Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach wstęp do projektu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach wstęp do projektu"

Transkrypt

1 Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach wstęp do projektu Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych. Słowa kluczowe: generatory liczb losowych, liczby pseudolosowe, Marsenne-Twister, rozkład prawdopodobieństwa, statystyki opisowe, metoda odwrotnej dystrybuanty 1. Generatory liczby pseudolosowych Szczególnie potrzebne, w zagadnieniach związanych z modelowaniem stochastycznym złożonych zjawisk rzeczywistych (np. metody Monte Carlo), są narzędzia pozwalające symulować losowość. Stąd w wielu programach czy pakietach statystycznych dostępne są funkcje generujące liczby pseudolosowe takie liczby, które mają podobne własności jak liczby losowe (liczbą losową nazwalibyśmy pewną realizację zmiennej losowej, X : (Ω, F) (R, B R ), X(ω)). Wszystkie generatory programowe (będziemy mówić po prostu generatory) to deterministyczne funkcje. Do określenia kolejnych liczb wykorzystują tzw. ziarno (ang. seed), które jednoznacznie określa wartości kolejnych liczb pseudolosowych wyznaczonych jako kolejne iteracje ustalonego algorytmu. W R mamy do dyspozycji kilka zaimplementowanych już generatorów. Polecenie R> RNGkind() [1] "Mersenne-Twister" "Inversion" pozwala na sprawdzenie i zmianę aktualnie używanego generatora. Domyślnie stosowany jest algorytm Mersenne Twister (o okresie ). W wyniku otrzymujemy wartości z przedziału (0, 1) o własnościach liczb z rozkładu jednostajnego U(0, 1). Nie ma potrzeby stosowania różnych algorytmów do różnych rozkładów, bo te można otrzymać stosując np. metodę odwrotnej dystrybuanty (por. rozdział 3). Wyjątkiem jest tu rozkład normalny, dla którego możemy określić, z jakiej metody chcemy korzystać (domyślnie stosowana jest metoda odwrotnej dystrybuanty "Inversion"). mickrzem@pg.edu.pl 1

2 1.1. runif() Polecenie runif() służy wywołaniu generatora rozkładu jednostajnego (random unif orm distribution) R> runif(5) [1] Dla ustalonego generatora i ziarna otrzymamy za każdym razem identyczne wartości liczb pseudolosowych (stosujemy przecież tę samą funkcję deterministyczną z tą samą wartością początkową). Dla generatora Mersenne-Twister ziarno jest wektorem 65 liczb całkowitych. W prosty sposób możemy reprodukować kolejne losowania liczb pseudolosowych wskazując na to samo ziarno: R> set.seed(564) R> runif(5) [1] R> set.seed(564) R> runif(5) [1] Warto w tym miejscu wskazać na cały zbiór funkcji R do obsługi większości popularnych rozkładów prawdopodobieństwa. R> runif(1) [1] R> punif(0.5) [1] 0.5 R> dunif(0.5) [1] 1 R> qunif(0.5) [1] 0.5 Kolejne polecenia składają się z dwóch części przedrostka r-, p-, d-, q- oraz nazwy rodziny rozkładów (w tym przypadku unif orm). r- (random) wskazuje na generator liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, generuje próbę prostą o liczebności n; p- (probability) wyznacza wartość dystrybuanty w punkcie ; d- (density) wyznacza wartość gęstości (dla rozkładów ciągłych) lub masy prawdopodobieństwa (dla rozkładów dyskretnych) w punkcie ; q- (quantile) wyznacza wartość kwantyli danego rozkładu w punkcie.. Próbka W projekcie będziemy porównywać własności statystyczne ciągów liczb pseudolosowych z rozkładami (teoretycznymi) prawdopodobieństw. Dla zadanych rozkładów generujemy wektor liczb pseudolosowych wielkości N. Wektor ten modeluje N-elementową próbkę losową prostą, tzn. modeluje realizację N niezależnych zmiennych losowych o zadanym rozkładzie.

