Martyngały a rynki finansowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Martyngały a rynki finansowe"

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXIII Szkole Matematyki Poglądowej Metody klasyczne i współczesne, sierpień Martyngały a rynki finansowe Jacek JAKUBOWSKI, Warszawa 1. Okazuje się, że teoria martyngałów część teorii procesów stochastycznych jest podstawowym narzędziem we współczesnej matematyce finansowej. Celem tego artykułu jest przedstawienie podstawowych idei prowadzących do tego związku. Aby uniknąć trudności technicznych ograniczę się do najprostszego przypadku tj. przypadku dyskretnej i skończonej przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P). Zacznę od opisu klasycznego zadania hazardu (gra w orła i reszkę ), przypomnę co to jest warunkowa wartość oczekiwana, wprowadzę pojęcie martyngału, a skończę na zagadnieniach wyceny pewnych aktywów (instrumentów pochodnych) na rynkach finansowych (dla niektórych gra na giełdzie to nieklasyczny hazard). 2. Rozważmy najprostszą sytuację gry w orła i reszkę. Gracze A i B grają rzucając symetryczną monetą. W pojedynczej kolejce gracz wygrywa 1 zł z prawdopodobieństwem 1/2 i przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem 1/2. Zasadniczo gra kończy się, gdy jeden z graczy zostanie zrujnowany. Gracze mogą jednak umówić się inaczej (np. wycofywać się z gry w dogodnym dla siebie momencie). Wyniki poszczególnych kolejek są niezależne, zatem wygrane pierwszego gracza w kolejnych partiach są niezależnymi zmiennymi losowymi ξ 1,..., ξ n,..., przy czym P(ξ i = 1) = 1/2 = P(ξ i = 1). Korzystając z metod rachunku prawdopodobieństwa można zbadać tę grę (znaleźć szansę wygrania ustalonej kwoty, szansę przegrania całego kapitału czyli ruiny, szansę wygrania k zł nim przegramy n zł itp.). Wygrana gracza A po n grach jest równa sumie wygranych w pojedynczych kolejkach: S n = ξ ξ n. Przy badaniu zachowania ciągu zmiennych losowych (S n ) n wykorzystuje się związek S n+1 = S n + ξ n+1, zatem do S n dodajemy niezależną od S n zmienną losową ξ n+1 o średniej zero, czyli intuicyjnie: jeśli znamy S n (np. jest równe 7), to S n+1 daje średnio to samo (formalnie E(S n+1 S n = 7) = 7). Ta własność jest bardzo przydatna przy badaniu ciągu (S n ) n. Warto wykorzystać to spostrzeżenie i uogólnić rozumowanie, aby móc stosować teorię do szerszej klasy zagadnień np. zagadnienia ruiny przy osłabionych założeniach o grze. Chcemy pozbyć się założenia o niezależności zmiennych losowych ξ i zachowując własność uśrednienia tzn. własność E(S n+1 S n = k) = k. W następnym punkcie zajmiemy się formalnym opisem takiego uogólnienia. 3. Jeśli dysponujemy jakąś cząstkową wiedzą o zjawisku, np. wiemy, że zaszło zdarzenie A (P(A) > 0), to mamy do czynienia z prawdopodobieństwem warunkowym P( A) (dla przypomnienia P(B A) = P(A B)/P(A)). Przy ustalonym A, funkcja B P(B A) jest rozkładem prawdopodobieństwa na M, który będziemy oznaczać P A. Dla zmiennej losowej X możemy mówić o rozkładzie warunkowym X, gdy wiemy, że zaszło zdarzenie A, tzn. o P A (X = x i ) = P(X = x i A) dla wszystkich wartości x i, i = 1,...,k przyjmowanych przez zmienną losową X. Rozpatrujemy także wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, gdy wiemy, że zaszło A tzn. E(X A) = k x i P(X = x i A) i=1 Jest to klasyczna definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej X względem rozkładu prawdopodobieństwa P A. Stąd oznaczenie E(X A) i interpretacja jako 13

