Metoda Hückla. edzy elektronami π. Ĥ ef (i) (1) i=1. kinetyczna tego elektronu oraz energie
|
|
- Kajetan Kubicki
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Notatki do wyk ladu X (z ) Metoda Hückla Uproszczona wersja metody orbitali molekularnych (MO) w przybliżeniu liniowej kombinacji orbitali atomowych (LCAO) stosowana do opisu struktury elektronowej czasteczek π-elektronowych. Drastyczne przybliżenia: separowalność elektronów σ i π zaniedbanie oddzia lywania mi edzy elektronami π Postać hamiltonianu: Ĥ π = n Ĥ ef (i) (1) gdzie n - liczba elektronów π, Ĥ ef (i) - efektywny hamiltonian dla i-tego elektronu i=1 Ĥ ef (i) - efektywny hamiltonian dla i-tego elektronu uwzglednia energie kinetyczna i- tego elektronu oraz energie jego oddzia lywania z jadrami i z elektronami σ. Postać potencja lu odpowiadajacego takiemu oddzia lywaniu trudno określić. W metodzie Hückla nie korzysta si e z jawnej postaci operatora Ĥef(i). Można uznać, że Ĥef(i) zawiera nawet oddzia lywanie z pozosta lymi elektronami π - (skoro i tak nie korzysta si e z jawnej postaci operatora :-). Funkcja w lasna hamiltonianu Ĥπ: Ψ(1, 2,..., n) = ψ i (1)ψ j (2)... ψ l (n) (2) Operator Ĥπ nie zawiera operatorów dwuelektronowych, wi ec jest wszystko jedno, czy funkcja falowa ma postać iloczynu orbitali czy antysymetryzowanego iloczynu orbitali (wyznacznika zbudowanego z orbitali) Energia ca lkowita: E = ε i + ε j ε l, gdzie ε i i ψ i (1) to rozwiazania równania: Szukamy przybliżonych rozwiazań ψ i w postaci: Ĥ ef (1)ψ i (1) = ε i ψ i (1) (3) ψ i = m c ip χ p, i = 1,..., m (4) p=1 gdzie χ p - orbital 2p z atomu p-tego wegla, p numeruje atomy wegla, tworzace sprzeżony uk lad wiazań podwójnych, a c ip oznaczaja nieznane (poszukiwane) wspó lczynniki rozwiniecia (liczby).
2 Na przyk lad, dla etenu (etylenu): jedno wiazanie podwójne - 2 elektrony π, 2 atomy wegla: ψ 1 = c 11 χ 1 + c 12 χ 2 (5) ψ 2 = c 21 χ 1 + c 22 χ 2 (6) c 11, c 12, c 21, c 22 nieznane liczby, które trzeba znaleźć metoda wariacyjna. Metoda wariacyjna, w której poszukiwane sa nieznane wspó lczynniki liniowe (jak tu c ip ) nazywana jest metoda Ritza. Wspó lczynniki c 11, c 12, c 21, c 22 znajduje sie jako rozwiazania jednorodnego uk ladu równań, zwanego uk ladem równań wiekowych albo sekularnych (wyprowadzenie by lo na wyk ladzie V - notatki str.8 i podane jest w podreczniku D. Hayward Mechanika kwantowa dla chemików na str ): c k1 (H 11 ε) + c k2 (H 12 εs 12 ) = 0 (7) c k1 (H 21 εs 21 ) + c k2 (H 22 ε) = 0 (8) gdzie za lożono, że orbitale χ i, czyli orbitale 2p z atomów wegla, sa znormalizowane, S pq - ca lka nakrywania, H pp - tzw. ca lka kulombowska, H pq - tzw. ca lka rezonansowa H pq = χ pĥefχ q dτ (9) Warunek istnienia nietrywialnych rozwiazań uk ladu równań sekularnych: H 11 ε H 12 εs 12 H 21 εs 21 H 22 ε = 0 (10) Wartości ε znajdowane sa jako pierwiastki równania charakterystycznego wyznacznika sekularnego (dla etenu równania kwadratowego). Dodatkowe za lożenia: S pq = 0 dla p q H pp = α dla każdego p, niezależnie od po lożenia danego atomu wegla w czasteczce H pq =β, gdy wskaźniki p i q odnosza sie do sasiaduj acych ze soba atomów wegla H pq =0, gdy wskaźniki p i q odnosza sie do atomów, które ze soba nie sasiaduj a Wartości ca lek kulombowskich i rezonansowych nie sa obliczane. Przyjmuje si e takie wartości parametrów α i β, żeby uzyskać zgodność z danymi eksperymentalnymi, zatem metoda Hückla należy do metod pó lempirycznych. Metody chemii kwantowej, w których nie korzysta sie z żadnych danych doświadczalnych, tylko wychodzac z pewnych za lożeń, konsekwentnie wykonuje sie obliczenia - metody ab initio 2
3 Warunek istnienia nietrywialnych rozwiazań uk ladu równań sekularnych dla etenu przybiera postać: α ε β β α ε = 0 (11) Dzielac obie strony uk ladu równań sekularnych przez β i podstawiajac α ε = x można β warunek ten zapisać w postaci: x 1 1 x = 0 (12) Dla butadienu (n=4) taki warunek ma postać: x x 1 0 = 0 (13) 0 1 x x Dla etenu znajdujemy x jako pierwiastki równania: x 2 1 = 0, czyli otrzymujemy: ε 1 = α + β i ε 2 = α β. Wstawiajac ε 1 do uk ladu równań sekularnych i uwzgledniaj ac warunek, że szukany orbital molekularny ma być znormalizowany otrzymamy: ψ 1 = 1 2 (χ 1 + χ 2 ), natomiast wstawiajac do uk ladu równań sekularnych ε 2 otrzymamy: ψ 2 = 1 2 (χ 1 χ 2 ), Dla butadienu otrzymujemy energie orbitalne: ε 1 = α + 1, 618β, ε 2 = α + 0, 618β, ε 3 = α 0, 618β i ε 4 = α 1, 618β oraz orbitale molekularne: ψ 1 = 0, 372χ 1 + 0, 602χ 2 + 0, 602χ 3 + 0, 372χ 4 ψ 2 = 0, 602χ 1 + 0, 372χ 2 0, 372χ 3 0, 602χ 4 ψ 3 = 0, 602χ 1 0, 372χ 2 0, 372χ 3 + 0, 602χ 4 ψ 4 = 0, 372χ 1 0, 602χ 2 + 0, 602χ 3 0, 372χ 4 Dla etenu w stanie podstawowym ψ 1 jest zaj etym orbitalem o najwyższej energii (na orbitalach π trzeba rozmieścić 2 elektrony). Dla butadienu najwyższym orbitalem zaj etym w stanie podstawowym jest ψ 2 (na orbitalach π trzeba rozmieścić 4 elektrony.) Informacje dotyczac a postaci tych orbitali można wykorzystać w jakościowej teorii orbitali molekularnych. 3
