WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY WANDA SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA (WARSZAWA) W liniowych układach drgają cych о wielu stopniach swobody poję cie postaci własnych i zwią zanych z nimi współrzę dnych normalnych gra istotną rolę przy badaniu drgań wymuszonych i samowzbudnych. Jak wiadomo, przy uż yciu tych współrzę dnych równania ruchu układu konserwatywnego o skoń czonej lub nieskoń czonej iloś ci stopni swobody dadzą się przedstawić w postaci równań wzajemnie niezależ nych Moj Soj + Moj wź j Coj = Qj(t), j = 1,2,...,«, gdzie o) OJ czę stość własna, M 0J uogólniona masa, Qj(t) uogólniona siła / tej postaci drgań, n liczba stopni swobody układu, y ta współrzę dna normalna zwią zana ze współrzę dnymi x t (x t wychylenie masy m t od położ enia równowagi) za pomocą liniowej transformacji л gdzie: b ot j, i = 1,2,...,и j ta. postać własna. Współrzę dne 0 J umoż liwiają posługiwanie się rozprzę ż onymi równaniami ruchu, a przede wszystkim umoż liwiają operowanie układem o zredukowanej liczbie stopni swobody przy zapewnieniu duż ej dokładnoś ci obliczeń. Jest to szczególnie korzystne przy badaniu drgań samowzbudnych układów cią głych, np. wiszą cych mostów, powierzchni noś nych samolotów itp., gdyż wyniki doś wiadczeń i obliczeń pozwoliły stwierdzić, że w drganiach tych «bierze udział» tylko kilka pierwszych postaci drgań. Tak więc układ cią gły zastę pujemy układem zredukowanym do kilku, najczę ś cie j dwóch stopni swobody, to jest do dwóch równań. Podobne uproszczenie polegają ce na odrzuceniu współrzę d nych C 0 j odpowiadają cych wyż szym czę stoś ciom własnym daje bardzo dobre rezultaty przy badaniu drgań wymuszonych. Wobec duż ych trudnoś ci pojawiają cych się przy analizie drgań układów z charakterystyką nieliniową powstało pytanie, jak z moż liwie dużą dokładnoś cią przenieść zastosowanie tego rodzaju uproszczeń na te układy. 2 Mechanika Teoretyczna

2 18 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA W niniejszej pracy zbadamy dwie drogi podejś cia do tego zagadnienia: 1) przez zastosowanie liniowych współrzę dnych normalnych i zaniedbanie ich sprzęż enia, 2) przez zastosowanie tzw. nieliniowych współrzę dnych normalnych zdefiniowanych w pracy [1]. 1. Model mechaniczny i równania ruchu układu Niech modelem rozważ anego układu bę dzie n skupionych mas połą czonych ze sobą i z masą m 0 = oo za pomocą nieważ kich sprę żn y i elementów rozpraszają cych energię (rys. 1). P, cos Ot PzCOsOt P n cos Qt XQ 0 m 1 f & SnD Sin \ 1 \ in S ( J element sprę ż ysfo ttumieniowy mię dzy masą m ( / m k. Rys. 1. Model mechaniczny układu OJI stopniach swobody Równania ruchu we współrzę dnych równowagi, mogą być zapisane nastę pują co : gdzie x t wychylenie masy w f od położ enia (1.1) mi Xi + 2J S IK (x t x k, Xi x k ) Pi cos Qt = 0, i = 1,2,... n, S IK siła oddziaływania mię dzy masą т { i m k. Po wydzieleniu z siły sprę ż yste j czę śi cliniowo zależ nej od odkształcenia sprę ż yn y równania (1.1) przybiorą postać (1.2) x t + 2jK ik (xi x k )+fififri,...,x,xi, x n ) P ic osqt = 0. O funkcji fi założ ymy, że dla rozwią zania harmonicznego (1.3) X{ = r t cos(qt <pi) f

3 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 19 moż na ją przedstawić w postaci szeregu Fouriera R (1.4) fi = pw+ JT 1 (pmcosvb+gpsinve). v= 1 Oznaczając przez w 0J,j = 1, 2,..., n czę stośi cwłasne, a przez b oij, i,j= 1, 2,..., n postacie własne układu zlinearyzowanego, liniowe współrzę dne normalne 0 i wprowadzimy za pomocą transformacji л (1 5) Xi = ]^ borzoj. Dzię ki własnoś ci ortogonalnoś ci postaci własnych równania (1.2) przekształcimy do postaci (1.6) ej = M 0 j' 0 j+m 0j a)ljc 0 j+fifj(c 01,... 0n, f 0 i. ł 0n ) o.,cosj2f = 0, gdzie л л л (1.7) M 0J = J^mMij, Qoj = ^Piboij, Fj = 2f,b 0{J. /=i /=1 <=i Funkcje Fj, podobnie jak f t dla rozwią zania harmonicznego, przedstawimy w postaci szeregu Fouriera (1.8) Fj = Р У Ч (Pi J) cosvo + Gi J hinv6). R v = l Równania ruchu we współrzę dnych normalnych f 0 j dla układu nieliniowego są więc nadal sprzę ż on e przez nieliniową funkcję Fj. Przypomnijmy najpierw podstawowe cechy układu zlinearyzowanego konserwatywnego {Fj = 0). Rozwią zanie równań ruchu (1.6) dla Fj = 0 daje nam od razu g o (1.9) i oj = aojgoibt, a 0J ' ; a stąd otrzymujemy współrzę dne.v ; za pomocą (1.5) л n M 0 ;(cug, fl 2 ) (1 1Г Л v V b uq J C O S Q T _ Vj.f. JTi M 0 J{MIJ Q 2 ) ft Rozwią zanie w tej postaci doskonale ilustruje zjawisko rezonansu i rolę współrzę dnych normalnych. Widzimy, że gdy Q» w 0s, to amplituda drgań układu dą ży do nieskoń czonoś ci, ale spoś ród współrzę dnych f 0J tylko jedna f 0«dą ży do nieskoń czonoś, cia amplitudy wszystkich pozostałych «nierezonansowych» współrzę dnych przybierają pewne ograniczone wartoś ci. Zatem w pobliżu rezonansu moż na pominąć współrzę dne «nierezonansowe» i rozpatrywać tylko jeden stopień swobody zwią zany ze współrzę dną «rezonansową» (1.11) Xi > b ois C 0s. Postać drgań układu w pobliżu rezonansu dą ży zatem do postaci własnej b ois. Rozważ ania te są w przybliż eniu słuszne i dla układu tłumionego, jeś li tylko tłumienie jest na tyle małe, że maksymalna amplituda a 0s jest dostatecznie duża w porównaniu z a 0J,j ф s. г *

4 20 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA Postać równań ruchu układu nieliniowego (1.6), w którym sprzę ż eni e jest tylko poprzez «mały» nieliniowy człon fj,fj nasuwa zrozumiałą chęć zastosowania uproszczenia polegają cego na zaniedbaniu tego sprzę ż eni a i rozpatrywaniu równań ruchu w postaci (1.12) M 0 j' 0 j + M OJ coljeoj + t*fj( oj, ioj) Q 0 jcosqt = 0. Uproszczenie to wynika również z samej procedury szeroko stosowanej w literaturze metody uś rednienia [4]. We wcześ niejszej pracy [2] analizowany był efekt sprzę ż eni a współrzę dnych 0 1, 0 2 na przykładzie układu o dwóch stopniach swobody za pomocą metod teoretycznych oraz za pomocą maszyny analogowej. Ponadto w pracy [3] badane były analityczne metody przybliż one stosowane przy analizie drgań ustalonych układów nieliniowych o n stopniach swobody, a w pracy [1] wprowadzono i zdefiniowano poję cie nieliniowych współrzę dnych normalnych i zbadano zachowanie się tych współrzę dnych w pobliżu rezonansu. Podsumowując rezultaty tych prac należy stwierdzić, że w pobliżu rezonansów głównych dominują drgania harmoniczne o czę stośi csiły wymuszają cej Q, a więc przybliż one rozwią zanie moż na założ yć w postaci Xi = ri(cosqt q>i), przy czym najwię kszą dokładność przy stosunkowo duż ych wartoś ciach amplitud uzyskamy, gdy współczynniki r ;, <p t okreś limy za pomocą metody Ritza. 2. Liniowe współrzę dne normalne w analizie rezonansów głównych układu nieliniowego W oparciu o rozwią zania harmoniczne uzyskane metodą Ritza zbadajmy zachowanie się współrzę dnych C 0J przy uwzglę dnieniu ich sprzę ż eni a w równaniach (1.6) oraz przy zaniedbaniu tego sprzę ż eni a (1.12). Zakładamy rozwią zanie w postaci (2.1) 0 j = a 0j (cos / #,). Równania Ritza, z których wyznaczymy nieznane współczynniki a 0J, &j zapiszemy następują co : (2.2) 2л / ij(t) cosqtd(qt) = 0, j = 1,2, 2л / lj(t) smqtd(qt) = 0, o gdzie sj(t) «pozostałoś ci» równań (1.6) po podstawieniu do nich przybliż onego rozwią zania (2.1). W przypadku układu zachowawczego moż emy od razu przyjąć &j = 0 i równania (2.2) przybierają postać 2л (2.3) a QJ M 0J {mlj Q 2 )+ j fifj(a 0l cosqt,... a 0n cosqt)cosqtd(qt) Q 0J = 0, o j = 1,2,...,n

5 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 21 lub, uwzglę dniając oznaczenia wzoru (1.8), a 0j M 0 j(a)lj Q 2 ) + Pi J) (a 0l, a 02,... a 0n ) Q 0J = 0, j= 1,2,...,n. Rozważ my teraz rezonans, przy którym a 0,» oo : (2.4) M 0s (co 2 0, Q 2 ) + Ł P[ )(a 01, a 02,... a 0a ) = ^Os "Os M 0 J ^(a»sj ^)+ ilpp ( f l 0 1, fl02,... а 0я ) = y = 1,2,...,s l,s+l,...,n. Przyjmując Q 0 jla 0 s = 0 otrzymujemy układ równań jednorodnych z niewiadomymi «oi. «02. «os i, a 0s+i,... a 0 i Q. Moż na wykazać, że w ogólnym przypadku wszystkie amplitudy współrzę dnych normalnych dą żą do nieskoń czonośi ctak, że dla a 0, > oo (2.5) a 0] ja 0s > const, a zatem postać drgań układu przy rezonansie dą ży do pewnej wartoś ci & й róż nej od liniowej postaci własnej n 2b 0tj a 0j (2.6) ~ = ^ >Ь,Ф Ь 01,. x l \л, а о «> о Z OlJ a O] y=l Natomiast przy zaniedbaniu sprzę ż eni a mię dzy f 0 1, 0и» С 2 У и Р Г 2 У posługiwaniu się uproszczonymi równaniami (1.12), otrzymamy wynik podobny do wyniku dla układu liniowego, ~, ri. Q 0s cosqt (2.7) 0 j = a 0,cosQt = M0s[co 2 (a 0,) G 2 ] gdzie ao«*oo upw(a n ) (2 8) co 5 (a 0j ) = a>os+mi (O = «>о,+ 2a 0s Mo, i w rezultacie postać drgań przy rezonansie nie ulega zmianie Xijxx -> Z>o(»- 3. Nieliniowe współrzę dne normalne w analizie rezonansów głównych Rozszerzmy teraz poję cie czę stośi ci postaci własnych na układ nieliniowy. Drgania główne nieliniowego układu autonomicznego zakładamy w postaci funkcji harmonicznej (3.1) x t = Oijcoscojt = ajbijcoscojt, i,j =1,2, и, b } j = 1.

6 22 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA Podobnie jak w układzie liniowym, wielkoś ci coj, j = l, 2,..., n, nazywamy czę stościami własnymi, a współczynniki b tj, i = 1, 2, 3, n, j=\,2,...,n postaciami własnymi układu. Wielkoś ci te są funkcjami amplitudy a okreś limy je z równań Ritza 2л (Oj = coj(aj), bij = b u (aj), j = 1,2, и, i = 2, 3, n, (3.2) J Si(t)cosa>td(a)t) = 0, i = 1,2,...,n, o gdzie ;(/) «pozostałoś ci» równań ruchu (1.2) po podstawieniu do nich przybliż onego rozwią zania (3.1). Uczynimy założ enie, że w rozpatrywanym zakresie parametrów wszystkie czę stośi ccoj i postacie własne Ь И przybierają róż ne wartoś ci. Zbadajmy teraz zachowanie się układu nieliniowego zachowawczego przy rezonansie zakładają c, że czę stość siły wymuszają cej może zbliż yć się nieograniczenie do czę stośi c własnej OJ S. Podstawiając do równań ruchu rozwią zanie w postaci JC ( = /,cosi2/ i stosując metodę Ritza otrzymujemy równanie z niewiadomymi г 1 г г 2,...,r, n /w, 2 r,+ ^K ik (ri r k ) + Jt=0 2л + Г fifiir^cosqt, 71 J... r cosqt)cosqtd(qt) = P t /=1,2, п. О Po podzieleniu stronami przez r s otrzymujemy n 2л (3.3) niiq 2 ^ + У к 1к^^ + Г fificosqtd(qt) = /=1,2, n. ł*s TP TT/Yч s *) s fг k=0 0 Zakładają c, że przy rezonansie r s przybiera wartoś ci tak duż e, że Ptjr s moż emy traktować jako bliskie zeru, otrzymujemy układ równań jednorodnych jak dla układu autonomicznego. Jedynymi rozwią zaniami harmonicznymi układu autonomicznego są rozwiązania (3.1) przedstawiają ce drgania główne o czę stoś ciac h własnych (Oj i postaciach własnych bij. Zatem przy rezonansie, gdy r s > co, układ drga w pobliżu nieliniowych drgań głównych Q > m s i postać drgań układu dą ży do b ls, i = 2, 3, n. Widzimy wię c, że drgania układu w pobliżu rezonansu moż emy opisać za pomocą jednej współrzę dnej zwią zanej z nieliniową postacią własną (3.4) x t «b is (a s )C s., Jeż eli to rozwią zanie podstawimy do równań ruchu (1.2), a nastę pnie pomnoż ymy każ de z równań przez odpowiednie b u i dodamy wszystkie razem, otrzymamy n n n n n <3.5) ' s mibf s + C s ]?[ K ik (b is b ks )]b is + ^b isf ifi b h P ic osqt = 0. i=l i l k 0 / = 1 / 1

7 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 23 Opierając się na rozwią zaniu harmonicznym s = a s cosqt, co przy drganiach swobodnych sprowadza się do s = a s cosco s t, dochodzimy za pomocą równań Ritza do wniosku, że spełniona jest zależ ność n n rt Łs2] JE Kik(bi S b ks )b is + i = l k=0 1 = 1 2jb u fifi = C s M s a>j, gdzie co s czę stość własna układu nieliniowego bę dąa c funkcją amplitudy, a M s = n = ^niib 2, uogólniona masa s tej postaci, bę dąa c również funkcją amplitudy. i=i Równanie (3.5) przybiera zatem postać (3.6) Mj s + a) 2 M s C s = Q s cosqt, a stąd rozwią zanie Q s cosqt (3.7) S a = a,cosqt = Ms ((oj Q 2 ) Równanie (3.7) opisuje «odpowiedź» układu na działanie sił wymuszają cych P t cos Qt pod warunkiem, że wystę puje tylko jedna s ta postać ruchu. Współrzę dne s spełniają ce te równania nazywać bę dziemy nieliniowymi współrzę dnymi normalnymi. Spełniają one warunek, że przy rezonansie dominuje tylko jedna, rezonansowa współrzę dna, a pozostałe przybierają ograniczone wartoś ci. Nie wiemy jednak jak wyraża się ogólne rozwią zane x t w funkcji tak zdefiniowanych współrzę dnych, gdyż jak wiadomo, w układzie nieliniowym nie jest słuszne prawo superpozycji. Skoro w układach liniowych mię dzy x t i 0 ] zachodziła zależ ność liniowa (1.5), w układzie nieliniowym może to być jakaś zależ ność nieliniowa Xi = X,(Si, l 2.») Zagadnienie to zostało rozwią zane w pracy [1] dla pewnego szczególnego układu o n stopniach swobody posiadają cego tzw. graniczne czę stośi cwłasne. Wykazano mię dzy innymi, że wielkość błę du wynikają ca z odrzucenia współrzę dnych «nierezonansowych» 1, 2 fs i> s+i> fn przy Q 1» co s jest wię ksza niż w układach liniowych, mianowicie, że człon odrzucany dą ży do nieskoń czonoś, ci lecz do nieskoń czonośi c niż szego rzę du niż współrzę dna rezonansowa: *i = Ł bijej+axiiei, C 2... Ł ); (3.8) Xi * b is a s cos Dt + a t cos Qt Q * toa oraz tti ~* 00, lecz ^ 0, a więc ostatecznie Xi * b is C s.

8 24 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA W niniejszej pracy przedstawiony jest jeden z praktycznych aspektów powyż szych rozważ ań, mianowicie sprawa oceny maksymalnej amplitudy przy rezonansach i wpływania na charakterystykę tłumienia przez odpowiednie umieszczenie elementu tłumią cego. Zauważ my bowiem, że gdy element tłumią cy znajduje się mię dzy masą m t i m k, to siła tłumienia zależy od róż nicy amplitud tych mas, a więc od amplitudy jednej z nich i postaci drgań. Jeż eli w wyniku nieliniowej charakterystyki sprę żn y postać drgań ulega zmianie ze wzrostem amplitudy, ulegnie również zmianie efektywność elementu tłumią cego, co szczególnie rzutuje na maksymalne amplitudy przy rezonansach. Stąd nasuwa się przypuszczenie, że metoda obliczeń nie uwzglę dniająa c zmian postaci drgań, a więc i metoda polegają ca na pominię ciu sprzę ż eni a mię dzy liniowymi współrzę dnymi normalnymi, może dawać niedokładne wyniki. 4. Badanie rezonansów głównych układu o trzech stopniach swobody Zagadnienie rozpatrzmy szczegółowo na przykładzie układu drgają cego o trzech stopniach swobody przedstawionego na rys. 2. Dla uproszczenia obliczeń przyję to, że tylko jedna sprę ż yn a ma charakterystykę nieliniową sztywnieją cą typu x 3. Układ zaopatrzony jest w jeden element tłumią cy o charakterystyce liniowej i jest wzbudzany siłą harmoniczną PiCosQt. В COSQt ft /С ю Kv+yfa x/ ^_ Xi ^3 Rys. 2. Model mechaniczny układu о trzech stopniach swobody Równania ruchu układu przy umieszczeniu tłumika mię dzy masą /M T i m 2 są nastę pują ce: m^^^ +K 10 x 1 +K i2 (x l x 2 ) + ]i(x 1 x 2 ) 3 +Jil[^^ = P lc osqt, (4.1) m 2 ^+K 12 (x 2 x l )+K 23 (x 2 x 3 ) Ji(x 1 x 2 ) 3 Ą ^ ^\ = 0, d 2 x m 3 ~~+K 23 (x 3 x 2 ) = 0, lub w postaci bezwymiarowej: yi^^ + CioXi + CiAXi x^+ftixi x^+ftl^ ^ J = Л С О Б Я, Т < 4 2 > У 2 ^ + С 12 (х 2 х 1 ) + С 2А х 2 х 3) ф 1 х 2У А ^ ^ = 0, d z x Yz ^ + C 23 (x 3 x 2 ) = 0,

9 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 25 gdzie wprowadzono oznaczenia Щ m. Kio P A. U J L. Zastę pując drugie rуwnanie przez sumę rуwnania pierwszego i drugiego otrzymamy układ, w ktуrym wyraz nieliniowy wystę puje tylko w jednym rуwnaniu: Yi d f c ioxi + C 12 (x 1 x 2 )+^(x 1 x 2 ) 3 +^l{^ ^ S j = PiCosiir, d 2 x d 2 x ( 4 3 ) y 1 jzr dr 2 + Y2 ^ł + C 10 x 1 + C 23 (x 2 x 3 ) = P^osi^r, d 2 x 3 У з + C dr 2 23 (x 3 x 2 ) = 0. Zakładając dla układu autonomicznego rozwią zanie Xi = acoscor, (4.4) x 2 = ab 2 coscot, x 3 = oz> 3 cosftjr, czystoś ci własne w funkcji amplitudy a znajdziemy z wyznacznika charakterystycznego У 1 с о 2 + С 10 + С 12 + х (а 2 ), C 1 2, 0 (4.5) D(<o 2,a 2 )= _ y i f t ) 2 + c 10, y 2 <o 2 + C 23, C 23 = 0. gdzie: О, C 23, У з <а 2 + С г з \ х (а 2 ) = ц а 2 (\ Ъ 2)К Postacie własne znajdziemy za pomocą dopełnień algebraicznych wyznacznika D(m 2, a 2 ), Wybierając s = 1 otrzymamy by jako funkcje czę stośi coj (4.6) b 2J = Yi >j C&> 0 Y 2 (o 2 + C 23, ~С 2 з y 3 a>j + C 23 ^ _ b 2 jc 23 3 J ~ y 3 (oj + C 23 C 23, у 3 о > 2 + С 23

10 26 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA Przy amplitudzie a dą ż ąj cedo nieskoń czonoś, cidwie niż sze czę stośi cwłasne dą żą do pewnych wartoś ci granicznych ft> lłm i, co ltm2 równych czę stoś ciom własnym układu, w którym masy m y i m 2 są ze sobą sztywno połą czone. Czę stośi cte obliczymy z wyznacznika (4.7) D um = o 2 (y 1 + y 2 ) + C 10 + C 23 C23 y 3 co 2 + C 23 = 0. Spełniają one warunek («01 < 0>Hml < W 02 < W lim2 < (»03 Trzecia, najwyż sza czę stość własna dą ży do nieskoń czonośi cze wzrostem amplitudy (rys. 3). Dla obliczonych z (4.7) czę stośi cgranicznych za pomocą wzorów (4.6) obliczamy odpowiednie graniczne postacie własne. VjJa oiifa) с о г (а )\ 0,5 co 3 (a) J L 0,8,11,0 1,2 16 2,0 2,8 co Rys. 3. Krzywe czę stośi c własnych W funkcji amplitudy Dla przykładu liczbowego scharakteryzowanego parametrami Yi = 1» У г = 0,5, у з = 0,5, czę stośi ci postacie własne są nastę pują ce : С ю = 1, С 12 1, С 23 1, 1. postać 2. postać 3. postać 0) 0, = 0,592, o) 02 = 1,41, (o 03 = 2,38, Ł021 = 1.65, 6022 = 0,0, 6023 = 3,64, 6031 = 2,0, b 032 = -1,0, 6033 = 2,0, «п., 1 = 0,685, «lim2 = 1,70, CO l3 * 00 6(21 = la 6,22 = 1,0, 6/23 = 77- = 2,0, У г 6/31 =1,3, 6(32 = 2,3, 6,33 = 0. Zbadajmy pierwszy rezonans posługując się dwiema metodami: 1) metodą nieliniowych współrzę dnych normalnych redukują cych układ w pobliżu rezonansu do jednego stopnia swobody okreś lonego przez nieliniową postać własną b ti ;

11 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 27 2) metodą zaniedbania sprzę ż eni a mię dzy współrzę dnymi normalnymi f 0 i> Ł02» о з» tj. metodą redukują cą układ do jednego stopnia swobody okreś lonego przez liniową postać własną b on Analiza pierwszego rezonansu za pomocą nieliniowych współrzę dnych normalnych. Zgodnie z (3.6) nieliniowe współrzę dne normalne spełniają rozprzę ż on e równania ruchu i dla układu nietłumionego amplitudę a t obliczamy z zależ nośi c (4.8) a y = Г ' M l [co\{a 1 ) Q*y gdzie Mi = I+YIHI + VSHI. Czę stość własną co^aj i współczynniki postaci własnej b 2i (ai) i 631(^1) znajdujemy za pomocą wzorów (4.5) i (4.6). Rys. 4. Krzywe rezonansowe nieliniowych współ Rys. 5. Współczynniki pierwszej postaci własnej rzę dnych normalnych w pobliżu pierwszego rezo b 2u b 31 w funkcji amplitudy nansu Amplitudy współrzę dnych «nierezonansowych» a 2 i a 3 są na tyle małe, że obliczymy je jak dla układu liniowego

12 i VjJa 0i I I vpvfl.5 28 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA Ponadto za pomocą wzorów wyprowadzonych w pracy [1] obliczymy wielkość członu nieliniowego w transformacji (3.8), czyli wielkość a ( = <x ; (Q). Wyniki naniesiono na rys. 4 w formie wykresów а ± = a^q), a 2 a 2 {Q), a 3 a 3 {Q), a t = а. у {Р ) oraz na rys. 5 *2i = b 2i {a l ) i hi = b 3 i{a y ). Całkowita amplituda masy т х wynosi r t = a 1 + a 1 +a 2 + a 3. Dwa ostatnie wyrazy a 2 i a 3 przybierają bardzo małe wartoś ci, natomiast aj i otj dą żą do nieskoń czonoś, cigdy Q * w 1 (a 1 ). Naniesiono również krzywą = i (Q) pokazują c, że zgodnie z ogólną analizą przeprowadzoną w pracy [1] przy rezonansie \a x > 0 uzasadnione jest ograniczenie rozważ ań do współrzę dnej rezonansowej t = a s cos Qr. - I I 10 vffa 0j / i Wa 0 Ja 0l I i 0,5 0,9 i 1.0 1,1 1.2 CM, Rys. 6. Krzywe rezonansowe liniowych współrzę dnych normalnych w pobliżu pierwszego rezonansu Przy umieszczeniu tłumika mię dzy masą m x i m 2 współrzę dną f t okreś limy z równania (4.10) M 1 'i 1 +M l (ol(a l )( 1 +fil(l b 2 i) 2 ii = P t cosqr. Zakładając rozwią zanie f t = U^COS (?г #i) i stosując metodę Ritza otrzymamy (4. II) Л

13 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 29 (4.12) Przy umieszczeniu tłumika mię dzy m 2 i m 3 otrzymamy odpowiednio Q 2 Krzywe rezonansowe układu tłumionego w pobliżu pierwszego rezonansu przedstawione są na rys. 7 i 10. Zauważ my, że odpowiednik współczynnika tłumienia (4.13) Ц 1[1 Ь 21 (а г )] _, fil(b 21 b 3l ) 2 _ "l>2> 11/ / \ "2'3 jest tutaj funkcją amplitudy, mimo że tłumik ma charakterystykę liniową. R, cosqt 43 *, a,cos(qt Ą ) a 0l cos(qt ił,) l / IJl 0,5 Rys. 7. Krzywe rezonansowe układu tłumionego tłumik mię dzy masą m y i m Analiza pierwszego rezonansu za pomocą liniowych współrzę dnych normalnych. Równania ruchu układu we współrzę dnych normalnych 0 i> Ł02» о з przybierają dla układu nietłumionego postać (2.3) (4.14) M 0 jc 0 j+m 0 ja)ljc 0 j + p(l b 02J ) {У, CosV b 02s ) = PxCOsQr, y'=l,2,3.

14 30 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA Zbadajmy zachowanie się tych współrzę dnych przy pierwszym rezonansie z uwzglę d nieniem ich sprzę ż enia. Równania (2.4), z których wyznaczymy f 0 2/foi!о з / <п przybierają postać: co 2 n Q ^(l 6o Mil Cniil 2 1 ). f l g I i r ( 1 _. i o 2 i.. ) + fo On? 1 ( 1 _ 6 o 2 2 ) + fo3_ ч Oni ( l _ Л о 2 з ) M 0 1 L «oi «0 1 "oi 13 л M 0 1 a 0 1 ' (4.15) «02 «01 (co 02.Q 2 ) ag, [l *oa. + (1 Ъ о г г )+ ^ (1 * 0 2 з )Т M 01 L «01 «oi J Л M 02 a 0i ' «01 A i"(l~^q23) ag, I (1 ^022) + 4 Л /03 «01 ^(1 6023)T = «01 J Л ^о з«01 Zakładają c, że a 01 * 00 tak, że Л O, otrzymamy z (4.15) f21.0,34, ^ 0,0735. «01 О Х 01 «01 O > 0)i Równania (4.15) pozwalają również wykreś lić przebieg krzywych rezonansowych. Wyniki obliczeń w postaci wykresów a 0i = a 01 (Q), a 02 = a 02 (Q), a 03 = a 03 (Q) przedstawione są na rys. 6. Dla układu tłumionego zbadamy współrzę dną rezonansową 0 1 bez uwzglę dnienia sprzę ż enia. Gdy tłumik umieszczony jest mię dzy masą m x i m 2, współrzę dną tę okreś limy z równania (4.16) M 0 1 ioi + M 0 1 Woifoi+^(l ^o2i) 4^i + (l ''o2i)vfoi = PiCOsQr. Rozwią zując (4.16) otrzymamy (2.7) (4.17) foi = floicos^ ^,) gdzie (4.18) A,,r, n ч Л с о в Ш т *, ) ц 1(\ Ъ M 01 y [(a> 0l +/ia l ) 2 Q*\ ) + 2 M 0l 2 (\ b021y,««01 Mo, Gdy tłumik umieszczony jest mię dzy masą m 2 i m 3, otrzymamy Л cos (А т (4.19) foi = «01(cosfif 0,) =. === M 0 1 у [(0)01+ /^,) 2 2 ] 2 + Pl(bo21 bo3l) 2 M 0 1 2

15 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 31 Wyraż enie co 01 +/na l (a 01 ) jest tu czę stoś ą ci własną okreś loną z dokładnoś cią do wyrazów małych rzę du ц 1 a)01+/iai(a01) = loiiaoj). Zatem metoda ta może dać prawidłowe wyniki tylko wtedy, jeż eli co x (a 01 ) mało róż ni się od co 01. Współczynnik tłumienia h 0 jest w tym przypadku stały, niezależ ny od amplitudy. Współrzę dne «nierezonansowe» fo2> о з bez uwzglę dnienia sprzę ż eni a pozostają przy rezonansie na tyle małe, że obliczymy je jak dla układu liniowego (4.9). Krzywe rezonansowe obliczone według (4.17) i (4.18) oraz (4.19) naniesiono na rys. 7 i 10 obok krzywych rezonansowych współrzę dnej a x. Dla porównania wykreś lono również krzywe rezonansowe układu liniowego. 5. Analiza wyników i wnioski Badanie rezonansów za pomocą równań (1.12), (4.14), a więc za pomocą liniowych współrzę dnych normalnych przy zaniedbaniu ich sprzę ż enia, jest bardzo proste obliczeniowo lecz niesie ze sobą moż liwośi cduż ych błę dów. Szczególnie jaskrawo jest to widoczne na przykładzie przedstawionym na rys. 7 przy umieszczeniu tłumika równolegle z nieliniową sprę ż yn ą mię dzy masą m y i m 2. Porównanie krzywych rezonansowych układu liniowego i a 01 = a 01 (Q) układu nieliniowego sugeruje, że w rozpatrywanym zakresie parametrów układ mało odbiega od liniowego, gdyż (с о 01 +/г А 1 ) mało róż ni się od a> 01, a wię c, że wynik ten powinien być bliski rozwią zaniu dokładnemu. W przykładzie tym jednak małym zmianom czę stośi c własnej towarzyszy szybka zmiana postaci własnej b 2 i, b 3l w funkcji amplitudy, co przy tej metodzie nie jest zupełnie uwzglę dniane (rys. 5). Te zmiany postaci własnej znajdują odbicie przy metodzie nieliniowej współrzę dnej normalnej, tj. krzywej cii = a t (Q). Krzywa ta wykazuje około 2,3 razy wię kszą amplitudę przy rezonansie niż to przewiduje wynik poprzedni. Ten wzrost amplitudy jest wywołany zmianą efektywnego współczynnika tłumienia /г 1>2 we wzorach (4.11) i (4.13). Przy metodzie liniowej współrzę dnej normalnej [wzór (4.17)] współczynnik h 01i2 jest stały i niezależ ny od amplitudy. Przy metodzie nieliniowej współrzę dnej normalnej [wzór (4.13)] efektywny współczynnik tłumienia h u2 jest funkcją amplitudy. W rezultacie, mimo że sam tłumik jest liniowy, otrzymujemy nieliniową charakterystykę tłumienia. Dla ilustracji na rys. 8 wykreś lono przebieg zmian współczynnika h U2 w funkcji amplitudy d,,ana rys. 9 maksymalne amplitudy przy rezonansie w funkcji stosunku siły wymuszają cej do parametru tłumienia fil. W rezultacie krzywa rezonansowa a 0i = a 0 i(^) daje błę dną ocenę maksymalnej amplitudy przy rezonansie, mimo że jej przebieg (małe odchylenie od w 01 ) daje podstawy do przypuszczeń, że powinna ona być bliską rozwią zania dokładnego. Nasuwa się tu wniosek, że zakres stosowalnoś ci tej metody powinien być kontrolowany nie tylko miarą odchylenia czę stośi cwłasnej, ale i postaci własnej od odpowiednich wartoś ci liniowych.

16 PiCDSQt cas(5t a,) \Vj7a, ю i i I I ""NI I 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 h,, 0,2 0,4 0,6 0,8 1 fl v /h 0 Rys. 8. Zmiany efektywnego współczynnika tłumienia hi, 2 w funkcji amplitudy VjTPjyl Rys. 9. Maksymalna amplituda przy pierwszym rezonansie w funkcji stosunku siły wymuszają cej do parametru tłumika fil ACDSQt 'W vpa 0l i a 0l cos{qt d,) i VJJR, Układ t 4 liniowy 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Q/co 0l Rys. 10. Krzywe rezonansowe układu tłumionego tłumik mię dzy masą m 2 i т ъ [32J

17 WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 33 Wyniki otrzymane przy umieszczeniu tłumika mię dzy masą m 2 i m 3 są przykładem zupełnie odwrotnej sytuacji: przebieg krzywej rezonansowej a 01 = a 01 (Q) sugeruje, że układ znacznie odbiega od liniowego, gdyż czę stość (co 0ł +fia 1 ) róż ni się znacznie od ш 01. Wnioskujemy więc od razu, że krzywa ta nie daje prawidłowych rezultatów. Mimo to krzywa rezonansowa nieliniowej współrzę dnej normalnej а ± = a^{q) daje wyniki nie odbiegają ce silnie od układu liniowego: zarówno czę stość rezonansowa, jak i maksymalna amplituda nie róż nią się znacznie od odpowiednich wartoś ci układu liniowego. Wynika to z faktu, że róż nica współczynników postaci własnej (b 21 b 31 ) decydują ca o wielkoś ci efektywnego współczynnika tłumienia h 2i3 (4.11), (4.13) zachowuje wartość prawie stałą w duż ym zakresie amplitud, mimo że wartoś ci b 21 i b 3l ulegają silnym zmianom (rys. 5). Przypadek umieszczenia tłumika mię dzy m 0 i m t nie jest rozpatrywany, gdyż jest od razu jasne, że efektywny współczynnik tłumienia /z 0,i jest wtedy stały. Reasumując wady i zalety obu metod należy stwierdzić: 1. Zaniedbanie zmian postaci drgań w funkcji amplitudy poprzez zaniedbanie sprzę ż e nia mię dzy liniowymi współrzę dnymi normalnymi daje metodę bardzo prostą, ale stwarza duże moż liwośi cotrzymania rezultatów zupełnie błę dnych. Stosować ją moż na tylko w takim zakresie amplitud, w którym i czę stośi cwłasne i postacie własne ulegają nieznacznym odchyleniom od odpowiednim wartoś ci liniowych. 2. Badanie rezonansu za pomocą nieliniowej współrzę dnej normalnej nie stawia ograniczenia na wielkość odchylenia czę stośi ci postaci od wartoś ci liniowych, jest więc słuszne w znacznie wię kszym zakresie amplitud. Metoda ta jest nieco bardziej pracochłonna, ma jednak tę dużą zaletę, że jej dokładność wzrasta nawet ze wzrostem amplitudy (pod warunkiem, że istotnie tylko pierwsza harmoniczna dominuje w rozwią zaniu). Literatura cytowana w tekś cie 1. W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA, On the norma! coordinates in an analysis of steady state forced vibrations of a nonlinear multiple degree of freedom system, Arch. Mech. Stos., 21, 5 (1969). 2. W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA, Postacie drgań przy rezonansie nieliniowego układu o dwуch stopniach swobody, Arch. Budowy Maszyn, 1 (1962). 3. W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA, On the asymptotic, averaging and Ritz method in the theory of steady state vibrations of nonlinear systems with many degrees of freedom, Arch. Mech. Stos., 22, 2 (1970) 4. И. И. Б О Г О Л Ю Б, ОЯ В. А. М И Т Р О П О Л Ь, С А К с Ии м п т о т и ч е см ке ит е о д ыв т е о р и ни е л и н е й н ык ох л е б а н и й, Г.Н.Ф М Л., М о с к а в Р е з ю ме Н О Р М А Л Ь НЕ Ы К О О Р Д И Н Ы А Т В А Н А Л И Е З Г Л А В Н Х Ы Р Е З О Н А Н В С О Н Е Л И Н Е Й НХ Ы К О Л Е Б А Т Е Л ЬХ Н ЫС И С Т М Е С О М Н О Г И И М С Т Е П Е Н ЯИ М С В О Б О Ы Д Р а с с м а т р и в я а ю с т са ц и о н а е р н кы о л е б а я н ив о к р е с т н и о сгтл а в н х ы р е з о н а нв с од и с с и п а т ий в н о с и с т еы м с п с т е п е н и я мс в о б о д, ыо б л а д а ю й щ не е л и н е й ни ы хм а р а к т е р и с т и и ку ап мр у г ои с ти д е м п ф и р о в а н. ир я е ш е не ип р е д п о л а г я а ев т вс и де г а р м о н и ч ей с фк оу н к ц и, а и д ля о п р е д е л я е н ни е и з в е с т н ы х к о э ф ф и ц и ев н тп ор и м е н я я е т мс е т д о Р и т ц. а 3 Mechanika Teoretyczna

18 34 W. SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA Ц е л ю ь и с с л е д о в я а ня ив л я е я т са н а л з и т о ч н о и с ти п р и г о д н и о сд тв ух в а р и а нв т оу п р о щ е н х н ы п р о ц е д, уп рр и в о д я х щ к ир а з д е л ею н уи р а в н е й н ди в и ж е н. ип я е р вя а п р о ц е д а у ср о с т от ив о в в е д е ни и н о р м а л ь х н кы о о р д и т н ла и н е а р и з о в й а нс ин со т еы м и в п р е н е б р е ж и е сн ои п р я ж е н н о ; с тв ьт юо ря а о с н о в а н а п р и м е н еи н ти н з. в н е л и н е й х н ны о р м а л ь х н кы о о р д и н. а т Summary NORMAL COORDINATES IN THE ANALYSIS OF PRINCIPAL RESONANCES OF NON LINEAR VIBRATING SYSTEMS WITH MANY DEGREES OF FREEDOM The considerations concern steady state vibrations of dissipative multiple degree of freedom nonlinear systems. Theoretical investigations are based on a single term harmonic solution and the W. Ritz method. The purpose of the paper is the analysis of accuracy and applicability of two approximate procedures leading to uncoupling of the equations of motion: 1) a procedure consisting in introducing normal coordinates of linearized system and neglecting the coupling terms; 2) a procedure based on the concept of nonlinear normal coordinates. INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMУW TECHNIKI PAN Praca została złoż ona w Redakcji dnia 11 lutego 1972 r.