Rys historyczny rozwoju przyrządów półprzewodnikowych. Okresy stosowania podstawowych materiałów: Rozkład jazdy materiałów półprzewodnikowych:

Transkrypt

1 Rys historyczny rozwoju przyrządów półprzewodnikowych Okresy stosowania podstawowych materiałów: Epoka kamienia (w tym łupanego) l pne do 6000 l pne (4000 l pne w Europie). Epoka brązu l pne do l pne. Epoka żelaza - od l pne do dzisiaj Rozkład jazdy materiałów półprzewodnikowych: Panowanie germanu (Ge) Okres krzemu (Si) 1962 dzisiaj Okres arsenku galu (GaAs) 1970 dzisiaj Półprzewodniki szerokopasmowe 1990 dzisiaj Polimery?, materiały amorficzne?, ziemie rzadkie? jutro??????

2 1821 Thomas Seebeck odkrył półprzewodzące właściwości PbS Michał Faraday określił temperaturową zależność przewodności elektrycznej dla nowej klasy materiałów - półprzewodników W. Smith odkrył efekt fotoelektryczny dla selenu (Se) Werner von Siemens wynalazł światłomierz selenowy Alexander Graham Bell użył go do konstrukcji bezprzewodowego systemu komunikacyjnego Bardeen, Brattain i Shockley wynaleźli bipolarny tranzystor złączowy i... Zaczęła się nowa era współczesnej elektroniki półprzewodnikowej.

3 1954 Chapin, Fuller i Pearson wynaleźli ogniwo słoneczne John Kilby skonstruował pierwszy układ scalony (US) Leo Esaki zbudował diodę tunelową Kahng i Atalla zademonstrowali pierwszy MOSFET tranzystor polowy z izolowaną bramką Gunn odkrył generację mikrofal w GaAs i InP tzw. efekt Gunna (ściślej: Ridley Wakins Hilsum Gunn effect) Wanlass i Sah wprowadzili technologię CMOS.

4 Miniaturyzacja 100 μm 10 μm 1 μm 0.1μm 10nm 1nm 0.1nm bakterie Ludzki włos wirusy - ludzka krwinka Światło widzialne - średnica helisy DNA - stała sieciowa krzemu - średnica atomu węgla Współczesne tranzystory Promieniowanie X Bardeen, Brittain, Shockley Pierwszy US Shockley - US US Czyżby koniec drogi 20xx??? 75 μm -Dzisiaj (0.045) μm -Granica μm

5

6

7 Dlaczego półprzewodniki? Przewodność właściwa może zmieniać się w zakresie ponad 10 rzędów. Przyrządy półprzewodnikowe są szybkie i zużywają mało energii. Przyrządy półprzewodnikowe mogą mieć bardzo małe rozmiary i mogą być połączone, tworząc Układy Scalone (US) (Integrated Cuircuits - IC). Przyrządy półprzewodnikowe są bardzo tanie.

8 Tablica okresowa elektronika ciała stałego Półprzewodniki elementarne (IV grupa) Półprzewodniki złożone, dwu-, trój-, czteroskładnikowe (tzw. roztwory stałe) AIII-BV, AII-BVI, Si-Ge Parametry przyrządów półprzewodnikowych są w pierwszym rzędzie determinowane właściwościami materiału zastosowanego do ich konstrukcji Największa grupa cyfrowych US - Si Mikrofalowe US GaAs, InP Lasery dla CD DVD GaAs InGaAs Niebieska elektronika - GaN, AlN, GaInN

9 Dlaczego krzem jest tak bardzo popularny? SiO 2 jest MAGICZNYM MATERIAŁEM. SiO 2 pasywuje powierzchnię krzemu. SiO 2 jest doskonałym IZOLATOREM. SiO 2 zabezpiecza przed dyfuzją domieszek SiO 2 posiada b. wysoką selektywność trawienia w stosunku do Si. Łatwo można wyhodować prawie bezdefektowy, monokrystaliczny Si o dużej średnicy (np.. 30 cm). Si występuje obficie na Ziemi, jest stosunkowo tani i łatwo dostępny. Si i SiO 2 są bardzo odporne chemicznie. Si posiada dobre właściwości mechaniczne i elektryczne, co pozwala konstruować i masowo wytwarzać szeroką gamę przyrządów półprzewodnikowych.

10 Budowa ciała stałego, a zwłaszcza kryształów Amorficzna: uporządkowanie ograniczone jest do kilku odległości międzyatomowych lub międzycząsteczkowych. Polikrystaliczna: ziarna o nieregularnym kształcie, wielkości i orientacji. Pojedyncze ziarna mają wysoki stopień uporządkowania. Monokrystaliczna : uporządkowanie dalekiego zasięgu. Materia jest zorganizowana w postaci trójwymiarowej matrycy zbudowanej z identycznych komórek elementarnych a) sieć regularna b) przestrzennie centrowana c) tetraedr (k. pomarańczowy) fragment komórki elementarnej diamentu, jak i krzemu, germanu i GaAs k. niebieski - wiązania kowalencyjne

11 Rozdeptany tetraedr płaska interpretacja geometrii sieci krystalicznej (tutaj: krzemu)

12 Wiązania chemiczne w ciałach stałych. Wiązanie jonowe, np. NaCl. W sieci krystalicznej NaCl, atomy Na (1s2 2s2 2p6 3s1) tracą po jednym elektronie każdy, stając się jonami Na +, a atomy chloru (1s22s22p63s13p5) przywłaszczają po jednym elektronie stając się jonami Cl -. Oddziaływanie elektrostatyczne (siła Coulomba) między tymi jonami tworzy wiązanie chemiczne. Takie ciała stałe są z reguły dobrymi izolatorami. Wiązanie metaliczne, np. Na. W sieci krystalicznej sodu każdy atom Na traci po jednym elektronie, stając się jonem Na +. Te swobodne elektrony tworzą morze (ocean, chmurę) elektronów, w którym zanurzone są jony Na +. Czynnikiem wiążącym jest tu oddziaływanie elektrostatyczne (siła Coulomba) między dodatnimi rdzeniami jonów i ujemną chmurą elektronów. Takie ciała stałe są z reguły dobrymi przewodnikami. Wiązanie kowalencyjne, np. Si. W sieci krystalicznej Si między sąsiednimi atomami krzemu tworzone są wspólne pary elektronów jedna para stanowi pojedyncze wiązanie. Każdy atom Si posiada na zewnętrznej orbicie M cztery elektrony własne i cztery elektrony pożyczone (po jednym) od najbliższych sąsiadów. Wiązanie zachodzi na drodze oddziaływania elektrostatycznego między ujemnymi parami elektronów a dodatnimi rdzeniami jonów Si. Ciała stałe z wiązaniami kowalencyjnymi mogą być zarówno izolatorami, przewodnikami, jak i półprzewodnikami.

13 Model pasmowy Elementy fizyki kwantowej Podstawowe fakty, niewytłumaczalne na gruncie mechaniki klasycznej lub klasycznej teorii elektromagnetyzmu, takie jak: zewnętrzne zjawisko fotoelektryczne. promieniowanie ciała doskonale czarnego. spektrum emisyjne wzbudzonego wodoru. doprowadziły do powstania koncepcji kwantów światła (ogólniej promieniowania), później do wprowadzenia pojęć: dualizm korpuskularno falowy i długość fali de Broglie a a w końcu do odgadnięcia podstawowego równania mechaniki kwantowej równania Schrödingera.

14 Zjawisko fotoelektryczne ZEWNĘTRZNE Hipoteza Einsteina: światło występuje w postaci fotonów paczek o E=hν elektron może absorbować tylko jeden foton jednorazowo jedynie wtedy gdy energia absorbowanego fotonu przekracza graniczną wartość tzw. pracy wyjścia (ang. workfunction) elektron może opuścić metal. c

15 Koncepcja L. de Broglie a Węzeł Strzałka elektron może być reprezentowany przez falę stojącą kwadrat amplitudy tej fali określa prawdopodobieństwo przebywania elektronu w danym miejscu Strzałka N P P N N P P N N N P N P - - h Długość fali elektronu jest w pewnym sensie miarą jego energii, bo: p=mv p Wygodniej więc będzie, jako zmienną niezależną posługiwać się zamiast x, długością fali elektronu, a ze względów formalnych (matematycznych) wartością tzw. wektora falowego (propagacji elektronu), czyli: k=2 / - - P N

16 Poziomy i pasma energetyczne Zasada Pauli ego: dwa elektrony w systemie wzajemnego oddziaływania nie mogą być w tym samym stanie kwantowym. Gdy atomy są dostatecznie daleko od siebie, tak że nie zachodzą między nimi oddziaływania ich funkcji falowych, mogą one mieć identyczne struktury elektronowe. Kiedy atomy utworzą cząsteczkę, zgodnie z zasadą Pauli ego musi nastąpić rozszczepienie dyskretnych poziomów energetycznych swobodnych atomów na nowe poziomy należące już do pary atomów (cząsteczki). Przykład: wodór stan podstawowy: 1s stany wzbudzone: 2s i 2p po połączeniu: 1s, 2s, 2p różne wartości energii, ale to samo położenie w przestrzeni

17

18 Model pasmowy ciała stałego M K L +14 Energia K L M Odległość Dodatkowe stany energetyczne (pasmo przewodnictwa) powstają na skutek oddziaływania wzajemnego wszystkich atomów Uwaga: zmienna niezależna tutaj to zwykła odległość - x

19 Energia elektronu Energia dziury Pasmo przewodnictwa Pasmo zabronione (przerwa energetyczna) Pasmo podstawowe kinetyczna W g (E g ) - ang. bandgap W v (E v ) - valence band W c (E c ) - conductivity band W c W v W g Potencjalna elektronu Potencjalna dziury kinetyczna

20 Trochę liczb Ponieważ prędkość ruchu elektronu jest rzędu 100km/s, a rozmiary atomu wynoszą 0.1nm, to elektron walencyjny znajduje się w danym węźle w czasie Δt = 1fs, co powoduje, że szerokość poziomu energetycznego elektronu walencyjnego ΔE jest w przybliżeniu równa ΔE = h/δt 1 ev. Jeżeli uwzględni się, że 1cm 3 ciała zawiera atomów i że każdy pojedynczy poziom energetyczny rozpada się na N poziomów, to przy szerokości pasma rzędu 1 ev odległości między poziomami wynoszą około ev, co wskazuje, że nie ma możliwości doświadczalnego ich rozróżnienia. O takiej grupie poziomów mówi się jako o paśmie dozwolonym uważając, że elektrony w tym paśmie mają ciągły rozkład energii. Pasma te są rozdzielone pasmami wzbronionymi.

21 Model pasmowy dla Si i GaAs (w przestrzeni wektora falowego elektronu). Cechy szczególne: różne kierunki (nawiasy kwadratowe) dla krzemu dno pasma przewodnictwa nie jest w tym samym miejscu co wierzchołek pasma podstawowego - przejścia skośne arsenek galu posiada dwie doliny pasma przewodnictwa, a minimalna wartość energii przerwy zabronionej istnieje dla k=0 - przejścia proste

22 Klasyfikacja ciał stałych ze względu na przewodnictwo elektryczne. Izolatory - bardzo duża przerwa energetyczna - kilka ev (1eV=1.602e-19CV) diament ~ 5eV, dwutlenek krzemu (SiO 2 ) ~ 8eV Przewodniki - dwa przypadki: częściowo zapełnione pasmo podstawowe brak przerwy energetycznej spowodowany nałożeniem się pasm na siebie Półprzewodniki - przypadek pośredni pomiędzy izolatorami a przewodnikami, szerokość przerwy zabronionej do 5eV (diament ~ 5eV). Inaczej - tzw. rezystywność czyli rezystancja właściwa: pp = cm cm metalu < półprzewodnika < izolatora

23 Tutaj kolor czerwony obrazuje zapełnienie poziomów energetycznych w pasmach elektronami. Należy zauważyć: dwa mechanizmy przewodzenia w metalach w temp. T>0K w pp. ma miejsce częściowe zapełnienie pasma przewodnictwa przerwa energetyczna w izolatorach jest na tyle duża, że praktycznie nie można elektronowi dostarczyć energii dostatecznej aby pokonał on jej barierę.

24 Dotychczasowe podsumowanie Pasma energetyczne jako zbiór dyskretnych poziomów, czyli wartości dozwolonej dla elektronów energii są rezultatem, w przypadku ciała stałego, wzajemnego oddziaływania powłok elektronowych atomów na siebie; - tzw. rozszczepianie poziomów. Zjawisko fotoelektryczne, widmo emisyjne wodoru czy promieniowanie ciała doskonale czarnego nie mogą być wyjaśnione na gruncie klasycznej fizyki. Próby ich wytłumaczenia doprowadziły do powstania pojęcia dualizmu korpuskularnofalowego, najpierw światła, potem elektronu, a poprzez zastosowanie koncepcji de Broglie a elektronom w atomach może być przypisana, jako atrybut, fala stojąca. Rozwiązanie stacjonarnego równania Schrodingera ze względu na energię całkowitą elektronu dla jednowymiarowego przypadku wzajemnie ze sobą oddziaływujących atomów (tzw. model Kroniga Penneya) daje w rezultacie model pasmowy: zależność energii elektronu od jego wektora falowego MODEL PASMOWY

25 Przewodnictwo elektryczne półprzewodników. Dodatkowe stany (poziomy energetyczne) są rezultatem wzajemnego oddziaływania wszystkich atomów i tworzą PASMO PRZEWODNICTWA Całkowicie puste Całkowicie zapełnione Każdy atom pożycza elektron od swoich sąsiadów - zapełniane są wszystkie poziomy w PAŚMIE WALENCYJNYM (PODSTAWOWYM) NIC nie może przepłynąć Prawie puste Prawie pełne Brak elektronu w paśmie podstawowym = brak ładunku e [(-)] => obecność dziury (+e) w paśmie podstawowym Nośniki ładunku elektrycznego mają wolne miejsce - może płynąć prąd

26 3.1. Generacja, rekombinacja, dziura

27 Potencjał elektrostatyczny E C Energia potencjalna = qv E V E C i E V zmienia się w odwrotnym niż potencjał kierunku (zwrocie); tzn. energia wzrasta gdy potencjał maleje nachylenie pasm

28 Dziury są brakującymi elektronami. Zachowują się jak cząstki z właściwościami takimi samymi jakie powinny mieć elektrony zajmujące te same stany, za wyjątkiem tego że niosą ładunek dodatni Pasmo prawie całkiem puste (przewodnictwa) Pasmo prawie całkiem zapełnione (podstawowe) Nachylenie pasm spowodowane jest polem elektrycznym

29 Półprzewodniki samoistne Idealny kryształ krzemu lub germanu w stanie niewzbudzonym (np. w temperaturze zera bezwzględnego T=0K) jest izolatorem. W tym stanie pasmo walencyjne jest całkowicie zapełnione, a pasmo przewodnictwa jest całkowicie puste. Jeżeli taki kryształ otrzyma z zewnątrz pewną ilość energii - np. cieplnej, to może nastąpić lokalne zerwanie wiązania kowalencyjnego i przejście elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa pp samoistny - ang. intrinsic

30 Powstająca dziura umożliwia jednemu z elektronów walencyjnych sąsiednich atomów na zajęcie pustego miejsca - wynika z tego dodatkowy ruch ładunków elektrycznych, a więc i dodatkowy prąd. Proces ten powtarzany wielokrotnie sprawia wrażenie, że w przestrzeni porusza się dziura (chociaż w rzeczywistości przeskakują elektrony). Ponieważ dziura ze względu na warunek neutralności elektrycznej kryształu (zasada zachowania energii) musi mieć ładunek dodatni to: w półprzewodnikach istnieją dwie składowe prądu (lub inaczej przewodności): > elektronowa > dziurowa

31 Analogia mechaniczna

32 Poziom Fermiego Funkcja Fermiego - Diraca f(e) opisuje prawdopodobieństwo zajęcia przez elektron poziomu o wartości energii E fe ( ) 1 1 e EE F kt Elektrony są fermionami, tzn. cząstkami posiadającymi spin połówkowy i podlegającymi zakazowi Pauliego. Inaczej: tylko jeden fermion może zajmować jeden stan kwantowy. Tak więc ponieważ są one dodawane do pasma energetycznego będą zapełniać dostępne stany począwszy od najniżej położonych (jak woda butelkę) W temp. T=0K wszystkie dostępne stany aż do E F - poziomu Fermiego włącznie są zapełnione.

33 Aproksymacja Boltzmana: E EF E EF 3 kt, f ( E) exp kt E EF EF E 3 kt, f ( E) 1 exp kt Dwa przypadki graniczne: E E kt, f ( E) 0 F E E kt, f ( E) 1 F

34 Półprzewodniki domieszkowe. Typ n - przewodnictwo elektronowe E Fi Dodatkowy elektron n E ln n Fn EFi kt n i

35 3.3.2 Typ p - przewodnictwo dziurowe E Fi Dodatkowa dziura E E kt Fi Fp ln p n p i

36 Półprzewodniki domieszkowe, c.d. Położenie poziomu Fermiego w stosunku do środka przerwy zabronionej wskazuje na typ przewodnictwa: przesunięcie E F w kierunku dna pasma przewodnictwa świadczy o tym, że półprzewodnik jest typu n. przesunięcie E F w kierunku wierzchołka pasma walencyjnego świadczy o tym, że półprzewodnik jest typu p. wartość przesunięcia jest proporcjonalna do koncentracji nośników większościowych.

37 Półprzewodniki domieszkowe, c.d. & Donor (dawca) oddaje nadmiarowy elektron (V grupa), który nie może być zagospodarowany przez wiązania kowalencyjne półprzewodnika. Staje się zlokalizowanym centrum (poziomem) o ładunku dodatnim & Energia jonizacji, np. fosforu w krzemie wynosi około 0.05eV. & Akceptor (biorca), np. bor - III grupa, posiada jeden elektron mniej niż krzem, tak że można uważać, że towarzyszy mu dziura, która może przechwycić elektron. Staje się więc zlokalizowanym poziomem (centrum) o ładunku ujemnym & Energia aktywacji domieszki akceptorowej to także około 0.05eV. & W temp. pokojowej (300K) drgania termiczne sieci krystalicznej dostarczają dosyć energii, by wszystkie domieszki były zjonizowane. & Jeżeli koncentracja elektronów >> koncentracji dziur to większościowymi nośnikami ładunku elektrycznego są właśnie elektrony. Mówimy o przewodnictwie elektronowym, a o takim półprzewodniku, że jest typu n. & W odwrotnym przypadku większościowymi nośnikami ładunku elektrycznego są dziury i mówimy o przewodnictwie dziurowym, a o takim półprzewodniku, że jest typu p.

38

39 Klasyfikacja półprzewodników i nośników ładunku elektrycznego; nazewnictwo. Samoistny Domieszkowy Typ n, elektronowy (ang. negative ) Typ p, dziurowy (ang. positive ) Kompensowany Zdegenerowany Półizolacyjny (najczęściej kompensowany jednocześnie domieszkowany akceptorami i donorami, lub głębokimi poziomami pułapkowymi) Nośniki ładunku elektrycznego Dziury Elektrony p n Większościowe n n p p Mniejszościowe n p p n

40 Domieszki w krzemie Kilka liczb. Znowu! W 1cm 3 Si jest ~5x10 22 atomów. Koncentracja domieszki jest rzędu /cm 3 oznacza, że 1 atom domieszki przypada na atomów krzemu. Jest to nadal metalurgicznie czysty, krystaliczny materiał. Koncentracja nośników ładunku może być precyzyjnie sterowana przez domieszkowanie kryształu. Około donorów/cm 3 oznacza elektronów/cm 3 i 10 5 dziur/cm 3 (1 dziura przypada na elektronów i na 5x10 17!! atomów krzemu). Koncentracja par elektron-dziura/ cm 3 oznacza, że tylko 1 atom krzemu na 5,000,000,000,000 (5x10 12, 5 trylionów) stracił elektron wskutek energii termicznej.

41 Równowagowa koncentracja nośników Różnica E F - E i może być użyta do obliczania koncentracji nośników: p n exp[( E E )/ kt ] i i F n n exp[( E E )/ kt ] i F i Iloczyn np nie zależy od wartości energii poziomu Fermiego, typu półprzewodnika jak również indywidualnej koncentracji dziur czy elektronów. ni 2 n p Jest to b. użyteczne równanie, ale UWAGA: obowiązuje tylko w warunkach równowagowych

42 Równowaga termodynamiczna. Warunki Nie ma żadnych zewnętrznych wymuszeń działających na analizowany układ pole elektryczne=0 pole magnetyczne=0 oddziaływanie mechaniczne=0 Drgania termiczne: elektrony i dziury oddziaływują poprzez zderzenia z siecią krystaliczną i nawzajem ze sobą Każdy poziom energetyczny pasma walencyjnego (podstawowego) i przewodnictwa posiada określone prawdopodobieństwo zajętości przez elektron

43 W ogólności akceptory i donory mogą być obecne w pp. jednocześnie. Nie uwzględniając generacji termicznej par elektron - dziura koncentracja nośników większościowych: n N N dla N N n D A D A p N N dla N N p A D A D A koncentracje nośników mniejszościowych: p n N D 2 ni N A 2 ni np NA ND Należy też pamiętać, że gęstość ładunku przestrzennego w dowolnej objętości pp., także domieszkowanego, ze względu na warunek elektrycznej neutralności musi się równać zero. q( p n N N ) 0 D A

44 Ruch nośników prądu w półprzewodniku 1. Bezładne ruchy cieplne (~10 5 m/s) 2. Ruchy skierowane a) unoszenie ( dryft, a lepiej dryf ) w polu elektrycznym b) dyfuzja

45 Konduktywność, prąd unoszenia, ruchliwość. T=300K; E=0 T=300K; E>0 Prędkość średnia=0 Prędkość średnia różna od 0 j A E 2 m Lokalne (półprzewodnikowe) Prawo Ohma U I= [ A ] R Klasyczne (dyskretne)

46

47 Ruchliwość nośników ładunku Średnia gęstość elektronowego prądu unoszenia: jnu Qn vn q n vn A średnia gęstość dziurowego prądu unoszenia: jpu Qp v p q p v p j q n vn E E q p v E p Ale, z definicji ruchliwość nośników ładunku: n v m V s 2 n E p v m V s 2 p E qn q p n p

48 Rezystywność (odwrotność konduktywności) R l 1cm R R 2 cm S 1cm 1cm 3 (1cm x 1cm x 1cm) Typowe wartości rezystywności [Ωcm] przewodnik półprzewodnik izolator 10-6 Miedź 50Ωcm (Ge) 10 4 Ωcm (Si) Ωcm Mika

49 półprzewodnik samoistny n = p = n i σ i = qn i (μ n + μ p ) półprzewodnik typu n σ n qn n μ n półprzewodnik typu p σ p qp p μ p

50 Konduktywność półprzewodnika domieszkowanego w funkcji temperatury σ n qn n μ n lgσ n =lgq+lgn n +lgμ n tg( ) tg( ) Wd 2k W g 2k generacja μ maleje Jonizacja dom.

51 σ [Ωcm] -1 n[cm -3 ] Skala logarytmiczna! tg( ) W g 2k β III II I α tg( ) W d 2k 0 T= ~2 (+227 C) ~4 (-23 C) 1000/T [1/K] n=n i n=n D n=n D + n=0 przewaga Do zaniedbania Wysoka T Średnia T Niska T 0K

52 Konduktywność półprzewodnika samoistnego w funkcji temperatury Koncentracja nośników samoistnych silnie zależy od wartości energii przerwy zabronionej i od temperatury: E 3/2 g ni A T exp( ) 2kT Szerokość przerwy energetycznej także jest funkcją temperatury (empiria): 2 T Eg( T) Eg(0) T temp. pok.

53 E σ i = qn i (μ n + μ p ) 3/2 g ni A T exp( ) 2kT

54 Dodatkowe (formalne) uzasadnienie pojęcia dziury. Jak już wielokrotnie podkreślano, półprzewodnik w porównaniu z izolatorem, czy przewodnikiem posiada: prawie puste pasmo przewodnictwa prawie pełne pasmo podstawowe (walencyjne), Koncepcja dziur jest wprowadzona do modelu pasmowego z powodów formalnych łatwiej jest śledzić brakujące elektrony w prawie pełnym pasmie, niż wszystkie tamże; -w efekcie upraszcza się analiza.

55 Całkowita gęstość prądu wywołanego przez elektrony z pasma podstawowego: 1 jvb ( q) v V obsadzone stan y Można ją zapisać inaczej: 1 j ( q) v ( q) v V vb i i wszystkie puste s tany s tany i V - objętość pp. v i - prędkość i - tego elektronu j vb 1 V puste stan y ( q) v i

56 Dyfuzja i unoszenie nośników Dyfuzja ruch pod wpływem gradientu koncentracji n j q D grad( n) qd Dn n n x p j q D grad( p) qd Dp p p x Wzory Einsteina: D n kt q kt q D n p p

57 Unoszenie Dyfuzja

58 Pole elektryczne wbudowane wewnątrz półprzewodnika Kluczowe pytania: Czy w warunkach równowagi termodynamicznej jest możliwe istnienie pola elektrycznego E(x) wewnątrz półprzewodnika? Jeżeli w półprzewodniku istnieje gradient domieszki, (dn A,D /dx) to jaki będzie wynikowy rozkład koncentracji większościowych nośników ładunku (n(x) lub p(x)) w warunkach równowagi termodynamicznej?

59 Niejednorodnie domieszkowany półprzewodnik w warunkach równowagi termodynamicznej Rozpatrzmy najpierw w warunkach równowagi termodynamicznej półprzewodnik jednorodnie domieszkowany donorami. N N D (x)= N D Typ n elektrony to nośniki większościowe; dziury mniejszościowe ogniskujemy uwagę na elektronach n 0 = N D i nie zależy od x Objętościowa gęstość ładunku elektrycznego [C/cm 3 ] r = q(n D n 0 ) = 0 x

60 Teraz weźmy pod uwagę półprzewodnik typu n z nierównomiernym rozkładem domieszki, ale w warunkach równowagi termodynamicznej: N N D (x) x Jaki jest ostatecznie rozkład koncentracji elektronów w warunkach równowagi termodynamicznej?

61 Hipoteza 1. Każdy donor oddaje jeden elektron, więc: n 0 (x) = N D (x) N N D (x) n 0 (x) = N D (x)??? Ale: istnieje gradient koncentracji elektronów, więc: x - następuje dyfuzja elektronów, co z kolei świadczy o: - braku równowagi termodynamicznej (!!!!!!)

62 Hipoteza 2: Rozkład koncentracji elektronów jest jakiś uśredniony: jednorodny n0 n f ( x) ave N N D (x) n ave Pomyślmy o lokalnej gęstości ładunku elektrycznego: q N D n 0 x N ( ) ( ) ( ) 0 D x n x x pole elektryczne prąd unoszenia brak równowagi termodynamicznej (!!!!!) 0

63 Hipoteza 3: Zażądamy, aby w równowadze termodynamicznej w każdym punkcie x gęstość prądu elektronowego (dziurowego zresztą też) była równa 0. u d j ( x) j ( x) j ( x) 0 e e e Jaki rozkład koncentracji n 0 (x) potrafi spełnić powyższy warunek? N N D (x) częściowo nieskompensowany ładunek donorów n 0 (x) nadmiarowy ładunek elektronów Zatem w ogólności: n ( ) ( ) 0 x ND x A jakie są implikacje tego faktu? x

64 Gęstość ładunku przestrzennego N ( x) q[ N ( x) n ( x)] D 0 n 0 (x) N D (x) częściowo nieskompensowany ładunek donorów nadmiarowy ładunek elektronów x ( ) ( ) x

65 Pole elektryczne Równanie Gaussa: de dx 0 r Całkując od x=0 do x: 1 E( x) E(0) ( x) dx x 0 r 0 ( ) ( ) x E x

66 Rozkład potencjału elektrycznego Całkując od 0 do x: ( x) (0) E( x) dx x 0 d E dx Teraz trzeba wybrać potencjał odniesienia; sens fizyczny ma wszak różnica potencjałów, a nie jego wartość absolutna. Wybierzmy ( x 0) ref Mając dany rozkład koncentracji domieszki N(x) chcemy obliczyć: rozkłady odpowiednio: koncentracji elektronów, ładunku przestrzennego, natężenia pola i potencjału elektrycznego n ( x), ( x), E( x), ( x) o Jak to zrobić?

67 Równania opisujące ten problem to: dn j q n E qd dx de q ( ND n0 ) dx o e n 0 n 0 0 r Dostaniemy: Czyli: d kt dn dx q n dx 1 o d kt d[ln( n0 )] dx q dx o E Wyrażając je poprzez potencjał: d dn qnn qd dx dx 2 d q 2 dx 0 0 n 0 0 Z równ. (1): r ( n N ) 0 D d qdn dn dx q n dx n 0 (1) (2) 0 Stąd wniosek (pośredni): O ile wynikowy, równowagowy rozkład nośników ładunku będzie miał charakter eksponenty, to wewnętrzne, wbudowane pole elektryczne będzie miało stałą wartość natężenia Uwzględniając r. Einsteina: n D n q kt I dalej:

68 Podstawiając przekształcone (1) do (2), ostatecznie: 2 d ln n 2 0 x q 2 n0 x ND x dx kt Jedno równanie z jedną niewiadomą n 0 (x); o r (N D (x) jest zadane). Mając rozwiązane n 0 (x), mamy także wszystkie pozostałe szukane zależności. W większości praktycznych przypadków równanie powyższe nie posiada jednak rozwiązania analitycznego.

69 Przybliżenie QUASI - NEUTRALNOŚCI d ln n q kt dx o r n 0 N D Jeżeli N D (x) jest funkcją wolnozmienną, to: n 0 jest także wolnozmienną. druga pochodna (z logarytmu n) ma b. małą wartość więc: n 0 (x) będzie dobrze śledziło przebieg N D (x); ładunek przestrzenny będzie minimalny, więc można powiedzieć, że półprzewodnik jest quasineutralny

70 Do BEZWZGLĘDNEGO zapamiętania: 1) W równowadze termod. poziom F. = linia prosta do osi odległości wygiąć je można tylko wymuszeniem zewnętrznym, np. przyłożeniem napięcia 2) Każde nachylenie poziomów (pasm) energ. świadczy o istnieniu pola E 3) Niejednorodne dom. wbudowane pole E bo: grad(n) grad(n) prąd dyf. rozkład przestrz. (dipol) ładunku el. hamujące dyf. pole E odwrotny prąd unosz. aż do równowagi (suma j =0) 4) Przybliżenie quasineutralności : rozkład przestrzenny nośników ładunku z dostateczna dla inżyniera dokładnością odwzorowuje rozkład domieszki 5) O ile rokład domieszki ma charakter exp. wartość natężenia indukowanego pola E = const.