1 Elementy teorii przeżywalności
|
|
- Dagmara Adamska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek dożyje wieku P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia 5. P-two, że noworodek umrze między 50 a 90 rokiem życia 6. P-two, że noworodek umrze między 20 a 50 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 10 a 50 rokiem życia 7. P-two, że noworodek umrze między 15 a 45 rokiem życia, o ile umrze przed 80-tką 8. P-two, że noworodek umrze między 10 a 20 rokiem życia pod warunkiem, że umrze między 15 a 25 rokiem życia Zadanie 2 Przeczytaj F (50) F (13) F (60) F (10) F (80) F (20) s(15) s(16) s(26) 1 s(20) Zadanie 3 Zapisz symbolicznie 1. Prawdopodobieństwo, że 50-latek umrze w ciągu 5 lat 2. P-two, że 50-latek przeżyje co najmniej 10 lat 3. P-two, że 20-latek dożyje 80tki 4. P-two, że 30-latek nie dożyje 50tki 5. P-two, że 62-latek umrze w ciągu 40 lat 6. P-two, że 40-latek dożyje 90tki 7. P-two, że 20-latek umrze powyżej 50 roku życia 8. P-two, że 21-latek umrze przed 50tką 9. P-two, że noworodek dożyje wieku P-two, że 53-latek dożyje co najmniej do 75 roku życia 11. P-two, że 53-latek umrze przed 75 rokiem życia 12. P-two, że 40-latek umrze przed 41 urodzinami 13. P-two, że 30-latek przeżyje rok 14. P-two, że noworodek umrze przed 40-tką
2 15. P-two, że 50-latek umrze w ciągu roku 16. P-two, że 4-latek dożyje 5-go roku życia 17. P-two, że 20-latek przeżyje 5 lat, ale umrze w ciągu następnych dwóch lat 18. P-two, że 50-latek przeżyje 10 lat, a następnie umrze w przeciągu 3 lat 19. P-two, że 30-latek przeżyje następnych 30 lat, ale nie przekroczy 80-tki 20. P-two, że 13-latek przeżyje 10 lat, ale umrze w ciągu roku Zadanie 4 Zapisz na trzy sposoby (przy użyciu p, s, F ) 1. P-two, że 60-latek przeżyje następnych 30 lat a następnie umrze w ciągu 3 lat 2. P-two, że 20-latek przeżyje 8 lat a następnie umrze w przeciągu 10 lat 3. P-two, że 16-latek przeżyje 60 lat a następnie umrze w ciągu roku 4. P-two, że 16-latek dożyje 60-tki a następnie umrze w ciągu roku Zadanie 5 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = x dla x [0, 100]. Oblicz 1. P-two, że noworodek umrze między 46 a 75 rokiem życia 2. P-two, że 20-latek nie dożyje 50-tki 3. P-two, że 46-latek nie przeżyje kolejnych pięciu lat 4. P-two, że 19-latek umrze przed 64 rokiem życia 5. P-two, że 46-latek dożyje wieku 75 lat 6. P-two, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia. Hipoteza jednostajnej umieralności w ciągu roku (UDD) (w książce Błaszczyszyna Rolskiego (HU)). Zakładamy, że rozkład zgonów między całkowitymi liczbami lat jest równomierny. Zakładamy: gdzie t [0, 1) i x = 0, 1, 2... s(x + t) = (1 t) s(x) + t s(x + 1) Zadanie 6 Przy założeniu (UDD) wyznaczyć wzór na t q x oraz t p x. Zadanie 7 Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo, że siedemdziesięciolatek umrze między 70,5 a 71,5 rokiem życia, jeżeli q 70 = 0, 04, q 71 = 0, 05. Zadanie 8 Niech q x = 0, 0559 oraz q x+1 = 0, Zakładając (UDD) obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe, że (x)-latek przeżyje 1,2 roku pod warunkiem, że dożyje x + 0, 5 roku. Zadanie 9 Przyjmując założenie (UDD) wyznacz 0,5 0,3 q x+0,4, gdy p x = 0, 989, p x+1 = 0, 986. Zadanie 10 Niech p x = 0, 989 oraz p x+1 = 0, 987. Przyjmując założenie (UDD) oblicz 1. 0,5 0,8 q x 2. 0,7 0,6 q x 3. 0,6 p x+0,7
3 Zadanie 11 Niech q x = 0, 088 oraz p x+1 = 0, 903. Przyjmując założenie (UDD) oblicz 1,5 q x+0,2. Zadanie 12 Przyjmując hipotezę jednostajnej umieralności obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 85 lat umrze między 85,5 a 86,5 rokiem życia wiedząc, że q 85 = 0, oraz q 86 = 0, Funkcja intensywności wymierania µ, wskaźnik przyszłej długości życia e x trwanie życia) oraz przeciętne całkowite dalsze trwanie życia e x (przeciętne dalsze µ x = f(x) s(x) = F (x) s(x) = (1 s(x)) s(x) tp x = e x x+t µ ydy e x = E(T x ) = tp x dt = e x = E(K x ) = k+1p x = k=0 0 = s(x) s(x) ω x 0 ω x 1 k=0 tp x dt = ( ln s(x)) k+1p x Zadanie 13 Przyszły czas życia noworodka ma rozkład wykładniczy z parametrem 0,01. Obliczyć: 1. Prawdopodobieństwo śmierci nie później niż w 45 roku życia 2. P-two dożycia 80 lat a kolejno śmierci w ciągu roku 3. P-two śmierci między 45 a 80 rokiem życia Zadanie 14 Znaleźć l t, jeśli l 0 = 1000 i µ = at. Zadanie 15 Funkcja przeżycia dana jest wzorem s(x) = x dla x [0, 100]. Oblicz p q f(36) 4. µ E(X) Zadanie 16 Funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µ x+t = 1 85 t t. Oblicz 1. P (T x > 20) p x Zadanie 17 Wiedząc, że dla danej populacji z wiekiem granicznym 100 funkcja intensywności wymierania dana jest wzorem µ x = 2 1 dla x (0, 100). Oblicz prawdopodobieństwo, że x 240 x letnia osoba umrze między 55 a 74 rokiem życia. Zadanie 18 W populacji z wiekiem granicznym 110 funkcja natężenia wymierania populacji dana jest wzorem µ x = 2 dla x > 0. Wyznaczyć przeciętne trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji. 110 x Zadanie 19 W populacji A intensywność zgonów jest dana wzorem µ A z = 1 dla x < 100, a w 100 x populacji B wzorem µ B x = n dla x < 100, gdzie n jest parametrem. Wiadomo ponadto, że ludzie 100 x z populacji A mają przed sobą przeciętnie o 10% więcej życia, niż ludzie z B w tym samym wieku. Oblicz n.
4 Zadanie 20 Funkcja µ x = 0, 01x opisuje natężenie zgonów. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba obecnie w wieku 45 lat umrze między 55 a 75 rokiem życia. Zadanie 21 Wiadomo, że przeciętna liczba dożywających wieku x l x = 121 x dla x [0, 121]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 21-latek dożyje wieku 40 lat i umrze przed ukończeniem 57 roku życia. Zadanie 22 Wyznaczyć prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę 55-letnią co najmniej 10 lat, jeśli analogiczne prawdopodobieństwo dla osoby 25-letniej wynosi 0,8 oraz intensywność zgonów opisuje funkcja µ x = kx dla x > 0. Zadanie 23 Intensywność zgonów opisuje funkcja µ x+t = be x+t, gdzie b > 0. Dla jakiej wartości parametru b prawdopodobieństwo tego, że 30 -latek przeżyje następnych 10 lat, po czym umrze w ciągu kolejnych 5 lat, wynosi r, oraz prawdopodobieństwo 10 p 30 = 5r. Zadanie 24 Intensywność zgonów opisuje funkcja µ x = x. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 100 osoba w wieku 15 lat umrze między trzydziestym piątym a czterdziestym piątym rokiem życia. Zadanie 25 Wyznacz prawdopodobieństwo przeżycia przez osobę (55) co najmniej 10 lat, jeżeli analogiczne prawdopodobieństwo (25) jest równe 0,8 oraz funkcja intensywności wymierania jest postaci µ x = kx dla x > 0. Zadanie 26 Oczekiwane dalsze całkowite trwanie życia (x) wynosi 28,5. Znajdź prawdopodobieństwo p x jeśli wiadomo, że e x+1 = 27, 7. Zadanie 27 (*) Funkcja natężenia wymierania pewnej populacji z wiekiem granicznym 120 dana jest wzorem 2, dla x (0, 30] 90 x µ x = 1, dla x (30, 120]. 120 x Obliczyć 10 p 20, 10 p 30, 20 p 20. Wyznaczyć przeciętne dalsze trwanie życia 50-letniej osoby z tej populacji populacji oraz przeciętne dalsze trwanie życia 20 letniej osoby z tej populacji. Prawa wymierania Prawo de Moivre a (istnieje wiek ω oraz rozkład dalszego trwania życia jest jednostajny). Dla x [0, ω) µ x = 1 ω x, ω x wtedy s(x) = w Prawo Gompertza (natężenie zgonów jest wykładnicze) gdzie B > 0, x > 0, c > 1 µ x = Bc x wtedy s(x) = e B ln c (cx 1) Zadanie 28 Przy założeniach de Moivre a wyznacz wzory na t p x, t q x, e x, e 0, e x, e 0. Zadanie 29 Oblicz 10 p x jeśli wiadomo, że (x) pochodzi z populacji de Moivre a o wieku granicznym ω oraz e x = 37. Zadanie 30 W danej populacji śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω. O wieku x wiadomo, że osoby w tym wieku umierają w ciągu doby dwa razy rzadziej niż osoby dwukrotnie starsze. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x dożyje wieku 2x. Zadanie 31 Obliczyć p 10, p 20, p 30, p 40 przyjmując, że rozkład trwania życia noworodka podlega prawu Gompertza z parametrami B = 0, , c = 1, Zadanie 32 Niech µ 20 = 0, oraz µ 30 = 0, i rozkład trwania życia noworodka podlega prawu Gompertza. Obliczyć 10 p 25.
5 Hipotezy interpolacyjne Jednostajna umieralność w ciągu roku (UDD) - patrz zadania 6-12 s(x + t) = (1 t) s(x) + t s(x + 1) Stała intensywność wymieralności (CFM) Dla każdego t (0, 1) wtedy µ x+t = µ x = µ. s(x + t) = s(x) 1 t s(x + 1) t Hipoteza Balducciego (B) - Prawdopodobieństwo tego, że (x) umrze przed końcem n-tego roku, pod warunkiem, że przeżyje część t tego roku, jest proporcjonalne do pozostałej części roku tj. 1 t. Dla t (0, 1) 1 s(x + t) = (1 t) 1 s(x) + t 1 s(x + 1) wtedy 1 t q x+t = (1 t)q x. Zadanie 33 Wyznacz wzory na t p x, t q x zakładając 1. (CFM) 2. (B) Zadanie 34 Rozwiąż zadania 7-12 zakładając zamiast (UDD) odpowiednio (CFM), następnie (B). Zadanie 35 Przyjmując założenie, że natężenie wymierania jest przedziałami stałe, wyznaczyć 0,5 0,3 q x+0,4 jeśli dane są p x = 0, 989 oraz p x+1 = 0, 986. Zadanie 36 Dane jest q x = 0, 088 oraz p x+1 = 0, 903. Oblicz 1,5 q x+0,2 przy założeniu o jednostajnym rozkładzie zgonów w ciągu roku. Zadanie 37 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć 0,7 0,6 q x jeśli dane są p x oraz p x+1. Zadanie 38 Przyjmując założenie o stałej intensywności wymierania wyznaczyć 0,4 0,8 q x jeśli dane są q x oraz 2 p x. Zadanie 39 Mając dane p x = 0, 909 oraz p x+1 = 0, 904 obliczyć prawdopodobieństwo 0,6 p x+0,7 stosując hipotezę Balducciego oraz założenie o stałej intensywności wymierania w ciągu roku. Zadanie 40 Znajdź µ 65,25 jeśli rozkład obciętego czasu życia jest dany przez TTŻ-PL97k przy założeniach 1. (UDD) 2. (CFM) 3. (B) Zadanie 41 Wiedząc, że p x = 0, 989, p x+1 = 0, 987 obliczyć 0,5 0,8 q x przy założeniu (UDD) i Balducciego i porównać wyniki. Wskazać większy. Zadanie 42 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x 60 oraz e 60 = 25 obliczyć p 73. Zadanie 43 Zakładając, że intensywność śmiertelności jest stała dla x 50 oraz e 50 = 40, obliczyć p 60.
6 Zadanie 44 Zakładając, że natężenie śmiertelności jest stałe dla x 42 i e 42 = 40 obliczyć 35 p 52 Zadanie 45 Obliczyć q x jeśli wiadomo, że 0,3 q x obliczone przy założeniu (UDD) stanowi 0,9 wartości tego prawdopodobieństwa obliczonego przy założeniu hipotezy Balducciego. Zadanie 46 Zakładając (UDD) oblicz P (T (30) > 10, 25) wiedząc, że 10 p 30 = 0.99 oraz q 40 = 0, Zadanie osób urodzonych 1 września 1939 roku spotkało się 1 stycznia 1997 roku. Ile z nich stawi się najprawdopodobniej na umówione spotkanie 1 września 2007 roku, jeśli jedyną przyczyną nieobecności może być śmierć? Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz p 57 = 0.9, 9 p 58 = 0.4, p 67 = Zakładamy (UDD). Zadanie 48 Przyjąć (UDD) i obliczyć 10 1,5 q 30 wiedząc, że l 30 = 523, l 40 = 436, l 41 = 427, l 42 = 417. Zadanie 49 Wiedząc, że zachodzi (CFM) na podstawie TTŻ-PL97k znaleźć 0,5 q 56 oraz µ 58,75 Zadanie 50 Obliczyć 0,5 q 56, 2 p 56,5 i 2 q 56,5 zakładając, że prawo życia jest opisane przez TTŻ-PL97k oraz 1. (UDD) 2. (CFM) Zaobserwować niewielkie różnice wyników obliczonych przy różnych hipotezach. Zadanie 51 Wiedząc µ x+t = k dla t [0, 1] oraz, że 1 4 q x = 0, q x obliczyć 3 q 4 x+ 1 8 Zadanie 52 W populacji osób urodzonych 1 stycznia dla pewnego wieku x prawdopodobieństwo q x = 0, 6. Podaj, dla którego dnia roku (1 rok=365 dni) nastąpi zrównanie prawdopodobieństwa śmierci tq x, t [0, 1) wyznaczonego przy hipotezie Balducciego z prawdopodobieństwem przeżycia t p x wyznaczonym przy jednostajnym rozkładnie zgonów w x-tym roku. Zadanie 53 Wiedząc, że oczekiwane dalsze trwanie życia jest równe e x = 28, 5, e x+1 = 27, 7 wyznaczyć p x przy założeniu (UDD). Znając p x oraz e x+1 obliczyć e x przy założeniach (UDD). Znając p x oraz e x obliczyć e x+1 przy założeniach (UDD). Zadanie 54 Jaka jest oczekiwana liczba osób z populacji miliona trzydziestopięciolatków, które umrą po ukończeniu 36 lat i 4 miesięcy życia przed ukończeniem 37 lat i 8 miesięcy? Przyjmujemy założenie Balducciego oraz, że jeden miesiąc to 1 roku. Dane są również 12 Podać najbliższą wartość. q 35 = , q 36 = , q 37 =
1 Elementy teorii przeżywalności
1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoElementy teorii przeżywalności
Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoTablice trwania życia
ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy
Bardziej szczegółowo3 Ubezpieczenia na życie
3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając
Bardziej szczegółowo1. Przyszła długość życia x-latka
Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której
Bardziej szczegółowoElementy teorii przeżywalności
Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Przyjmijmy, że funkcja przeżycia s(x) = ax + b dla 0 x ω. Znaleźć medianę zmiennej X, jeśli wiadomo, że wartość oczekiwana E(X) = 60. Zadanie 1.2 Mając funkcje
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
. W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi
Bardziej szczegółowoXXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:...klucz odpowiedzi... Czas egzaminu:
Bardziej szczegółowoLXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza
1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym
Bardziej szczegółowoLXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.
1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza
Bardziej szczegółowoXLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń Ŝyciowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoLXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
Bardziej szczegółowoXLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub
Bardziej szczegółowoXLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =
. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: ~ 0,9g( t) 0 t < 50 g ( t) =,2 g( t) 50 t. opisuje ona śmiertelność
Bardziej szczegółowoLXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1. Ubezpieczenia życiowe
1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas
Bardziej szczegółowoLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci
1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia na życie
ROZDZIAŁ 4 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub w ratach), a w zamian za to ubezpieczyciel
Bardziej szczegółowoMetody aktuarialne - opis przedmiotu
Metody aktuarialne - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Metody aktuarialne Kod przedmiotu 11.5-WK-MATP-MA-W-S14_pNadGenEJ6TV Wydział Kierunek Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Bardziej szczegółowoLXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski
Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................
Bardziej szczegółowoXXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 80...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji kojarzącej się w sposób losowy, w loci o dwóch allelach A i a 36% osobników tej populacji ma genotyp aa. (a) Jaka cześć
Bardziej szczegółowoLXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018 Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek studiów: Matematyka
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Współczynnik przyrostu naturalnego r = U t Z t L t gdzie: U t - urodzenia w roku t Z t - zgony
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 2. Tablice trwania życia. (life tables)
Ćwiczenia 2 Tablice trwania życia (life tables) Rodzaje tablic: kohortowa (wzdłużna), która obrazuje rzeczywisty proces wymierania wybranej generacji, przekrojowa, która przedstawia hipotetyczny proces
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31
Bardziej szczegółowoLVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1
1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Współczynnik przyrostu naturalnego gdzie: U t - urodzenia w roku t Z t - zgony w roku t L t
Bardziej szczegółowoPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018 Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek studiów: Matematyka
Bardziej szczegółowoPrognozy demograficzne
Prognozy demograficzne Zadaniem prognoz demograficznych jest ustalenie przyszłego stanu i struktury ludności zarówno dla całego kraju jak i jego regionów. Jednostkami badania które dotyczą prognozy mogą
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 (16.05.2014) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Współczynnik przyrostu naturalnego gdzie: U t - urodzenia w roku t Z t - zgony
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech a będzie recesywnym płciowo skojarzonym genem i załóżmy, że proces selekcji uniemożliwia kojarzenie się osobników płci męskiej o genotypie aa. Przyjmijmy, że genotypy AA, Aa i aa występują
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowoAnaliza przeżycia. Wprowadzenie
Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 23.09.2008 Biomatematyka
Biomatematyka W 200-elementowej próbie losowej z diploidalnej populacji wystąpiło 89 osobników genotypu AA, 57 osobników genotypu Aa oraz 54 osobników genotypu aa. Na podstawie tych danych (a) dokonaj
Bardziej szczegółowoLXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 2. Tablice trwania życia. (life tables)
Ćwiczenia 2 Tablice trwania życia (life tables) 1. Historia 2. Zasady budowy przekrojowych tablic trwania życia 3. Parametr e(0): zróżnicowanie według płci, zmiany w czasie e(0) w Polsce 4. Przykłady alternatywnych
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia życiowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ubezpieczenia życiowe 1. Z historii ubezpieczeń W uproszczeniu mówiąc mamy dwa tradycyjne modele ubezpieczeń. Pierwszy ma źródło w towarzystwach
Bardziej szczegółowoMatematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie Rafał Kucharski rafal.kucharski@ue.katowice.pl Literatura [1] B. Błaszczyszyn, T. Rolski, Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie, WNT Warszawa,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 91...... Zadanie 1. (8 punktów) Liczebność pewnej populacji jest opisana równaniem różniczkowym: dn = r N(α N)(N β), (1) dt w którym, N(t) oznacza liczebność populacji w chwili t, a r > 0
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoSkładki i rezerwy netto
ROZDZIAŁ 6 Składki i rezerwy netto 1 Składki netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową Polisa taka zawiera szczegółowe warunki
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoMatematyka w ubezpieczeniach na życie
Matematyka stosowana Matematyka w ubezpieczeniach na życie Mariusz Skalba skalba@mimuw.edu.pl Uniwersytet Warszawski, 211 Streszczenie. Ze skryptu tego możesz się nauczyć jak obliczać składki i rezerwy
Bardziej szczegółowoMUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)
MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss) 1. (6p.) Niech X oznacza ryzyko (zmienn a losow a o własności P (X 0) = 1), a H( ) niech oznacza formułȩ kalkulacji składki (przyporz adkowuj ac a każdemu ryzyku
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Współczynnik zmienności Klasycznym współczynnikiem (wskaźnikiem) zmienności zmiennej losowej X nazywamy wyrażenie gdzie E(X) 0. v k z (X) = D(X) E(X), Klasyczny
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 2. Tablice trwania życia. (life tables)
Ćwiczenia 2 Tablice trwania życia (life tables) 1. Historia 2. Zasady budowy przekrojowych tablic trwania życia 3. Parametr e(0): zróżnicowanie według płci, zmiany w czasie e(0) w Polsce 4. Przykłady alternatywnych
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ Krzysztof Janas Michał Krzeszowiec Koło Nauk Aktuarialnych Politechniki Łódzkiej Warszawa, 09-11.06.2008 r. Plan Założenia wstępne: Teoria oprocentowania
Bardziej szczegółowoXXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 06 r. Część II Matematyka ubezieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. x i 0,
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Wiedząc, że wektor x 0 = (0,3,0,0,4) jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia programowania liniowego: zminimalizować 3x 1 +2x 2 +5x 3 +3x 4 +4x 5, przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Załóżmy, że częstości genotypów AA, Aa i aa w populacji znajdującej się w warunkach Hardy ego-wainberga wynoszą p 2, 2pq i q 2. Wiadomo, że badany mężczyzna należy do genotypu Aa. Wyznacz
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowog) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.
TEMAT 1: WYBRANE ROZKŁADY TYPU SKOKOWEGO ROZKŁAD DWUMIANOWY (BERNOULLIEGO) Zadanie 1-1 Prawdopodobieństwo nieprzekroczenia przez pewien zakład pracy dobowego limitu zużycia energii elektrycznej (bez konieczności
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X
Zadanie. Mamy dany ciąg liczb q, q,..., q n z przedziału 0,, oraz ciąg m, m,..., m n liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: o X X X... X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach,q
Bardziej szczegółowo