IDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM. 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) IDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM KRZYSZTOF SZUWALSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp Ogólne zagadnienie teorii plastycznoś ci polega na transformacji zależ nośi c mię dzy naprę ż eniem i odkształceniem na poziomie punktu, na zależ ność mię dzy obcią ż eniem zewnę trznym a pewnym charakterystycznym uogólnionym przemieszczeniem na poziomie całego ciała. Dokonuje się tej transformacji wykorzystując warunki równowagi, odpowiednie warunki brzegowe, prawa fizyczne i zwią zki geometryczne. Najczę ś cie j na poziomie punktu dopuszcza się nieograniczony wzrost odkształceń, jak to ma miejsce w przypadku ciał idealnie i asymptotycznie idealnie plastycznych. Jak długo przemieszczenia są okreś lone jednoznacznie, układ może przenosić obcią ż enia, czyli pracuje jako konstrukcja noś na. Jeż eli w jakimś punkcie przemieszczenia stają się nieokreś lone, oznacza to, że pojawił się pewien mechanizm zniszczenia i została wyczerpana noś ność graniczna układu. Okreś lenie noś nośi cgranicznej układu należy do najważ niejszych zadań teorii plastycznoś ci. Nie zawsze jednak istnieje rozwią zanie tego zadania. Przykłady zagadnień, w których nie moż na było wyznaczyć noś nośi c granicznej układu bez przyję cia pewnych, niedopuszczalnych niecią głośi c pola przemieszczeń podał Shoemaker [2, 3]. Ż yczkowski i Szuwalski [4] zaproponowali nazwać obcią ż enie, przy którym pojawiają się niedopuszczalne niecią głośi c przemieszczeń (niecią głośi c przemieszczeń w kierunku normalnym do powierzchni niecią głoś ci ) noś noś ci ą rozdzielczą układu. Nazwa ta ma uzasadnienie w fakcie, że niedopuszczalne niecią głośi c przemieszczeń prowadzą do dekohezji rozdzielenia dwóch czę śi c układu. Zatem noś ność rozdzielcza okreś la faktyczną noś ność układu jako całoś ci. W pracach Szuwalskiego moż na znaleźć rozwią zania problemu wyznaczania noś noś i c rozdzielczej dla statycznie niewyznaczalnych układów prę towych [6] i dla płaskich tarcz ze sztywną inkluzją [5]. W obu przypadkach rozpatrywano moż liwość ewentualnej dalszej pracy układu dekohezji. Szczególnego znaczenia nabiera noś ność rozdzielcza w przypadku obcią żń e czysto cieplnych [8], kiedy noś ność graniczna układu w ogóle nie istnieje w wyniku wzajemnego kompensowania się odkształceń cieplnych i plastycznych. W dotychczasowych badaniach [5] i [8] efekt dekohezji w układach tarczowych był wynikiem niejednorodnoś ci stanów naprę ż eni a i odkształcenia wywołanych niejednorodnoś cią samej tarczy idealnie sztywną inkluzją. Celem niniejszej pracy jest zbadanie wpływu na noś ność rozdzielczą zmiennej w sposób cią gły gruboś ci tarczy, jak również wpływu podatnoś ci czę śi cś rodkowej tarczy.

2 540 К. SZUWALSKI 2. Zakres sprę ż yst y i noś nośi c sprę ż yst a Warunek równowagi wewnę trznej dla tarczy kołowo symetrycznej o zmiennej gruboś ci h(r), po wyraż eniu wystę pują cyc h w nim naprę żń e przez przemieszczenie promieniowe u, przy pomocy praca Hooke'a, przyjmuje ogólną postać d 2 u 1 / r dh \ du 1 / r dh\ dr*" + 7\ + T'lF)'d7~~r 2 ~\ ~ V T' dr ) 11 = Równanie to, w którym v oznacza liczbę Poissona, daje się scałkować w sposób ś cisły tylko dla tarczy płaskiej lub tarczy o profilu hiperbolicznym. Rozwią zania dla tych przypadków podaje mię dzy innymi S. D. Ponomariew [1]. Przy założ eniu, że grubość tarczy zmienia się zgodnie z prawem ( 2 1 ) Kr) Л о { Й, (2.2) /'o w którym wykładnik potę gowy x jest liczbą dodatnią, całka ogólna równania (2.1) jest równa przy czym dodatnie wykładniki potę gowe równają się «= Cr"+ Ł, (2 3) r ^ / x 2, x x + vx+\ 2 (2.4) Naprę ż eni a w takiej tarczy opisane są wzorami E FU/ ч «i D(v n) 1 (T 0 = ~ r I C(l łra)^ 1 + D(l vn) (2.5) gdzie /i' oznacza moduł Younga. Naprę ż eni e w kierunku prostopadłym do powierzchni ś rodkowej tarczy a z przyjmujemy równe zeru. Stałe całkowania С i D należy wyznaczyć z warunków brzegowych. Przedstawione powyż ej rozwią zanie ma poważ ną nieś cisłoś, ćgdyż założ enie płaskiego stanu naprę ż eni a stoi w wyraź nej sprzecznoś ci z bardzo szybką zmianą gruboś ci tarczy w pobliżu jej ś rodka, gdzie zmierza ona do nieskoń czonoś. ciw celu wyeliminowania tej sprzecznoś ci zajmiemy się tarczą złoż oną z połą czonych trwale dwóch czę ś ci : ś rodkowej o stałej gruboś ci i zewnę trznego pierś cienia, w którym grubość zmienia się hiperbolicznie zgodnie z prawem (2.2) rys. 1. Rozważ ymy najogólniejszy przypadek, kiedy każ da z czę śi cwykonana jest z innego materiału. Wielkoś ci odnoszą ce się do czę śi cpłaskiej bę dą oznaczane indeksem 1, a dotyczą ce czę śi c hiperbolicznej 2. Przy założ eniu sprę ż ystoś c i odkształceń dla czę ś c i płaskiej dla 0 < r < a obowią zują znane rozwią zania Lamć go we wzorach (2.3) i (2.5) należy przyjąć m = n = 1, nato

3 SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA 541 miast dla czę śi chiperbolicznej dla a ^ r ^ b wykładniki potę gowe m i n okreś lają wzory (2.4). Do wyznaczenia stałych C l i D t w czę śi cś rodkowej oraz C 2 i D 2 w pierś cieniu zewnę trznym posłużą nam nastę pująe c warunki brzegowe: dla r = 0 = a 0i > D, = 0; dla r = a rt = ffr 2 ; "i = u 2 ; (2.6) dla r = b = P Rys. 1 Jak z nich wynika, w płaskiej czę śi cwystę puje jednorodny stan naprę ż enia, natomiast w interesują cej nas czę śi chiperbolicznej rozkład naprę żń ejest okreś lony wzorami: " P 1 [(m+v 2 ) + y(l v 1 )) Q, 1 [ri(l v 1 ) (n v 2 )] m e р т Ч (т +у 2 ) + ф у 1 )\ в п 1 [г ) (\ г 1 ) (п у 2 )} Q m 1 n[(m+v 2 ) + r)(l v 1 )] + Q n 1 m[r)(l v,) (n v 2 )] <У 0 > = P fi m ~ 1 [(m + v 2 ) + r, (1 v x )] fi 1 fo( 1 Vl ) (n v 2 )] w których rj oznacza stosunek modułów sprę ż ystoś, ci fi promieni, Q zaś rowy promień: V E 2 /5 = Q = (2.7) bezwymia W celu ustalenia noś nośi csprę ż yste j tarczy obliczymy kwadrat intensywnoś ci naprę żń e wg hipotezy Hubera Misesa Hencky'ego: M 2 {Q 2m 2 [(m + v 2 ) + r ] (l v 1 )] 2 (\ n + n 2 ) + Q 2 ' 2 [ v (l v l ) (n v 2 )\ 2 (\+m 2 +m) + Q m n 2 {ri{\ v 1 ) + (m + v 2 )] [r](l vi) (n v 2 ))(2mn 2 m + n)}; przez M oznaczono tutaj mianownik wzorów (2.7). Ponieważ ta funkcja nie ma maksimum w przedziale 1; Q < fi, przeto proces uplastycznienia może się zacząć tylko na jednym z brzegów, dla Q = 1 lub g = fi. Intensywnoś ci naprę żń e na brzegach są równe: (2.8) (2.9) J e(.r = b) <Г е (г = 0 ) = Łi 4" O 4*2 + ^0 П )]+ К +Ы 1 П )] 2 }*, M M {fi 2m 2 (l n+n 2 )[m+v 2 + 7](l v l )] 2 fi m + n 2 (\ 2v 2 )x (2.10) [^ 2 (l ^) 2 + ^(l v 1 )(^ 2v 2 ) (l r 2 ) 2 ] + /3 2 ', 2 (l+w + w 2 )[«(l v 1 ) (w v 2 )]f Przyrównanie prawej strony jednego z tych równań do wartoś ci granicy plastycznoś ci o 0 pozwala okreś lić noś ność sprę ż yst ą tarczy. Aby ustalić, które z równań należy wyko

4 5 42 К. SZUWALSKI rzystać, porównamy intensywnoś ci naprę żń e na obu brzegach czę śi chiperbolicznej tarczy, co prowadzi do równania: ^( +4(1 n + n 2 ) [m+v 2 + rj(l»' I )] is m+ "*(l 2v 2 ) b? 2 (l vi) 2 (1 v 2 ) 2 + V l )(«2v 2 )] +/S 2 " 2 («J + и ) 2 {1 [r 2 + r,(l V,)] + [v 2 + fj(l Vl )] 2 }+ (2.11) + (\+mą m 2 )[i](\ v l )~{n v 2 )} 2 = 0 Łatwo sprawdzić, że w szczególnym przypadku, dla tarczy jednorodnej, gdy rj = 1 i Vi = v 2, równanie to może być spełnione wyłą cznie dla wykładnika potę gowego к = 1, a co za tym idzie, m = n = 1, czyli dla tarczy płaskiej. Uplastyczni się wtedy równocześ nie cała tarcza i układ osią gnie swoją noś ność graniczną. Równanie (2.11) było rozwią zywane numerycznie. Poszukiwano wykładnika potę gowego к spełniają cego róż nych wartoś ci parametrów p, tj i v t = v 2. to równanie dla Wyniki zostały przedstawione graficznie. Wykres (rys. 2) przedstawiony na płaszczyź nie r) = 0 (ś rodek idealnie sztywny) obra >t./ V Л. f \ \ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 V Rys. 2

5 SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA 543 ż uje zależ ność к od liczby Poissona v. Na tym wykresie, jak i na nastę pnym, gdy wykładnik potę gowy bę dzie wię kszy od leż ą ceg o na linii granicznej, uplastycznienie rozpocznie się od strony promienia zewnę trznego b, natomiast dla к mniejszych (tarcza bardziej płaska) strefa plastyczna bę dzie się rozwijała od promienia a. Z wykresu wynika, że graniczna wartość к obniża się bardzo wyraź nie ze wzrostem stopnia nieś ciś liwośi cmateriału. Również zwię kszenie fi (stosunkowo szerszy pierś cień hiperboliczny) wpływa na zmniejszenie granicznego x. Przebieg linii stałego v na wykresie (rys. 3) (dla fi = 2) wskazuje, że zarówno ś rodek sztywniejszy od czę śi czewnę trznej (tj < 1), jak i podatniejszy (rj > 1) powoduje zwię ksze 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0 0,4 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 0,3 0,4 0,5 0,5 1,0 Rys. 3 1,5 2,0 7 nie wytę ż eni a na brzegu wewnę trznym dla r = a. Aby osią gnąć takie samo wytę ż eni e na brzegu zewnę trznym, należy tam ująć nieco materiału, tym wię cej, im bardziej rj róż ni się od 1 i im ś ciś liwsz y jest materiał. Wszystkie krzywe osią gają dla r\ = 1 minimum równe zeru (tarcza płaska, jednorodna). 3. Zakres sprę ż ysto plastyczn y i noś ność rozdzielcza Dalszy wzrost obcią ż eni a ponad noś ność sprę ż yst ą p może spowodować pojawienie się strefy odkształceń plastycznych, chociaż nie zawsze ta strefa bę dzie się mogła rozwiną ć,

6 544 К. SZUWALSKI с о dalej zostanie wykazane. W strefie plastycznej przyjmiemy jako obowią zująy c warunek plastycznoś ci Hubera Misesa Hencky'ego, Wykorzystamy trygonometryczną parametryzację tego warunku typu Nadai Sokołowskiego: a, = sinc, a 0 = sin C + (3.1) y'3 ' j/3 gdzie С jest parametrem, którego rozkład w funkcji promienia należy okreś lić. Dokonamy tego w oparciu o warunek równowagi wewnę trznej, który dla tarczy hiperbolicznej przyjmuje postać: da r dr + ov(l x) + <y 0 = 0. (3.2) Po podstawieniu do niego wzorów (3.1) i po scałkowaniu moż na znaleźć zależ ność odwrotną: promienia od Ł: j/3t 2x 2 ' v r [^^^(^j )]. (3.3) W strefie sprę ż yste j obowią zywać bę dą wyprowadzone wcześ niej wzory (2.3) н (2.5). Dla uproszczenia dalszych rozważ ań zajmiemy się tarczą hiperboliczną osadzoną na idealnie sztywnym wale (rj = 0). W oparciu o wykres na rys. 2 moż na dla ustalonych parametrów tarczy (x, (i, v) stwierdzić, od której strony zacznie się pojawiać strefa plastyczna. Jeż eli ta strefa bę dzie obejmowała obszar г ф < r < b, czę ść zaś wewnę trzna pozostanie sprę ż ysta, obowią zywać bę dą nastę pująe c warunki brzegowe: r = a» (e) = 0 r = r* C = C*, = o <*>, с г < = (Г о, (3.4) е ) r = b С = С ь, о у "= p = qa 0, w których indeks e u góry okreś la wzory ze strefy sprę ż ystej, a indeks p dotyczy wielkoś ci w strefie plastycznej. Po wykorzystaniu warunków brzegowych dochodzimy do równania przestę pnego, okreś lają ceg o wartość parametru na granicy stref: przy czym (2Aw+l + /3ctg?J(«r)fl" 1, (3.5) (2n l i/3~ctgt*)(m + vk + n = 6exp i/3 (c e.) 2x 2 2x + 2 sin [ c * +arctg ( Łr)j sin[cb + arctg( ^ \2* l r)] \ 2x 2 2x + 2 ) (3.6) Wartość parametru na promieniu zewnę trznym C b jest okreś lona przez obcią ż enie : l/3 Ci, = arc sin (3.7) W przypadku gdy w miejscu pierwszego uplastycznienia spełniony bę dzie warunek,

7 SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA 545 że naprę ż eni e promieniowe bę dzie dwa razy wię ksze od obwodowego, wówczas w tym miejscu odkształcenie promieniowe bę dzie zmierzać do nieskoń czonoś, ci na co zwrócił uwagę Ż yczkowski [7]. Kontynuacja procesu musiałaby się wią zać ze skokową zmianą w tym miejscu przemieszczenia promieniowego. Ponieważ jest to niecią głość niedopuszczalna, wystą pi kres cią głego rozwią zania. Układ osią gnie swą noś ność rozdzielczą pokrywają cą się z noś noś ci ą sprę ż ystą. Warunek natychmiastowej dekohezji, aby w miejscu pierwszego uplastycznienia parametr J był równy przyjmie postać: om+ n _ (l+2w)(y ll) P Ц Ш т +v) ( 3 8 ) W szczególnym przypadku dla pełnej tarczy hiperbolicznej (ft» oo) warunek ten będzie spełniony dla n =. Ponieważ dyskutujemy przypadek, gdy pierwsze uplastycznienie wystą pi na promieniu zewnę trznym b, zatem odpowiednią noś ność rozdzielczą okreś li wzór (3.7) z pod.. y. rc stawieniem Q b : л 2 ą =. т с sin у = 1Д 546.,. (3 9) Jeś li parametr С na brzegu zewnę trznym ma wartość róż ną od, dalszy wzrost obcią ż eni a bę dzie powodował powstawanie w pobliżu promienia b strefy plastycznej. W miarę jej rozwoju wartość parametru С ь bę dzie się zbliż ała do ~. Z chwilą gdy wartość ta zostanie osią gnię, taproces zostanie zakoń czony, gdyż układ osią gnie swą noś ność rozdzielczą i zawsze bę dzie ona okreś lona przez (3.9). Jak moż na odczytać z wykresu 2, przy odpowiednich parametrach geometrycznych tarczy к i ft oraz liczbie Poissona v, moż liwe jest rozpoczę cie procesu uplastycznienia od promienia wewnę trznego a. Dla tarczy osadzonej na sztywnym wale (JJ = 0) stosunek naprę żń e promieniowego do obwodowego jest w zakresie sprę ż ystym na promieniu a stały i równy v. Do natychmiastowej dekohezji na promieniu a może więc dojść tylko dla materiału nieś ciś liwego v = ~, co pokrywa się z wynikami dla tarczy płaskiej [5]. W przypadku materiału ś ciś liwego, wyczerpanie noś nośi crozdzielczej bę dzie zawsze poprzedzone wcześ niejszym rozwojem strefy uplastycznionej. 4. Uwagi koń cowe Nie zawsze dopuszczenie moż liwośi c nieograniczonego wzrostu odkształceń na poziomie punktu ciała pozwala na osią gnię e ci noś nośi cgranicznej dowolnie duż ych przemieszczeń. W przypadku niejednorodnoś ci stanu odkształcenia zależ ność mię dzy obciąż eniem zewnę trznym a przemieszczeniem może być ograniczona. Niejednorodność stanu 15 Mech. Teoret. i Stos. 3 4/84

8 546 К. SZUWALSKI odkształcenia może być wywołana w przypadku jednorodnego materiału przez jego odpowiednie ukształtowanie. W pracy posłuż ono się modelem ciała idealnie sprę ż ysto plastycznego. Należy się jednak spodziewać, że podobne efekty bę dzie moż na uzyskać dla niektórych praw asymptotycznie idealnej plastycznoś ci, tj. praw, w których zmierzaniu do nieskoń czonośi codkształ cenia odpowiada cią gły wzrost naprę ż enia, które asymptotycznie zbliża się do pewnej ustalonej wartoś ci. W przypadku dostatecznie szybkiego zmierzania naprę żń e do granicznej wartoś ci również może wystą pić kres istnienia rozwią zania cią głego. Dalszym krokiem w kierunku uś ciś leni a badań nad efektem noś nośi c rozdzielczej byłoby zastosowanie teorii odkształceń skoń czonych. Wynika to z wewnę trznej niespójnoś ci teorii stosowanej, gdzie stojąc na gruncie teorii odkształceń małych badamy zjawisko zmierzania odkształceń do nieskoń czonoś. cijednakże zastosowanie ś ciś lejsze j teorii nie wprowadzi ż adnych istotnych zmian jakoś ciowych, a nawet spowoduje obniż enie noś nośi c rozdzielczej [9]. Spis literatury 1. S. D. PONOMARIEW, Współczesne metody obliczeń wytrzymałoś ciowych w budowie maszyn, PWN, Warszawa В. M. SHOEMAKER, Some paradoxes associated with elastic plastic limit load analysis. Arch. Mech. Stos., 4, 20, В. M. SHOEMAKER, On velocity discontinuities in elastic plastic boundary value problems, Arch. Mech. Stos., 26, К. SZUWALSKI, M. Ż YCZKOWSKI, On the phenomenon of decohesion in perfect plasticity, Int. J. Solide Struct, vol., 9, 85 98, K. SZUWALSKI, Noś noś ć rozdzielcza pierś cieniowej tarczy kolowo symetrycznej ze sztywną inkluzją, MTiS 4, 17, , K. SZUWALSKI, Noś noś ć rozdzielcza statycznie niewyznaczalnych układów prę towych z materiału asymptotycznie idealnie plastycznego, R. I., 2, 28, , M. Ż YCZKOWSKI, Certain general equations for plane circularly symmetrical plastic states. Arch. Mech. Stos., 10, M. Ż YCZKOWSKI, К. SZUWALSKI, Decohesive carrying capacity in thermal stress problems, Trans,,,3 rd. Int. Conf." Structural Mechanics in Reactor Technology" vol. 5, part. L, paper L/2/4, London M. Ż YCZKOWSKI, К. SZUWALSKI, On the Termination of the Process of Finite Plastic Deformations, Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, Numero Special, , Р е з ю ме. И Д Е А Л ЬО Н У П Р У Г О П Л А С Т И Ч ЕЙ С КД ИИ СК Г И П Е Р Б О Л И Ч Е С О К О ПГ Р О Ф И Я Л Д ля д и с к, а к о т о р о гт о л щ п ри к о т о рй о в ы с т у п т а еп р е р ы иа н и з м н о с и т р а д и а л ь х н ыд е ф о р м а ц. исй о г л а со нп р е д л о ж е н я ея т гс и п е р б о л и ч м е с ко иб р а з а, м о п р е д е ла е н н а г р у а з к в н оь с рт а д и а л ь х н ып е р е м е щ е н, ии йз за н а п р а в л ея н к и б е с к о н е ч ею н ик. Ш у в а л ь с ко ои г М. Ж и ч к о в с ко о [4] г э та н а г р у а з ко п р е д е лт я пе е р е р а е с ц е п е л ет на ик оо г д и с к. а Д ля и з б е ж а я н иб е с к о н е чй н от о л щ иы н д и с ка в е е с е р е д и, н ре а с с м а т р и в я а едтисск с о с т о я щй ии з д в ух ч а с т е: йц е н т р а л ьй н по о с т о я нй н о т о л щ н ы х м иы н и н а р у ж нй ог и п е р б о л и ч е. с Дк оля й о б щ ео г с л у ч а, як о г да о бе ч а с и т в ы а т е р и а л, ор ва с с м о т ра евн о з м о ж н оь свто з н и к н о в я е нп ир о ц е а с сп л а с т и ф п о л н ы е ни з р а з и к и а цс ин а р уи ж л и

9 SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA 547 б о н а с т ы к о ве ко б е их ч а с т е. йд ля о б о их с л у ч ав е о п р е д е лы е ну с л о вя и в о з н и к н о в я е нн ие с у щй е с п о с о б н и о ссти с т е м, ыс о с о б е н м н ыу ч т е н им е н е п р е м р о в а н нй о з о н ы. е нй н до е к о г е з, и би ез р а з в и тя и п л а с т и ф и ц и Summary PERFECTLY ELASTIC PLASTIC HYPERBOLIC DISK For a disk with hyperbolically variable thickness, the loading parameter at whitch inadmissible discontinuities of radial displacement и occur, is evaluated. These discontinuities result from an infinite increase of the radial strain e r. K. Szuwalski and M. Ż yczkowski [4] proposed to call that loading parameter the decohesive carrying capacity". To avoid infinitely large thickness at the centre of the disk, the paper considers a disk consisting of two parts: the inner of constant thickness, and the outer of hyperbolic profile. For a general case, when both parts are made of different materials, the possibility of initiation of the plastification process from either the radius of connection of both parts or the outer radius is investigated. For both cases the conditions of occuring inadmissible discontinuities of displacements are formulated, particularly when the plastic zone does not spread. Praca została złoż ona w Redakcji dnia 7 lutego 1980 roku