2 wartości średniej X, gdy wiemy, że zaszło zdarzenie A. Wielkość tę możemy wyrazić za pomocą wyjściowego rozkładu prawdopodobieństwa P, a mianowicie E(X A) = 1 X(ω) P(ω). P(A) ω A Zawsze zachodzi jedno ze zdarzeń A lub A = Ω \ A. Stąd dla rozbicia F = {A, A } przestrzeni Ω możemy zdefiniować nową zmienną losową: E(X F)(ω) przyjmującą wartość E(X A), gdy ω A oraz równą E(X A ), gdy ω A. Przykład 1. Niech X będzie liczbą orłów otrzymaną przy trzykrotnym rzucie symetryczną monetą, natomiast A zdarzeniem polegającym na wypadnięciu reszki w pierwszym rzucie. Wtedy dla rozbicia F = {A, A } { 1, ω A, E(X F) = 2, ω A. Ta idea w naturalny sposób przenosi się na rozbicie skończone. Niech Ω = l i=1 A i, gdzie zdarzenia A i są parami rozłączne i mają dodatnie prawdopodobieństwa. Wtedy F = {A 1,...,A l } jest rozbiciem przestrzeni Ω. Definicja 1. Warunkową wartością oczekiwaną X pod warunkiem rozbicia F = {A 1,...,A l } będziemy nazywać zmienną losową E(X F)(ω) = l E(X A j )1 Aj (ω) j=1 tzn. E(X F)(ω) jest równe E(X A j ), gdy ω A j. Tak zdefiniowana warunkowa wartość oczekiwana jest uśrednieniem X na elementach rozbicia tzn. jest stała na elementach rozbicia i na każdym z nich ta stała jest równa średniej wartości X na nim. Wymienimy teraz kilka podstawowych własności warunkowej wartości oczekiwanej względem rozbicia F: i) Jeśli X jest stała na zbiorach A i, to E(X F) = X. ii) Jeśli X 0, to E(X F) 0. iii) E(αX 1 + βx 2 F) = αe(x 1 F) + βe(x 2 F) dla α, β R. iv) EX = E(E(X F)). v) Jeśli F i X są niezależne (tzn. P(X = x i A j ) = P(X = x i )P(A j ) dla każdych i, j), to E(X F) = EX. W dalszym ciągu σ(x) będzie oznaczać rozbicie Ω generowane przez zmienną losową X tzn. σ(x) = {{X = x 1 },...,{X = x k }} i analogicznie σ(x 1,...,X n ) = {{X 1 = x 1 }... {X n = x n } : x i X i (Ω), i = 1,...,n}. Przykład 2. Gdy X 1,...,X 10 są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, to korzystając z własności warunkowej wartości oczekiwanej otrzymujemy E(X X 10 σ(x 1,...,X 4 )) = X X 4 + E(X X 10 ) = X X 4. Definicja 2. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X n jest martyngałem, jeśli E(X n+1 F n ) = X n dla wszystkich n, gdzie F n = σ(x 1,...,X n ). Warto zauważyć, że dla martyngału zachodzi EX n = EX 1, czyli wartość średnia zmiennych losowych tworzących martyngał jest stała. Przykład 3. Niech X n = ξ ξ n, gdzie ξ i są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że Eξ i = 0, i = 1, Wtedy E(X n+1 F n ) = X n + E(ξ n+1 F n ) = X n + E(ξ n+1 ) = X n, zatem(x n ) n=1 jest martyngałem. 14

