NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM. 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM EDWARD WALICKI, JERZY SAWICKI 1. Wstęp Przepływy MHD w kanałach płaskich i okrą głych o niesymetrycznych kształtach, wystę pująe c w róż nych urzą dzeniach technicznych, budzą od dawna duże zainteresowanie wielu badaczy. W pracy [1] dokonano przeglą du zagadnień przepływów MHD w kanałach o róż nych kształtach i przekrojach poprzecznych omawiając rozwią zania analityczne, uzyskane przy pewnych dość znacznych założ eniach upraszczają cych. Prace [11, 12, 13] podają przykłady analizy przepływu płynnych metali w zakrzywionych kanałach, w obecnoś ci prostopadłego zewnę trznego pola magnetycznego. Badaniami płaskich przepływów MHD w kanałach o niesymetrycznych rozszerzeniach lub przepływów, które do takiego modelu dały się sprowadzić, zajmowano się w pracach [2,7,8]. Celem tej pracy jest uzyskanie numerycznego rozwią zania zagadnienia ustalonego płaskiego przepływu MHD w kanale z niesymetrycznym uskokiem, wywołanego gradientem ciś nienia bą dź ruchem ś cianki ograniczają cej przepływ (rys. 1). Przyję to nastę pująe c założ enia upraszczają ce, dotyczą ce właś ciwośi c płynu: gę stość Q = const, lepkość dynamiczna ц = const, przewodność elektryczna a = const. Tak zdefiniowany płyn lepki i przewodzą cy elektrycznie bę dziemy dalej okreś lać mianem płynu magnetycznego". Dodatkowo zakładamy, że wektor pola magnetycznego В (0, B 0,0) do ruchomej ś cianki kanału. jest prostopadły Równaniami okreś lają cymi stan mechaniczny" przepływają cej cieczy są przy tych założ eniach 1 : równanie cią głoś ci, magnetohydrodynamiczne równanie Naviera Stokesa, równania Maxwella, prawo Ohma. Badania przepływu płynu magnetycznego przeprowadzono dla przypadków: przepływu wywołanego gradientem ciś nienia, tzw. przepływu Poiseuille'a, Równania te przedstawiono w nastę pnym punkcie pracy.

2 380 E. WALICKI, J. SAWICKI przepływu wywołanego ruchem ś cianki, tzw. przepływu Couette'a, przepływu wywołanego łą cznie gradientem ciś nienia i ruchem ś cianki. Rozwią zanie zagadnienia ograniczono do przypadku przepływu dla małych liczb Reynoldsa (Re *J 50), dla których przepływ jest stateczny, a zastosowana metoda rozwią zania numerycznego jest stabilna i zbież na. ' И 4 UW Ф Ф Ф ь R>s. I Wymiary a i с (por. rys. 1) przyję to na tyle duż e, by przy zmiennych wymiarach b i d wpływ zaburzeń powstałych w miejscu zmian przekroju kanału na rozkład prę dkośi c na wlocie i wylocie z kanału był pomijalnie mały. 2. Równania ruchu płynu magnetycznego Równaniami opisują cymi ruch płynu magnetycznego dla przypadku przepływu ustalonego są: równanie cią głośi c równanie Naviera Stokesa równania Maxwclla prawo Ohma divv = 0, ( 1 ) e(vgrad)v = grad^+/uv 2 V+/x5, (2) rot = 0, rotb = IA,~j, (3) d\\b = 0, j=ff(e+vxb). (4)

3 ANALIZA PRZEPŁYWU M H D w KANALE 381 Przechodząc do płaskiego ustalonego przepływu płynu magnetycznego bę dą ceg o tematem pracy i uwzglę dniając jednocześ nie tzw. przybliż enie hydrodynamiczne, to znaczy zakładają c: małe wartoś ci wektora natę ż eni a pola elektrycznego E 2), oraz małe wartoś ci magnetycznej liczby Reynoldsa, sprowadzamy równania (1) i (2) do postaci: du dv n : ' I du du\ dp.,, dv dv\ dp. (6) przy czym uwzglę dniono (4). Równań tych uż yjemy teraz do opisu przepływu płynu magnetycznego w rozpatrywanym kanale (rys. 1). Wprowadzając funkcję prą du okreś loną zależ noś ciami : и = dw dw Т у > v = l* oraz eliminując ciś nienie z układu równań (6) otrzymamy: BW d BW 8C a 2 2 d 2 W + ^B 0 2 0~ = vac, (8) dx dy dy dx Q dy 2 gdzie С jest wirownoś cią. Jest ona zwią zana z funkcją prą du 4' zależ noś cią : ( 7 ) przy czym A oznacza operator Laplace'a dx 2 ' dy 2 ' Aby uzyskane rozwią zanie układu równań (8) i (9), równoważ nego układowi (6), było dogodne w praktycznych zastosowaniach, wprowadź my zmienne bezwymiarowe: x = Lx', у = Ly', u = Ł/w', v = Uv', P ~QU 2 p', W = UVP\ С = Re =, (10) 1.. L v przy czym sens oznaczeń jest nastę pują cy : U ś rednia prę dkość przepływu cieczy w wę ż sze j czę śi ckanału, L szerokość kanału w wę ż sze j jego czę ś, ci Re liczba Reynoldsa, H liczba Hartmana. *' Inaczej mówiąc spełniona jest zależ noś : ć Е Ц У х B). <ś 1.

4 382 E. WALICKI, J. SAWICKI Wprowadzając zależ nośi c(10) do równań (6) lub do równań (8), (9) otrzymamy bezwymiarową postać równań ruchu. Opuszczając w tych równaniach (dla uproszczenia zapisu) kreski przy wielkoś ciach bezwymiarowych otrzymujemy: AW=C. (12) 3. Warunki brzegowe Warunki brzegowe dla równań (11) i (12), dotyczą ce granic obszaru przepływu, wynikają z nastę pują cyc h założ eń: a) płyn na wejś ciu" i wyjś ciu" z kanału porusza się ruchem laminarnym, b) składowe prę dkośi c na ś ciance nieruchomej: stąd wynikają warunki u = 0, v = 0; (13) 8W 3W ~ = 0, = 0, V = const. (14) С П OS 3 3 ( 5, у oznaczają pochodne w kierunku normalnej i stycznej do ś cianki j, c) składowa prę dkośi c na ś ciance ruchomej: wynika stąd warunek ц, U, v = 0; (15) W = const. na tej ś ciance 5 '. Uwzglę dniając warunki (13), (14) i (15) oraz wykorzystując zależ nośi c(7) i (9) otrzymamy nastę pująe c wyraż enia 4 ': dla funkcji prą du * = Ж [sh Щ Mghl> c h Щ H Ą ± (sh Щ cth tf ch Щ ), (16) dla wirowoś ci Ś = CH H SH H r > w [ ~ ^SSF ~ V\ ~ B ' H^SH HR> CTH Я С Ь Я?2) ~ ( 1 7 ) 3 ) Warunek ten zwią zany jest ze sposobem obrania układu współrzę dnych. *' Parametry Л i В są wielkoś ciami zależ nymi od przyczyny wywołują cej ruch płynu: п р. A 12, В = 0 oznacza przepływ wywołany gradientem ciś nienia, zaś Л = 0, В = 2 przepływ wywołany ruchem ś cianki.

5 ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Schemat róż nicowy równań ruchu Pokrywając obszar przepływu siatką prostych, równoległych odpowiednio do osi współrzę dnych (por. rys. 1): X = x 0 + ih, (i = 1, 2,...), У = У о +Mh (./ = 1,2,...), otrzymamy kwadratową siatkę o kroku równym h. Zastę pując pochodne wystę pująe c w równaniach (II) i (12) prostymi wyraż eniami róż nicowymi [6] otrzymamy wzory dla 4 J itj oraz Ci.j w punkcie 0", w zależ nośi cod wartoś ci tych funkcji w wę złach są siednich: 1 Re Ci,j = ^ (C(.j+1 + C(,j 1 + C<+1,j + CI i.j jg KCI+I.J Ct i,j)q*t,j+1 l^r/ /.j i) + W t +i.j Ą, ijttt.j+i^ 08)!P7.j = w + 1. J + ^ 1.> + y / i.y +1 +V^. J 0 4A 2^.J 09) 5. Rozwią zanie równań róż nicowych Otrzymane w poprzednim punkcie pracy przybliż one równania róż nicowe rozwią zano metodą iteracji. Wartoś ci funkcji prą du i wirowoś ci na granicach obszaru obliczeniowego, tzn. na wejś ciu" i wyjś ciu" z kanału są znane i stałe w ruchu ustalonym. Na ś ciankach natomiast znane są tylko wartoś ci funkcji prą du. Wartoś ci wirowoś ci na ś ciankach są począ tkowo (jak w całym obszarze obliczeń) założ one moż liwie blisko przewidywanych, a nastę pnie przybliż ane w toku procesu iteracyjnego. Do poprawienia wartoś ci С na brzegach obszaru (tj. w wę złach oznaczonych przykładowo krzyż ykami" na rys. 1) wykorzystano zależ ność wyprowadzoną w pracy [9]. _ 3(V 2 y 0 ) C 2 3Ł/ Co w T TT' { 2 0 ) Aby uniknąć nieustalonych oscylacji pola wartoś ci funkcji wirowoś ci nie stosuje się w nowym cyklu iteracji wartoś ci bezpoś rednio wyliczonych z wzoru (20), lecz jej kombinację liniową z wartoś cią z poprzedniego cyklu. Dla nieruchomej ś cianki bę dzie С Г = С Г 1 '+ у [Co Cr 0 ], (21), gdzie: Co" 1 * poprzednia wartość brzegowa. Co nowa wartość brzegowa, Co 0 wartość brzegowa wprowadzona do nowego cyklu iteracyjnego.