4 Jakościowa teoria orbitali molekularnych Jakościowe rozważania dotyczace orbitali molekularnych pozwalaja nawet na przewidywanie przebiegu niektórych reakcji chemicznych. Dwa g lówne podejścia: frontier orbitals - orbitale graniczne, czyli najwyższy (tzn. majacy najwiek- sza (najmniej ujemna) energie) zajety orbital molekularny (HOMO - Highest Occupied Molecular Orbital) i najniższy (majacy najmniejsza wartość energii) niezajety orbital molekularny (LUMO - Lowest Unoccupied Molecular Orbital) - analiza zmian tych orbitali w czasie zrywania wiazań i tworzenia sie nowych i zależności tych zmian od ścieżki reakcji rozważania dotyczace symetrii orbitali molekularnych substratów i produktów Kenichi Fukui ( frontier orbitals ) Roald Hoffmann (zachowanie symetrii orbitali) prace Hoffmanna wspólnie z Robertem Woodwardem nagroda Nobla z chemii 1981 Regu ly stosowane w rozważaniach jakościowej teorii orbitali molekularnych - w koncepcji orbitali granicznych wzrost nakrywania mi edzy orbitalami atomowymi (AO) prowadzi do obniżenia energii MO; zmniejszenie nakrywania mi edzy AO do podwyższenia tej energii wp lyw zmiany stopnia nakrywania miedzy orbitalami na zmiane energii orbitalnych jest bardziej istotny dla MO o wyższej energii (jest to zgodne z faktem, że wp lyw destabilizujacy nakrywania AO prowadzacego do efektu antywiaż acego jest wiekszy niż wp lyw stabilizujacy nakrywania AO prowadzacego do efektu wiaż acego) suma zmian energii jednoelektronowych, towarzyszacych wzglednej zmianie po lożenia atomów, znajdujacych sie w odleg lości d lugości wiazania lub wiekszej, odpowiada w przybliżeniu zmianie energii ca lkowitej czasteczki 4
5 Typ reakcji - reakcje elektrocyliczne Jednoczasteczkowa cyklizacja otwartej czasteczki, zawierajacej sprzeżony uk lad wiazań podwójnych - na przyk lad cyklizacja cis-1,3-butadienu do cyklobutenu Wiele reakcji elektrocyklicznych wykazuje stereospecyficzność (prawie w 100% powstaje tylko jeden z możliwych produktów reakcji) Próba wyjaśnienia przyczyny tego zjawiska w ramach jakościowej teorii MO Rozpatrujac mechanizm czasteczkowy reakcji zak lada sie, że procesy zachodza synchronicznie (obroty pewnych grup atomów czy powstawanie wiazań - jednocześnie, a nie kolejno) Rozważanie, w jaki sposób nakrywaja sie scentrowane na skrajnych atomach wegla orbitale atomowe tworzace HOMO (a jak te tworzace LUMO) cis-1,3-butadienu przy powstawaniu wiazania σ (Rys. 1) pozwalaja przewidzieć mechanizm reakcji cyklizacji. Na rysunku zaciemnienie konturu orbitalu odpowiada znakowi minus (brak zaciemnienia - znakowi plus). 5
6 Dla cis-1,3-butadienu cyklizacja termiczna (reaguje butadien w stanie podstawowym) na drodze konrotacji fotochemiczna (reaguje butadien w stanie wzbudzonym) na drodze dysrotacji Proste uogólnienie dla wiekszych czasteczek. Dla polienów postać ogólna rozwiazań: ε k = α + 2βcos πk n + 1 (14) 2 n ψ k (1) = sin( πkp n + 1 n + 1 )χ p(1) (15) p=1 gdzie k=1,2,..., a n oznacza liczb e atomów w egla w polienie. Heksatrien: 6 elektronów π, co oznacza, że HOMO ma o jeden weze l wiecej niż dla butadienu, czyli relacja miedzy znakami wspó lczynników, przez które mnożone sa AO końcowych atomów wegla, jest w HOMO czasteczki z 2n elektronami π taka jak w LUMO czasteczki z 2n 2 elektronami π. Efekty odwrotne niż dla butadienu: dysrotacja dla cyklizacji termicznej, a konrotacja dla reakcji fotochemicznej Do takich samych wniosków prowadza rozważania oparte na sformu lowanej przez R. Woodwarda i R. Hoffmanna zasadzie zachowania symetrii orbitalnej: Jeśli w reagujacym uk ladzie zachowane sa przez ca ly czas reakcji pewne elementy symetrii, przechodzace przez powstajace lub zrywane wiazania, to zajete przez elektrony orbitale nie moga zmienić symetrii wzgledem tych elementów. Jeśli dla różnych mechanizmów pewnej reakcji zachowane sa inne elementy symetrii, to powyższa zasada pozwala ustalić mechanizm tej reakcji. Przyk lad: dla reakcji cyklizacji cis-1,3-butadienu zachodzacej na drodze konrotacji zachowana jest oś symetrii (C 2 ). Jest to oś, leżaca w p laszczyźnie wiazań C-C, prostopad la do pojedynczego wiazania i przechodzaca przez jego środek. W czasteczce cyklobutenu ta oś przechodzi przez środek wiazania podwójnego i równoleg lego do niego wiazania pojedynczego. Jeśli, natomiast, ta reakcja cyklizacji zachodzi na drodze dysrotacji, to zachowana jest p laszczyzna symetrii (prostopad la do p laszczyzny tworzonej przez wiazania C-C czasteczki cis-1,3-butadienu i przechodzaca przez środek pojedynczego wiazania). 6
