3. Statystyka i prawdopodobieństwo

Transkrypt

1 3. Statystyka i prawdopodobieństwo Dzieci grają w grę planszową i zbliżają się do mety. Pionek Kasi jest zielony, a Adama czerwony. Wygrywa ten gracz, który pierwszy stanie na linii mety lub ją przekroczy. Liczbę ruchów pionka określa liczba oczek wyrzucona na sześciennej kostce do gry. Podaj te liczby oczek, które pozwolą Kasi w najbliższej kolejce zakończyć grę. Podaj te liczby oczek, które pozwolą Adamowi w najbliższej kolejce zakończyć grę. Które z dzieci ma większą szansę na zakończenie gry w najbliższej kolejce? Ile razy większą szansę na zwycięstwo ma pionek zielony?

2 Czy pamiętasz? Zadanie 1. Ile wynosi suma liczb: 210, 201, 191, 209, 194, 206, 199 Jak szybko ją obliczyć? Zadanie 2. Ile jest liczb naturalnych od 23 do 59, włącznie z tymi liczbami? Zadanie 3. Co łatwiej przewidzieć: wynik rzutu monetą czy wynik rzutu symetryczną sześcienną kostką? Zadanie 4. W loterii, w której co trzeci los wygrywa, jest 636 pustych losów. Ile losów jest pełnych? Zadanie 5. Uczeń, który uzyskał średnią rocznych ocen równą co najmniej 4,75 oraz co najmniej bardzo dobrą roczną ocenę z zachowania, otrzymuje świadectwo z wyróżnieniem. Czy uczeń, który na koniec III klasy gimnazjum ma: 7 ocen dobrych, 9 ocen bardzo dobrych i 2 oceny celujące oraz bardzo dobrą ocenę z zachowania, otrzyma świadectwo z wyróżnieniem? Zadanie 6. W pewnej klasie gimnazjum wychowawca przeprowadził wśród uczniów ankietę dotyczącą wyboru kolejnej szkoły. Wyniki przedstawił na diagramie kołowym. Jaki procent uczniów tej klasy wybiera liceum, jaki technikum, a jaki szkołę branżową?

3 Zadanie 7. Nauczyciel zebrał wyniki egzaminu gimnazjalnego z matematyki z klas III a i III b, a następnie zestawił je w tabeli. Wybierz kryterium, które pozwoli odpowiedzieć na pytanie: Która klasa wypadła lepiej na tym egzaminie?. Klasa, w której jest więcej wyników w przedziale 81% 100%. Klasa, w której jest mniej wyników w przedziale 0% 20%. Klasa, w której najwięcej uczniów jest w wyższym przedziale procentowym punktów. Klasa, w której lepszy jest średni uczeń. Klasa, w której średnia otrzymanych punktów jest wyższa. Inne kryterium. Odpowiedź uzasadnij Statystyka W tym temacie dowiesz się: czym zajmuje się statystyka, co to jest średnia arytmetyczna, co to jest mediana, co to jest moda. Statystyka to dziedzina zajmująca się zbieraniem i opracowywaniem informacji.

4 Statystyka jest bardzo ważną częścią naszego codziennego życia. Spotykamy się z nią podczas czytania gazety czy oglądania telewizji, szczególnie gdy poruszane są tematy związane z bezrobociem, pogodą, sportem czy zdrowiem. Każdy z nas zajmuje się gromadzeniem i analizowaniem danych statystycznych i na tej podstawie często podejmuje decyzje. Dzięki statystyce możesz dowiedzieć się np.: ile miejsc trzeba przygotować w szkołach dla uczniów, którzy zaczną naukę za kilka lat; jakie kierunki studiów są najbardziej oblegane; w jakim kierunku najlepiej się rozwijać, żeby w przyszłości dostać dobrą pracę; gdzie najtaniej kupić mieszkanie. Pewnie pamiętasz z klasy pierwszej, że dane można przedstawiać za pomocą: opisu słownego, tabeli, diagramu słupkowego, diagramu kołowego. To jednak nie wszystko. Informacje można przedstawiać również w postaci: wykresu, diagramu punktowego, diagramu łodygowo-listkowego, diagramu populacji. Przykład 1. Spośród 25-osobowej grupy uczniów dwóch ma ocenę 6, sześciu ma ocenę 4, pięciu otrzymało 5, pięciu uzyskało 3, czterech dostało 2, a trzech uczniów otrzymało ocenę niedostateczną. Przedstawmy powyższe informacje w postaci: diagramu słupkowego, diagramu kołowego, diagramu punktowego.

5 ROZWIĄZANIE Najpierw dane z zadania zapiszemy w tabeli. Diagram słupkowy Na osi poziomej zaznaczamy poszczególne oceny, a na osi pionowej liczbę osób. Następnie dla każdej oceny rysujemy słupek o wysokości odpowiadającej liczbie osób, które otrzymały tę ocenę. Diagram kołowy Dzielimy koło na wycinki o kątach środkowych odpowiadających procentom osób, które otrzymały poszczególne oceny:,., Diagram punktowy

6 Na osi poziomej zaznaczamy poszczególne oceny, a na osi pionowej liczbę osób. Następnie dla każdej oceny zaznaczamy na odpowiedniej wysokości punkt odpowiadający liczbie uczniów, którzy otrzymali tę ocenę. Ćwiczenie 1. Na obóz językowy do Malborka przyjechała młodzież z różnych krajów: USA 5 osób; Niemcy 4 osoby; Czechy 6 osób; Polska 12osób; Rosja 2 osoby; Szwecja 1 osoba. Przedstaw te informacje w postaci tabeli, diagramu kołowego, punktowego i słupkowego. Przedstawianie danych w postaci diagramu łodygowo-listkowego Diagram łodygowo-listkowy jest graficznym sposobem prezentacji danych. Jest prosty w odczytywaniu i rysowaniu. Łatwo na nim dostrzec elementy odstające oraz dominujące. Jednak taki diagram nadaje się tylko do przedstawiania niewielkich zbiorów danych (kilkunastu lub kilkudziesięciu elementów) inaczej staje się nieczytelny. Na przykład: Aby przedstawić liczby: 23, 36, 22, 45, 52, 25, 38, 23, 59 w postaci diagramu łodygowolistkowego, ustawiamy je najpierw w kolejności rosnącej: 22, 23, 23, 25, 36, 38, 45, 52, 59. Następnie ustalamy, jakie liczby stanowić będą łodygę (tu cyfry dziesiątek), i zapisujemy je w jednej kolumnie. Oddzielamy te liczby pionową kreską, a obok dopisujemy obcięte końcówki listki (tu cyfry jedności). Na diagramie została oznaczona liczba 25. W formie diagramu łodygowo-listkowego prezentuje się często na przykład rozkłady jazdy autobusów.

