OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1.

Transkrypt

1 M ECHAN IKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3, IS (1977) OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ E NORMALNYCH MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp Przedmiotem pracy bę dzie optymalizacja kształtu (szerokoś ci) belki spoczywają cej na podłożu sprę ż ystym Winklera z uwagi na minimum obję tośi cprzy ograniczeniu naprę żń e normalnych. W tym celu w prostoką tnym, kartezjań skim układzie współrzę dnych Otx rozważ ymy belkę o skoń czonej długoś ci, sprę ż ystą, jednorodną, izotropową o przekroju prostoką tnym (rys. 1). p =kx Rys. 1 Linia ugię cia belki opisana jest znanym równaniem róż niczkowym (1.1) (EJx")" + kx = q(t), gdzie E oznacza moduł Younga, J moment bezwładnoś ci, x(t) ugię cie belki, q(t) obcią ż enie, к współczynnik podatnoś ci podłoż a. Rozważ ać bę dziemy belkę spoczywają ca na podłożu o stałym współczynniku podatnoś ci к, o stałej wysokoś ci i zmiennej, lecz symetrycznej wzglę dem osi belki, szerokoś ci. Szerokość belki moż emy wyrazić w postaci (1.) \EJ(t) 1 *(0 = h,. 3 У E = h 3 E m ( 0 ' gdzie mit) = EĄ t).

2 360 M. MAKOWSKI, G. SZEFER Szukanie minimum obję tośi cbelki przy takich założ eniach równoważ ne jest szukaniu minimum funkcjonału] m(t)dt. o W dalszym cią gu pracy belkę bę dziemy traktować jako układ sterowania, rozwią zując nieklasyczny problem wariacyjny na podstawie metody programowania dynamicznego BELLMANA.. Sformułowanie problemu Rozważ my belkę opisaną równaniem (.1) MO*"]" = q kx. ' Warunek ograniczają cy naprę ż eni e normalne (.) \o\<o d ; funkcjonał postaci (.3) J 0 = / (OA; Należy wyznaczyć taki kształt belki, który przy spełnieniu (.1) i (.) realizuje minimum funkcjonału J Rozwią zanie problemu Ograniczenie (.) zastą pimy równoważ nym ograniczeniem na drugą pochodną ugię cia. Korzystając ze wzoru n n \M\ \EJx"\ h \Ex"h\ (3.1). a= w = j = i uwzglę dniając (.), otrzymujemy (3.) \x"\ < o o, df cr, gdzie OQ = Eh Oznaczając x" = v, które traktujemy jako nowe sterowanie [1], moż na sformułowany problem przedstawić nastę pują co : (3.3) [m(t)x"]" = q kx, (3.4) x" = v, (3.5) D = {v: \v\ < a 0 ), i (3.6) min I m{t)dt.

3 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M 361 Równanie (3.4) przedstawiamy w postaci układu równań rzę du pierwszego: (3.7) i = x, x = v, gdzie x, = x. i Umiejscawiając zagadnienie szukania min/m(t)dt w szerszej klasie ze zmienną dolną VSQ b granicą całkowania, mamy (3.8) f(x, t) = min i m(u)du, ч ел J gdzie x = (x x, x ). Równanie BELLMANA [1] dla wyznaczenia funkcji / ma postać] (3.9) 0 = min et cx t dx J Zależ ność w nawiasie kwadratowym od v jest liniowa, czyli minimum tego wyraż enia bę dzie osią gnię t e na brzegu Q. Mamy więc równoważ ną postać równania Bellmana (3.10) 0 = inf\m+^ + p x a stąd otrzymujemy sterowanie optymalne dx Я /* (3.11) v = o osgn^r, które moż na zapisać w równoważ nej postaci (3.1) \x"\ = o o. Rozwią zaniem optymalnym postawionego zadania jest więc belka równomiernej wytrzymałoś ci. Jakoś ciowy charakter sterowania został znaleziony stosunkowo prosto, jednak w dalszym cią gu należy poszukać WKW na to, aby belka była równomiernej wytrzymałoś ci i podać jej konstrukcję. ox 4. Belki o równomiernej wytrzymałoś ci na podłożu sprę ż ystym 4.1. Przypadek krzywizny stałego znaku. Rozważ my począ tkowo najprostszy przypadek, czyniąc zastrzeż enie (4.1) x">0 dla fe<0,/>. Warunek okreś lająy c kształt belki ma postać: a = a d, który zgodnie z (3.1) moż na zapisać л Ex"h (4.) = a d. 1 5 Mechanika teoretyczna 3/77

4 36 M. MAKOWSKI, G. SZEFER Równanie linii ugię cia belki po wykorzystaniu wzoru na moment bezwładnoś ci przyjmuje postać > t 6 Ex"h b(t)\ =q kx lub [a d b(t)\" = q kx po wykorzystaniu zwią zku (4.). Mamy stąd I (4.3) Do wyznaczenia poszukiwanego kształtu belki mamy więc układ dwóch równań (4.) (4.3). Są to równania róż niczkowe rzę du drugiego, należy więc dołą czyć do nich po dwa warunki począ tkowe lub brzegowe ze wzglę du na x(t) i b(t). %(t)*ą 0. Rys. ' Jako przykład rozważ my belkę utwierdzoną na jednym i swobodną na drugim koń cu, obcią ż on ą w sposób stały q(t) = q 0 const. Rozwią zanie równania (4.) ma postać Oj Eh t + Ci t+c, a po uwzglę dnieniu warunków począ tkowach x(0) = x'(0) = 0 otrzymujemy (4.4) Od o X = t Eh Po wstawieniu zwią zku (4.4) do (4.3) otrzymujemy równanie (4.5) którego rozwią zanie ma postać (4.6) ti,'a 6 / k<r к а, d Л A 3?o h a u Eh 3 Warunki począ tkowe dla b(t) otrzymujemy uwzglę dniają, cże moment i siła poprzeczna powinny być równe zeru dla t = /. Mamy wię c: I EJx"\ t=l = 0=>b(l) = 0, (EJx"y\ t.=, = 0=>b'(l) = 0.

5 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M 363 Uwzglę dniając te warunki mamy poszukiwany kształt belki Do wyniku (4.7) moż emy dojść również inną metodą. Z założ enia x" = a 0, otrzymuk jemy reakcję podłoża równą a 0 t. Oznaczmy к (4.8) q(t) = a 0 cr 0 t. Moment od obcią ż eni a q(t) liczony z prawej strony przekroju ma postać // к \ (4.9), M(t) = J Uo a 0 u \(u t)du. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy (4.10) M W._, 0 J' t + _^(_C_4' + jl). Powyż szy wynik otrzymaliś my przy założ eniu x" > 0, czyli M(t) jest ujemne dla t e <0, /). Poszukiwany kształt belki otrzymamy, wykorzystując wzór > (4.11) b{t)= W(t)\. naл Ponieważ \M(t)\ M(t), otrzymujemy ostatecznie wzór (4 1) b(t) = 'Ж ** H «4 M Ł ^ x i L ^ J «! Ą identyczny ze wzorem (4.7) otrzymanym w poprzedniej metodzie. Otrzymaliś my optymalny kształt belki przy uczynionym a priori założ eniu x" > 0 dla/e(0,/>. Wyprowadzimy obecnie warunek konieczny i wystarczają cy na to, aby x" > 0 dla t e (0,/>. Twierdzenie (4.1) Założ enie: x" > 0 dla re(0,/>. k Teza: q 0 ^o 0 l Ss 0. Dowód: x" > 0 => x" = cr 0 x = ~ 0 / => /ex = y o', ч df к, Oznaczmy q(t) = с 7 0 у о 0 Г. Ponieważ q(t) jest funkcją maleją cą, musi przyjmować wartoś ci dodatnie dla t e <0, /), gdyż w przeciwnym przypadku nie byłoby spełnione założ enie x" > 0. Zauważ my, że

6 364 M. MAKOWSKI, G. SZEFER wartość równą zeru może przyjmować q{t) jedynie dla t = l i że prawdziwa jest następują ca implikacja: к q 0 IT (f 0 t >0 к dla t e <0, /> => q 0 ^ a 0 l 5* 0, cbdo. A Z Twierdzenie (4.) Założ enie: q o ^ <y o l >0. Teza: Dowód: x">0 dla re<0,/>. 4o ~o 0 l ^ 0 => 9(0 f q 0 Ł^0fi > 0 dla r 6<0, /). Moment obliczony od obcią ż eni a q(t) przyjmuje wartoś ci ujemne, czyli x" przyjmuje wartoś ci dodatnie, cbdo. Otrzymaliś my więc warunek konieczny i wystarczają cy na to, aby x" było dodatnie w postaci nierównoś ci (4.13) q 0 ^<r 0 i ź O. Wzór (4.1) przedstawia więc optymalny kształt belki przy założ eniu, że parametry: к q 0, k, a 0 i / spełniają relację: q 0 a a l ^ 0. Zauważ my, że jeż eli we wzorze (4.1) przejdziemy w granicy z к do zera otrzymamy znane rozwią zanie Galileusza: (4.14) 6(0 3ffo { 6q 0 l 3l q 0 h a d h a d h a d 4.. Przypadek zmiany znaku krzywizny. Rozważ ać teraz bę dziemy przypadek z jednokrotną zmianą krzywizny parabol w przedziale (0,0; zakładamy wię c, ż e: (4.15) c f cr 0 dla 0 ^ t ^ a t, ~ 1 cr 0 dla a x < t < /, gdzie a x jest nieznanym punktem leż ą cym wewną trz przedziału (0, /). Na podstawie założ enia (4.15) mamy *i(0 1 a0 t dla 0 < t < a t, a po uwzglę dnieniu warunków zszycia: Otrzymujemy = x (a 1 ), x[(a t ) = x' (aj). x (t) = Y a ot + a 0 a 1 t a 0 a\ dla a x < t < /.

7 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M 365 Przyjmując (4.16) q(t) = к q 0 at o d l a o< 1 ~ k { Y' t + <J oo i t a 0 alj dla a t < / < /, sprowadzamy zagadnienie do belki statycznie wyznaczalnej. Moment od obcią ż eni a q(t) dla a x <? < / ma postać W = J ^ o /c( ^ M +cr oa l M ff 0a j](m / )rfm. Po wykonaniu całkowania otrzymujemy / l t \ к IP 1* t*\ (4.17) M{t) = (r/ 0 + A:o 0 «f)^/ ~ ~j + ^("З ' 4 Г / + Podobnie w przedziale 0 < t < a x mamy,,.... (a, t) к а 0 1а * a] f 4 \ (4.18) M(0 = g o ± l ^ + ^ ± j t + ^ +,J, l a\\ kil 3 1* crt\ + (q 0 + k o o a\) la, / H + у "o \T 0 l 4 1*/ l' 3 'l a?\ I +^ (T 0a 1l ^ y f l I l + _ 6 _ / Wartość momentu w punkcie t = a x wynosi. (4.19) M(a x ) = («o+^oa )( ai / _C ^ + A o 0 ( J ai ^ ^ ] + + к (т 0 а Л T AI+ ~6~}' Na podstawie zwią zku EJx" = Mi założ enia, że w punkcie a x nastę puje skok x" oraz faktu, że moment od obcią ż eni a cią głego jest funkcją cią głą, wnioskujemy, że M(a t ) = = 0. Warunek M(a x ) = 0 pozwala wyznaczyć nieznaną wartość odcię tej punktu, w którym nastę puje zmiana krzywizny. Po przekształceniach wyraż enia (4.19) i przyrównaniu do zera otrzymujemy równanie stopnia czwartego Ш ^,» + (^ +^). ; _(^ + 4,) 0 l + (j ^4,f o. Rozwią zanie tego równania ze wzglę du na a x pozwoli wyznaczyć optymalny kształt belki po wykorzystaniu zwią zku b(t) =, f \M(t)\.

8 З бб М. MAKOWSKI, G. SZEFER ' Pierwiastki równania stopnia czwartego okreś lają znane wzory, jednak w naszym przypadku istotne jest znalezienie WKW na to, aby równanie (4.0) posiadało dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty w przedziale (0, /). W tym celu oprzemy się na nastę pują ce j definicji i twierdzeniu []: Definicja: Jeż eli w cią gu skoń czonym liczb rzeczywistych С 1г C,, C n zachodzi dla 1 < к < n l nierówność C k x C k+1 < 0, to mówimy, że para liczb C k, C k+l stanowi odmianę. Również w przypadku, gdy jest C k x C t + P + I < 0, przy czym C k+s = 0 dla s = 1,,......,p (1 < к,1 < p, k+p < «), to mówimy, że para liczb stanowi odmianę. W cią gu, 3, 5, 1, 0,, 7, 0, 0, 9, 5 odmianę tworzą pary: 3, 5;,1; 7, 9. Mamy więc trzy odmiany w tym cią gu. Reguła Fouriera. Tworzymy dla danego wielomianu f(x) stopnia n ciąg jego pochodnych: f(x), f'(x), f"(x), f m (x). Pochodna f w (x) jest stała. Oznaczmy przez N(x 0 ) ilość odmian w cią gu liczb f(x 0 ), f'(x 0 ),...,f m (x 0 ). Twierdzenie Budana Fouriera. Niech f(x) bę dzie wielomianem rzeczywistym i niech a < P,f{a) ф 0, f(fi) ф 0. Wtedy ilość zer wielomianu f(x) w przedziale (a,/s) wynosi N(a) N((}), lub jest od tej liczby mniejsza o liczbę parzystą. Rozważ ając M(a x ) zauważ amy, że / jest dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu (gdyż M(l) = 0 i M'(l) = 0). Wielomian M(c x ) moż na więc rozłoż yć na czynniki:, 1 4, i<? 0, 3, \ M( aj = ( a i / ) ^ ^ ] + ^ + T P. Wystarczy teraz zbadać zera drugiego czynnika w przedziale (0, /); opierając się na twierdzeniu Budana Fouriera mamy: /J'(«I) = a t 14 l, Mamy więc N(0) =. A"(«i) =, л (о) = 4^+4- / >. 5к а п 5 "... Л '(0) = ~i < о, 5 Л "(0) = > 0. 4 h"(l) = > 0.

9 л OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M 367 Jeż eli /?(/) bę dzie ujemne, wtedy N(l) = 1 i zgodnie z twierdzeniem Budana Fouriera ilość zer h(ai) w przedziale (0, /) wynosić bę dzie N(0) N(l) = 1. Otrzymaliś my więc WKW na to, aby równanie (4.0) miało dokładnie jeden pierwiastek leż ąy c w przedziale (0, /) w postaci lub po przekształceniu 5 5ka0 (4.1) q o ~a o F <0. Rozwią zując równanie kwadratowe 1, 14, 1<7o 3 a\ z la.+ = 1 ± + z l = 0, A:cr 0 5 otrzymujemy dokładnie jeden pierwiastek leż ąy c w przedziale (0,/) (4 ) = / 'l/ ^ l 5 у 5 5ka 0 Jeż eli rozważ ymy przypadek ogólny, gdy obcią ż eni e jest dowolną funkcją q(j) i założ ymy, że x" zmienia znak w przedziale (0, /) n razy w punktach a l,a, a, to dochodzimy do nastę pują ceg o układu równań: / л jq(u) (u a n )du ke 0 ^V (_ Щ Li JL Ш a fc 1 " '..., 7 P I" a{\ +K( 1 ) l + 4 y y«,+y = «, * i " i +( iy i 4 a 0 ( 4 fl «+ 4 ' L+ 4r) +? / а а \ J 9(«)(««)^ ^ 0( «+ а ) ( f l f l 3 _JL ^ +, k I <4 a* a%\,, Jej a? a \

10 368 M. MAKOWSKI, G. SZEFER \ / Ci u \ q(u) (u a^du kctoi a ) (OjOz ~ ч Г + к I al a\ a\ \, + cr 0 l ^ Oj + ~ + k a 0 a Ł ( = 0. Jeż eli istnieje rozwią zanie tego układu równań spełniają ce warunek 0 < a x < a <,<...< a < l, to daje ono poszukiwane punkty zmian krzywizny parabol. 5. Zakoń czeni e W pracy wykazano, że optymalne kształtowanie belek na podłożu sprę ż ystym, z uwagi na minimum obję tośi cprzy ograniczeniu naprę żń enormalnych, prowadzi do belek równomiernej wytrzymałoś ci. W odróż nieniu od znanych rozwią zań układów statycznie wyznaczalnych wyznaczenie kształtu belki na podłożu winklerowskim nastrę cza poważ ne trudnoś ci. W pracy ograniczono się jedynie do przypadku belki jednoprzę słowej, otrzymując ś cisłe analityczne rozwią zanie. Poszukiwanie optymalnego rozwią zania dla belki cią głej pa podłożu Winklera wymagałoby już odpowiedniej procedury numerycznej. Literatura cytowana w tekś cie 1. R. BELLMAN, S. DREYFUS, Programowanie dynamiczne, PWE, Warszawa A. FELDBAUM, Podstawy teorii optymalnych układów sterowania automatycznego, PWN, Warszawa 1 3. J. Tou, Nowoczesna teoria sterowania, WNT, Warszawa A. TUROWICZ, Geometria zer wielomianów, PWN, Warszawa Р е з ю ме О П Т И М А Л Ь Е Н ПО Р О Е К Т И Р О В Е А НБ ИА Л КИ Н А У П Р У Г М О О С Н О В А НИ И П РИ О Г Р А Н И Ч Е И Н ИВ Е Л И Ч И Ы Н Н О Р М А Л Ь НХ Ы Н А П Р Я Ж Е Й Н И В р а б ое т р а с с м о т а р ез на д аа ч о б о п т и м а л й ь нф о о р ме б а л к, ил е ж а щй ен а у п р у м г о о с н о в а и н и В и н к л е. р Иа с к о м м ы я в л я е я т см и н и м у о б ъ еа м п ри о г р а н и ч и е нв ие л и ч ы и н н о р м а л ь х н ны а п р я ж е н и. й П ри п о м о и щ д и н а м и ч е со кп ор г о г р а м м и р оя в па он ли у ч о е нр е ш е не ив в и де р а в н о п р о й ч н о б а л к. ид ан м е т д о п о с т р о ея н т иа к й о б а л к, ил е ж а щй ен а у п р у м г о о с н о в а н. и и Summary OPTIMUM SHAPE DESIGN OF A BEAM RESTING ON ELASTIC FOUNDATION WITH NORMAL STRESS RESTRICTIONS In the paper the problem of shape optimization of a beam resting on elastic foundation is formulated. The problem of minimum weight is considered, under the condition of limited normal stresses. The solution is obtained by means of dynamic programming. The problem of a beam resting on a Winkler type elastic foundation of uniform strength is considered in detail. POLITECHNIKA KRAKOWSKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 15 listopada 1976 r.