3 .1. Statystyki opisowe Niech 1,,..., N będzie N-elementową próbką. Rozstępem w próbce nazywamy różnicę R = ma min, gdzie ma, min oznaczają maksimum i minimum wartości w próbce. Dla większych N wartości próbki grupujemy w klasy, najczęściej równej długości, by ułatwić jej analizę. Liczbę wartości próbki zawartych w i-tej klasie nazywamy liczebnością i-tej klasy i oznaczamy n i. W wyniku takiego grupowania otrzymujemy szereg rozdzielczy ( i, n i ) i=1,,...,k, gdzie dla każdej klasy i = 1,,..., k wyznaczamy środek klasy i i liczebność klasy n i. Sposób w jaki liczebności są rozłożone w poszczególnych klasach nazywamy rozkładem liczebności próbki przy danej liczbie klas. Graficzne przedstawienie szeregu rozdzielczego nazywamy histogramem (por. rys. 1). Zamiast liczebności kolejnych klas można odkładać na osi pionowej częstości ( frekwencje ) n i /N lub też unormowane częstości (n i /N) / (R/k), w taki sposób, by pole histogramu miało wartość 1. W tym ostatnim przypadku histogram będzie wyrażał próbkowe przybliżenie gęstości rozkładu teoretycznego. Przykład.1. Dla próbki N = 0-elementowej tworzymy k = 6 klas (3, 3.5], (3.5, 4],..., (5.5, 6], o końcach w punktach 3, 3.5,..., 6: R> =c(3.6, 5.0, 4.0, 4.7, 5., 5., 5.9, 4.5, 5.3, 5.5, + 3.9, 5.6, 3.5, 5.4, 5., 4.1, 5.0, 3.1, 5.8, 4.8) R> breaks=c(3,3.5,4,4.5,5,5.5,6) R> cut(,breaks) [1] (3.5,4] (4.5,5] (3.5,4] (4.5,5] (5,5.5] (5,5.5] (5.5,6] [8] (4,4.5] (5,5.5] (5,5.5] (3.5,4] (5.5,6] (3,3.5] (5,5.5] [15] (5,5.5] (4,4.5] (4.5,5] (3,3.5] (5.5,6] (4.5,5] 6 Levels: (3,3.5] (3.5,4] (4,4.5] (4.5,5]... (5.5,6] R> table(cut(,breaks)) (3,3.5] (3.5,4] (4,4.5] (4.5,5] (5,5.5] (5.5,6] R> table(cut(,breaks))/length() (3,3.5] (3.5,4] (4,4.5] (4.5,5] (5,5.5] (5.5,6] Następnie zliczamy liczebności i częstości wartości próbki w poszczególnych klasach otrzymując szereg rozdzielczy: n klasa przedział i n i n i /N i /N (6 3)/6 1 (3,3.5] (3.5,4] (4,4.5] (4.5,5] (5,5.5] (5.5,6] suma 0 1 pole 1 3

4 par(mar=c(4.1,4.3,.1,1.1)) par(mfrow=c(1,)) hist(,breaks,col= gray ) hist(,breaks,prob=true,col= gray ) Histogram of Histogram of Frequency Density Rys. 1. Histogramy próbki : lewy panel (domyślnie oznaczony Frequency) przedstawia liczebności próbki w poszczególnych klasach; prawy panel (oznaczony Density) wyraża gęstość, tj. wartości są unormowane i pole pod wykresem wynosi 1. Innymi charakterystykami próbki 1,,..., N są m.in. następujące statystyki opisowe: średnia arytmetyczna = 1 N N i ; i=1 mediana medianą nazywamy środkową liczbę w uporządkowanej niemalejąco próbce, tzn. (1) ()... (N), ((N+1)/), gdy N nieparzyste, m e = ( ) (N/) + (N/+1) /, gdy N parzyste; kwartyle w uporządkowanej niemalejąco próbce dzielimy wartości na dwie grupy: wartości mniejsze od mediany i medianę, oraz medianę i wartości większe od mediany. Kwartylem dolnym Q 1 próbki nazywamy medianę pierwszej grupy wartości, a kwartylem górnym Q 3 medianę drugiej grupy wartości. wariancja z próby var = 1 N 1 N ( i ). i=1 4