7 Ćwiczenie 2. W pewnej klasie wzrost uczniów w centymetrach wygląda tak: 156, 154, 162, 149, 154, 161, 153, 155, 156, 162, 156, 153, 149, 155, 157, 160, 162, 156, 148. Przedstaw te dane na diagramie łodygowo-listkowym.

8 Średnia arytmetyczna zestawu kilku liczb to suma tych liczb podzielona przez ich liczbę. Średnia arytmetyczna nazywana jest także wartością średnią. Medianę zestawu liczb można ustalić po wcześniejszym ustawieniu liczb w kolejności rosnącej lub malejącej. Medianą jest: liczba środkowa w przypadku, gdy zestaw zawiera nieparzystą liczbę elementów; średnia arytmetyczna dwóch liczb znajdujących się najbliżej środka, gdy zestaw zawiera parzystą liczbę elementów. Mediana nazywana jest także wartością środkową. Moda to wielkość najczęściej występująca w zestawie danych. Jeśli w zestawie danych więcej wielkości występuje równie często, wszystkie nazywamy modą. Moda jest nazywana także dominantą lub wartością najczęstszą. Przykład 2 Podajmy średnią arytmetyczną, medianę i modę liczby punktów uzyskanych z części matematycznej egzaminu przez wskazanych uczniów z klasy III a i III b. ROZWIĄZANIE Średnia arytmetyczna Aby obliczyć średnią arytmetyczną wyników w klasie III a, sumujemy siedem podanych wyników, a następnie dzielimy przez ich liczbę:. Aby obliczyć średnią arytmetyczną wyników w klasie III b, sumujemy sześć podanych wyników, a następnie dzielimy przez ich liczbę:.

9 Odpowiedź: Średnia arytmetyczna wyników uczniów z klasy III a wynosi 12, a z klasy III b jest równa 16. Średnia arytmetyczna to wynik przeciętnego ucznia. Średnia arytmetyczna pozwala nam porównać wyniki obu klas i stwierdzić, która klasa osiągnęła lepszy wynik. Mediana Aby podać medianę tych wyników, najpierw zapisujemy je w kolejności rosnącej. Klasa III a: 4, 9, 9, 10, 11, 12, 29 Ponieważ liczb jest 7 (nieparzysta liczba), to wybieramy środkową liczbę, czyli 10. Klasa III b: 14, 14, 16, 17, 17, 18 Ponieważ liczb jest 6 (parzysta liczba), to obliczamy średnią dwóch liczb leżących najbliżej środka. Odpowiedź: Mediana wyników uczniów z klasy III a wynosi 10, a z klasy III b jest równa 16,5. Mediana oznacza, że co najmniej połowa uczniów otrzymała wynik mniejszy od mediany bądź jej równy. Jednak mediana gorzej niż średnia opisuje ogólny wynik klasy, gdyż nie uwzględnia wyników bardzo dobrych lub bardzo słabych. Zauważmy, że mimo iż najlepszy wynik z egzaminu (29 punktów) osiągnęła uczennica z klasy III a, to średnio lepsze wyniki osiągnęli uczniowie z klasy III b zarówno średnia, jak i mediana były wyższe w tej klasie. Moda Aby podać modę tych wyników, wystarczy sprawdzić, który z nich występuje najczęściej. W klasie III a najczęstszym wynikiem jest 9 punktów taki wynik otrzymało dwóch uczniów. W klasie III b najczęstsze wyniki to 14 i 17 punktów takie wyniki również otrzymało po dwóch uczniów. Odpowiedź: Moda wyników uczniów z klasy III a wynosi 9, a w przypadku klasy III b są dwie mody: 14 i 17. Zauważ, że średnia arytmetyczna, mediana i moda mogą być równe, ale najczęściej tak nie jest. Ćwiczenie 3. Z Zakopanego do Gdańska wyjechał pociąg składający się z 5 wagonów, w których znajdowało się kolejno: 38, 38, 56, 43, 45 osób. W Krakowie podłączono trzy wagony, w których znajdowało się kolejno: 45, 45, 34 pasażerów. Przyjmij założenie, że między Zakopanem a Krakowem liczba osób się nie zmieniła, i odpowiedz na pytanie: Jak zmieniła się moda, mediana i średnia liczby osób w wagonach w Krakowie?.

10 Zadania 1. W pewnej firmie zarobki poszczególnych pracowników w przeliczeniu na godzinę pracy kształtują się następująco: 12 zł, 15 zł, 10 zł, x zł. Które wyrażenie opisuje średnie zarobki tych czterech pracowników? A: B. C: D: 2. Pięć toreb z zakupami ma masy: 2 kg, 3 kg, 1 kg, 1,5 kg, 2,5 kg. Średnia masa zakupów jest równa A: B: C: 1,5 kg D: 2 kg 3. Masy dziesięciorga dzieci w kilogramach wynoszą: 12, 13, 13, 10, 9, 11, 13, 8, 15, 13. Mediana tych mas jest równa A: B: C: 11 kg D: 12,5 kg 4. Skorzystaj z poniższego rysunku i podaj medianę wzrostu pokazanej rodziny. 5. Podaj średnią arytmetyczną, medianę i modę podanego zestawu liczb. a) 15, 2, 11, 13, 2 b) 1, 7, 20, 8, 9, 7 c) 0, 4, 3, 12, 8, 4, 8 d) 1, 2, 24, 5, 10, 5, 24, 25 e) 15, 25, 25, 10, 35, 70, 5, 40, 1, 4 6. Na poniższym diagramie przedstawiono wzrost uczniów pewnej klasy. a) Ile osób ma mniej niż 160 cm wzrostu? b) Ile osób jest w tej klasie? c) Jaki procent uczniów mieści się w przedziale wzrostu cm? d) W którym z przedziałów znajduje się mediana wzrostu uczniów?

