Martyngały a rynki finansowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Martyngały a rynki finansowe"

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXIII Szkole Matematyki Poglądowej Metody klasyczne i współczesne, sierpień Martyngały a rynki finansowe Jacek JAKUBOWSKI, Warszawa 1. Okazuje się, że teoria martyngałów część teorii procesów stochastycznych jest podstawowym narzędziem we współczesnej matematyce finansowej. Celem tego artykułu jest przedstawienie podstawowych idei prowadzących do tego związku. Aby uniknąć trudności technicznych ograniczę się do najprostszego przypadku tj. przypadku dyskretnej i skończonej przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P). Zacznę od opisu klasycznego zadania hazardu (gra w orła i reszkę ), przypomnę co to jest warunkowa wartość oczekiwana, wprowadzę pojęcie martyngału, a skończę na zagadnieniach wyceny pewnych aktywów (instrumentów pochodnych) na rynkach finansowych (dla niektórych gra na giełdzie to nieklasyczny hazard). 2. Rozważmy najprostszą sytuację gry w orła i reszkę. Gracze A i B grają rzucając symetryczną monetą. W pojedynczej kolejce gracz wygrywa 1 zł z prawdopodobieństwem 1/2 i przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem 1/2. Zasadniczo gra kończy się, gdy jeden z graczy zostanie zrujnowany. Gracze mogą jednak umówić się inaczej (np. wycofywać się z gry w dogodnym dla siebie momencie). Wyniki poszczególnych kolejek są niezależne, zatem wygrane pierwszego gracza w kolejnych partiach są niezależnymi zmiennymi losowymi ξ 1,..., ξ n,..., przy czym P(ξ i = 1) = 1/2 = P(ξ i = 1). Korzystając z metod rachunku prawdopodobieństwa można zbadać tę grę (znaleźć szansę wygrania ustalonej kwoty, szansę przegrania całego kapitału czyli ruiny, szansę wygrania k zł nim przegramy n zł itp.). Wygrana gracza A po n grach jest równa sumie wygranych w pojedynczych kolejkach: S n = ξ ξ n. Przy badaniu zachowania ciągu zmiennych losowych (S n ) n wykorzystuje się związek S n+1 = S n + ξ n+1, zatem do S n dodajemy niezależną od S n zmienną losową ξ n+1 o średniej zero, czyli intuicyjnie: jeśli znamy S n (np. jest równe 7), to S n+1 daje średnio to samo (formalnie E(S n+1 S n = 7) = 7). Ta własność jest bardzo przydatna przy badaniu ciągu (S n ) n. Warto wykorzystać to spostrzeżenie i uogólnić rozumowanie, aby móc stosować teorię do szerszej klasy zagadnień np. zagadnienia ruiny przy osłabionych założeniach o grze. Chcemy pozbyć się założenia o niezależności zmiennych losowych ξ i zachowując własność uśrednienia tzn. własność E(S n+1 S n = k) = k. W następnym punkcie zajmiemy się formalnym opisem takiego uogólnienia. 3. Jeśli dysponujemy jakąś cząstkową wiedzą o zjawisku, np. wiemy, że zaszło zdarzenie A (P(A) > 0), to mamy do czynienia z prawdopodobieństwem warunkowym P( A) (dla przypomnienia P(B A) = P(A B)/P(A)). Przy ustalonym A, funkcja B P(B A) jest rozkładem prawdopodobieństwa na M, który będziemy oznaczać P A. Dla zmiennej losowej X możemy mówić o rozkładzie warunkowym X, gdy wiemy, że zaszło zdarzenie A, tzn. o P A (X = x i ) = P(X = x i A) dla wszystkich wartości x i, i = 1,...,k przyjmowanych przez zmienną losową X. Rozpatrujemy także wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, gdy wiemy, że zaszło A tzn. E(X A) = k x i P(X = x i A) i=1 Jest to klasyczna definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej X względem rozkładu prawdopodobieństwa P A. Stąd oznaczenie E(X A) i interpretacja jako 13

