx t δx 1 + v y t y D ] yy t δy c n+1 i,j = {[ = 1 v x t x + D ] [ xx t δx 1 v y t y + D ] yy t δy + [( +D xy t x v ) ( x t δ x y v )]} y t δ y c n i,j. (4.1) Podziału na dwa etapy dokonujemy w następujący sposób: ETAP I niejawny w kierunku x, jawny w kierunku y: [ 1 + v x t x D ] xx t δx C n+ 1 i,j = {[ = 1 v x t x + D ] [ xx t δx 1 v y t y + D ] yy t δy + [( +D xy t x v ) ( x t δ x y v )]} y t δ y c n i,j ; (4.) ETAP II jawny w kierunku x, niejawny w kierunku y: [ 1 + v y t y D yy t δ y ] C n+1 i,j = C n+ 1 i,j. (4.3) 61

74 4. METODY NUMERYCZNE (a) Rozwiązanie numeryczne, schemat ADI (b) Różnica między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym z użyciem schematu ADI (c) Rozwiązanie numeryczne, schemat ADI (d) Różnica między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym z użyciem schematu ADI Rysunek 4.7: Rozwiązanie numeryczne z użyciem schematu ADI (a) oraz schematu ADI (c) po 600 sekundach; parametry symulacji: x = y = 1 m and t = 0, 5 s, v x = v y = 0, 106 m s, D xx = D yy = 0, 45 m s, D xy = D yx = 0, 35 m s ; masa M = 10 j. a. została zrzucona w punkcie x 0 = 50 m, y 0 = 50 m w czasie t 0 = 0 s; na rysunkach (b) i (d) pokazano różnicę między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym 6

75 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu Ze względu na brak istotnych różnic w rozwiązaniach otrzymywanych przy użyciu metod ADI i ADI (patrz rys. 4.7), w pracy analizowano pierwszą z wymienionych metod (równanie 4.18). Formuły (4.19) i (4.0) możemy zapisać w postaci: ETAP I : c n+ 1 i,j ( 1 + Cr d x ) + c n+ 1 i+1,j ( Cr a x 4 Cr d ) ( x + c n+ 1 i 1,j Cr a x 4 Cr d ) x = ( ( ) = c n i,j 1 Cr d x Cr d y + c n i+1,j Cr a x 4 + Cr d ) ( x Cr + c n a x i 1,j 4 + Cr d ) x + ( +c n i,j+1 Cr a ) ( ) y Cr a 4 + Cr d y + c n y i,j Cr d y + ( ) ( ) ( ) ( ) Cr d xy + c n i+1,j 1 Cr d xy + c n i 1,j+1 Cr d xy + c n i 1,j 1 Cr d xy +c n i+1,j+1 F I i,j (4.4) ETAP II : ( ( ) c n+1 i,j 1 + Cr d y + c n+1 Cr a y i,j+1 4 Cr d ) ( y + c n+1 i,j 1 Cr a y 4 Cr d ) y = = c n+ 1 i,j ( ( ) + c n i,j Cr d y + c n Cr a y i,j+1 4 Cr d ) ( y + c n i,j 1 Cr a y 4 Cr d ) y } {{ } Fi,j II (4.5) gdzie: F I i,j i F II i,j wartość obliczana na podstawie znanych wartości koncentracji w n-tym kroku czasowym. Zamiast jednego dużego układu równań jak dla schematu CN, w przypadku metody ADI otrzymujemy dwa układy, które można dużo szybciej rozwiązać. Macierze współczynników układów równań otrzymywanych w obu etapach zostały schematycznie przedstawione na rysunku 4.8. Ze względu na ich specyficzny trójdiagonalny układ możemy do rozwiązania układów zastosować specjalną analityczną metodę Thomasa. 63

76 4. METODY NUMERYCZNE (a) Etap I (b) Etap II Rysunek 4.8: Schematycznie przedstawione macierze współczynników układów równań otrzymywanych przy użyciu schematu ADI ˆ Metoda Thomasa (Fletcher, 1991; Szymkiewicz, 003) Trójdiagonalną macierz A: A = a 1 b c a b c 3 a 3 b c m 1 a m 1 b m c m a m (4.6) rozkładamy na dwie macierze trójkątną górną i trójkątną dolną: A = LU; (4.7) L = l l l m l m 1, U = u 1 b u b u 3 b u m 1 b m u m (4.8) 64

77 4.3 Dyskretyzacja dwuwymiarowego równania transportu gdzie: u 1 = a 1, l p = c p, (4.9) u p 1 u p = a p l p b p 1, p =, 3,, m. Otrzymany układ: LUX = F, (4.30) jest równoważny dwóm układom: LY = F, UX = Y; (4.31) które rozwiązujemy korzystając z następujących rekurencyjnych wzorów: y 1 = F 1 ; (4.3) y p = F p l p y p 1 ; p =, 3,, m; c m = y m u m ; c p = y p b p c p+1 u p ; p = m 1, m,, 1. Wykonując niewielką liczbę działań arytmetycznych 3(m 1) dodawań i mnożeń oraz (m 1) dzieleń (Szymkiewicz, 003) otrzymujemy dokładne rozwiązanie obu układów równań. Algorytm ten jest więc bardzo szybki w porównaniu do metod iteracyjnych stosowanych w przypadku schematu CN. Porównanie przykładowych czasów obliczeń znajduje się w rozdziale

78 4. METODY NUMERYCZNE 4.4 Warunki graniczne Rozwiązywane równanie różnicowe musi zostać uzupełnione warunkami granicznymi: początkowymi i brzegowymi. Warunki początkowe zależą od rozważanej sytuacji, którą może być chwilowy lub ciągły zrzut zanieczyszczeń. W przypadku chwilowego zrzutu w chwili t = 0 dla każdego punktu siatki (i, j) zadawana jest wartość koncentracji w danym punkcie: c(x, y, 0) = c 0 (x, y). (4.33) Dla ciągłego zrzutu wartość koncentracji zadawana jest w chwil t = 0 oraz w każdej chwili czasu w odpowiednich punktach siatki. Warunki brzegowe zadawane są w każdej chwili czasowej c n B i zależą od rodzaju rozważanych brzegów. W sytuacji gdy na brzegu siatki znajduje się dopływ wody, na brzegu tym zadawana jest wartość koncentracji w każdej chwili czasowej. Jest to tzw. warunek brzegowy Dirichleta, (Fletcher, 1991; Szymkiewicz, 000): c B (x B, y B, t) = c B (x, y). (4.34) W sytuacji odpływu zakładany jest stały gradient koncentracji na brzegu (tzw. warunek brzegowy typu Neumanna): czyli np. w przypadku, gdy wypływ znajduje się na prawym brzegu (równolegle do osi y): c B,j = c B 1,j c B,j. (4.36) c (x, y, t) = const, (4.35) n B Rysunek 4.9: Schematycznie przedstawiony prawy brzeg siatki obliczeniowej W przypadku brzegów fizycznych, zakładając, że mamy do czynienia z nieprzepuszczalnym brzegiem, wartości na brzegach siatki obliczane były korzystając ze współczynników przedstawionych w załączniku D w tabelach: D.1 (dla schematu UP); D., D.3 (dla CN) i D.4, D.5 (dla ADI). W przeprowadzanych testach numerycznych, w niektórych przypadkach, stosowano również periodyczne warunki brzegowe. 66

79 Rozdział 5 Własności rozważanych schematów numerycznych 5.1 Wstęp Stosując metody numeryczne możemy spotkać się z wieloma problemami, takimi jak: ˆ dyfuzja numeryczna, ˆ oscylacje numeryczne, ˆ ograniczenia czasu obliczeń i miejsca na dysku, ˆ stabilność używanych schematów. Problemy te czynią dobór metody odpowiedniej do rozwiązywania danego równania trudniejszym. Przede wszystkim wymagana dokładność i czas obliczeń muszą być brane pod uwagę, czemu w niniejszym rozdziale poświęcono najwięcej uwagi. Ma to olbrzymie znaczenie przy interpretacji wyników. Zdarza się bowiem, że interpretowane jako fizyczne wielkości, są jedynie efektem błędów numerycznych. 5. Dokładność błąd obcięcia Dokładność rozwiązania jest bardzo ważnym elementem w traktacie numerycznego rozwiązywania zagadnienia początkowo-brzegowego. Znajomość dokładności metody numerycznej jest niezbędna do tego, aby można ją było z sukcesem stosować. Szczególnie 67

80 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH dotyczy to metod numerycznych służących do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych. pisze Ferziger (1988) w specjalnej nocie dotyczącej dokładności numerycznej, cytowanej przez Szymkiewicza (006) w pracy poświęconej badaniom błędów dyfuzji i dyspersji numerycznej. Podstawą metod różnic skończonych są ilorazy różnicowe tworzone na podstawie rozwinięć funkcji w szereg Taylora (patrz rozdział 4.). Ze względu na to, że nie wszystkie elementy szeregu mogą zostać uwzględnione, do konstrukcji schematów numerycznych używa się szeregów obciętych, co jest źródłem błędów dyssypacji i dyspersji, które wpływają na otrzymywane rozwiązanie. Błąd dyssypacji może powodować nadmierne wygładzenie rozwiązania, natomiast błąd dyspersji oscylacje o niefizycznym charakterze (Fletcher, 1991; Szymkiewicz, 006; Thomas, 1995). Zrozumienie błędu obcięcia jest więc niezbędne w celu poznania dokładności metody i wyboru odpowiedniego schematu numerycznego. Większość literaturowych rozważań podaje jedynie rząd aproksymacji metody numerycznej, co nie daje jednak informacji o wartości i charakterze błędu. Natomiast szczegółowe analizy dotyczące błędów numerycznych metod różnic skończonych, stosowanych do rozwiązywania równań adwekcji - dyfuzji, są zwykle przeprowadzane dla problemów jednowymiarowych (jak np. w przypadku prac: Ataie-Ashtiani et al., 1996, 1999; Dehghan, 004; Karahan, 006). Obszerne zestawienie schematów numerycznych stosowanych w rozwiązywaniu jednowymiarowego równania adwekcji-dyfuzji wraz z wyznaczonymi błędami obcięcia przedstawia Fletcher (1991). W przypadku dwuwymiarowym błędy obcięcia wyznaczano dla równań z pominięciem mieszanych pochodnych (np. Noye & Tan, 1989), co czyni rozważania ograniczonymi do pewnych szczególnych sytuacji (jak pokazano w rozdziale 3). Należy tutaj zwrócić uwagę na najnowsze analizy Ataie-Ashtiani & Hosseini (005a,b), w których jest rozważane pełne dwuwymiarowe równanie adwekcji dyfuzji, zawierające dodatkowe człony. Autorzy jednak skupiają się jedynie na błędzie dyfuzji numerycznej (błąd dyssypacji, jeżeli w analizie błędu uwzględniane są jedynie pochodne rzędu drugiego nazywany jest często błędem dyfuzji numerycznej). Dyspersja numeryczna również związana z obcięciem szeregu Taylora jest także niepożądanym efektem obecnym przy użyciu schematów numerycznych stosownych w hydromechanice. Oba rodzaje błędów rozważane są w pracach: (Bielecka-Kieloch, 1998); (Szymkiewicz, 006) dla dwuwymiarowego równania adwekcji. 68

81 5. Dokładność błąd obcięcia Wyznaczeniu błędów dyfuzji i dyspersji numerycznej w przypadku pełnego dwuwymiarowego równania adwekcji-dyfuzji (zawierającego pochodne mieszane) poświęcono, w trakcie badania rozważanych w pracy schematów numerycznych, dużo uwagi. Sposób wyznaczania i analiza wspomnianych błędów będzie zatem przedmiotem dalszych rozważań Metoda Równania Zmodyfikowanego Dokładność metod różnicowych, stosownych do rozwiązywania równania transportu, może być wyznaczona za pomocą Metody Równania Zmodyfikowanego MRZ (ang: The Modified Equation Approach). Metoda ta, przedstawiona w 1974 roku przez Warminga and Hyetta (Warming & Hyett, 1974), pozwala wyznaczyć błąd wynikający z obcięcia szeregu Taylora podczas dyskretyzacji równania. Błąd ten jest w rzeczywistości różnicą między rzeczywistym rozwiązaniem a tym otrzymywanym przy aproksymacji równań danym schematem numerycznym. MRZ w hydromechanice stosowali min.: Abbott & Basco (1989); Fischer et al. (1979); Peyret & Taylor (1986); Szymkiewicz (006). Jeżeli równanie różnicowe (4.5) oznaczymy przez E Dys = 0, a T będzie błędem obcięcia to równanie zmodyfikowane (które w praktyce rozwiązujemy) może być zdefiniowane jako: E Zmod = E Dys + T = 0. (5.1) W celu utworzenia równania zmodyfikowanego dla rozważanych w pracy schematów należy przeprowadzić procedurę schematycznie przedstawioną na rysunku 5.1. Przed przystąpieniem do konstrukcji E Zmod równanie (4.5) dla uproszczenia można zapisać w postaci: b 0 c n+1 i,j + b 1 c n+1 i+1,j + b c n+1 i 1,j + b 3 c n+1 i,j+1 + b 4 c n+1 i,j 1+ +b 5 c n+1 i+1,j+1 + b 6 c n+1 i+1,j 1 + b 7 c n+1 i 1,j+1 + b 8 c n+1 i 1,j 1 = = a 0 c n i,j + a 1 c n i+1,j + a c n i 1,j + a 3 c n i,j+1 + a 4 c n i,j 1+ (5.) +a 5 c n i+1,j+1 + a 6 c n i+1,j 1 + a 7 c n i 1,j+1 + a 8 c n i 1,j 1. Współczynniki tego równania wynoszą odpowiednio: b 0 = 1 + θ [ ( Cr d x + Cr y) d + Cr a x (1 α 1 ) + Cr a y (1 α ) ], a 0 = 1 + (1 θ) [ ( Cr d x + Cr y) d + Cr a x (α 1 1) + Cr a y (α 1) ], 69

82 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH Rysunek 5.1: Metoda Równania Zmodyfikowanego schemat b 1 = θ ( Cr d x + α 1 Cr x) a, a1 = (1 θ) ( Cr d x α 1 Cr x) a, (5.3) b = θ ( Cr d x (1 α 1 ) Cr x) a, a = (1 θ) [ Cr d x + (1 α 1 ) Cr x] a, b 3 = θ ( Cr d y + α Cr y) a, a3 = (1 θ) ( Cr d y α Cr y) a, b 4 = θ ( Cr d y (1 α ) Cr y) a, a4 = (1 θ) [ Cr d y + (1 α ) Cr y] a, b 5 = θcr d xy, a 5 = (1 θ) Cr d xy, b 6 = θcr d xy, a 6 = (1 θ) Cr d xy, b 7 = θcr d xy, a 7 = (1 θ) Cr d xy, b 8 = θcr d xy, a 8 = (1 θ) Cr d xy. Całą procedurę rozpoczynamy od zastąpienia każdego z członów równania (5.) jego rozwinięciem w szereg Taylora wokół punktu (x = i x, y = j y, t = n t). Zakładamy przy tym istnienie ciągłej i różniczkowalnej funkcji c(x, y, t), która w węzłach siatki jest równa rozwiązaniu równania (.9) (Warming & Hyett, 1974). 70

83 5. Dokładność błąd obcięcia Rozwinięcia poszczególnych członów w szereg Talora w n-tym kroku czasowym możemy zapisać następująco: c n i±1,j = c n i,j ± x c x + x c x ± x3 3 c 6 x +..., 3 c n i,j±1 = c n i,j ± y c y + y c y ± y3 3 c 6 y +..., 3 c n i±1,j±1 = c n i,j ± x c x ± x3 6 3 c x ± x y 3 c ± y y + x 3 c x y ± x y c x + (± x)(± y) c x y + y 3 c x y ± y3 6 3 c y c y (5.4a) (5.4b) (5.4c) w n + 1 kroku czasowym mają one postać: c n+1 i,j = c n i,j + t c t + t c t + t3 3 c 6 t +..., 3 c n+1 i±1,j = c n i,j + t c t + t3 6 c n+1 i,j±1 = c n i,j + t c t + t3 6 c ± x x + t 3 c 3 c t ± t x 3 x t + t x 3 c t ± t y 3 c ± y y + t 3 c y t + t y c t ± t x c x t + x 3 c x t ± x3 6 c t ± t y c y t + y 3 c y t ± y3 6 c x 3 c x , c y 3 c y , c n+1 i±1,j±1 = c n i,j + t c c c ± x ± y t x y + t c t + x c x + y c y + (± x)(± y) c x y ± x t c x t ± y t c y t + t3 6 ± x y + t y 3 c x ± y3 3 c 3 6 y + t(± x)(± y) 3 c 3 x y t x y ± x y 3 c x y + t x 3 c x t 3 c y t ± t x 3 c x t ± t y 3 c y t c t ± x c (5.5a) (5.5b) (5.5c) (5.5d) 71

84 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH Wstawiając rozwinięcia (5.4) i (5.5) do równania (4.5), po uproszczeniu otrzymujemy: c t + v c x x + v c y y + t c t + [ + D xx + (α 1 1) v ] x x c x + + θv x t c x t + θv y t c y t + t 3 c 6 + θ t [ D xx + (α 1 1) v x x [ D yy + (α 1) v ] y y c y D c xy x y + t + v x x 3 c 3 6 x + v y y 3 c 3 6 y θd 3 c xy t 3 x y t + ] 3 [ c x t + θ t D yy + (α 1) v ] y y 3 c y t + + θ v x t 3 c x t + θ v y t 3 c y t = 0. (5.6) W trakcie przekształceń pominięto pochodne czwartego rzędu i wyższe. Szczegóły wyprowadzenia i propozycję tabeli ułatwiającej przekształcenia zamieszczono w dodatku E. Otrzymane równanie jest szukanym równaniem zmodyfikowanym (E Zmod ). Dla prostoty zapisu wprowadzono następujące oznaczenia dla współczynników stojących przy odpowiednich pochodnych cząstkowych: a = v x x, 6 l = θv x t, b = v y y, 6 m = θv y t, d = v x, n = t 6, e = v y, o = θd xy t, f = t (, p = θ t D xx + (α 1 1) v ) x x, (5.7) g = D xx + (α 1 1) v ( x x, q = θ t D yy + (α 1) v ) y y, h = D yy + (α 1) v y y, r = θ v x t, k = D xy, z = θ v y t. Równanie zmodyfikowane (5.6) przyjmuje wtedy postać: c t + d c x + e c y + f c t + g c x + h c y + k c x y + l c x t + m c y t + + n 3 c t + a 3 c 3 x + b 3 c 3 y + o 3 c 3 x y t + p 3 c x t + q 3 c y t + r 3 c x t + z 3 c y t = 0. (5.8) 7

85 5. Dokładność błąd obcięcia Następnym kluczowym punktem jest eliminacja z równania wyższych pochodnych czasowych: c t, 3 c t 3, c x t, 3 c x t, 3 c x t, c y t, 3 c y t, 3 c y t, i 3 c x y t. (5.9) Operacja ta, prowadząca do pozostawienia w równaniu tylko pierwszej pochodnej c t i pochodnych przestrzennych, pozwoli na interpretacje błędu obcięcia. Aby otrzymać stosowne wyrażenia na pochodne czasowe należy wykonać odpowiednie operacje różniczkowania c równania zmodyfikowanego (Thomas, 1995). W celu zastąpienia członów: x t, 3 c x t, 3 c x t, 3 c x y t różniczkujemy równanie (5.6) kolejno względem: x, x, x t, x y. Analogicznie postępujemy w celu uzyskania członów: c y t, 3 c y t,. Po odpowiednich przekształ- t c t, 3 c t różniczkujemy równanie (5.6) względem 3 t, caniach, uwzględniając tylko pochodne do trzeciego rzędu otrzymujemy: 3 c. Aby zastąpić y t c t = c d x + c e y + de c x y + d(fd + g ld) 3 c x e(fe + h em) 3 c y 3 + (3d ef + kd dle md + eg) 3 c x y + + (3fde + hd emd + kd le ) 3 c x y, 3 c t = 3 c 3 d3 x 3 c 3 e3 y 3 3d e 3 c x y 3 c 3de x y, c x t = d c x e c x y + ( fd g + ld) 3 c x ( def k + le + dm) 3 c x y + ( fe h + em) 3 c x y, 3 c x t = d 3 c x 3 e 3 c x y, 3 c x t = 3 c d x + de 3 c 3 x y + 3 c e x y, (5.10a) (5.10b) (5.10c) (5.10d) (5.10e) 73

86 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH c y t = d c x y e c y + ( fd g + dl) 3 c x y + + ( def k + le + md) 3 c x y + ( fe h + em) 3 c y 3, 3 c y t = d 3 c x y e 3 c y, 3 3 c y t = 3 c d x y + de 3 c x y + 3 c e y, 3 3 c x y t = d 3 c x y e 3 c x y. (5.10f) (5.10g) (5.10h) (5.10i) W różnych analizach często występuje błąd, na który zwraca uwagę w swej książce Thomas (1995), polegający na użyciu do eliminacji pochodnych czasowych rozwiązywanego równania wyjściowego (w rozważanej sytuacji równania (.9)), zamiast równania zmodyfikowanego (tutaj równanie (5.6)). Może się zdarzyć, że w pewnych przypadkach wynik będzie ten sam niezależnie którego równania użyjemy. Często jednak, tak jak dla analizowanego dwuwymiarowego równania adwekcji-dyfuzji, prowadzi to do zaniedbania niektórych członów w formułach (5.10), a co za tym idzie modyfikacji błędu obcięcia, którego wyznaczenie jest celem prowadzonych rozważań. Dla rozpatrywanego równania w przypadku drugiej pochodnej po czasie c t, różniczkując względem równanie wyjściowe (.9) zamiast równania zmodyfikowanego (5.6), można błędnie otrzymać t relację: c = ( D t xx v x ) 3 c x + ( D yyv 3 y ) 3 c y + ( D 3 c xxv 3 y 4D xy v x ) x y + 3 c + ( D yy v x 4D xy v y ) x y + c v x x + v c xv y x y + c v y y ; (5.11) w miejsce relacji (5.10a). W przypadku pochodnych mieszanych relacje: c x t 3 c = D xx x + D 3 c 3 yy x y + D 3 c xy x y v c x x v c y x y ; (5.1) c y t 3 c = D xx x y + D 3 c yy y + D 3 c 3 xy x y v c x x y v c y y ; (5.13) zamiast (5.10c) i (5.10f). Wyrażenia (5.11), (5.1) i (5.13) są prawdziwe tylko dla równania (.9) a nie dla rozpatrywanego równania zmodyfikowanego (5.6) (Thomas, 1995). 74

87 5. Dokładność błąd obcięcia Różnice występują w otrzymanych współczynnikach stojących przy pochodnych przestrzennych trzeciego rzędu. Po wstawieniu właściwych wyrażeń (5.10) do równania zmodyfikowanego (5.6), równanie to przyjmuje postać: c t + v c x x + v c y y D c xy x y D c xx x D c yy y = + + [ + v3 x t 3 [+ v3 y t 3 [ +vxv y t η v x v y t x [ [ v x t v y t [ ( = v x v y t θ 1 )] c x y + ( θ 1 ) v x x ] c (α 1 1) x + ] c y + ( θ 1 ) v y y (α 1) ( η vx t x θ 1 ) (α 1 1) + v x x 6 ) (α 1) + v y y ( η vy t y θ 1 ( θ 1 ] 3 c + v x td xx ξ x + 3 ] 3 c + v y td yy ξ 6 y + 3 ) ( (α 1 1) + v y td xx ξ + 4v x td xy θ 1 [ ( +v x vy t η v x v y t y θ 1 ) ( (α 1) + v x td yy ξ + 4v y td xy θ 1 gdzie: η = (1 3θ + 3θ ), ξ = (3θ 1). )] 3 c x y + )] 3 c x y ; Łatwo zauważyć dodatkowe wyrazy, które nie występują w rozwiązywanym równaniu wyjściowym (.9). Wyrazy te reprezentują człony, które zostały zaniedbane w procesie dyskretyzacji równania wyjściowego, czyli szukany błąd obcięcia. Człony parzyste są związane z błędem dyssypacji, natomiast człony nieparzyste z błędem dyspersji (Fletcher, 1991). Dla funkcji gładkich wartość błędu obcięcia jest zdeterminowana przez wartość pierwszego wyrazu obciętej części szeregu (Szymkiewicz, 006), zatem możemy ograniczyć nasze rozważania do najniższych rzędów pochodnych parzystych i nieparzystych występujących w błędzie obcięcia. Błąd związany z pochodnymi drugiego rzędu jest zwany dyfuzją numeryczną, natomiast błąd związany z pochodnymi rzędu trzeciego dyspersją numeryczną, (5.14) 75

88 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH które w przypadku dwuwymiarowym przyjmują postać tensorów (Szymkiewicz, 006). Zapisując równanie (5.14) w postaci wektorowej, analogicznej do równania (.10), otrzymujemy: gdzie: D xx D = D yx D xy D yy [ ] c(x, t) + v(x, t) c(x, t) D(x, t) c(x, t) = t = [ D N (x, t) c(x, t) ] + [ T N (x, t) c(x, t) ] ; D, 11 N D1 N T DN =, 11 N T1 N TN =. D1 N D N T1 N T N (5.15) tensor dyspersji tensor dyfuzji numerycznej tensor dyspersji numerycznej Można teraz bez trudu porównać błędy dyfuzji i dyspersji numerycznej dla rozważanych w pracy schematów numerycznych. W ogólnym przypadku dla równia adwekcji-dyfuzji (.10) współczynniki tensorów dyfuzji i dyspersji numerycznej wynoszą: [ ( D11 N = v x x Cr a x θ 1 ) ( α 1 1 )], (5.16a) ( D1 N = v x v y t θ 1 ), (5.16b) ( D1 N = v x v y t θ 1 ), (5.16c) [ ( D N = v y y Cr a y θ 1 ) ( α 1 )], (5.16d) [ T11 N = v x x (Cr a x) ( η + Cr a x θ 1 ) (α 1 1) 1 ] 3 6 Cr d xξ, (5.16e) ( T1 N = v y x [ (Cr a x) η + Cr a x θ 1 ) (α 1 1) Cr d xξ 16 Cr a xcr d ( xy θ ) 1 ], (5.16f) T N 1 = v x y [ (Cr a y) η + Cr a y T N = v y y [ (Cr a y) ( η + Cr a y 3 ( θ 1 ) θ 1 Cr a y (α 1) Cr d yξ 16 Cr a ycr d xy Cr a x ( θ 1 ) ], (5.16g) ) (α 1) 1 ] 6 Cr d yξ. (5.16h) Przyjmując odpowiednie wartości parametrów wagowych można obliczyć wartości błędów dla rozważanych schematów, zostały one zebrane w tabeli

89 5. Dokładność błąd obcięcia Tabela 5.1: Wartości współczynników tensorów dyfuzji i dyspersji numerycznych dla poszczególnych schematów UP CN FI D N 11 vx x [ Cr a x (α1 + 1 )] 0 v x t D 1 N v xvy t 0 vxvy t D 1 N v xvy t D N vy y T N 11 vx x [ (Cr a x) 3 T N 1 vy x [ (Cr a x) Cr a x T N 1 vx y [ (Cr a y) Cr a y T N vy y [ (Cr a y) 3 [ Cr a y (α + 1 Cr a x ( ( Cr a y ( α1 1 α 1 ( α1 1 ) ) α 1 ) )] Cr d x ] + Cr d x + 8 Cr a xcr d xy Cr a y + Cr d y + 8 Cr a ycr d xy Cr a x ) Cr d y ] ] ] v x x v y x v x y v y y 0 0 [ (Cr a x ) 6 [ (Cr a x ) [ (Cr a y ) [ (Cr a y ) Cr d x + Cr d x + Cr d y ] ] Cr d y ] ] vxvy t v y t vx x [ (Cr a x ) vy x [ vx y [ Cr d x (Cr a x) + Cr d x + 8 Cr a xcr d xy Cr a y (Cr a y) + Cr d y + 8 Cr a ycr d xy Cr a x vy y [ (Cr a y ) Cr d y ] ] ] ] 77

90 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH Zgodnie z oczekiwaniami tylko w przypadku schematu Crancka-Nicolsona unikniemy poważnego problemu jakim jest dyfuzja numeryczna. Nie mniej jednak w przypadku złego doboru parametrów symulacji, w rozwiązaniu mogą pojawić się niefizyczne oscylacje z powodu błędu dyspersji numerycznej. W przypadku schematów UP i FI oba tensory dyfuzji i dyspersji numerycznej pozostają niezerowe. Dla przykładu w prostym kanale, dla którego można wyznaczyć rozwiązanie analityczne, przeprowadzono symulacje z użyciem schematów CN i UP. Na rysunku 5. widzimy wyniki symulacji po 750 s dla wybranych parametrów, odpowiednio z użyciem metody UP (rys. 5.(b)) i CN (rys. 5.(c)), oraz rozwiązanie analityczne (rys. 5.(a)). W przypadku schematu CN nie ma widocznej różnicy między rozwiązaniem numerycznym i analitycznym, natomiast różnica ta jest bardzo dobrze widoczna dla schematu UP. Maksimum koncentracji znajduje się w tym samym punkcie, ale jego wartość i kształt rozkładu koncentracji znacznie różnią się od rozwiązania analitycznego i rozwiązania z użyciem schematu CN. Powodem tego jest dyfuzja numeryczna. Używając schematu UP efektywnie rozwiązujemy równanie adwekcji-dyfuzji z większym współczynnikiem dyfuzji równym: gdzie: D i,j prawdziwy współczynnik dyspersji, Dij N D W yp i,j D W yp ij = D i,j + D N ij, dla i {1, }; (5.17) współczynnik dyfuzji numerycznej, wypadkowy (efektywny) współczynnik dyfuzji. W rozważanym przykładzie wypadkowy tensor dyfuzji wynosi: D Wyp = = efektywny tensor dyfuzji prawdziwy tensor dyspersji tensor dyfuzji numerycznej Dokładne porównanie obu schematów z rozwiązaniem analitycznym zamieszczono w rozdziale 7. 78

91 5. Dokładność błąd obcięcia (a) Rozwiązanie analityczne (b) Rozwiązanie numeryczne, schemat UP (c) Rozwiązanie numeryczne, schemat CN Rysunek 5.: Rozwiązanie analityczne (a) i numeryczne z użyciem schematów UP (b) i CN (c) po 1150 sekundach; parametry symulacji: x = y = 1 m i t = 0, 5 s, v x = v y = 0, 106 m s, D xx = D yy = 0, 45 m s, D xy = D yx = 0, 35 m s ; masa M = 10 j. a. została zrzucona w punkcie x 0 = 50 m, y 0 = 50 m w czasie t 0 = 0 s 79

92 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH Można sprawdzić, że wartość współczynnika dyfuzji numerycznej wynikającego z obliczeń na podstawie MRZ jest taka sama jak wartość współczynnika dyfuzji numerycznej otrzymywanego w trakcie symulacji. Dla uproszczenia rozważmy sytuację, gdzie: v x > 0, v y = 0, D xy = D yx = 0 i D yy = 0. (5.18) Wtedy składowe tensorów dyfuzji i dyspersji numerycznej wynoszą odpowiednio: v x D N (v [ x t x) 0 v x D xx t 1 ( ) ] x t vx 0 =, 6 TN = Parametry symulacji zastały dobrane w taki sposób, aby wszystkie składowe tensora dyspersji były równe 0, dla v x 0, czyli żądamy aby: czyli np.: [ v x D xx t 1 ( ) ] x t vx = 0 (5.19) 6 v x 0 (5.0) D xx = 1 ( ) x 6 t tv x, (5.1) x = 1, t = 1, D xx = 1 6 ( 1 v x ) ; dla vx = 0, 15 D xx = 0, 163. (5.) Porównanie otrzymanych wyników na podstawie rozważań teoretycznych i symulacji komputerowych przedstawiono w tabeli 5.. Do wyników symulacji pod 100 lub 500 krokach czasowych dopasowano rozkład Gaussa, a następnie odczytano odchylenie standardowe σ S. W taki sam sposób odczytano odchylnie standardowe σ A dla rozwiązania analitycznego, czyli rozwiązania nie obarczonego błędem dyfuzji numerycznej. Odchylenie standardowe wynikające z teoretycznie wyznaczonego współczynnika dyfuzji numerycznej σ N wyznaczono na podstawie znanej relacji: σ N = D wyp xx t, (5.3) 80

93 5. Dokładność błąd obcięcia Tabela 5.: Porównanie wielkości dyfuzji numerycznej obliczonej z równania zmodyfikowanego i wyznaczonej z przeprowadzonych symulacji; σs odchylenie standardowe rozkładu Gaussa dopasowanego do wyników symulacji, σa odchylenie standardowe rozwiązania analitycznego, σn odchylenie standardowe wyznaczone dla wypadkowego współczynnika dyfuzji, uwzględniającego obliczony błąd dyfuzji numerycznej t x vx Dxx Cr a x Cr d x D 11 N D xx wyp l. kroków czasowych σa σs σn 1 1 0, 15 0, 163 0, 15 0, 163 0, 064 0, ,71 ± 0,13 6,73 ± 0,15 6, ,77 ± 0,8 15,05 ± 0,34 15, , 001 0, , 001 0, , , ,77 ± 0,1 5,78 ± 0,1 5, ,91 ± 0,9 1,93 ± 0,9 1, ,001 0,0167 0,001 0,0167 0,0005 0, ,08 ± 0,091 4,141 ± 0,095 4,143 0,5 1 0,15 0,33 0,075 0,166 0,069 0, ,76 ± 0,13 6,33 ± 0,14 6,33 1 0, 15 0, 64 0, 075 0, 161 0, 14 0, ,67 ± 0,13 6,6 ± 0,14 6, ,69 ± 0,9 13,99 ± 0,31 13,99 81

94 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH gdy x 1 i t 1 należy to uwzględnić w powyższym wzorze, czyli: σ N = Dwyp xx n t ; (5.4) x gdzie: n krok czasowy. Wartości σ N są zgodne z wartościami σ S i jak należałoby oczekiwać są większe od wartości σ A wynikające z rozwiązania analitycznego nie obarczonego błędem dyfuzji numerycznej. 5.. Błąd obcięcia dla Metody Kierunków Naprzemiennych W przypadku Metody Kierunków Naprzemiennych (ADI) obliczenia odbywają się w dwóch etapach: (4.19) i (4.0). Aby wyznaczyć błąd obcięcia, należy wrócić do równoważnej dwóm równaniom formuły (4.18), którą dla uproszczenia (tak jak w przypadku równania (4.5)) zapisujemy w postaci: b 0 c n+1 i,j + b 1 c n+1 i+1,j + b c n+1 i 1,j + b 3 c n+1 i,j+1 + b 4 c n+1 i,j 1+ +b 5 c n+1 i+1,j+1 + b 6 c n+1 i+1,j 1 + b 7 c n+1 i 1,j+1 + b 8 c n+1 i 1,j 1 = = a 0 c n i,j + a 1 c n i+1,j + a c n i 1,j + a 3 c n i,j+1 + a 4 c n i,j 1+ (5.5) +a 5 c n i+1,j+1 + a 6 c n i+1,j 1 + a 7 c n i 1,j+1 + a 8 c n i 1,j 1. Współczynniki w tym wypadku wynoszą odpowiednio: b 0 = 1 + Cr d y + Cr d x + Cr d xcr d y, (5.6) b 1 = Cr a x 4 Cr d x + Cr a xcr d y 4 b = Cr a x 4 Cr d x Cr a xcr d y 4 Cr d xcr d y, Cr d xcr d y, 8

95 5. Dokładność błąd obcięcia b 3 = Cr a y 4 Cr d y + Cr a ycr d x 4 b 4 = Cr a y 4 Cr d y Cr a ycr d x 4 Cr d xcr d y, Cr d xcr d y, b 5 = Cr a xcr a y 16 Cr a xcr d y 8 Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y, 4 b 6 = Cr a xcr a y 16 Cr a xcr d y 8 + Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y, 4 b 7 = Cr a xcr a y 16 + Cr a xcr d y 8 Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y, 4 b 8 = Cr a xcr a y 16 + Cr a xcr d y 8 + Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y, 4 a 0 = 1 Cr d y Cr d x + Cr d xcr d y, a 1 = Cr a x 4 + Cr d x + Cr a xcr d y 4 a = Cr a x 4 + Cr d x Cr a xcr d y 4 a 3 = Cr a y 4 + Cr d y + Cr a ycr d x 4 a 4 = Cr a y 4 + Cr d y Cr a ycr d x 4 Cr d xcr d y, Cr d xcr d y, Cr d xcr d y, Cr d xcr d y, a 5 = Cr a xcr a y 16 Cr a xcr d y 8 Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y 4 + Cr d xy, a 6 = Cr a xcr a y 16 Cr a xcr d y 8 + Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y 4 Cr d xy, a 7 = Cr a xcr a y 16 + Cr a xcr d y 8 Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y 4 Cr d xy, a 8 = Cr a xcr a y 16 + Cr a xcr d y 8 + Cr a ycr d x 8 + Cr d xcr d y 4 + Cr d xy. Kolejne etapy wykonujemy analogicznie jak w przypadku ogólnej dyskretyzacji, czyli na początku każdy człon równania (5.5) zastępujemy jego rozwinięciem w szereg Taylora. 83

96 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH Wykorzystując (5.4) i (5.5), po uproszczeniu otrzymujemy równanie zmodyfikowane dla metody ADI: c t + v c x x + v c y y + t c t D c xx x D c yy y D c xy x y + + v x t c x t + v y t c y t + t 3 c 6 t + v x x 3 c 3 6 x + v y y 3 6 D xx t 3 c x t D yy t 3 c y t + v x t 3 c 4 x t + v y t 4 3 c y + v xv y t c x y t + 3 c y t = 0. (5.7) Równanie to można zapisać w takiej samej postaci jak równanie (5.8), z tym że współczynniki w tym wypadku wynoszą: a = v x x, l = v x t 6, b = v y y, m = v y t 6, d = v x, n = t 6, e = v y, o = v xv y t, 4 f = t, p = D xx t, (5.8) g = D xx, q = D yy t, h = D yy, r = v x t, 4 k = D xy, z = v y t. 4 Po wyeliminowaniu pochodnych czasowych, które zastępujemy wyznaczonymi w poprzednim podrozdziale formułami (5.10) (pamiętając o innych wartościach współczynników a, b,..., z), po przekształceniach uwzględniających pochodne do trzeciego rzędu, otrzymujemy równanie zmodyfikowane w formie pozwalającej na interpretację błędu obcięcia: c t + v c x x + v c y y D c xy x y D c xx x D c yy y = [ v 3 = x t + v x x ] 3 [ c v x + y t + v y y ] 3 c y +v 3 c x td 3 xy x y +v 3 c y td xy x y. (5.9) 84

97 5. Dokładność błąd obcięcia Składowe tensorów dyfuzji i dyspersji numerycznej zebrano w tabeli 5.3. Analogicznie jak dla schematu CN w przypadku metody ADI składowe tensora dyfuzji numerycznej wynoszą zero, niezerowe pozostają wartości współczynników dyspersji numerycznej, co również jak w przypadku CN może powodować niefizyczne oscylacje. Podobnie nie widać też różnicy między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym (patrz rys. 5.3). Dokładne porównanie rozwiązania numerycznego z rozwiązaniem analitycznym i pozostałymi schematami przedstawiono w rozdziale 7. Tabela 5.3: Wartości współczynników tensorów dyfuzji i dyspersji numerycznych dla schematu ADI Metoda ADI D11 N D1 N D1 N D N T11 N T1 N T1 N T N v x x [ (Cr a x ) + 1 ] [ ] v x D xy t v y D xy t v y y (Cr a y ) (a) Rozwiązanie analityczne (b) Rozwiązanie numeryczne, schemat UP Rysunek 5.3: Rozwiązanie analityczne (a) i numeryczne z użyciem schematu ADI (b) po 1150 sekundach; parametry symulacji: v x = v y = 0, 106 m s, D xx = D yy = 0, 45 m s, D xy = D yx = 0, 35 m s, x = y = 1 m and t = 0, 5 s; masa M = 10 j. a. została zrzucona w punkcie x 0 = 50 m, y 0 = 50 m w czasie t 0 = 0 s 85

98 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH 5.3 Stabilność i szybkość obliczeń Ważnym z praktycznego punktu wiedzenia aspektem w trakcie numerycznego rozwiązywania równań jest szybkość obliczeń. Zwłaszcza w sytuacji awarii (np. nagłego zrzutu zanieczyszczeń) zainteresowani jesteśmy jak najszybszym otrzymaniem wyników określających przewidywany rozkład koncentracji. W tabeli 5.4 przedstawiono średni czas użycia procesora (CPU time) i czas rzeczywisty (real time) w pojedynczym kroku czasowym dla przykładowych parametrów symulacji z użyciem różnych metod. Obliczenia przeprowadzane były na komputerze klasy PC z procesorem Intel(R) Pentium(R) 4,60 GHz. Różnice między metodami są tym bardziej widoczne im większa jest liczba węzłów siatki obliczeniowej (patrz rys. 5.4). Tabela 5.4: Średni czas użycia procesora (CPU time) i czas rzeczywisty (real time) w pojedynczym kroku czasowym w przypadku różnych metod dla przykładowych parametrów symulacji: v x = v y = 0, m s, D L = D T = 0, 5 m s, t = 0, 5 s, x = y = 1, 0 m; średni czas CPU i czas rzeczywisty dla pojedynczego kroku został znormalizowany do średniego czasu w przypadku najszybszej metody UP; testy przeprowadzono na komputerze z procesorem: Intel(R) Pentium(R) 4,60 GHz, i pamięcią RAM: 104 MB Schemat Metoda rozw. Średni czas symulacji w pojedynczym kroku numeryczny układu równań wall clock (real) time CPU (processor) time UP 1 1 CN J 19,98 18,7 CN G-S 1,98 1,9 CN SOR ω=1,1 9,4 8,56 CN SOR ω=1,15 6,97 6,55 ADI J 41,40 38,03 ADI G-S 8,41 6,8 ADI SOR ω=1,1 0,0 18,79 ADI T 4,57 4,30 optymalny parametr relaksacji dla danego schematu i parametrów symulacji; 86

99 5.3 Stabilność i szybkość obliczeń Średni czas użycia procesora w pojedynczym kroku czasowym Rysunek 5.4: Średni czas użycia procesora (CPU time) w pojedynczym kroku czasowym; procesor: Intel(R) Pentium(R) 4,60 GHz, RAM: 104 MB; średnia obliczano na podstawie 100 pomiarów czasu użycia procesora w pojedynczym kroku czasowym; N liczba węzłów siatki Najszybsza jest jawna metoda UP, która jednak nie jest metodą dokładną, jak pokazano powyżej może generować dużą dyfuzję numeryczną. Poz tym metoda ta jest metodą warunkowo stabilną, co narzuca ograniczenia na wybrany krok czasowy. Stabilność oznacza tutaj zdolność schematu do tłumienia przypadkowych zakłóceń rozwiązania podczas obliczeń (Szymkiewicz, 000, 003). Zakłóceniami takimi mogą być np. błędy zaokrągleń związane ze skończoną reprezentacją liczb w komputerze. Schematy numeryczne możemy ogólnie podzielić na: absolutnie stabilne schematy, które są zawsze stabilne, niezależnie od wybranych parametrów siatki obliczeniowej nie powodują lawinowego wzrostu błędów w trakcie obliczeń; 87

100 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH absolutnie niestabilne schematy dla których zawsze, niezależnie od wybranych rozmiarów oczek siatki obliczeniowej, otrzymujemy rozwiązania niestabilne; warunkowo stabilne schematy zapewniający stabilne rozwiązania dla odpowiednio dopranych parametrów, warunki jakie parametry te muszą spełniać nazywamy kryterium stabilności. Stabilne rozwiązania w przypadku schematu UP uzyskuje się, gdy spełniony jest warunek (Dehghan, 004; Noye & Tan, 1989): ( Cr d x + Cr d y) + Cr a x + Cr a y 1. (5.30) W tabeli 5.5 przedstawiono przykłady kiedy schemat UP daje stabilne lub niestabilne rozwiązania w zależności od wybranego kroku czasowego t dla ustalonych pozostałych parametrów. Przykłady te zobrazowano na rysunku 5.5, przedstawiając wyniki symulacji po 100 krokach czasowych. Aby wyeliminować dodatkowe błędy związane z dużym gradientem wartości koncentracji na siatce obliczeniowej, koncentrację początkową zadano rozkładem Gaussa. Tabela 5.5: Stabilność schematów dla przykładowych parametrów; stabilność określano na podstawie symulacji przeprowadzanych dla v x = v y = 0, 106 m s i D L = 0, 75 m s, D T = 0, 1 m s ; wyniki symulacji po 100 krokach czasowych przedstawione zostały na rys. 5.7 Parametry Kryt. stabilności UP Stabilność Lp. x = y [m] t [s] Cr a x + Cr a y Cr d x + Cr d y UP CN ADI ,5 0,106 0,45 stab. stab. stab.. 1 0,6 0,17 0,510 niestab. stab. stab ,65 0,138 0,55 niestab. stab. stab ,7 0,148 0,595 niestab. stab. stab ,8 0,170 0,680 niestab. stab. stab ,1 0,850 niestab. stab. stab. 88

101 5.3 Stabilność i szybkość obliczeń UP: t = 0,5 s UP: t = 0,6 s UP: t = 0,65 s UP: t = 0,7 s UP: t = 0,8 s UP: t = 1 s Rysunek 5.5: Wyniki symulacji z użyciem schematu UP po 100 krokach czasowych dla różnych wartości kroku czasowego; parametry symulacji: v x = v y = 0, 106 m s D L = 0, 75 m s, D T = 0, 1 m s, x = y = 1 m 89

102 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH UP: t = 1 s, 100 kroków (a) CN: t = 1 s, 100 kroków ADI: t = 1 s, 100 kroków (b) (c) Rysunek 5.6: Wyniki symulacji z użyciem schematu UP (a), CN (b) i ADI (c) po 100 krokach czasowych dla kroku czasowego t = 1 s; parametry symulacji: v x = v y = 0, 106 m s i D L = 0, 75 m s, D T = 0, 1 m s, x = y = 1 m 90

103 5.3 Stabilność i szybkość obliczeń CN: t = 10 s, 10 kroków ADI: t = 10 s, 10 kroków (a) (b) Rysunek 5.7: Wyniki symulacji z użyciem schematu CN (a) i ADI (b) po 10 krokach czasowych dla kroku czasowego t = 10 s; parametry symulacji: v x = v y = 0, 106 m s i D L = 0, 75 m s, D T = 0, 1 m s, x = y = 1 m Stosując metodę CN lub ADI zadany krok czasowy t może być znacznie większy niż w przypadku UP, co w rzeczywistości oznacza szybsze otrzymanie rozwiązania. Gdy dla tych samych parametrów w przypadku schematu UP (rys. 5.6(a)) dla kroku czasowego t = 1 s otrzymujemy niestabilne rozwiązanie, w przypadku CN (rys. 5.6(b)) i ADI (rys. 5.6(c)) otrzymujemy rozwiązanie dokładne. Zwiększając krok czasowy do t = 10s, nadal otrzymujemy rozwiązanie o wysokiej dokładności wykonując jednak zamiast 100 tylko 10 kroków czasowych (rys. 5.7). Pożądane rozwiązanie po 100 s otrzymujemy w tym wypadku 10 razy szybciej. Jest to możliwe ponieważ obie metody CN i ADI są bezwarunkowo stabilne (Fletcher, 1991; McKee et al., 1996; Noye & Tan, 1989) i jak pokazano powyżej, nie generują dyfuzji numerycznej. Ponieważ są one metodami niejawnymi, uzyskanie rozwiązania, jak wspomniano w rozdziale poprzednim, wymaga rozwiązania układu równań linowych, co w przypadku dużej liczby punktów siatki, może być czasochłonne. Na wykresie (rys. 5.5) widać, że zastosowanie metody ADI prowadzącej do dwóch trójdiagonalnych układów równań, które mogą być rozwiązane przy pomocy analitycznej metody Thomasa, pozwala na relatywnie szybkie uzyskanie rozwiązania. W dodatku wybrany krok czasowy może być dużo większy niż w przypadku schematu UP. Mogą jednak tu pojawić się niefizyczne oscylacje z powodu omawianej wcześniej dyspersji numerycznej. 91

104 5. WŁASNOŚCI ROZWAŻANYCH SCHEMATÓW NUMERYCZNYCH Problem pojawia się wraz ze wzrostem tzw. liczby Pecleta (rys. 5.8). Liczba Pecleta (Pe) definiuje stosunek członu adwekcyjnego do członu dyfuzyjnego w równaniu transportu (Szymkiewicz, 000): gdzie: U średnia prędkość przepływu, D współczynnik dyfuzji. P e = U x D, (5.31) W dwóch wymiarach możemy ją zapisać jako: P e x = v x x D xx, P e y = v y y D yy. (5.3) Spotykana jest również definicja liczby Pecleta w postaci (Fabritz, 1995): (vx / x) + (v y / y) P e = (D xx / x ) + (D yy / y ) (D xy /( x y)). (5.33) W przypadku rozważanego w pracy dwuwymiarowego równania transportu, współczynniki dyspersji w równaniu są na tyle duże, że człon dyfuzyjny działa wygładzająco, tłumiąc oscylacje. Problem oscylacji może być również redukowany przez zmniejszenie kroków przestrzennych. W sytuacji, gdy człon adwekcyjny w równaniu jest członem dominującym, należałoby zastosować schematy numeryczne takie jak np. QUICKEST (ang. Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics with Estimated Streaming Terms), ULTIMATE QUICKEST, TVE (ang. Total Variation Diminishing), ADI- QUICK (ang. Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics) (szczegóły dotyczące schematów patrz np.: Balzano, 1999; Guan & Zhang, 005; Szymkiewicz, 000; Wu & Falconer, 1998), lub schemat UP, w którym w każdym kroku czasowym, współczynniki dyfuzji występujące w równaniu są korygowane na podstawie wyznaczonego błędu dyfuzji numerycznej. 9

105 5.3 Stabilność i szybkość obliczeń CN: P e x = P e y =, 49, P e =, 85 ADI: P e x = P e y =, 49, P e =, 85 CN: P e x = P e y = 4, 99, P e = 5, 71 ADI: P e x = P e y = 4, 99, P e = 5, 71 CN: P e x = P e y = 4, 94, P e = 8, 55 ADI: P e x = P e y = 4, 94, P e = 8, 55 Rysunek 5.8: Niefizyczne oscylacje rozwiązania; wyniki symulacji z użyciem schematów CN i ADI po 100 krokach czasowych dla różnych wartości liczby Pecleta; x = y = 1 m, t = 1s, P e x = vx x D xx, P e y = vy y D yy, P e = (vx/ x) +(v y/ y) (D xx/ x )+(D yy/ y ) (D xy/( x y)) 93

106

107 Rozdział 6 Opis programu RivMix 6.1 Wstęp Dwuwymiarowy model numeryczny rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w powierzchniowych wodach płynących RivMix (ang. River Mixing Model) został zaimplementowany z użyciem języka C++ pod systemem operacyjnym Linux. Do wizualizacji wyników wykorzystany został pakiet służący do analizy danych ROOT (Object Oriented Data Analysis Framework), stworzony w Europejskim Laboratorium Fizyki Cząstek Elementarnych CERN (Brun & Rademakers, 1997). Pakiet ten jest napisany w języku C++, co umożliwia łatwą integrację z kodem modelu numerycznego. Program składa się z 17 klas zapisanych w ok linii kodu. Poniżej opisano szczegółowo parametry kontrolujące przebieg symulacji (rozdział 6.), oraz strukturę i algorytm programu (rozdział 6.3). 6. Parametry symulacji Przebieg symulacji jest kontrolowany przez szereg parametrów wczytywanych z plików konfiguracyjnych. W ten sposób zadawane są między innymi: kształt obszaru przepływu, kroki czasowe i przestrzenne oraz schemat numeryczny. Podstawowe parametry symulacji zawiera plik param.txt: Format pliku param.txt flag t x y t Sch tensor v x v y D L D T 95

108 6. OPIS PROGRAMU RIVMIX ˆ flag parametr determinujący format pliku wejściowego określającego siatkę obliczeniową: flag = 0 symulacja uruchamiana jest dla stałego pola prędkości i współczynników dyspersji poprzecznej i podłużnej; punkty siatki czytane są z pliku grid.txt; flag = 1 symulacja dla stałych współczynników dyspersji poprzecznej i podłużnej; pole prędkości i siatka punktów czytane są z pliku v.txt; flag = pole prędkości, tensor dyspersji (D xx, D xy, D yy ) i siatka punktów czytane są z pliku data.txt; flag = 3 symulacja dla stałego pola prędkości; siatka punktów i tensor dyspersji czytane z pliku d.txt; Format pliku grid.txt x y x, y współrzędne węzłów siatki Format pliku v.txt x y v x v y v x, v y składowe prędkości w danym punkcie Format pliku data.txt x y v x v y D xx D xy D yy D xx, D xy, D yy składowe tensora dyspersji Format pliku d.txt x y D xx D xy D yy ˆ t liczba kroków czasowych, dla których ma być wykonana symulacja; ˆ Sch schemat numeryczny, który zostanie użyty do obliczeń; możliwe wartości: cn, up, adi lub adi, określające schemat Cranka-Nicolsona, PodPrąd i Metodę Kierunków Naprzemiennych w dwóch możliwych wersjach; ˆ t krok czasowy [s]; ˆ x i y kroki przestrzenne definiujące rozmiar oczek siatki obliczeniowej [m]; ˆ v x i v y wartości składowych prędkości [ ] m s, gdy wartości są stałe na całej siatce obliczeniowej (parametr flag wynosi 0 lub 3); ˆ D L i D T wartości współczynników dyspepsji [ ] m, gdy wartości są stałe na całej siatce obliczeniowej (parametr flag wynosi 0 lub 1); s 96

109 6.3 Algorytm ˆ tensor metoda wyznaczania składowych tensora dyspersji (D xx, D xy, D yy ) na podstawie współczynników D L i D T (obrót, quasi-obrót, obrót wektora lub przekształcenie tożsamościowe, patrz rozdział 3); ˆ M, ω metoda rozwiązywania układu równań i parametr relaksacji; czytane z dodatkowego pliku wejściowego method.txt jeżeli istnieje taka potrzeba. Format pliku method.txt M ω 6.3 Algorytm Algorytm programu został schematycznie przedstawiony na rysunkach 6., 6.3 i 6.5. Poniżej opisano poszczególne jego etapy: 1. Inicjalizacja parametrów symulacji W pierwszym etapie inicjalizowane są parametry symulacji: flag, liczba kroków czasowych t, t, x, y, schemat Sch, metoda obliczania tensora dyspersji tensor, v x, v y, D L, D T.. Przygotowanie siatki obliczeniowej Siatka obliczeniowa konstruowana jest na podstawie pliku wejściowego grid.txt, v.txt, data.txt, lub d.txt, a następnie przechowywana w słowniku z kolekcji standardowej C++ (STL). Rodzaj siatki jest reprezentowany przy użyciu mechanizmu obiektowego dziedziczenia dostępnego w języku C++. Schemat dziedziczenia przedstawia rysunek 6.1. Jeżeli program uruchomiono z parametrem flag równym 0 lub 1 wyznaczane są również składowe tensora dyspersji. Rysunek 6.1: Schemat dziedziczenia dla klas reprezentujących siatkę obliczeniową 97

110 6. OPIS PROGRAMU RIVMIX Rysunek 6.: Schemat blokowy modelu RivMix program główny; poszczególne etapy zostały omówione w rozdziale 6.3; blok proceduralny 5 Obliczanie wartości koncentracji w następnym kroku czasowym został przedstawiony na rysunku

111 6.3 Algorytm 3. Formułowanie warunków początkowo-brzegowych Oznaczane są punkty brzegowe. Obszary, na których następuje wpływ lub wypływ są oznaczane na podstawie dodatkowego pliku InOut.txt. na tym etapie inicjalizowane są początkowe wartości koncentracji. Wyznaczane są również maksymalne wartości liczb Couranta i Pecleta, których wartości są pomocne przy sprawdzaniu warunku stabilności lub możliwości wystąpienia niefizycznych oscylacji (patrz rozdział 5). Format pliku InOut.txt rodzaj x 1 x y 1 y rodzaj określa rodzaj wejścia; możliwe wartości: in lub out x 1, x, y 1, y współrzędne x i y punktu początkowego i końcowego danego wejścia 4. Zapis koncentracji początkowej do pliku Koncentracja początkowa jest zapisywana do pliku tekstowego: grid Conc Sch 0.txt, gdzie Sch przyjmuje wartość kodu użytego schematu numerycznego np. cn. Format pliku grid Conc Sch 0.txt x y Conc Conc wartość koncentracji 5. Wyznaczanie koncentracji w n+1 kroku czasowym W kolejnym etapie, który wykonywany jest zadaną liczbę kroków t, wyznaczana jest koncentracja w następnym kroku czasowym. Etap ten zależy od rodzaju wybranego schematu i metody do rozwiązywania układu równań. Został on szczegółowo pokazany na rysunku 6.3. Podobnie jak w przypadku rodzaju siatki obliczeniowej schemat numeryczny rozwiązywania równania transportu jest określany przez mechanizm dziedziczenia (rys. 6.4) i polimorfizmu 1 (Stroustrup, 000). W zależności od wybranego do obliczeń schematu numerycznego: ADI lub ADI wartości koncentracji w n + 1 kroku czasowym wyznaczane są w dwóch etapach, w zależności od wybranej metody, otrzymane układy rów- 1 Polimorfizm w programowaniu obiektowym to wykazywanie przez metodę różnych form działania w zależności od tego jaki typ obiektu jest wskazywany przez wskaźnik lub referencję 99

112 6. OPIS PROGRAMU RIVMIX Rysunek 6.3: Schemat blokowy modelu RivMix Obliczanie wartości koncentracji w następnym kroku czasowym; opis schematów używanych numerycznych znajduje się w rozdziale 4; blok proceduralny Iteracyjne rozw. ukł. rów. został przedstawiony na rysunku

113 6.3 Algorytm Rysunek 6.4: Schemat dziedziczenia dla klas reprezentujących rozważane metody numeryczne nań rozwiązywane są z użyciem algorytmu Thomasa lub iteracyjnie (rys. 6.5) metodą nadrelaksacji, Gaussa-Seidela lub Jacobiego; CN wartości koncentracji w n + 1 kroku czasowym wyznaczane są przy użyciu wybranej metody iteracyjnej (rys. 6.5) nadrelaksacji, Gausa-Seidela lub Jacobiego, do rozwiązania otrzymanego układu równań; UP wartości w n + 1 kroku czasowym wyznaczane są bezpośrednio na podstawie kroku poprzedniego. Jeżeli używana jest metoda nadrelaksacji (SOR), a parametr relaksacji nie został podany w pliku wejściowym, zostaje wywołana funkcja, która dla danych parametrów symulacji i wielkości siatki obliczeniowej dobiera optymalny parametr. Przeprowadzany jest szereg symulacji w pierwszym kroku czasowym dla różnych wartości parametru relaksacji ω. Jako optymalna wartość zostaje wybrany parametr dla którego wykonano najmniejszą liczbę iteracji dla uzyskania wyniku z żądaną precyzją. 6. Zapis obliczonych wartości do pliku Obliczone w kolejnym kroku czasowym wartości koncentracji zapisywane są do pliku tekstowego. Możliwy jest zapis wszystkich lub tylko wybranych kroków czasowych, do jednego lub wielu plików. Zapisywane są współrzędne punktu x, y Format pliku grid Conc Sch t.txt opcja I i wartość koncentracji x y Conc w danym punkcie. 101

114 6. OPIS PROGRAMU RIVMIX Rysunek 6.5: Schemat blokowy modelu RivMix Iteracyjne rozw. ukł. rów.; k + 1 oznacza kolejną iteracje w trakcie rozwiązywania układu równań w danym kroku czasowym n; opis metod iteracyjnych znajduje się w rozdziale

115 6.3 Algorytm Można również zapisać wartości składowych prędkości i tensora dyspersji dla każdego punktu siatki. Format pliku grid Conc Sch t.txt opcja II x y v x v y D xx D xy D yy Conc Należy jednak pamiętać, że dla dużych siatek rozmiary otrzymywanych plików mogą być bardzo duże (np. dla siatki o rozmiarach 50 50, rozmiar pliku z wartościami koncentracji w pojedynczym kroku czasowym wynosi ok. 1- MB). 7. STOP Program kończy się po wykonaniu zadanej liczby kroków czasowych t. 103

116

117 Rozdział 7 Weryfikacja modelu 7.1 Wstęp Działanie zaimplementowanego w pracy modelu numerycznego RivMix, oraz użytych schematów numerycznych, zweryfikowano porównując otrzymywane wyniki symulacji z rozwiązaniem analitycznym, w przypadku w którym rozwiązanie takie można wyznaczyć (rozdział 7.). Porównano również wyniki symulacji z rozkładami koncentracji otrzymanymi podczas eksperymentu znacznikowego w dwudzielnym kanale laboratoryjnym (rozdział 7.3). W pierwszym wypadku dokonano analizy z użyciem różnych zaimplementowanych schematów numerycznych: UP, CN i ADI, dla chwilowego i ciągłego zrzutu zanieczyszczeń. W przypadku kanału laboratoryjnego z ciągłym dopływem znacznika, w trakcie symulacji użyto najbardziej efektywnego schematu ADI. Oprócz testów przedstawionych w niniejszym rozdziale, działanie modelu ilustrują testy przeprowadzone w rozdziale 3, w którym szczególny nacisk położono na różne metody wyznaczania tensora dyspersji. W rozdziale tym rozważano sytuacje dla chwilowego i ciągłego zrzutu zanieczyszczeń, w przypadku prostego kanału sytuowanego pod różnymi kątami w stosunku do osi x układu współrzędnych. Do symulacji, podobnie jak w przypadku kanału laboratoryjnego, wykorzystano najszybszą metodę ADI. 7. Szeroki kanał prostokątny Do testów wybrano szeroki, prostokątny kanał, dla którego istnieje możliwość wyznaczenia rozwiązania analitycznego. Kanał ten opisano w rozdziale 3 i schematycznie przed- 105

118 7. WERYFIKACJA MODELU Tabela 7.1: Parametry symulacji używane w przeprowadzonych testach Składowe Współczynniki Kroki Krok prędkości dyspersji przestrzenne czasowy [ ] [ ] [ ] [ ] v m x v m s y D m s L D m s T s x[m] y[m] t[s] 0, 106 0, 106 0, 75 0, , 5 stawiony na rysunku 3.5. Aby można było skorzystać z rozwiązania analitycznego (zdefiniowanego równaniem.13) obliczenia prowadzono daleko od brzegów, dla stałych wartości współczynników dyspersji, stałego pola prędkości i stałej głębokości kanału. Parametry symulacji przedstawiono w tabeli 7.1. Wartości parametrów przepływu i współczynniki dyspersji podłużnej i poprzecznej przyjęto tak, aby znajdowały się one w rzeczywistym zakresie tych wielkości. W rozważanym przypadku odpowiadają one wartościom wyznaczonym podczas eksperymentu znacznikowego dla rzeki Górnej Narwi na jej początkowym odcinku 5,75 km od punktu zrzutu. Dane zostały zaczerpnięte z prac (Rowiński et al., 003a,b). Kroki czasowe i przestrzenne dobrano tak aby omawiane schematy były stabilne i aby nie wystąpiły niefizyczne oscylacje. W szczególności aby schemat UP był stabilny należało przyjąć krok czasowy t = 0, 5 sekundy. Koncentrację początkowa, zadawano w taki sposób aby nie wpływała na dokładność otrzymywanych wyników, czyli tak by w krokach początkowych nie powstawały duże gradienty koncentracji na siatce obliczeniowej (które występują, gdy koncentracja początkowa zadawana jest w 1 punkcie przy pomocy delty Diraca). Dla tak dobranego zestawu parametrów przeprowadzono szereg symulacji z rozważanymi w pracy schematami numerycznymi: UP, CN i ADI. W przypadku chwilowego i ciągłego zrzutu wykonano odpowiednio 000 i 5000 kroków czasowych dla każdego z rozważanych schematów. Rozmiar siatki obliczeniowej wynosił punktów w obu przypadkach. Dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń wyniki otrzymane przy pomocy różnych schematów numerycznych, porównano z rozwiązaniem analitycznym. W przypadku ciągłego zrzutu wyniki dla różnych schematów porównano między sobą. 106

119 7. Szeroki kanał prostokątny 7..1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń W przypadku chwilowego zrzutu zanieczyszczeń, który w praktyce może wystąpić w sytuacji nagłej awarii, rozważano zrzut masy M = 10 jednostek arbitralnych w punkcie x 0 = y 0 = 50 m. Koncentracja początkową zadawano przy użyciu rozwiązania analitycznego, wyznaczonego po 150 sekundach dla takich samych parametrów jak parametry symulacji. Rozkład koncentracji początkowej przedstawiono na rysunku 7.1. Na rysunkach przedstawiono wyniki symulacji (rys. 7.(a), 7.3(a) i 7.4(a)) oraz rozwiązanie analityczne (rys. 7.5) po 750 sekundach od chwili zrzutu. Na wykresach widzimy dwuwymiarowe rozkłady koncentracji c(x, y), dla których położenie maksimum wskazują wartości Mean x i Mean y. RMS x i RMS y oznacza tutaj odchylenie standardowe rzutów rozkładu koncentracji odpowiednio na oś x i y. Wartość zmiennej Integral jest całkowitą masą na siatce obliczeniowej, która jak widać na rysunkach 7.(d) 7.(f), 7.3(d) 7.3(f) i 7.4(d) 7.4(f) nie zmienia się (jest równa zrzuconej w chwili początkowej wartości 10 j. a.), wskazując że rozważane schematy numeryczne zachowują masę. Obok rozkładu koncentracji dla danego schematu numerycznego przedstawiono histogram z różnicą między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym (rys. 7.(b), 7.3(b) i 7.4(b)), który daje informację na temat rzędu wielkości otrzymywanych błędów. Rysunek 7.1: Koncentracja początkowa w przeprowadzonych testach z chwilowym zrzutem zanieczyszczeń (rozwiązanie analityczne po 150 sekundach od zrzutu) 107

120 7. WERYFIKACJA MODELU (a) Rozwiązanie numeryczne, schemat UP (b) Różnica między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym z użyciem schematu UP (c) Przekrój rozwiązania wzdłuż prostej prostopadłej do y = x i przechodzącej przez punkt (Mean x, Mean y) (d) 50s (e) 500s (f) 1000s Rysunek 7.: Wyniki symulacji z użyciem schematu UP po 750 sekundach rys. (a), (b) i (c), oraz rys (d), (e), (f) ilustrujące przebieg symulacji w czasie 108

121 7. Szeroki kanał prostokątny (a) Rozwiązanie numeryczne, schemat CN (b) Różnica między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym z użyciem schematu CN (c) Przekrój rozwiązania wzdłuż prostej prostopadłej do y = x i przechodzącej przez punkt (Mean x, Mean y) (d) 50s (e) 500s (f) 1000s Rysunek 7.3: Wyniki symulacji z użyciem schematu CN po 750 sekundach rys. (a), (b) i (c), oraz rys (d), (e), (f) ilustrujące przebieg symulacji w czasie 109

122 7. WERYFIKACJA MODELU (a) Rozwiązanie numeryczne, schemat ADI (b) Różnica między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym z użyciem schematu ADI (c) Przekrój rozwiązania wzdłuż prostej prostopadłej do y = x i przechodzącej przez punkt (Mean x, Mean y) (d) 50s (e) 500s (f) 1000s Rysunek 7.4: Wyniki symulacji z użyciem schematu ADI po 750 sekundach rys. (a), (b) i (c), oraz rys (d), (e), (f) ilustrujące przebieg symulacji w czasie 110

123 7. Szeroki kanał prostokątny Rysunek 7.5: Rozwiązanie analityczne po 750 sekundach Na rysunkach 7.(c), 7.3(c) i 7.4(c) widzimy przekrój rozwiązania wzdłuż prostej prostopadłej do y = x i przechodzącej przez punkt odpowiadający maksymalnej wartości koncentracji w danej chwili czasowej. Na każdym z wykresów umieszczono dla porównania, razem z przekrojem rozwiązania numerycznego, taki sam przekrój rozwiązania analitycznego. Różnice między rozwiązaniem analitycznym a rozwiązaniem numerycznym przy użyciu schematu UP są ewidentne. Różnica zarówno w kształcie jak i w wartości maksymalnej koncentracji jest doskonale widoczna. Maksymalna różnica po 750 sekundach (rys. 7.(b)) wynosi około 10 % wartości maksymalnej koncentracji w rozwiązaniu analitycznym. W przypadku schematów CN i ADI trudno zauważyć różnicę między otrzymanymi rozwiązaniami numerycznymi i analitycznym. Maksymalna różnica w obu przypadkach jest rzędu około 0,5 % wartości maksimum koncentracji. Na przekrojach 7.3(c) i 7.4(c) widzimy perfekcyjną zgodność z rozwiązaniem analitycznym. W przypadku schematu UP 7.(c) obserwujemy efekt szybszego rozpływania się plamy zanieczyszczeń, będący skutkiem opisywanej w rozdziale 5 dyfuzji numerycznej. Różnica między rozwiązaniem analitycznym i numerycznym zwiększa się wraz z czasem symulacji (patrz rys. 7.6). Rozmycie plamy w trakcie symulacji można określić obserwując np. wartości odchylania standardowego rzutów rozkładu koncentracji na oś x i y oznaczone na rysunkach przez RMS x i RMS y. Na wykresie 7.7 przedstawiono różnicę między wartością 111

124 7. WERYFIKACJA MODELU (a) 50 s - po 00 krokach czasowych symulacji (b) 500 s - po 700 krokach czasowych symulacji (c) 1000 s - po 1700 krokach czasowych symulacji Rysunek 7.6: Przekrój rozwiązania numerycznego i analitycznego wzdłuż prostej prostopadłej do y = x i przechodzącej przez punkt, w którym znajduje się maksimum rozkładu w danej chwili czasowej 11

125 7. Szeroki kanał prostokątny Rysunek 7.7: Różnica odchylenia standardowego rzutu rozwiązania numerycznego σx S i rozwiązania analitycznego σx A na oś x w kolejnych krokach czasowych, znormalizowana do σx A odchylenia standardowego otrzymywanego w danym kroku czasowym w trakcie symulacji (σx) S i odchylenia standardowego rozwiązania analitycznego (σx). A Różnicę tą znormalizowano do wartości odchylenia standardowego rozwiązania analitycznego (σx). A Analogicznie zachowują się wartości RMS y. Dla schematów CN i ADI różnica ta jest bliska zera, natomiast w przypadku UP rośnie wraz z liczbą wykonanych kroków czasowych. 7.. Ciągły dopływ zanieczyszczeń Kolejnym wariantem, dla którego wykonano testy numeryczne, jest ciągły dopływ zanieczyszczeń występujący np. w przypadku wpuszczania zanieczyszczeń termicznych do rzek przez elektrociepłownie. Ciągły dopływ zanieczyszczeń w trakcie symulacji zrealizowano w taki sposób, że w każdym kroku czasowym przybywa masy odpowiadającej 10 jednostkom arbitralnym. Źródło analogicznie jak w przypadku chwilowego zrzutu nie jest zlokalizowane w jednym punkcie, lecz aby uniknąć dużych gradientów koncentracji na siatce obliczeniowej, zostało rozmyte na kilka sąsiednich punktów. W każdym kroku czasowym koncentracja zwiększa się w odpowiednich w punktach siatki 113

126 7. WERYFIKACJA MODELU o zadaną wartość val: ˆ val = 1 j.a w punkcie x = 100, y = 100, ˆ val = 0, 5 j.a. w 8 punktach wokół (x, y) = (100, 100), ˆ val = 0, 315 j.a. w 16 punktach. Rozkład koncentracji w chwili początkowej przedstawiono na rysunku 7.8. Na rysunku 7.9 widzimy wyniki symulacji po 3000 krokach czasowych symulacji odpowiednio dla schematu CN (rys. 7.9(a)), ADI (rys. 7.9(b)) i UP (rys. 7.9(c)). Na wykresach 7.10 znajdują się przekroje rozwiązania wzdłuż prostej y = x (rys. 7.10(a)) oraz wzdłuż prostej do niej prostopadłej przechodzącej przez środek kanału (rys. 7.10(b)). Analogicznie jak w przypadku chwilowego zrzutu obserwujemy szybsze rozpływanie się plamy zanieczyszczeń w przypadku schematu UP. Maksymalna wartość koncentracji ustala się na innym poziomie niż w przypadku schematów ADI i CN, dla których otrzymujemy niemal identyczne rozwiązania. Plama zanieczyszczeń dociera później w przypadku schematu UP do przekroju przez środek kanału niż w przypadku schematów CN i ADI. Rysunek 7.8: Koncentracja początkowa w przeprowadzonych testach z ciągłym dopływem zanieczyszczeń 114

127 7. Szeroki kanał prostokątny (a) Rozwiązanie numeryczne, schemat CN (b) Rozwiązanie numeryczne, schemat ADI (c) Rozwiązanie numeryczne, schemat UP Rysunek 7.9: Wyniki symulacji dla ciągłego zrzutu po 1500 sekundach dla rozważanych schematów numerycznych 115

128 7. WERYFIKACJA MODELU (a) (b) Rysunek 7.10: Przekrój rozwiązania numerycznego z użyciem różnych schematów: (a) wzdłuż prostej y = x; (b) wzdłuż prostej prostopadłej do y = x, przechodzącej przez środek kanału 116

129 7.3 Dwudzielny kanał laboratoryjny 7.3 Dwudzielny kanał laboratoryjny Uzyskanie rzeczywistych danych do weryfikacji modelu wymaga dokładnych pomiarów pola prędkości oraz przeprowadzenia dwuwymiarowego eksperymentu znacznikowego. W praktyce jest to kosztowne przedsięwzięcie, wymagające użycia aparatury, która w trakcie przygotowywania pracy nie była dostępna. Przeprowadzenie takich pomiarów znacząco wykracza poza ramy niniejszej pracy. O złożoności tego typu eksperymentów świadczy znikoma ilość danych doświadczalnych dotyczących dwuwymiarowego problemu przenoszenia masy w kanałach otwartych. W celu dokonania jakościowej weryfikacji modelu dla realistycznych wartości pola prędkości i współczynników dyspersji nawiązano współpracę z Profesorem Ianem Guymerem 1, który udostępnił dane użyte w poniżej przedstawionych testach. Dane te zostały uzyskane w dwudzielnym kanale laboratoryjnym w Sheffield Hallam Universty. W kanale tym wykonano eksperyment znacznikowy z użyciem fluorescencyjnego znacznika Rhodamine WT, którego stężenie mierzono używając fluorymetru firmy Turner Designs. Pomiar prędkości wody został wykonany przy użyciu Dopplerowskiego anemometru laserowego (bezkontaktowa metoda optyczna) LDA (ang. Laser Doppler Anemometry). Pozyskane dane obejmują (Guymer, 006): ˆ informacje na temat geometrii kanału, ˆ uśrednione wzdłuż głębokości pole prędkości, ˆ wyznaczone przez K. J. Senca 3 i I. Guymera, na podstawie eksperymentu, współczynniki mieszania poprzecznego, ˆ wartości koncentracji znacznika w zadanych profilach. Pole prędkości i wyznaczone współczynniki mieszania poprzecznego posłużyły jako dane wejściowe do przeprowadzonych symulacji, a wartości koncentracji w zmierzonych profilach do weryfikacji wyników. Należy jednak na początku podkreślić, że w przypadku 1 Prof. Ian Guymer Head of Civil Engineering in School of Engineering, University of Warwick, Coventry, UK Znacznik często stosownych podczas eksperymentów w rzekach (patrz np. Rowiński et al., 007, 003a), o zabarwieniu od czerwonego do jasno różowego w zależności od stężenia 3 Dr Kevin Spence Senior lecturer, Built Environment Division, Faculty of Development & Society, Sheffield Hallam University, Sheffield, UK 117

130 7. WERYFIKACJA MODELU Rysunek 7.11: Schematycznie przedstawiony kanał laboratoryjny dla którego przeprowadzano symulacje przeprowadzonego w rozważanym kanale eksperymentu znacznikowego koncentrację mierzono na jednej głębokości, w pierwszej wersji na z =, 11 cm (mierzone od zwierciadła wody), w drugiej (użytej w pracy) przy dnie kanału. W przypadku pomiarów na jednej tylko głębokości nie możemy mówić o wartościach koncentracji uśrednionej wzdłuż głębokości, a takie założenie leży u podstaw modelu. Współczynniki mieszania poprzecznego wyznaczone w laboratorium w Sheffield na podstawie zmierzonych rozkładów koncentracji, przy użyciu zmodyfikowanej metody momentów 1 (Holley et al., 197), mogą być również obarczone błędem. Dlatego rozważania przedstawione w niniejszym rozdziale traktować należy jedynie jako jakościowe sprawdzenie działania modelu RivMix na eksperymentalnych danych, ze zmiennym polem prędkości i zmiennymi współczynnikami dyspersji. Aby przeprowadzić rzetelne testy ilościowe eksperyment znacznikowy powinien obejmować pomiary większej liczby profili rozkładu koncentracji wzdłuż głębokości, co pozwoliłoby na wyznaczenie uśrednionych wartości koncentracji w pionie. Będzie to celem przyszłych prac autorki. Rozważany symetryczny kanał laboratoryjny, składający się z dwóch części kanału głównego i tarasów zalewowych, przedstawiono schematycznie na rysunku Szerokość kanału wynosi B = 1, m, w tym szerokość kanału głównego jest równa b = 0, 196 m. Ściany kanału głównego nachylone są pod kątem 45. Eksperyment znacznikowy wykonano dla przepływu jednostajnego wynoszącego Q = 17, l. Średnia prędkość wody w kanale wynosiła U = 0, 478 m, głębokość w kanale głównym H = 0, 097 m, a na tarasach s s zalewowych h = 0, 0318 m. Profil dna kanału wykreślono na rysunku 7.1. Liniami przerywanymi zieloną i szarą oznaczono odpowiednio początek i koniec odcinka o zmiennej 1 Metoda momentów (Holley et al., 197) może być użyta w przypadku poprzecznej zmienności prędkości, głębokości oraz poprzecznego współczynnika dyspersji 118

131 7.3 Dwudzielny kanał laboratoryjny głębokości między głównym kanałem a trasami zalewowymi. Uśrednione wzdłuż głębokości pole prędkości dla całego kanału oraz rozkład D yy, będące danymi wejściowymi do przeprowadzonych symulacji, przedstawiono odpowiednio na rysunkach 7.13 i Symulacje przeprowadzono używając najszybszej metody ADI, parametry symulacji zamieszczono w tabeli 7.. Wartość współczynnika D L (równego D xx w rozważanym przypadku) wyznaczano na podstawie empirycznej zależności (Elder, 1959): D xx = 5, 93hu, (7.1) gdzie: u prędkość dynamiczna. Rysunek 7.1: Profil dna kanału Tabela 7.: Parametry symulacji używane w przeprowadzonych testach Kroki Krok przestrzenne czasowy x[m] y[m] t[s] 0, 01 0, 005 0, 1 119

132 7. WERYFIKACJA MODELU Rysunek 7.13: Uśrednione wzdłuż głębokości pole prędkości w rozważanym kanale Rysunek 7.14: Rozkład poprzecznego współczynnika dyspersji w kanale 10

133 7.3 Dwudzielny kanał laboratoryjny Rysunek 7.15: Rozkład podłużnego współczynnika dyspersji w kanale W obliczeniach użyto wartości u wyznaczonych przez zespół Prof. Guymera: ˆ u = 0, 019 m s ˆ u = 0, 0138 m s dla kanału głównego, dla tarasów zalewowych. Rozkład D L pokazano na rysunku Zależność ta jest jedną z prostszych formuł empirycznych służących do wyznaczania D L dostępnych w literaturze (rozdział.4), ale jej wybór okazał się mieć znikomy wpływ na otrzymywane rozkłady stężeń znacznika. W eksperymencie znacznikowym rozważano ciągły dopływ zanieczyszczeń, ze źródłem umieszczonym na środku kanału nad powierzchnią wody. W przeprowadzonych testach numerycznych źródło symulowano przy użyciu rozkładu Gaussa (o odchyleniu standardowym σ x = 3 x, σ y = 3 y), w każdym kroku czasowym zwiększając w miejscu odpowiadającym usytuowaniu źródła, wartość koncentracji o 10 jednostek arbitralnych. W analizie prowadzącej do wyznaczenia współczynnika D yy założono trójkątny rozkład współczynnika dyspersji w funkcji odległości od osi kanału. W modelu wygładzono tę zależność by uniknąć problemów numerycznych związanych z dużymi zmianami współczynnika między kolejnymi węzłami siatki (rys. 7.16). 11

134 7. WERYFIKACJA MODELU Rysunek 7.16: Rozkład podłużnego współczynnika dyspersji w kanale Wyniki symulacji po 50 krokach czasowych pokazano na rysunku Testy numeryczne wykazały, że rozkład koncentracji w przestrzeni możemy uznać za ustalony po 100 krokach czasowych, taką sytuację przedstawiono na rysunku Ponieważ pierwsza seria pomiarów koncentracji wykonywana była blisko źródła (w odległościach kolejno 0, 11 m; 0, 18 m; 0, 5 m; 0, 3 m i 0, 39 m od źródła), gdzie plama zanieczyszczeń nie jest jeszcze wymieszana wzdłuż głębokości, nie brano jej pod uwagę. Sytuacja taka powinna być modelowana z użyciem równania trójwymiarowego, patrz rozdział. Dla drugiej serii pomiarów wykonanych w odległościach 1, 89 m;, 14 m;, 64 m od źródła możemy przyjąć (patrz tabela.), że nastąpiło już wymieszanie w pionie i stosowanie dwuwymiarowego równania adwekcji-dyfuzji (.10) jest dozwolone. Dla danych trzech profili, nakreślono więc wyniki symulacji i rezultaty pomiarów na wykresach 7.19, 7.1 oraz 7.3. Wyniki symulacji były skalowane tak aby maksymalna wartość koncentracji z symulacji była równa wartości maksymalnej zmierzonej w danym profilu. Ponieważ wspólna normalizacja dla wszystkich profili nie przyniosła pożądanych efektów, każdy z profili był normalizowany oddzielnie. Pozwala to porównać kształty otrzymywanych rozkładów koncentracji w poszczególnych profilach. Kształty otrzymywane w wyniku symulacji wyka- 1

135 7.3 Dwudzielny kanał laboratoryjny Rysunek 7.17: Rozkład koncentracji c(x, y) po 50 krokach czasowych Rysunek 7.18: Rozkład koncentracji c(x, y) po 100 krokach czasowych 13

136 7. WERYFIKACJA MODELU Rysunek 7.19: Rozkład koncentracji po 100 krokach czasowych w odległości 1,89 m od źródła Rysunek 7.0: Rozkład koncentracji po 100 krokach czasowych w odległości 1,89 m od źródła skala logarytmiczna 14

137 7.3 Dwudzielny kanał laboratoryjny Rysunek 7.1: Rozkład koncentracji po 100 krokach czasowych w odległości,14 m od źródła Rysunek 7.: Rozkład koncentracji po 100 krokach czasowych w odległości,14 m od źródła skala logarytmiczna 15

138 7. WERYFIKACJA MODELU Rysunek 7.3: Rozkład koncentracji po 100 krokach czasowych w odległości,64 m od źródła Rysunek 7.4: Rozkład koncentracji po 100 krokach czasowych w odległości,64 m od źródła skala logarytmiczna 16

139 7.3 Dwudzielny kanał laboratoryjny zują się dużą zgodnością z kształtami rozkładów otrzymanych podczas eksperymentu. Na szczególną uwagę zasługuje fakt, że skrzydła rozkładu są zbliżone do zmierzonych, co dokładnie można porównać na zamieszczonych wykresach ze skalą logarytmiczną (rys. 7.0, 7. i 7.4). Oczywiście w idealnej sytuacji chcielibyśmy aby również maksymalne wartości stężenia otrzymywane podczas symulacji pokrywały się z danymi, czego bez ingerencji w otrzymane dane nie udało się uzyskać. Podstawowym problemem jest tutaj fakt, że stężenia z eksperymentu (mierzone przy dnie kanału) mogą nie być reprezentatywne dla uśrednionych wartości koncentracji, a takie wartości otrzymujemy w wyniku przeprowadzonych symulacji. Kolejnym powodem częściowej niezgodności wyników symulacji z danymi może być niepewność wyznaczania współczynnika D yy związana z metodą momentów oraz z założonym trójkątnym rozkładem współczynnika dyspersji w funkcji odległości od osi kanału. Problem można oczywiście próbować rozwiązać przez niezależne wyznaczenie współczynników D xx i D yy, co jednak jest oddzielnym i złożonym tematem, któremu poświęcone są całe rozprawy doktorskie np. (Beak, 004; Boxall, 000). 17

140

141 Rozdział 8 Podsumowanie W pracy opracowano model komputerowy transportu pasywnych substancji rozpuszczonych w wodzie (River Mixing Model RivMix), który może być używany do analiz dwuwymiarowego rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń w rzekach i stanowić skuteczne narzędzie do prowadzenia ocen oddziaływania na środowisko. W przyszłości autorka planuje przygotować również odpowiedni interfejs użytkownika, aby umożliwić korzystanie z programu większej grupie użytkowników. W modelu RivMix możliwe jest wybranie jednego z czterech zaimplementowanych schematów numerycznych: Pod Prąd (UP), Cranka-Nicolsona (CN), oraz Metody Kierunków Naprzemiennych w dwóch wariantach oznaczonych (ADI) i (ADI). Przedstawiona w pracy analiza własności i szybkości rozważanych schematów, a przede wszystkim wyznaczona dokładność oraz porównanie zaimplementowanych metod z rozwiązaniem analitycznym dla prostego kanału, będą przydatne dla osób korzystających z modelu. Pozwalają one ocenić użyteczność poszczególnych metod i otrzymywanych za ich pomocą wyników oraz wybór właściwej metody w zależności od potrzeb konkretnego problemu. Analizy te mogą być również przydatne dla osób rozwiązujących numerycznie równanie adwekcji-dyfuzji z mieszanymi pochodnymi, niekoniecznie w zastosowaniu do transportu zanieczyszczeń w kanałach otwartych, zwłaszcza, że liczba prac w których uwzględniane są pochodne mieszane w dwuwymiarowym równaniu adwekcji-dyfuzji jest niewielka. Rozwiązując numerycznie równanie transportu należy zwrócić przede wszystkim uwagę na dokładność stosowanej metody, a co za tym idzie otrzymywanych wyników. Często istotne są również koszty obliczeniowe, a zwłaszcza, jak w przypadku różnego rodzaju awarii, czas obliczeń. Z przeprowadzonych testów numerycznych wynika, że z analizo- 19

142 8. PODSUMOWANIE wanych schematów najszybszy jest schemat jawny UP. Stosując go należy jednak mieć świadomość generowanej przez niego dyfuzji numerycznej znacznie wpływającej na dokładność otrzymywanych wyników. Wielkość błędu może być oszacowana na podstawie wyprowadzonych w pracy wzorów. Niemniej jednak w przypadku nagłej awarii np. chwilowego zrzutu zanieczyszczeń do rzeki, schemat UP może dać nam informację na temat położenia maksimum koncentracji, a co z tym idzie możliwość szybkiego podjęcia odpowiednich działań. Aby otrzymać dokładne rozwiązanie nie obarczone błędem dyfuzji numerycznej, należy użyć metody ADI bazującej na niejawnym schemacie CN, z analityczną metodą Thomasa do rozwiązywania układów równań. Metoda ta jest stabilna i relatywnie szybka. Przeprowadzając obliczenia numeryczne należy również pamiętać o odpowiednim dobraniu parametrów symulacji kroku czasowego i rozmiarów oczek siatki obliczeniowej. W przypadku schematu UP trzeba zwrócić uwagę aby schemat był stabilny, w przypadku ADI i CN, by nie wystąpiły niefizyczne oscylacje. Ze względu na ograniczenia kroku czasowego w przypadku schematu UP, w pewnych sytuacjach, gdy nie jesteśmy zainteresowani duża rozdzielczością wyników, schemat ADI może okazać się szybszy, gdyż zastosowany dla tego schematu krok czasowy może być większy. W modelowaniu rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń często pomijane są pochodne mieszane, zakładając (nie zawsze słusznie), że tensor dyspersji występujący w równaniu jest diagonalny. Przeprowadzone w pracy testy różnych sposobów upraszczania niediagonalnego tenora dyspersji, wskazują, że założenie takie może mieć duży wpływ na otrzymywane rozwiązanie. Przedstawione testy obliczeniowe jednoznacznie wskazują, że używając wersji uproszczonej dwuwymiarowego równania transportu, poprawne rozwiązania można uzyskać jedynie w bardzo szczególnych przypadkach. Błąd będzie niewielki dla prostej geometrii, jeżeli nachylenie osi kanału zmienia się nieznacznie na całej rozważanej długości. Jedynie w pewnych sytuacjach, np. gdy zainteresowani jesteśmy lokalizacją, w której występuje stężenie maksymalne substancji rozpuszczonej, pominięcie pochodnych mieszanych nie wpłynie na oczekiwany wynik bez względu na rozważaną geometrię kanału. Gdy rozważamy chwilowy zrzut substancji domieszkującej wszystkie metody wskazują prawidłowe położenie maksimum stężenia, a przekształcenie tożsamościowe dodatkowo jego wartość. W pozostałych sytuacjach otrzymujemy rozwiązania odbiegające od rzeczywistości. Otrzymane wyniki mogą być pomocne w świadomym stosowaniu uproszczonych 130

143 wersji tensora dyspersji. Przeprowadzona weryfikacja modelu z użyciem rozwiązania analitycznego pokazuje, że rozwiązania z dużą dokładnością można uzyskać dla schematów CN i ADI, co potwierdza wcześniejsza analiza błędu obcięcia. Używając schematu UP otrzymywane rozwiązania obarczone są błędem dyfuzji numerycznej. Weryfikacja z danymi eksperymentalnymi potwierdziła natomiast jakościowe działanie modelu, który dobrze odwzorowuje kształty rozkładów koncentracji w poszczególnych profilach. Rzetelne analizy ilościowe wymagają przeprowadzenia odpowiedniego eksperymentu znacznikowego obejmującego pomiary odpowiedniej liczby profili rozkładu koncentracji wzdłuż głębokości, aby było możliwe wyznaczenie uśrednionych wartości koncentracji w pionie. Wykonanie takiego eksperymentu będzie celem dalszej pracy autorki. Eksperymenty te powinny być wykonane dla kanałów o różnej geometrii. 131

144

145 DODATKI

146

147 Dodatek A Dwuwymiarowe równanie transportu dla stałej i zmiennej głębokości Dwuwymiarowe równanie transportu masy uśrednione po głębokości: ( ) c h t + v c x x + v c y y = ( c hd xx x ) x + hd c xy + ( ) c hd yy y y y + hd c yx, (A.1) x po wykonaniu operacji różniczkowania po prawej stronie równania przyjmuje postać: c t + v c x x + v c y y = = 1 ( (hdxx ) c h x x + hd c xx x + (hd xy) c x y + hd c xy x y + + (hd yx) c y x + hd c yx x y + (hd yy) c y y + hd ) c yy. y (A.) Po pogrupowaniu otrzymujemy: c t + c ( x v x 1 (hd xx ) 1 ) (hd xy ) h x h y } {{ } v x + c ( y v y 1 (hd xy ) 1 ) (hd yy ) = h x h y } {{ } v y c = D xx x + D c xy x y + D c yy y. (A.3) 135

148 A. D RÓWNANIE TRANSPORTU Dla stałej głębokości i stałych współczynników dyspersji, lub gdy zmiany na siatce obliczeniowej między punktami siatki są niewielkie możemy przyjąć, że: v x = v x v y = v y W innym przypadku wartości v x i v y należy wyznaczyć numerycznie korzystając np. z ilorazu różnicowego centralnego (4.4). 136

149 Dodatek B Operatory różnicowe używane w pracy W tabeli B.1 zebrano wszystkie ilorazy różnicowe używane w pracy. Obok operatorów różniczkowych podano stosowane oznaczenia operatorów różnicowych, oraz dokładność aproksymacji przy użyciu danego ilorazu różnicowego. 137

150 Tabela B.1: Zestawienie ilorazów różnicowych używanych w pracy Operator Operator Stosowany Dokładność różniczkowy różnicowy iloraz różnicowy aproksymacji c x c x c x xci,j xci,j xci,j ci,j ci 1,j x ci+1,j ci,j x ci+1,j ci 1,j x O( x) O( x) O( x ) c δ x xci,j ci 1,j ci,j + ci+1,j x O( x ) c x y c c x y δ xy Ci,j x yci,j ci+1,j+1 ci+1,j 1 ci 1,j+1 + ci 1,j 1 4 x y ci+1,j+1 ci+1,j 1 ci 1,j+1 + ci 1,j 1 4 x y O( x, y ) O( x, y ) c c xδ x y yci,j ci 1,j 1 + ci 1,j ci 1,j+1 + ci+1,j 1 ci+1,j + ci 1,j 1 x y O( x, y ) c c yδ y x xci,j ci 1,j 1 + ci 1,j+1 + ci,j 1 ci,j+1 ci+1,j 1 + ci 1,j 1 x y O( x, y ) c c δ x y xδ yci,j 4ci,j ci+1,j ci 1,j ci,j+1 ci,j 1 + ci+1,j+1 + ci+1,j 1 + ci 1,j+1 + ci 1,j 1 x y O( x, y )

151 Dodatek C Wyniki testów metod wyznaczania tensora dyspersji dla różnych kątów α W dodatku przedstawiono wyniki symulacji dla testów metod wyznaczania tensora dyspersji omówionych w rozdziale 3, w przypadku gdy kąt α wynosi: 0, 5, 15, 30 i 60. C.1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń 139

152 C. WYNIKI TESTÓW TENSORA DYSPERSJI Rozwiązanie Analityczne, t = 400s Obrót, t = 400s Quasi-Obrót, t = 400s Obrót wektora, t = 400s Przekształcenie tożsamościowe, t = 400s Rysunek C.1: Rozwiązania numeryczne z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α = 0 140

153 C.1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń Błąd, t = 400s Rysunek C.: Różnica między rozwiązaniem numerycznym i analitycznym dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α = 0 ; różnica jest taka sama dla wszystkich metod wyznaczania tensora dyspersji 141

154 C. WYNIKI TESTÓW TENSORA DYSPERSJI Rozwiązanie Analityczne, t = 400s Obrót, t = 400s Quasi-Obrót, t = 400s Obrót wektora, t = 400s Przekształcenie tożsamościowe, t = 400s Rysunek C.3: Rozwiązania numeryczne z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α = 5 14

155 C.1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń Błąd: Rozw. Anal - Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal - Quasi-Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal. - Obrót wektora, t = 400s Błąd: Rozw. Anl - Przekszt. tożsam., t = 400s Rysunek C.4: Różnica między rozwiązaniem numerycznym z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji i analitycznym dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α = 5 143

156 C. WYNIKI TESTÓW TENSORA DYSPERSJI Rozwiązanie Analityczne, t = 400s Obrót, t = 400s Quasi-Obrót, t = 400s Obrót wektora, t = 400s Przekształcenie tożsamościowe, t = 400s Rysunek C.5: Rozwiązania numeryczne z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α =

157 C.1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń Błąd: Rozw. Anal - Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal - Quasi-Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal. - Obrót wektora, t = 400s Błąd: Rozw. Anl - Przekszt. tożsam., t = 400s Rysunek C.6: Różnica między rozwiązaniem numerycznym z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji i analitycznym dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α =

158 C. WYNIKI TESTÓW TENSORA DYSPERSJI Rozwiązanie Analityczne, t = 400s Obrót, t = 400s Quasi-Obrót, t = 400s Obrót wektora, t = 400s Przekształcenie tożsamościowe, t = 400s Rysunek C.7: Rozwiązania numeryczne z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α =

159 C.1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń Błąd: Rozw. Anal - Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal - Quasi-Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal. - Obrót wektora, t = 400s Błąd: Rozw. Anl - Przekszt. tożsam., t = 400s Rysunek C.8: Różnica między rozwiązaniem numerycznym z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji i analitycznym dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α =

160 C. WYNIKI TESTÓW TENSORA DYSPERSJI Rozwiązanie Analityczne, t = 400s Obrót, t = 400s Quasi-Obrót, t = 400s Obrót wektora, t = 400s Przekształcenie tożsamościowe, t = 400s Rysunek C.9: Rozwiązania numeryczne z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α =

161 C.1 Chwilowy zrzut zanieczyszczeń Błąd: Rozw. Anal - Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal - Quasi-Obrót, t = 400s Błąd: Rozw. Anal. - Obrót wektora, t = 400s Błąd: Rozw. Anl - Przekszt. tożsam., t = 400s Rysunek C.10: Różnica między rozwiązaniem numerycznym z użyciem różnych metod wyznaczania tensora dyspersji i analitycznym dla chwilowego zrzutu zanieczyszczeń po 400 krokach czasowych, gdy kąt α =