MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU ZGINANEJ PŁYTY
|
|
- Laura Kurowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 11 (1973) MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU ZGINANEJ PŁYTY TRÓJWARSTWOWEJ HENRYK MIKOŁAJCZAK, BOGDAN W o S I E W I С Z (POZNAŃ) 1. Uwagi wstę pne Płyty trójwarstwowe, z uwagi na swoje zalety, znajdują coraz szersze zastosowanie także w konstrukcjach inż ynierskich. Obliczenia statyczne tych płyt, pomimo róż nych założ eń upraszczają cych, wymagają duż ego nakładu pracy rachunkowej. Stosunkowo prosty model oparty na założ eniach HOFFA [1] prowadzi do układu trzech równań róż niczkowych czą stkowych (2.1) lub równoważ nego im jednego równania rzę du ósmego. Praktyczne wyniki, poza nielicznymi wyją tkami, uzyskać moż na tylko na drodze obliczeń numerycznych. Uniwersalną metodą, doskonale przystosowaną do elektronicznej techniki obliczeniowej, jest metoda elementów skoń czonych szczegółowo opracowana w literaturze [2], [3], [4], [5], [6]. Jej kluczowym problemem jest znajomość macierzy sztywnoś ci pozwalają ca na ułoż enie ogólnego programu obliczeń na drodze standardowego postę powania. W pracy poniż szej przedstawiono ogólną postać macierzy sztywnoś ci dla rozważ anego zagadnienia, uzyskując ją na dwóch róż nych drogach: albo korzystając z metody ortogonalizacyjnej zastosowanej uprzednio do zagadnienia płaskiego [7], albo z warunku na minimum energii potencjalnej odkształcenia sprę ż ystego. Na zakoń czenie przedstawiono pewne wyniki liczbowe, przyjmując podział płyty na elementy prostoką tne o pię ciu stopniach swobody w każ dym wę ź. le 2. Podstawowe założ enia i zależ nośi c Rozważ aniami obję to płytę trójwarstwową symetryczną wzglę dem płaszczyzny ś rodkowej (rys. 1), o warstwach zewnę trznych spełniają cych założ enia teorii płyt cienkich i teorii tarcz i o warstwie ś rodkowej stałej gruboś ci, nieodkształcalnej w kierunku pionowym (założ enia HOFFA) [1]. Zagadnienie moż na opisać przez trzy funkcje przemieszczeń: u(x,y) przemieszczenie w płaszczyź nie ś rodkowej warstwy dolnej w kierunku osi.v. v(x,y) przemieszczenie w płaszczyź nie ś rodkowej warstwy dolnej w kierunku osi y, w(x,y) ugię cie pionowe płyty jednakowe dla wszystkich warstw.
2 474 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Równania równowagi zagadnienia mają postać [8], [9]: (2 1) hb l v (l v 2 )G d2 w I d 2 v u (2.2) (2.3) dx 2 2 dy 2 Edh 1y d 2 u 2 dx dy e 2 1 y d 2 dy^ ~2 dx 2 ' 2 dx dy (1 SN Edh l(l v 2 )G w (2h 2Edh (\ v 2 )G w (2h 2Edh d) dw bx = o, 6) dw = 0, dy (1 1' 2 )С 7 и,(2л <5) du (\ v 2 )G w (2h d) dv 2Eóh ex 2Edh - I 2 ' r. I""' ' 2V2 (l v 2 )C7 V 2 V 2 w (2Aó) 2 ) 2E5 AEbh w =?(i *2 2Eb ' ф.у ) i Oznaczenia: Rys. 1 E moduł Younga, v liczba Poissona, G w moduł ś cinania dla warstwy ś rodkowej, 6 grubość płytek zewnę trznych, 2h grubość warstwy ś rodkowej, q obcią ż eni e prostopadłe do powierzchni płyty, D sztywność gię tna płytek zewnę trznych. Równania (2.1) i naturalne warunki brzegowe moż na otrzymać z funkcjonału energii potencjalnej odkształcenia sprę ż ystego, który ma postać [10] M *.4//M( )V d 2 w d 2 w u rv 1 Ix^lfy 2 / с и V du dv \ v I du V. du dv V \\dxj I 2r dx, dy Ą, i,,,,, 2 dy dx 1 v / ć lz; \ 2 1 \ u 2 w 2h d dw (2h ó) 2 I dw \ 2 lf 2 h v 2h ó dw (2h d) 2 Ч Г ~Щ \ }}dxdy f jqwdxdy. 2h dy'
3 MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 475 Wielkoś ci statyczne dla tego typu płyt trójwarstwowych dane są przez poniż sze wyraż enia róż niczkowe. Wypadkowe siły tarczowe w płytkach zewnę trznych: (2.5) (2.6) {2.1) E6 l du dv \ v 2 \ dx V ' ~8j Ed 1 Y У V I N x y I dv д у Ed I du ~~W v)~\~dj du\» =. д х I dv д х Naprę ż eni a styczne w warstwie ś rodkowej (T Z, r^z) i wypadkowe siły tną ce (N xz, N yz ): (2.8) ' u 2h6 2h5 dw dw\ N xz = (2Л S) x xz = G w (2hd)[ r jt ~~2h д х )' (2.9) N yz = {2h S) r» = G w {2h ó) ^ 2hd dw 2h д у Wielkoś ci płytowe (momenty m x, mniy, y, m xy i siły poprzeczne q x, q y ) okreś lone zgodnie z teorią płyt cienkich izotropowych ld 2 w d 2 w\ (2.10) m x = (2.U) m = d 2 w \ д у 2 d 2 w v dx 2 ' (2.12) (2.13) m xy = (1 v)d D^w), d 2 w dxdy (2.14) Ь = -D i {V 2 w). dy Do dalszych rozważ ań obszar A płyty trójwarstwowej podzielono na podobszary A k (k = 1,2,...,r). Podobszary te nazywa się elementami skoń czonymi. Przemieszczenia w A: tym elemencie г /, v k, w* aproksymować bę dziemy poniż szymi wyraż eniami macierzowymi (2.15) M* = [Ф ]{и } = [Ф \Ф \... Ф ] ul ui (2.16)
4 476 H. MIKOŁAJCZAK, В. Wosmwicz (2.17) w" = [Q k ]{W k ] = [SĄ SĄ... Q k m] W wyraż eniach (2.15) f (2.17) U k, V\, W) (/' = 1, 2,...,n;j = 1, 2, m) oznaczają odpowiednio n parametrów zwią zanych z przemieszczeniem w kierunku osi x w k tym elemencie, n parametrów zwią zanych z przemieszczeniem w kierunku osi y, oraz m parametrów zwią zanych z ugię ciem płyty. Wyraż enia te mogą oznaczać np. wartość funkcji przemieszczeń w wyróż nionych punktach elementu (w wę złach), wartość pochodnych funkcji przemieszczeń w tych punktach itp. Funkcje Ф \ = Ф \(х,у ), W k = W k {x,y), Q) = Q)(x,y) okreś lają w jaki sposób przemieszczenia w A>tym elemencie zaletą, od współrzę dnych x,y i parametrów wę złowych U k, V k, W). Funkcje te nazywane są funkcjami kształtu. Sposoby tworzenia funkcji kształtu oraz warunki jakim muszą odpowiadać znaleźć moż na np. w pracach ZIENKIEWICZA [4], KOLARA i innych [6]. 3. Metoda ortogonalizacyjna Rozważ my k ty element wyodrę bniony ze zginanej płyty trój warstwowej. Na podstawie (2.15) 4 (2.17) i (2.1)(2.3) po pewnych przekształceniach otrzymamy równania równowagi w postaci д 2 Ф * 1~Ъ 2,{*/*} = fi(x,y, Ul U k, V\, V k, W\, W k ), (3.2) E8 l v 2 д у 2 2(1 = М х,у,и,vi, viv k, W\, W k m) d*q k 8W k cv 2^[^ ] { w k } )~ q = М Х >У > W, vivi, wlw k m).
5 MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 47 7 Wielkoś ci statyczne w A>tym elemencie jako funkcje parametrów wę złowych mają postać (3.4) /V* Ed l v : (3.5) Ny (3.6) 2(11») \L dy J l dx ]{^k})> (3.7) Gj2/ l *)[± m{u k } ^ (3.8) N k (3.9) m x = D (3.10) Г П у c 2 Q k dx Hf 2 2 5л : 2 {W% W k ), (3.11) m\y = (1 {W k }, (3.12) (3.13) П ^~д х 1Г \»( d 3 Q k д х 2 д у d 3 Q k 2 [~д х д у Wyraż enia (3.1) r (3.3) nie są toż samoś ciowo równe zeru, gdyż funkcje przemieszczeń z/, v k, w*, są funkcjami przybliż onymi. Dokładność tak przyję tej aproksymacji równań (2.1) T (2.3) zależy od dokładnoś ci opisu rzeczywistych przemieszczeń w elemencie przez wyraż enia (2.15) 4 (2.17). Funkcje/,, f 2, / 3 oznaczają błąd aproksymacji. W naszym przypadku błąd ten zminimalizujemy przez ortogonalizację funkcjiл,/ 2 z,/з układem funkcji Ф, W k, Q k (metoda Galerkina [7]). Sposób ten prowadzi tutaj do układu (2n m) algebraicznych równań liniowych. Macierz współczynników przy niewiadomych jest poszukiwaną macierzą sztywnoś ci elementu. Zastosujmy do równań (3.1) т (3.3) metodę Galerkina w postaci (3.14) jf tyfidxdy = 0, /=1,2,..., n, (3.15) // Wfidxdy = 0, i = 1,2, (3.16) fjq k jf 3 dxdy = 0, у =1,2 ж. Całkowanie w powyż szych wzorach rozcią ga się na obszar elementu A k. Funkcje Ф?, 4 Jk, Q k są funkcjami kształtu z zależ nośi c (2.15) (2.17).
6 478 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Wykonajmy działania opisane zależ noś ciami (3.14) = (3.16). Dla (3.14) otrzymamy (dla i = 1,2,...,«) 5л : 3.y {К»}<**й Г у ) ) ' ' J *{V k }dxdy\ А * Ч т Я ^{& ' )л * ^Я Ч ^] {и л, Н = Po zastosowaniu do powyż szych całek przekształcenia Greena według wzorуw Я Г 3 2 Ф * Ф ) gjr {U*}dxdy = /<4^] {Ј/ ' }с м " л Э Ф * " З Ф * я З л: A K л г * л * (3.18) (3.19) я ч 3 2 Ф * з >> 2 /Ч ЈЬ * Я Ј[ З Ф * 1Г (gdzie J* oznacza brzeg elementu, a jest ką tem mię dzy normalną zewnę trzną a osią x) otrzymamy ostatecznie pierwsze n rуwnań w postaci (3.20) 2 Е д Щ д Ф l v 2 д х д х Е д Щ Г З Ф * 2(1») д у I 3j> ^ Ф [Ф \}{U \\ k }dxdy : Edv д Ф \ dw k 1 v 2 д х Ју З Ф? G w 2 Н д j J {И "=}Л с л> = 2 Г Ф *(Л Г *с о 8«Л Г *,8т, а )< 4*' /1 * г г * i = 1,2, п.
7 MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 479 Postę pując analogicznie otrzymamy dla (3.15) i (3.16) pozostałe równania układu, (3.21) 2 A ] Ed dw k ' dw k Ed 1 dwf 1 v 2 д у l ь \ 2(1 ) д х cci EУV д 'Р Н д Ф ^Л ES dw k ' д Ф ' 2 ]){u k ] JJ \ 1 v 2 д у [ д х J 2(1 v) д х A* 2h d JJ^ą ^J{W*}^cd[y = 2 J dxdy 4 /k (N k sman k ycosoi)ds, i = 1, 2,..., n; A K A K ~ Г Г f / d 2 Q) Г d 2 Q k 1 d 2 Q k, \ d 2 G k 1 d 2 Q) Г d 2 Q k i3^ Г d 2 Q k 1 2 i ) J J tb^bh d?n~w 1 д у 'V bh v &^bh 2 J б > 2 4.9л ч a 2 flua 2 fl4 G (2/1^) 2 /з ^ д &] А V '&cdy Lć >xc>j Ј> 4// \ д х [ д х \ ^^^J^{w k }dxdy = ff Q)qdxdy 2 [Q){q k xcos<x q k yńncl)ds / С dq k Q k (N xz cosat.n k zń n<x)ds 2 J J (m x cosa m k ysinct)ds 2 J ^ i (mjsina mucosa)ds y j = 1,2, m. Otrzymany układ (2nm) równań dla wyznaczenia nieznanych parametrów wę złowych Uti, V*, W) moż na przedstawić w postaci macierzowej (3.23) 'k 11 k 12 it 13 " {U*} 0 b 1 k 21 fc 22 k 23 {V 0 k } b 2 k k 33 _ {{W k }\ p b 3 gdzie k ij, p', b\ są podmacierzami okreś lonymi przez poniż sze wyraż enia: (3 24) Г *"], 26 \ Г M M E ^L^l 9 ^ & ф \ Ш у (3.25) = 2ój"Jf T^; Ev д Ф dwj, E д Ф \ dw k, д х д у 2(1 v) д у д х Udxdy,
8 480 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ (3.26) [k 13 ];j = G w 2/г д * Г Ф ^ ^ dxdy, J J OX (3.27) [k 2 % = 2djf Ev 3Wf д Ф ) E dw k В Ф ) \dxdy, l v 2 ~д у ~ д х 2(1 v) д х д у (3.28) [k 2 %=2df{ [ 1 V 2 д у д у 2(1 J>) д х д х 8h J i (3.29) [*"] u = G Y 2Л 5 Г Г (3.30) [*»% = G w JJ ar****' (3.31) [*«] у = 6\ 2/; <5 (3.32) = 2D J J л * d 2 Q\ d 2 Q) d 2 Q\ d 2 Q) d 2 Q\ d 2 Q) r д х 2 д х 2 д у 2 д у 2 ' ' д у 2 д х 2 G w d 2 Q k d 2 Q) d 2 Q k d 2 Q) д х 2 д х 2 д х д у д х д у (2/j ó) 2 j ' dq\ dq) D Ah \ д х д х (3.33) [p], = jjqudxdy, A k (3.34) [b l l = 2 j Ф ](N k cos an k ysin a)ds, (3.35) [b 2 l = 2 f W(N*amaN*,co»a)ds, (3.36) 1П = j Qk (Nl z cos aiv} x sin a)ds2 j flffaj cos aq) sin a) ds 'J" "Tjcos a wij, sin 0L)ds 2 I (mj sina nixy cos a) tfo. Ponieważ funkcjonał (2.4) jest formą kwadratową przemieszczeń i ich pochodnych, macierz współczynników przy niewiadomych Uf, V k, W*jest macierzą symetryczną. Macierz (3.23) jest poszukiwaną macierzą sztywnoś ci elementu k. Macierz sztywnoś ci całej płyty (macierz globalną) uzyskuje się przez sumowanie po wszystkich elementach (k = 1, 2,..., r) wyraż eń (3.23). Przy zapewnieniu cią głośi c przemieszczeń i naprę żń e mię dzy elementami całki po konturze typu (3.34) (3.36) są równe zeru dla brzegów
9 MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 481 elementu wewną trz płyty. Dla elementów graniczą cych z konturem zewnę trznym płyty moż na je wyznaczyć z warunków brzegowych. Zaznaczyć należ y, że przy prowadzeniu obliczeń według tej metody konieczne jest przyję cie zerowania się całek (3.34) (3.36) wzdłuż brzegów wewnę trznych [7], nawet w wypadku, gdy stosowane funkcje kształtu nie zapewniają cią głośi cprzemieszczeń i naprę ż eń. Jednakże po wyznaczeniu przemieszczeń i naprę żń e moż na obliczyć wartoś ci całek dla wszystkich lub tylko niektórych elementów. Pozwala to na oszacowanie błę du dyskretyzacji. Rys. 2 Rozpatrzmy dla przykładu całkę (3.34) na brzegu p ą dla dwóch graniczą cych ze sobą elementów i k 1 (rys. 2). Dla elementu mamy я (Ы ) = lf 0 k (N k 1 x cos a N k 1 sin a) ds. p Podobnie dla elementu k1 otrzymamy p = 2f0 ki (N x cosan k ysmoi)ds. я W macierzy globalnej wystą pi suma powyż szych całek Ф Ф я (3.37) (bl) k (b}) k1 = 2/[0?(7V"^4osa /V*;^ina) ^ 4A r *cosa /V* ),sina)]*. p Wyraż enie (3.37) bę dzie równe zeru, gdy \ = 1, TV* = N k1, N xy = 7v'* 1 wzdłuż brzegu p q, to znaczy, gdy przemieszczenia i naprę ż eni a bę dą cią głe na granicy elementów. Obliczona po wyznaczeniu przemieszczeń wartość całki (3.37) służ yć może jako oszacowanie błę du dyskretyzacji. Podobnie uczynić moż na dla pozostałych całek typu (3.34) (3.36). 4. Metoda energetyczna Przez podstawienie zależ nośi c (2.15) (2.17) do (2.4) wyrazimy funkcjonał energii sprę ż yste j w A>tym elemencie (IJ k ) jako funkcję nieznanych parametrów wę złowych. Energię potencjalną całej płyty otrzymamy przez sumowanie po wszystkich elementach [2], [4], r (4.1) П = У ^П
10 482 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Wykorzystując warunki na minimum funkcjonału (4.2) З П = 0, i = 1,2,...,и, (4.3) д П = 0, 1 = 1,2,...,«, (4.4) д П dw) = o, j =1,2,...,m, otrzymamy układ (2n m) rуwnań elgebraicznych dla fc tego elementu. Wykonajmy dla przykładu działania opisane zależ noś ci ą (4.2) д П ч ~ 2 J J (т ^2 д и д I д и \ dv" Jh^ 1 с м* ~д х BU 8U, k \ д х ) " д у д U? [ д х 2 1 V д и 3 1 д и 2 д у д Щ \\ д у dv k 2hG w [ h Biorąc pod uwagę, że (por. (2.15) (2.17)) д 1 2h d dw* r("*)2 dul h 2h д х dxrfy = f a«*1 ot// * у =.^L 5 1 о н l д Ф \ *1 otrzymamy ostatecznie n pierwszych rуwnań układu (4.5) д Ф \ д Ф Е д Ш д х д х 2(1 v) д у 2 Е д г З Ф! 2(1 v) д у {V k }dxdy / = 1,2, и. Dla warunkуw (4.3) i (4.4) otrzymamy pozostałe rуwnania układu. Macierz wspуłczynnikуw jest identyczna z macierzą (3.23) (macierz sztywnoś ci). Uzyskany w ten sposуb układ rуwnań nie zawiera całek po konturze elementu. Brak całek (3.34) (3.36) jest konsekwencją założ enia prawdziwoś ci zwią zku (4.1) i ukrytego założ enia, że zwią zki (2.15) (2.17) spełniają warunki brzegowe płyty. W praktycznych zastosowaniach dobуr funkcji kształtu Ф *, W k, Q) spełniają cych warunki brzegowe płyty jest bardzo ucią ż liwy. Trudność tę moż na ominąć przez dodanie do funkcjonału (2.4) całek krzywoliniowych rozcią gnię tyc h na brzeg płyty, ktуre po minimalizacji prowadzą automatycznie do całek (3.34) (3.36), [7].
11 MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY 483 W analizowanym przypadku do funkcjonału (2.4) należy dodać wyraż enie (4.6) 2 /( dw dw 1 mm Y N nzwn, u N,u\ c/s. Wyraż enie (4.6) ma prostą interpretację fizyczną, stanowi bowiem pracę obcią żń e brzegowych na odpowiadają cych im przemieszczeniach. 5. Uwagi koń cowe Otrzymana macierz sztywnoś ci (3.23) może być przedstawiona w postaci sumy trzech macierzy: macierzy sztywnoś ci płytek zewnę trznych pracują cych jako tarcze w płaskim stanie naprę ż eni a [/VJ, macierzy sztywnoś ci płytek zewnę trznych pracują cych jako płyty cienkie [k 2 ], macierzy sztywnoś ci wynikają cej z trójwarstwowej struktury płyty [k 3 ] 'k? k[ ? k\ 2 ki 3 (5.1) [*] = 2[*J2 J tfej 2 k\ l k\ k\ k\ 3 M 1 H 2 k 3 3 Czynnik 2 w zależ nośi c(5.1) wynika z istnienia dwóch płytek zewnę trznych. Dla przykładu podajemy niektóre wyrazy tych macierzy: 3 [k{% E д Ф ^_Щ E d0 k 8Ф )' v 2 dx dx 2(1 v) dy dy \dxdy, [ki 1 ], J j'j& t <pjdxdy, [kl\ dx 2 dx 2 d 2 Q\ д 2 Щ d 2 Q\ d 2 Q) L л у 1 L dy 2 dy 2 dy 2 dx 2 [k ]u = G, (2hd): 2h d 2 Ą d 2 Q k j 0 / 1. d 2 Q k d 2 Q k j\ J J v d^ oy ^sj L 2 ( 1 Г Г I dq k dq) dq) dq k,\ J, ttfr* Takie przedstawienie macierzy sztywnoś ci pozwala na stwierdzenie, że wyrazy macierzy [ у ]są identyczne z wyraż eniami otrzymanymi przez SZABO i LEE [7], a [k 2 ] jest identyczna z wyraż eniem uż ytym przez SZMELTERA i DOBROCIŃ SKIEGO W pracy [11]. Macierz [k 3 ] ujmuje wpływ przyję tego modelu płyty trójwarstwowej. Otrzymanej macierzy sztywnoś ci nie odniesiono do ż adnego konkretnego elementu ani konkretnej funkcji kształtu. Po wyborze elementu i okreś leniu funkcji kształtu [4], [6] moż na obliczyć macierz sztywnoś ci (3.23). Obliczenia te moż na wykonać na EMC.
12 484 H. MIKOŁAJCZAK, В. WOSIEWICZ Przykładowo obliczymy wyraz k tl macierzy (3.23) przyjmując najprostszy element o pię ciu stopniach swobody w każ dym wę źe l(rys. 3). Ф, moż na wyrazić poniż szym wielomianem Otrzymamy [por. (3.24)] 0l = Ui ^ y ą ). 4 \ a b ab J a b a b o b N 1 ' a b ' 2ÓE Г 6 (l y)a 8 G w l v 2 [ З с Г 6Ь \ 9~Н а Ь Pierwszy składnik sumy jest identyczny z obliczonym dla tarczy w płaskim stanie napręż enia [12], a drugi ujmuje wpływ warstwowej struktury płyty. f u Rys. 3 Rozkład macierzy sztywnoś ci (3.23) na sumę trzech macierzy składowych (5.1) pozwala na znaczne uproszczenie pracy rachunkowej, gdyż dwa pierwsze składniki są opracowane dla elementów o róż nych kształtach jak i róż nej liczbie stopni swobody (np. [4], [5], [12]). Literatura cytowana w tekś cie 1. N. J. HOFF, Bending and Buckling of Rectangular Sandwich Plates, NACA (1950), No Т. H. H. PIAN, P. TONG, Basis of Finite Element Methods for Solid Continua, Int. J. Num. Meth. Eng. 1 (1969), J. T. ODEN, A General Theory of Finite Elements I. Topological considerations, II. Aplications, J. Num. Math. Eng., 1 (1969) i О. С. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych,arkady, Warszawa J. S. PRZEMIENIECKI, Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw Hill (1968). 6. V. KOLAR, J. KRATOCHVIL, M. ZLAMAL, A. Ż ENIŚ EK, Technical, Physical and Mathematical Principles of the Finite Element Methods, Rozpr. CSAV, z. 2, 81 (1971).
13 MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU PŁYTY B. A. SZABO, G. C. LEE, Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin's Method, Int. J. Num. Meth. Eng., 1 (1969), J. WACHOWIAK, P. WILDE, Wolnopodparte prostoką tne płyty trójwarstwowe, Arch. Inż. Lą dowej, 1, 12 (1966), H. MIKOŁAJCZAK, Zagadnienia niecią głych warunków brzegowych dla prostoką tnych płyt trójwarstwowych, Rocz. WSR Poznań, 1965, dod J. GOŁAŚ, Pewne przypadki niecią głych warunków brzegowych dla kołowych płyt trójwarstwowych. Politechnika Poznań ska (1969). 1!. J. SZMELTER, S. DOBROCIŃ SKI, Zastosowanie metody elementów skoń czonych do tworzenia macierzy sztywnoś ci elementów płyty, Biul. WAT, 4, 18 (1969), I. HOLAND, K. BELL (ed.), Finite Element Methods in Stress Analysis, TAPIR, Trondheim Norway Р е з ю ме М А Т Р И А Ц Ж Е С Т К О С Й Т ЕЭ Л Е М Е НА Т Т Р Е Х С Л О Й Й Н ОП Л А С Т И Н, Ы П О Д В Е Р Ж Е Н Й Н ОИ З Г И У Б Д в у мя с п о с о б и а вм ы в е д о е но б щ е е в ы р а ж е е н ди ля м а т р иы ц ж п л а с т и, н пы о д в е р ж е й н ни оз г иу б и у д о в л е т в о р яй ю п щ р е д п о л о ж л е н я и п л а с т ы и н н а э л е м е ы н ти а п п р о с и м и а пц еи р е м е щ (2.15) (2.17) в ы в е д ы е н п р и б л и ж е с т о сй тэ ел е м е а н т р е х с л о й, н о й ем н Хи оя ф фа [1]. П у т м е р а з д е й е нв и э л е м е е н тп ри п о м о щи ф о р м уы л е не ну ыр а в н е я н ри а в н о в ея с(3.1), и п р и чм е ф у н ц и ол н па о т е н ц и а л ь й н эо н е р ги и(3.1) (33) п р е д с т а н в л а е ф у н ця ин е и з в е с тх ну ыз л о в х ы п а р а м е тв р(оо б о б щ н ы х п е р е м е щ й е н в и у з л а. х ) О р т о г о н а л и я з ав цы и р а ж е й н ид ля п о г р е ш е н н и о с дт и с р е т и з а ц, и и /! /г з /з с с и с т е й м фо у н цй иф ;, Ч * ь Dj [7] п р и в о т д и с и с т е м2п т а л г е б р а и ч х е сл и ин е й нх ыу р а в н е н й и с н е и з в е с т ни ы у мз л о в ыи мп а р а м е т ри а (3.6). м М а т р иа ц о э ф ф и ц и ев н пт ри о н е и з в е с тх н яы в л я е я т си с о мй ом а т р и й ц еж е с т о сй т эел е м е н. т а Т о ч но т а й о ж е р е з у л ьт т па о л у чн еп ри и с п о л ь з о ви а пн ри и н ц а и пм и н и м а у мф у н ц и о а н ап ло т е н ц и а л ь й н оэ н е р ги иу п р у гй од е ф о р м а ц. Фи ио р м у л(3.6) м о ж д у ры д ля Э Ц ВМ п ри р а с ч е т о н р е т х н зы а д а. чв а ч е с е т пв р и м еа рв ы м а т р иы ц ж д ом и з у з л о. в но и с п о л ь з оь в да ля т н а п и с а я н пи р о ц е ч и с л а е он д на о м п о н еа н т е с т о й с тд еля п р я м о у г о л о ь нэ ло ег м е н, то аб л а д а ю що пе гя т ю ь с т е п е н и я см в о б оы д в а ж Summary STIFFNESS MATRIX OF AN ELEMENT OF A SANDWICH PLATE IN BENDING Two different methods are used to derive the general expression for the stiffness matrix of an element of a three layer sandwich plate satisfying N. J. HOFF'S [1] assumptions. Dividing the region of the plate into elements and approximating the element displacements by expressions (2.15) (2.17), an approximate equilibrium equation [(3.1) (3.3)] is obtained, and the potential energy functional (2.4) is expressed in terms of the unknown nodal parameters (generalized displacements of the nodes). Applying Galerkin's method to the expressions for discretization errors fi,f 2,h and the set of functions Ф,, fj, Qj [7], a system of (2nm) simultaneous algebraic equations is obtained making it possible to determine the nodal parameters (3.23). The matrix of coefficients at the unknowns is the element stiffness matrix required. Using the principle of minimum of the potential energy functional of elastic deformation, an identical expression may be obtained. Eq. (3.23) may also be used to prepare the EMC procedures for particular elements As an example, one term of the stiffness matrix is evaluated for the case of a rectangular element with five degrees of freedom at each node. AKADEMIA ROLNICZA, POZNAN Praca została złoż ona w Redakcji dnia 16 maja 1973 r. 10 Mechanika Teoretyczna 4/73
ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Z E S Z Y T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ TADEUSZ BURCZYŃSKI METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH ECHANIKA Z. 97 GLIWICE 1989 POLITECHNIKA
Bardziej szczegółowoANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, (1970) PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ, UŻ EBROWANEJ JEDNOSTRONNIE, OBCIĄ Ż ONE J ANTYSYMETRYCZNIE ANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ) Oznaczenia stale, a promień zewnę
Bardziej szczegółowoINWERSYJNA METODA BADANIA MODELI ELASTOOPTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI SZTYWNYMI ROMAN DOROSZKIEWICZ, JERZY LIETZ, BOGDAN MICHALSKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 15 (1977) i INWERSYJNA METODA BADANIA MODELI ELASTOOPTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI SZTYWNYMI ROMAN DOROSZKIEWICZ, JERZY LIETZ, BOGDAN MICHALSKI (WARSZAWA) W artykule tym przedstawimy
Bardziej szczegółowoGRANICZNA MOC DWUFAZOWEGO TERMOSYFONU RUROWEGO ZE WZGLĘ DU NA KRYTERIUM ODRYWANIA KONDENSATU BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW) Oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) GRANICZNA MOC DWUFAZOWEGO TERMOSYFONU RUROWEGO ZE WZGLĘ DU NA KRYTERIUM ODRYWANIA KONDENSATU BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW) Oznaczenia A pole powierzchni poprzecznego
Bardziej szczegółowoELEKTRYCZNY UKŁAD ANALOGOWY DLA GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ZAGADNIEŃ PŁYT O DOWOLNEJ GEOMETRII MIECZYSŁAW JANOWSKI, HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW)
I MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) ELEKTRYCZNY UKŁAD ANALOGOWY DLA GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ZAGADNIEŃ PŁYT O DOWOLNEJ GEOMETRII MIECZYSŁAW JANOWSKI, HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) Modelowanie
Bardziej szczegółowoOPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1.
M ECHAN IKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3, IS (1977) OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ E NORMALNYCH MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp
Bardziej szczegółowoSTATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK (OPOLE) 1. Wstęp Przedstawione w tym opracowaniu rozwią zanie, ilustrowane
Bardziej szczegółowoCZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, 7 (1969) SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA ZBIGNIEW WESOŁOWSKI (WARSZAWA) W nieliniowej teorii sprę ż ystoś i znanych c jest dotychczas zaledwie
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ Z OBWODOWYM ZAŁOMEM PRZY Ś CISKANIU OSIOWYM. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 15 (1977) STATECZNOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ Z OBWODOWYM ZAŁOMEM PRZY Ś CISKANIU OSIOWYM STANISŁAW ŁUKASIEWICZ, JERZY TUMIŁOWICZ (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Celem pracy
Bardziej szczegółowoDRGANIA. PRĘ TÓW O LINIOWO ZMIENNEJ WYSOKOŚ CI POPRZECZNEGO
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) DRGANIA. PRĘ TÓW O LINIOWO ZMIENNEJ WYSOKOŚ CI POPRZECZNEGO PRZEKROJU EDWARD J. K R Y N I C K I Departament of Civil Engineering University of Manitoba
Bardziej szczegółowoWPŁYW WARUNKÓW ZRZUTU NA RUCH ZASOBNIKA W POBLIŻU NOSICIELA I PARAMETRY UPADKU. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4 22 (1984) WPŁYW WARUNKÓW ZRZUTU NA RUCH ZASOBNIKA W POBLIŻU NOSICIELA I PARAMETRY UPADKU JERZY MARYNIAK KAZIMIERZ MICHALEWICZ ZYGMUNT WINCZURA Politechnika Warszawska
Bardziej szczegółowoWYTRZYMAŁOŚĆ STALOWYCH PRĘ TÓW Z KARBEM PRZY ROZCIĄ W PODWYŻ SZONYCH TEMPERATURACH KAROL T U R S K I (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 15 (1977) WYTRZYMAŁOŚĆ STALOWYCH PRĘ TÓW Z KARBEM PRZY ROZCIĄ W PODWYŻ SZONYCH TEMPERATURACH GANIU KAROL T U R S K I (WARSZAWA) 1. Wstęp Teoretyczne rozwią zanie uzyskane
Bardziej szczegółowoDOŚ WIADCZALNA ANALIZA EFEKTU PAMIĘ CI MATERIAŁU PODDANEGO PLASTYCZNEMU ODKSZTAŁCENIU*) JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) DOŚ WIADCZALNA ANALIZA EFEKTU PAMIĘ CI MATERIAŁU PODDANEGO PLASTYCZNEMU ODKSZTAŁCENIU*) JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp Rozwój techniki, zwłaszcza w
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE ZMIAN STAŁYCH SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁU WYSTĘ PUJĄ CYC H GRUBOŚ CI MODELU GIPSOWEGO. JÓZEF W R A N i к (GLIWICE) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WYZNACZANIE ZMIAN STAŁYCH SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁU WYSTĘ PUJĄ CYC H GRUBOŚ CI MODELU GIPSOWEGO NA JÓZEF W R A N i к (GLIWICE) 1. Wstęp Wartoś ci naprę żń
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, (9) NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' ANDRZEJ STRZELCZYK, STANISŁAW WOJCIECH (BIELSKO BIAŁA). Wstęp Problem statecznoś
Bardziej szczegółowoOBSZAR KONTAKTU SZTYWNEJ KULI Z PÓŁPRZESTRZENIĄ LEPKOSPRĘ Ż YST Ą JADWIGA HALAUNBRENNER I BRONISŁAW LECHOWICZ (KRAKÓW) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 7 (1969) OBSZAR KONTAKTU SZTYWNEJ KULI Z PÓŁPRZESTRZENIĄ LEPKOSPRĘ Ż YST Ą JADWIGA HALAUNBRENNER I BRONISŁAW LECHOWICZ (KRAKÓW) 1. Wprowadzenie Badaniem narastania
Bardziej szczegółowoJERZY MARYNIAK, WACŁAW MIERZEJEWSKI, JÓZEF KRUTUL. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) DRGANIA ŁOPAT Ś MIGŁA* JERZY MARYNIAK, WACŁAW MIERZEJEWSKI, JÓZEF KRUTUL (WARSZAWA) 1. Wstęp Na przykładzie łopaty ś migła ogonowego ś migłowca (rys. 1) przedstawiono
Bardziej szczegółowoNOŚ NOŚ Ć GRANICZNA ROZCIĄ GANYCH PRĘ TÓW Z KARBAMI KĄ TOWYMI O DOWOLNYCH WYMIARACH CZĘ Ś CI NAD KARBAMI. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) NOŚ NOŚ Ć GRANICZNA ROZCIĄ GANYCH PRĘ TÓW Z KARBAMI KĄ TOWYMI O DOWOLNYCH WYMIARACH CZĘ Ś CI NAD KARBAMI JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Nagłe
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > JERZY STELMARCZYK (ŁÓDŹ) 1.
Bardziej szczegółowoCAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O WALCOWE. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2,14 (1976) CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O POWŁOKI WALCOWE STANISŁAW BIELAK (GLIWICE) 1 Wstęp W pracach autora [1, 2, 3, 4] rozwią zanie
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM EDWARD WALICKI, JERZY SAWICKI 1. Wstęp Przepływy MHD w kanałach płaskich i okrą
Bardziej szczegółowoUGIĘ CIE OSIOWO SYMETRYCZNE PŁYTY REISSNERA O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANDRZEJ G A W Ę C KI (POZNAŃ) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) UGIĘ CIE OSIOWO SYMETRYCZNE PŁYTY REISSNERA O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANDRZEJ G A W Ę C KI (POZNAŃ) 1. Wstęp Celem niniejszej pracy jest wyprowadzenie równań podstawowych
Bardziej szczegółowoITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD BOHDAN KOWALCZYK, TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ SK) 1. Uwagi ogólne
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2 14 (197Й ) ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD UKŁADU O SKOŃ CZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY BOHDAN KOWALCZYK TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ
Bardziej szczegółowoZREDUKOWANE LINIOWE RÓWNANIA POWŁOK O WOLNO ZMIENNYCH KRZYWIZNACH. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) ZREDUKOWANE LINIOWE RÓWNANIA POWŁOK O WOLNO ZMIENNYCH KRZYWIZNACH ZENON RYCHTER (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp Zginanie sprę ż ystych, izotropowych powłok o małej
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE OBLICZANIE KRZYWOLINIOWYCH Ś CIEŻ K E RÓWNOWAGI DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW SPRĘ Ż YSTYC H
MEGHAN IK Л TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 2/3, 21 (1983) NUMERYCZNE OBLICZANIE KRZYWOLINIOWYCH Ś CIEŻ K E RÓWNOWAGI DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW SPRĘ Ż YSTYC H ZYGMUNT K A S P E R S K I WSI Opole W pracy podaje
Bardziej szczegółowoWPŁYW SZCZELINY PROSTOPADŁEJ DO BRZEGU NA ROZKŁAD NACISKÓW I STAN NAPRĘ Ż Ń E W KONTAKCIE. Wstęp
MECHAN1 К A TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) WPŁYW SZCZELINY PROSTOPADŁEJ DO BRZEGU NA ROZKŁAD NACISKÓW I STAN NAPRĘ Ż Ń E W KONTAKCIE RYSZARD W Ó J C I K Politechnika Warszawska \ JACEK S T U P
Bardziej szczegółowoс Ь аё ффсе о оýои р а п
гат т ТО Л Ш Л ПЮ ОВ О С тем к лк е еп е р пу Н ОЬ оппу оь отчо пущ п л е по у е о оппу К Т ццв Ф щцшчьц ц Ро ф вф ц уш Н е о е ф ч лп е ю Н З е оёе ю п ч р по п еш ш Ф р НчЬе ро о у о ш ц оь оё рц ц цр
Bardziej szczegółowoIDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) IDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM KRZYSZTOF SZUWALSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp Ogólne zagadnienie teorii plastycznoś ci polega na
Bardziej szczegółowoWPŁYW CZĘ STOTLIWOŚ I CWIBRACJI NA PROCES WIBROPEŁZANIA 1 ) ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 4, 7 (1969) WPŁYW CZĘ STOTLIWOŚ I CWIBRACJI NA PROCES WIBROPEŁZANIA 1 ) ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp W pracy [1] autor przedstawił wyniki badań nad wpływem
Bardziej szczegółowoпа ре по па па Ьо е Те
ц с р г р су Ё Д чсу ю г ц ц р ус ф р с у г с рр й Ы Р с р с ц ус М т ч с Ф Сру ф Ьу с Ы Ьу р у рь м Д ц с ю ю г Ы г ч с рр р Н р у С с р ч Ф р м р уш с К ц г В з зз с у Г с у с у Д Ы ус О Ьу р ус А Ь
Bardziej szczegółowoDRGANIA GRUBOŚ CIENNEJ RURY PRZY WEWNĘ TRZNYM I ZEWNĘ TRZNYM PRZEPŁYWIE CIECZY (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) DRGANIA GRUBOŚ CIENNEJ RURY PRZY WEWNĘ TRZNYM I ZEWNĘ TRZNYM PRZEPŁYWIE CIECZY JACEK SAMBORSKI (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia a,b e Qw, Qz uw, uz Cw, Cz
Bardziej szczegółowoIN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ JANUARY BIEŃ KONWENCJONALNE I NIEKONWENCJONALNE PRZYGOTOWANIE OSADÓW ŚCIEKOWYCH DO ODWADNIANIA IN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A Z. 27 A GLIWICE 1986 POLITECHNIKA ŚLĄSKA
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoFonetyka kaszubska na tle fonetyki słowiańskiej
Fonetyka kaszubska na tle fonetyki słowiańskiej (szkic i podpowiedzi dla nauczycieli) prof. UG dr hab. Dušan-Vladislav Paždjerski Instytut Slawistyki Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk, 21 marca 2016 r. Fonetyka
Bardziej szczegółowoANALIZA UKŁADU W1BRO UDERZENIOWEGO Z NIELINIOWA CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YST Ą ZBIGNIEW WIŚ NIEWSKI (GDAŃ SK) Wykaz waż niejszych oznaczeń
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 7 (1969) ANALIZA UKŁADU W1BRO UDERZENIOWEGO Z NIELINIOWA CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YST Ą ZBIGNIEW WIŚ NIEWSKI (GDAŃ SK) Wykaz waż niejszych oznaczeń 5 pole powierzchni
Bardziej szczegółowoANALIZA OBROTU POWIERZCHNI PŁYNIĘ CIA Z UWZGLĘ DNIENIEM PAMIĘ CI MATERIAŁU. 1. Wstęp
MECHANIK A TEORETYCZNA t STOSOWANA 2/3, 21 (1983) ANALIZA OBROTU POWIERZCHNI PŁYNIĘ CIA Z UWZGLĘ DNIENIEM PAMIĘ CI MATERIAŁU HENRYK S К R О С К I Uniwersytet Warszawski Filia w Białymstoku 1. Wstęp Materiały
Bardziej szczegółowoPEWIEN SPOSÓB ROZWIĄ ZANIA STATYCZNYCH ZAGADNIEŃ LINIOWEJ NIESYMETRYCZNEJ SPRĘ Ż YSTOŚI JANUSZ D Y S Z L E W ICZ (WARSZAWA) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 11 (1973) PEWIEN SPOSÓB ROZWIĄ ZANIA STATYCZNYCH ZAGADNIEŃ LINIOWEJ NIESYMETRYCZNEJ SPRĘ Ż YSTOŚI C JANUSZ D Y S Z L E W ICZ (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W liniowym oś
Bardziej szczegółowoŁOŻ YSKA WIEŃ COWEGO TERESA GIBCZYŃ SKA, MICHAŁ Ż YCZKOWSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 7 (1969) RÓWNANIA STATYKI DWURZĘ ŁOŻ YSKA WIEŃ COWEGO DOWEGO KULKOWEGO TERESA GIBCZYŃ SKA, MICHAŁ Ż YCZKOWSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp Konstrukcja łoż ysk wień cowych znacznie
Bardziej szczegółowoJERZY MARYNIAK, MARWAN LOSTAN (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 8 (1970) WPŁYW ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDŁA NA STATECZNOŚĆ PODŁUŻ NĄ SZYBOWCA JERZY MARYNIAK, MARWAN LOSTAN (WARSZAWA) 1. Wstęp Przedmiotem niniejszej pracy
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH O NIECIĄ GŁYCH CHARAKTERYSTYKACH. 1. Wstęp
MECHANIК Л TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) OPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH O NIECIĄ GŁYCH CHARAKTERYSTYKACH JERZY Ł U С Z К O Politechnika Krakowska 1. Wstęp Zagadnienie doboru
Bardziej szczegółowoNIELINIOWE DRGANIA ELASTYCZNIE POSADOWIONYCH SILNIKÓW TŁOKOWYCH PRZY SZEROKOPASMOWYCH WYMUSZENIACH STOCHASTYCZNYCH JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 14 (1976) NIELINIOWE DRGANIA ELASTYCZNIE POSADOWIONYCH SILNIKÓW TŁOKOWYCH PRZY SZEROKOPASMOWYCH WYMUSZENIACH STOCHASTYCZNYCH JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK) 1. Wstęp
Bardziej szczegółowoOPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO PRZY DUŻ YCH UGIĘ CIACH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO*) 1. Wstęp
' ' 1 t I ) MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 15 (1977) i OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO PRZY DUŻ YCH UGIĘ CIACH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO*) ' JAN TATJ BBi.Ar.H4T Ł A C H U T fkuatrń
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH CZESŁAW WOŹ NIAK (WARSZAWA) 1. Ciała dyskretyzowane
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH CZESŁAW WOŹ NIAK (WARSZAWA) 1. Ciała dyskretyzowane Spotykane w przyrodzie odksztalcalne ciała stałe opisujemy w
Bardziej szczegółowoMACIERZOWY ZAPIS NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU GENEROWANYCH FORMALIZMEM LAGRANGE'A ZDOBYSŁAW G O R A J (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) MACIERZOWY ZAPIS NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU GENEROWANYCH FORMALIZMEM LAGRANGE'A ZDOBYSŁAW G O R A J (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W wielu zagadnieniach mechaniki
Bardziej szczegółowoZDERZENIE W UKŁADZIE O WIELU STOPNIACH. 1. Wstęp
MEC;HAN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) ZDERZENIE W UKŁADZIE O WIELU STOPNIACH SWOBODY WIESŁAW G R Z E S I K I E W I C Z Politechnika Warszawska ANDRZEJ W А К U L I С Z Instytut Matematyczny
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ BOCZNA SAMOLOTU I DRGANIA LOTEK Z UWZGLĘ DNIENIEM ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDEŁ I SPRĘ Ż YSTOŚI CUKŁADU STEROWANIA
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) STATECZNOŚĆ BOCZNA SAMOLOTU I DRGANIA LOTEK Z UWZGLĘ DNIENIEM ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDEŁ I SPRĘ Ż YSTOŚI CUKŁADU STEROWANIA JERZY M A R Y N I A K,
Bardziej szczegółowoZAMKNIĘ TE ROZWIĄ ZANIE PROBLEMU PROPAGACJI NIESTACJONARNEJ PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ W SUCHYM GRUNCIE PIASZCZYSTYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) ZAMKNIĘ TE ROZWIĄ ZANIE PROBLEMU PROPAGACJI NIESTACJONARNEJ PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ W SUCHYM GRUNCIE PIASZCZYSTYM EDWARD WŁODARCZYK (WARSZAWA) Wojskowa
Bardziej szczegółowoSTAN SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZNY I PEŁZANIE GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 7 (1969) STAN SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZNY I PEŁZANIE GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) 1. Wstę p Reologiczne zagadnienia geometrycznie
Bardziej szczegółowoZAŃ KINEMATYCZNIE DOPUSZCZALNYCH DLA ZAGADNIENIA NAPORU Ś CIAN O RÓŻ NYCH KSZTAŁTACH* WiESLAw\ TRĄ MPCZYŃ SK I. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 15 (1977) ANALIZA ROZWIĄ ZAŃ KINEMATYCZNIE DOPUSZCZALNYCH DLA ZAGADNIENIA NAPORU Ś CIAN O RÓŻ NYCH KSZTAŁTACH* WiESLAw\ TRĄ MPCZYŃ SK I (WARSZAWA) 1. Wstęp Wyraź ny
Bardziej szczegółowoPŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 10 (1972) PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI KAROL H. BOJDA (GLIWICE) W pracy wykorzystano wł asnoś ci operacji T a [1] do rozwią zania równania
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoZnaki alfabetu białoruskiego Znaki alfabetu polskiego
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA SPRAW WEWNĘTRZNYCH I ADMINISTRACJI z dnia 30 maja 2005 r. w sprawie sposobu transliteracji imion i nazwisk osób należących do mniejszości narodowych i etnicznych zapisanych w alfabecie
Bardziej szczegółowoW pracy rozpatrzymy osobliwość naprę żń e siłowych i naprę żń e momentowych w półprzestrzeni. ): Xi ^ 0, co < x 2
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 11 (1973) OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ E W LINIOWYM OŚ RODKU MIKROPOLARNYM SPOWODOWANA NIECIĄ GŁYMI OBCIĄ Ż ENIAM I (II) JANUSZ DYSZLEWICZ, STANISŁAW MATYSIAK (WARSZAWA) 1.
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoWSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY WANDA SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA (WARSZAWA) W
Bardziej szczegółowoSKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA WIOTKICH OBROTOWO SYMETRYCZNYCH POWŁOK PRZY UWZGLĘ DNIENIU KINEMATYCZNEGO WZMOCNIENIA MATERIAŁU JÓZEF W I L K (KRAKÓW)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA WIOTKICH OBROTOWO SYMETRYCZNYCH POWŁOK PRZY UWZGLĘ DNIENIU KINEMATYCZNEGO WZMOCNIENIA MATERIAŁU JÓZEF W I L K (KRAKÓW) 1. Założ enia
Bardziej szczegółowoO OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4 14 (1976) O OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH JÓZEF JOACHIM TELEGA (RADOM) 1 Wstęp W ostatnich latach ukazały się
Bardziej szczegółowoO SFORMUŁOWANIU I POPRAWNOŚ CI PEWNEJ KLASY ZADAŃ Z NIELINIOWEJ DYNAMIKI LIN ROZCIĄ GLIWYCH ANDRZEJ BLINOWSKI (WARSZAWA) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 15 (1977) O SFORMUŁOWANIU I POPRAWNOŚ CI PEWNEJ KLASY ZADAŃ Z NIELINIOWEJ DYNAMIKI LIN ROZCIĄ GLIWYCH ANDRZEJ BLINOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp i W pracy [1] autor niniejszej
Bardziej szczegółowoШ Ш *Ш &>\vdi;fclbi>!«> У TEORETYCZNA ii.stosowana fiuncq i 4, 15 (1977)
8 lc Ш Ш *Ш &>\vdi;fclbi>!«> У TEORETYCZNA ii.stosowana fiuncq i 4, 15 (1977) ki invnkiis unolbiiło t: L*1 oś. и к п э ип и bo vi'jb:>. :.'.. k'isi >q i /j:;"mij',!rio>!! i TENSOR TARCIA COULOMBA*) ALFRED
Bardziej szczegółowoJAN GRABACKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1 U (1973) PRZYKŁADY ULTRADYSTRYBUCYJNYCH ROZWIĄ ZAŃ PASMA PŁYTOWEGO JAN GRABACKI GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp W pracy przedstawione bę dą rozwią zania wybranych zadań
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE STANU NAPRĘ Ż ENI A W OSIOWO SYMETRYCZNYM POŁĄ CZENIU KLEJONYM OBCIĄ Ż ONY M MOMENTEM SKRĘ CAJĄ CY M
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 15 (1977) WYZNACZENIE STANU NAPRĘ Ż ENI A W OSIOWO SYMETRYCZNYM POŁĄ CZENIU KLEJONYM OBCIĄ Ż ONY M MOMENTEM SKRĘ CAJĄ CY M KAROL GRUDZIŃ SKI, TADEUSZ BURDA, LEON Ł
Bardziej szczegółowo1. Organizowanie regularnych zebrań naukowych w Oddziałach PTMTS
B I U L E T Y N I N F O R M A C Y J N Y S P R A W O Z D A N I E Z DZIAŁALNOŚ CI POLSKIEGO TOWARZYSTWA TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ ZA ROK 1968 MECHANIKI I. ROZWIJANIE DZIAŁALNOŚ CI W DZIEDZINIE MECHANIKI
Bardziej szczegółowoWyświetlacze tekstowe jednokolorowe
Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania tekstu informacyjno-reklamowego w trybie jednokolorowym (monochromatycznym) z wykorzystaniem różnorodnych efektów graficznych.
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoNIEJEDNORODNOŚĆ PLASTYCZNA STOPU PA2 W PROCESIE. 1, Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NIEJEDNORODNOŚĆ PLASTYCZNA STOPU PA2 W PROCESIE WYCISKANIA JAN PIWNIK (BIAŁYSTOK) 1, Wprowadzenie Rozwój zaawansowanych metod obliczeniowych procesów obróbki
Bardziej szczegółowoOPTYiMALNE KSZTAŁTOWANIE NIERÓWNOMIERNIE NAGRZANYCH TARCZ WIRUJĄ Z UWAGI NA NOŚ NOŚĆ SPRĘ Ż YST Ą I GRANICZNĄ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) OPTYiMALNE KSZTAŁTOWANIE NIERÓWNOMIERNIE NAGRZANYCH TARCZ WIRUJĄ Z UWAGI NA NOŚ NOŚĆ SPRĘ Ż YST Ą I GRANICZNĄ CYCH TADEUSZ LISZKA, MICHAŁ Ż Y C Z K O W S
Bardziej szczegółowoSPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ RÓŻ NICZKOWYCH LINIOWYCH STKOWYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH I CZŁONACH RZĘ DU PARZYSTEGO
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 4, 7 (1969) SPOSÓB ELEKTRYCZNEGO MODELOWANIA RÓWNAŃ RÓŻ NICZKOWYCH LINIOWYCH ZWYCZAJNYCH I CZĄ STKOWYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH I CZŁONACH RZĘ DU PARZYSTEGO ALEKSANDER
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoPROGRAM ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH
PROGRAM ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH PN: Zajęcia TEATR ROSYJSKI realizowany w roku szkolnym 2017/2018 w Szkole Podstawowej nr 43 im. Simony Kossak w Białymstoku w ramach projektu współfinansowanego z Europejskiego
Bardziej szczegółowoUPROSZCZONA ANALIZA STATECZNOŚ CI BOCZNEJ SZYBOWCA HOLOWANEGO NA LINIE JERZY M A R Y N I А К (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) UPROSZCZONA ANALIZA STATECZNOŚ CI BOCZNEJ SZYBOWCA HOLOWANEGO NA LINIE JERZY M A R Y N I А К (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia 6, [m] rozpię toś ć skrzydeł
Bardziej szczegółowoSPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚ CI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MECHANIKI TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ ZA I KWARTAŁ 1976 ROKU
B I U L E T Y N I N F O R M A C Y J N Y SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚ CI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MECHANIKI TEORETYCZNEJ 1. Zebrania naukowe I STOSOWANEJ ZA I KWARTAŁ 1976 ROKU W okresie sprawozdawczym odbyło
Bardziej szczegółowo0 WYZNACZANIU NAPRĘ ŻŃ ECIEPLNYCH WYWOŁANYCH RUCHOMYMI OBCIĄ TERMICZNYMI. Oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) 0 WYZNACZANIU NAPRĘ ŻŃ ECIEPLNYCH WYWOŁANYCH RUCHOMYMI OBCIĄ TERMICZNYMI Ż ENIAM I JÓZEF KUBIK (POZNAŃ) Oznaczenia a, współczynnik liniowej rozszerzalnoś
Bardziej szczegółowoWYŚWIETLACZE TEKSTOWE 15 KOLOROWE
$ WYŚWIETLACZE TEKSTOWE 15 KOLOROWE OBSŁUGA ; W STANDARDZIE KLAWIATURA USB - PRZEWODOWO OPCJA PŁATNA - KLAWIATURA BEZPRZEWODOWA Wyświetlacze tekstowe 15-kolorowe Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania
Bardziej szczegółowo~г в +t *( ' (p ' w^'
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 2/3, 21 (1983) EQUATIONS OF THE SPHERICAL SHELL WITH AXIALLY STOCHASTIC IMPERFECTIONS SYMMETRIC, GRAŻ YNA B R Y C Politechnika Warszawska 1. Introduction Realization of
Bardziej szczegółowoOferta ważna od r.
Oferta ważna od 01.11.2016r. Wyświetlacze tekstowe 15-kolorowe Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania tekstu informacyjno-reklamowego w 15 wyrazistych kolorach z wykorzystaniem różnorodnych efektów
Bardziej szczegółowoROCZNIKI BIESZCZADZKIE 22 (2014) str wskazówki dla autorów
Wskazówki dla autorów 409 ROCZNIKI BIESZCZADZKIE 22 (2014) str. 409-414 Roczniki Bieszczadzkie wskazówki dla autorów Roczniki Bieszczadzkie wydawnictwo Bieszczadzkiego Parku Narodowego utworzono dla publikowania
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE BADANIA WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH POLIAMIDU TARLON X A. 1. Wstę p
MECHAN IKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) DYNAMICZNE BADANIA WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH POLIAMIDU TARLON X A STANISŁAW MAZURKIEWICZ (KRAKÓW) 1. Wstę p Własnoś ci mechaniczne tworzyw sztucznych zależ
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA
MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA WOJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla peł nego wyznaczenia na drodze doś
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW PRZY PRĄ DACH ZWARCIOWYCH MARIA RADWAŃ SKA, ZENON WASZCZYSZYN (KRAKÓW) 1. Uwagi wstę pne, założ enia i oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW PRZY PRĄ DACH ZWARCIOWYCH MARIA RADWAŃ SKA, ZENON WASZCZYSZYN (KRAKÓW) 1. Uwagi wstę pne, założ enia i oznaczenia Przy
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoWykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów
Wykład 3 Ruch w obecno ś ci wię zów Wię zy Układ nieswobodnych punktów materialnych Układ punktów materialnych, których ruch podlega ograniczeniom wyraŝ onym przez pewne zadane warunki dodatkowe. Wię zy
Bardziej szczegółowoWyświetlacze tekstowe jednokolorowe SERIA B
WYŚWIETLACZE TEKSTOWE JEDNOKOLOROWE HERMETYCZNE Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe SERIA B Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania tekstu informacyjno-reklamowego w trybie jednokolorowym (monochromatycznym)
Bardziej szczegółowopolska ludowa tom Vll PAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE
polska ludowa PAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE tom Vll INSTYTUT HISTORII POLSKIEJ AKADEMII NAUK POLSKA LUDOWA MATERIAŁY I STU D IA TOM VII PA Ń STW O W E W YDAW NICTW O NAUKOW E W ARSZAW A 1968 1 K O M IT
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoO pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy
ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961) F. Barański (Kraków) O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy 1. F. Leja w pracy zamieszczonej
Bardziej szczegółowoHYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE MIĘ DZY WIRUJĄ CYMI POWIERZCHNIAMI OBROTOWYMI EDWARD WALICKI (BYDGOSZCZ) Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE MIĘ DZY WIRUJĄ CYMI POWIERZCHNIAMI OBROTOWYMI EDWARD WALICKI (BYDGOSZCZ) Wstęp Laminarny przepływ cieczy
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RÓŻ NIC SKOŃ CZONYCH DO TWORZENIA MACIERZY SZTYWNOŚ CI W METODZIE ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH NA PRZYKŁADZIE ZGINANEJ PŁYTY. 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 12 (1974) ZASTOSOWANIE RÓŻ NIC SKOŃ CZONYCH DO TWORZENIA MACIERZY SZTYWNOŚ CI W METODZIE ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH NA PRZYKŁADZIE ZGINANEJ PŁYTY KRZYSZTOF DEMS, JANUSZ
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ METODZIE WYZNACZANIA KRYTERIUM ZNISZCZENIA POLIMERÓW. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 7 (1969) O PEWNEJ METODZIE WYZNACZANIA KRYTERIUM ZNISZCZENIA POLIMERÓW ANDRZEJ DRESCHER (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Stosowane coraz szerzej w konstrukcjach inż ynierskich
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,
Bardziej szczegółowoANALIZA STATYCZNA ZŁOŻONYCH KONSTRUKCJI PŁYTOWYCH W UJĘCIU MAKROELEMENTOWYM
CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXIII, z. 63 (1/I/16), styczeń-marzec 016, s. 397-404 Mykhaylo DELYAVSKYY
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoWyświetlacze tekstowe jednokolorowe
RGB Technology RGB Technology Sp. z o.o. jest wiodącym polskim producentem wyświetlaczy w technologii diod LED. Siedziba firmy oraz zakład produkcyjny zlokalizowane są w miejscowości Tymieo (woj. zachodniopomorskie).
Bardziej szczegółowoLESZEK JARECKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 14 (1976) TERMODYNAMIKA DEFORMACJI KRYSTALITÓW POLIMERU ZANURZONYCH W NAPRĘ Ż ONYM OŚ RODKU AMORFICZNYM LESZEK JARECKI (WARSZAWA) Szeroko stosowane kalorymetryczne,
Bardziej szczegółowoCzuwajcie więc, bo nie znacie dnia ani godziny. (Mt. 25:13)
r ł k J o p e. d e usz T a M U A i t A i t o r u m s ro n o m zn e c se Ob rw a? u k o 8 0 9 1 w ą ri e b y S d a n o h c u b y w o C Czuwajcie więc, bo nie znacie dnia ani godziny. (Mt. 25:13) Seminarium
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF G R Y s A (POZNAŃ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 15 (1977) O SUMOWANIU PEWNYCH SZEREGÓW FOURIERA BESSELA KRZYSZTOF G R Y s A (POZNAŃ) Przy rozważ aniu zagadnień termosprę ż ystoś, cidotyczą cych wyznaczania pól mechanicznych
Bardziej szczegółowo