5 Przykład. (cd.). Dla próbki, N = 0-elementowej R> =c(3.6, 5.0, 4.0, 4.7, 5., 5., 5.9, 4.5, 5.3, 5.5, + 3.9, 5.6, 3.5, 5.4, 5., 4.1, 5.0, 3.1, 5.8, 4.8) R> mean() # średnia [1] R> sort() [1] [15] R> sum(sort()[c(10,11)])/ [1] 5 R> median() # mediana [1] 5 R> var() # wariancja [1] R> sum((-mean())^)/19 [1] R> sd() # odchylenie standardowe [1] Analizując rozkład wartości próbki możemy posłużyć się również dystrybuantą empiryczną (doświadczalną). Dystrybuantę empiryczną N-elementowej próbki, F N, wyznacza się na podstawie uporządkowanej próbki (por. rys. ): (1) ()... (N), 0 dla < (1), k F N () = dla n (k) < (k+1), 1 k N 1, 1 dla (N). Przykład.3 (cd.). Dla próbki, N = 0-elementowej R> plot(ecdf(), main=,ylab=epression(paste(f[n], () )), + at= n,yat= n,lwd=, + lab=paste(sort(),,,sep=,collapse= )) R> abline(v = knots(ecdf()), lty =, col = "gray70") R> ais(1,knots(ecdf()),ce.ais=0.8) R> abline(h=(0:0)/0,lty=,col= gray ) R> ais(,(0:0)/0,ce.ais=0.8,las=) W przypadku dyskretnych zmiennych losowych (które przyjmują wartości w zbiorze {0, 1,,...}, niekoniecznie skończonym) nie należy budować szeregów rozdzielczych czy histogramów w dotychczas opisany sposób. W takiej sytuacji badamy rozkład próbki poprzez określenie liczebności poszczególnych wartości w próbie. Każdej wartości przyporządkowujemy liczność bądź częstość jej występowania w próbie konstruując szereg liczności / szereg częstości ( (i, n i ) i=0,1,..., / i, n ) i. N i=0,1,... Graficznym przedstawieniem powyższych szeregów jest wykres liczności / częstości (por. rys. 3). 5

6 F N () , 3.5, 3.6, 3.9, 4, 4.1, 4.5, 4.7, 4.8, 5, 5, 5., 5., 5., 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, Rys.. Wykres dystrybuanty empirycznej próbki, N = 0-elementowej Przykład.4. Dla próbki, N = 0-elementowej R> =c(,,1,,,3,0,1,0,, +,0,0,,,1,1,1,1,) R> table() R> table()/length() par(mfrow=c(1,)) R> plot(table(),ylab= liczność ) R> plot(table()/length(),ylab= częstość ) licznosc czestosc Rys. 3. Wykres liczności (lewy panel) i częstości (prawy panel) wartości próbki, N = 0-elementowej 6

7 3. Metoda odwrotnej dystrybuanty Oznaczmy przez F : (, ) [0, 1] ciągłą i ściśle rosnącą dystrybuantę pewnego rozkładu. Dla tak określonej funkcji istnieje funkcja odwrotna F 1 : [0, 1] [, ]. Metoda generowania rozkładów korzystając z rozkładu jednostajnego opiera się na poniższym twierdzeniu: Twierdzenie 3.1. Niech U będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0,1) (U U(0, 1)), a F będzie ściśle rosnącą ciągłą dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Zmienna losowa X := F 1 (U) ma rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie F. Dowód. Jeżeli U U(0, 1), to dystrybuanta zmiennej losowej U dana jest wzorem F U () = P (U ) =, dla [0, 1]. Zatem F X () = P (X ) = P (F 1 (U) ) = P (U F ()) = F U (F ()) = F (). Powyższe twierdzenie możemy rozszerzyć na dowolne dystrybuanty rozkładów prawdopodobieństwa. W tym celu definiujemy dystrybuantę odwrotną jako F 1 : [0, 1] [, ], F 1 (u) = inf{ R; F () u}, u [0, 1]. Zauważmy, że w powyższej definicji dystrybuanta odwrotna nie musi być w ogóle funkcją odwrotną, ani nawet funkcją Algorytm metody odwrotnej dystrybuanty Aby wygenerować wartość z rozkładu o dystrybuancie F mając do dyspozycji generator rozkładu jednostajnego: (1) wygeneruj u U(0, 1), () = F 1 (u). 7