7 Po ustaleniu symetrii orbitali butadienu i cyklobutenu wzgl edem tych elementów symetrii (Rys.2) można na podstawie diagramu korelacji orbitali (Rys.3) przewidzieć mechanizm reakcji. Na rysunku (Rys.2) kreski oznaczaja poziomy energetyczne odpowiadajace przedstawionym obok orbitalom molekularnym; symbol po lewej stronie nad każda z kresek oznacza, że dany orbital jest symetryczny (S) albo antysymetryczny (A) wzgledem obrotów wokó l osi C 2 ; symbole po prawej stronie odnosza sie do odbicia w p laszczyźnie symetrii zachowanej w czasie reakcji zachodzacej na drodze dysrotacji. 7
8 W lewej cześci rysunku (Rys.3), odnoszacej sie do cyklizacji w wyniku konrotacji, pozostawione zosta ly symbole, oznaczajace symetrie orbitali wzgledem zachowanej w tym procesie osi symetrii, natomiast w prawej cześci rysunku pozostawione zosta ly symbole, oznaczajace symetrie orbitali wzgledem odbicia w p laszczyźnie symetrii, zachowanej w czasie reakcji zachodzacej w wyniku dysrotacji. Z przedstawionego w prawej cześci rysunku (Rys.3) diagramu korelacji wynika, że termiczna cyklizacja w wyniku dysrotacji prowadzi laby do produktu w stanie wzbudzonym (podwójnie) - jest ona zatem wzbroniona. Dozwolona jest, natomiast, cyklizacja w wyniku konrotacji, która prowadzi do powstania produktu w stanie podstawowym. 8
9 Bardziej poprawne (choć trudniejsze) jest rozważanie korelacji stanów (albo konfiguracji) substratu i produktu reakcji. Dla dysrotacji stan podstawowy π1 2π2 2 butadienu powinien być skorelowany ze stanem σ 2 π 2, ponieważ orbital π 1 butadienu koreluje z σ butenu, a π 2 butadienu z π butenu. Dla konrotacji stan wzbudzony π1π 2 2 π 3 butadienu powinien być skorelowany ze stanem σπ 2 σ, ponieważ orbital π 1 butadienu koreluje z π butenu, π 2 butadienu z σ butenu, π 3 butadienu z σ butenu. W obu przypadkach prowadzi loby to jednak do przeciecia sie linii l acz acych stany o jednakowej symetrii. Zasada nieprzecinania sie krzywych odpowiadajacych stanom o jednakowej symetrii wyjaśnia, które mechanizmy reakcji sa dozwolone, przewidujac pojawienie sie bariery energetycznej dla termicznej cyklizacji na drodze dysrotacji i fotochemicznej cyklizacji na drodze konrotacji. Regu ly Woodwarda-Hoffmanna termiczne reakcje elektrocykliczne czasteczek z k elektronami π przebiegaja na drodze dysrotacji dla k = 4q + 2 i na drodze konrotacji dla k = 4q (gdzie q=0, 1, 2,...), dla pierwszego stanu wzbudzonego zasady sa odwrotne. Wykorzystanie koncepcji orbitali granicznych lub regu ly zachowania symetrii orbitalnych pozwala przewidzieć także, że termiczna reakcja cykloaddycji przebiegajaca w sposób suprafacjalny, jest dozwolona dla zwiazków, w których liczba elektronów zajmujacych orbitale typu π wynosi 4q +2, jak dla butadienu i etenu (tu sumaryczna liczba elektronów, zajmujacych orbitale π, wynosi 6). Reakcja taka jest natomiast wzbroniona, jeśli liczba elektronów, zajmujacych orbitale typu π, wynosi 4q, np. dla dwóch czasteczek etenu (W. Ko los, J. Sadlej, Atom i czasteczka, str. 405). Wi ecej przyk ladów: R. Jackson Mechanizmy reakcji organicznych, PWN 2007; W.Ko los, J. Sadlej Atom i czasteczka, WNT
10 Metoda Hückla - ciag dalszy Energie orbitalne uzyskane w ramach metody Hückla dla benzenu: ε 1 = α + 2β (16) ε 2 = ε 3 = α + β (17) ε 4 = ε 5 = α β (18) ε 6 = α 2β (19) Znacznie wi eksza stabilność benzenu niż heksatrienu, któremu odpowiada wyższa energia Wp lyw delokalizacji elektronów. Obliczenie metoda Hückla energii fikcyjnych czasteczek ze zlokalizowanymi wiazaniami podwójnymi Liczba elektronów π parzysta 2n - energia fikcyjnej czasteczki ze zlokalizowanymi wiazaniami podwójnymi równa energii n czasteczek etenu. Liczba elektronów π nieparzysta - dodatkowe elektrony przy tym atomie wegla, który nie jest zwiazany z innymi wiazaniem podwójnym. E zlok = 2n(α + β) + mα (20) gdzie m=1 dla obojetnej czasteczki, m=0 dla kationu i m=2 dla anionu E del = E π E zlok (21) Weglowodór E del [β] E del [kcal/mol] E exp del [kcal/mol] Eten Butadien 0,472 Heksatrien 0,988 Benzen 2,000-32,0-36,0 Naftalen 3,68-58,9-61,0 Antracen 5,31-85,0-83,7 - doświadczalna energia delokalizacji uzyskana z doświadczalnych wartości energii wiazań pojedynczych i podwójnych przy za lożeniu addytywności energii wiazań. E exp del 10