3 Stąd sumy X n niezależnych zmiennych losowych o średniej zero są szczególnym przypadkiem martyngału. Czyli własność prawdziwa dla martyngałów jest prawdziwa i dla takich sum. W szczególności błądzenia przypadkowe, grę w orła i reszkę opisaną w punkcie 2 itp. można badać korzystając z tego, że tworzą one martyngał. Jednocześnie pojęcie martyngału jest pojęciem ogólniejszym od pojęcia sumy niezależnych zmiennych losowych o średniej zero. Przykład 4. (Model Pólyi) Urna zawiera b 0 białych i c 0 czarnych kul (b 0, c 0 1). Losujemy kulę z urny, zwracamy ją i dokładamy m kul tego samego koloru. Niech b n, c n oznaczają liczbę kul białych i czarnych po n-tym losowaniu. Definiujemy X n = c n /(b n + c n ) jest to ułamek kul czarnych w urnie po n-tym losowaniu, n = 0, 1, 2,.... Okazuje się, że (X n ) n=0 jest martyngałem (patrz np. [4]). 4. Rozważmy najprostszy model rynku finansowego rynek jednookresowy dwustanowy. Na tym rynku zilustrujemy najważniejsze pojęcia matematyki finansowej. Na rynku jednookresowym dwustanowym transakcje odbywają się w dwu chwilach czasu: chwili 0 i chwili T. Przyjmujemy także założenie, że rynek jest rynkiem idealnym tzn. oprocentowanie kredytów i depozytów bankowych jest jednakowe, inwestorzy nie ponoszą żadnych kosztów, tzn. kosztów transakcji, kosztów prowizji, nie płacą podatków itp., nie ma ograniczeń w dostępie do kredytów oraz rynek jest płynny, tzn. możemy kupić lub sprzedać dowolną liczbę aktywów. Założymy także, że są możliwe dwa scenariusze wypadków, zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych to Ω = {ω 1, ω 2 }, przy czym ω 1 oznacza sytuację interpretowaną jako korzystna, zaś ω 2 jako niekorzystna, a prawdopodobieństwo P jest takie, że P({ω 1 }) = p > 0, P({ω 2 }) = 1 p > 0. Przyjmujemy, że na tym rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (np. akcje) i drugi pozbawiony ryzyka inwestycja polegająca na włożeniu pieniędzy na rachunek bankowy. Są to instrumenty bazowe na tym rynku. Niech: S t oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę) w chwili t, B t oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę) w chwili t, gdzie t {0, T }. Zakładamy, że stopa procentowa jest stała i wynosi r w okresie czasu od 0 do T. Zatem w naszym przypadku mamy Natomiast (1) S 0 = s, S T (ω) = B 0 = 1, B T = 1 + r. { S u, gdy ω = ω 1, S d, gdy ω = ω 2, bo zmienna losowa S T przyjmuje dwie wartości, gdyż mamy do czynienia z dwoma scenariuszami. Możemy bez starty ogólności przyjąć, że S u > S d (dlatego ω 1 nazwaliśmy scenariuszem korzystnym). Cenę S T możemy też zapisać w innej postaci: (2) S T = S 0 Z = sz, gdzie zmienna losowa Z(ω) = { u, gdy ω = ω 1, d, gdy ω = ω 2, wskazuje, o ile procent zmieniła się cena początkowa. Na rynku istnieje wiele instrumentów pochodnych, tzn. takich, których cena zależy od cen aktywów podstawowych. Przykładem takiego instrumentu jest europejska opcja kupna. Posiadacz takiej opcji ma prawo (i nie jest to obowiązek) do kupienia określonego w umowie aktywa w ustalonej chwili T za ustaloną z góry cenę K. Zatem, gdy mu się to opłaca, realizuje swoje prawo 15

4 i zyskuje S T K, a gdy mu się nie opłaca, nie robi nic. W rezultacie otrzymuje wypłatę (S T K) +. Nie tylko europejską opcję kupna, ale każde aktywo pochodne można utożsamiać z wypłatą X generowaną przez to aktywo. Wypłata X zależy od scenariusza, więc jest zmienną losową określoną na Ω. Wiemy, ile można uzyskać posiadając europejską opcję kupna. Powstaje pytanie, ile za opcje powinniśmy zapłacić (jest to problem wyceny opcji). Pierwsza próba wyceny kontraktu związana jest z zastosowaniem metod wykorzystywanych m.in. w matematyce ubezpieczeniowej. Przykład 5. Aktywo ryzykowne kosztuje S 0 = 1 w chwili t = 0. Zakładamy, że możliwe (i równo prawdopodobne) są dwa scenariusze wydarzeń do chwili T i cena aktywa ryzykownego w chwili T = 1 wynosi S 1 (ω 1 ) = 7 lub S 1 (ω 2 ) = 1. Wiemy także, że cena aktywa bez ryzyka wynosi B 0 = 1 na początku okresu i B 1 = 2 na końcu. Interesuje nas, jak wycenić opcję kupna dającą wypłatę końcową C 1 = (S 1 K) +, gdy K = 3. Korzystając z metod z matematyki ubezpieczeniowej przypuszczamy, że cena ta jest wartością obecną opcji, a tę liczymy jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną wypłaty. Wobec tego cena opcji C 0 jest równa C 0 = B 0 E(C 1 ) = 1 [0, , 5 0] = 1, B 1 2 ponieważ C 1 (ω 1 ) = 4, C 1 (ω 2 ) = 0. Tak liczona cena opcji jest równa 1, ale nikt rozsądny nie będzie kupował opcji za cenę równą 1, gdyż lepiej kupić za tę cenę akcję. Wynika to z faktu, że gdy cena akcji wzrośnie to akcja jest warta 7, a opcja daje wypłatę 4, a gdy cena akcji się nie zmieni to akcja jest warta 1, a opcja jest bezwartościowa. Akcja daje zawsze większy zysk niż opcja. Tu oczywiście widać, że tak wyznaczona cena zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, zatem od oszacowania rynku przez inwestora. Gdy dla innego inwestora oszacowanie szans zmian na rynku P jest inne, to i wartość zdyskontowana wypłaty będzie inna. Zatem mamy drugi argument przemawiający za tym, że wielkości obliczonej według powyższego sposobu nie można przyjąć za cenę opcji. Taki model nie spełniałby podstawowego wymogu jedyności ceny aktywa pochodnego. Okazuje się, że można dobrze wycenić wypłatę korzystając z idei portfela replikującego. Portfel ϕ = (α 0, β 0 ) jest to para liczb, gdzie α 0 jest liczbą posiadanych akcji w chwili zero, zaś β 0 jest wysokością wkładu bankowego (ewentualnie wielkością kredytu, gdy β 0 < 0) w chwili zero. Dla przykładu, portfel (7, 3) oznacza, że w portfelu jest siedem akcji, tzn. inwestor kupił 7 akcji i pożyczył 3 jednostki z banku. Każda para (α, β) R 2 tworzy portfel, co odzwierciedla fakt, że można handlować dowolną liczbą aktywów, dopuszczenie wartości ujemnych β oznacza, że możemy dowolnie dużo pożyczać, a dopuszczenie wartości ujemnych α oznacza, że rynek ten dopuszcza także krótką sprzedaż akcji. Krótka sprzedaż polega na pożyczeniu i sprzedaży akcji w chwili 0 oraz odkupieniu tej samej liczby akcji i ich zwrocie w chwili T. Zbiór wszystkich możliwych portfeli oznaczać będziemy przez Φ. W modelu, który przyjęliśmy, Φ = R 2. Niech ϕ = (α 0, β 0 ) będzie portfelem inwestora, który sprzedał wypłatę X. Wartość portfela V t (ϕ) w chwili t wynosi dla t = 0 i t = T, odpowiednio: V 0 (ϕ) = α 0 S 0 + β 0, V T (ϕ) = α 0 S T + β 0 (1 + r). Tak jest, gdyż portfel ustaliliśmy w chwili t = 0 i nie ulega on zmianie do chwili T. Inwestor sprzedający wypłatę X musi umieć ją zabezpieczyć tzn. wartość portfela ϕ, który zbudował sprzedający wypłatę za otrzymane ze sprzedaży pieniądze, musi w chwili T być równa X, czyli portfel ϕ musi replikować wypłatę X: V T (ϕ)(ω i ) = X(ω i ) dla i = 1, 2. Portfel ϕ jest doskonałym zabezpieczeniem wypłaty X, gdyż eliminuje całkowicie ryzyko. Na pytanie dla jakich wypłat istnieje portfel replikujący odpowiada 16

5 Twierdzenie 1. Dla każdej wypłaty istnieje dokładnie jeden portfel replikujący. Dla wypłaty X ma on postać (3) α 0 = Xu X d S u S d, β 0 = Xd S u X u S d (1 + r)(s u S d ), gdzie X u = X(ω 1 ), X d = X(ω 2 ). Dowód. Portfel replikujący ϕ = (α 0, β 0 ) dla wypłaty X jest zadany przez układ równości α 0 S u + (1 + r)β 0 = X u, α 0 S d + (1 + r)β 0 = X d i ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem (3) dla dowolnych X u, X d, zatem dla dowolnej wypłaty portfel jest wyznaczony jednoznacznie. Naturalne jest zdefiniowanie racjonalnej ceny wypłaty X jako początkowej inwestycji potrzebnej do konstrukcji portfela replikującego, tzn. (4) Π 0 (X) def = V 0 (ϕ), gdzie ϕ jest portfelem replikującym. Z tej definicji wynika, że racjonalna cena wypłaty nie zależy od subiektywnych prawdopodobieństw zmian cen akcji, tzn. nie zależy od prawdopodobieństwa P. Korzystając z tw. 1 otrzymujemy, że cena racjonalna wypłaty X jest równa (5) Π 0 (X) = α 0 S 0 + β 0 = Xu X d S u S d S 0 + Xd S u X u S d (1 + r)(s u S d ). Przykład 6. Wycenimy opcję z przykładu 5. Portfel ϕ = (α, β) jest portfelem replikującym, gdy 7α + 2β = 4, α + 2β = 0. Ten układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie: α = 2/3, β = 1/3. Stąd C 0 = V 0 (ϕ) = 2/3 1/3 = 1/3. Znając skład portfela replikującego wystawca opcji wie, jak wygenerować wielkość (S T K) + w chwili T, dysponując zapłatą za opcję. Zatem potrafi rozwiązać problem zabezpieczenia wypłaty (drugi podstawowy problem matematyki finansowej dalej tym problemem w tym artykule nie będziemy się zajmować). Powyższy model rynku trzeba jeszcze poprawić, gdyż dopuszcza on sytuację, że dla dodatniej wypłaty X > 0 może okazać się, że jej cena jest ujemna, czyli Π 0 (X) < 0. W takim przypadku można by osiągnąć zysk bez ryzyka przy pomocy odpowiedniej strategii. Przykład 7. Gdy S 0 = 10, S d = 12, S u = 13, X d = 5, X u = 15, r = 0, 1, to z (5) otrzymujemy Π 0 (X) = 50/11. Ale na tym rynku możemy osiągnąć zysk bez ryzyka pożyczając 10 jednostek z banku i kupując za tę kwotę akcję. Wtedy w chwili T sprzedając akcję otrzymujemy co najmniej 12, a do banku musimy zwrócić 11. Chcemy takie sytuacje wykluczyć, zatem chcemy z rynku wykluczyć portfel ϕ (nazywany arbitrażem lub portfelem arbitrażowym) dla którego V 0 (ϕ) = 0, V T (ϕ) 0, ω Ω V T (ϕ)(ω) > 0. Mówimy, że model rynku M = (S, B, Φ) jest wolny od arbitrażu, gdy nie ma możliwości arbitrażu w klasie portfeli Φ. Interpretacja portfela arbitrażowego jest klarowna: nie mając nic na początku, stosując strategię ϕ, na końcu operacji nic nie stracimy, a dla pewnych scenariuszy mamy zysk dodatni. Istnienie możliwości arbitrażu świadczy o serii poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Takie błędy są bardzo szybko wychwytywane i wykorzystywane przez arbitrażystów, skutkiem czego rynek szybko wraca do równowagi. Zatem model rynku powinien być modelem bez możliwości arbitrażu. Zbadamy wobec tego, jakie warunki trzeba narzucić na model rynku, by na rynku nie było możliwości arbitrażu. 17

6 Twierdzenie 2. Rynek jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy (6) S d < (1 + r)s 0 < S u. Dowód. (nie wprost) Niech jedna z powyższych nierówności nie zachodzi. Załóżmy, że S 0 (1 + r) S u. Wtedy portfel ϕ = ( 1, S 0 ) jest arbitrażem. Gdy S d (1 + r), to ϕ = (1, S 0 ) jest arbitrażem. Sprzeczność. Chcemy wykazać, że nie istnieje arbitraż. Weźmy portfel ϕ = (α, β), taki że V 0 (ϕ) = 0, tzn. αs 0 + β = 0. Gdy α = 0, to β = 0, zatem ϕ = (0, 0), V T (ϕ) 0 i portfel nie jest portfelem arbitrażowym. Gdy α 0, to β = αs 0 i ten portfel w chwili T ma wartość: { α(s u S 0 (1 + r)) dla ω = ω 1, V T (ϕ) = αs T + β(1 + r) = α(s d S 0 (1 + r)) dla ω = ω 2. Korzystając z (6) otrzymujemy, że portfel ϕ z kapitałem początkowym równym zero i α 0, w chwili końcowej T przyjmuje wartości różnych znaków, a mianowicie: gdy α > 0, to V T (ϕ)(ω 1 ) > 0 i V T (ϕ)(ω 2 ) < 0, a gdy α < 0 to zachodzą nierówności przeciwne. Zatem portfel ϕ o wartości początkowej zero nie może być arbitrażem. Z tego twierdzenia wynika, że rynek z przykładu 5. jest wolny od arbitrażu, a na rynku z przykładu 7. istnieje arbitraż, który zresztą w tym przykładzie wskazaliśmy. Od tego momentu będziemy zakładali, że na rynku M zawsze zachodzi warunek (6). Wykluczenie równości w (6) ma sens ekonomiczny, gdyż wtedy wykluczamy sytację, w której na rynku są dwa aktywa, ale jednym z nich nikt nie handluje. Istotnie, gdy S d = (1 + r)s 0, to zawsze należy inwestować w akcje, bo w najgorszym przypadku dadzą tyle, co depozyt w banku, a gdy S u = (1 + r)s 0, to zawsze należy wkładać pieniądze do banku, bo depozyt da nie mniejszy zysk niż akcje i to bez żadnego ryzyka. W obu tych przypadkach rynek nie jest płynny i z rynku znika jeden z rodzajów aktywów. Definicja 3. Na rynku M bez możliwości arbitrażu cenę racjonalną instrumentu pochodnego X nazywamy ceną arbitrażową X w chwili t = 0 na rynku M. Okazuje się, że istnieje alternatywne podejście do wyceny instrumentów pochodnych na rynku bez możliwości arbitrażu, opierające się na liczeniu wartości oczekiwanej względem pewnej wyróżnionej miary probabilistycznej. Przykład 8. Przyjmijmy, że S 0 = 3, S d = 1, S u = 7, K = 3, X = (S T K) + i niech r = 0. Wtedy X d = 0, X u = 4. Łatwo obliczyć, że portfel replikujący ma postać: α = 2/3 i β = 2/3, a stąd C 0 = 4/3. Zatem C 0 [0, 4], a więc dla q = 1/3 C 0 = qx(ω 1 ) + (1 q)x(ω 2 ) tzn. C 0 = E Q X, gdzie Q({ω 1 }) = q = 1/3, Q({ω 2 }) = 1 q. Dla tej miary probabilistycznej Q zachodzi także S 0 = 3 = 7/3 + 2/3 = E Q S T. Czy jest to przypadek wynikający ze szczególnego doboru danych? Czy cena jest wartością oczekiwaną wypłaty względem pewnego rozkładu? W tym przykładzie q nie zależy od prawdopodobieństwa subiektywnego P, zależy zaś od wypłaty X = f(s T ), a jednocześnie dla cen akcji zachodzi S 0 = E Q S T. Chciałoby się, aby w sytuacji ogólnej q zależało tylko od cen S T, a nie zależało od postaci funkcji f. Okazuje się, że tak jest w istocie. Pokazanie tego będzie naszym celem. Dla rynku bez możliwości arbitrażu z założenia (6) wynika, że S 0 (1 + r) jest kombinacją wypukłą końców odcinka tzn. istnieje γ (0, 1), takie że (7) S 0 (1 + r) = γs u + (1 γ)s d. Liczby γ i (1 γ) zadają nowe prawdopodobieństwo Q, takie że 18 Q(Z = u) = γ, Q(Z = d) = 1 γ.

7 Wtedy (8) S 0 = r E QS T, czyli otrzymaliśmy wzór przedstawiający cenę dzisiejszą jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną ceny jutrzejszej względem prawdopodobieństwa Q. Zwykle ważne są nie wielkości cen, a proporcje pomiędzy nimi. W tym celu wyrażamy wszystko w terminach wartości jakiegoś ustalonego aktywa. Wygodne jest znormalizowanie cen tak, by jednostka na rachunku bankowym miała stałą wartość. Czyli B zdyskontowany proces wartości jednostki na rachunku bankowym spełnia B0 = BT = 1 i wtedy zamiast procesu cen rozważamy zdyskontowany proces cen S : S 0 = S 0, S T = S T 1 + r. Z (8) dla miary Q zachodzi S 0 = E Q S T. Dla rynku jednookresowego dwustanowego jest to równoważne faktowi, że S jest Q-martyngałem. Stąd Definicja 4. Miarę probabilistyczną P nazywamy miarą martyngałową dla zdyskontowanego procesu cen S, gdy 1 > P (ω 1 ) > 0 oraz S jest martyngałem względem P (tzn. S jest martyngałem na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P ).) Lemat 1. Na rynku M istnieje miara martyngałowa P dla zdyskontowanego procesu cen S wtedy i tylko wtedy, gdy jedyne rozwiązanie równania (9) S 0 (1 + r) = γs u + (1 γ)s d, względem γ, należy do przedziału (0, 1). Dowód. Gdy P jest miarą martyngałową, to zachodzi S 0 = E P S T, a stąd przyjmując γ = P ({ω 1 }) otrzymujemy (9) i oczywiście γ = P ({ω 1 }) (0, 1). Gdy (9) ma rozwiązanie γ (0, 1), to definiując miarę probabilistyczną P wzorem P ({ω 1 }) = γ i P ({ω 2 }) = 1 γ otrzymujemy miarę P spełniającą S 0 = E P S T. Stąd P jest miarą martyngałową. Warto zauważyć, że jedyne rozwiązanie równania (9) jest postaci (10) γ = (1 + r)s 0 S d S u S d, więc miara martyngałowa P jest zadana przez wielkości wyznaczające cenę i przez wielkość stopy procentowej. Twierdzenie 3. Rynek M = (S, B, Φ) jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara martyngałowa dla zdyskontowanego procesu cen S. Wtedy cena arbitrażowa w chwili 0 dowolnej wypłaty X w chwili T jest dana wzorem ( ) X (11) Π 0 (X) = E P, 1 + r gdzie P jest miarą martyngałową. Dowód. Pierwsza część twierdzenia wynika z lematu 1, tw. 2, wzoru (10) oraz z tego, że 19 γ = (1 + r)s 0 S d S u S d (0, 1) S d < (1 + r)s 0 < S u.

8 Został do udowodnienia wzór (11) podający cenę arbitrażową. Niech ϕ = (α 0, β 0 ) będzie jedynym portfelem replikującym X (istnieje na mocy twierdzenia 1). Wówczas: E P ( ) X = E P 1 + r ( ) ( VT (ϕ) α0 S T = E P 1 + r 1 + r + (1 + r)β ) 0 = 1 + r = α 0 E P (S T) + β 0 = α 0 S 0 + β 0 = V 0 (ϕ) = Π 0 (X), przy czym trzecia od końca równość wynika z faktu, iż P jest miarą martyngałową, ostatnia zaś z definicji Π 0. Przykład 9. Obliczmy cenę opcji z przykładu 5 korzystając ze wzorów (10) i (11). Otrzymujemy γ = 1/6 i Π 0 (X) = 1/6 4/2 = 1/3. Oczywiście otrzymaliśmy ten sam wynik co w przykładzie 6. Gdy Ω zawiera n scenariuszy i na rynku można handlować w chwilach 0, 1,...,T, to dla dużych n, T metoda badania, czy rynek jest wolny od arbitrażu, wykorzystująca portfele samofinansujące się, jest zwykle mało przydatna ze względu na ogromną liczbę dopuszczalnych strategii. To samo dotyczy problemów wyceny. Natomiast zbadanie, czy na danym rynku istnieje miara probabilistyczną P, taka że zdyskontowany proces cen S t = S t /B t, t = 0, 1,...,T, jest martyngałem względem P jest znacznie prostsze. Z analogonów podanych tu twierdzeń wynika, że wtedy znamy własności rynku. Również liczenie cen za pomocą uogólnienia wzoru (11), które to dla wypłat replikowalnych ma dokładnie taką samą postać, jest łatwe. Ta metoda przenosi się także na przypadek dowolnej Ω i czasu ciągłego. 5. Elementarny wykład rachunku prawdopodobieństwa można znaleźć w [2] lub [5]. Więcej informacji o martyngałach czytelnik znajdzie w książkach [1], [4], [7], a o działaniu rynków finansowych w [3], [8] lub w pierwszym rozdziale [6]. Literatura [1] T. Bojdecki, 1977, Martyngały z czasem dyskretnym, zarys teorii i przykłady zastosowań, Wyd. UW, Wyd. I, Warszawa. [2] W. Feller, 1966, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa. [3] J.C. Hull, 1997, Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice-Hall, Englewood Cliffs. [4] J. Jakubowski, R. Sztencel, 2001, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wyd. II. Script, Warszawa. [5] J. Jakubowski, R. Sztencel, 2002, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, Wydawnictwo Script, Warszawa. [6] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, 2003, Matematyka finansowa. Instrumenty pochodne, Wyd. I. WNT Warszawa. [7] A. N. Shiryaev, 1980, Wierojatnost, Nauka, Moskwa. [8] A. Weron, R. Weron, 1998, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa. 20

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I Matematyka stosowana Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I Jacek Jakubowski jakub@mimuw.edu.pl Uniwersytet Warszawski, 2011 Streszczenie. Wykład jest wprowadzeniem do modelowania rynków

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje

Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje Marcin Abram WFAIS UJ w Krakowie 9 marca 2009 Założenia modelu Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt. Bezwzględna wartość zmiany ceny

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego). Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165 behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r.

VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. VIII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W Świecie Matematyki im. Prof. Włodzimierza Krysickiego Etap drugi - 3 marca 2016 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu składa się z

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Poradnik gracza opcyjnego

Poradnik gracza opcyjnego Poradnik gracza opcyjnego Wstęp Na rynku istnieje całe mnóstwo spekulantów. Szukają oni szybkiego zysku. Chcą pomnożyd kapitał wykorzystując krótkoterminowe (przypadkowe) ruchy cenowe. Handlują nieustannie.

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options). Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski ZASADY WYCENY AKTYWÓW Wykład 7 Wartość składnika aktywów a jego cena Wartością podstawową składników aktywów stanowi cena, jaką zapłacą dobrze poinformowani

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

KURS DORADCY FINANSOWEGO

KURS DORADCY FINANSOWEGO KURS DORADCY FINANSOWEGO Przykładowy program szkolenia I. Wprowadzenie do planowania finansowego 1. Rola doradcy finansowego Definicja i cechy doradcy finansowego Oczekiwania klienta Obszary umiejętności

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Młody inwestor na Giełdzie dr Witold Gradoń Akademia Ekonomiczna w Katowicach 19 Kwietnia 2010 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Współczynniki Greckie

Współczynniki Greckie Wojciech Antniak 05.0.008r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Strategie inwestowania w opcje Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Opcje giełdowe Zabezpieczenie portfela Spekulacja Strategie opcyjne 2 Opcje giełdowe 3 Co to jest opcja? OPCJA JAK POLISA Zabezpieczenie

Bardziej szczegółowo

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A.

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A. OPISY PRODUKTÓW Rabobank Polska S.A. Warszawa, marzec 2010 Wymiana walut (Foreign Exchange) Wymiana walut jest umową pomiędzy bankiem a klientem, w której strony zobowiązują się wymienić w ustalonym dniu

Bardziej szczegółowo

Inwestowanie w obligacje

Inwestowanie w obligacje Inwestowanie w obligacje Ile zapłacić za obligację aby uzyskać oczekiwaną stopę zwrotu? Jaką stopę zwrotu uzyskamy kupując obligację po danej cenie? Jak zmienią się ceny obligacji, kiedy Rada olityki ieniężnej

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Strategie inwestycyjne na rynku kapitałowym Inwestowanie na rynku dr Piotr Stobiecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 13 października 2011 r. PLAN WYKŁADU I. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Podstawowe zagadnienia: 1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji 2.

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący

Bardziej szczegółowo

Refinansowanie już od jakiegoś czasu mam kredyt, czy mogę obniżyć jego koszt?

Refinansowanie już od jakiegoś czasu mam kredyt, czy mogę obniżyć jego koszt? Refinansowanie już od jakiegoś czasu mam kredyt, czy mogę obniżyć jego koszt? Poniższy tekst jest przeniesiony z książki TAJNA BROŃ KREDYTOBIORCY praktycznego poradnika dla wszystkich kredytobiorców. Założenie

Bardziej szczegółowo

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie:

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie: Opcje na GPW (III) Na warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych notuje się opcje na WIG20 i akcje niektórych spółek o najwyższej płynności. Każdy rodzaj opcji notowany jest w kilku, czasem nawet kilkunastu

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.5 Slajd 1/25 Slajd 2/25 Warianty W wielu wypadkach, przeprowadzając różne rozważania, chcemy zastanowić się

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.5 Slajd 1/25 Slajd 2/25 W wielu wypadkach, przeprowadzając różne rozważania, chcemy zastanowić się A co by

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne dr Witold Gradoń. Plan wykładu

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy. Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne dr Witold Gradoń. Plan wykładu Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Młody inwestor na giełdzie Strategie inwestycyjne dr Witold Gradoń Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 5 maja 2014 r. Historia giełdy, Plan wykładu Pojęcie i rodzaje

Bardziej szczegółowo

Streszczenia referatów

Streszczenia referatów Streszczenia referatów mgr Marcin Krzywda Jak estymować zmienność na rynku akcji? Do praktycznego zastosowania modeli matematyki finansowej musimy potrafić wyznaczyć parametry zmiennych rynkowych. Jednym

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani usług

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

Kredytowe instrumenty pochodne

Kredytowe instrumenty pochodne Kredytowe instrumenty pochodne 1 Ryzyko kredytowe Zagrożenie, że płatności związane ze zobowiązaniem nie zostaną uregulowane przez klienta w terminie przewidzianym umową dotyczy zarówno rat kapitałowych,

Bardziej szczegółowo

O możliwościach arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie

O możliwościach arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie O możliwościach arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie Jerzy A. Dzieża Maj 2005 Spis treści O arbitrażu wstępne rozważania... 3 1. Transakcje arbitrażowe: rynek kasowy - rynek kontraktów

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo