Wykład 14. Oscylacje kwantowe w polu magnetycznym. W mechanice klasycznej uogólniony pęd naładowanej cząstki ma postać [ A] B =. (14.

Transkrypt

1 Wład 14 Osclacj watow w polu agtc W polu agtc obswują się ow adwcaj ft fic, wiąa watowai uchu ośiów ładuu w polu agtc. W t i astęp władi oważ ft watow spowodowa wpłw pola agtcgo a uch ładuów. Poio Ladaua W chaic lascj uogólio pęd aładowaj cąsti a postać gdi A - potcjał wtoow, oślo jao p υ qa, (14.1) [ A]. (14.) W chaic watowj odpowidi uogólio opato pędu wosi a at hailtoia swobodgo ltou ( q oża apisać jao p ˆ i qa, (14.3) ) w jdood polu agtc 1 H T U ( p A), (14.4) gdi wbaliś gię potcjalą U 0, poiważ ałada, ż opóc pola agtcgo a cąstę i diała żad pol potcjal. Jżli ałóż, ż pol agtc jst pol jdood i siowa wdłuż osi, to potcjał wtoow, godi (14.), a postać Po podstawiiu (14.5) do (14.4) hailtoia pjuj postać A i 0 j 0. (14.5) [( p ) ( p p )] ioąc pod uwagę (14.6), apis ówai Schödiga 1 H. (14.6) 1 ( p p p p ) ψ Eψ. (14.7) 145

2 Ppis ówai (14.7) w postaci Eψ ψ p p p. (14.8) Zwóć uwagę, ż opato p i p outują opato Hailtoa. Stąd wia, ż włas fucj ψ opisują wspól włas sta opatoów H, p i p. A at, włas fucj ψ oż suać w postaci ( ) ( ) f ψ i. (14.9) Po podstawiiu (14.9) do (14.8) otuj ) ( ) ( f E f p. (14.10) ioąc pod uwagę, ż pol agtc jst jdood, wpowadź astępując aia K 0,. (14.11) Wtd cło w awiasach po lwj stoi ówaia (14.10) pjuj postać hailtoiau osclatoa haoicgo ( ) 0 1 K p. (14.1) Wpowadając cęstotliwość, tóa osi awę cęstości clotoowj K Ω, (14.13) dla watości własch hailtoiau osclatoa haoicgo oż apisać 1 E Ω. (14.14) Poio oślo wo (14.14) osą awę poioów Ladaua. Z wou (14.14) otuj 1 E Ω. (14.15) 146

3 Wó (14.15) awia dwa cło. Piws cło odpowiada gii swobodgo uchu ltou wdłuż osi. Ppoij, ż jżli pol agtc jst płożo wdłuż osi, to sto pola i diała żada siła w t iuu, aidbując ocwiści stosuowo słab oddiałwai spiowgo otu agtcgo ltou pol. Dla tgo uch ltou wdłuż osi jst uch swobod, a gia odpowiadająca tu uchowi jst wpost gią itcą uchu w iuu osi. Dugi wa odpowiada gii osclatoa haoicgo i opisuj uch cąsti w płascźi. Z putu widia fii lascj uch aładowaj cąsti w polu agtc achodi po spiali. Istoti, a aładowaą cąstę w jdood polu agtc diała siła Lota siowaa postopadl do pędości cąsti, a at pspisi będi tż siowa postopadl do pędości. A stąd wia, ż pol agtc astawia cąstę pousać się po obici spialj. Dowolo fucj falow dla ltou ośla wó (14.9). Postać fucji f ( ) ajduj się ówaia (14.10) i są to fucj osclatoa haoicgo. A at włas fucj aładowaj cąsti w polu agtc wosą ψ ~ i i H ξ / ( ξ ), (14.16) gdi H (ξ) - wiloia Hit a, a ξ ośla wó ξ Ω ( ) 0. (14.17) Gęstość staów ltoowch w polu agtc Roważ ta ft płożogo pola agtcgo a gęstość staów ltoowch. Gęstość staów uładu tójwiaowgo ośla wó dn V dd d g( E), (14.18) de 3 ( π ) de gdi ożi w liciu uwględia spi ltou. Jżli aidbuj oddiałwai spiowgo otu agtcgo węt pol, to a uch ltou wdłuż osi pol agtci i wpłwa. Załóż, ż stał jst ogaico i a wia L, L i L. Z wauów oa-kaaa wia, ż ilość staów dla ośloj watości wosi N d L π d, (14.19) 147

4 gdi ożi pochodi od tgo, ż oż bć dodati i uj. Licba staów N w płascźi postopadłj do pola agtcgo, ajdującch się poięd i ośla wó d L L N πd, (14.0) ( π ) gdi - watość utu - wtoa a płascę postopadłą polu agtcu. Ppoij, ż odlgłość ięd poioai Ladaua jst ówa Ω powiś ić. A at ( / ) d Ω d d. (14.1) Różicując w (14.1) i ostając (14.13) otuj d. (14.) Wlicając d (14.) i podstawiając wi do (14.0) ajduj N LL LL π. (14.3) ( π ) π Gęstość staów otuj jao iloc (14.19) i (14.3), tóa po pstałciu do gii jst ówa gdi V L L L - objętość stału. g( E ) de V ( π) de E, (14.4) Z wou (14.15) wia, ż E oż apisać jao 1 E E Ω. (14.5) Podstawiając wó (14.5) do wou (14.4), ajduj dla gęstości staów tójwiaowgo uładu w polu agtc astępując wó 148

5 g( E) V ( π) E Ω 1. (14.6) Z wou (14.6) wia, ż w fucji gęstości staów g (E) pojawiają się osobliwości (gwałtowi ośi gęstość staów wsut owaia się iaowia), gd gia staj się ówą gii poiou Ladaua. W cwistch uładach, posi gtc liiuj tą osobliwość, chociaż osowość achowaia gęstości staów poostaj. Z poówaia wou (14.6) wo (4.19) widi, ż fucja opisująca gęstość staów ltoowch jst podoba do fucji gęstości staów dutu watowgo. A at pol agtc siowa wdłuż osi powoduj, ż lto, podobi do ich Rs Gęstość staów dla tójwiaowj uchu w uładi jdowiaow, sst b wętgo pola agtcgo (wa sa-opa) D 0( E ) i p istiiu ogą swobodi pousać się tlo w wętgo pola agtcgo D (E) (wa jd iuu wdłuż iuu pola ciągła) agtcgo. Itsując jst poówai dowoloch staów w ppadu istiia wętgo pola agtcgo ppadi bau pola. Dla tójwiaowgo gau ltoów powichia Figo jst posto ulą. Zwęt pol agtc iia sta gtc uładu. Poiważ pol agtc i iia uch wdłuż osi, uch w t iuu jst tai sa ja uch swobodj cąsti i opiswa jst w (14.15) cło awiając. Egia uchu ltou w płascźi, ja wia ppowadoj wżj aali jst swatowaa i wosi Ω ( 1/ ). Dowolo sta w -psti wdłuż iuów i ajdują się a oęgach o poiiu Ω 1. (14.7) 149

6 A at dowolo sta ajdują się a powichiach clidów wdłuż osi, ja to jst poaa a s.14.. Ja widać s.14. wwąt walca 0 i a dowoloch staów. A at, godi s.14.1 gęstość staów usi bć ówa u dla gii ijsch iż Ω /. Gęstość staów wasta gwałtowi, gd gia staj się ówj gii odpowiadającj piwsu clidowi. Dalj gęstość staów ijsa się dopói i ostai dotięt ow walc. W ppadu tójwiaow b pola agtcgo gęstość staów ośi jao piwiast wadatow E, co poaao jst a s a poocą fucji D ( ). Ocwiści, 0 E ż ogóla licba staów dla dwóch Rs.14.. Eft płożogo wdłuż osi ppadów b pola agtcgo i pola agtcgo. Dowolo gi ajdują się a octcch clidach pol, usi poostać taa saa. osiai paalli do pola agtcgo Stopiń wodiia poioów Ladaua Zajdi stopiń wodiia poiou Ladaua, cli jaą ilość staów ltoowch awia poio Ladaua. Ppoij, ż godi asadą Pauligo w t sa stai watow i ogą ajdować dwa lto. A at, licba dowoloch staów ogaica licbę ltoów, tó obsadają bió staów. Z gęstości staów poaach a s.14. wido, ż ięd clidai istiją aboio pw gtc. Dlatgo, po obsadiu oicj licb staów ażdgo clida achodi so w gii i stają się dostęp do obsadia olj sta. Ogóla licba staów dostępch a ażd poioi Ladaua oż bć oblicoa w astępując sposób. ędi aładać słusość piodcch gaicch wauów dla sst (wau oa-kaaa). Ppoi, ż jżli ałóż, ż stał jst sścia długością ścia L, to osow gaic waui oa-kaaa oacają, ż ψ (,, ) ψ( L, L, L). (14.8) Roważ ta uch swobod cąsti w iuu osi (w iuu płożogo pola agtcgo). Po podstawiiu fucji falowj swobodgo ltou, alżą od ( ψ ~ p( i ) ), wauu ψ (,, ) ψ(,, L) otuj 150

7 π, (14.9) L gdi jst wilością całowitą. Paat / (14.11) usi ajdować się 0 ięd 0 i L, poiważ t paat jst wiąa śodi oęgu uchu lascgo i i oż wchodić a gaic stału. A at asala watość 0 jst ówa L. ioąc pod uwagę wó (14.9) ajduj h L. (14.30) L Masala licba staów a jd poio Ladaua (wodii poiou Ladaua) otuj owiąując (14.30) wględ h L. (14.31) Diląc (14.31) p L ajduj asalą licbę staów a jdostę pola powichi s s. (14.3) L h Z wou (14.3) wia, ż wodii poiou Ladaua (licba dostępch do obsadia staów albo pojość poiou Ladaua) jst wpost popocjoala do iducji pola agtcgo. Osclacj Shubiova - d Haasa Eft Shubiova d Haasa jst wiąa osclacjai opou (agtoopou) od wilości odwotj do iducji wętgo pola agtcgo ( 1 / ). Osclacj Shubiowa d Haasa jstują się w wodiałch półpwodiach w isich tpatuach. Dla obswacji ftu Shubiowa-d Haasa usą bć spłio t podstawow waui. Ga ltoow usi bć wodiał, cli μ > > T. T wau oża spłić sili doisując półpwodi dooai. Wtd poio Figo ajduj się w pasi pwodictwa półpwodia, a śdia odlgłość ięd 151

8 dooai w stal N ( N D - octacja dooów) jst ijsa od poiia obit oha 1/ 3 1/ D N 1/ 3 D < ε0ε * ( 1 H ). Tu ( 1 H ) Å poiń oha dla atou wodou; - asa swobodgo ltou, * - asa ftwa ltou. Odlgłość ięd poioai Ladaua Ω usi bć więsa iż soość ażdgo poioów Ladaua E h / τ ( τ - cas żcia ltou a poioi) Ω τ > > 1. Wau t oż bć spłio tlo w sil polu agtc. Cipl posi poioów Ladaua E T usi bć aci ijs od odlgłości ięd poioai Ladaua Ω Ω > > T. Wau t jst spłio tlo w isich tpatuach. Powstawai osclacji Shubiowa - d Haasa oża ouić oważając achowai się poiou Figo w polu agtc. Załóż, ż a pocątu poio Figo ajduj się wwąt poiou Ladaua E f (a) (s.14.3). Poiważ poio Figo lż w cęściowo obsado paśi gtc, uchliwość jst stosuowo wsoa (liia 1 a s.14.4). P więsiu iducji pola agtcgo, godi wo (14.3), więsa się ilość dostępch staów poiżj poiou Figo. Elto acają obsadać t pust sta, a w wiu tgo poio Figo psuwa się w głąb iżsgo wględ gii pasa (poio E f (b) a s.14.3), gdi pwodictwo jst ijs (liia a s.14.4). Kolj więs\i iducji pola agtcgo powoduj astęp psuięci poiou Figo w stoę iżsgo poiou Ladaua (poio E f (c) a s.14.3). Gd poio Figo popada wwąt oljgo poiou Ladaua (poio E f (c) a s.14.3), pojawiają się pust iobsado sta gtc i więsa się pwodictwo (liia 3 a s.14.4). A at, pwodictwo wauj osclacji p iai iducji pola agtcgo. Ja poauj s.14.4, aplituda osclacji wasta p więsiu iducji pola agtcgo. 15

9 Rs Gęstość staów dwuwiaowgo uładu w polu agtc. Poaa są ówiż położi poiou Figo E f dla óżch watości iducji pola agtcgo: a - ajijsa iducja pola; d - ajwięsa iducja. P więsiu iducji pola poio Figo psuwa się w stoę ijsch gii. Rs Pwodictwo jao fucja iducji pola agtcgo dla dwuwiaowgo uładu. Widać, ż pwodictwo wauj osclacj (osclacj Shubiova - d Haasa). P więsiu iducji pola agtcgo, poio Figo pchodi p óż poio Ladaua, co ujawia się jao osclacj w pwodictwi. Z aplitud osclacji oża otać watość ftwj as ośiów ładuu. Opóc tgo, iąc cęstość osclacji Shubiova - d Haasa oża otać watość dwuwiaowj octacji ośiów. A więc, poia osclacji Shubiova - d Haasa dają ważą diagostcą todę chaatującą taspot ośiów w dwuwiaowj ltoowj ssti. Eft d Haasa - va Alfa Eft d Haasa va Alfa awają osclacj podatości agtcj albo aagsowaia w alżości od iducji wętgo pola agtcgo (s.14.5). Fic chai tch osclacji jst dość post. Roważ ga ltoow w polu agtc o iducji. Naagsowai (ot agtc jdostowj objętości póbi) ośla wó M E, (14.33) gdi E - całowita gia uładu w polu agtc o iducji. W polu agtc p T 0 lto obsadają tlo poio Ladaua. Załóż, ż licba ltoów jst ijsa iż wodii poiou Ladaua / h i 153

10 lto ajują iżs poio Ladaua (11.4), dla tógo 0. Wtd całowita gia gau ltoowgo wosi ijsoa ta, ż Rs Zalżość otu agtcgo gau ltoowgo od iducji pola agtcgo ( / h) ( / h). W t ppadu lto usą obsadać i tlo poio Ladaua 0, al ówiż E Ω a ot agtc jst ów poio 1. Egia całowita uładu wtd będi wosiła, (14.34) M E. (14.35) Nich iducja pola agtcgo ostała E Ω h 3Ω h 3 π. (14.36) Sąd dla otu agtcgo ajduj M 3 π. (14.37) A at p h / ot agtc gwałtowi iia się od wilości ( / ) do wilości ( / ). P ijsch watościach iducji pola agtcgo ot agtc iia się liiowo, osiągając watości ( / ) dla h /. Jżli iducja pola agtcgo oaż się w asi ( h / 3) < ( h / ), to < lto acą obsadać poio Ladaua i gia całowita uładu wtd będi ówa E Ω h 3Ω h 5Ω h 5 3 π. (14.38) Sąd dla otu agtcgo ajduj M 5 3 π. (14.39) 154

11 Zalżość M () jst pdstawioa a s Gwałtow ia aagsowaia a więc i podatości agtcj χ M / astępują p h /, gdi 1,,3, 155