11 7. Na poniższym diagramie przedstawiono popularność zajęć sportowych, na jakie uczęszczają uczniowie. Każdy z uczniów mógł się zapisać tylko na jedne zajęcia. a) Jaki sport cieszy się największą popularnością wśród chłopców, a jaki wśród dziewcząt? b) Które dziedziny sportu uprawia więcej dziewcząt niż chłopców? c) Ile osób chodzi na zajęcia z koszykówki? d) Ile osób chodzi na zajęcia sportowe? e) Jaki procent chłopców chodzi na siatkówkę? 8. Na poniższym diagramie przedstawiono średnią długość dnia w poszczególnych miesiącach w Polsce. a) Ile wynosi największa różnica godzinowa w długości dnia pomiędzy miesiącami? b) Czy średnia długość dnia jest większa w pierwszej czy w drugiej połowie roku? c) Ile wynosi średnia długość dnia w ciągu całego roku?

12 9. Na poniższym diagramie przedstawiono liczbę godzin, jaką każdego dnia pewnego tygodnia Janek spędził na powietrzu. a) Ile godzin Janek spędził na powietrzu w czwartek? b) W które dni Janek spędził na powietrzu 3 godziny? c) Jaka jest dzienna średnia czasu, który Janek spędza na powietrzu? d) Jak myślisz, którego dnia padało? 10. Ile wynosi średnia arytmetyczna sześciu kolejnych dodatnich liczb dwucyfrowych, począwszy od najmniejszej? 11. Na diagramie przedstawiono wyniki ankiety przeprowadzonej wśród uczniów na temat: Ile razy w ciągu miesiąca byłeś w galerii handlowej?. Wiadomo, że trzy osoby nie odwiedzały galerii handlowej w ciągu ostatniego miesiąca. Na podstawie tych danych odpowiedz na poniższe pytania. a) Ile osób wzięło udział w ankiecie? b) Oblicz średnią liczbę wizyt w galerii przypadającą na jednego ankietowanego. c) Podaj modę liczby wizyt w galerii. d) Jaka jest mediana liczby wizyt w galerii? 12. Poniżej podano godziny odjazdów autobusów z pewnego przystanku. 6.12; 6.33; 6.54; 7.15; 7.36; 7.57; 8.18; 8.39; 9.00 Przedstaw godziny w postaci diagramu łodygowo-listkowego.

13 13. Poniższe wyniki (w centymetrach) to wyniki najlepszych zawodników wszech czasów w skoku w dal mężczyzn w 2016 roku. 895; 890; 887; 886; 874; 874; 874; 873; 871, 866 Przedstaw te wyniki w postaci diagramu łodygowo-listkowego. 14. Marek po napisaniu czterech testów uzyskał średni wynik 36 punktów. Z piątego testu uzyskał 39 punktów. Ile wynosi jego średni wynik z tych pięciu testów? 15. Czarek z siedmiu przedmiotów otrzymał oceny: 4, 3, 5, 2, 6, 5, 5. Jaką ocenę otrzymał z ósmego przedmiotu, skoro średnia jego ośmiu ocen wynosi 4,25? 16. Średnia sześciu liczb zapisanych na tablicy wynosi 35. Skreślono jedną z nich i średnia spadła o 2. Oblicz, jaka liczba została skreślona. 17. W tabeli przedstawiono informacje na temat liczby osób siedzących w poszczególnych samochodach przejeżdżających przez pewne skrzyżowanie w ciągu godziny. a) Ile łącznie aut przejechało przez to skrzyżowanie? b) Ile łącznie osób przejechało przez to skrzyżowanie? c) Jaka jest moda liczby osób siedzących w samochodzie? d) Jaka jest mediana liczby osób siedzących w samochodzie? 18. Na poniższym diagramie przedstawiono oceny uzyskane na koniec roku z matematyki przez uczniów dwóch klas. a) Ile osób łącznie uczy się w tych klasach? b) Podaj modę ocen. c) Jaka jest mediana ocen? d) Oblicz średnią ocen uczniów. e) Jaki procent osób otrzymał ocenę co najmniej bardzo dobrą? 19. Poniżej przedstawiono wiek uczniów należących do dwóch grup szkolnego koła teatralnego. Grupa I (wiek): 11, 12, 13, 11, 14, 15, 17, 12, 12. Grupa II (wiek): 16, 17, 11, 15, 18, 16, 11, 10, 17, 18, 16. a) Oblicz średnią wieku w grupie I, w grupie II, w obu grupach razem. b) Podaj medianę wieku w grupie I, w grupie II, w obu grupach razem. c) Podaj modę wieku w grupie I, w grupie II, w obu grupach razem.

14 20. Na poniższym diagramie przedstawiono liczbę rodzeństwa uczniów w klasie III a i III b. a) Ilu uczniów chodzi do klasy III a, a ilu do klasy III b? b) Jaka jest moda liczby rodzeństwa w klasie III a, jaka w III b, a jaka w obu klasach? c) Wyznacz medianę liczby rodzeństwa w klasie III a, w klasie III b, w obu klasach razem. d) Oblicz średnią liczbę rodzeństwa w klasie III a, w klasie III b, w obu klasach razem. 21. Poniżej przedstawiono wykres z ocenami rocznymi z matematyki w pewnej klasie. a) Ile osób chodzi do tej klasy? b) Ile osób otrzymało ocenę dopuszczającą? c) Ile osób otrzymało co najmniej ocenę dobrą? d) Jaka jest średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie?

