ABSOLWENT INFORMATYKI LUB MATEMATYKI SPECJALISTĄ NA RYNKU PRACY

Transkrypt

1 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

2 Heron z Aleksandrii (I w. przed Chr.): znaleźć kwadrat, którego suma pola i owodu wynosi 896. Rozwiązanie zadania polegało na dopełnieniu do kwadratu: ( ) 8. 0 Bhaskara ( ), Lilavati: Bawiły się raz małpy - wieść indyjska niesie. Ósma ih zęść w kwadraie już skaze po lesie. Pozostałyh dwanaśie w pląsah i z wrzaskami Pomiędzy zielonymi hasa pagórkami. Ile ih wszystkih yło? Pyta się Bhaskara. Zagadka nie jest trudna, hoiaż ardzo stara. Rozwiązanie zagadki polegało na rozwiązaniu równania kwadratowego: 8 1. Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

3 Muhammad in Musa al-chwarizmi (ok ), Hisa al-d zar wa lmukaala (zyli Sztuka redukji i przenoszenia). Dzieło to dało pozątek jedynej dysyplinie matematyznej o pozaeuropejskim pohodzeniu - algerze. Praa al- Chwarizmiego zawiera kompletne rozwiązania i dyskusję rozwiązań wszystkih równań stopnia drugiego:,,, gdzie, są dodatnimi lizami rzezywistymi. Zazniemy od araskiego sposou rozwiązywania równań kwadratowyh postai:, gdzie, są dodatnimi lizami rzezywistymi. Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

4 A B Z kwadratu o oku A wyinamy w rogu kwadrat o oku, a w przeiwległym rogu kwadrat o największym możliwym oku B, jaki się zmieśi. Pozostałość dużego kwadratu to dwa prostokąty o okah, B. Mamy wię: B B A, zyli: B A B. Załóżmy teraz, że jest to nasze pierwotne równanie, które mamy rozwiązać. Czyli: Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

5 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego. B A B Znamy,, poszukujemy., B A. B A B Ostateznie:. B A Otrzymaliśmy dorze znany wzór:.

6 Przez następne 500 lat Araowie, a później Europejzyy, ezskuteznie poszukiwali metody rozwiązywania równań stopnia trzeiego. Lua Paioli (15-151) w swoim dziele zatytułowanym Summa de Arithmetia stwierdził wręz, że,,dla równań sześiennyh nie ma sposou w arytmetye, tak samo jak nie ma sposou w geometrii na kwadraturę koła. Wreszie metodę tę udało się znaleźć profesorowi Uniwersytetu w Bolonii, Sipiowi del Ferro ( ). Del Ferro nigdy nie ujawnił szzegółów swojego rozwiązania z tej prostej przyzyny, że w owyh zasah o klasie uzonego deydowała liza prolemów jakie umiał rozwiązać, a któryh inni rozwiązać nie potrafili. Swoją tajemnię zdradził, dopiero tuż przed śmierią, swojemu uzniowi Antonio Marii Fiorze. Uzeń ów, hą wzogaić się na odkryiu del Ferra, postanowił wykorzystać je podzas popularnyh wówzas turniejów matematyznyh. W 15 roku do pojedynku z Fiorem stanął Niolo Fontana zwany Tartaglią zyli Jąkałą ( ). Wszystkie zadania Fiora dotyzyły równań stopnia trzeiego postai:, Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

7 gdzie, yły dodatnimi lizami rzezywistymi. Wzorują się na araskiej metodzie rozwiązywania równań kwadratowyh, Tartaglia odkrył metodę rozwiązywania równań sześiennyh. Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

8 A Z sześianu o krawędzi A wyinamy w rogu sześian o krawędzi i możliwie największy sześian (o krawędzi B B ) w przeiwległym rogu. Pozostałość dużego sześianu rozpada się na trzy jednakowe prostopadłośiany o krawędziah A, B,. Ojętość dużego sześianu możemy przedstawić na dwa sposoy: B AB A, o możemy zapisać: AB A B. Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

9 Jeśli jest to równanie, które mieliśmy rozwiązać, to: AB A B. Dla ułatwienia podstawiamy nowe zmienne: p A, q B, o nam daje: pq A B 7 p q A B. Po podstawieniu q w miejse p w pierwszym równaniu otrzymujemy: q q. 7 Ale już Araowie potrafili rozwiązać takie równanie. Mamy: q 7 p q. 7 Ostateznie: Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

10 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego 7 7 q p B A otrzymaliśmy:. 7 7

11 O dalszyh losah Antonia Marii Fiora historia milzy, o mogłoy wskazywać na niepoprawność metody rozwiązywania równań sześiennyh wymyślonej przez Sipia del Ferra. Choiaż umiejętność rozwiązywania równań stopnia trzeiego przyniosła Niolo Fontanie sławę, to również on zdeydował się nie upulizniać swojej metody. Swój sekret powierzył jedynie przyjaielowi - Girolamo Cardano ( ). W 155 roku ukazała się praa Cardana zatytułowana Ars Magna (zyli Wielka sztuka) w której autor zamieśił jako własne rozwiązanie Tartaglii, stąd dzisiaj mówimy o wzorah Cardana. Cardano wniósł też oś własnego do rozwiązania równań sześiennyh. Mianowiie stwierdził on, że wzory te są dore dla każdego równania stopnia trzeiego i podał sposó manipulowania nimi tak y pojawiająe się pierwiastki kwadratowe z liz ujemnyh zniknęły. Spójrzmy na konkretny przykład: Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

12 Mamy: p q ( 15) 7 ( 15) Musimy wyznazyć p, q. Cardano założył, że istnieją lizy rzezywiste r, s takie, że: ( r s 1) 11 1 r r s 1 rs 1 s 1 r rs r s s 1 11 porównał stronami: r rs r s s 11 ( r s ) ( r s ) r s 11 i wyszło mu, że: r s 1, ( ) Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

13 zyli: ABSOLWENT INFORMATYKI LUB MATEMATYKI SPECJALISTĄ NA RYNKU PRACY ( ) p. Cardano zauważył też, że: ( ) q. Woe tego: p q 1 1. Tym sposoem Cardano zazął nieświadomie używać liz zespolonyh. Dzisiaj znamy już wszystkie pierwiastki równania sześiennego postai: 0, gdzie, są dowolnymi lizami rzezywistymi. Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

14 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego Twierdzenie. Pierwiastki równania, 0 gdzie, są dowolnymi lizami rzezywistymi, wyrażają się wzorami:

15 W swoim dziele Ars Magna Girolamo Cardano przedstawił także metodę rozwiązywania równań stopnia zwartego postai: d 0, gdzie,, d są dowolnymi lizami rzezywistymi. Pomysł rozwiązania pohodził od jego uznia - Lodovio Ferrari ego ( ) i został zrealizowany metodami samej algery. Do równania d 0 wprowadzamy dodatkową niewiadomą y : y y y y d y y. y y d Teraz staramy się znaleźć takie y, y wyrażenie po prawej stronie yło pełnym kwadratem (zyli y,,delta tego trójmianu ze względu na - yła równa zero): y y y d 0, Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

16 o jest równaniem sześiennym. Znajdują jego pierwiastek y 0 i wstawiają go do poprzedniego równania, otrzymujemy: y y0, y0 a woe tego równanie stopnia zwartego zamienia się na dwa równania stopnia drugiego (o ile, rzez jasna, y 0 > 0). Przez następne stuleia wielokrotnie podejmowano próy rozwiązania równań stopni wyższyh niż ztery. W 18 roku Niels Henryk Ael ( ) udowodnił, że nie istnieje rozwiązanie równania stopnia piątego przez pierwiastniki (tj. nie istnieje algorytm wyznazania pierwiastków równania stopnia piątego). Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego

17 Ostatezne kryterium oeniająe, zy dane równanie jest rozwiązalne w pierwiastnikah podał Evariste Galois ( ): Twierdzenie. Nieh f ( ) R[ ] ędzie wielomianem stopnia 1 o współzynnikah rzezywistyh. Oznazmy przez L iało rozkładu wielomianu f (). Wówzas równanie f ( ) 0 jest rozwiązalne w pierwiastnikah względem iała R wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Galois rozszerzenia R L jest grupą rozwiązalną. Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramah Europejskiego Funduszu Społeznego