2 wartości średniej X, gdy wiemy, że zaszło zdarzenie A. Wielkość tę możemy wyrazić za pomocą wyjściowego rozkładu prawdopodobieństwa P, a mianowicie E(X A) = 1 X(ω) P(ω). P(A) ω A Zawsze zachodzi jedno ze zdarzeń A lub A = Ω \ A. Stąd dla rozbicia F = {A, A } przestrzeni Ω możemy zdefiniować nową zmienną losową: E(X F)(ω) przyjmującą wartość E(X A), gdy ω A oraz równą E(X A ), gdy ω A. Przykład 1. Niech X będzie liczbą orłów otrzymaną przy trzykrotnym rzucie symetryczną monetą, natomiast A zdarzeniem polegającym na wypadnięciu reszki w pierwszym rzucie. Wtedy dla rozbicia F = {A, A } { 1, ω A, E(X F) = 2, ω A. Ta idea w naturalny sposób przenosi się na rozbicie skończone. Niech Ω = l i=1 A i, gdzie zdarzenia A i są parami rozłączne i mają dodatnie prawdopodobieństwa. Wtedy F = {A 1,...,A l } jest rozbiciem przestrzeni Ω. Definicja 1. Warunkową wartością oczekiwaną X pod warunkiem rozbicia F = {A 1,...,A l } będziemy nazywać zmienną losową E(X F)(ω) = l E(X A j )1 Aj (ω) j=1 tzn. E(X F)(ω) jest równe E(X A j ), gdy ω A j. Tak zdefiniowana warunkowa wartość oczekiwana jest uśrednieniem X na elementach rozbicia tzn. jest stała na elementach rozbicia i na każdym z nich ta stała jest równa średniej wartości X na nim. Wymienimy teraz kilka podstawowych własności warunkowej wartości oczekiwanej względem rozbicia F: i) Jeśli X jest stała na zbiorach A i, to E(X F) = X. ii) Jeśli X 0, to E(X F) 0. iii) E(αX 1 + βx 2 F) = αe(x 1 F) + βe(x 2 F) dla α, β R. iv) EX = E(E(X F)). v) Jeśli F i X są niezależne (tzn. P(X = x i A j ) = P(X = x i )P(A j ) dla każdych i, j), to E(X F) = EX. W dalszym ciągu σ(x) będzie oznaczać rozbicie Ω generowane przez zmienną losową X tzn. σ(x) = {{X = x 1 },...,{X = x k }} i analogicznie σ(x 1,...,X n ) = {{X 1 = x 1 }... {X n = x n } : x i X i (Ω), i = 1,...,n}. Przykład 2. Gdy X 1,...,X 10 są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, to korzystając z własności warunkowej wartości oczekiwanej otrzymujemy E(X X 10 σ(x 1,...,X 4 )) = X X 4 + E(X X 10 ) = X X 4. Definicja 2. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X n jest martyngałem, jeśli E(X n+1 F n ) = X n dla wszystkich n, gdzie F n = σ(x 1,...,X n ). Warto zauważyć, że dla martyngału zachodzi EX n = EX 1, czyli wartość średnia zmiennych losowych tworzących martyngał jest stała. Przykład 3. Niech X n = ξ ξ n, gdzie ξ i są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że Eξ i = 0, i = 1, Wtedy E(X n+1 F n ) = X n + E(ξ n+1 F n ) = X n + E(ξ n+1 ) = X n, zatem(x n ) n=1 jest martyngałem. 14