15 22. W tabeli przedstawiono roczne zarobki brutto na różnych stanowiskach w pewnej firmie. a) Oblicz średnią zarobków. b) Podaj medianę zarobków. c) Podaj modę zarobków. d) Czy gdyby firma zatrudniła jeszcze jedną księgową, to chociaż jedna z wartości (średnia, mediana, moda) by się nie zmieniła? e) Która z wartości (średnia, mediana, moda) pozostałaby taka sama, gdyby zwolniono jednego kierowcę? 23. Poniższe liczby są ustawione w kolejności rosnącej. x, 15, 18, 18, y, 22, 22, z, 24, 27 Mediana tych liczb wynosi 21, moda jest równa 22, a średnia arytmetyczna 20. Oblicz x, y oraz z. 24. Średnia wieku uczniów biorących udział w wycieczce to 17 lat, a średnia wieku uczniów oraz opiekuna wycieczki wynosi 18 lat. Oblicz, ilu uczniów bierze udział w wycieczce, jeśli wiadomo, że opiekun ma 48 lat. 25. W pewnej firmie pracuje 12 kobiet i 18 mężczyzn. Średnia arytmetyczna wieku kobiet to 35 lat, a mężczyzn 40 lat. Jaka jest średnia wieku wszystkich pracowników w tej firmie? 26. Nauczyciel z pracy klasowej ze statystyki wystawił następujące oceny: 20% uczniów otrzymało ocenę bardzo dobrą, 40% dostateczną, po jednej osobie ocenę niedostateczną i dopuszczającą. Ocen celujących nie było. Średnia ocen z tej pracy klasowej wyniosła 3,6. Oblicz, ilu uczniów otrzymało ocenę dobrą.

16

17 3.2. Prawdopodobieństwo W tym temacie dowiesz się: jak analizować proste doświadczenia losowe, co to jest zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne, jak określać prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniach losowych, co to jest zdarzenie niemożliwe, a co to jest zdarzenie pewne. Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki, który zajmuje się doświadczeniami losowymi, czyli takimi, których wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć. Gdy rzucamy symetryczną kostką, nie wiemy, ile oczek uzyskamy. Gdy rzucamy monetą, nie wiemy, czy wypadnie orzeł czy reszka. Gdy losujemy kartę z talii, nie wiemy, którą kartę wylosujemy. Gdy bierzemy udział w loterii, nie wiemy, czy dopisze nam szczęście. Umiejętność obliczania szansy zaistnienia określonego zdarzenia często przydaje się w życiu codziennym. Doświadczenie losowe to doświadczenie, które możemy powtarzać wielokrotnie, nie potrafimy przewidzieć jego konkretnego wyniku, ale możemy określić wszystkie wyniki możliwe do uzyskania. Te pojedyncze wyniki nazywamy zdarzeniami elementarnymi. Doświadczeniami losowymi są np. rzut kostką, rzut monetą. Dla rzutu monetą zdarzeniem elementarnym jest wyrzucenie reszki lub orła, dla rzutu zwykłą sześcienną kostką do gry zdarzeniem elementarnym jest liczba oczek, jaka wypadła na kostce: 1 lub 2, lub 3, lub 4, lub 5, lub 6. Dla danego doświadczenia losowego możemy określić pewne warunki, które muszą spełniać wyniki tego doświadczenia. Zbiór zdarzeń elementarnych spełniających te warunki nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem). Mówimy wówczas, że spełniające te warunki wyniki sprzyjają zdarzeniu losowemu. Na przykład dla jednoczesnego rzutu monetą i kostką do gry możemy określić zdarzenie polegające na otrzymaniu orła i liczby oczek większej od 4, a także wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające temu zdarzeniu. Oto one: Na monecie wypadł orzeł, a na kostce wypadła 5. Na monecie wypadł orzeł, a na kostce wypadła 6.

18 Przykład 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema różnymi monetami: jednozłotową i dwuzłotową. Określmy zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia i wypiszmy zdarzenia sprzyjające wyrzuceniu: 1. reszki i orła, 2. co najmniej jednego orła. ROZWIĄZANIE Nasze doświadczenie możemy przedstawić na drzewie, które ma cztery gałęzie. Każda z czterech gałęzi drzewa przedstawia jeden z czterech możliwych wyników tego doświadczenia: Możemy je zapisać tak: OO, OR, RO, RR, gdzie O oznacza wyrzucenie orła, a R wyrzucenie reszki. Wobec tego zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia to: {OO, OR, RO, RR} a) Zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu reszki i orła sprzyjają dwa zdarzenia elementarne OR i RO. b) Zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu co najmniej jednego orła sprzyjają trzy zdarzenia elementarne: OO, OR, RO. Ćwiczenie 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie trzema różnymi monetami. Wypisz wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia oraz podaj zdarzenia elementarne sprzyjające wyrzuceniu: a) dokładnie jednego orła, b) co najmniej jednej reszki.

19 Przykład 2. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema sześciennymi kostkami do gry: czerwoną i czarną. Określmy zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia i wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom: a) A suma liczb oczek na obu kostkach jest równa siedem, b) B co najmniej na jednej kostce otrzymano trzy oczka. ROZWIĄZANIE Zauważmy, że wszystkich możliwych wyników przy takim doświadczeniu jest 36. a) Obliczmy sumy liczb oczek dla rzutów dwiema kostkami i zapiszmy je w tabeli. Suma liczb oczek na obu kostkach jest równa siedem dla sześciu wyników zaznaczonych w tabeli. Wobec tego zdarzeniu A sprzyja sześć wyników: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).

20 b) W podobny sposób zaznaczamy w tabeli wyniki sprzyjające zdarzeniu B, czyli spełniające warunek, że na parze kostek otrzymano co najmniej jedną trójkę. Jest sześć wyników, w których trójka wypadła na czerwonej kostce: (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) oraz sześć wyników, w których trójka wypadła na czarnej kostce: (1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3). Wynik (3,3) powtarza się w obu zbiorach, zatem zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B jest jedenaście. Zauważmy, że więcej jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B niż w zdarzeniu A, a więc jest większa szansa zajścia zdarzenia B. Ćwiczenie 2. Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym rzucie kostką do gry i monetą. Określ zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia i wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom: a) A wypadła reszka i parzysta liczba oczek, b) B nie wypadł orzeł ani 6. Które ze zdarzeń A czy B ma większą szansę zajścia? Przykład 3. W pudełku znajduje się: 5 piłeczek żółtych, 8 niebieskich i 7 zielonych. Losujemy jedną piłeczkę. Obliczmy, jaka jest szansa: a) A wylosowania piłeczki żółtej, b) B wylosowania piłeczki niebieskiej, c) C wylosowania piłeczki zielonej, d) D wylosowania piłeczki, która nie jest koloru żółtego. ROZWIĄZANIE Wszystkich piłeczek jest. a) Piłeczek koloru żółtego jest, zatem szansa wylosowania piłeczki żółtej jest jak, a więc jest równa, czyli.

