MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM I PRZELEWEM RUCHU
|
|
- Stanisława Mróz
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Mariusz Głąbowski Katarzyna Kubasik Dominik Mikołajczak Maciej Stasiak Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych Politechnika Poznańska, ul. Piotrowo 3A, Poznań mariusz.glabowski@et.put.poznan.pl 2006 Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 7-8 grudnia 2006 MODELOWANIE SYSTEMÓW Z RUCHEM ZINTEGROWANYM I PRZELEWEM RUCHU Streszczenie: W artykule zaproponowano analityczną metodę wyznaczania charakterystyk ruchowych systemów, którym oferowany jest ruch przelewowy składający się ze strumieni ruchu zintegrowanego. Przedstawiona została także metoda wyznaczania parametrów ruchu spływającego z wiązek podstawowych oraz przybliżona metoda wymiarowania systemów obsługujących wielousługowy ruch przelewowy. 1. Wstęp W hierarchicznej sieci telekomunikacyjnej ze strategią kierowania ruchu drogami alternatywnymi kolejnego wyboru, obejściowymi wykorzystywane są wiązki dwóch typów, tj. wiązki o wysokim wykorzystaniu oraz wiązki o małych stratach. W wiązkach o wysokim wykorzystaniu ruch załatwiony jest z natłokiem większym od założonego z góry współczynnika strat. Ruch nie załatwiony na takiej wiązce jest przelewany na wiązkę alternatywną, natomiast w wiązkach o małych stratach, natłok nie jest większy od założonego z góry współczynnika strat. Ruch nie załatwiony na tej wiązce jest ruchem straconym. Systemy z ruchem przelewowym były przedmiotem wielu rozważań, np. [1 3]. Prace te dotyczyły jednakże tylko sieci z ruchem jednokanałowym, tj. tradycyjnych jednousługowych sieci telefonicznych. W przypadku sieci z ruchem zintegrowanym, podstawową metodą określania charakterystyk ruchowych jest wykorzystanie tzw. wzorów Kaufmana-Robertsa KR [4,5]. Wzory te pozwalają na prawidłowe modelowanie systemów ze strumieniami PCT1 tj. Poissonowskich strumieniami ruchu od nieskończonej liczby źródeł ruchu, oferowanymi bezpośrednio wiązkom telekomunikacyjnym tzw. wiązkom podstawowym. Jednakże strumień zgłoszeń spływający z wiązki podstawowej nie jest już zgodny z rozkładem Poissona [1]. W związku z tym, ruch przelewowy jest opisywany przez dwa parametry, tj. przez wartość średnią ruchu przelewanego R na wiązkę alternatywną obejściową oraz jego wariancję σ 2 [1,6,7]. Strumień zgłoszeń zgodny z rozkładem Poissona również można opisać parametrami R i σ 2, jednak w tym przypadku wartości obu tych parametrów są równe R = σ 2. W przypadku strumienia zgłoszeń spływających, wariancja jest zawsze większa nieraz nawet kilkakrotnie od wartości średniej. Oznacza to, że strumień przelewowy jest bardziej nierównomierny niż strumień zgłoszeń oferowanych. Miarą tej nierównomierności jest wartość współczynnika degeneracji Z = σ 2 /R, która dla strumienia spływającego z wiązki podstawowej jest większa od jedności Z > 1, a dla strumienia zgłoszeń oferowanych równa jedności Z = 1. Mając na uwadze powyższe stwierdzenia dochodzimy do wniosku, że wzory KR w swojej podstawowej postaci opracowane przy założeniu wykładniczego rozkładu odstępów czasu pomiędzy zgłoszeniami nie mogą być stosowane do wyznaczania współczynników blokady zgłoszeń ruchu zintegrowanego w wiązce alternatywnej. Celem tego artykułu jest przedstawienie modyfikacji wzorów KR, umożliwiającej wyznaczanie współczynników blokady i strat zgłoszeń należących do różnych strumieni przelewowego ruchu zintegrowanego w wiązce alternatywnej. Dalszy układ artykułu jest następujący. W rozdziale 2 przedstawiono model Kaufmana-Robertsa dla wiązki doskonałej z Poissonowskim strumieniem zgłoszeń. W rozdziale 3 przedstawiono model jednousługowy KR dla wiązki z ruchem przelewowym. Rozdział 4 zawiera opis metody wymiarowania systemów z ruchem zintegrowanym i przelewem ruchu, a w rozdziale 5 przedstawiono metodę wyznaczania rozkładu zajętości w wielousługowym modelu KR. Rozdział 6 zawiera porównanie wyników obliczeń z danymi symulacji. W rozdziale 7 przedstawiono najważniejsze wnioski wynikające z przeprowadzonych badań. 2. Modelowanie wiązek pełnodostępnych z ruchem zintegrowanym Rozważmy wiązkę o pojemności V PJP podstawowych jednostek pasma. System ten obsługuje M Poissonowskich strumieni ruchu tzw. strumieni PCT1 o intensywnościach: λ 1, λ 2,...,λ M. Zgłoszenie klasy i wymaga t i PJP do zestawienia połączenia. Czasy obsługi zgłoszeń wszystkich klas mają charakter wykładniczy z parametrami µ 1,µ 2,...,µ M. Zatem, ruch oferowany przez strumień klasy i jest równy: A i = λ i /µ i. 1
2 A1,t1 V1R1, V2 V A2,t2 AM,tM R2, VMRM, E1, E2,, EM Rys. 1. Fragment sieci z przelewowym ruchem zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują pojedynczą klasę ruchu Przedstawiony model systemu z integracją usług opisywany jest najczęściej wzorem KR [8 10]: n[p n ] V = M i=1 A it i [P n ti ] V, 2 gdzie P n jest prawdopodobieństwem przebywania systemu w stanie n zajętych PJP. Prawdopodobieństwo blokady E i dla strumienia klasy i oraz prawdopodobieństwo strat B i dla strumienia klasy i może być określone następująco: E i = B i = V n=v t i+1 [P n]. 3 Wiązka pełnodostępna jest systemem, w którym nie występuje zależność strumienia zgłoszeń od stanu, w którym system się znajduje. Oznacza to, że przejście z jednego stanu do drugiego pod wpływem strumienia klasy i nie zależy od liczby n zajętych PJP. 3. Model jednousługowy KR dla wiązki doskonałej z ruchem przelewowym 3.1. Założenia modelu Rozpatrzmy fragment sieci przedstawiony na rys. 1. W systemie tym założono, że każdej z wiązek podstawowych oferowana jest tylko jedna klasa zgłoszeń. Realne łącza, tworzące sieć z ruchem zintegrowanym, przenoszą różne rodzaje usług w celu efektownego wykorzystania ich zasobów. Przyjęte w tym rozdziale założenie ma na celu ułatwienie zrozumienia wyprowadzanych zależności analitycznych. Systemy, w których wiązki podstawowe obsługują wiele klas ruchu, przedstawione zostaną w p. 5. W rozważanym systemie znajduje się M wiązek podstawowych o wysokim wykorzystaniu. Wiązka o numerze i ma pojemność równą V i PJP. Każdej z wiązek oferowany jest inny strumień zgłoszeń charakteryzujący się natężeniem ruchu A i. Zgłoszenia klasy i żądają do obsługi t i PJP Parametry ruchu spływającego W wyniku zajmowania kolejnych PJP w wiązkach dochodzi do sytuacji, w których następuje blokada wiązek podstawowych i przelewanie ruchu na wiązkę alternatywną o pojemności V. Współczynniki blokady w wiązkach podstawowych można obliczyć przy pomocy pierwszego wzoru Erlanga. Należy jednak uwzględnić, że jedno zgłoszenie klasy i zajmuje jednocześnie t i PJP. Czyli z punktu widzenia modelu Erlanga jest to równoznaczne z t i -krotnym zmniejszeniem pojemności wiązki o rzeczywistej pojemności V i PJP. Oznacza to, że przed podstawieniem do pierwszego wzoru Erlanga, pojemność wiązki należy podzielić przez liczbę PJP żądanych do zestawienia połączenia danej klasy. Drugim sposobem, w wyniku którego otrzymamy te same wartości współczynników blokady, jest zastosowanie wzorów KR 2 i 3. Będą one uwzględniały wiązkę o pojemności V i, której oferowany jest jeden strumień zgłoszeń o rozkładzie Poissona, tworzony przez zgłoszenia żądające do zestawienia połączenia t i PJP. Znając współczynniki blokady w wiązkach podstawowych możemy obliczyć parametry ruchu spływającego każdej z klas, tj. wartość średnią R i wariancję σ 2. Wykorzystujemy do tego celu tzw. wzory Riordana: R i = A i E Vi A i, 4 σi 2 A i = R i + 1 R i. V i + 1 A i + R i 5 Następnie, na podstawie tych parametrów, określamy poziom nierównomierności poszczególnych strumieni ruchu spływającego, obliczając wartości współczynników degeneracji = σ 2 i /R i Rozkład zajętości w wiązce alternatywnej Zgłoszenia tracone w wiązkach podstawowych są oferowane wiązce alternatywnej i kolejno zajmują jej zasoby. Zatem wiązka ta obsługuje M klas zgłoszeń. W celu wyznaczenia współczynników blokady zgłoszeń w takiej wiązce, posłużymy się analogią do metody Hayworda, opisanej w [1]. Przypomnijmy, że była ona przeznaczona do wyznaczenia współczynnika blokady w wiązce o pojemności V z ruchem jednousługowym, której oferowany jest przelewowy strumień zgłoszeń o wartości średniej R, dodatkowo charakteryzowany przez współczynnik degeneracji Z. Jak wiemy, nie jest to strumień o rozkładzie Poissona. W metodzie tej wykorzystywany jest wzór Erlanga poddany następującej modyfikacji: B = E = E V Z R. 6 Z W przypadku wiązki z ruchem zintegrowanym, posłużymy się identyczną modyfikacją dla wzorów KR: R1 E 1,..., E M = KR,..., R M ; t 1,..., t M ; V, Z 1 Z M Z 7 gdzie KR oznacza algorytm wyznaczania współczynników blokady zgłoszeń poszczególnych klas E 1,..., E M, na podstawie wzorów KR 2 i 3, które przyjmują następującą postać: n [P n ] V/Z = M i=1 B i = E i = V Z R i t i [P n ti ] V/Z, 8 n= V Z t i+1 [P n] V/Z. 9
3 Współczynnik degeneracji pełni funkcję normalizującą. Poprzez podzielenie wartości średnich ruchów spływających poszczególnych klas zgłoszeń przez odpowiadające im wartości współczynników, dokonujemy przekształcenia nierównomiernego strumienia ruchu przelewowego w strumień Erlanga. Analogicznie jak w zależności 6, również pojemność wiązki alternatywnej V dzielimy przez wartość współczynnika degeneracji. Po takiej operacji wzór 7 nie będzie wykonywany dla V stanów zajętości wiązki, a jedynie dla V/Z stanów. Zwróćmy uwagę, że pojemność wiązki alternatywnej we wzorach 8 i 9 jest dzielona przez tzw. zbiorczy współczynnik degeneracji Z. Problem wyznaczenia tego współczynnika, dla M klas zgłoszeń, z których każda może mieć inną wartość współczynnika, zostanie omówiony w p Wzory 8 i 9 są uogólnieniem wzorów KR na wszystkie rodzaje wiązek obsługujących ruch zintegrowany, zarówno nie-poissonowski ruch przelewowy, jak i Poissonowski. Dla rozkładu Poissona wartość współczynnika degeneracji jest równa jedności i wtedy wzory 8 i 9 przyjmują postać podstawowych wzorów KR 2 i Wyznaczanie zbiorczego współczynnika Z W poprzednim punkcie pominęliśmy problem wyznaczania wartości współczynnika degeneracji Z, przez którą dzielimy pojemność wiązki. Zgodnie ze wzorem 7, do wiązki alternatywnej napływa M klas zgłoszeń, z których każda może posiadać inną wartość współczynnika. Problemem jest zatem sposób wyznaczenia wartości zbiorczego współczynnika Z w celu normalizacji wiązki o pojemności V. Rozwiązaniem tego problemu jest wprowadzenie średniej ważonej współczynników poszczególnych strumieni zgłoszeń: Z = M R i t i k i, gdzie k i = M l=1 R. 10 lt l i=1 We wzorze 10 przyjęto, że wkład degeneracji strumienia klasy i w zbiorczym współczynniku degeneracji Z jest wprost proporcjonalny do liczby żądanych PJP w wiązce alternatywnej przez klasę i oraz do wartości ruchu oferowanego przez klasę i wiązce alternatywnej. Zasadność takiego założenia została potwierdzona badaniami symulacyjnymi [11]. 4. Wymiarowanie wiązek tranzytowych z ruchem zintegrowanym Do tej pory zajmowaliśmy się wyznaczaniem rozkładu zajętości w alternatywnej wiązce doskonałej o pojemności V, której oferowany był zintegrowany ruch przelewowy. Na jego podstawie wyznaczaliśmy współczynniki blokady zgłoszeń należących do różnych strumieni ruchu przelewanego. Podstawą tych obliczeń były odpowiednio zmodyfikowane wzory KR 8 i 9. W tym rozdziale zajmiemy się problemem wymiarowania wiązek alternatywnych. Znając parametry ruchu zintegrowanego, spływającego na wiązkę obejściową, wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki sposób, aby zapewnić odpowiednią jakość obsługi zgłoszeń napływających do systemu. Zagadnienie to można sformułować następująco: dla założonych wartości współczynników blokady zgłoszeń każdej z klas należy określić minimalną pojemność wiązki alternatywnej. Podstawą takich rozważań będą zmodyfikowane wzory Kaufmana-Robertsa 8 i 9. Rozważmy ponownie system telekomunikacyjny przedstawiony na rys. 1. Znając parametry ruchu spływającego na wiązkę alternatywną R 1,..., R M ; Z 1,..., Z M, wyznaczymy pojemność tej wiązki w taki sposób, aby nie przekroczyć zadanych wartości współczynników blokady E 1,..., E M. W tym celu będziemy zmniejszać pojemność wiązki alternatywnej V, zaczynając od pewnej wartości stanowiącej górną granicę V gr. Po każdorazowym zmniejszeniu pojemności V, możemy wyznaczyć aktualne prawdopodobieństwa blokady e 1, e 2,..., e M na podstawie wzorów KR: e 1,..., e M = KR R1 Z 1,..., R M Z M ; t 1,..., t M ; V Z. 11 Zmniejszanie pojemności V wykonujemy do czasu, gdy spełniony jest warunek, że wartości współczynników blokady nie przekraczają wartości zadanych: e 1 E 1 ; e 2 E 2 ;... ; e M E M. 12 Jeżeli w r-tym, kolejnym kroku obliczeń naruszona zostanie którakolwiek z nierówności 12, za końcową wartość pojemności wiązki obejściowej przyjmujemy wartość otrzymaną w kroku r 1. Stwierdziliśmy, że zmniejszania pojemności dokonujemy od pewnej granicznej wartości pojemności V gr. W celu szybkiego wykonania tego algorytmu czyli wykonania minimalnej liczby dekrementacji konieczne jest odpowiednie określenie wartości granicznej. Rozpatrzmy to zagadnienie w następujący sposób. Potraktujmy oddzielnie każdą z klas ruchu tworzących zintegrowany strumień przelewowy, oferowany wiązce alternatywnej V. Dla każdego z M składowych strumieni zgłoszeń o natężenia ruchu R i, wyznaczamy elementarną pojemność wiązki v i. Pojemność ta musi być tak dobrana, aby zapewnić jakość obsługi zgłoszeń klasy i zgodnie z założonym współczynnikiem blokady E i. Pojemności elementarne v i wyznaczamy na podstawie metody Hayworda: E i = B i = E v i Ri. 13 Z tablic Erlanga odczytujemy wartość vi, na podstawie której wyznaczamy v i. Określona, na podstawie równania 13, wartość v i zapewnia żądaną jakość obsługi zgłoszeń z prawdopodobieństwem blokady nie przekraczającym wartości E i. Dodatkowo, prawo wiązki upoważnia nas do stwierdzenia, że także wiązka alternatywna o pojemności v 1 + v v M, obsługująca zintegrowany strumień zgłoszeń klasy od 1 do M, zapewnia przynajmniej założony poziom obsługi dla każdej z klas ruchu. Zgodnie bowiem z prawem wiązki, współczynniki blokady zgłoszeń w wiązce powstałej z połączenia kilku wiązek składowych,
4 są mniejsze od współczynników blokady występujących w wiązkach składowych przed ich połączeniem. W odniesieniu do rozważanego systemu oznacza to, że zgłoszenia są obsługiwane ze znacznie mniejszymi prawdopodobieństwami blokady niż założono. Wynika stąd konieczność zmniejszenia pojemności wiązki obsługującej ruch przelewowy. Po określeniu pojemności elementarnych, wyznaczamy całkowitą pojemność graniczną V gr wiązki alternatywnej: V gr Z = v 1 Z 1 + v 2 Z v M Z M. 14 Dekrementację rozpoczynamy od wartości początkowych v i wchodzących w skład wzoru 14. Zmniejszania dokonujemy cyklicznie dla każdej z klas, zaczynając przykładowo od klasy najmłodszej obsługiwanej przez fikcyjną wiązkę v 1, czyli tej, która żąda do zestawienia połączenia najmniejszej liczby PJP. W każdym kroku dekrementujemy pojemność tylko jednej wiązki składowej. Po każdorazowym zmniejszeniu o jedną PJP kolejnych pojemności v i, określamy znormalizowaną pojemność wiązki tranzytowej V, według wzoru: V Z = v 1 Z 1 + v 2 Z v M Z M. 15 Otrzymaną wartość 15 podstawiamy do zależności 11 i wyznaczamy prawdopodobieństwa blokady zgłoszeń każdej klasy. Powyższe operacje wykonujemy do czasu naruszenia warunku 12. Po zakończeniu działania algorytmu, otrzymujemy pojemność wiązki alternatywnej, która zapewnia poziom obsługi zgłoszeń z odpowiednimi współczynnikami blokady nie przekraczającymi założonych wartości E 1,..., E M. Podsumowując przedstawione rozważania, algorytm wymiarowania wiązki, której oferowany jest zintegrowany ruch przelewowy, składający się z M klas zgłoszeń, można przedstawić w sposób następujący: 1. Wyznaczenie pojemności wiązek elementarnych v 1, v 2,...,v M wzór 13; 2. Wyznaczenie początkowej pojemności wiązki V gr z ruchem przelewowym na podstawie wartości v i obliczonych w poprzednim kroku wzór 14; 3. Cykliczne zmniejszanie pojemności wiązek elementarnych i określanie współczynników blokady zgłoszeń, do czasu naruszenia warunku Określenie pojemności wiązki alternatywnej, poprzez zsumowanie otrzymanych w poprzednim kroku pojemności wiązek składowych v v M, dla których spełnione są jeszcze warunki wyrażone wzorem Model wielousługowy KR dla wiązki doskonałej z ruchem przelewowym Dotychczas zajmowaliśmy się projektowaniem wiązek alternatywnych w systemach, w których wiązki bezpośrednie obsługiwały tylko jeden strumień zgłoszeń. A11, t1, A12, t2,, tma1m A21, t1, A22, t2,, tma2m AK1, t1, AK2, t2,, tmakm V1 R11, R12,, R1M1M V2 R21, R22,, R2M2M VM RK1, RK2,, RKMKM V E1, E2,, EM Rys. 2. Fragment sieci z przelewowym ruchem zintegrowanym, wiązki podstawowe obsługują wiele klas ruchu Był to przypadek czysto teoretyczny, mający na celu ułatwienie zrozumienia wyprowadzanych zależności analitycznych. W rzeczywistych systemach, wiązki podstawowe przenoszą ruch zintegrowany składający się z kilku klas zgłoszeń. Stosowane dotychczas założenie pozwalało na proste wyznaczenie wariancji ruchu spływającego z wiązek podstawowych na podstawie wzorów Riordana. W przypadku gdy wiązka przenosi ruch zintegrowany, bezpośrednie zastosowanie wzorów Riordana nie jest możliwe. W tym rozdziale podamy przybliżoną metodę wyznaczania wariancji różnych klas zgłoszeń w przypadku ruchu spływającego z wiązek obsługujących ruch zintegrowany. Rozważmy system telekomunikacyjny przedstawiony na rysunku 2. System ten składa się z K wiązek bezpośrednich o wysokim wykorzystaniu. Każdej z wiązek jest oferowanych M klas zgłoszeń. Natężenie ruchu zgłoszeń klasy i oferowanych wiązce j wynosi A i,j Erl. Blokowany w wiązkach bezpośrednich ruch poszczególnych klas przelewany jest na wiązkę alternatywną. Współczynnik blokady zgłoszeń klasy i w wiązce bezpośredniej j B i,j można określić na podstawie 3. Znając prawdopodobieństwa blokady możemy wyznaczyć wartość średnią natężenia ruchu klasy i spływającego z wiązki j: R i,j = A i,j E i,j. 16 W celu pełnego scharakteryzowania ruchu przelewowego niezbędne jest określenie wariancji każdego strumienia zgłoszeń. Parametr ten określimy w sposób przybliżony, przeprowadzając dekompozycję każdej wiązki rzeczywistej na M fikcyjnych wiązek składowych o pojemnościach V ij. Każda wiązka fikcyjna będzie obsługiwała wyłącznie zgłoszenia jednej klasy, co umożliwi zastosowanie wzorów Riordana do określenia wariancji σij 2 ruchu klasy i spływającego z wiązki j. Określmy zatem pojemności wiązek fikcyjnych. W tym celu najpierw wyznaczymy ruch załatwiany klasy i w wiązce j: Y i,j = A i,j 1 E i,j. 17
5 Zgodnie z definicją, wartość Y i,j określa średnią liczbę zgłoszeń klasy i, obsłużonych w wiązce j. Zatem wyrażona w PJP średnia wartość natężenia ruchu klasy i będzie równa Y i,j t i. Pojemność fikcyjnej wiązki składowej V i,j zdefiniujemy jako tę część rzeczywistej wiązki V j, która nie jest zajmowana przez zgłoszenia pozostałych klas różnych od klasy i. Otrzymujemy zatem: V i,j = V j M Y l,jt l, 18 l=1;l i gdzie V j jest pojemnością wiązki podstawowej, a suma po prawej stronie równania 18 określa liczbę PJP zajmowanych przez zgłoszenia pozostałych klas. Dysponując wszystkimi parametrami tj. R i,j, A i,j i V i,j możemy na podstawie wzoru Riordana wyznaczyć wariancję σij 2 dla poszczególnych strumieni zgłoszeń spływających na wiązkę alternatywną: σi,j 2 A i,j = R i,j V i,j + 1 R i,j, t i + 1 A i,j + R i,j 19 gdzie iloraz Vi,j t i normalizuje system do przypadku jednousługowego. Taka operacja jest konieczna, ponieważ wzory Riordana w swej podstawowej postaci są przeznaczone do wyznaczania parametrów ruchu spływającego w systemach jednousługowych. Ponieważ poszczególne strumienie zgłoszeń oferowane systemowi są statystycznie niezależne, to parametry całkowitego ruchu klasy i, oferowanego wiązce alternatywnej, będą równe: R i = K σ 2 i = K j=1 R i,j, 20 j=1 σ2 i,j. 21 W tym miejscu dysponujemy już wszystkimi parametrami, które charakteryzują M strumieni zgłoszeń oferowanych projektowanej wiązce alternatywnej. W celu wyznaczenia pojemności tej wiązki możemy zastosować opisany w rozdziale 4 algorytm wymiarowania wiązki alternatywnej, obsługującej przelewowy ruch zintegrowany. Dysponując zależnościami 20 i 21 możemy także wyznaczyć rozkład zajętości oraz prawdopodobieństwo blokady w systemie z przelewowym ruchem zintegrowanym, przedstawionym na rys. 2. Do tego celu zastosujemy wzory 8 i 9, gdzie zbiorczy współczynnik Z jest określony zgodnie ze wzorem Porównanie wyników analitycznych z danymi symulacji Przedstawione metody wyznaczania rozkładu zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady w systemach z przelewowym ruchem zintegrowanym są metodami przybliżonymi. W celu określenia dokładności proponowanych rozwiązań, wyniki obliczeń analitycznych porównano z danymi symulacji. Badania przeprowadzono dla systemu telekomunikacyjnego, złożonego z trzech wiązek bezpośrednich, obsługujących ruch zintegrowany, oraz z jednej wiązki alternatywnej Tabela 1. Parametry badanych systemów telekomunikacyjnych Nr systemu Parametry systemu 1 t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 4 a 1 = 24, a 2 = 14, a 3 = 12 V 1 = 10, V 2 = 20, V 3 = 40 2 t 1 = 1, t 2 = 2 t 3 = 6 a 1 = 24, a 2 = 14, a 3 = 12 V 1 = 10, V 2 = 20, V 3 = 40 3 t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 6 a 1 = 24, a 2 = 22, a 3 = 12 V 1 = 16, V 2 = 54, V 3 = 96 4 t 1 = 1, t 2 = 4, a 1 = 24, a 2 = 14 V 1 = 16, V 2 = 54 Tabela 2. Porównanie wyników analitycznych z danymi symulacji dla procesu wymiarowania wiązki alternatywnej, obsługującej przelewowy ruch zintegrowany Nr E 1 E 2 E 3 V obliczenia V symulacja 1 0,001 0,002 0, ,001 0,002 0, ,005 0,010 0, ,001 0, o pojemności 120 PJP, obsługującej ruch spływająycy z wiązek bezpośrednich. Strukturę ruchu spływającego parametr z wiązek bezpośrednich podano w podpisach rysunków, przedstawiających prawdopodobieństwo blokady w wiązce alternatywnej dla różnych wartości współczynników Z ruchu oferowanego wiązce alternatywnej. Wartości prawdopodobieństwa blokady wyrażono w funkcji ruchu jednostkowego, oferowanego pojedynczej PJP wiązki alternatywnej. Na rys. 3a 3c przedstawiono rezultaty prawdopodobieństwa blokady w wiązce obsługujących ruch zintegrowany, o równych wartościach współczynnika Z dla każdej klasy ruchu. Przeprowadzone badania miały na celu sprawdzenie, czy możliwe jest uogólnienia wzoru KR 2, pozwalające na określania charakterystyk ruchowych systemów obsługujących strumienie ruchu o wartości współczynnika degeneracji Z > 1. Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że uogólnienie takie jest możliwe. W dalszej części badań określano prawdopodobieństwo blokady w systemach, w których poszczególne strumienie zgłoszeń charakteryzowały się różnymi wartościami współczynnika Z. Również i w tym przypadku rys. 3d, uzyskane wyniki obliczeń charakteryzują się wysoką dokładnością. W ostatniej części badań przeprowadzono proces wymiarowania systemów z ruchem przelewowym. Badania przeprowadzono dla systemów scharakteryzowanych w tab. 1. Uzyskane pojemności wiązki obsługującej ruch zintegrowany dla założonych współczynników blokady E 1, E 2, E 3, o współczynnikach degeneracji Z > 1, przedstawiono w tab. 2. Możemy zauważyć, że porównanie danych analitycznych V obliczenia z danymi symulacji V symulacja wskazuje na wysoką dokładność proponowanego rozwiązania.
6 a Z 1 = Z 2 = Z 3 = b Z 1 = Z 2 = Z 3 = c Z 1 = Z 2 = Z 3 = d Z 1 = 2, Z 2 = 3, Z 3 = 4 Rys. 3. Prawdopodobieństwo blokady w wiązce z przelewowym ruchem zintegrowanym, R 1 t 1 : R 2 t 2 : R 3 t 3 = 1 : 1 : 1 7. Podsumowanie W artykule zaproponowano analityczną metodę wyznaczania rozkładu zajętości oraz prawdopodobieństwa blokady w wiązkach sieci telekomunikacyjnych, obsługujących przelewowy ruch zintegrowany. Przedstawiona metoda bazuje na modyfikacji wzoru Kaufmana-Robertsa. Modyfikacja ta polega na wprowadzeniu współczynnika degeneracji Z, charakteryzującego nierównomierność strumienia zgłoszeń, do procesu obliczeń prawdopodobieństw stanów w algorytmie Kaufmana-Robertsa. Dodatkowo, w artykule zaproponowano efektywną metodę wymiarowania systemów z ruchem zintegrowanym, spływającym z wiązek bezpośrednich. Dokładność proponowanych metod analitycznych została zweryfikowana badaniami symulacyjnymi. Literatura [1] R.I. Wilkinson. Theories of toll traffic engineering in the USA. Bell System Technical Journal, 40: , [2] Y. Rapp. Planning of junction network in a multiexchange area. Proceedings of 4th International Teletraffic Congress, strona 4, London, [3] A. Fredericks. Congestion in blocking systems a simple approximation technique. Bell System Technical Journal, 596: , July August [4] J.S. Kaufman. Blocking in a shared resource environment. IEEE Transactions on Communications, 2910: , [5] J.W. Roberts. A service system with heterogeneous user requirements application to multi-service telecommunications systems. G. Pujolle, redaktor, Proceedings of Performance of Data Communications Systems and their Applications, strony , Amsterdam, North Holland. [6] G. Bretschneider. Die Berechnung von Leitungsgruppen für berfließenden Verkehr in Fernsprechwählanlagen. Nachrichtentechnische Zeitung NTZ, 11: , [7] H. Akimuru, K. Kawashima. Teletraffic: Theory and Application. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, [8] J.W. Roberts. Teletraffic models for the Telcom 1 integrated services network. Proceedings of 10th International Teletraffic Congress, strona 1.1.2, Montreal, Canada, [9] M.E. Beshai, D.R. Manfield. Multichannel services performance of switching networks. Proceedings of 12th International Teletraffic Congress, strony , Torino, Italy, North Holland-Elsevier Science Publishers. [10] M. Stasiak. Blocking probability in a limitedavailability group carrying mixture of different multichannel traffic streams. Annales des Télécommunications, 481-2:71 76, [11] Mariusz Głąbowski, Dominik Mikołajczak, Maciej Stasiak. Określanie charakterystyk ruchu przelewowego w systemach z integracją usług. Raport techniczny ZSTI 01/2005, Raport Instytutu Elektroniki i Telekomunikacj, Poznań, 2005.
MODELE WIĄZEK Z RUCHEM ZINTEGROWANYM
Arkadiusz Chmielnia, Mariusz Głąbowski, Sławomir Hanczewski, Maciej Stasia Piotr Zwierzykowski Instytut Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej ul. Piotrowo 3a, 60-965 Poznań pzwierz@et.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoBLOKADA PUNKT-PUNKT W JEDNOUSŁUGOWYCH POLACH KOMUTACYJNYCH Z POŁACZENIAMI
Sławomir Hanczewski, Maciej Stasiak Politechnika Poznańska Instytut Elektroniki i Telekomunikacji ul. Piotrowo A, 60-965 Poznań, Polska e-mail:shancz, stasiak)@et.put.poznan.pl 005 Poznańskie Warsztaty
Bardziej szczegółowoŚREDNIA PRZEPŁYWNOŚĆ OFEROWANA UŻYTKOWNIKOWI SYSTEMU UMTS-HSDPA
Mariusz Głąbowski, Sławomir Hanczewski, Maciej Stasiak Politechnika Poznańska Wydział Elektroniki i Telekomunikacji Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych ul. Piotrowo 3a, 60-965 Poznań e-mail:(mglabows,
Bardziej szczegółowoRecenzja rozprawy doktorskiej mgr inż. Macieja Sobieraja pt. Modelowanie pól komutacyjnych z mechanizmami progowymi I wielousługowymi źródłami ruchu.
prof. dr hab. inż. Adam Grzech Instytut Informatyki Politechniki Wrocławskiej Wybrzeże Wyspiańskiego 27 50-370 Wrocław e-mail: Adam.Grzech@pwr.wroc.pl Wrocław, 30 września 2014 roku Recenzja rozprawy doktorskiej
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoSystemy masowej obsługi
Systemy masowej obsługi Celem niniejszego ćwiczenia jest: zapoznanie się z podstawowymi właściwościami najprostszego systemu analizowanego w ramach teorii masowej obsługi, systemu M/M/ zapoznanie się z
Bardziej szczegółowoModelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych
Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych W ćwiczeniu tym przedstawione zostaną proste struktury sprzętowe oraz sposób obliczania ich niezawodności przy założeniu, że funkcja niezawodności
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM
Mostefa Mohamed-Seghir Akademia Morska w Gdyni PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM W artykule przedstawiono propozycję zastosowania programowania dynamicznego do rozwiązywania
Bardziej szczegółowoModelowanie komputerowe
Modelowanie komputerowe wykład 5- Klasyczne systemy kolejkowe i ich analiza dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 16,23listopada2015r. Analiza
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 9 Systemy kolejkowe Spis treści Wstęp Systemy masowej obsługi (SMO) Notacja Kendalla Schemat systemu masowej obsługi Przykład systemu M/M/1 Założenia modelu matematycznego
Bardziej szczegółowoPraca dyplomowo - magisterska
POLITECHNIKA POZNAŃSKA Bartłomiej Wegner Symulacyjne badania złożonych systemów telekomunikacyjnych na poziomie zgłoszeń Praca dyplomowo - magisterska Promotor: dr inż. Piotr Zwierzykowski Koreferent:
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie przedsięwzięć
Harmonogramowanie przedsięwzięć Mariusz Kaleta Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska luty 2014, Warszawa Politechnika Warszawska Harmonogramowanie przedsięwzięć 1 / 25 Wstęp
Bardziej szczegółowo9.9 Algorytmy przeglądu
14 9. PODSTAWOWE PROBLEMY JEDNOMASZYNOWE 9.9 Algorytmy przeglądu Metody przeglądu dla problemu 1 r j,q j C max były analizowane między innymi w pracach 25, 51, 129, 238. Jak dotychczas najbardziej elegancka
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 4 Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cel
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Analiza Analiza rozkładu
Zadanie 1 data lab.zad 1; input czas; datalines; 85 3060 631 819 805 835 955 595 690 73 815 914 ; run; Analiza Analiza rozkładu Ponieważ jesteśmy zainteresowani wyznaczeniem przedziału ufności oraz weryfikacja
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoUwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].
Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoSterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 2 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa
Bardziej szczegółowoPodstawy OpenCL część 2
Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie binarne
Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne to technika pozwalająca na przeszukanie jakiegoś posortowanego zbioru danych w czasie logarytmicznie zależnym od jego wielkości (co to dokładnie znaczy dowiecie
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoUNIKANIE IMPASÓW W SYSTEMACH PROCESÓW WSPÓŁBIEŻNYCH
UNIKANIE IMPASÓW W SYSTEMACH PROCESÓW WSPÓŁBIEŻNYCH Robert Wójcik Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej 1. Impasy w systemach procesów współbieżnych 2. Klasyczne algorytmy unikania
Bardziej szczegółowoInterwałowe zbiory rozmyte
Interwałowe zbiory rozmyte 1. Wprowadzenie. Od momentu przedstawienia koncepcji klasycznych zbiorów rozmytych (typu 1), były one krytykowane za postać jaką przybiera funkcja przynależności. W przypadku
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoZajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów
Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego
Bardziej szczegółowoPriorytetyzacja przypadków testowych za pomocą macierzy
Priorytetyzacja przypadków testowych za pomocą macierzy W niniejszym artykule przedstawiony został problem przyporządkowania priorytetów do przypadków testowych przed rozpoczęciem testów oprogramowania.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoSymulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego wybrane aspekty. Grzegorz Szwałek Katedra Matematyki Stosowanej Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu
Symulacyjne metody analizy ryzyka inwestycyjnego wybrane aspekty Grzegorz Szwałek Katedra Matematyki Stosowanej Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu Plan prezentacji 1. Opis metody wyceny opcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowoWSPÓŁCZYNNIK GOTOWOŚCI SYSTEMU LOKOMOTYW SPALINOWYCH SERII SM48
TECHNIKA TRANSPORTU SZYNOWEGO Andrzej MACIEJCZYK, Zbigniew ZDZIENNICKI WSPÓŁCZYNNIK GOTOWOŚCI SYSTEMU LOKOMOTYW SPALINOWYCH SERII SM48 Streszczenie W artykule wyznaczono współczynniki gotowości systemu
Bardziej szczegółowoWSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład XIV, 24.01.2017 ŁAŃCUCHYMARKOWA CD. KRÓTKIE INFO O RÓŻNYCH WAŻNYCH ROZKŁADACH Plan na dzisiaj Łańcuchy Markowa cd. Różne ważne rozkłady prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoProgramowanie dynamiczne
Programowanie dynamiczne Ciąg Fibonacciego fib(0)=1 fib(1)=1 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), gdzie n 2 Elementy tego ciągu stanowią liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem
Bardziej szczegółowoModelowanie systemów komórkowych z interfejsem radiowym WCDMA
Politechnika Poznańska Wydział Elektroniki i Telekomunikacji Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych Arkadiusz Wiśniewski Modelowanie systemów komórkowych z interfejsem radiowym WCDMA Autoreferat
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoOdchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi
Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1
Bardziej szczegółowo- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.
4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoCzym jest całka? Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne jest to zagadnienie z metod elementów skończonych (MES). Korzystając z całkowania numerycznego możemy obliczyć wartość dowolnej całki jednowymiarowej oznaczonej. Wynik jest zawsze
Bardziej szczegółowoANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 78 Electrical Engineering 2014 Seweryn MAZURKIEWICZ* Janusz WALCZAK* ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI FILTRU PARAMETRYCZNEGO I RZĘDU W artykule rozpatrzono problem
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Wyznaczanie lokalizacji magazynów dystrybucyjnych i miejsc produkcji dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Lokalizacja magazynów dystrybucyjnych 1 Wybór miejsca produkcji
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoModelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki Elementy teorii masowej obsługi
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Wprowadzenie Źródło, kolejka, stanowisko obsługi Notacja Kendalla 2 Analiza systemu M/M/1 Wyznaczenie P n (t) Wybrane
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoAkademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoSympozjum Trwałość Budowli
Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne egzamin
Imię i nazwisko:................................................... Nr indeksu:............ Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica
Bardziej szczegółowoFDS 6 - Nowe funkcje i możliwości: Modelowanie instalacji HVAC część 2 zagadnienia hydrauliczne
FDS 6 - Nowe funkcje i możliwości: Modelowanie instalacji HVAC część 2 zagadnienia hydrauliczne Wstęp W poprzednim odcinku zaprezentowany został sposób modelowania instalacji wentylacyjnych. Możliwość
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoSystem bonus-malus z mechanizmem korekty składki
System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia
Bardziej szczegółowoZADANIE 1. Ważenie (14 pkt)
ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) Danych jest n przedmiotów o niewielkich gabarytach i różnych wagach. Jest też do dyspozycji waga z dwiema szalkami, ale nie ma odważników. Kładąc na wadze przedmioty a i b,
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoŚrednie miesięczne temperatury powietrza dla sezonu ogrzewczego wentylacji
Średnie miesięczne temperatury powietrza dla sezonu ogrzewczego wentylacji Zasady określania sezonowego zapotrzebowania na ciepło do ogrzewania budynków mieszkalnych i zamieszkania zbiorowego podaje norma
Bardziej szczegółowoAnaliza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven
Raport 8/2015 Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i
Bardziej szczegółowoColloquium 1, Grupa A
Colloquium 1, Grupa A 1. W pewnej fabryce zamontowano system kontroli pracowników wchodzących na teren zakładu. Osoba chcąca wejść, dzwoni na portiernię i czeka przy drzwiach. Portier sprawdza tę osobę
Bardziej szczegółowoWYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH
Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika
Bardziej szczegółowoBŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Instrukcja do ćwiczenia nr 2 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy Metrologii
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoWykład 2 - model produkcji input-output (Model 1)
Wykład 2 - model produkcji input-output (Model 1) 1 Wprowadzenie Celem wykładu jest omówienie (znanego z wcześniejszych zajęć) modelu produkcji typu input-output w postaci pozwalającej na zaprogramowanie
Bardziej szczegółowoData Mining Wykład 5. Indukcja drzew decyzyjnych - Indeks Gini & Zysk informacyjny. Indeks Gini. Indeks Gini - Przykład
Data Mining Wykład 5 Indukcja drzew decyzyjnych - Indeks Gini & Zysk informacyjny Indeks Gini Popularnym kryterium podziału, stosowanym w wielu produktach komercyjnych, jest indeks Gini Algorytm SPRINT
Bardziej szczegółowoANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza
ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ Joanna Bryndza Wprowadzenie Jednym z kluczowych problemów w szacowaniu poziomu ryzyka przedsięwzięcia informatycznego
Bardziej szczegółowoRys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik
Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].
Bardziej szczegółowoInżynieria oprogramowania. Część 8: Metoda szacowania ryzyka - PERT
UNIWERSYTET RZESZOWSKI KATEDRA INFORMATYKI Opracował: mgr inż. Przemysław Pardel v1.01 2010 Inżynieria oprogramowania Część 8: Metoda szacowania ryzyka - PERT ZAGADNIENIA DO ZREALIZOWANIA (3H) PERT...
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowo