PRINCIPIA I ELEMENTY

Transkrypt

1 P R I N C I P I A N E W TO N A - C Z Y D Z I Ś TO T Y L K O H I S TO R I A?

2 PRINCIPIA I ELEMENTY ELEMENTY 80 wydań w 20 językach 1500 nowe wydanie co 6 lat 1900 PRINCIPIA 2 przekłady 1687 w ciągu 200 lat Angielski (1727), Francuski (1759), Włoski ( ), Niemiecki (1872), Szwedzki ( ), Japoński (1930), Holenderski (1936), Rosyjski (1936), Polski (2011)

3 DLACZEGO TAK MAŁO WYDAŃ? Pomimo wagi dzieła nauka rzadko inspiruje się problemami postawionymi w Principiach Wyjątki: Seria nagród ufundowanych przez Paryską Królewską Akademię Nauk Problem niezależności I i II prawa ruchu (B. Riemann, rozprawa habilitacyjna, Getynga, 1854 r.) Problem n-ciał, którego głównym promotorem był K. Weierstrass (nagroda ufundowana przez króla Szwecji Oscara II, 1885 r.)

4 Rachunek wariacyjny Eulera-Lagrange'a, formalizm Hamiltona-Jacobiego mechanika kwantowa kwantowa teoria pola Teoria rozmaitości Riemanna OTW Einsteina Nowoczesne metody zaburzeń (Poincare), twierdzenia KAM

5 Analiza Iloczyn wielkości wymiarowych i jego reprezentacja za pomocą stosunków

6 DZIEŁA NEWTONA W PIGUŁCE rachunek różniczkowy formuła interpolacyjna wzór Taylora analiza metoda rozwinięć na szeregi nieskończone zastosowana do rachunku różniczkowego jak i do równań funkcyjnych f(u) = 0 fizyka teoretyczna (trzy prawa ruchu czas przestrzeń siła, prawo powszechnego ciążenia); analiza narzędzie niezbędne do wyprowadzenia ruchu układu Słońce-Ziemia-Księżyc z praw ruchu i prawa powszechnego ciążenia metoda zaburzeń optyka (pryzmat widmo, interferencja, teleskop zwierciadlany)

7 CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT y y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n dy dx x

8 CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT cd. y 0 b x n = 1 n+1 bn+1 b x

9 CAVALIERI, KARTEZJUSZ, FERMAT cd. dx n dx =nxn 1 y dy dx x

10 ANALIZA czyli RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W RĘKACH NEWTONA Rachunek różniczkowy właściwy do badania związku siły, prędkości (stycznej do trajektorii) gdyż zajmuje się badaniem stycznych Przy badaniu trajektorii ciała w polu sił centralnych wychodzi że klasa funkcji wielomianowych jest zbyt mała. Formułuje następującą myśl (ok. 1671): f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x2 + + a n x n Ponieważ operacje na liczbach i na zmiennych są bardzo do siebie podobne, jestem zdumiony że nikt dotąd nie wykorzystał tej analogii pomiędzy liczbami dziesiętnymi i zmiennymi. Na przykład: zmienna x i jej potęgi spełniają te same algebraiczne relacje co 1/10 i jej potęgi. Tak jak możemy dodawać do siebie liczby dziesiętne, odejmować je, mnożyć i wyciągać pierwiastki tak samo możemy postąpić z nieskończonymi sumami potęg zmiennych.

11 ANALIZA cd. π =3, = ( 1 10 ) 2 +1.( 1 10 ) 3 +5.( 1 10 ) f (x)=a 0 +a 1. x+a 2. x 2 +a 3. x 3 +a 4. x

12 1 1 x =1+x+x2 +x x =1 x+x2 x x t dt= x 0 (1 t+t 2 t 3 +t 4...)dt =x 1 2 x x3 1 4 x4 +...=ln(1+x) y=x 1 2 x x3 1 4 x4 +...=ln(1+x) x=a 0 +a 1 y+a 2 y =y+ 1 2! y ! y3 +...=e y 1 x+1=e y =1+ y+ 1 2! y ! y3 +...

13 MNOŻENIE Matematycy Helleńscy (III-II w. p.n.e.) Nie można użyć arytmetyki zwykłych ułamków tak, aby punktom odcinka jednoznacznie odpowiadały ułamki.

14 MNOŻENIE cd.

15 MNOŻENIE cd.

16 MNOŻENIE cd. Newton: Stosunek b' : a jest operacją, która działając na a daje b'. Mamy dwa typy wielkości: 1) wielkości z wymiarem (lub wielkości geometryczne) oraz 2) stosunki wielkości geometrycznych lub wielkości z wymiarem, które działają na nie jak operacje. Arytmetyka stosunków może być rozumiana niezależnie od tego na jakie konkretne obiekty geometryczne one działają.

17 PRZYKŁAD Wielkości geometryczne: odcinki z operacją dodawania i relacją porządku. n-krotne dodawanie odcinka a + a + + a = na. n-krotny podział odcinka a: tj. to jest taki odcinek x = (1/n)a dla którego nx = a. Wówczas ułamek n/m jest operacją działającą na odcinki a która jest złożeniem operacji n-krotności z operacją m-krotnego podziału. Porównując działanie ułamków na krotności ka ustalonego odcinka przekonujemy się, że n/m = n'/m' nm' = n'm

18 MNOŻENIE cd. Newton (Principia): Nie można mnożyć obiektów z wymiarem (np. takich jak odcinki) tak jak się mnoży bezwymiarowe stosunki X, czyli operacje, dla których istnieje naturalna definicja mnożenia, mianowicie ich złożenie X X = X 2. Za to mogą istnieć i na ogół istnieją wielkości wymiarowe c = a' b', które zależą łącznie od dwóch a', b' (lub więcej) wielkości wymiarowych, tzn. liniowo od każdej z osobna (por. np. pierwsze definicje Principiów). Newton żąda aby stosunki jako operacje reprezentowały łączną zależność, tzn. aby łącznej zależności odpowiadało złożenie stosunków jako operacji:

19 MNOŻENIE cd. b' : b a' : a (b' : b) (a' : a) = (b' a' : b a') (b a' : b a) = b' a' : b a (a' : a) (b' : b) = (a' b' : a b') (a b' : a b) = a' b' : a b a' : a b' : b

20 KILKA WAŻNYCH WNIOSKÓW Łączna zależność nie musi a priori być symetryczna, a co za tym idzie reprezentujące ją złożenie stosunków jako operacji nie musi być przemienne. Mnożenie wielkości wymiarowych jest zdefiniowane przez szczególne klasy wielkości tensorowych a symetryczność tych tensorów jest głęboko związana z przemiennością mnożenia wielkości wymiarowych tworzących te tensory. Okoliczności te rzucają nowe światło np. na tak zwaną,,drugą zasadę termodynamiki dla procesów nieodwracalnych (dla układów które nie są w równowadze termodynamicznej). W szczególności łącząc ideę mnożenia jaką znajdujemy w Principiach z teorią Haaga-Doplichera- Robertsa ładunków uogólnionych w QFT, otrzymujemy niezależne wyprowadzenie wspomnianej zasady wraz z pewnymi dodatkowymi małymi poprawkami, których nie mógł przewidzieć Onsager jej odkrywca. Już sam ten przykład pokazuje że P r i n c i p i a N e w t o n a, t o n i e t y l k o h i s t o r i a