21 b) Piłeczek koloru niebieskiego jest, zatem szansa wylosowania piłeczki niebieskiej jest jak, a więc jest równa, czyli. c) Piłeczek koloru zielonego jest, zatem szansa wylosowania piłeczki zielonej jest jak, a więc jest równa, czyli. d) Piłeczek, które nie są koloru żółtego, jest, zatem szansa wylosowania piłeczki, która nie jest koloru żółtego, jest równa, czyli. Załóżmy, że wszystkie wyniki doświadczenia losowego mają jednakową szansę wystąpienia i jest ich skończona liczba. Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy stosunek liczby wyników (zdarzeń elementarnych) sprzyjających temu zdarzeniu (n) do liczby wszystkich możliwych wyników w doświadczeniu losowym (N). Powyższy wzór można zapisywać krócej:. Ćwiczenie 3. W woreczku znajduje się: 10 piłeczek czerwonych, 6 piłeczek białych i 9 piłeczek czarnych. Losujemy jedną piłeczkę. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia: a) A wylosowana piłeczka jest czerwona, b) B wylosowana piłeczka jest biała, c) C wylosowana piłeczka jest czarna, d) D wylosowana piłeczka nie jest czerwona. Przykład 4 Talia składa się 52 kart: 13 kar ( ), 13 trefli ( ), 13 kierów ( ) i 13 pików ( ). Losujemy jedną z kart. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że wylosowana karta będzie: a) A kierem, b) B królem, c) C królem kier, d) D figurą (as, król, dama, walet). ROZWIĄZANIE Mamy 52 możliwości wylosowania jednej karty, zatem N=52. a) Zdarzeniu A sprzyja zdarzeń elementarnych, gdyż talia ma 13 kierów, zatem oraz.

22 b) Zdarzeniu B sprzyjają zdarzenia elementarne, gdyż talia ma króle, zatem oraz. c) Zdarzeniu C sprzyja tylko zdarzenie elementarne, gdyż talia ma tylko jednego króla kier, zatem oraz. d) Zdarzeniu D sprzyja zdarzeń elementarnych, gdyż talia ma 4 figury w 4 kolorach, zatem oraz. Ćwiczenie 4. Z talii składającej się z 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana karta będzie: a) A damą, b) B pikiem, c) C damą pik, d) D karem lub kierem. Przykład 5 Rzucamy symetryczną kostką sześcienną, której siatka przedstawiona jest na rysunku. Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A na górze wypadnie ścianka czerwona, b) B na górze wypadnie ścianka koloru innego niż żółty. ROZWIĄZANIE Kostka jest symetryczna, a zatem każda ścianka może wypaść z takim samym prawdopodobieństwem. a) Wszystkich ścianek jest sześć, a czerwone ścianki są dwie, zatem:. b) Ścianek o kolorze innym niż żółty jest pięć, zatem. Zauważmy, że ten sam wynik otrzymamy, jeśli od (prawdopodobieństwo uzyskania ścianki dowolnego koloru) odejmiemy (prawdopodobieństwo uzyskania ścianki koloru żółtego).

23 Ćwiczenie 5. Do wylosowania jednej z liczb spośród 1, 2, 3, 4 użyto wskazówki i tarczy w kształcie ośmiokąta foremnego (patrz rysunek). Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) A wylosowano liczbę parzystą, b) B wylosowano liczbę nie większą od 2. Przykład 6 W urnie znajduje się losów wygrywających i przegrywające. Ile losów wygrywających należy dołożyć do urny, aby prawdopodobieństwo wyciągnięcia z niej losu wygrywającego wynosiło? ROZWIĄZANIE Sposób 1. Jeśli prawdopodobieństwo wyciągnięcia z urny losu wygrywającego ma wynosić, to co czwarty los musi być wygrywający, a zatem losów przegrywających musi być trzy razy więcej niż wygrywających. Są losy przegrywające, a zatem losów wygrywających powinno być trzy razy mniej, czyli. Należy zatem dołożyć do urny losy wygrywające. Sposób 2. Oznaczmy jako liczbę losów wygrywających, jaką należy dołożyć do urny. Wówczas naszą sytuację możemy przedstawić w tabeli. Po dołożeniu losów wygrywających mamy: oraz 9+x. Wiemy, że, zatem gdy podstawimy dane do wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia, otrzymamy równanie:, a stąd.

24 Ćwiczenie 6 W urnie znajduje się 5 losów wygrywających i 24 losy przegrywające. Ile losów przegrywających należy wyjąć z urny, aby prawdopodobieństwo wyciągnięcia z niej losu wygrywającego wynosiło?. Przykład 7 Ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 20 losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A wylosowana liczba jest podzielna przez 5, b) B wylosowana liczba jest parzysta lub jest podzielna przez 5, c) C wylosowana liczba jest mniejsza od 100, d) D wylosowana liczba jest kwadratem liczby naturalnej dwucyfrowej. ROZWIĄZANIE Gdy losujemy jedną liczbę, mamy możliwości, czyli zdarzeń elementarnych. a) Zdarzeniu A sprzyjają cztery liczby: 5, 10, 15, 20, zatem. b) Zdarzeniu B sprzyja dziesięć liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 oraz cztery liczby podzielne przez pięć: 5, 10, 15 i 20. Liczby 10 i 20 powtarzają się w obu zbiorach, zatem. c) Wszystkie liczby od 1 do 20 są mniejsze od 100, więc zdarzeniu C sprzyja dwadzieścia zdarzeń elementarnych, zatem. d) Żadna z liczb od 1 do 20 nie jest kwadratem liczby dwucyfrowej, więc zdarzeniu D nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne, zatem. Zdarzenie losowe, któremu sprzyjają wszystkie możliwe zdarzenia elementarne, to zdarzenie pewne. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1. Zdarzenie losowe, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne, to zdarzenie niemożliwe. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0. Ćwiczenie 7 Ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 15 losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: e) A wylosowana liczba jest podzielna przez 3, f) B wylosowana liczba jest podzielna przez 3 lub jest nieparzysta, g) C wylosowana liczba jest parzysta i podzielna przez 11, h) D kwadrat wylosowanej liczby jest mniejszy od 250.