11 Wskaźniki reaktywności czasteczek π-elektronowych Statyczne: Jeśli orbital ψ k = m p=1 c kpχ p opisuje jeden elektron, to prawdopodobieństwo znalezienia tego elektronu przy atomie r wynosi c 2 kr. Prawdopodobieństwo znalezienia dowolnego elektronu przy atomie r: q r = k n k c 2 kr (22) gdzie n k -liczba elektronów na orbitalu ψ k q r - ladunek elektronów π przy atomie r wyrażony w jednostkach ladunku elektronowego. Dla sasiaduj acych atomów r i s: takie same znaki c kr zajmuje orbital ψ k i c ks - wzmocnienie wiazania miedzy atomami, kiedy elektron przeciwne znaki c kr i c ks - os labienie wiazania miedzy atomami, kiedy elektron zajmuje orbital ψ k Rzad wiazania pochodzacy od elektronów π p rs = k n k c kr c ks (23) Ca lkowity rzad wiazania P rs = 1 + p rs Dla butadienu P 12 =P 34 =1,894, a P 23 =1,447. Im wieksza suma rzedów wiazań l acz acych dany atom z sasiaduj acymi, tym silniej zwiazany jest ten atom w czasteczce i tym mniejsza powinien wykazywać reaktywność. Wolna walencyjność - miara niewykorzystanych zdolności tworzenia wiazań przez atom r (miara reaktywności): F r = F max s P rs (24) gdzie F max = 3+ 3 i oznacza najwieksz a możliwa wolna walencyjność trygonalnie zhybrydyzowanego wegla 11
12 Dynamiczny wskaźnik reaktywności Powstanie kompleksu aktywnego - zmiana struktury elektronowej czasteczki. Jeden z atomów wy l aczony z uk ladu sprzeżonych wiazań podwójnych z powodu utworzenia czwartego wiazania z podstawnikiem - strata energii (miara energii aktywacji dla danego mechanizmu reakcji zwana energia lokalizacji) Energia lokalizacji dla po lożenia r w uk ladzie zawierajacym n elektronów π E - energia elektronów π ca lej czasteczki π-elektronowej; L r = E r E + mα (25) E r - energia elektronów π resztkowej czasteczki otrzymanej przez wy l aczenie atomu w po lożeniu r z uk ladu sprzeżonych wiazań podwójnych; m=0 dla reakcji nukleofilowej, m = 1 dla rodnikowej i m = 2 dla elektrofilowej. W resztkowej czasteczce liczba elektronów π wynosi n dla reakcji nukleofilowej (indeks L r ), n 1 dla rodnikowej (Lṙ) i n 2 dla elektrofilowej (L+ r ); Na przyk lad dla benzenu E r - energia elektronów π w lańcuchu pi eciu atomów w egla: 4 elektrony dla podstawnika elektrofilowego, 5 dla rodnikowego, 6 - dla nukleofilowego. Dla ustalenia miejsca ataku w reakcji podstawienia elektrofilowego przydatna jest też wartość wspó lczynnika, znajdujacego sie w HOMO atakowanej czasteczki przy orbitalu atomowym scentrowanym na atomie wegla w danej pozycji (HOMO c 2 r ). Im wiekszy ten wspó lczynnik, tym bardziej prawdopodobny jest atak elektrofilowy, bo prawdopodobieństwo znalezienia elektronu najs labiej zwiazanego z czasteczk a (opisywanego przez HOMO) jest duże w pobliżu tego atomu. Analogicznie do ustalenia miejsca ataku w reakcji podstawienia nukleofilowego przydatna jest wartość wspó lczynnika znajdujacego sie w LUMO atakowanej czasteczki przy orbitalu atomowym scentrowanym na atomie wegla w danej pozycji (LUMO c 2 r). Indeksy reaktywności (statyczne i dynamiczne) moga być wykorzystywane do określenia prawdopodobnego przebiegu reakcji. 12
Struktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader
Notatki do wyk ladu VII Struktura elektronowa czasteczek przybliżenie Borna-Oppenheimera rozwiazanie równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader przybliżenie jednoelektronowe metoda
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:
Bardziej szczegółowoSymbol termu: edu (sumy ca lkowitego orbitalnego momentu edu i ca lkowitego spinu) Przyk lad: 2 P 3. kwantowa
Notatki do wyk ladu VI (z 18.11.2013) Symbol termu: 2S+1 L (1) L -liczba kwantowa ca lkowitego orbitalnego momentu pedu Duże litery S, P, D, F, itd. dla L=0, 1, 2, 3, itd. 2S+1 - multipletowość; S - liczba
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)
Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba
Bardziej szczegółowoOddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:
Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()
Bardziej szczegółowoGeometria cząsteczek wieloatomowych. Hybrydyzacja orbitali atomowych.
Geometria cząsteczek wieloatomowych. Hybrydyzacja orbitali atomowych. Geometria cząsteczek Geometria cząsteczek decyduje zarówno o ich właściwościach fizycznych jak i chemicznych, np. temperaturze wrzenia,
Bardziej szczegółowoElementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki Zagadnienia na egzamin
Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki Zagadnienia na egzamin 1. Zapisz konfigurację elektronową dla atomu helu (dwa elektrony) i wyjaśnij, dlaczego cząsteczka wodoru jest stabilna, a cząsteczka
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 9 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3 CZĄSTECZKI WIELOATOMOWE ZWIĄZKI WĘGLA
WYKŁAD 3 ZĄSTEZKI WIELOATOMOWE ZWIĄZKI WĘGLA O : (s) O: (s) (s) (p z ) (p x ) (p y ) px py s 90 o? s 4 : (s) (s) (p x ) (p y ) (s) (s) (p x ) (p y ) (p z ) s pz px py s so : (s) s s.orbital MOLEKULARNY
Bardziej szczegółowoJEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:
do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność
Bardziej szczegółowoc) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe
TEST 1. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f 1 i f są funkcjami własnymi operatora, przy czym: f 1 =1.05 f 1 i f =.41 f. Stan pewnej cząstki opisuje znormalizowana funkcja 1 3 falowa = f1 f. Jakie jest
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoże w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?
TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie
Bardziej szczegółowoTEORIA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) dr Henryk Myszka - Uniwersytet Gdański - Wydział Chemii
TERIA RBITALI MLEKULARNYCH (M) Metoda (teoria) orbitali molekularnych (M) podstawy metody M - F. Hund, R.S. Mulliken Teoria M zakłada, że zachowanie się elektronu w cząsteczce opisuje orbital molekularny
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:
Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej Równanie Schrödingera: ĤΨ = EΨ Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = h 2 K α=1 1 2M α 2 α h2 2m
Bardziej szczegółowoMetoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu V Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika Slatera,
Bardziej szczegółowoCzastka swobodna Bariera potencja lu Pud lo jednowymiarowe FEMO Pud la wielowymiarowe. Wyk lad 3. Uk lady modelowe I
Wyk lad 3 Uk lady modelowe I Hamiltonian, równania Schrödingera hamiltonian Ĥ(x) = ˆT (x) = 2 d 2 2m dx 2 równanie Schrödingera zależne od czasu stany stacjonarne 2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 = i t dψ E
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii obliczeniowej
Podstawy chemii obliczeniowej Anna Kaczmarek Kędziera Katedra Chemii Materiałów, Adsorpcji i Katalizy Wydział Chemii UMK, Toruń Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki 2015 Plan wykładu 15 godzin
Bardziej szczegółowoStany atomu wieloelektronowego o określonej energii. być przypisywane elektrony w tym stanie atomu.
Notatki do wyk ladu VI Stany atomu wieloelektronowego o określonej energii. Konfiguracja elektronowa atomu - zbiór spinorbitali, wykorzystywanych do konstrukcji funkcji falowej dla danego stanu atomu;
Bardziej szczegółowoRotacje i drgania czasteczek
Rotacje i drgania czasteczek wieloatomowych Gdy znamy powierzchnie energii potencjalnej V( R 1, R 2,..., R N ) to możemy obliczyć poziomy energetyczne czasteczki. Poziomy te sa w ogólności efektem: rotacji
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoUniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy poziom Sylabus modułu: Chemia kwantowa 021 Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne koordynator modułu
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g
Notatki do wyk ladu XI Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory - DFT Czy znajomość funkcji falowej jest niezb edna? Ψ(1,, 3,..., N) dla uk ladu N-elektronowego zależy od 4N zmiennych (dla
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Informacje ogólne WYDZIAŁ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZY. SZKOŁA NAUK ŚCISŁYCH UNIWERSYTET KARDYNAŁA STEFANA WYSZYŃSKIEGO W WARSZAWIE
1 2 4 5 6 7 8 8.0 Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu Jednostka Punkty ECTS Język wykładowy polski Poziom przedmiotu podstawowy K_W01 2 wiedza Symbole efektów kształcenia K_U01 2 umiejętności K_K01 11 kompetencje
Bardziej szczegółowoInżynieria Biomedyczna. Wykład XII
Inżynieria Biomedyczna Wykład XII Plan Wiązania chemiczne Teoria Lewisa Teoria orbitali molekularnych Homojądrowe cząsteczki dwuatomowe Heterojądrowe cząsteczki dwuatomowe Elektroujemność Hybrydyzacja
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu V (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu V (z 03.11.014) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika
Bardziej szczegółowoNotatki do wyk ladu IV (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu IV (z 1.11.01) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa opisujac a stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoi elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij
Notatki do wyk ladu IX Rozdzielenie ruchu jader i elektronów w czasteczkach W dowolnym uk ladzie wspó lrzednych (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra a i b)ma postać: Ĥ
Bardziej szczegółowoTEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l
TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 10 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowoTeoria Orbitali Molekularnych. tworzenie wiązań chemicznych
Teoria Orbitali Molekularnych tworzenie wiązań chemicznych Zbliżanie się atomów aż do momentu nałożenia się ich orbitali H a +H b H a H b Wykres obrazujący zależność energii od odległości atomów długość
Bardziej szczegółowoWykład 5: Cząsteczki dwuatomowe
Wykład 5: Cząsteczki dwuatomowe Wiązania jonowe i kowalencyjne Ograniczenia teorii Lewisa Orbitale cząsteczkowe Kombinacja liniowa orbitali atomowych Orbitale dwucentrowe Schematy nakładania orbitali Diagramy
Bardziej szczegółowob) Pierwiastek E tworzy tlenek o wzorze EO 2 i wodorek typu EH 4, a elektrony w jego atomie rozmieszczone są na dwóch powłokach elektronowych
1. Ustal jakich trzech różnych pierwiastków dotyczą podane informacje. Zapisz ich symbole a) W przestrzeni wokółjądrowej dwuujemnego jonu tego pierwiastka znajduje się 18 e. b) Pierwiastek E tworzy tlenek
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii teoretycznej
Metody obliczeniowe chemii teoretycznej mechanika kwantowa mechanika klasyczna ւ ց WFT DFT MM FFM metody bazuj ace na metody bazuj ace na Mechanika Molekularna funkcji falowej gȩstości elektronowej Wave
Bardziej szczegółowoAtomy wieloelektronowe
Wiązania atomowe Atomy wieloelektronowe, obsadzanie stanów elektronowych, układ poziomów energii. Przykładowe konfiguracje elektronów, gazy szlachetne, litowce, chlorowce, układ okresowy pierwiastków,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowo1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Pytania egzaminacyjne: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny- interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest liczba wybijanych elektronów
Bardziej szczegółowoLigand to cząsteczka albo jon, który związany jest z jonem albo atomem centralnym.
138 Poznanie struktury cząsteczek jest niezwykle ważnym przedsięwzięciem w chemii, ponieważ pozwala nam zrozumieć zachowanie się materii, ale także daje podstawy do praktycznego wykorzystania zdobytej
Bardziej szczegółowoSTRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Ćwiczenia. Monika Musia l
STRUKTURA ELEKTRONOWA CZA STECZEK: METODA ORBITALI MOLEKULARNYCH (MO) Ćwiczenia Monika Musia l Uk lad zamkniȩtopow lokowy: N elektronów; N 2 elektronowa: Ψ = 1 N! orbitali. Funkcja falowa N- φ 1 (1)α(1)
Bardziej szczegółowoMetoda oddzia lywania konfiguracji (CI)
Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI) Spinorbitale: obsadzone φ a i wirtualne φ r : ɛ a ɛ HOMO, ɛ r ɛ LUMO ê r a wykonuje podstawienie φ a φ r, np. ê 7 2 φ 1 φ 2 φ 3... φ N = φ 1 φ 7 φ 3... φ N Operator
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoPodstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń
Wyk lad 6 Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń Uk lady modelowe czastka swobodna czastka na barierze potencja lu czastka w pudle oscylator harmoniczny oscylator Morse
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoOrbitale typu σ i typu π
Orbitale typu σ i typu π Dwa odpowiadające sobie orbitale sąsiednich atomów tworzą kombinacje: wiążącą i antywiążącą. W rezultacie mogą powstać orbitale o rozkładzie przestrzennym dwojakiego typu: σ -
Bardziej szczegółowo3. Cząsteczki i wiązania
3. Cząsteczki i wiązania Elektrony walencyjne Wiązania jonowe i kowalencyjne Wiązanie typu σ i π Hybrydyzacja Przewidywanie kształtu cząsteczek AX n Orbitale zdelokalizowane Cząsteczki związków organicznych
Bardziej szczegółowoRJC. Wiązania Chemiczne & Slides 1 to 39
Wiązania Chemiczne & Struktura Cząsteczki Teoria Orbitali & ybrydyzacja Slides 1 to 39 Układ okresowy pierwiastków Siły występujące w cząsteczce związku organicznego Atomy w cząsteczce związku organicznego
Bardziej szczegółowo1 i 2. Struktura elektronowa atomów, tworzenie wiązań chemicznych
1 i 2. Struktura elektronowa atomów, tworzenie wiązań chemicznych 1 1.1. Struktura elektronowa atomów Rozkład elektronów na pierwszych czterech powłokach elektronowych 1. powłoka 2. powłoka 3. powłoka
Bardziej szczegółowoRóżne typy wiązań mają ta sama przyczynę: energia powstającej stabilnej cząsteczki jest mniejsza niż sumaryczna energia tworzących ją, oddalonych
Wiązania atomowe Atomy wieloelektronowe, obsadzanie stanów elektronowych, układ poziomów energii. Przykładowe konfiguracje elektronów, gazy szlachetne, litowce, chlorowce, układ okresowy pierwiastków,
Bardziej szczegółowo8. Delokalizacja elektronów i reaktywność dienów sprzężonych
8. Delokalizacja elektronów i reaktywność dienów sprzężonych 1 8.1. Definicja elektronów zdelokalizowanych Zlokalizowane elektrony rozmieszczone w określonym obszarze cząsteczki, są uwspólnione pomiędzy
Bardziej szczegółowoUklady modelowe III - rotator, atom wodoru
Wyk lad 5 Uklady modelowe III - rotator, atom wodoru Model Separacja ruchu środka masy R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 Ĥ = Ĥ tr (R) + Ĥ rot (r) Ĥ tr 2 (R) = 2(m 1 + m 2 ) R [ Ψ E tr (R; t) = exp i (k R
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Informacje ogólne WYDZIAŁ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZY. SZKOŁA NAUK ŚCISŁYCH UNIWERSYTET KARDYNAŁA STEFANA WYSZYŃSKIEGO W WARSZAWIE
1 3 4 5 6 7 8 8.0 Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu Jednostka Punkty ECTS Język wykładowy Poziom przedmiotu Symbole efektów kształcenia Symbole efektów dla obszaru kształcenia Symbole efektów kierunkowych
Bardziej szczegółowoCząsteczki. 1.Dlaczego atomy łącz. 2.Jak atomy łącz. 3.Co to jest wiązanie chemiczne? Jakie sąs. typy wiąza
Cząsteczki 1.Dlaczego atomy łącz czą się w cząsteczki?.jak atomy łącz czą się w cząsteczki? 3.Co to jest wiązanie chemiczne? Co to jest rząd d wiązania? Jakie sąs typy wiąza zań? Dlaczego atomy łącz czą
Bardziej szczegółowoReakcje cykloaddycji
Reakcje cykloaddycji Streszczenie ykloaddycja to typ reakcji uzgodnionej, w której dochodzi do jednoczesnego formowania się co najmniej dwóch wiązań chemicznych, w wyniku czego dochodzi do utworzenia pierścienia.
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoSTEREOCHEMIA ORGANICZNA
STERECEMIA RGANICZNA Sławomir Jarosz Wykład 5 Reguły Baldwina exo B (-) A B A (-) endo B (-) A B A (-) J. E. Baldwin, J. Chem. Soc., Chem. Commun. 1976, 734. J. E. Baldwin, J. Cutting, W. Dupont, L. Kruse,
Bardziej szczegółowoDotyczy to zarówno istniejących już związków, jak i związków, których jeszcze dotąd nie otrzymano.
Chemia teoretyczna to dział chemii zaliczany do chemii fizycznej, zajmujący się zagadnieniami związanymi z wiedzą chemiczną od strony teoretycznej, tj. bez wykonywania eksperymentów na stole laboratoryjnym.
Bardziej szczegółowoSTEREOCHEMIA ORGANICZNA
STEREOEMIA ORGANINA Sławomir Jarosz Wykład 5 TOPOWOŚĆ Podział grup wg topowości 1. omotopowe (wymienialne operacją symetrii n ) 2. Enancjotopowe (wymienialne przez płaszczyznę σ) 3. Diastereotopowe (niewymienialne
Bardziej szczegółowoHierarchia baz gaussowskich (5)
Hierarchia baz gaussowskich (5) Bazy split-valence czyli VDZ, VTZ, etc. (np. bazy Pople a 6-31G, 6-311G, etc) Bazy split-valence spolaryzowane VDZP, VTZP, etc. Bazy bazy Dunninga (konsystentne korelacyjnie)
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11
Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna / Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc ; z jęz. ros. tł. Ludwik Dobrzyński, Andrzej Pindor. - Wyd. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa redaktora do wydania
Bardziej szczegółowoUk lady modelowe II - oscylator
Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0 Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe *
Ćwiczenie 3 Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe * 1 Ćwiczenie 3 Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe * I. Narysuj etylen a) Wybierz Default
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoH H 2.5 < H H CH 3 N O O H C N ŁADUNEK FORMALNY. 2.5 dla atomu węgla C C 2.5 H 2.1. Li 1.0. liczba e - walencyjnych w atomie wolnym C 2.5 H 2.
.5 dla atomu węgla ŁADUNEK RMALNY pierwiastek o mniejszej elektroujemności od węgla
Bardziej szczegółowoZastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium
Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania
Bardziej szczegółowoSymetria w obliczeniach molekularnych
Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 15 marca 2005 1 2 Możliwości przyspieszenia obliczeń 3 GAMESS 2004 4 Zastosowania symetrii Zmniejszenie zapotrzebowania na zasoby (procesor, pami eć, dysk) Utrzymanie
Bardziej szczegółowoLiczby kwantowe n, l, m l = 0 l =1 l = 2 l = 3
Liczby kwantowe Rozwiązaniem równania Schrödingera są pewne funkcje własne, które można scharakteryzować przy pomocy zestawu trzech liczb kwantowych n, l, m. Liczby kwantowe nie mogą być dowolne, muszą
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoWykład przygotowany w oparciu o podręczniki:
Slajd 1 Wykład przygotowany w oparciu o podręczniki: Organic Chemistry 4 th Edition Paula Yurkanis Bruice Slajd 2 Struktura elektronowa wiązanie chemiczne Kwasy i zasady Slajd 3 Chemia organiczna Związki
Bardziej szczegółowoModelowanie molekularne
Ck08 Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład Chemii Teoretycznej Wydział Chemii UJ Wykład 10 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Podstawowe idee i metody
Bardziej szczegółowoModelowanie molekularne
Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład Chemii Teoretycznej Wydział Chemii UJ Wykład 4 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Podstawowe idee i metody chemii
Bardziej szczegółowoSpis treści. Metoda VSEPR. Reguły określania struktury cząsteczek. Ustalanie struktury przestrzennej
Spis treści 1 Metoda VSEPR 2 Reguły określania struktury cząsteczek 3 Ustalanie struktury przestrzennej 4 Typy geometrii cząsteczek przykłady 41 Przykład 1 określanie struktury BCl 3 42 Przykład 2 określanie
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT)
Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory (DFT) Cz eść slajdów tego wyk ladu pochodzi z wyk ladu wyg loszonego przez dra Lukasza Rajchela w Interdyscyplinarnym Centrum Modelowania Matematycznego
Bardziej szczegółowocelu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n
123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki
Bardziej szczegółowoUkłady wieloelektronowe
Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające
Bardziej szczegółowoCHEMIA 1. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne kierunek lekarski, stomatologia, farmacja, analityka medyczna ATOM.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne kierunek lekarski, stomatologia, farmacja, analityka medyczna tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.pl CHEMIA 1 ATOM Budowa atomu - jądro, zawierające
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie
Bardziej szczegółowostosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv
Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży
Bardziej szczegółowoUkład okresowy. Przewidywania teorii kwantowej
Przewidywania teorii kwantowej Chemia kwantowa - podsumowanie Cząstka w pudle Atom wodoru Równanie Schroedingera H ˆ = ˆ T e Hˆ = Tˆ e + Vˆ e j Chemia kwantowa - podsumowanie rozwiązanie Cząstka w pudle
Bardziej szczegółowoElektronowa struktura atomu
Elektronowa struktura atomu Model atomu Bohra oparty na teorii klasycznych oddziaływań elektrostatycznych Elektrony mogą przebywać tylko w określonych stanach, zwanych stacjonarnymi, o określonej energii
Bardziej szczegółowoTest numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoChemia teoretyczna I Semestr V (1 )
1/ 6 Chemia Chemia teoretyczna I Semestr V (1 ) Osoba odpowiedzialna za przedmiot: dr hab. inż. Aleksander Herman. 2/ 6 Wykład Program Podstawy mechaniki kwantowej Ważne problemy modelowe Charakterystyka
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoModel wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2
Model wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2 + Współrzędne elektronu i protonów Orbitale wiążący i antywiążący otrzymane jako kombinacje orbitali atomowych Orbital wiążący duża gęstość ładunku między jądrami
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoKonwersatorium 1. Zagadnienia na konwersatorium
Konwersatorium 1 Zagadnienia na konwersatorium 1. Omów reguły zapełniania powłok elektronowych. 2. Podaj konfiguracje elektronowe dla atomów Cu, Ag, Au, Pd, Pt, Cr, Mo, W. 3. Wyjaśnij dlaczego występują
Bardziej szczegółowoĆw. 11 wersja testowa Wyznaczanie odległości krytycznej R 0 rezonansowego przeniesienia energii (FRET)
Ćw. 11 wersja testowa Wyznaczanie odległości krytycznej R 0 rezonansowego przeniesienia energii (FRET) Wstęp W wyniku absorpcji promieniowania elektromagnetycznego o odpowiedniej długości fali (najczęściej
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii. dr hab. Wacław Makowski. Wykład 1: Wprowadzenie
Podstawy chemii dr hab. Wacław Makowski Wykład 1: Wprowadzenie Wspomnienia ze szkoły Elementarz (powtórka z gimnazjum) Układ okresowy Dalsze wtajemniczenia (liceum) Program zajęć Podręczniki Wydział Chemii
Bardziej szczegółowo{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r
to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)
Bardziej szczegółowoBudowa atomu Poziom: rozszerzony Zadanie 1. (2 pkt.)
Budowa atomu Poziom: rozszerzony Zadanie 1. (2 pkt.) Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Punkty Okres połowiczego rozpadu pewnego radionuklidu wynosi 16 godzin. a) Określ, ile procent atomów tego izotopu rozpadnie
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowo