Teoria i metody optymalizacji

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria i metody optymalizacji"

Piotr Witkowski
7 lat temu
Przeglądów:

1 eoia dualności dla zadania pogamowania liniowego PL EORIA I MEODY OPYMALIZACJI Zadanie liniowego pogamowania całkowitoliczbowego PCL Wdział Elektoniki Kie. Automatka i Robotka Studia II t. NZ d inż. Ewa Szlachcic Kateda Automatki, Mechatoniki i Stemów Steowania Wdział Elektoniki Politechnika Wocławka ma c wiedzenie 7. : A b min v v b A v c v Jeśli wekto et ozwiązaniem dopuzczalnm dla zadania pmalnego i wekto v et ozwiązaniem dopuzczalnm dla zadania dualnego, to watość unkci celu w zadaniu dualnm nie może bć mnieza od watości unkci celu w zadaniu pmalnm. v b c eoia dualności dla zadania pogamowania liniowego cd. wiedzenie 6. v i v Dla pa ozwiązań optmalnch zadania pmalnego i dualnego pogamowania liniowego zachodzi waunek: wiedzenie 6. c b v Niech [, ] i [v,v ] będą odpowiednio ozwiązaniami dopuzczalnmi zadania PL pmalnego i dualnego, pz czm i v ą wektoami zmiennch dopełniaącch do potaci kanoniczne zadania w wektoach ozwiązań. Wted [, ] i [ v, v ] będą odpowiednio ozwiązaniami optmalnmi pa zadań PL pmalnego i dualnego, eśli zachodzi waunek komplementaności zmiennch: tzn. v v Pzkład I zadanie pmalne zadanie dualne min v v v v ma vv X v v 6v V : v X :, v v v,, 6 v v Potać wektoa ozwiązań: v v, v v, v, v v v,,, Pzkład II Stem cięcia dłużc min v.v.6v. v 7v v v v v v v, v, v,, v, v v ma X, 7. X :.6,. eoia dualności dla zadania PL cd. I. Rozwiązanie zadania dualnego metodą implek Zadanie dualne: ma X X :, 6 Zadanie pogamowania liniowego PL pz oganiczeniach: min c Rozwiązanie optmalne: a) Zadanie dualne b) Zadanie pmalne Watość optmalna unkci celu: 7 / -/ / -/6 / 7/ /6 / 7/ /6 / v v,,,,, v, v, v, v v / / / 9/ -/ / / / - / / -/ 9,,,, v,,,, A b dim =[n*], dim c=[n*] Maciez A odpowiada za wpółcznniki w m oganiczeniach dim A=[m n] Wekto wazów wolnch b odpowiada za pawą tonę oganiczeń dim b =[m*]

2 Potać kanoniczna II zadania PL Optmalne ozwiązanie II zadania PL metodą dualną implek min c, A b,, ma - c, - A I,, b, wiedzenie: Rozwiązanie bazowe dopuzczalne układu ównań A=b et ozwiązaniem optmalnm II zadania PL, eśli ą pełnione waunki: (i) Waunek dualne dopuzczalności: dla o R N (ii) Waunek dualne optmalności i dla i,..., m Algotm dualn implek Kok. (tat). Rozpocznam algotm od znalezienia piewze tablic dualnie dopuzczalne. Należ pawdzić dualną dopuzczalność ozwiązania: cz ak - idź do Koku, Nie koniec. Kok. (tet optmalności). Cz i dla każdego i,..., m? ak - to aktualne ozwiązanie et optmalne. Nie - idź do Koku. o dla R N Algotm dualn implek c.d. Kok. (wbó zmienne wpowadzane do baz). Wbiez ako zmienną wchodzącą do baz taką zmienną dla któe k k ma (, ). k Jeśli wiele zmiennch pełnia ten waunek, wbiez abitalnie edną z nich. Idź do Koku. Kok. (Wbó zmienne uuwane z baz). Wbiez ako zmienną uuwaną z baz taką zmienną B dla któe. pową egułą et wbó zmienne dla któe: Idż do Koku. min, i,..., m RN io B, i Kok. (eliminaca). Dokona dualną iteacę implekową metodą eliminaci Gau a popzez wpowadzenie Idź do Koku. k do baz oaz uunięcie B Pzkład II zadania pogamowania liniowego dualna metoda implek Pzkład II zadania pogamowania liniowego dualna metoda implek cd. min X 8 X : 6, tablica optmalna I tablica optmalna II tablica początkowa tablica pośednia tablica nie optmalna X X X ½ ½ X ½ -/ - -/ -/ X - -/ -/ -X -/ / / X / / -/ X / -/ / X -/ -/ -/ -X - X - X - X X - - X - tablica dualnie dopuzczalna tablica ezcze nie optmalna dla o R N dla i m i,..., Rozwiązanie optmalne I wiezchołek: Rozwiązanie optmalne II wiezchołek: [,,,, ] [,,,, ] [,,,, ] [,,,, ]

3 Pogamowanie liniowe całkowitoliczbowe PCL Metodologia podziału i ozacowań Banch and Bound echnique (B&B) Metodologia podziału i ozacowań B&B ma c, A b,, Z S { A b, i Z n }, Podtawą metodologii B&B et pzegląd dzewa ozwiązań. Wkoztue ię akt kończoności zbiou możliwch watości zmiennch całkowitoliczbowch w pzpadku oganiczonch zadań PCL. Etap metod: -podział -gałęzienie -obliczanie gónch i dolnch ozacowań unkci celu. Ołabienie, któe powadzi do zadania PL: { A b, } S Metodologia podziału i ozacowań B&B Metodologia podziału i ozacowań B&B Podział. Pzmim, że zadanie PL zotało ozwiązane dla wiezchołka v, pz czm () ma nie wztkie kładowe całkowitoliczbowe. Pzkładowo niech pewna zmienna [ ], Podział S, któ et pz tm ozbiciem zbiou, et natępuąc: * i S { S i { [ i i. ]}, S { i }}, Zadanie pogamowania liniowego et pożądanm ołabieniem zadania pogamowania liniowego całkowitoliczbowego, gdż dołączone oganiczenia daą góną i dolną ganicę dla pozczególnch zmiennch. Otzmane ołabione zadanie pogamowania liniowego pz założeniu oganiczoności zmiennch ozwiązue ię algotmem dwuazowm implek. Gdzie <a> et namniezą liczbą całkowitą więkzą lub ówną a, [a] zaś oznacza nawiękzą liczbę całkowitą mniezą lub ówną a. Pzkład zadania PCL Dzewo ozwiązań ma 7,, 8 Rozwiązanie PL Rozwiązanie PCL z z z 7 z 8 z 6 z

4 Pzkład II zadania PCL Podział zadania Z na Z i Z ma ,, Z Rozwiązać zadanie II z odzuceniem waunku na całkowitoliczbowości: Zadanie Z ma , [, ] [6.,.]. Zadanie Z ma 7 6 Zadanie Z ma , [, ] [6.87,] , [, ] [6, ] Pogamowanie liniowe całkowitoliczbowe metodologia odcięć Metoda odcięć ma c, S { A b, i Z}. Załóżm, że itnieą oaz takie, że: A b { A b, A b, } S oaz zadanie ołabione w tounku do zadania (): ma ma całkowitoliczbowe ozwiązanie optmalne opt. Wówcza opt et ozwiązaniem optmalnm zadania (). c, () ma c, () Q { A b, }. Załóżm, że mam epezentacę poblemu () w potaci R i, i,,..., m, B i i R Podtawowe odcięcie ([ h ] i [ hi ]) [ h] i [ hi] Odcięcia w metodzie om całkowitch R i ( i R a [ [ ] ( i i [ ]) i i ] i i i R i R i, i R [ ] i, i mui bć liczbą całkowitą: [ i. ]. ) ([ i ] et całkowite. R [ ] ), i Zadanie pogamowania liniowego PL dla zmiennch całkowitch ma X / / / / -/ / 9/ / -/ / - / -, -, X :, n Z 6 n Rozwiązanie zadania PL dla R z dodanm odcięciem dla zmienne Wbane odcięcie: Możliwe odcięcia:

5 Kolene iteace algotmu odcięć metoda dualną implek Heutczne eguł wbou wieza źódłowego ablica optmalna ale nie całkowitoliczbowa / / / / -/ / / / -/ Dodano nowe odcięcie / / / / -/ / / / -/ - - -/ -/ -/ Rozwiązanie dopuzczalne, optmalne i całkowitoliczbowe [,,,,,, ] [,,,,,,] 7 Należ zbudować odcięcie uuwaące nawiękz możliw obza nie zawieaąc punktów całkowitoliczbowch. Odcięcie tae ię głębze, eśli i a i Pożądane et ab i bło możliwie duże a i bło możliwie małe dla R Reguł wbou wieza w metodzie om całkowitch Badanie całkowitoliczbowości ozwiązania PCL ( I ) ( II ) ( III ) ma i i i R ma i i R i ma i k Dla okeślonego ik k R W obliczeniach komputeowch liczba zeczwita et taktowana ako liczba całkowita, eśli min {, } Nieozpoznanie całkowitoliczbowości może powodować: wkonanie niepotzebnch iteaci, dołączenie niepopawnch odcięć utatę ozwiązania optmalnego. I na odwót błędne twiedzenie całkowitoliczbowości może powodować niepopawne zakończenie obliczeń. Optmalne ozwiązanie zadania PCL Pzegląd algotmów metodologii odcięć Rozwiązanie dopuzczalne zadania PCL et ego ozwiązaniem optmalnm, gd ą pełnione tz waunki: (i) pmana dopuzczalność, (ii) całkowitoliczbowość, i całkowite, i,..., m; (iii) dualna dopuzczalność, i, i,..., m dla wztkich R ;. Metoda om całkowitch- nie pełnion waunek całkowitoliczbowości i dla i=,...,m. Całkowitoliczbow algotm dualn nie pełnion waunek pmalne dopuzczalności: i dla i,..., m. Całkowitoliczbow algotm pmaln nie pełnion waunek dualne dopuzczalności: dla R

6 Algotm odcięć dla zadania PCL Kok Znadź ozwiązanie pełniaące dwa pośód tzech wmienionch waunków. Idź do Koku. Kok - et na optmalność Jeśli tzeci waunek et pełnion Stop. W pzeciwnm wpadku idź do Koku. Kok - Odcinanie i eliminaca Doda odcięcie z odpowiednio dobaną watością h. Dokona eliminaci ab zachować dwa wbane waunki. Może zaitnieć konieczność wkonania więkze liczb koków eliminaci. Wóć do Koku. 6

Podobne dokumenty

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI. Przedziały dopuszczalnych zmian zsdla wyrazów wolnych ograniczeń (RHS)

ANALIZA WRAŻLIWOŚCI. Przedziały dopuszczalnych zmian zsdla wyrazów wolnych ograniczeń (RHS) D. Mizczńka, M.Mizczńki KBO UŁ, Badania operacne (wkład _AW&ZS) [] ANALIZA WRAŻLIWOŚCI rzedział dopuzczalnch zmian zdla wrazów wolnch ograniczeń (RHS) rzedział dla wrazu wolnego w ograniczeniu mazn 45