25 Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest liczbą zawartą między 0 a 1. Prawdopodobieństwa zdarzeń można zaznaczać na osi liczbowej, na odcinku od 0 do 1. Oto przykłady: Prawdopodobieństwo uzyskania orła w pojedynczym rzucie monetą wynosi. W doświadczeniu losowym polegającym na dziesięciokrotnym rzucie monetą uzyskanie samych orłów jest zdarzeniem mało prawdopodobnym. W doświadczeniu losowym polegającym na dziesięciokrotnym rzucie monetą uzyskanie co najmniej jednego orła jest zdarzeniem bardzo prawdopodobnym. W doświadczeniu losowym polegającym na losowaniu jednej kuli z worka, w którym są same kule czarne, wylosowanie kuli białej jest zdarzeniem niemożliwym. W doświadczeniu losowym polegającym na losowaniu jednej kuli z worka, w którym są same kule czarne, wylosowanie kuli czarnej jest zdarzeniem pewnym. Przykład 8 Kasia ma w pudełeczku 5 guzików żółtych i 8 czerwonych. Dziewczynka wyjmuje losowo guziki z pudełka. Ile co najmniej guzików musi wyciągnąć, aby mieć pewność, że będzie wśród nich guzik czerwony? ROZWIĄZANIE Musi wyciągnąć co najmniej 6 guzików. Jeśli wyciągnie tylko 5 lub mniej, mogą to być same guziki żółte i nie będzie wśród nich żadnego guzika czerwonego. Ćwiczenie 7 W klasie jest 13 chłopców i 10 dziewcząt. Ile osób z tej klasy musi wylosować nauczyciel, aby mieć pewność, że będą wśród nich co najmniej dwie osoby różnej płci?

26 ZADANIA 1. W pudełku znajdują się żetony: 5 żółtych i 3 czerwone. Losujemy jeden żeton. Prawdopodobieństwo wylosowania żetonu czerwonego wynosi: A. B. C. D. 2. W klasie jest 25 uczniów, w tym 15 chłopców. Nauczyciel losuje jednego ucznia. Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny wynosi: A. B. C. D. 3. Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Prawdopodobieństwo wylosowania asa lub trefla wynosi: A. B. C. D. 4. Doświadczenie polega na rzucie symetryczną sześcienną kostką, której siatka przedstawiona jest na rysunku. Prawdopodobieństwo uzyskania nieparzystej liczby oczek jest równe: : A. B. C. D. 5. Z klocków, na których zapisane są litery S, T, A, T, Y, S, T, Y, K, A, losujemy jeden klocek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A na wylosowanym klocku jest napisana litera A, b) B na wylosowanym klocku jest zapisana spółgłoska. 6. Rzucamy monetą i symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy orła oraz parzystą liczbę oczek na kostce. 7. W pudełku znajdują się żetony białe i czarne, w kształcie kół lub kwadratów. W tabeli przedstawiono część informacji dotyczących liczby żetonów. a) Przerysuj tabelę do zeszytu i ją uzupełnij. b) Z pudełka wylosowano jeden żeton. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A wylosowany żeton nie jest białym kwadratem, B wylosowany żeton nie jest czarnym kołem. 8. W szatni kluczyki do szafek ponumerowane są liczbami od 1 do 50. Szatniarka na chybił trafił wybiera jeden kluczyk. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A numer na wylosowanym w ten sposób kluczyku zawiera cyfrę 1, b) B numer na wylosowanym kluczyku zawiera cyfrę 2.

27 9. Z talii 24 kart (od dziewiątek) losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) A wylosowana karta jest asem, b) B wylosowana karta jest kierem, c) C wylosowana karta jest królem lub damą, d) D wylosowana karta nie jest dziesiątką. 10. W pewnej klasie przeprowadzono ankietę dotyczącą ulubionego sportu. W tabeli przedstawiono wyniki tej ankiety. Wylosowano jednego ucznia. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A wylosowano ucznia, którego ulubionym sportem nie jest piłka nożna, b) B wylosowano ucznia, którego ulubionym sportem jest ten, do którego potrzebna jest piłka. Które ze zdarzeń A czy B jest bardziej prawdopodobne? 11. W torebce są cukierki: 10 miętowych, 15 owocowych i 25 czekoladowych. Losujemy jeden cukierek. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowany cukierek jest: a) owocowy, b) miętowy lub czekoladowy, c) czekoladowy lub owocowy. 12. W worku jest 6 czerwonych kul i pewna liczba kul białych. Losujemy z worka jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej wynosi. Ile w worku jest kul białych? 13. W pudełku jest 30 kolorowych kul, w tym 13 czerwonych, 6 niebieskich oraz kule zielone i żółte. Losujemy z pudełka jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli żółtej wynosi. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli: a) czerwonej lub niebieskiej, b) zielonej lub żółtej, c) zielonej, d) czerwonej, niebieskiej lub żółtej, e) czarnej, f) czerwonej, niebieskiej, zielonej lub żółtej.

28 14. W tabeli zestawiono wiek członków zespołu tanecznego w pewnym domu kultury. Z grupy tancerzy wylosowano jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana osoba ma: a) 10 lat, b) co najmniej 11 lat, c) najwyżej 13 lat. 15. Losujemy jedną monetę spośród monet przedstawionych na ilustracji. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana moneta: a) nie jest dwuzłotówką, b) ma nominał o wartości najwyżej 20 groszy. 16. W jednej sakiewce jest 10 dukatów i 14 talarów, a w drugiej 7 dukatów i 10 talarów. Możesz wylosować jedną monetę z jednej z tych sakiewek. Którą sakiewkę warto wybrać, aby mieć większą szansę wylosowania dukata? 17. Alicja na swojej MP3 ma nagranych 15 utworów z muzyką poważną, 35 z jazzem, 20 z reggae i 10 z hip-hopem. Dziewczyna włączyła odtwarzanie losowe. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że usłyszy: a) utwór jazzowy, b) utwór, który nie należy do utworów z muzyką poważną. 18. Rzucamy dwiema różnymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) A suma liczb oczek na kostkach jest większa od 6 b) B iloczyn liczb oczek na kostkach jest mniejszy od 12, c) C suma liczb oczek jest większa od 12, d) D iloczyn liczb oczek jest mniejszy od W grze Papier, kamień, nożyce uczestniczy dwóch graczy, którzy jednocześnie na umówiony sygnał wystawiają przed siebie dłoń, pokazując symbol papieru, kamienia lub nożyczek.

29 Kto pokaże silniejszy symbol, ten wygrywa. Oto zasady: je nożyce są silniejsze od papieru, ponieważ go tną; kamień jest silniejszy od nożyc, ponieważ tępi; papier jest silniejszy od kamienia, ponieważ go owija. Asia i Basia grają w tę grę. Wypisz wszystkie możliwe zdarzenia elementarne. Przyjmij, że dziewczęta pokazują symbole losowo, i oblicz prawdopodobieństwo tego, że w pojedynczej rozgrywce: a) wygra Asia, b) wygra Basia, c) będzie remis. 20. W pudełku znajduje się 12 żetonów żółtych i 15 żetonów czerwonych. Ile żetonów czerwonych należy dołożyć do pudełka, aby prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego żetonu wzrosło do? 21. W pudełku znajduje się 12 żetonów żółtych i 15 żetonów czerwonych. Ile żetonów żółtych należy wyjąć z pudełka, aby prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego żetonu wzrosło do? 22. W pudełku są kule ponumerowane liczbami od 1 do 20. W sposób losowy wyciągamy kule z pudełka. Ile co najmniej kul trzeba wyjąć, aby mieć pewność, że wśród nich jest kula z liczbą podzielną przez 5? 23. Prawdopodobieństwo, że jutro będzie padał deszcz, wynosi. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jutro nie będzie padał deszcz? 24. Prawdopodobieństwo tego, że Andrzej spóźni się do szkoły, wynosi 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Andrzej nie spóźni się do szkoły? 25. W loterii, w której na początku było 30 losów wygrywających i 70 losów przegrywających, wyciągnięto już 6 losów wygrywających i 15 przegrywających. Czy teraz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu wygrywającego jest większe niż na początku? 26. Andrzej zapisał na kartce jedną z liczb naturalnych od 1 do 8. Bogdan stara się ustalić, jaką liczbę zapisał kolega, i zadaje kolejno pytania. To mogą być tylko takie pytania, na które Andrzej może odpowiedzieć TAK lub NIE. Uzasadnij, że Bogdanowi wystarczą trzy pytania i trzy odpowiedzi, aby ustalić, jaką liczbę na kartce zapisał Andrzej.

30

31 Podsumowanie rozdziału 3. Zanim przystąpisz do rozwiązywania zadań, sprawdź, czy umiesz odpowiedzieć na poniższe pytania. Jak obliczać średnią arytmetyczną, medianę i modę zestawu danych? Jak odczytywać dane z tabel i różnego typu wykresów? Jak prezentować dane statystyczne z użyciem tabel i wykresów? Jak analizować proste sytuacje losowe, takie jak rzuty kostkami, monetami, różnego typu losowania? Jak określać prawdopodobieństwo zdarzeń w doświadczeniach losowych? Co to jest zdarzenie niemożliwe, a co to jest zdarzenie pewne? W zadaniach wskaż poprawne dokończenie zdania. 1. Zważono dziesięć opakowań rodzynek i otrzymano wyniki: 98 g, 99 g, 100 g, 100 g, 101 g, 102 g, 102 g, 102 g, 102 g, 104 g. Średnia waga opakowania rodzynek wynosi A. B. C. D. 2. W skoku w dal lekkoatleta uzyskał kolejno wyniki:,,,,,. Mediana wyników skoczka jest równa A. B. C. D. 3. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej z worka przedstawionego na rysunku wynosi A. B. C. D. 4. Podaj średnią arytmetyczną, medianę i modę poniższego zestawu ośmiu liczb:. 5. Mateusz przeanalizował liczbę SMS-ów wysyłanych i otrzymywanych w ciągu ostatniego tygodnia. Dane zapisał w tabeli. Wyznacz i porównaj średnie, mediany i mody liczby SMS-ów wysyłanych i otrzymywanych przez Mateusza. 6. Jacek analizował masę jabłek, które kupił w sklepie. Oto ich masy podane w dekagramach:. Przedstaw wyniki Jacka w formie diagramu łodygowo-listkowego. Jaka jest mediana masy tych jabłek? 7. Pielęgniarka zważyła uczennic i masy dziewcząt w kilogramach zapisała w formie diagramu łodygowo-listkowego.

32 Podaj średnią arytmetyczną, medianę oraz modę mas uczennic. 8. Jednym z elementów rywalizacji w biathlonie jest oddawanie do tarczy serii pięciu strzałów. Trener po zakończeniu sezonu zestawił wyniki zawodnika na diagramie kołowym. Określ średnią liczbę pudeł w serii strzałów, medianę serii oraz jej modę. 9. Wzrost zawodników polskiej drużyny siatkówki na olimpiadzie w Rio de Janeiro w 2016 r. wynosił w centymetrach:. Spośród zawodników trener wylosował jednego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jego wzrost: a) jest większy od średniego wzrostu zawodników drużyny, b) jest mniejszy od mediany wzrostu zawodników drużyny? 10. Na poniższym diagramie słupkowym przedstawiono wyniki sprawdzianu z historii. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń otrzymał ocenę: a) wyższą od średniej, b) niższą od mediany, c) równą modzie. 11. Liczbę bramek zdobytych przez Legię Warszawa w sezonie zasadniczym 2015/2016 (30 meczów) podano w tabeli.