8 F() f() F() f() Rys. 4. Biorąc jednostajnie rozłożone wartości wzdłuż osi y na odcinku (0, 1) widzimy, że tam, gdzie funkcja dystrybuanty F () jest względnie stroma, otrzymamy większe zagęszczenie punktów wzdłuż osi otrzymując większą wartość funkcji gęstości f(). Z drugiej strony, tam gdzie F () ma małą pochodną otrzymamy mniejsze zagęszczenie punktów (i mniejszą wartość funkcji gęstości f()). 8

9 3.. Metoda rozbicia przedziału (0,1) Dany jest dyskretny rozkład prawdopodobieństwa skupiony na skończonym zbiorze. Dla ustalenia uwagi rozważmy skończony zbiór {1,, 3,..., K} N oraz rozkład {p i } i=1,,...,k, gdzie dla każdego i {1,,..., K} p i > 0 oraz K i=1 p i = 1, p i = P({i}). Metoda rozbicia przedziału (0, 1) polega na podzieleniu (rozbiciu) przedziału (0, 1) na rozłączne podprzedziały o długościach p 1, p,..., p K : K 0 < p 1 < p 1 + p <... < p i = 1, i=1 [0, p 1 ), [p 1, p 1 + p ),..., [p 1 + p p K 1, 1], którym przyporządkowujemy odpowiednią wartość zmiennej losowej w naszym przypadku podprzedziałowi o długości p i przyporządkowujemy wartość i, i {1,,..., K}. Generujemy liczbę u z rozkładu jednostajnego U(0, 1) (runif(1)) i za wartość z rozkładu dyskretnego {p i } i=1,,...,k przyjmujemy wartość i odpowiadającą podprzedziałowi, do którego wpadło u. Zauważmy, że wyboru przedziałów możemy dokonać z pewną dowolnością. Przykład 3.1 (rozkład zero jedynkowy / rozkład Bernoulliego). Rozkład zero jedynkowy opisuje próbę Bernoulliego eksperyment, w którym możliwe są dwa rezultaty: sukces (1) albo porażka (0). Parametr rozkładu p (0, 1) opisuje prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. Oznacza to, że wartość 0 ma prawdopodobieństwo p 0 = 1 p, a wartość 1 ma prawdopodobieństwo p 1 = p. Zatem przedział (0, 1) dzielimy na dwie części o długościach (1 p) i p odpowiednio, a następnie generujemy wartość u U(0, 1). Sprawdzamy, do jakiego przedziału należy u: np. jeżeli u (0, 1 p) to przypisujemy wynik = 0, jeżeli u [p, 1) to = 1. Oczywiście, ponieważ losujemy wartość u z rozkładu jednostajnego na (0, 1), to prawdopodobieństwo, że wartość ta należy do przedziału o długości p, wynosi p. W tab. 1 przedstawione zostały informacje o rozkładzie zero jedynkowym. Tablica 1: Rozkład zero jedynkowy (1 p)δ 0 + pδ 1 parametry p (0, 1) { 1 p, k = 0, funkcja rozkładu f(k) = p, k = 1, 0, k < 0, dystrybuanta F (k) = 1 p, 0 k < 1, 1, k 1, W poniższym algorytmie stosujemy równoważny sposób podziału odcinka (0, 1) (por. rys. 5). (1) wygeneruj u U(0, 1), () jeżeli u < p to = 1, w przeciwnym razie = 0. 9

