Kompensacja wpływu charakterystyk częstotliwościowych nieminimalnofazowych układów zniekształcających

Transkrypt

1 Mirosław KOZIOŁ Uniwersytet Zielonogórski, Instytut Metrologii Elektrycznej Kompensacja wpływu charakterystyk częstotliwościowych nieminimalnofazowych układów zniekształcających Streszczenie. W artykule zaprezentowano różne możliwości przeprowadzenia kompensacji wpływu charakterystyk częstotliwościowych nieminimalnofazowych układów zniekształcających przetwarzających sygnały niesinusoidalne. Kompensacja realizowana jest w układzie kaskadowym przez dołączenie cyfrowego filtru korekcyjnego, będącego odwrotnością układu zniekształcającego lub jego quasi-odwrotnością traktowaną jako układ nieprzyczynowy. Przedstawione podejście bazuje na założeniu, że dana jest dyskretna transmitancja układu zniekształcającego. Abstract. In this article compensation of a frequency response of a nonminimum-phase systems is presented. Compensation is realized in cascade connection by an inversion of a distorting system or its quasi-inversion treated as an anticasual system. It was assumed that a system function of a distorting system is known. (Frequency-Response Compensation of Nonminimum-Phase Distorting Systems). Słowa kluczowe: kompensacja charakterystyk częstotliwościowych, układy nieprzyczynowe, układy nieminimalnofazowe, filtry quasi-odwrotne.. Wstęp Znacząca większość produkowanych obecnie urządzeń pomiarowych dokonuje wyznaczenia wyniku na podstawie dyskretnej reprezentacji sygnału będącego nośnikiem informacji. Zamiana sygnału na reprezentację cyfrową realizowana jest przez zastosowanie przetwornika analogowo-cyfrowego, na którego wejście może być jednak podawany tylko sygnał napięciowy o wartościach mieszczących się w określonym zakresie. Stąd w przypadku pomiaru wyższych napięć lub wielkości innego typu dostarczanych np. z różnego rodzaju czujników pomiarowych konieczne jest stosowanie tzw. obwodów wejściowych. Jeśli sygnał jest niesinusoidalny, a w paśmie częstotliwościowym przetwarzanego sygnału charakterystyka amplitudowa takiego obwodu nie jest równomierna, zaś charakterystyka fazowa co najmniej liniowa, to przejście sygnału przez taki układ prowadzi do zmiany jego widma, a przez to zniekształcenia informacji jaką niesie. Również często same czujniki dostarczające sygnał pomiarowy ze względu na swoje właściwości fizyczne i/lub konstrukcyjne wprowadzają pewne zniekształcenia.. Korekcja w połączeniu kaskadowym Najprostszym sposobem pozbycia się zniekształceń jest realizacja układu kompensacyjnego będącego dokładna odwrotnością układu zniekształcającego i połączeniu go kaskadowo z układem zniekształcającym, co zaprezentowano na rysunku. Rys.. Ilustracja kompensacji zniekształceń przez kaskadowe dołączenie układu korekcyjnego Zakładając, że znana jest transmitancja (z) przyczynowego i stabilnego układu zniekształcającego, transmitancja X(z) filtru korekcyjnego powinna spełniać następującą zależność () X ( z) ( z) której wykorzystanie prowadzi do uzyskania idealnego układu odwrotnego. Przetwarzając zniekształcony sygnał za pomocą tak zaprojektowanego filtru osiąga się dokładną kompensację zniekształceń, tj. s i [n] s x [n]. Jeśli układ zniekształcający nie jest minimalnofazowy, otrzymany zgodnie z zależnością () filtr korekcyjny, traktowany jako układ przyczynowy, nie będzie stabilny. Stosowanym w takich przypadkach rozwiązaniem jest aproksymacja transmitancji (z) przez układ minimalnofazowy min (z) oraz układ wszechprzepustowy al (z). () ( z) ( z) ( z) min Transmitancja układu minimalnofazowego jest tworzona na postawie zer i biegunów transmitancji (z) leżących wewnątrz koła jednostkowego oraz zer będących sprzężonymi odwrotnościami zer transmitancji (z) leżących na zewnątrz koła jednostkowego. Natomiast układ wszechprzepustowy al (z) budowany jest w oparciu o rozkład zer układu zniekształcającego leżących na zewnątrz koła jednostkowego []. W takim przypadku transmitancja filtru korekcyjnego określana jest na podstawie zależności (3) X ( z) dając stabilny i przyczynowy układ korekcyjny. W wielu przypadkach (analiza sygnałów mowy lub sygnałów w medycynie) ważnym zagadnieniem jest korekcja zniekształceń fazowych, gdyż użyteczna informacja odczytywana jest na podstawie kształtu sygnału. Również w przypadku pomiarów mocy, zniekształcenia fazowe mają duży wpływ na błąd pomiaru []. Przedstawiona powyżej metoda korekcji pozwala jedynie na pełną korekcję charakterystyki amplitudowej układu zniekształcającego. Wypadkowa charakterystyka fazowa nie jest jednak zerowa. 3. Nieprzyczynowe układy kompensacyjne W celu pełnej kompensacji zarówno charakterystyk częstotliwościowych amplitudowych jak i fazowych, można idealną odwrotność układu nieminimalnofazowego potraktować jako układ nieprzyczynowy. Przyjęcie takiego min ap ( z)

2 założenia wymusza jednak podział transmitancji filtru korekcyjnego na część przyczynową grupująca bieguny leżące wewnątrz koła jedostkowego oraz część antyprzyczynową grupująca bieguny leżące na zewnątrz koła jednostkowego. Podział można dokonać zarówno na równoległe jak i szeregowe połączenie obu części. W przypadku części antyprzyczynowej wymagane jest również przetwarzanie sygnału w kierunku malejących indeksów próbek. Dzięki takiemu podejściu filtr kompensacyjny jest stabilny asymptotycznie. Wydaje się, iż konieczność przetwarzania sygnału przez część antyprzyczynową od końca wymaga wcześniejszego zapamiętania przetwarzanego sygnału i ogranicza zastosowanie takich układów kompensacyjnych do przypadków, gdzie korekcja sygnału nie musi odbywać się na bieżąco. Istnieją jednak metody (overlap-save i overlap-add), które pozwalają na przetwarzanie bardzo długich lub nieskończenie długich sygnałów przez układy antyprzyczynowe poprzez ich sekcjonowanie. Bardzo wygodna implementacja metody overlap-add przedstawiona w [3] i stosowana przy realizacji filtrów NOI o liniowej charakterystyce fazowej, może być również zastosowana w tym przypadku do przetwarzania sygnału przez część antyprzyczynową filtru korekcyjnego. Rys.. Możliwa implementacja przetwarzania sygnału przez część antyprzyczynową filtra kompensacyjnego W wyniku zastosowania buforów LIFO do odwracania kolejności próbek, sygnał wyjściowy jest opóźniony w stosunku do sygnału wejściowego o czas równoważny trzykrotnemu jego zapełnieniu. Długość L bufora może być określana na podstawie algorytmu przedstawionego w [4] i zależy od długości odpowiedzi impulsowej części antyprzyczynowej filtra korekcyjnego (czym jest ona krótsza, tym długość L bufora może być mniejsza). 4. Nieminimalnofazowy układu zniekształcający z zerami na okręgu jednostkowym Żadne z zaprezentowanych podejść kompensacji charakterystyk częstotliwościowych układu zniekształcającego nie umożliwia uzyskania asymptotycznie stabilnego filtru korekcyjnego w przypadku, gdy układ zniekształcający posiada zera leżące na okręgu jednostkowym. W wyniku braku możliwości zastosowania do kompensacji idealnego układu odwrotnego, należałoby np. znaleźć stabilny asymptotycznie filtr korekcyjny, który aproksymuje idealną odwrotność układu zniekształcającego na pewnym założonym przez projektanta poziomie. Przy poszukiwaniu rozwiązania przyjęto dwie drogi. W jednej z nich, nazwanej pierwszym zadaniem optymalizacyjnym, poszukiwano filtru o minimalnym wskaźniku aproksymacji πj (4) ( z) X ( z) z dz min z przy założonej wartości wskaźnika stabilności πj z (5) X ( z) z dz q W drugiej, określanej mianem drugiego zadania optymalizacyjnego, poszukiwano filtru o minimalnym wskaźniku stabilności πj (6) X ( z) z dz min z przy założonym ograniczeniu związanym z wskaźnikiem aproksymacji [6] πj z (7) ( z) X ( z) z dz q Obydwa wskaźniki optymalizacyjne reprezentują energię bądź to samego filtra korekcyjnego, bądź różnicę pomiędzy energią układu wypadkowego powstałego przez kaskadowe połączenie układu zniekształcającego i filtra korekcyjnego a energią układu tożsamościowego. Stosując metody optymalizacyjne uzyskano nową klasę filtrów określonych zależnością: dla pierwszego zadani optymalizacyjnego (8) ( ) ( z ) X λ z λ + ( z ) ( z) dla drugiego zadani optymalizacyjnego λ (9) ( ) ( z ) X λ z + λ ( z ) ( z) i nazwanych λ-rodziną filtrów quasi-odwrotnych. Współczynnik λ jest mnożnikiem Lagrange a związanym z zastosowaną metoda optymalizacyjną. Uzyskana rodzina filtrów charakteryzuje się specyficznym rozkładem biegunów. Mianowicie bieguny zespolone występują zawsze czwórkami, tzn. jeśli p jest biegunem transmitancji filtru quasi-odwrotnego, to istnieje biegun p* sprzężony do niego oraz bieguny p - i (p * ) - będące sprzężonymi odwrotnościami odpowiednio do biegunów p* oraz p. Ilustruje to rysunek 3. Rys.3. Przykładowy rozkład biegunów w filtrze quasi-odwrotnym Zastosowanie podstawienia ze na przykład w transmitancji (8) umożliwia określenie charakterystyk częstotliwościowych filtru quasi-odwrotnego dla pierwszego zadania optymalizacyjnego

3 (0) ( ) X e λ + λ + gdzie * oznacza sprzężenie zespolone. Przedstawiając funkcję znajdującą się w liczniku wzoru (0) w postaci modułu i argumentu, tj. [ ] j arg () ( ) ( ) e e uzyskuje się charakterystykę amplitudową () X i fazową e λ + (3) arg[ X ] [ ( )] arg e filtru quasi-odwrotnego. Jak można zauważyć, mnożnik λ wpływa tylko na postać charakterystyki amplitudowej. Charakterystyka fazowa jest niezależna od niego, będąc dodatkowo dokładną odwrotnością charakterystyki fazowej układu zniekształcającego. Dzięki tej właściwości, filtry quasi-odwrotne umożliwiają dokładną korekcję przesunięć fazowych wprowadzanych przez układ zniekształcający niezależnie od przyjętej wartości mnożnika λ. Rozwiązania (8) i (9) prezentują całą rodzinę filtrów. W celu uzyskania jednego rozwiązania będącego rozwiązaniem optymalnym należy wyznaczyć wartość mnożnika λ posługując się uzyskanym rozwiązaniem ogólnym i zależnością reprezentującą ograniczenie w danym zadaniu, co prowadzi do następujących zależności przedstawionych w dziedzinie pulsacji ω: pierwsze zadanie optymalizacyjne (4) π π π λ + dω q (6) ( z) z,5 z 0,6 okazała się nieminimalnofazowa. W celu uzyskania stabilnego filtru korekcyjnego w pracy [9] posłużono się metodą przedstawioną w punkcie. Ponieważ w przedstawionym przykładzie ważna była korekcja zniekształceń fazowych, zaprojektowano jeszcze dodatkowy filtr wszechprzepustowy, który jednak musiał być traktowany jako układ antyprzyczynowy. Wydaje się, że prostszym rozwiązaniem jest potraktowanie dokładnej odwrotności układu korygowanego jako układu nieprzyczynowego i odpowiednie przetwarzanie sygnału pomiarowego w sposób przedstawiony we wcześniejszym punkcie. Przy zastosowaniu takiego podejścia uzyskuje się idealną korekcję zarówno charakterystyk amplitudowych, jak również fazowych w pełnym zakresie przetwarzanych częstotliwości. Rys.4. Charakterystyki częstotliwościowe dyskretnego modelu czujnika GEMS gdzie q reprezentuje założona wartość wskaźnika stabilności, drugie zadanie optymalizacyjne (5) π π π + λ dω q gdzie q reprezentuje założona wartość wskaźnika aproksymacji. Przy znajomości transmitancji (z) układu zniekształcającego, poszukiwanie wartości λ może odbywać się numerycznie metodą Newtona [8]. 5. Przykłady symulacyjne W pracy [9] koniecznym było zaprojektowanie układu korekcyjnego w celu usunięcia zniekształceń wprowadzanych przez czujnik GEMS. Najlepsza aproksymacja transmitancji czujnika Rys.5. Charakterystyki częstotliwościowe wypadkowe Na rysunku 6 przedstawiono widma amplitudowe i fazowe uzyskane w procesie symulacji dla przykładowego sygnału wejściowego s i [n]. Umiejscowienie pozostałych sygnałów jest zgodne z rysunkiem. Przetwarzanie sygnału s h [n] przez część antyprzyczynową filtru korekcyjnego zrealizowano w oparciu o przetwarzanie sekcjonowane metodą overlapp-add, co umożliwia uzyskiwanie próbek sygnału na bieżąco z niewielkim opóźnieniem czasowym.

4 Rys.8. Charakterystyki częstotliwościowe układu zniekształcającego Na rysunku 9 b) przedstawiono graficznie zależność mnożnika λ od przyjętej wartości współczynnika q dla rozpatrywanego przykładu. Rysunek 9 a) przedstawia tą samą zależność, jednak dla małych wartości λ. Rys.6. Widma amplitudowe i fazowe przykładowego sygnału s i [n] przed czujnikiem GEMS, sygnału s h [n] za nim oraz sygnału s x [n] po korekcji przez filtr nieprzyczynowy W kolejnym przykładzie symulacyjnym przyjęto, że układ zniekształcający również nie jest minimalnofazowy dodatkowo posiadając zera leżące na okręgu jednostkowym. Rys.9. Graficzna reprezentacja zależności pomiędzy współczynnikiem q i mnożnikiem λ Stabilny asymptotycznie filtr korekcyjny uzyskuje się przyjmując wartość q (0,). Rys.7. Rozkład zer układu zniekształcającego Do przeprowadzenia korekcji zastosowano więc filtr quasiodwrotny uzyskany dla drugiego zadania optymalizacyjnego. Rys.0. Charakterystyki częstotliwościowe amplitudowe układu wypadkowego dla wartości mnożnika λ 5 0 4,5 0 5 W celu obrazowego pokazania zmian charakterystyk częstotliwościowych amplitudowych układu wypadkowego

5 dla szerokiego zakresu zmian mnożnika λ, na rysunku 0 dokonano ich prezentacji w postaci wykresu trójwymiarowego. Przyjmowanie coraz większych wartości współczynnika q (a tym samym coraz mniejszych wartości mnożnika λ) prowadzi do uzyskania coraz gorszej kompensacji charakterystyk częstotliwościowych układu zniekształcającego. Rys.. Rozkłady biegunów filtra quasi-odwrotnego dla dwóch wybranych wartości współczynnika q Przyjęcie określonej wartości współczynnika q zależy wyłącznie od projektanta filtru i wymagań, jakie narzuca jego zastosowanie w danej aplikacji. Rys.. Wypadkowe charakterystyki częstotliwościowe dla dwóch wybranych wartości współczynnika q Umożliwia to jednak odsunięcie biegunów filtra korekcyjnego od okręgu jednostkowego, co pozwala na uzyskanie układu kompensacyjnego stabilnego asymptotycznie. Podsumowanie W pracy przedstawiono skrótowy przegląd możliwości kompensacji charakterystyk częstotliwościowych czujników pomiarowych lub obwodów wejściowych mikroprocesorowych urządzeń pomiarowych. Oprócz ogólnie znanych metod zaprezentowano również możliwości kompensacji charakterystyk układów nieminimalnofazowych posiadających zera na okręgu jednostkowym. Pomimo przynależności zastosowanych w tym celu filtrów quasi-odwrotnych do klasy układów nieprzyczynowych, możliwe jest przetwarzanie na bieżąco sygnałów o bardzo długi czasie trwania dzięki metodzie opublikowanej w pracy [3]. LITERATURA [] Oppenheim A.V., Schafer R.W., Discrete-Time Signal Processing, Prentice all, 999 [] Fu r m a n k i e wicz L., Możliwość programowej korekcji błędów wnoszonych przez transformatorowe obwody wejściowe w przetwornikach mocy przy pomiarze sygnałów odkształconych, Rozprawa doktorska, Politechnika Zielonogórska, Zielona Góra, 998 [3] Powell S.R., Chau P.M., A Technique for Realizing Linear Phase IIR Filters, IEEE Trans. Signal Processing, 39 (99),n., [4] L a a k s o T.I., V ä l i m ä k i V., Energy-Based Length of The Impulse Response of a Recursive Filter, IEEE Trans. Instrumentation and Measurement, 48 (999), n., 7-7 [5] S i wc z yń ski M., Kozioł M., Synteza quasi-odwrotnych filtrów korekcyjnych, XXIV SPETO, Gliwice 00, [6] S i wc z yń ski M., Kozioł M., Korekcyjne cyfrowe filtry odwrotne i quasi-odwrotne, VI EPN, Zielona Góra 00, 05- [7] S i wc z yń ski M. Kozioł M., Synthesis of Optimised Digital Filters to Signal Correction in Measurement Systems, IMEKO TC7, Kraków 00, [8] S i wc z yński M., Metody optymalizacyjne w teorii mocy obwodów elektrycznych, Wydawnictwa Politechniki Krakowskiej, Kraków 995 [9] B u rnett G.C., The Physiological Basis of Glottal Electromagnetic Micropower Sensor (GEMS) and Their Use in Defining an Excitation Function for the uman Vocal Tract, Rozprawa doktorska, University of California, 999 Autor: mgr inż. Mirosław Kozioł, Uniwersytet Zielonogórski, Instytut Metrologii Elektrycznej, ul. Podgórna 50, Zielona Góra, E- mail: m.koziol@ime.uz.zgora.pl.