33 a) Oblicz średnią liczbę bramek zdobywanych przez Legię w meczu. b) Jaka była mediana, a jaka moda liczby bramek zdobywanych w pojedynczym meczu? c) Wiadomo, że runda zasadnicza odbywa się systemem każdy z każdym, mecz i rewanż. Na podstawie tej informacji wyznacz liczbę drużyn w ekstraklasie. 12. Średnia płaca pięciu pracowników wynosi 2800 zł. Ile zarabia szef firmy, jeśli średnia płaca pracowników i szefa wynosi 4000 zł? 13. Średnia wieku członków szkolnej sekcji brydżowej liczy 15 lat, a wraz z opiekunem, który ma 39 lat, średnia wieku w sekcji wynosi 18 lat. Ilu członków liczy ta sekcja? 14. Mediana zestawu liczb: 2, 5, 7, 3, 3, x wynosi 4. Jaką liczbą może być x? 15. Doświadczenie polega na rzucie ośmiościenną kostką, której siatkę przedstawiono na rysunku. Oblicz prawdopodobieństwo, że przy jednokrotnym rzucie otrzymasz liczbę: a) parzystą, b) pierwszą. 16. Na osi liczbowej zaznaczono prawdopodobieństwa pięciu zdarzeń. Które zdarzenie to: a) zdarzenie pewne, b) zdarzenie niemożliwe, c) zdarzenie bardzo prawdopodobne, d) zdarzenie mało prawdopodobne, e) zdarzenie, którego szansa zajścia wynosi 50%? 17. Spośród liczb naturalnych od 1 do 10 losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy liczbę: a) parzystą, b) większą od 7, c) podzielną przez 3, d) niepodzielną przez 5.

34 18. Z talii 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana karta jest: a) asem lub waletem, b) treflem, ale nie asem, c) asem, ale nie treflem, d) asem lub treflem. 19. Rzucamy dwiema różnymi zwykłymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: a) otrzymano sumę liczb oczek większą od 8, b) na żadnej z kostek nie otrzymano 5, c) na obu kostkach jest liczba oczek podzielna przez 3 d) iloczyn liczb oczek jest wielokrotnością W pudełku jest 11 pereł i 8 kulek imitujących perły. a) Ile trzeba dołożyć kulek imitujących perły, aby prawdopodobieństwo wylosowania perły wynosiło? b) Ile trzeba dołożyć pereł, aby prawdopodobieństwo wylosowania kulki imitującej perłę wynosiło? 21. W grupie 28 uczniów część jest zapisana na koło matematyczne, a część na koło historyczne. Żaden uczeń nie chodzi jednocześnie na oba koła. W poniższej niepełnej tabeli przedstawiono liczbę uczestników kół z podziałem na płeć. Spośród grupy uczniów losujemy jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana osoba jest: a) chłopcem, b) członkiem koła matematycznego. 22. Spośród liter wyrazu T R A K T O R losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosowana litera: a) jest samogłoską, b) ma oś symetrii? 23. Biuro bukmacherskie przyjmuje zakłady dotyczące wyniku pewnego meczu w piłce nożnej: czy wygrają gospodarze, czy będzie remis, czy wygrają goście. Stosunek prawdopodobieństwa tych zdarzeń jest równy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że: a) w meczu będzie remis, b) spotkania nie wygrają goście? 24. Punkt A jest jednym z wierzchołków dziesięciokąta foremnego. Spośród pozostałych wierzchołków wylosowano jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że punkt A oraz wylosowany punkt wyznaczają przekątną wielokąta. 25. Listonosz ma dostarczyć listy do mieszkań o numerach: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Na klatce w bloku zgasło światło. Ile listów listonosz musi wyjąć z torby, aby mieć pewność, że będzie wśród nich list do mieszkania o parzystym numerze?

35 Liczba uczniów w procentach 26. W klasie jest 26 uczniów. Uzasadnij, że wśród nich jest co najmniej trzech mających ten sam znak zodiaku. 27. Do gry w szachy wykorzystuje się planszę 8 8, w której każde pole jest opisane liczbą i literą. Na szachownicy na polu d6 stoi biały skoczek. Spośród pozostałych pól szachownicy wylosowano jedno i postawiono na nim czarną wieżę. Wieża może przesuwać się o dowolną liczbę pól, ale tylko w poziomie lub pionie. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że biały skoczek może zostać zbity przez wieżę. 28. Ze zbioru kwadratów liczb naturalnych dwucyfrowych wybrano jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że cyfrą jedności wylosowanej liczby jest: a) 0 b) 4 c) Jaką liczbę można dopisać do zbioru liczb 5, 7, 10, aby średnia arytmetyczna czterech liczb i ich mediana były równe? Podaj wszystkie możliwości. 30. Rzucamy pięcioma monetami. Co jest bardziej prawdopodobne: uzyskanie dokładnie dwóch orłów czy uzyskanie dokładnie trzech orłów? Odpowiedź uzasadnij. 31. Test z biologii składa się z sześciu pytań, na które można odpowiedzieć TAK albo NIE. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że uczeń zaznaczający odpowiedzi losowo poda wszystkie odpowiedzi poprawne? Zadanie. W pewnym gimnazjum, wśród uczniów (każdy uczeń pochodzi z innej rodziny), 50% zebrano dane na temat posiadanego rodzeństwa. Wyniki badań przedstawiono na 45% diagramie słupkowym. 40% a. Jaką część wszystkich uczniów stanowią uczniowie, którzy nie mają rodzeństwa. 35% b. Jaką część wszystkich rodzin stanowią rodziny z dwójką dzieci? 30% c. Jaki procent stanowiły rodziny z co najmniej dwójką dzieci? 25% d. Oblicz modę liczby dzieci w badanych rodzinach. e. Oblicz medianę liczby dzieci w rodzinach ankietowanych uczniów. 20% f. Oblicz średnią liczbę dzieci w jednej badanej rodzinie 15% g. Wiedząc, że rodzin w których było 3 rodzeństwa było o 30 więcej od rodzin z 4 dzieci. 10% Oblicz ilu uczniów chodziło do tej szkoły. 5% h. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń gimnazjum ma troje 0% rodzeństwa i. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń gimnazjum ma dwoje Liczba rodzeństwa rodzeństwa lub jest jedynakiem. j. ***Dyrekcja wybrała dwoje uczniów z tej szkoły. Oblicz prawdopodobieństwo, że jedno z nich ma dwoje rodzeństwa, a drugie rodzeństwa nie ma.