10 0 1 u U(0, 1) 0 p 1 = 1 = 0 P ({1}) = p P ({0}) = 1 p Rys. 5. Schemat algorytmu generowania rozkładu dwupunktowego Zauważmy, że metoda rozbicia przedziału (0, 1) jest metodą odwrotnej dystrybuanty (rozkładu dyskretnego) Ważniejsze rozkłady dyskretne Generatory dla ważniejszych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa można zbudować w oparciu o ich definicje i generator rozkładu zero jedynkowego; i tak np. rozkład dwumianowy B(n, p) to rozkład liczby sukcesów w n doświadczeniach Bernoulliego, gdy prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p; rozkład geometryczny Geom(p) to rozkład czasu oczekiwania na pierwszy sukces w ciągu doświadczeń Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p; rozkład ujemny dwumianowy nbinom(s, p) to rozkład liczby porażek poprzedzających s-ty sukces w ciągu prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p; rozkład Pascala P as(s, p) to rozkład liczby prób do osiągnięcia s sukcesów w ciągu prób Bernoulliego o prawdopodobieństwie sukcesu p; rozkład hipergeometryczny hiper(n, N, K) to rozkład liczby wyróżnionych elementów wylosowanych w n kolejnych losowaniach bez zwracania, gdy cała pula N elementów zawiera K elementów wyróżnionych (por. schemat urnowy); rozkład wielomianowy multinom(n, p 1, p,..., p m ) to rozkład wyników przy n-krotnym powtórzeniu doświadczenia o m możliwych rezultatach o prawdopodobieństwach p 1, p,..., p m odpowiednio (p i > 0, m 1 p i = 1). Literatura [1] P. Biecek, Przewodnik po pakiecie R, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 011. [] R. Wieczorkowski, R. Zieliński, Komputerowe generatory liczb losowych, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

11 4. Projekt Bieżący rozdział należy potraktować jako wskazówkę do napisania własnego raportu z projektu. Wszystkie obliczenia, które są wykonywane w sposób analityczny należy umieścić w raporcie, te które są wykonywane w sposób numeryczny powinny być opisane algorytmem i kodem z R. Każdy z wykresów powinien być opisany i odpowiedni kod go generujący zamieszczony w odpowiednim miejscu raportu. Cały kod rozwiązania projektu powinien być umieszczony jeszcze raz na końcu raportu Zadanie 1. Metoda odwrotnej dystrybuanty. Metodą odwrotnej dystrybuanty wygenerować ciąg pseudolosowy o rozkładzie zadanym gęstością f() = π ( (π cos 1 )) 1 [0,1] (). W rozwiązaniu wyznaczyć w sposób analityczny dystrybuantę i dystrybuantę odwrotną rozkładu, przedstawić dystrybuantę i dystrybuantę odwrotną na jednym wykresie. podać statystyki opisowe otrzymanych ciągów długości N = 10, 100, 1000 i porównać wyniki z parametrami rozkładu teoretycznego, narysować histogram (wykres częstości) wraz z wykresem gęstości rozkładu (mas prawdopodobieństwa) teoretycznego, narysować dystrybuantę empiryczną wraz z dystrybuantą teoretyczną. Niech F () oznacza dystrybuantę rozkładu cosinus: 0, < 0, π F () = 0 cos(π( 1 ))d, [0, 1), 1, 1. π cos(π( 1 0 ))d = 1 (sin(π( 1 ) )) sin( π ) = 1 (1 + sin(π( 1 ) )) Zatem dystrybuanta na odcinku [0, 1] dana jest wzorem: F () = 1 (1 + sin(π( 1 ) )). Niech u [0, 1], wyznaczamy funkcję odwrotną do F na [0, 1]: u = 1 (1 + sin(π( 1 ) )) u 1 = sin(π( 1 )) arc sin(u 1) = π( 1 )) 1 π arc sin(u 1) + 1 =. 11

12 Zauważmy, że powyższe równanie, dla u [0, 1], możemy zapisać w postaci równoważnej: 1 π arc sin(u) + 1 =, dla u [ 1, 1]. Na rys. 6 przedstawiono wykres dystrybuanty F () oraz dystrybuanty odwrotnej F 1 (), [0, 1]. F(), F ( 1) () F() F 1 () Rys. 6. Dystrybuanta F () oraz dystrybuanta odwrotna F 1 () rozkładu cosinus, na [0, 1] kod rys. 6 Wartości teoretyczne statystyk rozkładu cosinus: minimum, maimum: supp = [0, 1], średnia: rozkład symetryczny na [0, 1] stąd średnia 1, mediana: rozkład symetryczny na [0, 1] stąd mediana 1, kwartyle: Q 1 jest kwantylem rzędu 1 4, tzn. Q 1 = F 1 ( 1 4 ) = 1 3, Q 3 jest kwantylem rzędu 3 4, tzn. Q 1 = F 1 ( 3 4 ) = 3, 1

13 wariancja: var = = 1 0 π π ( ) 1 f()d = ( u π ) 1 cos(u)du 1 π 4 = = 1 ( (u ) sin(u) + u cos(u) ) π π ) ) 0 π cos ( π( 1 ) ) d 1 4 π π u π cos(u) + u π cos(u) cos(u)du π (u sin(u) + cos(u)) π π sin(u) π π 1 4 = 1 π ( (π = π 8 4π , odchylenie std. var Wykorzystując generator rozkładu jednostajnego runif() generujemy ciąg wartości z rozkładu F metodą odwrotnej dystrybuanty, długości N = 10, 100, kod dla generatora i tab. Porównanie wartości teoretycznych rozkładu oraz statystyk wygenerowanych ciągów przedstawia tab.. Tablica : Wartości statystyk ciągów liczb pseudolosowych o długościach N oraz wartości teoretyczne rozkładu cosinus ciągi pseudolosowe wartości teoretyczne N min ma średnia π wariancja π odchylenie std π π 1 1 kwartyl mediana kwartyl Na rys. 7 przedstawiono histogramy ciągów liczb pseudolosowych o długościach N z naniesioną funkcją gęstości rozkładu cosinus f() = π cos ( π ( 1 )) 1[0,1] (). kod histogramów i rys. 7 Rys. 8 przedstawia dystrybuanty empiryczne ciągów liczb pseudolosowych ( o długościach N z naniesioną teoretyczną dystrybuantą rozkładu cosinus F () = sin(π( 1 ))). 13

14 gestosc gestosc gestosc N=10 N=100 N=1000 gestosc gestosc gestosc N=10 N=100 N=1000 Rys. 7. Histogramy ciągów pseudolosowych długości N = 10, 100, 1000, dla k = 5, 0 klas, wraz z teoretyczną gęstością rozkładu cosinus N=10 N=100 N=1000 FN() FN() FN() Rys. 8. Dystrybuanty empiryczne ciągów pseudolosowych długości N = 10, 100, 1000 wraz z teoretyczną dystrybuantą rozkładu cosinus kod dystrybuant empirycznych i rys. 8 14

15 4.. Zadanie. Rozkłady dyskretne i ciągłe Korzystając z generatora rozkładu jednostajnego runif() wygenerować ciąg pseudolosowy o rozkładzie dyskretnym (równomiernym na {, 1,..., 7}) zadanym funkcją masy prawdopodobieństwa f(i) = P ({i}) = 1, i {, 1,..., 7}. 10 W rozwiązaniu podać statystyki opisowe otrzymanych ciągów długości N = 10, 100, 1000 i porównać wyniki z parametrami rozkładu teoretycznego, narysować wykres częstości wraz z wykresem (masy prawdopodobieństwa) rozkładu teoretycznego, narysować dystrybuantę empiryczną wraz z dystrybuantą teoretyczną. W zadanym rozkładzie, każda z 10 wartości {, 1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7} ma prawdopodobieństwo takie samo, równe 1. Przykładem rozkładu równomiernego są wyniki rzutu kostką 10 n-ścienną (w naszym przypadku 10-ścienną). Charakterystyka rozkładu nośnik {, 1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7}, średnia: mediana:.5, min + ma =.5, wariancja: (ma min +1) 1 1 = 99 1 = 8.5 odchylenie std. var.8781, funkcja masy prawdopodobieństwa f(k) = { 1 10, k {, 1,..., 7}, 0, w przeciwnym przypadku, dystrybuanta 0, k <, k+3 F (k) =, k < 7, 10 1, k 7, Algorytm w oparciu o metodę rozbicia przedziału (0, 1). Dla rozkładu równomiernego o 10 1 wartościach dzielimy odcinek [0, 1] na 10 części długości : [0, 0.1), [0.1, 0.),..., [0.9, 1]: 10 (1) wygeneruj u U(0, 1), () jeżeli u [i 0.1, (i + 1) 0.1), to = i (dla i = 1,,..., 10). Oczywiście nie trzeba wykonywać wielokrotnych porównań w (), by określić do jakiego przedziału należy wartość u łatwo sprawdzić, że 15

