Metody reprezentacji danych w podprzestrzeniach liniowych oraz ich zastosowanie w zadaniach rozpoznawania obrazów twarzy
|
|
- Dorota Zych
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody reprezentacji danych w podprzestrzeniach liniowych oraz ich zastosowanie w zadaniach rozpoznawania obrazów twarzy Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1 / 60
2 Plan wykładu 1.1.Redukcja Redukcjawymiarowości wymiarowości 2.2.Przedstawienie Przedstawieniewybranych wybranychmetod metod oraz orazich ichzastosowań zastosowań 3.3.PCA PCA//KLT, KLT,1D, 1D,2D 2D 4.4.LDA, LDA,1D, 1D,2D 2D 2 / 60
3 Transformacje ortogonalne 1.1.SVD SVD Singular SingularValue ValueDecomposition Decomposition 2.2.DCT, DCT,DFT DFT Discrete DiscreteCosine/Fourier Cosine/FourierTransform Transform 3.PCA/KLT 3.PCA/KLT Principal PrincipalComponent ComponentAnalysis Analysis 4.4.LDA LDA Linear LinearDiscriminant DiscriminantAnalysis Analysis 3 / 60
4 Jak reprezentować obrazy? Dlaczego potrzebujemy metod reprezentacji obrazów? Przekleństwo wymiarowości (ang. Curse of dimensionality) szerokość x wysokość x kanały_koloru Usuwanie szumu Analiza sygnału I wizualizacja Metody reprezentacji W dziedzinie częstotliwości : metody liniowej transformacji DFT, DCT, DST, DWT, Często jako metody kompresji Operacje w podprzestzreniach PCA, ICA, LDA Liniowe transformacje obliczone na podstawie danych Metody ekstrakcji cech Wykrywanie linii I krawędzi Mapy cech uzyskane w wyniku filtracji Transformata Gabora Aktywne kontury (ASM, Snakes) 4 / 60
5 Czym jest podprzestrzeń? (1/2) Problem określenia bazy w niskowymiarowej podprzestrzeni: Aproksymacja wektorów poprzez rzutowanie do nowej, niskowymiarowej podprzestrzeni: (1) Początkowa reprezentacja: x = a1v1 + a2v2 + + an vn w N-wymiarowej przestrzeni space where is a bazą base in the original N-dimensional gdzie v1, v2,, vn jest (2) Niskowymiarowa reprezentacja w podprzestrzeni: xˆ = b1u1 + b2u2 + + bk u K where is a basein K -dimensionalsub-space (K<N) (K<N) bazą wthek-wymiarowej podprzestrzeni gdzie u1, u2,, uk jest Uwaga: jeżeli K=N, wtedy x = x 5 / 60
6 Czym jest podprzestrzeń? (2/2) Przykład (K=N): 6 / 60
7 Analiza Komponentów Głównych PRINCIPAL COMPONENT ANALYSIS (PCA) 7 / 60
8 Motywacja Cele analizy Znalezienie bazy, która ma dużą wariancję w danych Reprezentacja danych z możliwie małą liczbą elementów bazy z niskim MSE 8 / 60
9 Problem klasyfikacji Algorytmy Rozpoznawania Wzorców PCA szuka kierunków, które dobrze rozdzielają klasy nieefektywne klasa A efektywne klasa A klasa B klasa B 9 9 / 60
10 Rozporoszenie Algorytmy Rozpoznawania Wzorców PCA maksymalizuje całkowite rozproszenie Rozproszenie (ang. scatter) Klasa A Klasa B / 60
11 Obliczenie komponentów (PCs) Zakładamy że E[ x] = 0 T T a=x q=q x s 2 = E[a 2 ] - E[a]2 = E[a 2 ] T q = (q q) 1 2 =1 Znaleźć takie q, które maksymalizują to = E[(qT x)(xt q)] = qt E[xxT ]q = qt Rq Komponent (PC) q obliczamy jest za pomocą dekomozycji wartości własnych, np. za pomocą SVD R = QΛQT, Q = [q1, q2,, q j,, qλ m ], Ű Rq j = l j q j = diag[l1, l2,, l j,, lm ] j = 1, 2,, m Rq = l q 11 / 60
12 Redukcja wymiarowości (1/2) Można odrzucić komponenty o mniejszym znaczeniu. Faktycznie, traci się częśc informacji, jednak wartości własne są na tyle małe, że utrata nie jest duża n wymiarów w danych początkowych Oblicza się n wektorów własnychiu wartości własnych wybieramy p wektorów własnych na podstawie największych wartości własnych Docelowa przestrzeń ma p wymiarów 12 / 60
13 Redukcja wymiarowości (2/2) Wariancja Wymiarowość 13 / 60
14 Rekonstrukcja Oryginał q=1 q=2 q=4 q=16 q=32 q=64 q=8 q= / 60
15 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Algorytm Eigenfaces Założenia Kwadratowe obrazy szerokość = wysokość = N M liczba obrazów w bazie danych P liczba osób w bazie danych Opracowane w 1991 przez Turka I Pentlanda Wykorzystuje PCA Stosunkowo prosta Szybka Odporna m.in. na szum 15 / 60
16 Eigenfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Baza danych 16 / 60
17 Eigenfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Obliczany obraz średni gdzie 17 / 60
18 Eigenfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Następnie odejmujemy od obrazów z bazy 18 / 60
19 Eigenfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Budujemy macierz N2 na M Macierz kowariancji w wymiarach N2 na N / 60
20 Eigenfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Należy znaleźć wartości własne macierzy kowariancji Macierz ta jest duża! Obliczenia są czasochłonne Interesuje nas najwyżej M wartości własnych Zmiejszamy wymiarowość tej macierzy / 60
21 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Eigenfaces Obliczamy macierz o wymiarach M na M Znajdujemy M wartości własnych i wektorów własnych Wektory własne z Cov i L są równoważne Budujemy macierz V z wektorów obliczonych dla L / 60
22 Eigenfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Wektory własne z Cov są linową kombinacją w przestrzeni obrazów (twarzy) z wektorami własnymi z L U = AV V to macierz wektorów własnych Wektory własne reprezentują zmienność twarzy / 60
23 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Eigenfaces A: kolekcja twarzy w zbiorze uczącym U: przestrzeń twarzy własnych / 60
24 Eigenfaces Twarze własne dla obrazów z bazy Algorytmy Rozpoznawania Wzorców / 60
25 Eigenfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Obliczamy, dla każdej twarzy, jej projekcję w przestrzeni twarzy: Obliczamy próg: dla 25 / 60
26 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Eigenfaces: rozpoznawanie Aby rozpoznać twarz Odejmujemy od niej twarz średnią 26 / 60
27 Eigenfaces : rozpoznawanie Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Obliczamy projekcję do przestrzeni twarzy U Obliczamy odległość w przestrzeni twarzy pomiędzy twarzą badaną oraz wszystkimi znanymi (zapamiętanymi w bazie) twarzami dla 27 / 60
28 Eigenfaces : rozpoznawanie Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Rekonstrukcja twarzy ze pomocą twarzy własnych Obliczamy odległość badanej twarzy oraz jej rekonstrukcji 28 / 60
29 Eigenfaces : rozpoznawanie Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Rozróżniamy pomiędzy następującymi przypadkami: Jeżeli to nie mamy do czynienia z twarzą; odległość pomiędzy badaną twarzą i jej rekonstrukcją jest większa niż próg Jeżeli oraz to jest to nowa twarz oraz Jeżeli to jest to znana twarz, ponieważ odległość badanej twarzy do wszystkich twarzy z bazy jest większa niż próg 29 / 60
30 Eigenfaces problemy Trudności w przypadku rozpoznawania Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Różnych orientacji twarzy Róznych opozycji twarzy Różnic w ekspresji Obecności kierunkowego oświetlenia 30 / 60
31 Liniowa Analiza Dyskryminacyjna LINEAR DISCRIMINANT ANALYSIS (LDA) 31 / 60
32 Ograniczenia PCA Czy wymiary o maksymalnej wariancji odpowiadają wymiarom, które chcemy zachować? 32 / 60
33 Linear Discriminant Analysis (1/6) Co jest celem LDA? Przeprowadzić redukcję wymiarowości przy jednoczesnym zachowaniu informacji o separacji klas. Szukać kierunków, wzdłuż których klasy są najlepiej separowalne. Brać pod uwagę dyspersję wewnątrzklasową i międzyklasową. Np. w przypadku rozpoznawania twarzy, daje możliwośc rozróżniania obrazów bardziej w kontekscie ich przynależności do osób niż w kontekście zmian spowodowanych m.in. oświetleniem lub ekspresją. 33 / 60
34 Linear Discriminant Analysis (2/6) Rozrzut wewnątrzklasowy Within-class scatter matrix c ni ĺĺ S w = (Y j - M i )(Y j - M i )T i =1 j =1 c Rozrzut międzyklasowy Between-class scatter matrix ĺ Sb = ( M i - M )( M i - M )T i =1 Macierz po projekcji y =U x T LDA oblicza transformację, która maksymalizuje rozrzut międzyklasowy przy jednoczesnym minimalizowaniu rozrzutu wewnątrzklasowego: S%b U T SbU max = max T % U S wu Sw rezultaty oblicznia wart. własnych! S w-1sb = U LU T S%%b, S w : macierze rozrzutu po rzutowaniu y 34 / 60
35 Linear Discriminant Analysis (3/6) Czy Sw-1 da się zawsze obliczyć? jeżeli Sw jest nieosobliwa, możemy rozwiązać typowy problem wartości własnych poprzez: S w-1sb = U LU T W praktyce, Sw jest zwykle osobliwa ponieważ obrazy są danymi wektorowymi o dużej wymiarowości, podczas gdy licznośc zbioru jest stosunkowo mała (M << N ) Podczas gdy Sb ma najwyżej rząd C-1, maksymalna liczba wektorów własnych z niezerowymi wartościami własnymi jest równa C-1 (t.j., maksymalna wymiarowość podprzestrzeni to C-1) 35 / 60
36 Linear Discriminant Analysis (4/6) Czy Sw-1 da się zawsze obliczyć? Aby rozwiązać ten problem, stusuje się często PCA jako element obróbki dancyh: 1) PCA wstępnie redukuje wymiarowośc danych. 2) LDA jest wykonywane na tak uzyskanych danych: 36 / 60
37 Linear Discriminant Analysis (5/6) PCA LDA D. Swets, J. Weng, "Using Discriminant Eigenfeatures for Image Retrieval", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 18, no. 8, pp , / 60
38 Linear Discriminant Analysis (6/6) Porównanie PCA (MEF) i LDA (MDF) Wektory MEF (Most Expressive Features) pokazują tendencję PCA do przechowywania informacji takich jak zmiany oświetlenia. Wektory MDF (Most Discriminative Features) cechy te eliminują. D. Swets, J. Weng, "Using Discriminant Eigenfeatures for Image Retrieval", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 18, no. 8, pp , / 60
39 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Algorytm Fisherfaces Założenia Kwadratowe obrazy szerokość = wysokość = N M liczba obrazów w bazie danych P liczba osób w bazie danych Opracowany w 1997 przez P.Belhumeura i in. Wykorzystuje analizę Fishera = Linear Discriminant Analysis (LDA) Szybsza, w pewnych wypadkach, od Eigenfaces Niższy poziom błędów Działa w przypadku różnego oświetlenia Radzi sobie ze zmianami ekspresji. 39 / 60
40 Fisherfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Baza danych 40 / 60
41 Fisherfaces Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Obliczany jest obraz średni gdzie 41 / 60
42 Fisherfaces Obliczana jest średnia twarzy dla każdej osoby 42 / 60
43 Fisherfaces Odejmujemy od każdego obrazu 43 / 60
44 Fisherfaces Budujemy macierze rozrzutu S1, S2, S3, S4 i macierz rozrzutu wewnątrzklasowego SW 44 / 60
45 Fisherfaces Międzyklasowa macierz rozrzutu Poszukiwania jest macierz W maksymalizująca 45 / 60
46 Fisherfaces Jeżeli SW jest nieosobliwa ( ): Kolumny W są wektorami własnymi Musmy obliczyć odwrotność SW Musimy mnożyć macierze i obliczyć wektory własne 46 / 60
47 Fisherfaces Jeżeli SW jest nieosobliwa ( Prościej: ): Kolumny W są wektorami własnymi, które spełniają Wartości własne są pierwiastkami Obliczamy wartości własne poprzez 47 / 60
48 Fisherfaces Jeżeli SW jest osobliwa ( Stosujemy najpierw PCA ): Zredukujemy w ten sposób wymiarowość twarzy z N2 do M Uzyskujemy wektory o wymiarze MM Stosujemy LDA 48 / 60
49 Fisherfaces Rzutujemy twarze do przestrzeni cech po LDA Klasyfikacja twarzy polega na Rzutowaniu do przestrzeni LDA Wykorzystaniu klasyfikatora, np. minimalnoodległościowego 49 / 60
50 PCA & Fisher s Linear Discriminant 50 / 60
51 PCA & Fisher s Linear Discriminant 51 / 60
52 Prównanie PCA i LDA Baza danych FERET Eigenfaces 80.0%, Fisherfaces 93.2% 52 / 60
53 Porównanie PCA i LDA Eigenfaces Projekcja do podprzestzreni o mniejszej wymiarowości Bez rozróżnienia pomiędzy zmiannością wewnątrzi pomiędzy-klasową Optymalna dla reprezentacji ale nie dyskryminacji Fisherfaces Znalezienie podprzestzreni, która maksymalizuje stosunek rozrzutu międzyklasowego do wewnątrzklasowego Wspólna miara zmienności wewnątrzklasowej 53 / 60
54 LDA : ograniczenia Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Klasyczna metod LDA wymaga przeprowadzania wstępnej redukcji wymiarowości danych, np. za pomocą próbkowania (down-sampling) lub PCA/PCArc. Wymagane jest spełnienie warunku: gdzie K liczba klas obrazów, L-liczba obrazów w klasie, DIM wymiarowośc przestrzeni cech. G. Kukharev, P. Forczmański, Two-Dimensional LDA Approach to Image Compression and Recognition, Computing, Multimedia and Intelligent Techniques, vol.2, no. 1, 2006, s G. Kukharev, P. Forczmański, Face Recognition by Means of Two-Dimensional Direct Linear, Discriminant Analysis Pattern recognition and information processing: PRIP 2005: Proceedings of the Eighth International Conference, Maj, Mińsk, Białoruś 2005, s / 60
55 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców 2DLDA/LDArc (1) Rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie metody 2DLDA (LDArc), która zakłada dekompozycję obrazu na zestaw wierszy i kolumn i obliczanie 2 zestawów macierzy kowariancji: 55 / 60
56 2DLDA/LDArc (2) Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Dla każdego zestawu obliczane są macierze kowariancji (podobnie do LDA): celem LDA jest maksymalizacja rozrzutu (scatter) międzyklasowego w stosunku do rozrzutu wewnątrzklasowego, co sprowadza się w maksymalizacji wyrażenia: 56 / 60
57 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców 2DLDA/LDArc (3) W tym celu obliczane są rozkłady macierzy H: Dające zestawy macierzy wektorów własnych V i wartości własnych Λ dla odpowiednich reprezentacji (wierszowych R i kolumnowych C). 57 / 60
58 2DLDA/LDArc (5) Algorytmy Rozpoznawania Wzorców Przekształcenie LDArc można przedstawić w następujący sposób: Przykładowe wyniki redukcji przedstawiono poniżej: 58 / 60
59 Algorytmy Rozpoznawania Wzorców 2DLDA/LDArc: przykłady G. Kukharev, P. Forczmański, Facial images dimensionality reduction and recognition by means of 2DKLT, Machine Graphics & Vision, vol. 16, no. 3/4, 2007, s / 60
60 Literatura Simon Haykin, Neural Networks A Comprehensive Foundation- 2nd Edition, Prentice Hall Marian Stewart Bartlett, Face Image Analysis by Unsupervised Learning, Kluwer academic publishers A. Hyvärinen, J. Karhunen and E. Oja, Independent Component Analysis,, John Willy & Sons, Inc. D. L. Swets and J. Weng, Using Discriminant Eigenfeatures for Image Retrieval, IEEE Trasaction on Pattern Analysis and and Machine Intelligence, Vol. 18, No. 8, August / 60
10. Redukcja wymiaru - metoda PCA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 10. Redukcja wymiaru - metoda PCA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. PCA Analiza składowych głównych: w skrócie nazywana PCA (od ang. Principle Component
Bardziej szczegółowo5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Liniowe funkcje dyskryminacyjne Liniowe funkcje dyskryminacyjne mają ogólną
Bardziej szczegółowoMetody reprezentacji danych w podprzestrzeniach liniowych oraz ich zastosowanie w zadaniach rozpoznawania obrazów cyfrowych
Metody reprezentacji danych w podprzestrzeniach liniowych oraz ich zastosowanie w zadaniach rozpoznawania obrazów cyfrowych Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie twarzy za pomocą sieci neuronowych
Rozpoznawanie twarzy za pomocą sieci neuronowych Michał Bereta http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam Praktyczna przydatność Bardzo szerokie praktyczne zastosowanie Ochrona Systemy bezpieczeństwa (np. lotniska)
Bardziej szczegółowoSPOTKANIE 9: Metody redukcji wymiarów
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 9: Metody redukcji wymiarów Piotr Klukowski* Studenckie Koło Naukowe Estymator piotr.klukowski@pwr.wroc.pl 08.12.2015 *Część slajdów pochodzi z prezentacji dr
Bardziej szczegółowoAnaliza głównych składowych- redukcja wymiaru, wykł. 12
Analiza głównych składowych- redukcja wymiaru, wykł. 12 Joanna Jędrzejowicz Instytut Informatyki Konieczność redukcji wymiaru w eksploracji danych bazy danych spotykane w zadaniach eksploracji danych mają
Bardziej szczegółowoANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU
ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera
Bardziej szczegółowoSYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW. Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska.
SYSTEMY UCZĄCE SIĘ WYKŁAD 10. PRZEKSZTAŁCANIE ATRYBUTÓW Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska INFORMACJE WSTĘPNE Hipotezy do uczenia się lub tworzenia
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VIII 30 Listopada 2011 1 / 18 gdzie: X : n p Q : n n R : n p Zał.: n p. X = QR, - macierz eksperymentu, - ortogonalna, - ma zera poniżej głównej diagonali. [ R1 X = Q
Bardziej szczegółowo4.1. Wprowadzenie...70 4.2. Podstawowe definicje...71 4.3. Algorytm określania wartości parametrów w regresji logistycznej...74
3 Wykaz najważniejszych skrótów...8 Przedmowa... 10 1. Podstawowe pojęcia data mining...11 1.1. Wprowadzenie...12 1.2. Podstawowe zadania eksploracji danych...13 1.3. Główne etapy eksploracji danych...15
Bardziej szczegółowoKlasyfikacja LDA + walidacja
Klasyfikacja LDA + walidacja Dr hab. Izabela Rejer Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Plan wykładu 1. Klasyfikator 2. LDA 3. Klasyfikacja wieloklasowa 4. Walidacja
Bardziej szczegółowoRobert Susmaga. Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań
... Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7 Wyłączenie odpowiedzialności
Bardziej szczegółowoTRANSFORMACJE I JAKOŚĆ DANYCH
METODY INŻYNIERII WIEDZY KNOWLEDGE ENGINEERING AND DATA MINING TRANSFORMACJE I JAKOŚĆ DANYCH Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Bardziej szczegółowoAnaliza korespondencji
Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowoElementy statystyki wielowymiarowej
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowo7. Maszyny wektorów podpierajacych SVMs
Algorytmy rozpoznawania obrazów 7. Maszyny wektorów podpierajacych SVMs dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Maszyny wektorów podpierajacych - SVMs Maszyny wektorów podpierających (ang.
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoSPOTKANIE 7: Redukcja wymiarów: PCA, Probabilistic PCA
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 7: Redukcja wymiarów: PCA, Probabilistic PCA Maciej Zięba Studenckie Koło Naukowe Estymator jakub.tomczak@pwr.wroc.pl 18.01.2013 Redukcja wymiarów Zmienne wejściowe
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoAnaliza składowych głównych. Wprowadzenie
Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoRobert Susmaga. Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań
... Robert Susmaga Instytut Informatyki ul. Piotrowo 2 Poznań kontakt mail owy Robert.Susmaga@CS.PUT.Poznan.PL kontakt osobisty Centrum Wykładowe, blok informatyki, pok. 7 Wyłączenie odpowiedzialności
Bardziej szczegółowoNIEOPTYMALNA TECHNIKA DEKORELACJI W CYFROWYM PRZETWARZANIU OBRAZU
II Konferencja Naukowa KNWS'05 "Informatyka- sztuka czy rzemios o" 15-18 czerwca 2005, Z otniki Luba skie NIEOPTYMALNA TECHNIKA DEKORELACJI W CYFROWYM PRZETWARZANIU OBRAZU Wojciech Zając Instytut Informatyki
Bardziej szczegółowoDetekcja punktów zainteresowania
Informatyka, S2 sem. Letni, 2013/2014, wykład#8 Detekcja punktów zainteresowania dr inż. Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1 / 61 Proces przetwarzania obrazów
Bardziej szczegółowoAnaliza składowych głównych
Analiza składowych głównych Wprowadzenie (1) W przypadku regresji naszym celem jest predykcja wartości zmiennej wyjściowej za pomocą zmiennych wejściowych, wykrycie związku między wielkościami wejściowymi
Bardziej szczegółowoRozglądanie się w przestrzeni Iris czyli kręcenie (głową/płaszczyzną) w czterech wymiarach
Rozglądanie się w przestrzeni Iris czyli kręcenie (głową/płaszczyzną) w czterech wymiarach maja, 7 Rozglądanie się w D Plan Klasyka z brodą: zbiór danych Iris analiza składowych głównych (PCA), czyli redukcja
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 7 Transformaty i kodowanie. Przemysław Sękalski.
Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych Wykład 7 Transformaty i kodowanie Przemysław Sękalski sekalski@dmcs.pl Politechnika Łódzka Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych DMCS Wykład
Bardziej szczegółowoMonitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji
Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji Analiza składników podstawowych - wprowadzenie (Principal Components Analysis
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 8 AiR III
1 Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania wyłącznie do własnych, prywatnych potrzeb i może
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie płci na podstawie zdjęć twarzy
Kraków, 2015-06-28 Bartłomiej Bajdo Wojciech Czajkowski Rozpoznawanie płci na podstawie zdjęć twarzy Projekt na przedmiot: Analiza i Przetwarzania Obrazów 1 Cel projektu Celem projektu było napisanie programu,
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie wzorców. Dr inż. Michał Bereta p. 144 / 10, Instytut Informatyki
Rozpoznawanie wzorców Dr inż. Michał Bereta p. 144 / 10, Instytut Informatyki mbereta@pk.edu.pl beretam@torus.uck.pk.edu.pl www.michalbereta.pl Twierzdzenie: Prawdopodobieostwo, że n obserwacji wybranych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoAdaptacyjne Przetwarzanie Sygnałów. Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości
W Filtracja adaptacyjna w dziedzinie częstotliwości Blokowy algorytm LMS (BLMS) N f n+n = f n + α x n+i e(n + i), i= N L Slide e(n + i) =d(n + i) f T n x n+i (i =,,N ) Wprowadźmy nowy indeks: n = kn (
Bardziej szczegółowoProblem eliminacji nieprzystających elementów w zadaniu rozpoznania wzorca Marcin Luckner
Problem eliminacji nieprzystających elementów w zadaniu rozpoznania wzorca Marcin Luckner Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Elementy nieprzystające Definicja odrzucania Klasyfikacja
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Bardziej szczegółowoModelowanie danych hodowlanych
Modelowanie danych hodowlanych 1. Wykład wstępny 2. Algebra macierzowa 3. Wykorzystanie różnych źródeł informacji w predykcji wartości hodowlanej 4. Kowariancja genetyczna pomiędzy spokrewnionymi osobnikami
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoWykład wprowadzający
Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji Wykład wprowadzający dr inż. Michał Grochowski kiss.pg.mg@gmail.com michal.grochowski@pg.gda.pl
Bardziej szczegółowoKlasyfikator liniowy Wstęp Klasyfikator liniowy jest najprostszym możliwym klasyfikatorem. Zakłada on liniową separację liniowy podział dwóch klas między sobą. Przedstawia to poniższy rysunek: 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoAdrian Horzyk
Metody Inteligencji Obliczeniowej Metoda K Najbliższych Sąsiadów (KNN) Adrian Horzyk horzyk@agh.edu.pl AGH Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechniki Łódzkiej MODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW Praca zawiera opis kształtowania przestrzeni n-wymiarowej, definiowania orientacji
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy rozpoznawania obrazów. 11. Analiza skupień. dr inż. Urszula Libal. Politechnika Wrocławska
Algorytmy rozpoznawania obrazów 11. Analiza skupień dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Analiza skupień Określenia: analiza skupień (cluster analysis), klasteryzacja (clustering), klasyfikacja
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoPattern Classification
Pattern Classification All materials in these slides were taken from Pattern Classification (2nd ed) by R. O. Duda, P. E. Hart and D. G. Stork, John Wiley & Sons, 2000 with the permission of the authors
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja twarzy z wykorzystaniem Sztucznych Sieci Neuronowych oraz PCA
Identyfikacja twarzy z wykorzystaniem Sztucznych Sieci Neuronowych oraz PCA Michał Pieróg pierogmichal@gmail.com Jakub Jaśkowiec qbajas@gmail.com Abstrakt Identyfikacja twarzy jest zadaniem polegającym
Bardziej szczegółowoAlgorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych
Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Piotr Dalka Przykładowe algorytmy decyzyjne Sztuczne sieci neuronowe Algorytm k najbliższych sąsiadów Kaskada klasyfikatorów AdaBoost Naiwny
Bardziej szczegółowoSkalowanie wielowymiarowe idea
Skalowanie wielowymiarowe idea Jedną z wad metody PCA jest możliwość używania jedynie zmiennych ilościowych, kolejnym konieczność posiadania pełnych danych z doświadczenia(nie da się użyć PCA jeśli mamy
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Algebra z Geometria Analityczna Nazwa w języku angielskim : Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoRozpoznawanie obiektów z użyciem znaczników
Rozpoznawanie obiektów z użyciem znaczników Sztuczne znaczniki w lokalizacji obiektów (robotów) Aktywne znaczniki LED do lokalizacji w przestrzeni 2D (do 32): Znaczniki z biblioteki AruCo (do 1024) Id
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowo2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).
SPIS TREŚCI ROZDZIAŁ I SYGNAŁY CYFROWE 9 1. Pojęcia wstępne Wiadomości, informacje, dane, sygnały (9). Sygnał jako nośnik informacji (11). Sygnał jako funkcja (12). Sygnał analogowy (13). Sygnał cyfrowy
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Rewolucja cyfrowa i jej skutki Rewolucja cyfrowa - dane cyfrowe: podstawowy rodzaj informacji multimedialnych,
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FALKOWA 2D. Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017
TRANSFORMATA FALKOWA 2D Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017 Wielorozdzielczość - dekompozycja sygnału w ciąg sygnałów o coraz mniejszej rozdzielczości na wielu poziomach gdzie: s l+1 - aproksymata
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoSPOTKANIE 2: Wprowadzenie cz. I
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 2: Wprowadzenie cz. I Piotr Klukowski Studenckie Koło Naukowe Estymator piotr.klukowski@pwr.edu.pl 17.10.2016 UCZENIE MASZYNOWE 2/27 UCZENIE MASZYNOWE = Konstruowanie
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoBadania asocjacyjne w skali genomu (GWAS)
Badania asocjacyjne w skali genomu (GWAS) Część 2 LD, PCA Bioinżynieria, I mgr Bioinformatyczna analiza danych Wykład 3 Dr Wioleta Drobik-Czwarno Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Analiza głównych
Bardziej szczegółowoKodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG
Kodowanie transformacyjne Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG Zasada Zasada podstawowa: na danych wykonujemy transformacje która: Likwiduje korelacje Skupia energię w kilku komponentach
Bardziej szczegółowoANALIZA CZYNNIKOWA Przykład 1
ANALIZA CZYNNIKOWA... stanowi zespół metod i procedur statystycznych pozwalających na badanie wzajemnych relacji między dużą liczbą zmiennych i wykrywanie ukrytych uwarunkowań, ktore wyjaśniają ich występowanie.
Bardziej szczegółowoJądrowe klasyfikatory liniowe
Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa
Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak podstawowe operacje na wektorach i macierzach, a także rozwiązywanie układów
Bardziej szczegółowoKLASYFIKACJA. Słownik języka polskiego
KLASYFIKACJA KLASYFIKACJA Słownik języka polskiego Klasyfikacja systematyczny podział przedmiotów lub zjawisk na klasy, działy, poddziały, wykonywany według określonej zasady Klasyfikacja polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoSYSTEM BIOMETRYCZNY IDENTYFIKUJĄCY OSOBY NA PODSTAWIE CECH OSOBNICZYCH TWARZY. Autorzy: M. Lewicka, K. Stańczyk
SYSTEM BIOMETRYCZNY IDENTYFIKUJĄCY OSOBY NA PODSTAWIE CECH OSOBNICZYCH TWARZY Autorzy: M. Lewicka, K. Stańczyk Kraków 2008 Cel pracy projekt i implementacja systemu rozpoznawania twarzy, który na podstawie
Bardziej szczegółowo2. Empiryczna wersja klasyfikatora bayesowskiego
Algorytmy rozpoznawania obrazów 2. Empiryczna wersja klasyfikatora bayesowskiego dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Brak pełnej informacji probabilistycznej Klasyfikator bayesowski
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoP R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H
W O J S K O W A A K A D E M I A T E C H N I C Z N A W Y D Z I A Ł E L E K T R O N I K I Drukować dwustronnie P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H Grupa... Data wykonania
Bardziej szczegółowo