(i) Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze A = { 1, 0, 1}.

Transkrypt

1 Rudymenty algebry abstrakcyjnej. Algebry Boole'a. Wspóªczesne uj cie poj cia analogii proporcjonalno±ci - poj cie (homo)izomorfizmu. Syntetyczno± twierdze«matematyki w uj ciu Kanta Cz ± poj wprowadzonych na tej li±cie znacz co przekracza tradycyjny program wykªadu z logiki. Po co jednak s one wprowadzane? Otó» cho by poj cie izomorzmu (i jego odmiany) pojawiaj si w wielu argumentacjach dwudziestowiecznej (i nie tylko) lozoi (np. w Epistemologii Wole«skiego izomorzm pojawia si co najmniej kilkana±cie razy), aby wypeªni pust intencj przez naoczno± i nie ±lizga si po tych poj ciach prze wiczymy ich elemetarne wersje. Z tych te» powodów caªo± punktów z tej listy nie b dzie wliczana w ogólny rozrachunek innymi sªowy rozwi zuj c zadania z tej listy korzystamy wiele, a nie rozwi zuj c nie tracimy nic. Zadanie 1. Sprawd¹ czy podane operacje s dziaªaniami w zbiorze A: (i) Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze A = { 1, 0, 1}. (ii) Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze A = N. (iii) Zwykªe dodawanie, odejmowanie, dzielenie i mno»enie w zbiorze A = Z. (iv) (v) Niech n N +. Przyporz dkowanie liczbie naturalnej jej reszty z dzielenia przez n w A = N, a je±li A = Z? Reszt z dzielenia liczby caªkowitej m przez n oznaczamy mmodn. Oczywi±cie mmodn {0, 1, 2,..., n 1}. Dziaªania + n i n w A = {1, 2, 3,..., n 1} zdeniowane nast puj co: a + n b = (a + b)modn, a n b = (a b)modn (vi) ažb = ab + a + b 7 w zbiorze A = Q, a w zbiorze A = R? (vii) Operacja ž okre±lona w nast puj cy sposób 0ž0 = 0, 0ž1 = 0, 1ž0 = 0, 1ž1 = 1 w zbiorze A = {0, 1}. (viii) Niech B b dzie dowolnym zbiorem.,, \, w zbiorze A = P(B). Zadanie 2. Narysuj tabelk dziaªa«+ 4 i 4 w zbiorze {0, 1, 2, 3}. Czy s one ª czne i przemienne? Czy 4 jest rozdzielne wzgl dem + 4? Zadanie 3. W zbiorze liczb caªkowitych poda przykªady: (i) (ii) podzbioru zamkni tego wzgl dem dodawania, który nie jest zamkni ty wzgl dem mno»enia, podzbioru zamkni tego wzgl dem mno»enia, który nie jest zamkni ty wzgl dem dodawania. Zadanie 4. Czy podane dziaªania w odpowiednich zbiorach s ª czne, przemienne, idempotentne oraz czy istnieje element neutralny? Wyznaczy te elementy podanego zbioru, dla których istnieje element odwrotny i wyrazi element odwrotny do a (o ile istnieje) przez a. (i) ažb = a b w zbiorze N + ; Lista 6 (lista dodatkowa) 1

2 (ii) a b = a+b 2 w zbiorze Q ; (iii) a b = a + b + 1 w zbiorze R; (iv) a b = ab + a + b w zbiorze R; (v) a b = ab a+b w zbiorze R; Zadanie 5. Dziaªanie w zbiorze A = {p, g, r, s, t} zadane jest tabelk : p q r s t p p q r s t q q p t p p r r s t r s s s q s t p t t p q p p Wskaza elementy odwrotne (o ile istniej ) do elementów zbioru A. Zadanie 6. Zbiór G, w którym okre±lone jest dziaªanie ž, nazywamy grup, je±li speªnione s nast puj ce warunki: 1. dziaªanie ž jest ª czne; 2. w G istnieje element neutralny wzgl dem dziaªania ž; 3. dla ka»dego g G istnieje w G element odwrotny do g wzgl dem dziaªania ž. Warunki (1)-(3) nazywamy aksjomatami teorii grup. Sprawd¹ czy podany system algebraiczny A jest grup : (i) A = N, +, A = Z, + ; (ii) A = Z,, A = Q, ; (iii) A = R\{0},, A = Q +, ; (iv) (v) A = Z n, + n gdzie Z n = {0,..., n 1} oraz n N +, A = Z p, p, gdzie p jest liczb pierwsz. A = P(X),, gdzie X jest dowolnym zbiorem. Zadanie 7. Wyka»,»e dla dowolnego zbioru system algebraiczny zªo»ony ze zbioru pot gowego oraz dziaªa«: sumy, iloczynu i dopeªnienia mnogo±ciowego jest algebr Boole'a. Podobnie, udowodnij,»e system algebraiczny, którego uniwersum skªada si z 0 i 1, na którym okre±lone s dziaªania koniunkcji, alternatywy i negacji jest (dwuelementow ) algebr Boole'a. Co jest zerem a co jedynk tych algebr? Zadanie 8. Sprawdzi,»e podane funkcje f s izomorzmami systemów A i B. (Wªa±nie w takim sensie mo»emy ±ci±le wypowiedzie my±l,»e s one analogiczne). (i) A = (R, +), B = (R +, ) oraz f(x) = 2 x ; (ii) A = (P(X),, ), B = (P(X),, ) oraz f(a) = A ; Lista 6 (lista dodatkowa) 2

3 (iii) A = (R,, ), B + (R,, ) oraz f(a) = a, gdzie a b = max(a, b), a b = min(a, b); (iv) Podaj tak funkcj f, która jest izomorzmem A w A. Zadanie 9. Jakie systemy algebraiczne nazywamy pier±cieniami, a jakie ciaªami? Podaj ich denicj (tzn. aksjomatyk teorii pier±cieni i teorii ciaª), i dwa przykªady pier±cienia i dwa przykªady ciaªa (razem 4 ró»ne przykªady). Zadanie 10. Na gruncie dost pnej wiedzy z algebry abstrakcyjnej skomentuj twierdzenie Kanta: S dy matematyczne s s dami syntetycznymi a priori. Jak mo»na uzasadni syntetyczno± twierdze«matematyki u»ywaj c rydymentów algebry? Oto dokªadne wysªowienie Kanta z Krytyki czystego rozumu: S dy matematyczne s wszystkie syntetyczne. (... ) Przede wszystkim trzeba zauwa»y : wªa±ciwe twierdzenia matematyczne s zawsze s dami a priori, a nie s dami empirycznymi, gdy» odznaczaj si konieczno±ci, której nie mo»na zaczerpn z do±wiadczenia. (... ) Mo»na by pocz tkowo my±le,»e twierdzenie, i» = 12, jest zdaniem czysto analitycznym, wynikaj cym na mocy zasady sprzeczno±ci z poj cia sumy siedmiu i pi ciu. Jednak»e rozpatrzywszy spraw bli»ej znajdujemy,»e poj cie sumy siedmiu i pi ciu nie zawiera w sobie niczego wi cej, jak poª czenie obu liczb w jedn, przez co wcale nie my±limy, jak jest owa jedna liczba, która je obie w sobie ª czy. Poj cie liczby dwana±cie nie jest jeszcze wcale samo przez to pomy±lane,»e my±l sobie jedynie owo poª czenie siedmiu i pi ciu. I mog sobie poj cie takiej mo»liwej sumy do woli analizowa, a mimo to nie znajd w nim liczby dwana±cie. Trzeba wyj± poza te poj cia, bior c sobie do pomocy dane unaocznione, które jednemu z nich odpowiadaj, np. swoje pi palców (... ) To,»e liczba 5 miaªa by dodana do 7, pomy±laªem wprawdzie w poj ciu = 7 + 5, ale nie to,»e ta suma równa si 12. Twierdzenie arytmetyczne jest wi c zawsze syntetyczne, a u±wiadamiamy sobie to tym wyra¹niej, im nieco wi ksze liczby bierzemy, poniewa» wówczas staje si jasne,»e cho by±my nasze poj cia do woli obracali na wszystkie strony, nigdy nie mogliby±my znale¹ sumy przy pomocy samej analizy naszych poj, bez uciekania si do pomocy naoczno±ci 1. 1 I. Kant, Krytyka czystego rozumu, ANTYK, K ty 2001, s Lista 6 (lista dodatkowa) 3

4 Podstawowe definicje. Dodatek C Definicja 1 (Dziaªanie n-argumentowe) Niech n N +. Dziaªaniem n-argumentowym okre±lonym w niepustym zbiorze A nazywamy dowoln funkcj f : A n A. Definicja 2 (System algebraiczny) Dowolny niepusty zbiór A z wyró»nionym ukªadem dziaªa«n-argumentowych (liczby argumentów odpowiadaj ce ró»nym dziaªaniom mog by ró»ne) okre±lonych w A oraz wyró»nionym ukªadem elemntów zbioru A nazywamy systemem algebraicznym b d¹ po prostu algebr. Notacja: A, (f i ) i I, (a t ) t T. Gdzie I, T s dowolnymi zbiorami indeksów, f i jest dowolnie argumentowym dziaªaniem w A dla ka»dego i, a t A dla ka»dego t. Definicja 3 (Wªasno±ci dziaªa«dwuargumentowych) Niech * b dzie dziaªaniem dwuargumentowym okre±lonym w zbiorze A. Mówimy,»e dzia- ªanie to jest: ˆ idempotentne, je±li a a = a dla ka»dego a A, ˆ ª czne, je±li a (b c) = (a b) c dla dowolnych a, b, c A, ˆ przemienne, je±li a b = b a dla dowolnych a, b A. Je±li jest równie» dwuargumentowym dziaªaniem w zbiorze A, to dziaªanie * nazywamy : ˆ obustronnie rozdzielnym wzgl dem, gdy a (b c) = (a b) (a c) oraz (b c) a = (b a) (c a). Definicja 4 (Element neutralny, element odwrotny ) b dzie dziaªaniem okre±lonym w zbiorze A oraz a, b A. Niech ž ˆ Mówimy,»e e jest elementem neutralnym dziaªania ž je±li aže = eža = a dla wszystkich a A. ˆ Je±li e jest elementem neutralnym dziaªania ž, to mówimy,»e b jest elementem odwrotnym do a wzgl dem dziaªania ž, je±li ažb = bža = e. Definicja 5 (Algebra Boole'a) System algebraiczny A = A,,,, 0, 1 nazywamy algebr Boole'a, je±li speªnione s nast puj ce wªasno±ci: 1. dziaªania, s idempotentne, przemienne i ª czne; 2. jest rozdzielne wzgl dem ; 3. x (x y) = x, x (x y) = x; 4. x 1 = x, x x = 0, x 0 = x, x x = 1. Definicja 6 (Homomorfizm) Niech A = A, (f i ) i I, (c j ) j J oraz B = B, (g i ) i I, (d j ) j J b d systemami algebraicznymi, gdzie odpowiednie dziaªania maj t sam arno±. Homomorzmem z A do B nazywamy funkcj F : A B tak,»e dla ka»dego i I oraz a 1,..., a mi A, gdzie m i jest liczb argumentów i-tej funkcji, mamy: Lista 6 (lista dodatkowa) 4

5 oraz dla ka»dego j J mamy: F (f i (a 1,..., a mi )) = g i (F (a 1 ),..., F (a mi )) F (c j ) = d j W przypadku, gdy A = A, +,, c oraz B = B,,, d homomorzmem z A w B nazywamy funkcj F : A B tak,»e dla a, b, c A oraz d B: oraz F (a + b) = F (a) F (b) F (a b) = F (a) F (b) F (c) = d Je±li istnieje homomorzm z A do B to mówimy,»e s one homomorczne. Podobnie w przypadku endo- mono- i izomorzmu. Jak widzimy, dziaªania jednego systemu przenosz si homomorcznie na dzia- ªania drugiego, oraz obrazem elementów wyró»nionych pierwszego systemu s odpowiednio elementy wyró»nione drugiego systemu. Te okoliczno±ci pozwalaj dopatrywa si zbie»no±ci z lozocznym poj ciem analogii proporcjonalno±ci. Poznali±my jednak tylko uj cie algebraiczne wspóªczesnego odpowiednika poj cia analogii, s te» inne, jak np. (chyba najogólniejsze) w matematycznej teorii kategorii poj cie morzmu oraz o czym warto wspomnie poj cie homeomorzmu w topologii. Platon nie wpuszczaª do Akademii osobników nieznaj cych geometrii nie bez powodu, otó» wskazuje si,»e geneza lozocznego poj cia istoty ma swe ¹ródªo w geometrii. Wspóªczesn wersj, niejako uogólnieniem, geometrii jest analysis situs, czyli topologia. Oddajmy w tej sprawie gªos Kazimierzowi Kuratowskiemu: Topologia jest to nauka o tych wªasno±ciach tworów geometrycznych, które nie ulegaj zmianie, gdy twory te poddajemy przeksztaªceniom ró»nowarto±ciowym i obustronnie ci gªym, czyli homeomor- zmom. (... ) Wªasno±ci takie nazywamy niezmiennikami topologicznymi. Na przykªad wªasno± okr gu polegaj ca na tym,»e rozcina on pªaszczyzn na dwa obszary, jest niezmiennikiem topologicznym; je±li okr g przeksztaªcimy w elips czy w obwód trójk ta, wªasno± ta zostanie zachowana. Natomiast posiadanie stycznej w ka»dym punkcie nie jest wªasno±ci topologiczn ; posiada j okr g, nie posiada za± obwód trójk ta, cho powstaje on z okr gu przez przeksztaªcenie ró»nowarto±ciowe i obustronnie ci gªe. 2 Homeomorzm oraz inne poj cia topologiczne (np. otoczenie, brzeg, g sto±, ró»ne wersje spójno±ci, zwarto±, ograniczono±, metryka) s wykorzystywane we wspóªczesnej metazyce (na wzór Scholastyków i Husserla). W tej sprawie wystarczy przestudiowa pisma np. Barry'ego Smith'a 3 z Uniwersytetu w Bualo w Stanie NY lub ±p. Jerzego Perzanowskiego 4. 2 Kuratowski K., Wst p do teorii mnogo±ci i topologii, PWN, Warszawa 1972, s Perzanowski J., Ontologie i ontologiki oraz Byt [w:] Studia lozoczne, nr 6-7, Warszawa 1988, i wiele innych prac. Lista 6 (lista dodatkowa) 5

6 Definicja 7 (Izomorfizm, monomorfizm, endomorfizm) Homomorzm nazywamy monorzmem, je±li jest 1 1, endomorzmem je±li jest na oraz izmorzmem je±li jest 1 1 i na. Je±li dwa systemy algebraiczne A i B s izomorczne, to piszemy A = B. Šatwo zauwa»y,»e bycie izomorcznym = jest zwrotne, symetryczne i przechodnie. Definicja 8 (Funkcja, dziedzina i obraz funkcji) Niech X i Y b d zbiorami. Funkcj ze zbioru X w zbiór Y (f : X Y ) nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezja«kiego X i Y (f X Y ) taki,»e: 1. ( x X)( y Y )( x, y f) 2. ( x X)( y 1, y 2 Y )( x, y 1 f x, y 2 f y 1 = y 2 ) Dziedzina funkcji dom(f) = X oraz obraz funkcji rng(f) = {y Y : ( x X) x, y f} Dla przypomnienia: funkcj f : A B nazywamy ró»nowarto±ciow, (inaczej: 1 1, wzajemnie jednoznaczn czy injekcj ) wtedy, gdy dla ró»nych argumentów przyjmuje ró»ne warto±ci, tzn. ( a, b A)(a b f(a) f(b)). Funkcj f : A B za± nazywamy na (surjekcj ), gdy caªy zbiór B jest zbiorem warto±ci f, tzn. ( b B)( a A)(f(a) = b). Je±li funkcja jest surjekcj i injekcj, to mówimy wówczas,»e jest bijekcj. Definicja 8 jest ju» drug denicj funkcji, któr podajemy (pierwsza byªa w dodaku B), pomimo,»e ró»ni si te denicje w wysªowieniu (oraz, co za tym idzie, podkre±laj inny aspekt funkcji) s one jednak równowa»ne. Lista 6 (lista dodatkowa) 6