16 ( ) = + 10 u równoważnie definiuje wartości. kod dla generatora i tab. 3 Porównanie wartości teoretycznych rozkładu oraz statystyk wygenerowanych ciągów przedstawia tab. 3. Tablica 3: Wartości statystyk ciągów liczb pseudolosowych o długościach N oraz wartości teoretyczne rozkładu ciągi pseudolosowe wartości teoretyczne N min ma średnia wariancja odchylenie std kwartyl mediana kwartyl Na rys. 9 przedstawiono wykresy częstości ciągów liczb pseudolosowych o długościach N z naniesioną funkcją rozkładu f(k) = {, 1,...,7}. Rys. 10 przedstawia dystrybuanty empiryczne ciągów liczb pseudolosowych o długościach N z naniesiona teoretyczna dystrybuanta rozkładu równomiernego na {,..., 7}. R> table(v10) v R> table(v100) v R> table(v1000) v kod wykresów częstości, dystrybuant, rys. 9 i rys

17 czestosc / prawdopodobienstwo N=10 czestosc / prawdopodobienstwo N=100 czestosc / prawdopodobienstwo N= Rys. 9. Wykresy częstości ciągów pseudolosowych długości N = 10, 100, 1000 teoretyczną funkcją rozkładu dystrybuanta empiryczna / teoretyczna N=10 dystrybuanta empiryczna / teoretyczna N=100 dystrybuanta empiryczna / teoretyczna N= Rys. 10. Dystrybuanty empiryczne ciągów pseudolosowych długości N = 10, 100, 1000 wraz z teoretyczną dystrybuantą rozkładu równomiernego 17

Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport

Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego

Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

6.4 Podstawowe metody statystyczne

6.4 Podstawowe metody statystyczne 156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa- cd.

Statystyka opisowa- cd. 12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,

Bardziej szczegółowo

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d.

Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Środowisko R wprowadzenie c.d. Wykład R2; 21.05.07 Struktury danych w R c.d. Oprócz zmiennych i wektorów strukturami danych w R są: macierze; ramki (ang. data frames); listy; klasy S3 1 Macierze Macierze

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

Zadanie Tworzenie próbki z rozkładu logarytmiczno normalnego LN(5, 2) Plot Probability Distributions

Zadanie Tworzenie próbki z rozkładu logarytmiczno normalnego LN(5, 2) Plot Probability Distributions Zadanie 1. 1 Wygenerować 200 elementowa próbkę z rozkładu logarytmiczno-normalnego o parametrach LN(5,2). Utworzyć dla tej próbki: - szereg rozdzielczy - histogramy liczebności i częstości - histogramy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej Statystyka opisowa. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Elementy statystyku opisowej 1 Elementy statystyku opisowej 2 3 Elementy statystyku opisowej Definicja Statystyka jest to nauka o

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne

Wykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu

Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Przykłady do zadania 3.1 :

Przykłady do zadania 3.1 : Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I Szkic wykładu 1 Przykład wprowadzajacy 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne 3 4 Przykład wprowadzajacy W Polsce różne głosowania odbywaja

Bardziej szczegółowo

Przykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego

Przykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór

Bardziej szczegółowo

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n) MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; - badanie skuteczności nowego leku; - badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Statystyka w 3

Zmienne losowe. Statystyka w 3 Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

Wydział Inżynierii Produkcji. I Logistyki. Statystyka opisowa. Wykład 3. Dr inż. Adam Deptuła

Wydział Inżynierii Produkcji. I Logistyki. Statystyka opisowa. Wykład 3. Dr inż. Adam Deptuła 12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa Wykład 3 Dr inż. Adam Deptuła METODY OPISU DANYCH ILOŚCIOWYCH SKALARNYCH Wykresy: diagramy, histogramy, łamane częstości, wykresy

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.6

Zadania ze statystyki, cz.6 Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym

Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wrocław, 05 kwietnia 2017 Rozkład normalny Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą z populacji o rozkładzie normalnym określonym przez dystrybuantę

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo