DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU Z UWZGLĘ DNIENIEM JEGO SZTYWNOŚ CI NA ZGINANIE JÓZEF NIZIOŁ, ALICJA PIENIĄ Ż EK (KRAKÓW) 1.

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU Z UWZGLĘ DNIENIEM JEGO SZTYWNOŚ CI NA ZGINANIE JÓZEF NIZIOŁ, ALICJA PIENIĄ Ż EK (KRAKÓW) 1. Wstęp Zagadnienia dynamiki cię gna niewą tpliwie należą do waż nych zarówno pod wzglę dem zastosowań inż ynierskich, jak i pod wzglę dem poznawczym. Równania ruchu cię gien są układami równań róż niczkowych nieliniowych o pochodnych czą stkowych. Dodatkowo są to układy równań o zmiennych współczynnikach. Wszystko to stwarza poważ ne trudnoś ci w uzyskaniu nawet przybliż onych, dostatecznie dokładnych, rozwią zań wymienionego układu równań i przeanalizowaniu ruchu cię gna, a tym samym okreś leniu interesujących nas wielkoś ci dynamicznych, jak przyspieszenia, naprę ż eni a dynamiczne itp. Do znanych, najistotniejszych z tego zakresu zagadnień moż na zaliczyć rozwią zania przy róż nych stopniach uproszczenia, mianowicie : 1. W stanie równowagi oś cię gna pokrywa się z odcinkami linii prostej. Rozważa się nieliniowe drgania poprzeczne cię gna.. Rozważa się drgania nieliniowe cię gna o małym zwisie przy zastosowaniu hipotezy KIRCHHOFFA [5] zakładają cej moż liwość pominię cia podłuż nych sił bezwładnoś ci i ich wpływu na drgania poprzeczne cię gna. 3. Małe drgania cię gna wokół jego położ enia równowagi statycznej rozpracowane przez ANANIEWA [1]. 4. Szczególny przypadek poprzedniego, gdzie dodatkowo pomija się wpływ podłużnych sił bezwładnoś ci na drgania poprzeczne. Znane są róż ne przypadki rozwią zań powyż szych zagadnień, w zależ nośi cod warunków brzegowych, obcią żń e cię gna dodatkowymi masami itp. Omówione, czę ś ciowo rozwią zane problemy, dotyczą cię gien idealnie wiotkich, bez uwzglę dnienia sztywnoś ci na zginanie. Wiadomo, że wartość sztywnoś ci wzdłuż nej EA ma istotny wpływ na formy drgań cię gna [3]. W odróż nieniu od struny przy odpowiednio duż ej sztywnoś ci EA pierwsza forma drgań może być antysymetryczna. Celowe jest więc przeanalizowanie wpływu sztywnoś ci gię tnej El na formy i czę stośi cdrgań cię gna, gdyż do tej pory nie zostało to Zrobione. Przedstawiona poniż ej praca stanowi wstęp do znacznie ogólniejszego zagadnienia tłumienia drgań w liniach elektroenergetycznych. W kraju, badania eksperymentalne z tego zakresu prowadzi Biuro Projektów Energetycznych w Krakowie. Zarówno w literaturze krajowej, jak i zagranicznej brak jest opracowań teoretycznych z tego zakresu. Stosowane jako tłumiki drgań pę tle stanowią cię gno. Odległość mię dzy punktami zamocowania takiego cię gna wynosi 4,4 [m] przy strzałce zwisu 0,4 [mj. Z literatury wiadomo

2 394 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E [3], że przy stosunku strzałki zwisu do rozpię tośi c podpór mniejszym od I < I 8 \ L 8 / moż na traktować cię gno jako cię gno o małym zwisie i stosować odpowiednie uproszczenia przy analizie drgań wokół jego położ enia równowagi statycznej. W niniejszej pracy zajmiemy się analizą drgań własnych i wymuszonych cię gna w płaszczyź nie zwisu. Weź miemy pod uwagę cię gno zamocowane na dwóch sztywnych podporach przegubowych, którego długość jest wię ksza od rozpię tośi c podpór. Dodatkowo uwzglę dnimy sztywność gię tną cię gna El. W wielu zagadnieniach praktycznych, a dotyczy to głównie przewodów elektroenergetycznych, drgania wymuszone są drganiami eolskimi. Tego typu drgania wywołane wirami Karmana były przeanalizowane przez BOŁOTINA [], jednak przy traktowaniu przewodu jako struny.. Równania ruchu Na rys. 1 jest przedstawione cię gno, gdzie zaznaczono trzy jego konfiguracje: naturalną, statyczną (w położ eniu równowagi) i dynamiczną. Bę dziemy uwzglę dniać tylko nieliniowość geometryczną. Oprócz założ enia o liniowoś ci fizycznej pominiemy tłumienie cię gna. Ц, i -. H 0 Rys. 1. Cię gno i jego konfiguracje / naturalna, statyczna, 3 dynamiczna Weź my pod uwagę element ds 0 cię gna odpowiadają cy konfiguracji naturalnej. W konfiguracji dynamicznej przyjmie on wielkość ds', którą moż na znaleźć ze zwią zku (.1) w którym Г jest napię ciem cię gna, A przekrojem poprzecznym, E zaś modułem sprę ż y stoś ci Younga. Ruch cię gna bę dziemy rozważ ać w układzie kartezjań skim, Oxy, zwią zanym z położ eniem równowagi statycznej (położ enie na rys. 1). Na rys. przedstawiono element cię gna ds' oraż siły na niego działają ce. Składowe napię cia T, we współrzę dnych kartezjań skich Oxy, są nastę pująe c

3 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 395 (.3) Przyrosty napię cia w kierunkach х, у wzdłuż elementu ds' bę dą nastę pująe c Rys.. Siły działają ce na element cię gna Przy wyprowadzeniu równań uwzglę dnimy także siłę poprzeczną Q. Jej składowe odpowiednie przyrosty wzdłuż ds' są, odpowiednio: (.4) д х Q-^, ds" Q dy CS' ' (.5) Rozkład sił wzdłuż nych i poprzecznych na osie przyję tego układu współrzę dnych przedstawiono na rys. 3. ' ds' ds M wds M ds' ds' dy 'в? e7 <mds' X Rys. 3. Rozkład sił działają cych na element cię gna Podobnie jak w pracy [7], przyjmiemy założ enie, że składowa prę dkoś c i dowolnego punktu cię gna na kierunek styczny do jego konfiguracji ma wartość stałą. Założ enie to jest uzasadnione i ogólniejsze od omówionych wcześ niej przypadków 1 4, gdzie pomijano wpływ bezwładnoś ci w kierunku wzdłuż nym.

4 396 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E W celu okreś lenia siły bezwładnoś ci obliczymy przyspieszenie. Weź my składowe prę d koś ci w punkcie P' Dx д х т д х Dy dy r r l dy gdzie K' jest prę dkoś ci ą styczną do konfiguracji dynamicznej cię gna. Obliczając dalej pochodną Eulera z wyraż eń (.6) otrzymujemy składowe przyspieszenia (.7) D x d x Dt ~ dt D y d y Dt ~~ dt V' ^ V' lv-^ dtds' ds' У ds' d y V V dtds' ds' \ ds' } Na podstawie (.1) otrzymujemy v ~ dt ds 0 dt \ 1 AE} V ' gdzie obecnie V 0 jest prę dkoś ą ci styczną do konfiguracji naturalnej. (.8) W zwią zku z powyż szym układ zależ nośi c(.7) moż na zapisać nastę pują co : D x Dt x d x r, d / dx \ dl ^V^didYa v^a v^y D y d x т, d x Dt dt dtds 0 di^( v it) д х d y W zależ noś ciac h (.8) składowe K 0^ i K 0.., to składowe przyspieszenia Codtds 0 dtds 0 riolisa, ostatnie zaś człony są składowymi przyspieszenia doś rodkowego. Sztywność gię tną El wprowadzimy do równań ruchu wychodząc z równania linii ugię cia zapisanego w postaci dx d y д х dy ( 9) W W ~ W W _ M(s') (w) WJ J Powyż sze równanie zróż niczkujemy jednokrotnie wzglę dem s' i w ten sposób otrzymamy zależ ność na siłę poprzeczną Q. Zależ ność tę napiszemy od razu w zmiennej s 0 wykorzystując w tym celu zwią zek (.1). Ostatecznie mamy Ы ( 10) Q L*L *Ł _ ** *L\ K } U ~ I f \ \ds 0 ds* ds* ds 0 j \ 1 AE)

5 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE zwisu 397 Moż emy obecnie przystą pić do napisania równań ruchu. Oznaczymy przez m masę przypadają cą na jednostkę długoś ci cię gna. Z warunku rzutów na kierunki x i у po uwzględnieniu sił bezwładnoś ci oraz zależ nośi c (.10) otrzymamy nastę pująy c układ równań: El a ds 0 1 AE 1 AE 4 1 8x d 3 y ds 0 dsl (.11) д 3 х dy \ 8у I 8 x d x J _ dsl 8s 0 J ds 0 [ dt ds 0 ds 0 EJ / dx ^ у _ ^ х dy \ dx ' \ds 0 8s% dsl ds 0 J ds 0 dx' ~ds 0l = m d v d v 0 ds 0 [ V 8s 0 )\' Stowarzyszone równania równowagi mają postać: El dx d 3 y d 3 x Idy (.1) T ds 0 1 AE d cls Q 1 JA AEJ El i4 (ds 0 ) ds 0 ds 0 \ds 0 d 3 x d 3 x dy dx dsl ds 0 ds 0 mv 0 d x ~dsj' = m\gv \d y\ 0 'dsl L' Równania drgań wymuszonych otrzymamy przez dodanie do prawych stron równań (.11) funkcji wymuszają cych/i(.?o, О,fi( ṣ o t ') Otrzymamy wówczas nastę pująy c układ równań: d ds 0 1 ~AE dx d El / dx d 3 y d 3 x dy \ dy \ds 0 dsl dsl Ss 0 ) ~ds 0 (.13) dy = m d x d x dx V 0 - v0 V dt ' "' 0 0 dtds 0 ' ' 'ds 0 ds 0 d El ' dx d 3 y fi(s 0, t), T ds 0 1 AE ds 0 ^ds 0 = m, d y d y dt v dt 8s 0 f(s 0, t). 5 Mechanika teoretyczna

6 398 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E Dla liny zamocowanej, jak na rys. 1, zarówno przemieszczenia, jak i momenty zginają ce w punktach s 0 = у i s 0 = są równe zeru (gdzie / jest długoś cią cię gna w stanie nieodkształconym), a wię c: ( Й = О ' '( Й = О ' (.14) d.y 0 ds, 5J 0, 0 4 = O, <3x d _y 3 x 0. Warunki począ tkowe przyjmiemy w nastę pują ce j postaci: (.15) д х x(s 0, 0) = (fi (s 0 ), y(s 0, 0) = <p (s 0 ), dt = 9>з О о,) 1=0 ot = с ч О о ) 3. Drgania swobodne Przeanalizujemy obecnie drgania swobodne cię gna. Weź miemy zatem do dalszych rozważ ań układ (.1). Przyjmiemy, że współrzę dne х, у oraz napię cie T doznają małych przyrostów u, v, r, co wyrazimy nastę pują co : (3.1) x = x t u, y = yiv, f=tx. Współrzę dne x t i у i odpowiadają położ eniu równowagi cię gna. Bę dziemy je uważ ali za stałe. Rozważ ymy dalej małe drgania cię gna wokół położ enia równowagi. Podczas tych drgań napię cie w cię gnie bę dzie się zmieniać nieznacznie. Wyraża to trzeci wzór w (3.1). W dalszej analizie wygodniej bę dzie przejść ze zmiennej s 0 na s przy pomocy oczywistej zależ nośi c Po podstawieniu (3.1) do (.1), odpowiednim przekształceniu i uporzą dkowaniu otrzymujemy nastę pująy c układ równań (już w zmiennej s): /, T \ д l^dxt dx y du д и Л L T \ a d [ dxi d 3 yi dy t dxi d 3 v dy y du d 3 y t dy, du d 3 v dy t ds ds ds ds ds ds ds ds

7 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 399 (3.) [c.d.] d 3 Xi ~d? [ dv dyi ds ^З д "1 d v dyi ds ds 8 3 u I dy x V 3 ds \ds } d 3 u dv dy x ds ds dxi d 3 y, dv dx, d 3 v dv du d 3 y, dv du d 3 v dv I 1 1 ±1 1_ ds ds ds ds ds ds ds ds dv \ ~ds) ~ Ъ d 3 u 3 dv ds = m dt dyi dy, _ dv dv ds ds ds ds d 3 y\ V d u dtds v- d x i ds V d u] ds \' dx y ~dj d 3 v du d 3 y, dxt ds ds Podobnie, jak w [7] przyjmiemy, ż e: du d3 v dxi d 3 Xi dyi dx t d 3 x y dv dx x ds ds ds ds ds ds ds d 3 u dv dx t i l du\ d 3 y, ds ds ~ds~l "ds 3 d 3 x, dv du ds ds = m GW d v du ~ds d 3 v ~ds^ d 3 u dy t du ds ds d 3 u dyi dx t ds ds d 3 x 1 dyi du ds ds d 3 u dv du ds ds d v V V ^ V dtds ds (3.3) dx y ds AE 1 1, dyi ds tfx, du ds ds rps, dy dv ds ds gdzie tp, ze wzglę du na przyję te założ enie fo 1 <, jest wielkoś cią małą. / o Po pominię ciu małych wyż szego rzę du (ip w potę dze wyż szej niż pierwsza), wykorzystaniu równań równowagi oraz zależ nośi c(3.3) otrzymamy układ: \ d_ du... i du dv ds 1 T ds AE \~ds~ fs ~di. ~AE (3.4) 3* T \ d 1 AE ds T V 11 1E) El Os T dv ~T~~ds 1 ~AE d 3 v y)s AE Hś f) u d = m j u d Vdt dtds d u~\ V ds \' L T\ r Td Г d 3 u d 3 v] \d v V А Ё ) EI = m &far* "И Ы, d V v T_, d v W* V LW

8 400 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E Wprowadź my jeszcze nastę pująe c oznaczenia : (3.5) TJ- = M, 7... MV = W, Ą = D, (3.5а ) a =, V =, ^ =. Ponadto przekształcimy pochodne mieszane, wystę pująe c po prawych stronach układu (3.4), w nastę pująy c sposób: V^ = V±l v dtds dt l v i analogicznie S ^ Rozwią zania układu (3.4) przyjmiemy w postaci: (3.6) u(s, t) = u{s)e>"#, O(J, 0 = w(i> fa «'. Po podstawieniu (3.6) do układu (3.4), z uwzglę dnieniem oznaczeń (3.5), otrzymujemy: EIy sd 3 u WD u AED u 3Mq a u A Exp Dv (3.7) AEy!sD v ElipD 3 v EIyisD 4 v = 0, EIy>sD A u EIy>D 3 u AEy)Du AEy>sD u EID*vWD v 3Ma q v = 0. Nastę pnie dzielimy równania układu (3.7) stronami przez AE i w ten sposób otrzymujemy układ: (ptl)d u 3piq u ^ y>sd A v y>d 3 v y>sd v y>dv = 0, А A (3.8) / / / ipsd^u r ~ ipd 3 u y)sd u y>du 7 D*v pid v 3piq v = 0. A A A Uzyskanie rozwią zania układu równań róż niczkowych czwartego rzę du o zmiennych współczynnikach (3.8) nastrę cza duże kłopoty. W celu uzyskania rozwią zania dokonamy przekształcenia wprowadzając zmienne f i r\ według wzorów: (3.9) Podstawimy (3.9) do układu (3.8). Po odpowiednim przekształceniu i pominię ciu, jako bardzo małych, członów zawierają cych iloczyny ptyt otrzymamy (З Л О) (pi l)d i 3fiq i ~y!d 3 r 1 = 0, y>d 3 C y>dc D A r] LiD r} 3piq 7) = 0. A A

9 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 401 Rozwią zania układu (3.10) bę dziemy poszukiwali w nastę pują ce j postaci: = Ae rs, r\ = Be". Po podstawieniu powyż szych postaci rozwią zań do układu (3.10), wykonaniu odpowiednich działań i uporzą dkowaniu otrzymujemy: A[{p \)r 3pq ] B A ( З Л 1 ) I / 1 Г / I А \ 1р г ъ у г У З rpr 3pq \ = 0. Równanie charakterystyczne układu (3.11) ma postać (3.1) _ ( / J l) ~4(~) Ą ^[(/г \)р з А M 4 W L Po pominię ciu składników zawierają cych tp otrzymujemy / (3.13) I r r ą pr* 3pq r 9p q A = 0 [3(p\)pq 9p q ]r 9p q A = 0. Jest to równanie trzeciego stopnia ze wzglę du na r. Zbadamy znak wyróż nika 3), który w koń cowej formie moż na przedstawić nastę pują co : (3.14) 9 = [ 7(4) ^ 6 9^\ 3 М ) М 3 j (5p l 3p )q p L l)j. Jak widać, wyróż nik 3) zależy od q. Ś cisł e okreś lenie znaku J W zależ nośi cod parametru q jest moż liwe tylko dla konkretnych wartoś ci, przy czym i tak należy się liczyć z koniecznoś cią rozwią zania nierównoś ci szóstego stopnia. Biorąc pod uwagę powyż sze rozpatrzymy ogólnie przypadki róż nych, moż liwych znaków 3>. Przypadek I 9> > 0. W tym przypadku, ze wzorów Cardano, otrzymujemy jeden pierwiastek rzeczywisty oraz dwa pierwiastki zespolone sprzę ż one. Ponieważ pierwiastek rzeczywisty może być dodatni lub ujemny istnieją dwie dalsze moż liwoś ci : jeden pierwiastek rzeczywisty ujemny, dwa zespolone sprzę ż one, jeden pierwiastek rzeczywisty dodatni, dwa zespolone sprzę ż one. Powracając do równania charakterystycznego (3.13), które jest szóstego stopnia moż emy otrzymać : a) sześć pierwiastków zespolonych sprzę ż onych, b) dwa pierwiastki rzeczywiste, róż nych znaków i cztery zespolone sprzę ż one. Przypadek II В < 0. Otrzymamy wtedy trzy pierwiastki rzeczywiste, przy czym dwa z nich mogą być dodatnie i jeden ujemny, wzglę dnie dwa ujemne jeden dodatni. Zatem równanie charakterystyczne (3.13) bę dzie miało: a) cztery pierwiastki rzeczywiste i dwa zespolone sprzę ż one, b) cztery pierwiastki zespolone sprzę ż on e i dwa rzeczywiste.

10 40 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E Przypadek 3> = 0 jest szczególnym przypadkiem 3) < O i nie bę dziemy go tutaj rozpatrywać. W zwią zku г przedstawionymi wyż ej przypadkami pierwiastków równania charakterystycznego, rozwią zania układu równań (3.10) bę dą miały odpowiednio róż ną postać. Przedstawimy je obecnie, dla każ dego przypadku oddzielnie. Przypadek l. Zapiszmy pierwiastki równania charakterystycznego w nastę pują ce j postaci: (3.15) ''Z = «I ib, r 3 = a ib, U = a ib ''s = a 3 ib 3, r 6 = a 3 ib 3 Całki ogólne układu (3.10) bę dą miały postać: (3.16) '"! б Stałe Aj i Bj, (j' = l, 6) są stałymi zespolonymi zwią zanymi nastę pująą c wynikają cą z układu (3.11): zależ noś ą ci B. (u l)r 3ua ^Ч > Г ) 1Ч >П (3.17) A = _.(f* Vr,3 M _ = Л = J tprf _ _ r * /*r 3 M (/= 1,...,6). Rozwią zania (3.16) moż na zapisać w postaci rzeczywistej, wprowadzając nowe stałe A%j, A J, A 3j za pomocą zależ noś ci : Ai = y (A u ia l ), A = j (А и г А 1 ), (3.18) A 3 = (A l ia ), A A = j (A 1 ia ), A s = у (A 31 ia 3 ), A 6 =y (A 31 ia 3 ), na podstawie (3.17) i (3.15) słuszne są zwią zki: B t = AttytyJ, B = A (J1 iy ) = A^ fyt), (3.19) /3,. A 3 (B 3 iy 3 ), B 4 = A Ą (B Ą iy Ą ) = A Ą (B 3 -ty a ), B 5 = A s (B s iy s )i B 6 = Л 6(А И > 6 ) = A 6 (t3 s iy s ).

11 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 403 Po podstawieniu (3.18) i (3.19) odpowiednio do (3.16), z uwzglę dnieniem (3.15), otrzymujemy: = A ll e ai 'cosb 1 sa 1 e ttl 'smb l sa l e as cosb sa e" S smb s (3.0) r) = (A li p l A 1 Yi)e ais cosb 1 s(a ll y l A 1 p l )e^ssinb 1 s A 31 e" 3S cosb 3 s A 3 e ais s'mb 3 s, (A A y 3 ) e" S cosb s (A, y 3 A B 3 ) e S ń nb s (A 31 B S A 3 y s ) e^cos b 3 s (A 31 y s A 3i e s ) e a > s sinb 3 s. Stałe A u, A J, A 3j wyznaczymy z warunków brzegowych, które po zastosowaniu transformacji (3.9) przyjmą postać (3.1) Przystą pimy obecnie do wyznaczenia stałych. Wykorzystując warunki brzegowe (3.1) otrzymamy układ sześ ciu jednorodnych równań algebraicznych na poszukiwane stałe. Ma on postać: A u e ' cosb 1 ( у ]Л 1 е " l 'smbą ^A j 1 e " 'cosb 1 yj i Л K) <? sinz> 1 7Г ^3i с cosј 3 >. j eii l i 0' 1 Л ие cos 6,/ M, e м п у А ^^л е cosy6 / A 3 e = <"з / sinć > 3 y = 0, (3.) Л, A ' 1 4«з, «э < ' 1 ~a 3l J A e sm y0 /^ 3 1 e cos~z> /,4 3 e z sin j ^^O, /S,cos y6i/ nsin i6i/ 1 ^ 1 y 1 cos( l6 1 / /? 1 sin( i6 1 /)je" ^1 /З з cos I ~ b 11 y 3 sin I b 1 Л y 3 cos y6 /j/3 3 sin yfc /j e " ' Л 31 ^3 /3 5 cos yz> 3 / y 5 sin ^6 3 /j e <, 3 ' ly 5 cos j 16 3 /J в л sin j 16 3 /J j e~ ~ = 0,

12 404 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E (3.) A u /S,cos~ bj y^m ^ v)<? A l yi cos у b t //?, siny 6, /j e '"' 1 1 \ i* ( 1 ' / I /3 3 cosy6 / y 3 siny6 /lc A l7 3 cos b l /? 3 sin 1 \ T" ' / 1 1 \ 1"»' Ш у 6 /1е /1 3, l/3 5 cosy6 3 / y 5 siny6 3 /le'! /1 3 y5c0syz> 3 //3 5 siny6 3 / ^ '' 3 ' = 0, A, {[ #, B,a,b, yi (a Z> )]sin * 6,/J A 1 {[ 4 >a l y 1 a l b (a b )]sm^ J v ] [ y ft, Ј,a,6, y,(a 6 )]cosl- i6, /J e~ 4 Л i {[ y>6 B 3 a b у j (a 6 )] sin J Z> / J [ y 3 a b 6 3 (a b\)} cos ( ~ b 1 j e ' A {[^я у 3 a b /9 3 (a b )]sin м ) [y,7 ^3a i y 3 (fl 6 )]cos jb Ą e ""' A 3, {[ v>z> 3 Ј 5 a 3 b 3 y s (al 6 )]sin ~ b 3 IJ [y>a 3 y s a 3 b 3 e 5 (al b )]cos( i6 3 /) e~ Л 3 {[ya 3 ~y 5 a 3 b 3 в 5 (а 1 bi)]sin^ jb 3 lj [< [ y>b 3 e s a 3 b 3 y 5 (a 3 b 3)]cos^ jb 3 l^e~ a '' = 0,. 1 A u \(. y>b, - e l a 1 b l y 1 a y l b )sm~ b l l 1 (y>a t 8,a B l b y 1 a, 6,)cosb, l e

13 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 405 (3.) [c.d.] A 1: (lipa, y l a 1 b i Piaf-Ptb ) sin jbj (ipb, y i a] y x b\fi { a l b { )cos ~b i l e A ( y>b [3 3 a b - y 3 a\ y 3 b\) sin \ b 1 (г р а Р 3 а г р з Ь y 3 a b ) cos b 1 e A (y>a y 3 a b [3 3 a\ /j 3 b ) sin b 1 (y>6 У з «I У з b\ p 3 a b )cos v Z> / c ( y)b 3 p 5 a 3 b 3 y 5 al y 5 bl)sin ^ b 3 l (y>a 3 f3 s al L3 5 bl y 5 a 3 b 3 )cos~b 3 l e ( y 5 «з al ~ Ps b\ ipa 3 ) sin b 3 1 U' ( 4 >b 3 y 5 a 3 y s b 3p s a 3 b 3 )cos ~ b 3 l^e " = 0. Warunkiem istnienia niezerowych rozwią zań tego układu jest zerowanie się wyznacznika utworzonego ze współczynników wystę pują cyc h przy poszukiwanych stałych. Jeż eli współczynniki te oznaczymy kolejno przez с ц (/ = 1, 6). (j = 1, 6), to z równania (3.3) /, EC \k l Ck C 6k 6 O' ki, k,..., k 6 gdzie sumowanie jest po wszystkich moż liwych permutacjach drugich wskaź ników k x,k,...,k 0 liczb 1,,...,6, zaś e jest równe 1 lub lw zależ nośi cod tego, czy permutacja k t,k, k 6 jest parzysta, czy też jest nieparzystą, otrzymujemy ciąg rozwiązań na czę stośi cdrgań własnych m, (co n = a q ). Oczywiś cie a x, b t, a, b, a 3, b 3 są funkcjami co. Z zależ nośi c (3.18) moż emy obliczyć cią gi wartoś ci dla a Ul, b ln, a n, b n, a 3, b 3n. Nastę pnie z układu równań na stałe (3.), dla okreś lonej czę stośi cco wyznaczamy cią gi tych stałych: A\ u A", A" i, A", A" 31, A 3 (и jest indeksem górnym). Po przeprowadzeniu powyż szych obliczeń moż emy obecnie okreś lić postacie drgań własnych, dla okreś lonej czę stośi cco.

14 406 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E (3 5) gdzie We współrzę dnych u i v są one nastę pują ce : u (s) = A n ll[(ipy l s y>b l w lb y>y l w la )sinb,s (1 v / * i? V/?i Wia Wi w id )cosbis]e" ls A" [(l-y>p,s y>p 1 w la yy l w lb )s'mb 1 s (-Wi s Wi w iavpi w lb )cosbis]e"^ A i К У >У З s rpy 3 w a \pp 3 w b ) sin b s (1 y>b 3 sy)b 3 w a fy 3 w i )cos& s]e e5 ^ [(l V>/9 3.y V/? 3 w a y)y 3 w fc )sinfe 5 (~ У >У s з У У зw a У >Р з w b )cosb s]e" " A 31 [(yy s s W s W 3 a y>ps w 3 b) sin b 3 s (1 fb 5 sfds w 3a y>y 5 w 3b )cosb 3 s]e ais A 3 [(l f8 5 s y)p 5 w 3a ipy s w 3b )smb 3 s ( Ws s yys w 3a y>$ s w 3b ) cos b 3 s] e is, v n {s) = A n ll[( y l y)w xb )smb l s (fs Bi fw la )cosbis]e ais W,a A" i [(ips B l w la f)s'mb 1 s (y l vwi(,)cos6is]e" ts A i [( y 3 y>w b )sinb s (y>s p 3 y>w a ) cos b s] e" " A [y> s Pi 4> w a)sinb s (y 3 y>w b )cosb s]e" ' A 3l [( y 5 y>w 3b )sir\b 3 s (y>s B 5 fw 3a ) cos b 3 s] e a >" A" 3 [(y>s P s ipw 3a )sinb 3 s(y s y)w 3b ) cosb 3 s] e 3 ', 4 > *» = Ж П к > ' = 0.,3). ~afbf '* afhf Rozwią zania układu (3.6) wyrażą się zatem w postaci nastę pują cyc h szeregów: (3.6) u(s, t) = J u (s)(c n co$(o l,tz)*sinft) 0, v(s, t) = У w (5)(C cos«r Z) sinw 0. n=l W układzie (3.6) wystę pują stałe C i D, które wyznaczymy z warunków począ tkowych, wykorzystując w tym celu warunek ortogonalnoś ci drgań własnych. Przeprowadzając w znany sposób proces ortogonalizacji [4] dla układu (3.7) otrzymujemy nastę pująy c warunek ortogonalnoś ci (3.7) J (u u k v n v k )ds = o 0 i dla n ф k, j(u v )ds, dla n k. Warunki począ tkowe potrzebne do wyznaczenia stałych są: (3.8) du_ u(s, 0) = g t (s), ~~dt (s.o) v(s, 0) = g (s), dv = gt(*)- (s.o)

15 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 407 Po wykonaniu odpowiednich działań otrzymamy nastę pująe c C i A,: i J (giu g v K )ds zależ nośi c na stałe (3.9) i f (u nv n)ds o i j (g3"ng*v n )ds o I u> / (u v )ds Rozpatrzymy obecnie drugą moż liwość wystę pująą c w przypadku I, tzn.: kiedy równanie charakterystyczne bę dzie posiadało cztery pierwiastki zespolone sprzę ż on e i dwa pierwiastki rzeczywiste równe lecz przeciwnych znaków. Zapiszemy to w postaci ogólnej: r t = c, id,, r = Ci idi, (3.30) r 3 = c id, r A = c id, C rs 3 > r 6 = ~ c 3 Całki ogólne układu (3.10) zapiszemy w postaci: б 6 (3.31) = ]>]EJ(?I\ v = ]?Hje'J*, 7=1 J=l gdzie Ej, HJ dla (J = 1,,3,4) są stałymi zespolonymi, zaś dla (j' = 5,6) stałymi rzeczywistymi. Wymienione stałe są mię dzy sobą zwią zane nastę pująą c zależ noś ą ci wynikają cą z (3.11): (3.3) //, (» IW E j W j 3 dla j = 1,,3,4, -±. r f / i rj 3(iq = Ł) <r,i, ^ =C, dla j =5,6. Postę pując podobnie, jak poprzednio, rozwią zanie (3.31) moż na przedstawić w postaci trygonometrycznej : = E il e ClS cosd l s E l e CiS ń nd l s E i e c *!i cosd s E e c * s sin d s Ł 3 ch c 3 s E 3 sh c 3 s, (3.33) rj = (Ј 1 ic 1 ^1ffi)e Cl, cosrf 1 j (Ј 11 ff 1,f 1 )e c >*sm(/ 1 J (Ј 1 C 3 Ł 0 3)e c^cos^ ff 3 Ł C3K S sin</? Ј 31 C 5 ch c 3 5 E 3 C 5 sh c 3 i',

16 408 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E gdzie j(en ie l ) = E lt j(eu ie i ) = E, l (E 1 ie ) = E 3, j(e l ie ) = E A, stałe E 31 i E 3 są rzeczywiste. Przystą pimy do wyznaczenia stałych z układu równań w postaci: Eu cos ( у r f, / J Ј ł s i n y r f, / ) exp y C i / ) Ј j cos j у d łj E sin у 4 lch (~ C i ') E 3 S h {~ С з 1 ) = ' /,.' i (cos y U 7, /Ј, sin у ^/ exp y Ci Л JE 1 cos у d : le b\n d l\y. x expyc /Ј, 3 1chyc 3/Ј'3 shy c 3/ = 0, Eujd cosl yrfj/j ffjsinl у л?! C XP Cl/ I 1 (3.34) Ј, o j cos I у U 7! /j Ci sin I у U 7! /j j exp C,cos( y(/ / <r 3 sin H Cl/ exp( у c l\ Ј [g 3 COs у J / I.M!l exp "C /I /:'.,, C 5 ch( yc3/) Ј3a,C5Sh(, ic 3 / = 0, Јi i JCI cos уfi?! / o*! sin у U 7! / E x o! cosy djci sin у fi?] / Jjexp Ci / j^zi c 3 cosyrf / CT 3 siny d l^ E ff 3 cosyfi 7 /C 3 sinyu 7 /jj x expyc /Ј 3 ic 5 chy c 3 l E 3 C s sh yc 3 / = 0, Ј,,{[ y>d s a, (cj ;/,) Ci ej rf,]sin ( I u? t /j

17 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 409 (3.34) [cd.] [y>c, Ci (cf df) (7, c, d,] cos ( у </, / j j exp ~ c, l j Ł, j [y>c, С i (cf Й 7 ) (7, c, U',] sin ~ d { / j [ipd 1 (7, (cf dj) C, c,rf, ] cos у d t I j Jexp j у j c, / Ј1 [ ^/ о 3 (с й ' ) С з c«/ jsin yrf /J [yc C 3 (cf o'!) (7 3 c <r/ ]cos у uf / j jexp у c / j E j [y>c C 3 (c\ d\) (7 3 c d ]sin j у rf /1 [^ (7 3 (c (/ ) C 3 c u' ]cos y^/jjexpj y C / ) Ł 3 yc 3 sh у c 3 / C 5 c sh yc 3 / Јз ^)c 3 ch c 3 / C 5 c sh( c 3 / 0, Ł,, [ V (/, (7, (cf o 7 ) f, c, </, ] sin cf, / [(yc, С, (cf </?) (7, c, (/, ] cos d t I j e jej Ј, j [yc, С, (cf Й 7 ) (7, c, (/,]sin у rf, / [^6?, o,(cf df)ci c, rf,]cos у U', / j e Ł, I [ fd a 3 (:cl d ) C 3 c d ]sm^ d l [г р с C 3 (c df) c 3 c d ) cos у d 1 j e Ј j [yc C 3 (c d ) cr 3 c J ] sin ~d l [y>d a 3 (c\ dl) C 3 c d ] cos d 1 \ e Ј31 %pc 3 sh у c 3 / C 5 c\ ch у c 3 / Ј3 1 ipc 3 ch у c 3 / C 5 c shy cj = 0. b']

18 410 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E Wielkoś ci co n wyznaczamy podobnie, jak poprzednio. Mając io n moż emy wyznaczyć stałe Efj. Dla okreś lonej czę stośi cco postacie drgań głównych we współrzę dnych u i v są nastę pująe c: H (.V) = E n n[(y)ctjs-y)a 1 w lc CiW w id)^dis (1 - fc l sipc l w lc fo 1 w td )cosd 1 s]e Cl ' E" [(l ~wcisy>ciw lc yeti w ld )sind 1 s (-y)cr 1 s fa 1 w ic ~ipciw lll )cosd l s]e c> '! E\, [(v»o 3 s - y><7 3 w c tpc 3 w a) sin d s (l-y>c 3 s y)t; 3 w c y)03 w d ) cos d s] e c * s E" [ (1 y>c 3 s у C 3 и 'гс fo 3 w d) sin d s (-y>cr 3 s y)o 3 w c -y>c 3 w d ) cosd s]e c * s (3.36) E" 3i E 3 (1 -y>c 5 s)chc s s \y>c s ch c 3 s (1 Cs >?) sh c 3 s v (s) = E n il[( o 1 fw ld )smd 1 s(y)sc 1 yiw lc )cosd 1 s]e ClS E" 1 [(ips Ci fwijsind, s (a t ipw id )cosd 1 s]e ClS E i [( з W Wid) sin d s (ys f 3 y>w c ) cos d s] e S Ј [(V й С з Vw c ) sin д " (o 3 y>w d ) cos d s] e c * s 1 E 31 V> J shc 3 s(ipsc s )ć hc 3 s\ E" 3 (y>s C s )shc 3 s y) chc 3 j W powyż szych wzorach, dla skrócenia zapisu, oznaczyliś my przez w ic, w id wyraż enia: c; di Wii ~cfdr i=l,. W i c cfdf Po podstawieniu znalezionych postaci drgań własnych do (3.6) otrzymamy poszukiwane rozwią zania. Przypadek II. Rozpatrzymy pierwszą moż liwoś: ćgdy dwa pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone, sprzę ż one, a cztery rzeczywiste, co ogólnie zapiszemy: C 3 П = 4 ifi, (3.37) r 3 = e, rs = e 3, r =e x ifi, r* = ~e, r 0 = -e 3.

19 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 411 Całki ogólne układu równań (3.10) napiszemy od razu w postaci trygonometrycznej: I = G,,e e,s cos f l s G l e eis s'mf 1 sg 3 she s G 4.che s G 5 she 3 s G 6 che 3 s, (3.38) tj = (G 11 & i G i d 1 )e e i s cosf 1 s (G li d 1 G 1 & 1 )e e^smf 1 s G 3 x 3 sh e s G 4 x 3 ch e s G 5 x 5 sh e 3 s G 6 x s ch e 3 s, gdzie Pj Gj (H\)rf l(iq -L W f ~ j'ffirf S/iq = xj = ftj iój, (3.39)./= 1,, X J = J> J - 3 > 4 > 5 > 6 ' GJ = у ( C > /G > G = I (G,, ig ), P,, Gj dla y' = 3, 4, 5, 6 są stałymi rzeczywistymi. Po analogicznych obliczeniach, jak w poprzednich przypadkach, otrzymamy nastę pują ce postacie drgań własnych: u n (s) = G" 11 [(y>d 1 s fd 1 w le y>& 1 w lf )smf 1 s (l yy& 1 sip& 1 w le ip<)\ w lf )cos f 1 s]e ei " Gi [(1 f i w t e у д у w lf ) sin / 1 s ( s f&i w le ip&yw if )cos f 1 s]e eis *3 G?"з 3 j [( (1 ipx 3 s)sh.e s y- che jj '> I "Y>^ she.? l (l r y* 3.s')che.yj (3.40) 4bt) G 5 (l ^s^shesj v she 3.? f (1 y>x 5 s)che 3 s *) (.$) = G^1t( v)wi / ó 1 )sin/ 1 J (^j ^1 vn' le )cos/ 1 j]e eis G" [(^5 ywi e) sin/! J (o, y>w lf ) cos/ x 5] е е»* G3 (y)s x 3 )she s y> che s\ e J GI rp she s (rps >t: 3 )che.sj G5 j (rps x 5 )sh.e 3 s che3^ J G\ she 3 s(rps x s )che 3 s\.

20 41 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E (3.6). W celu uzyskania rozwią zań należy powyż sze postacie u i v n podstawić do wzorów We wzorach (3.40) oznaczono: Vfi = elfi fi eifi 4. Drgania wymuszone W celu rozpatrzenia drgań wymuszonych weź miemy pod uwagę układ (.13). Postępując tak samo, jak przy analizie drgań swobodnych, układ ten przekształcimy do nastę pują ce j postaci, wygodnej w dalszych rozważ aniach: (4.1). d u I d A v I d 3 v d v dv M d u (Ml) d s fs J^r Ъ I T s 3 W d s W a7 ~А Ё 8jr = Ms,0, 1 A yts ę y ds r d 3 u d u д и I d*v ds ds A ds d v ds* 3 M d v = fi(.s,t). ^AElh Całki ogólne układu równań jednorodnych zostały wyznaczone w poprzednim rozdziale. Całek szczególnych bę dziemy poszukiwać metodą rozkładu według postaci drgań własnych (np. [4]), w nastę pują ce j formie: (4.) u(s, t) = v(s,t) = 0 yju (s)s n (t.), v (s)s (t). Po podstawieniu (4.) do (4.1) otrzymamy: 00 (ц 1)и ' п ' ipv' ipsv'n j yiv' " j ipsv 1 / M 1 S "~ 3 ~AE UnS ") = / l ( ' M ) ' 00 ipsu 1 / ~ fu' " v* r rpsu, 3 AE V» S " = fz(s,t), gdzie apostrofami oznaczono róż niczkowanie czą stkowe po s, kropkami zaś róż niczkowanie po t. W celu wyznaczenia niewiadomych funkcji S n (t), pierwsze równanie układu (4.3) pomnoż ymy stronami przez u k, drugie przez v k, a nastę pnie dodamy je stronami. W ten sposób otrzymujemy: 00 (/л 1)и ' п ' u k y>v' u k ipsv' n ' u k A y, v ' n " Uk ^ y>sv l v u k y)su' n 'v k (4.4) y 1 ę su] v k ~y>u' n " к д v' v Vk У > и п Щ п'щ L М М 3 и п и к 3 v n v k S \ =fiu k f v k.

21 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 413 Funkcje u, v spełniają układ równań jednorodnych (3.8). Mnoż ąc jak poprzednio pierwsze równanie tego układu przez щ, drugie przez v k otrzymamy: (4.5) 0 1) u' ' Uk~ y>sv' n vu k %pv'ń 'щ fsv'ń u k fo' u k y>su' y v k ^Wn"^-^v7vk fsu'ń v k ^nv k [iv'ń v k = 3fiq (u u k v v k ). Jak widać, pierwsze wyraż enie w nawiasie kwadratowym w (4.4) jest równe prawej stronie równania (4.5). Uwzglę dniając to i wyłą czając wspólny czynnik przed nawias otrzymamy: 00 (4.6) У (u u k v v k )I 3fiq S S n ) =fiu k f v k. Po obustronnym prż ecałkowaniu po długoś ci / i wykorzystaniu warunku ortogonalnoś ci (3.7) otrzymamy 3M (4.7) 3fiq S n S n = K (t), gdzie > Równanie (4.7) przekształcimy do postaci i Ut) = -. / (u v )ds o *. _. uq AE _ AE,. (4.7a) Ą ^ L _ Ą= W «. ( 0. Rozwią zanie równania (4.7a) przy identycznych warunkach brzegowych, jak dla drgań swobodnych i warunkach począ tkowych (4.8) S n (0) = 0, Ś n (0) = 0 ma nastę pująą c postać: t (4 9) З Д = ~ ] / ~ J ^(r)sink(r т )]Л = AE J 7Ś T N (T) sin [co n (i T)] dr. 3Mco 6 Mechanika teoretyczna

22 414 J. NIZIOŁ, A. PIENIĄ ŻK E Zatem całki szczególne układu (4.1) (drgania wymuszone cię gna) wyraż ają się następują co: OO CO I 4.10 «0,0 = ^u (s)s (t) = ^ 3 ^ u JK a (r)ń n[co n (t x)]dr, n=l n=l " 0 00 oo I»0> O = ^v (s)s (t) = ^ 3 ^ ^ j ^ (^sink^ T)]^. n l л =1 " O Całki ogólne układu (4.1) (drgania całkowite cię gna) mają nastę pująą c postać: (4.11) 00 ( u(s, t) = У u n (s)^c cosco td n sxaw B t ^ m f K n fx)ń n[co n (t r)]dr^, 00 t Ф, O = ^ v Q) j C cos co t Z> sinft) Г f А Г (т ) sin [co (t т )] Jrj, gdzie za и i w bierzemy cią gi funkcji, uwzglę dniając przy tym odpowiedni przypadek rozwią zania równania charakterystycznego. 5. Zakoń czenie Zaproponowana w pracy metoda znajdowania drgań wymuszonych liny z uwzglę dnieniem jej sztywnoś ci na zginanie jest metodą ogólną. Ze wzglę du na duże trudnoś ci rachunkowe uzyskanie efektywnych rozwią zań jest moż liwe jedynie przy uż yciu maszyn cyfrowych. Dotyczy to wyznaczania pierwiastków równania charakterystycznego. W pracy przedstawiono ogólną analizę ze wzglę du na uzyskanie rozwią zań w zależ nośi c od parametrów liny. Uwzglę dniona sztywność gię tna utrudnia wprawdzie tę analizę i nie pozwala na znalezienie rozwią zań analitycznych w formie zamknię tej, ale daje moż liwośi c zbadania jej wpływu zarówno na czę stośi cdrgań własnych, jak i na kształt funkcji własnych. Przy znajomoś ci funkcji własnych, przez zastosowanie uogólnionej ortogonalizacji, problem znalezienia amplitud drgań wymuszonych nie przedstawia trudnoś ci. Literatura cytowana w tekś cie 1. А. А. А Н А Н Е, В К р а с ч е т у к а н а т о в п р е д х р а н и т е л ь н сы ехт е й п о д в е с н ы хк а н а т н ы х д о р о г,л П И, В. В. Б о л о т и, но в и б р а ц и я хп р о в о д о в о з д у ш н ы хл и н и й э л е к т р о п е р е д а и ч иб о р б ес н и м и, И М Е И, М о с к а в 1959 (в ы п. 3). 3. J. HAJDUK, J. OSIECKI, Ustroje cię gnowe teoria i obliczanie, WNT, Warszawa S. KALISKI i wspуłautorzy, Drgania i fale, PWN, Warszawa G. KIRCHHOFF, Vorlesungen iiber Mechanik, Leipzig Z. ONISZCZUK, Drgania poprzeczne układu dwóch belek połą czonych elementem sprę ż ystym, Mech. Teoret. i Stos. 1, 1 (1974). 7. A. SIMPSON, On the oscillatory motions of translating elastic cables, J. Sound Vibr., 0, (197). з д а. т

23 DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU 415 Р е з ю ме К О Л Е Б А НЯ И П Р О В О А Д В П Л О С К О СИ Т С В И СА С У Ч Е Т ОМ Е Г О Ж Е С Т К О СИ Т Н А И З Г ИБ ж В р а б ое т р а с с м е с т к оь с нт а и з г и, бс о с т а в л я юя щ с аи лы К п о р о ж д а юя т пс е р е м о т ры е нс в о б о д не ы и в ы н у ж д е н е н ык о л е б а я н ип р о в о. д ап ри э т ом у ч т е н : ы е нй н во о в р е м о р и о л а и и с ц е н т р о б е жя ни ан е р ц и о ня нс аи л. а К о л е б а я н и еи н р а с п р е д е л ей н н оа г р у з к. о й З а д а а ч с в е д еа н к с и с т ее м д в ух д и ф ф е р е н ц и а лх ь унрыа в н е й н ив ч а с т н х ы п р о и з в о дх н ыч е т в е р т н о гп о р я д к. Да ля р е ш е ня и э т их у р а в н е й н и с п о л ь з о ы в аснл е д у ю ще ми р а з д е л ее н пи е р е м А е н х н ыи р а з л о ж н а л з и п р о в е н д ес т о ч ки з р е н я и п о д б оа р г е о м б у д т е п о л е зн е п ри р е ш к а б е л ь нх ыэ н е р г е т и ч ех с ск и с т е. м ее н пи о г л а в н м ы ф о р м м а к о л е б а н. и й е т р и ч ех с пк аи р а м е т о д : ы л и н е а р и з а, ц и я е тв р по р о в о. д ат а к й о п о д х д о е нй и с л е д у ю щй еп р о б л е м : м ыд и н а м и ч е со к до ег м п ф и р о в я а нк ио л е б а й н и S u m mary VIBRATIONS OF CABLE IN THE SAG SPAN PLANE WITH ITS BENDING STIFFNESS REGARD In this paper the free and forced vibrations of cables are analysed, bending stiffness of the cable, the Coriolis and ccntripedial components of the force of inertia, are taken into consideration. Vibrations are excited by continuous time dependent loads. The problem is described by a set of the two partial differential equations of fourth order. The following methods of solution arc applied: linearization, separation of variables and expansion into the series of free vibration forms. The analysis was performed from point of view of the proper choice geometrical parameters of cables. This approach will be useful in considering other problems like that of dynamical damping the cables sets. POLITECHNIKA KRAKOWSKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 9 paź dziernika 1975 r. \