3 Stąd sumy X n niezależnych zmiennych losowych o średniej zero są szczególnym przypadkiem martyngału. Czyli własność prawdziwa dla martyngałów jest prawdziwa i dla takich sum. W szczególności błądzenia przypadkowe, grę w orła i reszkę opisaną w punkcie 2 itp. można badać korzystając z tego, że tworzą one martyngał. Jednocześnie pojęcie martyngału jest pojęciem ogólniejszym od pojęcia sumy niezależnych zmiennych losowych o średniej zero. Przykład 4. (Model Pólyi) Urna zawiera b 0 białych i c 0 czarnych kul (b 0, c 0 1). Losujemy kulę z urny, zwracamy ją i dokładamy m kul tego samego koloru. Niech b n, c n oznaczają liczbę kul białych i czarnych po n-tym losowaniu. Definiujemy X n = c n /(b n + c n ) jest to ułamek kul czarnych w urnie po n-tym losowaniu, n = 0, 1, 2,.... Okazuje się, że (X n ) n=0 jest martyngałem (patrz np. [4]). 4. Rozważmy najprostszy model rynku finansowego rynek jednookresowy dwustanowy. Na tym rynku zilustrujemy najważniejsze pojęcia matematyki finansowej. Na rynku jednookresowym dwustanowym transakcje odbywają się w dwu chwilach czasu: chwili 0 i chwili T. Przyjmujemy także założenie, że rynek jest rynkiem idealnym tzn. oprocentowanie kredytów i depozytów bankowych jest jednakowe, inwestorzy nie ponoszą żadnych kosztów, tzn. kosztów transakcji, kosztów prowizji, nie płacą podatków itp., nie ma ograniczeń w dostępie do kredytów oraz rynek jest płynny, tzn. możemy kupić lub sprzedać dowolną liczbę aktywów. Założymy także, że są możliwe dwa scenariusze wypadków, zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych to Ω = {ω 1, ω 2 }, przy czym ω 1 oznacza sytuację interpretowaną jako korzystna, zaś ω 2 jako niekorzystna, a prawdopodobieństwo P jest takie, że P({ω 1 }) = p > 0, P({ω 2 }) = 1 p > 0. Przyjmujemy, że na tym rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (np. akcje) i drugi pozbawiony ryzyka inwestycja polegająca na włożeniu pieniędzy na rachunek bankowy. Są to instrumenty bazowe na tym rynku. Niech: S t oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę) w chwili t, B t oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę) w chwili t, gdzie t {0, T }. Zakładamy, że stopa procentowa jest stała i wynosi r w okresie czasu od 0 do T. Zatem w naszym przypadku mamy Natomiast (1) S 0 = s, S T (ω) = B 0 = 1, B T = 1 + r. { S u, gdy ω = ω 1, S d, gdy ω = ω 2, bo zmienna losowa S T przyjmuje dwie wartości, gdyż mamy do czynienia z dwoma scenariuszami. Możemy bez starty ogólności przyjąć, że S u > S d (dlatego ω 1 nazwaliśmy scenariuszem korzystnym). Cenę S T możemy też zapisać w innej postaci: (2) S T = S 0 Z = sz, gdzie zmienna losowa Z(ω) = { u, gdy ω = ω 1, d, gdy ω = ω 2, wskazuje, o ile procent zmieniła się cena początkowa. Na rynku istnieje wiele instrumentów pochodnych, tzn. takich, których cena zależy od cen aktywów podstawowych. Przykładem takiego instrumentu jest europejska opcja kupna. Posiadacz takiej opcji ma prawo (i nie jest to obowiązek) do kupienia określonego w umowie aktywa w ustalonej chwili T za ustaloną z góry cenę K. Zatem, gdy mu się to opłaca, realizuje swoje prawo 15

4 i zyskuje S T K, a gdy mu się nie opłaca, nie robi nic. W rezultacie otrzymuje wypłatę (S T K) +. Nie tylko europejską opcję kupna, ale każde aktywo pochodne można utożsamiać z wypłatą X generowaną przez to aktywo. Wypłata X zależy od scenariusza, więc jest zmienną losową określoną na Ω. Wiemy, ile można uzyskać posiadając europejską opcję kupna. Powstaje pytanie, ile za opcje powinniśmy zapłacić (jest to problem wyceny opcji). Pierwsza próba wyceny kontraktu związana jest z zastosowaniem metod wykorzystywanych m.in. w matematyce ubezpieczeniowej. Przykład 5. Aktywo ryzykowne kosztuje S 0 = 1 w chwili t = 0. Zakładamy, że możliwe (i równo prawdopodobne) są dwa scenariusze wydarzeń do chwili T i cena aktywa ryzykownego w chwili T = 1 wynosi S 1 (ω 1 ) = 7 lub S 1 (ω 2 ) = 1. Wiemy także, że cena aktywa bez ryzyka wynosi B 0 = 1 na początku okresu i B 1 = 2 na końcu. Interesuje nas, jak wycenić opcję kupna dającą wypłatę końcową C 1 = (S 1 K) +, gdy K = 3. Korzystając z metod z matematyki ubezpieczeniowej przypuszczamy, że cena ta jest wartością obecną opcji, a tę liczymy jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną wypłaty. Wobec tego cena opcji C 0 jest równa C 0 = B 0 E(C 1 ) = 1 [0, , 5 0] = 1, B 1 2 ponieważ C 1 (ω 1 ) = 4, C 1 (ω 2 ) = 0. Tak liczona cena opcji jest równa 1, ale nikt rozsądny nie będzie kupował opcji za cenę równą 1, gdyż lepiej kupić za tę cenę akcję. Wynika to z faktu, że gdy cena akcji wzrośnie to akcja jest warta 7, a opcja daje wypłatę 4, a gdy cena akcji się nie zmieni to akcja jest warta 1, a opcja jest bezwartościowa. Akcja daje zawsze większy zysk niż opcja. Tu oczywiście widać, że tak wyznaczona cena zależy od wyboru prawdopodobieństwa P, zatem od oszacowania rynku przez inwestora. Gdy dla innego inwestora oszacowanie szans zmian na rynku P jest inne, to i wartość zdyskontowana wypłaty będzie inna. Zatem mamy drugi argument przemawiający za tym, że wielkości obliczonej według powyższego sposobu nie można przyjąć za cenę opcji. Taki model nie spełniałby podstawowego wymogu jedyności ceny aktywa pochodnego. Okazuje się, że można dobrze wycenić wypłatę korzystając z idei portfela replikującego. Portfel ϕ = (α 0, β 0 ) jest to para liczb, gdzie α 0 jest liczbą posiadanych akcji w chwili zero, zaś β 0 jest wysokością wkładu bankowego (ewentualnie wielkością kredytu, gdy β 0 < 0) w chwili zero. Dla przykładu, portfel (7, 3) oznacza, że w portfelu jest siedem akcji, tzn. inwestor kupił 7 akcji i pożyczył 3 jednostki z banku. Każda para (α, β) R 2 tworzy portfel, co odzwierciedla fakt, że można handlować dowolną liczbą aktywów, dopuszczenie wartości ujemnych β oznacza, że możemy dowolnie dużo pożyczać, a dopuszczenie wartości ujemnych α oznacza, że rynek ten dopuszcza także krótką sprzedaż akcji. Krótka sprzedaż polega na pożyczeniu i sprzedaży akcji w chwili 0 oraz odkupieniu tej samej liczby akcji i ich zwrocie w chwili T. Zbiór wszystkich możliwych portfeli oznaczać będziemy przez Φ. W modelu, który przyjęliśmy, Φ = R 2. Niech ϕ = (α 0, β 0 ) będzie portfelem inwestora, który sprzedał wypłatę X. Wartość portfela V t (ϕ) w chwili t wynosi dla t = 0 i t = T, odpowiednio: V 0 (ϕ) = α 0 S 0 + β 0, V T (ϕ) = α 0 S T + β 0 (1 + r). Tak jest, gdyż portfel ustaliliśmy w chwili t = 0 i nie ulega on zmianie do chwili T. Inwestor sprzedający wypłatę X musi umieć ją zabezpieczyć tzn. wartość portfela ϕ, który zbudował sprzedający wypłatę za otrzymane ze sprzedaży pieniądze, musi w chwili T być równa X, czyli portfel ϕ musi replikować wypłatę X: V T (ϕ)(ω i ) = X(ω i ) dla i = 1, 2. Portfel ϕ jest doskonałym zabezpieczeniem wypłaty X, gdyż eliminuje całkowicie ryzyko. Na pytanie dla jakich wypłat istnieje portfel replikujący odpowiada 16

5 Twierdzenie 1. Dla każdej wypłaty istnieje dokładnie jeden portfel replikujący. Dla wypłaty X ma on postać (3) α 0 = Xu X d S u S d, β 0 = Xd S u X u S d (1 + r)(s u S d ), gdzie X u = X(ω 1 ), X d = X(ω 2 ). Dowód. Portfel replikujący ϕ = (α 0, β 0 ) dla wypłaty X jest zadany przez układ równości α 0 S u + (1 + r)β 0 = X u, α 0 S d + (1 + r)β 0 = X d i ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem (3) dla dowolnych X u, X d, zatem dla dowolnej wypłaty portfel jest wyznaczony jednoznacznie. Naturalne jest zdefiniowanie racjonalnej ceny wypłaty X jako początkowej inwestycji potrzebnej do konstrukcji portfela replikującego, tzn. (4) Π 0 (X) def = V 0 (ϕ), gdzie ϕ jest portfelem replikującym. Z tej definicji wynika, że racjonalna cena wypłaty nie zależy od subiektywnych prawdopodobieństw zmian cen akcji, tzn. nie zależy od prawdopodobieństwa P. Korzystając z tw. 1 otrzymujemy, że cena racjonalna wypłaty X jest równa (5) Π 0 (X) = α 0 S 0 + β 0 = Xu X d S u S d S 0 + Xd S u X u S d (1 + r)(s u S d ). Przykład 6. Wycenimy opcję z przykładu 5. Portfel ϕ = (α, β) jest portfelem replikującym, gdy 7α + 2β = 4, α + 2β = 0. Ten układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie: α = 2/3, β = 1/3. Stąd C 0 = V 0 (ϕ) = 2/3 1/3 = 1/3. Znając skład portfela replikującego wystawca opcji wie, jak wygenerować wielkość (S T K) + w chwili T, dysponując zapłatą za opcję. Zatem potrafi rozwiązać problem zabezpieczenia wypłaty (drugi podstawowy problem matematyki finansowej dalej tym problemem w tym artykule nie będziemy się zajmować). Powyższy model rynku trzeba jeszcze poprawić, gdyż dopuszcza on sytuację, że dla dodatniej wypłaty X > 0 może okazać się, że jej cena jest ujemna, czyli Π 0 (X) < 0. W takim przypadku można by osiągnąć zysk bez ryzyka przy pomocy odpowiedniej strategii. Przykład 7. Gdy S 0 = 10, S d = 12, S u = 13, X d = 5, X u = 15, r = 0, 1, to z (5) otrzymujemy Π 0 (X) = 50/11. Ale na tym rynku możemy osiągnąć zysk bez ryzyka pożyczając 10 jednostek z banku i kupując za tę kwotę akcję. Wtedy w chwili T sprzedając akcję otrzymujemy co najmniej 12, a do banku musimy zwrócić 11. Chcemy takie sytuacje wykluczyć, zatem chcemy z rynku wykluczyć portfel ϕ (nazywany arbitrażem lub portfelem arbitrażowym) dla którego V 0 (ϕ) = 0, V T (ϕ) 0, ω Ω V T (ϕ)(ω) > 0. Mówimy, że model rynku M = (S, B, Φ) jest wolny od arbitrażu, gdy nie ma możliwości arbitrażu w klasie portfeli Φ. Interpretacja portfela arbitrażowego jest klarowna: nie mając nic na początku, stosując strategię ϕ, na końcu operacji nic nie stracimy, a dla pewnych scenariuszy mamy zysk dodatni. Istnienie możliwości arbitrażu świadczy o serii poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Takie błędy są bardzo szybko wychwytywane i wykorzystywane przez arbitrażystów, skutkiem czego rynek szybko wraca do równowagi. Zatem model rynku powinien być modelem bez możliwości arbitrażu. Zbadamy wobec tego, jakie warunki trzeba narzucić na model rynku, by na rynku nie było możliwości arbitrażu. 17

6 Twierdzenie 2. Rynek jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy (6) S d < (1 + r)s 0 < S u. Dowód. (nie wprost) Niech jedna z powyższych nierówności nie zachodzi. Załóżmy, że S 0 (1 + r) S u. Wtedy portfel ϕ = ( 1, S 0 ) jest arbitrażem. Gdy S d (1 + r), to ϕ = (1, S 0 ) jest arbitrażem. Sprzeczność. Chcemy wykazać, że nie istnieje arbitraż. Weźmy portfel ϕ = (α, β), taki że V 0 (ϕ) = 0, tzn. αs 0 + β = 0. Gdy α = 0, to β = 0, zatem ϕ = (0, 0), V T (ϕ) 0 i portfel nie jest portfelem arbitrażowym. Gdy α 0, to β = αs 0 i ten portfel w chwili T ma wartość: { α(s u S 0 (1 + r)) dla ω = ω 1, V T (ϕ) = αs T + β(1 + r) = α(s d S 0 (1 + r)) dla ω = ω 2. Korzystając z (6) otrzymujemy, że portfel ϕ z kapitałem początkowym równym zero i α 0, w chwili końcowej T przyjmuje wartości różnych znaków, a mianowicie: gdy α > 0, to V T (ϕ)(ω 1 ) > 0 i V T (ϕ)(ω 2 ) < 0, a gdy α < 0 to zachodzą nierówności przeciwne. Zatem portfel ϕ o wartości początkowej zero nie może być arbitrażem. Z tego twierdzenia wynika, że rynek z przykładu 5. jest wolny od arbitrażu, a na rynku z przykładu 7. istnieje arbitraż, który zresztą w tym przykładzie wskazaliśmy. Od tego momentu będziemy zakładali, że na rynku M zawsze zachodzi warunek (6). Wykluczenie równości w (6) ma sens ekonomiczny, gdyż wtedy wykluczamy sytację, w której na rynku są dwa aktywa, ale jednym z nich nikt nie handluje. Istotnie, gdy S d = (1 + r)s 0, to zawsze należy inwestować w akcje, bo w najgorszym przypadku dadzą tyle, co depozyt w banku, a gdy S u = (1 + r)s 0, to zawsze należy wkładać pieniądze do banku, bo depozyt da nie mniejszy zysk niż akcje i to bez żadnego ryzyka. W obu tych przypadkach rynek nie jest płynny i z rynku znika jeden z rodzajów aktywów. Definicja 3. Na rynku M bez możliwości arbitrażu cenę racjonalną instrumentu pochodnego X nazywamy ceną arbitrażową X w chwili t = 0 na rynku M. Okazuje się, że istnieje alternatywne podejście do wyceny instrumentów pochodnych na rynku bez możliwości arbitrażu, opierające się na liczeniu wartości oczekiwanej względem pewnej wyróżnionej miary probabilistycznej. Przykład 8. Przyjmijmy, że S 0 = 3, S d = 1, S u = 7, K = 3, X = (S T K) + i niech r = 0. Wtedy X d = 0, X u = 4. Łatwo obliczyć, że portfel replikujący ma postać: α = 2/3 i β = 2/3, a stąd C 0 = 4/3. Zatem C 0 [0, 4], a więc dla q = 1/3 C 0 = qx(ω 1 ) + (1 q)x(ω 2 ) tzn. C 0 = E Q X, gdzie Q({ω 1 }) = q = 1/3, Q({ω 2 }) = 1 q. Dla tej miary probabilistycznej Q zachodzi także S 0 = 3 = 7/3 + 2/3 = E Q S T. Czy jest to przypadek wynikający ze szczególnego doboru danych? Czy cena jest wartością oczekiwaną wypłaty względem pewnego rozkładu? W tym przykładzie q nie zależy od prawdopodobieństwa subiektywnego P, zależy zaś od wypłaty X = f(s T ), a jednocześnie dla cen akcji zachodzi S 0 = E Q S T. Chciałoby się, aby w sytuacji ogólnej q zależało tylko od cen S T, a nie zależało od postaci funkcji f. Okazuje się, że tak jest w istocie. Pokazanie tego będzie naszym celem. Dla rynku bez możliwości arbitrażu z założenia (6) wynika, że S 0 (1 + r) jest kombinacją wypukłą końców odcinka tzn. istnieje γ (0, 1), takie że (7) S 0 (1 + r) = γs u + (1 γ)s d. Liczby γ i (1 γ) zadają nowe prawdopodobieństwo Q, takie że 18 Q(Z = u) = γ, Q(Z = d) = 1 γ.