6 384 E. WALICKI, J. SAWICKI Osobnego traktowania wymagają naroża wystę pująe c w obszarze przepływu. Dla naroża wklę słego wartoś ci brzegowe w punktach 6 i 7 poziomej ś cianki oraz w punktach 8 i 9 pionowej ś cianki naroża wyliczono posługując się zależ noś ci ą (21) zastosowaną odpowiednio do punktów 5, 10, 11. Wartość w punkcie 12 naroża musi być równa: Ci 2 С б С 8 (22) Dla naroża wypukłego wyprowadzono dwie róż ne wartoś ci z powodu duż ego gradientu wirowoś ci. Jedną z nich wyliczono przy uż yciu zależ nośi c (21) i odpowiednich wartoś ci w punktach 1 i 4, drugą przy uż yciu odpowiednich wartoś ci z punktu 1 i 3. 1/38 Przepływ płynu wywołany gradientem ciś nienia A *= 12, В =='0 ^ /, Rys. 2. Funkcja prą du V, Re = 20, H dxb=2x1 0,5, Rys. 3. Funkcja prą du 4', Re = 20, H = 1,0, \l^7////////////////////////////////////////ą 5,U5 2,361 2,391 W7Z7!7Z! /. Rys. 4. Funkcja prą du W, Re = 50, H = 0,5, ' /. Rys. 5. Funkcja prą du 4', Re = 50, Я > 1,0,

7 ANALIZA PRZEPŁYWU M H D w KANALE Wyniki obliczeń. Wnioski Zastosowany w pracy schemat róż nicowy dla magnetohydrodynamicznych równań Naviera Stokesa charakteryzuje się dla małych liczb Reynoldsa dobrą stabilnoś cią i zbieżnoś cią. Obliczenia przeprowadzono dla liczb Reynoldsa Re = 0, 1, 5, 10, 20, 50, liczb Hartmana H = 0,1, 0,5, 1, kroku siatki h = 0,1, wymiary kanału przyję to:, 3x1. Rysunki 2 ^15 przedstawiają sporzą dzone na podstawie obliczeń wykresy linii Przepływ wywołany ruchem ś cianki A = 0, В = 2, 200, ,366 2, , , , ,666 \///>,'////л ''7///////.'///////S////x Rys. 6. Funkcja prą du!ft Re = 20, H = 0,1, Rys. 7. Funkcja prą du 4', Re = 20, H = 1,0 200,666 2,620 2,376 2, i 1,620 \ \ '/ , / /. Rys. 8. Funkcja prą du dxb = X P, Re 2x1 50, H = 0,1, Rys. 9. Funkcja prą du W, Re 50, H = 1,0, 5 Mech. Teoret. i Stos. 3 4/84

8 386 E. WALICKI, J. SAWICKI Przepływ wywołany ruchem ś cianki i gradientem ciś nienia A = 6, В = 1 199/17 199, ,367 20UŁ17 / /, Rys. 10. Funkcja prą du 4\ Re = 20, H = 0,1,, 1, ,660 _ I I 1 1,910 j I I 1 23Ю J 1 2,376 " \ \ у //;.'//// \ '/! 2377 ^ 2,382 '/ /. Rys. 11. Funkcja prą du Ч ', Re = 20, Н = 1,0, dxb = 2х 1 Т 99Л Т7 / Rys. 12. Funkcja prą du V, Re = 50, Я = 0,1, rfxt = 2xl 0/////////////////////, Rys. 13. Funkcja prą du V, Re = 50, dx6 = 2x1 Я = 1,0, У 7 = const., dla róż nych liczb Reynoldsa (Re = 20, 50) oraz rozszerzeń kanału. Fakt ruchu ś cianki został uwidoczniony na wykresach zaznaczeniem wektora prę dkośi cu. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i analizy wykresów funkcji prą du moż na sformułować nastę pująe c wnioski dotyczą ce przedstawionego tutaj płaskiego, ustalonego przepływu płynu magnetycznego w kanale z niesymetrycznym uskokiem w obecnoś ci poprzecznego do kierunku przepływu płynu pola magnetycznego: dla ś cianki nieruchomej a) linia oderwania charakteryzuje się wyraź ną symetrią wzglę dem osi geometrycznej uskoku dla Re > 20,

9 ANALIZA PRZEPŁYWU M H D w KANALE 387 b) obszar zastoju ze wzrostem liczby Reynoldsa nieznacznie roś nie, c) ś rodek wiru w obszarze zastoju leży blisko geometrycznej osi uskoku, d) wzrost liczby Hartmana powoduje powstanie wyraź nej asymetrii linii oderwania, dla ś cianki ruchomej i przepływu bezgradientowego: e) obszar zastoju ze wzrostem liczby Reynoldsa nieznacznie wzrasta, f) ś rodek wiru ze wzrostem liczby Hartmana oddala się od geometrycznej osi uskoku zgodnie z kierunkiem przepływu, dla ś cianki ruchomej i przepływu wywołanego gradientem ciś nienia: g) ze wzrostem liczby Reynoldsa linia oderwania charakteryzuje się wyraź ną symetrią wzglę dem osi geometrycznej uskoku, h) wzrost liczby Hartmana powoduje powstanie wyraź nej asymetrii linii oderwania. Literatura cytowana w tekś cie 1. А. Б. В А Т Л Ж И, Н Г. А. Л Ю Б И М О, ВС. А. Р Е Г И Р Е, РМ а г н и г п о г и д р о д и н а м и чт е ес чк еи н е и ял к а н а л а х, И з д. Н а у к, а М о с к а в А. Б. Ц И Н О Б Е, РМ а г н и т о г и д р о д и н а м и ч о ебс тк ое ке а н ит ее л, И 3. W. J. PROSNAK, Mechanika płynów, t. 1, PWN, Warszawa з д. З и н а т н, ер и га H. PEYRET, J. LADEVESE, Resolution numerique de I'ecoulement dans un canal avec elargissement brusque, Euromech Coll. 27 on Numerical methods for solving the Navier Stokes equations, Aug , 1972, Jabłonna, Polska.

10 388 E. WALICKI, J. SAWICKI 5. E. WALICKI, Stabilnoś ć i zbież noś ć prostego schematu róż nicowego dla równań Naviera Stokesa Zeszyty Naukowe P. Ł. Mechanika, z. 29, Łódź E. WALICKI, Przepływ płynu lepkiego kanałem o nagłym rozszerzeniu, ABM t. XX, z. 2, K. SUDON, Y. TOMITA, Flow of Liquid Metals with a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 17, No 108, K. SUDON, Y. TOMITA, Flow of Luquid Metals with a transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 17, No 114, E. WALICKI, A. TOPOLIŃ SKI, Powolny przepływ cieczy lepkiej w kanale o nagłym lokalnym rozszerzeniu. Mech. Teor. i Stos., vol. 14, 1, D. POTTER, Metody obliczeniowe fizyki, PWN, Warszawa Y. TOMITA, K. SUDON, Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 22, No 167, Y. TOMITA, K. SUDON, Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 22, No 173, Y. TOMITA, K. SUDON, Flow of Liquid Metals in Curved Channels under a Transversely Applied Magnetic Field, Bull. JSME, vol. 23, No 176, Р е з ю ме Ч И С Л Е Н Н Й Ы А Н А Л ИЗ Т Е Ч Е Н Я И М ГД В К А Н А ЛЕ С Н Е С И М М Е Т Р И ЧМ Н Ы Р А С Ш И Р Е Н М И Е В р а б ое т п р е д с т а в о л еч ни с л е н е н ро е ш к о с и т п ри м р а с ш а л ых з н а ч е н х и яч и с ла Р э н н о л ъа д и с Г а р т м е н и, се о о т в е т с т в у е ю тще еч е ню и э л е к т р о п р о в й о джн ио д а нв к а н ае л с м и р е н и. емм ГД у р а в н е я н ин а в ъ е С т оа кдс ля п л о с к о гт е ч е ня и р е ш р а з н о с т. ерй а с с м о т ро етне ч е не и в к а н а лх а с р а з н ы и м р а з м л е н и д ля ч и с л е Р е й н о л ъа д Re с г Ј 50 и ч и с л е Г а р т м л и н ий т о к. а е р и а мр а с ш е с т нм ы н е с и м м е т р и м ч н ы е ы н м е т о дм о к о н е ч нх ы и р е н. ир яе з у л ь ты а тв ы ч и с а нн < 1,0 п р е д с т е в ы л ев н в и де г р а ф и кв о Summary NUMERICAL ANALYSIS OF MHD FLOW IN THE CHANNEL WITH A UNSYMMETRICAL CAVITY In the paper the numerical solution fitted of the electrical conductance fluid flow with low Reynolds number and low Hartman number in the channel with unsymmetrical cavity is described. The method of finite differences is used to solve the MHD Navier Stokes equations for plane flow. The flow through channels with different dimensions of cavity is considered. The results of numerical investigations for Reynolds number Re < 50 and Hartman number Ж 1,0 are shown in graphs of streamlines. Praca została złoż ona w Redakcji dnia 27 stycznia 1981 roku