Przekrój czynny na pochłanianie neutronow. To jest wykres energii wiązania /nukl

Transkrypt

1 Model powłokowy Jądro w modelu powłokowym to układ słabo-oddziałujących nukleonów poruszających się w polu potencjalnym. Na początku, zanim zrozumiano strukturę jądra, zaobserwowano, że niektóre jądra są znacznie trwalsze niż inne (chodzi o dowolne procesy jądrowe). Ogólnie istnieje pewna okresowość w zachowaniu się jąder. To przypominało własności atomowe związane z zapełnieniem powłok elektronowych. Da tych jąder występują nieciągłości dla pewnych parametrów jąder. Widzimy, że energia wiązania dla pewnych jąder jest większa niż dla innych. Szczególnie trwałe są jądra których liczby protonów i neutronów wynoszą,8,,5,8,16,. Odpowiadają one tzw. liczbom magicznym. Przekrój czynny na pochłanianie neutronow He, O, Ca, Sr, Sn, Zr, Xe, Pb To jest wykres energii wiązania /nukl 1 3

2 Siły jądrowe: Dwucząstkowe przybliżenie - hamiltonian oddziaływania jako suma hamiltonianów par nukleonów A H Wszystko sprowadza się wtedy do sił między dwoma nukleonami. Siły typu ij centralnego - niezależność od kątów i j H, Siły krótko-zasięgowe - rzędu jednego 1 fm Jeśli zapomnieć o innych oddziaływaniach i założyć zależność od odległości r to mamy tzw. potencjał Yukawy W rzeczywistości r U r Hˆ Tˆ Vˆ r Uˆ(, sli ˆ ˆ, ) Tˆ Vˆ f() r L s kin kin U r exp r R Siły te zależą nie tylko od odległości ale także od ich s, s 1 spinów 1 i wektorów orbitalnych momentów pędów oraz od wektorów izospinów r r L s E parametr związany z rozmiarem jądra s 1 L 1 ¹ s L energia potencjalna

3 Atom kwantowo opisany jest n, l, m n 1,,3... Stany energii l,1,,...( n 1) Stany numerowane L l( l1) m l,( l1),( l).. 1,, 1,,..( l1), l l -numeruje stany o danym momencie pędu (numeruje możliwe orbity) nazywają się odpowiednio s, pd,... l, 1,, 3... m ilość stanów m przy danej liczbie l rzut L na jakiś wyróżniony kierunek (np. na kierunek pola magnetycznego B) Oprócz tego istnieje spin wewnętrzny stopień swobody (Niezależny od współrzędnych!) Istnieje również pojęcie rzutu spinu na wyróżnioną oś z. n 1, l n1 l 1 Na pierwszej orbicie mamy dwa elektrony różniące się rzutem spinu Dla n mamy l, 1 dla l znowu mamy dwa elektrony a dla l 1, m 1,,-1 mamy ich sześć (bo dla danego m mamy dwa możliwe rzuty spinu) B. Muryn

4 Jeśli konstruujemy równanie dla jądra musimy pamiętać, że nie możemy już wprowadzić potencjału typu Coulomba ale musimy uwzględnić przede wszystkim potencjał krótko zasięgowy wtedy zwykle piszemy trójwymiarowy potencjał oscylatora 1 E V () r U ( studnia) m r W takim przypadku energia zależy od n,, / 1 n n N 1 3 trzech wartości n (3-wymiary) N n1n n3 Tyle co do głównej liczby kwantowej a jeśli chodzi o część związana z momentem pędu to istnieje podobne (jak dla wodoru) rozwiązanie zależne od liczby kwantowej l, która odpowiada pewnemu stanowi, który można interpretować w języku atomu jako "powłokę". Na powłoce mieści się l 1 spin Jeśli mamy stan S: l to aby spełnić zakaz Pauliego w stanie tym mogą znajdować się dwa protony 1 i dwa neutrony 1. Więcej NIE i na tym polega wypełnienie. Mamy wtedy stan o dwóch protonach i dwóch neutronach, "niechętnie" przyjmujący dodatkowe nukleony (chyba, że energetycznie się zmusi), jest to hel Czyli dla helu wypełniona jest powłoka Protonów i tyle samo l 1 neutronów s :. Natura zaczyna wypełniać następną powłokę Wypełni ją całkowicie gdy umieści na niej protonów i tyle samo neutronów razem 1. Zapełnienie powłoki S oraz P daje ( + 6)=8 protonów i (+6)=8 neutronów. Wtedy znowu powłoki wypełnione, niechętnie patrzące na przybyszów (Stan silniej związany). spin He P : ( l 1) 16 8 O

5 Jeśli wypełniamy następną powłokę D to mamy (zgodnie z powyższym) dziesięć protonów oraz 1 neutronów co daje razem po zapełnieniu powłok S,P,D 18 protonów i 18 neutronów. Otrzymujemy Ar Do tej pory mówiliśmy o zapełnianiu powłok zarówno przez protony jak i neutrony (tzw. Podwójnie zamknięta powłoka). Zdarza się jednak tak, że jedne z nich tylko wysycają powłokę (zgodnie z zasadą Pauliego) reszta nie. Problem bardziej skomplikowany. Istnieją pewne jądra o tzw. liczbach magicznych,8,5,8,16 które są wyjątkowo stabilne. Przy okazji modelu powłokowego dyskusja na temat momentów pędów jąder. Jtotal sprot sneut Lprot Lneutrony protony neutrony protony neutrony spiny prot. spiny neutr. momenty orbit. momenty orbit. Z N Jtot ( ) parzyste parzyste (obserwacja) parzyste nieparzyste 1/, 3/, 5/, 7/.itd nieparzyste parzyste 1/, 3/, 5/, 7/.itd nieparzyste nieparzyste 1,, 3, 4,..itd Jądra zapełniają powłoki parami protonów (neutronów) o przeciwnie skierowanych orbitalnych mom. pędu Istnienie zerowych spinów jąder parzysto-parzystych uważa się za dowód układania się identycznych nukleonów w pary o całkowitym momencie pędu równym zero

6 Parzystość przestrzenna P jądra P A i 1 i 1 l i l i liczba kwantowa określająca "ruch" i tego nukleonu względem środka masy jądra patrz dyskusja o budowie kwarkowej nukleonów stąd parzystość przestrzenna P 1 jądra atomowego ale parzystość przestrzenna nukleonu jest dodatnia, 1 l i 7 Li np. 3 w stanie podstawowym ma 4 nukleony w stanie s Parzystość przestrzenna jądra wynosi ( ) l i 3 w stanie p ( l 1)

7 Kinematyka reakcji jądrowych E E E a b i i Energia całkowita i pęd zachowane ab x x x... x p p 1 3 n pocz konc ( czteropędy) i stosujemy wzory dla umiarkowanie relatywistycznych obiektów m m c K K mc K kin kin kin a b a b i i i i energia reakcji Q K K K m m c mc kin kin kin i a b a b i i def kin Q K kin K m m c mc m m końc pocz a b i pocz końcowa i Q Jeśli w reakcji energia jest wydzielana to znaczy, - reakcja egzotermiczna energia spoczynkowa idzie na kinetyczną Q Jeśli w reakcji energia jest pobierana to znaczy, - reakcja endotermiczna powstaje masa dzięki energii kinetycznej. Jeśli proces jest elastyczny to Q Energia progowa jest to najniższa energia jaką musi mieć uderzająca w jądro (tarczę układ laboratoryjny) aby dany proces był energetycznie możliwy do przeprowadzenia. E mc E k Znowu widzimy zamianę masy na energię

8 Rozważmy teraz dokładniej rozpady. Załóżmy, że jądro X jest w spoczynku ( ) Zasada zach. energii E X iy, R E i Q M M M A A A A Z Z ZZ KY KR Z, A Z, A ZZ, AA c X Y R K B B B Nm Zm Nm Zm N Nm Z Zm c c c c Z, A Z, A Z Z, AA n p n p n p Wyrazy z masami nukleonów redukują się i otrzymujemy Aby wyrwać z jądra np. cząstkę M Z, A c K X M Z, Ac KYM ZZ, AAc KR Q KY KR BZ, A BZZ, AA B Z, A potrzeba KY KR M Z, A M Z, A M ZZ, AA c Energia reakcji równa jest różnicy odpowiednich energii wiązania porządek odwrotny niż dla mas! E Q B4, BZA, 4 B Z, A Energia potrzebna do usunięcia jednego protonu z jądra wynosi zgodnie z powyższym wzorem (energia wiązania swobodnego protonu wynosi ) E Q B B B B B B B p p Z1, A1 Z, A Z1, A1 Z, A Z, A Z1, A 1 Przy rozpadzie różnica mas idzie na energię kinetyczną prod. rozpadu Q X

9 Energia potrzebna do usunięcia jednego neutronu E Q B B B B B,,,, n n Z A 1 Z A Z A 1 Z A W pewnych okolicznościach różnica ta może być dodatnia a w innych ujemna Wszystko to możemy wyrazić w funkcji energii wiązania BZN (, )/ A Chcemy udowodnić tezę, że jeśli ciężkie jądro rozpada się na dwa lżejsze to proces ten jest egzotermicznym Q Q BZ, ABZZ, AA B Z, A AAAA A A AA A A A AA AA A Zauważmy, że energia wiązania na nukleon opada trochę ze wzrostem A (wzrost Z). Dzieje się tak dzięki odpychaniu Coulomba, które jest proporcjonalne do Z Załóżmy, że nastąpił rozpad na dwa podobne jądra A A A wtedy - Jeśli rozpad idzie na jądra o większym to Q B A Q A A A A

10 Wróćmy do rozpadów alfa. W chwili obecnej znamy ponad jąder podlegających rozpadowi Są one ciężkie (Z>83). Czasy życia rozpadów zawierają się w przedziale: T T / lat dla / sekund 71 Lutet Każdy z rozpadów jest egzotermiczny tzn. Q> oraz (patrz trzy folie wstecz) Ce Lu Cer Q B B B A 4 Jeśli założymy, że jądra są dostatecznie ciężkie, tzn Warunek na rozpad Z A, 4 ZA, A4 A A4. to A4 ale wiadomo, że Q 4 7MeV A A Jak popatrzymy na rozkład energii wiązania na jeden nukleon to widzimy, że warunek ten nie jest spełniony. Rozpad jednak się zdarza i jest możliwy tylko dla ciężkich jąder, tzn. w obszarze gdzie A 8MeV W mechanice kwantowej proces, który spełnia zasady zachowania może się z jakimś prawdopodobieństwem odbyć. A B. Muryn

11 8 MeV Dane doświadczalne pokazują, że z rozpadami mamy do czynienia już od A=14 jak również dla pośrednich jąder z A Procesowi temu pomaga Kulombowskie odpychające oddziaływanie. Dla jąder z deficytem neutronów proces ten przebiega łatwiej. Cząstka w jądrze dostaje się na brzeg jądra i odpychana jest przez pot. Coulomba. Energia potencjalna na brzegu jądra wynosi 14 1 m Q Qjądra V k 3 MeV! r jądra Stąd cząstka powinna dzięki odpychaniu uzyskać taką energię. Energie cząstek alfa są jednak dużo mniejsze i wynoszą zwykle około 5-1 MeV. Aby to bardziej intuicyjnie zrozumieć odwróćmy problem i starajmy się wepchnąć cząstkę alfa do jądra, co energetycznie jest tym samym. Klasycznie aby cząstka wpadła do jądra musi mieć energię co najmniej 3 MeV a ma około 5-1 MeV i dostaje się do jądra! Dzieje się tak dzięki zjawisku tunelowemu.

12 O ile energie cząstek alfa leżą w wąskich przedziałach o tyle czasy półrozpadów 17 7 leżą w bardzo szerokim zakresie czasowym ( od 1 lat do 1 s ). Prawidłowość tą można wyjaśnić empiryczną regułą (191 rok Geiger-Nettol) U D D T1 / exp C Aexp E E C i D stałe Widać, że małe zmiany w energii powodują duże zmiany w czasie życia. Powyższa reguła ma swoje uzasadnienie w modelu rozpadu (198 Gamow, Condon i Gerni) opartego o kwantowe przejście tunelowe. R E Na zewnątrz jądra tylko potencjał Coulomba Na granicy Z e U UCoul k r Z e Z e U UCoul k k 1/ 3 R ra Dla przykładu weźmy jądro Uranu A=38 Z=9 po podstawieniu mamy U 3MeV Emitowane alfy mają zaledwie 1 MeV a nie 3 MeV i gdyby podlegały klasycznej mechanice to rozpad taki byłby zabroniony

13 Proces jednak ma miejsce dzięki efektowi tunelowemu. Załóżmy prostokątny potencjał U poza studnią m d d r E r d m U E d r Rozwiązaniem jest fala zanikająca typu definiujemy tzw. parametr penetracji e r p r a P e exp m U E a Ae ikr Be ikr energia kinetyczna e bariera ra obszar studni P p e r ikr Ce Czyli m U E m U E Pexp a mue fale, biegnąca i odbita a fale, biegnąca

14 Jeśli zastąpimy potencjał prostokątny (dla którego powyższe rozumowanie zostało przeprowadzone przez potencjał Coulomba, U U E E R R to musimy trochę zmodyfikować nasze równanie P exp m U E a r P exp m U r E d r R P wielkość bezwymiarowa

15 U R def P Wewnątrz jadra formują się co chwila cząstki alfa i uderzają o barierę jądra p f ocena jest trudna i podlega modelom, zwykle przyjmujemy zaś f E Zauważmy, że gdy to P =1, zaś P maleje z maleniem E lub wzrostem U reprezentuje sobą dwa efekty: jest odwrotnością czasu t przelotu przez jądro 1. prawdopodobieństwo kreacji wewnątrz jądra, p. częstość zderzeń z barierą p p 1 R pęd t ale v pęd zasada bo pędr v m R U stąd możemy obliczyć stałą rozpadu mnożąc współczynnik penetracji przez ilość cząstek dochodzących w 1 sek do brzegu jądra t m R 1 f t Heisenberga m R jeśli p 1 to f m R s f 1

16 proste podstawienie z R, 1 5fm prowadzi do 1 s Z taka częstotliwością uderza w barierę cząstka alfa Rachunki pokazują, że cząstka przejdzie barierę po zderzeniach. Dlatego średnio jądro wyemituje alfę po 4 1 zderzeń / rozpad 1 s Setki miliardów lat 1 zderzeń / s Jak to jednak jest, że obserwujemy wiele rozpadów? Jeśli kilka gramów np.. Uranu zawiera około 3 1 jąder to 3 43 zderzeń/jądro 1 jąder =1 zderzeń/s zderzeń/s zderzeń/rozpad 1 rozpadów/s B. Muryn

17 Podstawiając def P m R f r P exp m U r E m R R dr Rozpad podlega temu samemu prawu i w przypadku rozpadów niezależnych (jeden niezależny od drugiego) mamy Czas życia stąd N N e t t N N dn t 1 t 1 t t N e dt te dt 1 Ważna informacja czas życia jądra jest odwrotnie proporcjonalny do stałej rozpadu.

18 Można zapytać jaki jest związek czasu życia obiektu z rozmyciem energii (lub masy) stanu w jakim się dany obiekt (cząstka) znajduje. Można to pokazać na gruncie mechaniki kwantowej (patrz uzupełnienie na końcu wykładu). Otóż uprzednio rozważaliśmy związek pomiędzy czasem życia a tzw. stałą rozpadu Można zdefiniować podobną kwantową wielkość, która ma trochę inną interpretację niż z nią prosto powiązana ev i opisuje rozmycie energetyczne (masowe) badanego obiektu tzn stan kwantowy niekoniecznie musi mieć ściśle określoną energię lub masę. 1 ale jest E E E E E E

19 Problem czasu życia przy rozpadzie beta i jego związek z amplitudą opisującą proces. Rozpad beta musi być inaczej traktowany w porównaniu z rozpadem alfa ze względu na fakt, że mamy do czynienia z kompletnie różnymi procesami Musimy wprowadzić pewne podstawowe pojęcia. Jeśli mamy stan początkowy pewnego procesu i stan końcowy to istnieje pewien operator unitarny (zachowujący prawdopodobieństwo) zwany macierzą rozpraszania taki, że Ŝ dla końc Sˆ pocz w skrócie f Sˆ i n pe Jeśli nie ma żadnego oddziaływania to Sˆ Iˆ i - (initial) stan początkowy f (final) stan końcowy (jednostkowa) ogólnie oddziaływanie wyraża się poprzez operator T Sˆ Iˆ Tˆ T f Tˆ i Tˆ d * if f i gdzie całkowanie przebiega wszystkie zmienne od których zależą funkcje n pe

20 Jeśli oddziaływanie między cząstkami jest w miarę słabe to amplituda może być wyliczona z rachunku zaburzeń i wtedy w pierwszym przybliżeniu mamy T if ˆ 4 f T i const P P f Hˆ i def f 4 * 4 const P ˆ f Pi f Hinti d cont s Pf Pi M i int if zasada zachowania czteropędu M if Rozumowanie opisujace wielkość amplitudy jest następujące: Jeśli amplituda na dany proces rozpadu jest "duża" w sensie gęstości prawdopodobieństwa to znaczy, że proces zachodzi stosunkowo łatwo a więc obiekt krócej żyje. Musimy więc powiązać razem te rzeczy ilościowo. Miarą "łatwości" procesu jest pewna wielkość związana z kwadratem amplitudy i podająca prawdopodobieństwo przejścia w danym procesie. Jeśli i jest "podobne" do f to if jest "duże" i prawdopodobieństwo rozpadu jest duże (czas życia krótki). M B. Muryn

21 Cały jak widać problem polega na obliczeniu naprzód amplitudy M if Istnieją dwie metody policzenia tego problemu. Historyczny, Fermiego i współczesna w oparciu o teorię elektrosłabych oddziaływań (wymiana W). p n p W n e e e e Fermi założył oddz. w punkcie. Podobnie dla rozpadu Tak wygląda rzeczywisty proces elektrosłabego rozpadu B. Muryn

22 Dokładny rachunek w obu przypadkach jest czasochłonny i wymaga (w szczególności dla oddziaływań elektrosłabych) dodatkowej wiedzy. Dlatego przedyskutujemy tylko przybliżenie Fermiego. Weźmy na przykład F Oe e stan początkowy p e n n r n p rp proton zamienia się w neutron (podproces) Model Fermiego daje przepis na amplitudę M nie zależy bezpośrednio od zmiennych ani neutrina ani elektronu! G M W e * 3 G r r d r G M if W n p W F const M F * Jeśli n r p r to jak wspomniałem amplituda duża, czas życia krótki rozpad zachodzi szybko B. Muryn

23 Jeśli amplituda (związana z prawdopodobieństwem) jest duża (duże prawdopodobieństwo to jądro szybko się rozpadnie, a więc czas życia jest odwrotnie proporcjonalny do amplitudy. ale ze znanego związku mamy 1 G F M G Przywołujemy postać M F nr pr F W M F * 3 * Widać stąd, że jeśli n r "podobne" do p r to wtedy całka przyjmuje maksimum i czas życia jest krótki. Gdyby były identyczne to z normalizacji byłoby Jeśli natomiast stan protonu jest bardzo różny od stanu neutronu to "przekrywanie" się obu funkcji jest małe co skutkuje długim czasem życia (patrz równanie na ). Rozpady beta są procesem słabym i bariera Kulombowska nie przeszkadza dlatego krótsze czasy życia. 1 X d r * 3 M F nr pr d r 1 Y e

24 Zadajmy pytanie kiedy funkcje są prawie identyczne? Gdyby pominąć oddz. Kulomba to z niezmienniczości izospinowej nr pr (pod warunkiem, że mają jednakowe orientacje spinów i jednakowe parzystości) Gdy różne są spiny lub parzystości to funkcje te są różne i M F jest małe jądro żyje długo. Stąd pierwsze reguły wyboru Fermiego: dozwolone są tylko przejścia spełniające zmiana spinu jądra I zmiana parzystości jądra tylko dla (antyrównoległe) S Se S Teoria Fermiego nie brała pod uwagę zależności M od równoległych spinów if neutrina i elektronu. Udoskonalony model Gamowa-Tellera, który to uwzględnia osłabia trochę reguły wyboru Fermiego zmiana spinu jądra I, 1 zmiana parzystości jądra S S e S S Se S 1

25 Materiał nadprogramowy Formalizm poniższy dotyczy zarówno formacji cząstek jak również ich rozpadu W przypadku rozpadu cząstek mamy do czynienia ze stanem niestacjonarnym zależnym od czasu (patrz rozwiązania równania Schroedingera.) t t e E E iet t e Z drugiej strony znamy prawo rozpadu dla dowolnych, niezależnie rozpadających się obiektów Do tej pory energia była rzeczywista spróbujmy napisać ją w postaci zespolonej U góry mamy napisaną funkcję w postaci zależnej od czasu. Jeśli chcemy ją wyrazić jako funkcję energii musimy zrobić transformatę Fouriera i E 1 dt e iet t

26 E iet t iet 1 dt e e dolna granica całki wynosi bo funkcja Ψ() jest różna od zera dla wartości t dodatnich Jest to całka typu 1 1 dt e iet dt e e i wstawiamy za E A B EE it t E i t z iab ( ) 1 1 xia B iab t z e dz e limx e e ia B ia B iax 1 e 1 limx 1 Bx ia B e B ia dt

27 E Po podstawieniu za A i B do wartości całki mamy 1 1 i i 1 ie E i ie E EEi Po obliczeniu gęstości prawdopodobieństwa E E E EE 1 4 to przedstawia sobą rozkład energii rozpadającego się obiektu Istnieje kilka postaci wzoru np. wzór relatywistyczny (nie dyskutujemy). Kwadrat amplitudy związany jest z przekrojem czynnym stąd przekrój czynny wygląda podobnie E E E B. Muryn