7 Wtedy (8) S 0 = r E QS T, czyli otrzymaliśmy wzór przedstawiający cenę dzisiejszą jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną ceny jutrzejszej względem prawdopodobieństwa Q. Zwykle ważne są nie wielkości cen, a proporcje pomiędzy nimi. W tym celu wyrażamy wszystko w terminach wartości jakiegoś ustalonego aktywa. Wygodne jest znormalizowanie cen tak, by jednostka na rachunku bankowym miała stałą wartość. Czyli B zdyskontowany proces wartości jednostki na rachunku bankowym spełnia B0 = BT = 1 i wtedy zamiast procesu cen rozważamy zdyskontowany proces cen S : S 0 = S 0, S T = S T 1 + r. Z (8) dla miary Q zachodzi S 0 = E Q S T. Dla rynku jednookresowego dwustanowego jest to równoważne faktowi, że S jest Q-martyngałem. Stąd Definicja 4. Miarę probabilistyczną P nazywamy miarą martyngałową dla zdyskontowanego procesu cen S, gdy 1 > P (ω 1 ) > 0 oraz S jest martyngałem względem P (tzn. S jest martyngałem na przestrzeni probabilistycznej (Ω, M, P ).) Lemat 1. Na rynku M istnieje miara martyngałowa P dla zdyskontowanego procesu cen S wtedy i tylko wtedy, gdy jedyne rozwiązanie równania (9) S 0 (1 + r) = γs u + (1 γ)s d, względem γ, należy do przedziału (0, 1). Dowód. Gdy P jest miarą martyngałową, to zachodzi S 0 = E P S T, a stąd przyjmując γ = P ({ω 1 }) otrzymujemy (9) i oczywiście γ = P ({ω 1 }) (0, 1). Gdy (9) ma rozwiązanie γ (0, 1), to definiując miarę probabilistyczną P wzorem P ({ω 1 }) = γ i P ({ω 2 }) = 1 γ otrzymujemy miarę P spełniającą S 0 = E P S T. Stąd P jest miarą martyngałową. Warto zauważyć, że jedyne rozwiązanie równania (9) jest postaci (10) γ = (1 + r)s 0 S d S u S d, więc miara martyngałowa P jest zadana przez wielkości wyznaczające cenę i przez wielkość stopy procentowej. Twierdzenie 3. Rynek M = (S, B, Φ) jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara martyngałowa dla zdyskontowanego procesu cen S. Wtedy cena arbitrażowa w chwili 0 dowolnej wypłaty X w chwili T jest dana wzorem ( ) X (11) Π 0 (X) = E P, 1 + r gdzie P jest miarą martyngałową. Dowód. Pierwsza część twierdzenia wynika z lematu 1, tw. 2, wzoru (10) oraz z tego, że 19 γ = (1 + r)s 0 S d S u S d (0, 1) S d < (1 + r)s 0 < S u.

8 Został do udowodnienia wzór (11) podający cenę arbitrażową. Niech ϕ = (α 0, β 0 ) będzie jedynym portfelem replikującym X (istnieje na mocy twierdzenia 1). Wówczas: E P ( ) X = E P 1 + r ( ) ( VT (ϕ) α0 S T = E P 1 + r 1 + r + (1 + r)β ) 0 = 1 + r = α 0 E P (S T) + β 0 = α 0 S 0 + β 0 = V 0 (ϕ) = Π 0 (X), przy czym trzecia od końca równość wynika z faktu, iż P jest miarą martyngałową, ostatnia zaś z definicji Π 0. Przykład 9. Obliczmy cenę opcji z przykładu 5 korzystając ze wzorów (10) i (11). Otrzymujemy γ = 1/6 i Π 0 (X) = 1/6 4/2 = 1/3. Oczywiście otrzymaliśmy ten sam wynik co w przykładzie 6. Gdy Ω zawiera n scenariuszy i na rynku można handlować w chwilach 0, 1,...,T, to dla dużych n, T metoda badania, czy rynek jest wolny od arbitrażu, wykorzystująca portfele samofinansujące się, jest zwykle mało przydatna ze względu na ogromną liczbę dopuszczalnych strategii. To samo dotyczy problemów wyceny. Natomiast zbadanie, czy na danym rynku istnieje miara probabilistyczną P, taka że zdyskontowany proces cen S t = S t /B t, t = 0, 1,...,T, jest martyngałem względem P jest znacznie prostsze. Z analogonów podanych tu twierdzeń wynika, że wtedy znamy własności rynku. Również liczenie cen za pomocą uogólnienia wzoru (11), które to dla wypłat replikowalnych ma dokładnie taką samą postać, jest łatwe. Ta metoda przenosi się także na przypadek dowolnej Ω i czasu ciągłego. 5. Elementarny wykład rachunku prawdopodobieństwa można znaleźć w [2] lub [5]. Więcej informacji o martyngałach czytelnik znajdzie w książkach [1], [4], [7], a o działaniu rynków finansowych w [3], [8] lub w pierwszym rozdziale [6]. Literatura [1] T. Bojdecki, 1977, Martyngały z czasem dyskretnym, zarys teorii i przykłady zastosowań, Wyd. UW, Wyd. I, Warszawa. [2] W. Feller, 1966, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa. [3] J.C. Hull, 1997, Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice-Hall, Englewood Cliffs. [4] J. Jakubowski, R. Sztencel, 2001, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wyd. II. Script, Warszawa. [5] J. Jakubowski, R. Sztencel, 2002, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, Wydawnictwo Script, Warszawa. [6] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner, 2003, Matematyka finansowa. Instrumenty pochodne, Wyd. I. WNT Warszawa. [7] A. N. Shiryaev, 1980, Wierojatnost, Nauka, Moskwa. [8] A. Weron, R. Weron, 1998, Inżynieria finansowa, WNT, Warszawa. 20

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I Matematyka stosowana Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I Jacek Jakubowski jakub@mimuw.edu.pl Uniwersytet Warszawski, 2011 Streszczenie. Wykład jest wprowadzeniem do modelowania rynków

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,

Bardziej szczegółowo

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.

P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne. Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział

Bardziej szczegółowo

Opcje podstawowe własności.

Opcje podstawowe własności. Opcje podstawowe własności. Opcja jest to rodzaj umowy między dwoma podmiotami i jednocześnie instrument finansowy. Opcje kupna (call) dają posiadaczowi prawo do kupienia określonego w umowie aktywa (bazowego)

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje

Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje Marcin Abram WFAIS UJ w Krakowie 9 marca 2009 Założenia modelu Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt. Bezwzględna wartość zmiany ceny

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego). Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

9 Funkcje Użyteczności

9 Funkcje Użyteczności 9 Funkcje Użyteczności Niech u(x) oznacza użyteczność wynikającą z posiadania x jednostek pewnego dobra. Z założenia, 0 jest punktem referencyjnym, czyli u(0) = 0. Należy to zinterpretować jako użyteczność

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Poradnik gracza opcyjnego

Poradnik gracza opcyjnego Poradnik gracza opcyjnego Wstęp Na rynku istnieje całe mnóstwo spekulantów. Szukają oni szybkiego zysku. Chcą pomnożyd kapitał wykorzystując krótkoterminowe (przypadkowe) ruchy cenowe. Handlują nieustannie.

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:

Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania

Bardziej szczegółowo

Kontrakty teminowe. Kupujący = długa pozycja Sprzedający = krótka pozycja. Przykład. Kontraktowanie płodów rolnych.

Kontrakty teminowe. Kupujący = długa pozycja Sprzedający = krótka pozycja. Przykład. Kontraktowanie płodów rolnych. Kontrakty teminowe Transakcja (kontrakt) forward to umowa sprzedaży określonego dobra (bazowego) realizowana w z góry określonym terminie i po z góry określonej cenie. W dniu realizacji transakcji następuje

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options). Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Statystyka Astronomiczna

Statystyka Astronomiczna Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy

Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0,

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014

Bardziej szczegółowo

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165 behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ), Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój. I. Poniższe zmiany Statutu wchodzą w życie z dniem ogłoszenia.

OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój. I. Poniższe zmiany Statutu wchodzą w życie z dniem ogłoszenia. Warszawa, 25 czerwca 2012 r. OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój Niniejszym Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych AGRO Spółka Akcyjna z siedzibą w Warszawie ogłasza poniższe zmiany

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo