NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, (9) NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' ANDRZEJ STRZELCZYK, STANISŁAW WOJCIECH (BIELSKO BIAŁA). Wstęp Problem statecznoś ci płyt pierś cieniowych obcią ż onyc h osiowo symetrycznie siłami działają cymi w płaszczyź nie ś rodkowej płyty, nie posiada rozwią zania ogólnego, mimo, że wielu autorów podaje rozwią zania szczególne tego zagadnienia. Zagadnienie statecznoś ci izotropowych płyt pierś cieniowych omawia się w pracach [,,,,]. W pracach [,,], podano ś cisłe rozwią zania nastę pują cyc h przypadków : l praca [] płyta utwierdzona i obcią ż on a tylko wzdłuż brzegu zewnę trznego. W rozwią zaniu zakłada się, że powierzchnia ś rodkowa płyty jest osiowo symetryczna; praca [] płyta obcią ż on a w taki sposób, że naprę ż eni a radialne a r i obwodowe a e są równe: gdzie r w promień wewnę trzny pierś cienia, r współrzę dna promieniowa, p 0 parametr obcią ż enia ; praca [] płyta obcią ż on a takim samym ciś nieniem na brzegu zewnę trznym i wewnę trznym płyty. ROZSA, [], podał przybliż one rozwią zanie zagadnienia dla płyty utwierdzonej i ś ciskanej wzdłuż brzegu zewnę trznego oraz dla płyty utwierdzonej i ś ciskanej wzdłuż brzegu wewnę trznego. W pracy [] otrzymano rozwią zanie numeryczne dla niektórych sposobów podparcia przy założ eniu, że powierzchnia ś rodkowa płyty po wyboczeniu jest osiowo symetryczna. Zagadnienie statecznoś ci płyt ortotropowych rozważa się w pracach [,,, 0], przy czym uzyskane dla poszczególnych przypadków podparcia i obcią ż eni a rozwią zania przybliż one, zakładają przeważ nie osiowo symetryczną postać wyboczenia (prace [,, 0]). W pracy [] przedstawiono przybliż one rozwią zanie zagadnienia dla płyt wzdłuż obu krawę dzi swobodnie podpartych, bą dź utwierdzonych. *' Praca nagrodzona na konkursie na prace teoretyczne z mechaniki, zorganizowanym przez Oddział PTMTS w Łodzi w 9 r.

2 v... A. STRZELCZYK, ST. WOJCIECH I. Cel pracy Celem pracy jest przedstawienie przybliż onego rozwią zania zagadnienia obliczania najmniejszych wartoś ci obcią żń e krytycznych dla płyt pierś cieniowych, cylindrycznie ortotropowych, obcią ż onyc h równomiernie siłami promieniowymi w płaszczyź nie ś rodkowej płyty. Rozwią zanie otrzymane metodą energetyczną Rayleigha Ritza, obejmuje dwanaś cie sposobów podparcia płyty, przy dowolnym stosunku ciś nień działają cych na krawę dź wewnę trzną i zewnę trzną płyty. Podano sposób przybliż onego okreś lenia liczby ś rednic wę złowych, dla której wartość obcią ż eni a krytycznego jest najmniejsza. Przedstawione na wykresach i tablicach wyniki obliczeń mogą być wykorzystane w obliczeniach inż ynierskich.. Obliczenie całkowitej energii potencjalnej płyty Całkowitą energię potencjalną płyty oblicza się według wzoru (.) V V + Vg, gdzie V n energia potencjalna sił zewnę trznych, V g energia potencjalna płyty spowodowana zginaniem płyty. Wielkoś ci V i V g wyraż ają się wzorami: \ i \ rdddr, rw 0 L * ' r x n f f L Л ftf d w\ л ш ж д lw\ rdddr, gdzie M r, M 0 oznaczają odpowiednio promieniowy i obwodowy moment zginają cy, M r0 moment skrę cają cy, w ugię cie płyty, r w,r promień zewnę trzny i wewnę trzny płyty, N r,n 0 jednostkowe siły normalne w płaszczyź nie ś rodkowej płyty w kierunku promieniowym i obwodowym. Momenty M r, M 0, M r0, wystę pująe c w (.), moż na obliczyć ze wzorów: I \d w / w d w\\ ż i'> n Г Д i w >'V d w, d w\] i w (.) м П к.. ш, d gdzie Q _ Erh (l v r v e ) '

3 NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANI E STATECZNOŚ CI PŁYTY 9 Do = Eę h D k = Gh T~' v,,v g stałe Poissona, Е Щ moduły sprę ż ystośi c w kierunku i obwodowym, G moduł sprę ż ystośi cpoprzecznej, h grubość płyty. promieniowym Siły błonowe N N wystę pująe c w (.) moż na obliczyć ze wzorów podanych w pracy []: (.) (.) N r = h Pw ' w + Pz к _ P w PzQw,k, \ k. l l Ql ed*' k S w < ~ Q ~ N e = kih PwQw + Pz nk i P*> PzQw i gdzie p w,p z oznaczają ciś nienia działają ce odpowiednio wzdłuż obwodu zewnę trznego i wewnę trznego płyty, q w = bezwymiarowa wartość promienia wewnę trznego E płyty, k\ = = ч współczynnik ortotropii. Ł r Po podstawieniu (.), (.), do wzoru (.) i (.), (.), (.) do wzoru (.) zgodnie ze wzorem (.), otrzymuje się: (.9) n mi ~dg~ + v 0 dw q q Pw 0, f i d w dw w q t q д а T q de d w \ d w q f ~W r )\'dq r + + (l v e ) [dę de \ Q + dw Q So QdddQ, f gdzie: q = к, l promień bezwymiarowy współczynniki ortotropii okreś lone wzorami: p* hf z - A D» П Щ, v k D r ' bt + V o > bezwymiarowa wartość obcią ż eni a krytycznego, D r

4 0 A. STRZELCZYK, ST. WOJCIECH. Okreś lenie wartoś ci obcią ż eni a krytycznego Najmniejszą wartość obcią ż eni a krytycznego wyznaczono metodą Rayleigha Ritza. Założ ono, że funkcja w okreś lająa c ugię cie płyty ma postać: (.) iv = W' cos/0, gdzie jest funkcją jednej zmiennej Q, a m liczbą ś rednic wę złowych. Przypadek m = 0 odpowiada osiowosymetrycznej postaci wyboczenia. Nastę pnie przyję to, ż e: i = n (.) W = W{Q) = ^Ш я ), gdzie /( są współczynnikami, a ^(g) są funkcjami współrzę dnej Q. Ponadto, założ ono, że rjiio) są postaci: ( ) Vi(Q) = ja t, Ą Q l^ \ przy czym t = liczba geometrycznych warunków brzegowych płyty, a ifj współczynniki, których wartość zależy od sposobu podparcia płyty. Poszukiwaną wartość obcią ż eni a krytycznego wyznaczono z warunków, że całkowita energia potencjalna płyty w stanie równowagi jest minimalna, tzn.: (.) ^ = 0, i =,,...и. Po uwzglę dnieniu w (.) zależ nośi c (.), (.), (.), (.9) i po dokonaniu odpowiednich przekształceń, równania (.) przyjmują postać: J n (.) (У и Р *х,м = 0, dla i =,, n, gdzie l i i У и = f EŚ {l(i+p l)(i+p+n ) v 0 m ] (j+q ) (J+q~ ) + + h+p ) (i+p )v 0 +(i+p l)k k m ) (j+q l m ) + [(j+q l)x x (j+q + v g ) v e m ] (i+p ) (i+p )+[(J+q ) (J+q^)v B + + (j+q l)k k m ] (i+p \ m ) + A(l v e )m (i+p ) (j+q )} x i t t X ' J= E\.^ Q + FQ~^){i+p \){j+q \) + KI + k\m (F, Q^ F Q ^)] a^aj,, Q!+ { + ' + «" *d Q. Warunkiem koniecznym istnienia niezerowego rozwią zania układu równań liniowych (.) jest spełnienie równania (.) det(y />*X) = 0, gdzie X = (xij), Y = (y ifj ) macierze kwadratowe stopnia n.

5 NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANI E STATECZNOŚ CI PŁYTY Tablica. Zestawienie geometrycznych warunków brzegowych w zależ nośi cod sposobu podparcia płyty Nr przypadku Sposób podparcia płyty Liczba warunków t Numery warunków I : ć ć ć t ///// \ :,,, II / / / / / A,,,, III "у,, IV s / / / / /,, V j т &т ;,, VI VII i VIII B. Ł } A? A,, IX S i, X j A "', XI i / / / / / j, i., XII i A,,

6 A. STRZELCZYK, ST. WOJCIECH \ Schemat ^ v stat. n Wynik wg []! _ u/// f i p* Tablica. Porównanie wartoś ci p* z wynikami Л P* \ Qw = 0, Qw = 0, Q = 0, Q = 0, Qw = 0, Q w = 0,,00,000,,,, 0,,0, 0,0,,09,,0,099 0,9,,0,,0,09 00,,,9,,9,0 99,,,9,0,9,0 99,0, i,9,,9,0 99,9,,0 Ostatecznie problem wyznaczania obcią żń ekrytycznych, zgodnie z (.), sprowadził się do uogólnionego zagadnienia wartoś ci własnych macierzy, które moż na efektywnie rozwią zać numerycznie za pomocą elektronicznej maszyny cyfrowej.. Okreś lenie wartoś ci współczynników a,,j Funkcje współrzę dnych??, ((?), wystę pująe c we wzorze na funkcję ugię cia W, powinny spełniać odpowiednie geometryczne warunki brzegowe płyty. Warunki te mogą mieć jedną z nastę pują cyc h postaci : Ч (в») г 'щ ~> =o, j o o, t JJ = a.., 0"+ i)el +; = o, driiil) dq~ У «м 0'+; ) = о. W tablicy podano zestawienie rozpatrywanych przypadków podparcia płyty i przyporzą dkowanie im ograniczenia na funkcje współrzę dnych. Przy założ eniu, że a iit = wartoś ci współczynników dla i m,,...,n, oraz j = 0,, t \ wyznacza się rozwią zując n układów równań liniowych o t niewiadomych.

7 NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE STATECZNOŚ CI PŁYTY otrzymanymi w pracy [] (k = k\, i =, ro = /) ////<? X = 0 p* ^ } X = 0 p* Q W = 0, ty = 0, Qw = ' e w = o,i Qw = 0, Q W = 0,,,0 9,9,,,,0,09,,,,,9,0,0,,,,9,00,,0,0,,,9,,0,099,,,9,,0,09,0,,9,,0,09, '. Okreś lenie liczby ś rednic wę złowych Dla okreś lenia liczby ś rednic wę złowych m, której odpowiada najmniejsza wartość obcią ż eni a krytycznego p*, zastosowano metodę przybliż oną, podaną w pracy []. Zgodnie z [], problem sprowadza się do rozwią zania równania kwadratowego (.) az + bz + c = 0, gdzie z = ni. Dla przyję tej postaci funkcji współrzę dnych współczynniki a, b, с są równe: b = X 0 Y Ą, С Л 0 I Л I о, <. i l l gdzie: A o = f ZiFiQb' + FzQ ^ija^iatjq'+^do, # = p w (=0 y'=0 I 't Pw i=0 = 0 Г о = Y = I» SE pw (=0 j=0,, p w I O y=0 {y'to' l+^o'-o+^+h' i)]}^.. ^.^^' ^ {vkj l)+k*j+i[k*+v(i l)] + + (v / ) (/ ) U ^)}ai.iai.je i+j ~ dq,

8 A. STRZELCZYK, ST. WOJCIECH I i t Y * = j ^ ^a Ui a Uj Q i+j d(), v = v g p w /=0 j=q Jako m przyjmuje się: 0 jeś li równapie (.) ma pierwiastki zespolone lub rzeczywiste i równo (.) m = {,. Г. / /. r Iczesme oba ujemne, entier () / max(z I, z )), w przypadkach pozostałych, gdzie z lt z są pierwiastkami równania (.).. Opis algorytmu obliczeń Celem wykonania obliczeń numerycznych opracowano program w ję zyku ALGOL 900. W programie moż na wyodrę bnić nastę pująe c zasadnicze fazy:. Wyznaczanie współczynników a t j. Układy równań rozwią zuje się metodą Gaussa Jordana.. Okreś lenie liczby m według wzorów podanych w punkcie.. Obliczanie elementów macierzy X i Y.. Obliczanie wartoś ci własnych równania (.) w tym: A. obliczanie macierzy odwrotnej do X metodą rozszerzania, B. obliczanie współczynników wielomianu charakterystycznego macierzy Z = YX metodą Danilewskiego, C. obliczanie zer wielomianu charakterystycznego metodą Bairstowa. \ Obliczenia zrealizowano na maszynie ODRA 0 z pojedynczą precyzją (liczby pamię tane z dokładnoś cią do cyfr znaczą cych).. Analiza wyników obliczeń Wyniki obliczeń dla przypadków płyty obcią ż one j wzdłuż brzegu wewnę trznego podano w tablicach, a dla pozostałych przypadków obcią ż eni a na rys.. Liczby nad krzywymi oznaczają liczbę ś rednic wę złowych, dla których krytyczna wartość obciąż enia jest najmniejsza. Obliczenia prowadzono dla płyt obcią ż onych : a) ciś nieniem działają cym tylko na brzeg wewnę trzny płyty, tablice ( ), b) ciś nieniem ujemnym działają cym tylko na wewnę trzny brzeg płyty, tablice ( ), c) jednakowym ciś nieniem działają cym na obu krawę dziach płyty tzn. p. = p w, (rys. ), d) ciś nieniem działają cym na obu krawę dziach płyty, przy czym = 000, co Pw praktycznie odpowiada obcią ż eni u ciś nieniem działają cym tylko na zewnę trznym brzegu płyty (rys. ). W każ dym z podanych wyż ej sposobów obcią ż eni a płyty, obliczenia prowadzono dla dwunastu schematów podparcia płyty (patrz tablica ). Dla każ dego sposobu obciąż enia i podparcia płyty obliczono wartość siły krytycznej dla:

9 NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANI E STATECZNOŚ CI PŁYTY Tablica. Wartoś ci bezwymiarowego obcią ż eni a krytycznego p* = Sposób obcią ż. V//JCS ZZZZZJ* m = 0 '/'" ////i I m ф о \ liczba m wszę dzie równa 0 liczbę m podano pod wartoś cią p* przyp. 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ,0 0 9, , U, , ,, 0,9,,0,, 0 0,,, 9, 0 III,0 9,,,9,0,, 00, 9,9,9 0,,0,,,,9 9, 9 0, 0 9,9 0,0 0,,9,9,0 0 IV,0 9 0,,, 9,,

10 A. STRZELCZYK, ST. WOJCIECH Tablica. Wartoś ci bezwymiarowego obcią ż eni a krytycznego p* = D, Sposób obcią ż. N r \ przyp. к PXS VE i m = 0 m ф 0 liczba m wszę dzie równa 0 liczbę m podano pod wartoś cią p* 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, V, , ,,, 9, VI,0 0 90, 9, 0 9 0, " 9 0,,,,0,,0 0,0 0,,,, v,, VII,0,,,,,0, 9,,, 9,,,,0,,,,, 0 0,,0, 0,, 9,,9 0,9 0, 9,,,,, 9, VIII,0,,,0, 0, 9,,, 9,0,,, ,, 9,

11 / NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE STATECZNOŚ CI PŁYTY Sposób obcią ż. \ Pw' lr z Tablica. Wartoś ci bezwymiarowego obcią ż eni a krytycznego p* = ZF ///////** ; i m = 0 m ф o liczba m wszę dzie równa 0 liczbę m podano pod wartoś cią p* przyp. к 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, 9,,9 0,9 0,,, 0, 9,,, 0 IX,0,,,0, 0, 9,,,,,, , 90,0 9,,,,,0,,0',0,,,,, 9,9 X,0,,,,,0,,,, 9, 9,9,,0,,,,, 0 ',,9,,, 0 9,9 0 0,9 0, 0,9,9 9,, XI, ,, 0, 9,, ,,,0,,0,,,,,,,0 9,0 XII,0 9,,,9,0,, 90,,,9,,9,0,,,, 9, 0 09

12 <lgi ^ o II с»..[]

13

14

15 ca <*> Q' к Ci' С * ca Pi Pi - Pi * []

16 A. STRZELCZYK, ST. WOJCIECH płyty izotropowej (kj = k =, v 0 = 0,, l = ), płyty ortotropowej, wzmocnionej w kierunku promieniowym (k\ = k = 0,, v e = 0,\, / = ), płyty ortotropowej, wzmocnionej w kierunku obwodowym (k = k =, v e = 0,, l = ). Wartoś ci obcią ż eni a krytycznego wyznaczono dla QW zmieniają cego się od 0,0 0,9 co 0,. Przedstawiony w pracy sposób przybliż onego wyboru liczby ś rednich wę złowych m, dla której wartość obcią ż eni a krytycznego jest najmniejsza, w niektórych przypadkach okazał się zawodny. Najwię ksze błę dy w wyborze liczby m wystą piły dla płyty obcią ż o nej tym samym ciś nieniem działają cym na obu krawę dziach i podpartej według schematu V. Na przykład dla płyty izotropowej, według wzoru (.) otrzymano m zmieniają ce się od m =, dla QW = 0,0, do m = dla g w = 0,9. W rzeczywistoś ci, najmniejszą wartość obcią ż eni a krytycznego w tym przypadku otrzymuje się przy m = dla QW = 0,0, 0,, 0, i przy m = 0 dla g w ^ 0,. W innych przypadkach wartość m była wybierana prawidłowo, w sporadycznych jedynie przypadkach róż niła się od właś ciwej o jednoś ć. Dla opisanych wyż ej przypadków niewłaś ciwego doboru liczby m, wartość najmniejszego obcią ż eni a krytycznego wyznaczono metodą prób i błę dów. Porównując otrzymane wyniki z wynikami podanymi w znanych pracach, należy wnioskować, że przy uwzglę d nieniu odpowiednio duż ej liczby wyrazów szeregu funkcyjnego, przybliż ają ceg o funkcję W, moż na otrzymać wyniki z błę dem wzglę dnym < 0.% (przy pojedynczej precyzji obliczeń, w niektórych przypadkach, tylko dla g w ^ 0,). Dla otrzymania wyników z błę dem nie wię kszym niż % wystarcza uwzglę dnić, wyrazy szeregu funkcyjnego. Najmniej dokładne wyniki otrzymano dla płyt obcią ż onyc h od wewną trz. W tablicy przedstawiono porównanie otrzymanych wyników z wynikami zamieszczonymi w pracy [] (rezultaty tej pracy należą do najdokładniejszych, jakie spotkano w dostę pnej literaturze) dla płyty izotropowej. Badając ciąg róż nic S = pt pt i (Pn oznacza wartość siły krytycznej uzyskanej przy założ eniu funkcji W złoż onej z n wyrazów szeregu (.)) stwierdzono, że ciąg ten dą ży do zera przez wartoś ci dodatnie. Ciąg ten nie jest jednak ś ciś l e maleją cy. Dlatego przy ocenie dokładnoś ci wyników nie moż na ograniczyć się do sprawdzenia wartoś ci jednej róż nicy S. Na przykład, dla płyty izotropowej utwierdzonej na brzegu zewnę trznym i obcią ż one j ciś nieniem przyłoż onym na brzegu wewnę trznym płyty (p w = 0,, v = /) ciąg róż nic jest nastę pują cy : 0,0, 0,, 0,00, 0,00. Gdyby w tym przypadku dokonać oceny dokładnoś ci wyników pierwszego przybliż enia, ograniczając się do pierwszej róż nicy, to w rezultacie otrzyma się błę dny wniosek, że błąd bezwzglę dny jest w granicach 0, wobec błę du rzeczywistego około 0,. W wię k szoś ci przypadków najwię kszą poprawę wyników uzyskano w drugim przybliż eniu (w granicznych przypadkach błąd kilkuset procent zmniejszył się do kilkudziesię ciu procent).

17 NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANI E STATECZNOŚ CI PŁYTY 9. Uwagi koń cowe Z analizy uzyskanych wyników wynikają nastę pująe c wnioski: A. Najmniejszą wartość obcią ż eni a na ogół otrzymuje się przy założ eniu niesymetrycznej postaci wyboczenia płyty (w # 0). B. Rzeczywista liczba ś rednic wę złowych m zależy od: sposobu obcią ż eni a płyty (przy ciś nieniu ujemnym działają cym na wewnę trzny brzeg płyty otrzymuje się zawsze niesymetryczną postać wyboczenia), sposobu podparcia płyty, bezwymiarowej wartoś ci wewnę trznego promienia płyty, wartoś ci starych ortotropii k\ i k, (z wyją tkiem przypadków IX i X, mniejszym wartoś ciom k] = k odpowiadają wię ksze liczby ś rednic wę złowych), C. Dla małych n w zmiana m o powoduje otrzymanie wyników róż nią cyc h się od prawidłowych nawet o kilkaset procent. D. Gdy c>ń, >li poprawna wartość m jest rzę du kilkudziesię ciu, zmiana m o kilka jednostek nie ma wię kszego wpływu na wynik. E. W niektórych przypadkach przyję cie W = f x r\ y (g) pozwala obliczyć wartość krytyczną z wystarczają cą dla celów praktycznych dokładnoś cią. I tak dla płyty izotropowej i р и, > 0, (dla płyty ortotropowej otrzymuje się podobne wyniki): błąd wzglę dny nie przekracza 0% w nastę pują cyc h przypadkach płyt obcią ż onych : tylko ciś nieniem wzdłuż brzegu wewnę trznego i podpartych według schematu II (tylko dla QW < 0,), III i XII; ciś nieniem ujemnym wzdłuż brzegu zewnę trznego i podpartych według schematu IV, VI, VIII, X, XI, XII; ciś nieniem działają cym tylko wzdłuż brzegu zewnę trznego i podpartych wzdłuż schematu I, IV, X, XII; ciś nieniem działają cym z taką samą wartoś cią na oba brzegi płyty i podpartych według schematu I, IV, VII, X, XII. Ponieważ przy założ eniu, że W = / } I]I(Q) okreś lenie wartoś ci krytycznej prowadzi do prostych i stosunkowo nielicznych operacji matematycznych, moż na do obliczeń wykorzystać zwykły kalkulator elektroniczny. F. Zamieszczone w pracy wykresy pozwalają nie tylko na okreś lenie wartoś ci obcią ż e ń krytycznych, ale dają pewne wskazówki co do wyboru o w (szczególnie waż ne dla płyt podpartych według schematu VII i X, obcią ż onyc h wzdłuż brzegu zewnę trznego), przy których płyta jest najbardziej stateczna. G. Dla płyt konstrukcyjnie ortotropowych wzmocnionych ż ebrami, lepszą stateczność zapewnia wzmocnienie w kierunku promieniowym. Zastosowana metoda obliczania obcią ż e ń krytycznych teoretycznie zapewnia otrzymanie wyników z dowolną dokładnoś cią. Praktycznie otrzymane rozwią zania obarczone są błę dami wynikają cymi z faktu, że obliczenia prowadzono z pojedynczą precyzją. Stwierdzono, że pojedyncza precyzja pozwala otrzymywać wyniki wystarczają co dokładne dla QW < 0,. Dla QW > 0, wydaje się celowe wykonywanie obliczeń z podwójną precyzją. Dla kompletnoś ci przedstawionych wyników przy wykonaniu wykresów dla p w = 0,, 0,9 i podparciu płyty według schematu nr I, wykorzystano wyniki z pracy [].

18 A. STRZELCZYK, ST. WOJCIECH Literatura cytowana w tekś cie. Э. Ф. Б у р м и с т, р X. о в M. М А С Л О, В У с т о й ч и в о кс тр уь г л ы кх о л ь ц е в ыо рх т о т р о п н ып лх а с т и н о к, Н е к о т о е р зы а д аи ч т е о р и и у п р у г ои с о т к о н ц е н т р и а нц иа п р я ж ей н уи п р у гх и т е л, (9),.. С. Г. Л Е Х Н И Ц К, И АЙ н и з о т р о п нп ыл еа с т и н к Ги о, с т е х и з, д Ма то с к а в 9.. S. MAJUMDAR, Buckling of a thin annular plate under uniform compression, AIAA. Journal, 9, 9 ( E. H. MANSFIELD, On the buckling of an annular plate, Quart. Journ. Mech. and Applied Math.,, (90).. G. K. RAMAIAH, K. VIJAYAKUMAR, Buckling of polar orthotropic annular plates under uniform int pressure, AIAA Journal,, (9) E. PYTEL, Z. WASZCZYSZYN, Numeryczna analiza symetrycznego wyboczenia sprę ż ystejpłyty pierś niowej na tle istnieją cychrozwią zań,czasopismo Techniczne,, (9).. M. ROZSA, Stability analysis of thin annular plates compressed along the outer or inner edge by u distributed radial forces, Acta Technica Academiae Scientianum Hungariacae, (9) 9.. A. STRZELCZYK, Wyboczenie płyt pierś cieniowych cylindrycznie ortotropowych, Arch. Bud. Maszyn, (9) M. TROMBSKI, Zagadnienia płyt pierś cieniowych o ortotropii cylindrycznej w uję ciunieliniowym, Zeszy Naukowe PŁ, nr, Mechanika, z., Łódź E. B. UNTHGENANNT, R. S. BRANT, Buckling of orthotropic annular plates, AIAA Journal,, (90) N. YAMAKI, Buckling of annular plate under uniform compression, J. Appl. Mech., E (9) Р е з ю ме Ч И С Л Е Н НЕ ОР Е Ш Е Н Е И З А Д А И Ч О Б У С Т О Й Ч И В ОИ С КТ О Л Ь Ц Е ВЙ О П Л А С Т И Ы Н С Ц И Л И Н Д Р И Ч Е Й С К О О Р Т О Т Р О П Й И Е В р а б ое т п р и в е до е рн е ш е не из а д аи ч о к р и т и ч е х с кн иа г р у зх к да ля к о л ь ц е х в ып л а с тн и с ц и л и н д р и ч ей с ко ор т о т р о п, и не ай г р у ж е нх н оы с е с и м м е т ро ид ча нв л е н м и не а к р а я. хд о с их п ор р е ш е н я и т а к й о з а д аи ч и м е л и сл ь и шь д ля н е к о т о х р ыс л у ч в а ен а г р у ж ея н и о п и р а я н ип л а с т и. н ы П о л у ч е не нп ор и б л и ж е е н рн ео ш е не и(м е т д о Р е л е я Р и ) т и ц ча и с л е н е н ры е з у л ь ты а от т н о с яя тк с п л а с т и нм а : н а г р у ж е нм н ры а з л и ч н и ы дм а в л е н ии я нм а в н у т р е нм н и е в н е ш нм е к о н т у р; а х и м е ю щ м и с п о с о в б оо п и р а н ; и я и з о т р о п м н ыи о р т о т р о п н. ы м П р и в е н д ес п о сб о р а с ч а е тч и с а л у з л о вх ы д и а м е т р, о вт в е ч а ю що ем ги н и м а л ь у н оз мн а ч е ю н и к р и т и ч е й с кн оа г р у з. к и Summary NUMERICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF STABILITY OF AN ORTHOTROPIC ANNULAR PLATE The problem of calculating the critical load of cylindrically orthotropic annular plates under uniform pressure is solved by the Rayleigh Ritz method. Up to now the problem was solved only under certain loading and supporting conditions. The approximate solution presented and the numerical results of computation obtained contain the following examples of plates:

19 NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANI E STATECZNOŚ CI PŁYTY loaded by different pressures applied to the inside and at the outside edges; supported according to various schemes; isotropic and orthotropic. The method of calculating the number of diametral nodal lines corresponding to the least critical value was given. INSTYTUT MECHANICZNO KONSTRUKCYJNY FILIA POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ w BIELSKU BIAŁEJ / Praca została złoż ona w Redakcji dnia 0 marca 9 r. I. \ I