ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ *

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ *"

Transkrypt

1 Alica Wolny-Dominiak Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ * Wprowadzenie W pracy est analizowany proces wyznaczania rezerwy szkodowe na szkody zaistniałe i niezgłoszone (oz. rezerwa IBNR). Rezerwę tą definiue się następuąco: est to wartość odpowiadaąca wysokości odszkodowań, które zostaną wypłacone dla szkód zaszłych w danym okresie sprawozdawczym, ale nie zostały dotychczas zgłoszone ubezpieczycielowi lub wartość szacunkowa ustalona na podstawie oceny stopnia kataklizmu (huraganu, suszy itp.). Wysokość i liczba odszkodowań nie est znana i może być edynie szacowana na podstawie danych historycznych, co dae duże możliwości eżeli chodzi o zastosowanie metody do prognozowania. Przykładowo można stosować modele oparte na analizie falkowe stosowane w zagadnieniach aktuarialnych [Dyduch, 011]. Oba parametry są istotne w ocenie działalności finansowe w każde firmie ubezpieczeniowe [Szkutnik, 004]. Zgodnie z wytycznymi Solvency II, które weszły w życie r., rezerwę IBNR należy wyznaczać zgodnie z zasadą best estimate. Zasada ta dae zakładom ubezpieczeń możliwość stosowania modeli stochastycznych w procesie wyznaczania rezerwy IBNR, które są szeroko opisywane w literaturze aktuarialne [Wüthrich, Merz, 008; England, Verrall, 00; Wolny, 005; Pobłocka, 011]. W pracy przedstawiono stochastyczną metodę kalkulaci rezerwy IBNR, w które est stosowana regresa logarytmiczno-normalna do szacowania wartości przyszłych odszkodowań (oz. RLN) [Bradu, Mundlak, 1970]. Zaproponowano korektę obciążenia funkcą g m oraz przeprowadzono studium przypadku. * Praca częściowo finansowana przez grant Narodowego Centrum Nauki (nr NN ).

2 0 Alica Wolny-Dominiak 1. Analiza rozwou szkodowości Do oszacowania wartości rezerwy IBNR wykorzystue się naczęście dane w postaci macierzy zwane trókątem szkód. Rozważmy trókąt szkód, który przedstawia tab. 1 Nieskumulowany trókąt szkód Tabela 1 i 1... n 1 n 1 S 1,1... S 1,n 1, S 1,n... S,1 S,n n S n,1 W powyższym trókącie: i okres wystąpienia szkody (okres wypadkowy), i = 0,..., n 1, opóźnienie w wypłacie odszkodowania (okres rozwou szkody), = 0,..., n 1, n 1 okres bieżący, S wartość wypłaconych odszkodowań dla szkód, które zaszły w okresie wypłaconych z opóźnieniem. Celem rozważane metody RLN est prognoza wartości Ŝ leżących poniże przekątne trókąta szkód (1), co w literaturze przedmiotu est nazywane krótko analizą rozwou szkodowości [Straub, 1988]. Prognozowaną wartość rezerwy IBNR wyznacza się następuąco: Proces kalkulaci w rezerwy IBNR metodą RLN można zatem zapisać w etapach: (i) zdefiniowanie modelu stochastycznego, (ii) estymaca parametrów modelu, (iii) prognozowanie nieznanych wartości S, (iv) prognozowanie rezerwy IBNR, (v) wyznaczenie przedziału ufności. ()

3 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna Metoda RLN estymaca parametrów modelu Zakładamy, że elementy trókąta szkód (1) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie logarytmiczno-normalnym [Kelly et. al, 1995]. W pierwszym etapie kalkulaci rezerwy IBNR definiuemy model stochastyczny, wykorzystuąc regresę logarytmiczno-normalną [Christofides, 1990]: S = C i P, (3) gdzie C i oznacza efekt okresu wypadkowego, natomiast P oznacza efekt okresu rozwou szkody. W modelu występue zatem n parametrów. Logarytmuąc powyższe równanie, uzyskuemy postać liniowego modelu ekonometrycznego: n 1 n 1 s = ci X i + X + ξ i= 0 = n p, gdzie ξ est składnikiem losowym oraz ln S = s, ln C = c, ln P = p. Zmienne obaśniaące X są zmiennymi binarnym które definiue się w zależności od i i i numeru indeksu: X = 1 dla wszystkich obserwaci w okresie wypadkowym i X = 0 dla wszystkich obserwaci w okresie wypadkowym różnym od okresu i gdzie i = 0,..., n 1, X X = 1 dla wszystkich obserwaci w okresie opóźnienia, = 0 dla wszystkich obserwaci w okresie opóźnienia, gdzie = n,..., n 1. W drugim etapie estymuemy parametry modelu (4), stosuąc klasyczną metodę namnieszych kwadratów (oz. KMNK). Dla danego trókąta szkód konstruuemy zero-edynkową macierz X. Jedynki odpowiadaą obserwacom dla okresów wypadkowych oraz opóźnień spełniaących warunek n i 1. Liczba wierszy macierzy est równa liczbie wszystkich możliwych par ( ), dla których n i 1. W dalszych rozważaniach przez X będziemy oznaczać kolumnę macierzy, które odpowiada para ( ). Postać macierzowa modelu (4) est następuąca: c0 M cn gdzie cp est wektorem postaci cp = p1 M pn (4) S = X. cp + ξ, (5) 1 1. Estymator cpˆ uzyskany

4 Alica Wolny-Dominiak KMNK dany est wzorem: ĉ i = (X T X) 1 X T s, = 0,..., n 1 (6) Oszacowane wartości c i to zatem n pierwszych elementów wektora cpˆ, natomiast p to n ostatnich elementów. Macierz warianci i kowarianci est natomiast dana wzorem: D (cpˆ ) = σ (X T X) 1, (7) gdzie nieobciążonym estymatorem warianci składnika losowego σ est warianca resztowa. Korzystaąc z macierzy (7), obliczamy średni błąd szacunku dla parametrów modelu: D ( ˆ ), D ( ˆ ), i, = 0,..., n 1. (8) c i p Estymatory (6) parametrów modelu są liniowe, nieobciążone oraz naefektywniesze przy spełnieniu założeń KMNK. 3. Metoda RLN prognozowanie rezerwy IBNR Kolenymi etapami w procesie wyznaczania wartości rezerwy IBNR est prognozowanie elementów trókąta szkód, a ostatecznie rezerwy. W pierwsze koleności prognozuemy logarytmiczne wartości okresowych wypłat odszkodowań s dla okresów spełniaących warunek > n i 1. W tym celu konstruuemy macierz X * dla okresów > n i 1, analogicznie ak w przypadku macierzy X. Stosuąc zasadę predykci nieobciążone mamy: gdzie błąd średni te predykci wyraża się wzorem: s i S = X * cpˆ, (9) * T T 1 B, = σ (X ) (X X) X. (10) Dale przechodzimy do prognozowania wartości wypłaconych odszkodowań S. W tym celu wykorzystuemy fakt, iż zmienne te posiadaą rozkład logarytmiczno-normalny o parametrach [Green, 1993]: *

5 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna... 3 s wartość oczekiwana E(S ) = exp (s + 0,5B ), warianca D s (S ) = exp [s + (B ) s ].[exp (B ) 1]. Stawiamy zatem prognozę na poziomie wartości oczekiwane i otrzymuemy postać predykci: ˆ exp( ˆ 0,5 ˆ s S = s + B ). (11) Jednakże powyższy estymator est estymatorem obciążonym. Aby zlikwidować obciążenie, wprowadzamy korektę obciążenia za pomocą funkci g m (x) [Finney, 1941], daną wzorem: z g m( x) = m ( m + z) x, (1) ( m + l) z! z z = 0 l = 0 gdzie m est liczbą stopni swobody rozkładu warianci składnika losowego σ. Funkca ta korygue obciążenie estymatora danego ogólnym wzorem [Bradu, Mundlak, 1970]: ê = exp (s + d σ ), (13) gdzie d est dowolną stałą. Nieobciążony estymator ma więc postać: * T T 1 * eˆ = exp( sˆ ) g [( a 0,5(X ) (X X) X ) ˆ i m ]. (14), σ Dla uproszczenia zapisu przymuemy w dalszych rozważaniach oznaczenie * * T T 1 * x = (X ) (X X) X. Prognozowana okresowa wypłata odszkodowań ma zatem postać: ˆ i m σ S z * = exp( sˆ ) g [0,5(1 x ) ˆ ]. (15) Średni błąd te predykci można przedstawić następuąco: ˆ D S S ) = D ( S ) + D ( Sˆ ), (16) ( co wynika z niezależności zmiennych S oraz Ŝ [Verrall, 1994]. Widzimy zatem, iż do szacunku tego błędu niezbędne est oszacowanie zmiennych D (Ŝ ) oraz D (S ). W pierwszym przypadku stosuemy estymator nieobciążony, dany wzorem: D ( Sˆ ˆ m m * * ) = exp( sˆ ){ g [0,5(1 x ) σˆ ] g [(1 x ) σˆ ]}. (17)

6 4 Alica Wolny-Dominiak Do oszacowania drugie zmienne stosuemy wzór na wariancę rozkładu logarytmiczno-normalnego, skorygowany funkcą g m [Verrall, 1994]: ˆ ( S m m D * * ) = exp( sˆ ){ g [(1 x ) σˆ ] g [(1 x ) σˆ ]}. (18) Ostatecznie przechodzimy do prognozowania wartości całkowite rezerwy IBNR: n 1 n 1 Sˆ i, i= 1 = n i R ˆ =. (19) Estymator ten est nieobciążony pod warunkiem nieobciążoności estymatorów Ŝ. Średni błąd B r powyższe predykci nieobciążone obliczamy z następuące równości: ˆ D ( R R) = D ( R) + D ( Rˆ ). (0) Korzystaąc z niezależności zmiennych R i Ȓ, analogicznie ak w przypadku zmiennych S oraz Ŝ. Przy założeniu niezależności zmiennych S mamy: n 1 n 1 D ( R) = D ( ). (1) i= 1 = n i S i, W przypadku zmiennych Ŝ nie est uż spełnione założenie o niezależnośc gdyż oddziałuą na nie parametry P, takie same dla każdego okresu wypadkowego. W związku z tym do obliczenia D (Ȓ) niezbędne est wprowadzenie kowarianci: n 1 n 1 D ( Sˆ ) + i= 1 = n i, k, l D ( Rˆ ) = cov( Sˆ, Sˆ ). () n n Druga suma zawiera dokładnie elementów, takich że ( ) (k, l). Widzimy że niezbędna est zatem znaomość estymatora kowarianci côv(ŝ, Ŝ ). k, l Aby otrzymać estymator nieobciążony, ponownie zastosowanie znadue funkca g m : ˆ ˆ = ˆ + ˆ * * côv( S, S ) exp( S S ){ g [0,5(1 x ) σˆ ] g [0,5(1 x ) ˆ ] (3) k k m m k σ * * Τ 1 * * Τ g [(1 0,5(Χ + Χ )(Χ Χ) (Χ Χ ) ) σˆ ]. m k + Ostatecznie średni błąd prognozy rezerwy IBNR ma postać: k k, l

7 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna... 5 ˆ ˆ ( ) ˆ B r = D R + D ( Rˆ ). (4) Wykorzystuąc predykcę Rˆ oraz Bˆ r przechodzimy do wyznaczania przedziału ufności rezerwy całkowite, który definiuemy ako przedział ufności dla R. Aby wyznaczyć ednak ten przedział, niezbędna est znaomość rozkładu zmienne R. Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym przy dostatecznie duże liczbie obserwaci est przymowany rozkład normalny. W przypadku rezerwy IBNR rozkład ten nie powinien być ednakże symetryczny, gdyż wartości rezerwy IBNR dla okresów wypadkowych są niskie dla początkowych okresów i i dale zwiększaą się znacznie dla okresów końcowych. W związku z tym przymuemy rozkład logarytmiczno-normalny, w którym wykorzystuemy Ȓ oraz Bˆ r ako estymatory parametrów rozkładu: wartości oczekiwane oraz warianci. Przedział ufności na poziomie ufności 90% ma postać [Mack, 1994] PZ = [Ȓa; Ȓb], gdzie c c ˆ r B a = exp(1,8c ), gdzie b = exp( 1,8c ), oraz c = ln[1 + ( ) ]. Rˆ Widzimy, iż przymuąc model (4), praktyczna aplikaca est skomplikowana poprzez zawiłą postać funkci g m. Do znalezienia odpowiednie wartości te funkci niezbędne est obliczenie nieskończone sumy szeregu. Korekta obciążenia stae się zatem zasadniczo problemem czysto numerycznym. 4. Kalkulaca rezerwy IBNR studium przypadku W studium przypadku był analizowany trókąt szkód zaczerpnięty z literatury w postaci nieskumulowane (tab. ). Tabela Nieskumulowany trókąt szkód

8 6 Alica Wolny-Dominiak W pierwsze koleności została zastosowana metoda RLN z korektą obciążenia funkcą g m. Dale w celach porównawczych skalkulowano rezerwę IBNR metodami: MackChainLadder (MCL) [Mack, 1994], BootChainLadder (BCL) [England, Verrall, 00], MultiChainLadder (MultiCL) [Zhang, 010]. Do obliczeń wykorzystano program R oraz pakiet {ChainLadder} [R Core Team, 01]. W analizowanym trókącie szkód, rozwó szkodowości graficznie obrazue rys. 1. Rys. 1. Skumulowane wartości wypłaconych odszkodowań w poszczególnych latach rozwou szkody W pierwsze koleności zostały oszacowane parametry c i oraz p za pomocą KMNK oraz również średnie błędy szacunku uzyskanych wartości estymatorów: D ( c i ), D ( p ). Wyniki przedstawia tab. 3. Tabela 3 Oszacowane parametry modelu Oszacowanie Średni błąd szacunku 1 3 c0 7,63 0,0 c1 7,11 0,0 c 7,6 0,0 c3 7,55 0,1 c4 7,44 0, c5 7,35 0,3 c6 7,56 0,5 c7 8,05 0,9 c8 9,0 0,39 p1 0,34 0,0

9 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna p -0,08 0,1 p3-0,73 0, p4-1,70 0,3 p5 -,66 0,5 p6-4,09 0,8 p7-5,8 0,33 p8-6,51 0,44 Otrzymane wyniki pokazuą, iż średnie błędy szacunku dla większości powyższych parametrów zawieraą się w przedziale od 0, do 0,9. Wyątkiem są parametry c 8, p 7 oraz p 8, dla których błędy są wyższe. Jest to efektem małe liczby obserwaci dla okresów opóźnień 7 oraz 8. Warianca resztowa kształtue się na poziomie σˆ = 0,159. Często stosowaną praktyką est pomianie parametru p 0, co dae pewność, iż macierz X est macierzą nieosobliwą, co również uczyniono w tym przykładzie [Verrall, 1994]. W kolenym etapie szacowano wartości trókąta szkód poniże przekątne, uzyskuąc następuące wyniki: Tabela 4 Prognozy okresowych wartości wypłat odszkodowań cd. tabeli ,81 S ˆ i, 0,55 Dˆ ( ˆ ) S ,35 3,01 S ˆ i, 5,45 1,87 Dˆ ( ˆ ) S ,70,83 S ˆ i, 0,38 4,93 0,81 Dˆ ( ˆ ) S

10 8 Alica Wolny-Dominiak cd. tabeli ,71,54 S ˆ i, 81,83 17,35 4,3 0,69 Dˆ ( ˆ ) S ,94,31 S ˆ i, ,88 14,73 3,6 0,59 Dˆ ( ˆ ) S ,81,86 S ˆ i, ,60 16,33 4,06 0,65 Dˆ ( ˆ ) S ,9 4,64 S ˆ i, ,60 1,73 5,44 0,79 Dˆ ( ˆ ) S ,11 1,8 S ˆ i, ,00 31,47 7,19 1,45 Dˆ ( ˆ ) S Opieraąc się na powyższych wynikach, uzyskano prognozowaną wartość rezerwy IBNR, która wynosi Rˆ = 3 989,1. Średni błąd predykci oraz przedział zmienności PZ na poziomie ufności 90% wynosi natomiast odpowiednio Bˆ r = ,1 oraz PZ = [0 014,1; ,85]. W analizie porównawcze przeprowadzono estymacę punktową, uzyskuąc następuące wyniki. Tabela 5 Wartości rezerwy IBNR w analizowanych modelach Wartość rezerwy IBNR Średni błąd szacunku RLN z korektą obciążenia 3 989, ,1 MCL , ,54 BCL , ,84 MultiCL , ,51

11 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna... 9 Widać, iż w metodzie RLN z korektą obciążenia funkcą g m uzyskano naniższą wartość rezerwy IBNR, co est korzystne z punktu widzenia zakładu ubezpieczeń. Otrzymano również stosunkowo niski błąd prognozy. W analizowanym trókącie szkód naniższy błąd uzyskał ednak model bootstrsapowy. Zgodnie z zasadą Solvency II best estimate, należałoby zatem zawiązać rezerwę IBNR na poziomie uzyskanym w tym modelu. Podsumowanie Szacowanie wartości rezerwy IBNR za pomocą regresi logarytmiczno-liniowe est alternatywą do klasycznego podeścia chain-ladder. Po zastosowaniu korekty obciążenia może dawać interesuące wyniki. W dobie rozwou technik obliczeniowych techniczny problem kalkulaci rezerwy IBNR nie est obecnie przeszkodą i pozwala na dalszy rozwó tego podeścia. Literatura Bradu D., Mundlak Y., 1970: Estimation in Lognormal Linear Models. JASA, Vol. 6. Christofides E., 1989: Claims Reserving Manual: Vol. II. The Institute of Actuaries, London. Dyduch M.: Niekonwenconalna metoda prognozy wartości ednostek funduszy emerytalnych. W: Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka. Red. W. Ostasiewicz. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław 011. England P.D., Verrall R.J., 00: Stochastic Claims Reserving in General Insurance With Discussion. British Actuarial Journal 8, III. Green W.H., 1993: Econometric Analysis. Macmillan Publishing Company, New York. Kelly M.V., 199: Practical Loss Reserving Method with Stochastic Development Factor. CAS Discussion Paper Program. Mack T., 1999: The Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates: Recursive Calculation and Inclusion of a Tail Factor. Astin Bulletin, Vol. 9, No.. Pobłocka A., 011: Rezerwa IBNR w ubezpieczeniach maątkowych-praktyczne metody e szacowania. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław. R Core Team, 01: R: A language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. Straub E., 1988: Non-Life Insurance Mathematics. Springer-Verlang, New York. Szkutnik W., 004: Ryzyko ubezpieczeniowe w aspekcie szczególnych warunków realizaci procesu szkód. W: Zastosowania metod ilościowych w ekonomii i zarządzaniu. Red. J. Mika. Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne, Katowice. Verrall R.J., 1994: Statistical Methods for the Chain-Ladder technique. Casualty Actuarial Society Forum, Spring.

12 30 Alica Wolny-Dominiak Wolny A., 005: Podeście Aktuarialne do kalkulaci rezerwy szkodowe. Statystyczne zaawansowane metody kalkulaci rezerwy szkodowe. W: Metody kalkulaci ryzyka rezerw szkodowych w ubezpieczeniach maątkowo-osobowych. Red. W. Szkutnik, A. Wolny. Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne, Katowice. Wüthrich M.V., Merz M., 008: Stochastic Claims Reserving Methods in Non-Life Insurance. John Willey & Sons, England. Zhang Y., 010: A General Multivariate Chain Ladder Model. Insurance: Mathematics and Economics, 46. MODIFIED LOG-NORMAL REGRESSION IN LOSS RESERVING Summary In the paper we consider the problem of loss reserving estimation in non-life insurance company. We focus on the log-normal regression as in [Bradu, Mundlak, 1970; Chrostofieds, 1989]. In order to reduce the bias of IBNR reserve estimator we propose some modification by introducing function. In the case study we compare few different methods of loss reserving with modified log-normal regression. It is now typical practice in insurance business according Solvensy II and Best Estimate rule. In all calculation we apply R software and {ChainLadder} package.

13 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna Załącznik A Wyniki kalkulaci rezerwy szkodowe uzyskane w pakiecie {ChainLadder} <MackChainLadder(Triangle, weights = 1, alpha=1, est.sigma= log-linear, tail=false, tail.se=null, tail.sigma=null) Rys. A.1. Szczegółowe wyniki dla MCL

14 3 Alica Wolny-Dominiak Rys. A.. Analiza reszt dla MCL <BootChainLadder(Triangle, R=999, process.distr= gamma ) Rys. A.3. Szczegółowe wyniki dla BCL

15 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna Rys. A.4. Symulaca dla BCL <MultiChainLadder(list(Triangle), fit.method = SUR ) Rys. A.5. Szczegółowe wyniki dla MultiCL

16 34 Alica Wolny-Dominiak Rys. A.6. Wykres kwantyli dla MultiCL

Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR 1

Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR 1 Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR Alica Wolny-Dominiak Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR 1 W zakładach ubezpieczeń maątkowych istotną pozycę w funduszu ubezpieczeniowym zamue

Bardziej szczegółowo

METODY PROGNOZOWANIA WARTOŚCI WYPŁACANYCH ODSZKODOWAŃ W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ

METODY PROGNOZOWANIA WARTOŚCI WYPŁACANYCH ODSZKODOWAŃ W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ Alicja Wolny METODY PROGNOZOWANIA WARTOŚCI WYPŁACANYCH ODSZKODOWAŃ W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ Wstęp W procesie zarządzania zakładem ubezpieczeniowym niezwykle istotnym zagadnieniem jest zarządzanie ryzykiem

Bardziej szczegółowo

Karolina Napierała Wojciech Otto

Karolina Napierała Wojciech Otto Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania, z równoczesnym r wykorzystaniem danych o odszkodowaniach wyłaconych i rezerwie liczone metodą indywidualną Karolina Naierała Wociech

Bardziej szczegółowo

Badanie zmienności rezerwy IBNR w ubezpieczeniach majątkowych

Badanie zmienności rezerwy IBNR w ubezpieczeniach majątkowych Zarządzanie i Finanse Journal of Management and Finance Vol. 12, No. 1/2014 Tomasz Jurkiewicz * Agnieszka Pobłocka ** Badanie zmienności rezerwy IBNR w ubezpieczeniach majątkowych Wstęp Szacowanie rezerwy

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006 , transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ), Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Wprowadzenie do ubezpieczeń Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Literatura N. L. Bowers i inni, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Itasca,

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Aktuariat i matematyka finansowa Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Tworzenie rezerw i ich wysokość wpływa na Obliczanie zysku dla potrzeb podatkowych, Sprawozdawczość dla udziałowców,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń

estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń Łukasz Wawrowski, Maciej Beręsewicz 12.06.2015 Urząd Statystyczny w Poznaniu, Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Wybrane aspekty ubezpieczeń i reasekuracji Nazwa w języku angielskim: Selected Aspects Of Insurance And Reinsurance Kierunek

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki Taryfikacja w ubezpieczeniach

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA,

Bardziej szczegółowo

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego 6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Podstawy ekonometrii. Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF

Podstawy ekonometrii. Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF Podstawy ekonometrii Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF Cele przedmiotu: I. Ogólne informacje o przedmiocie. - Opanowanie podstaw teoretycznych, poznanie przykładów zastosowań metod modelowania

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA EKONOMETRIA PRZESTRZENNA Wstęp podstawy ekonometrii Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, 2012 1 EKONOMETRIA wybrane definicje (Osińska) Ekonometria dziedzina ekonomii wykorzystująca modele i sposoby wnioskowania

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 006 Bogusław GUZIK ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO W artykule sformułowano standardowy układ założeń stochastycznych

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH Nazwa w języku angielskim STATISTICAL DATA ANALYSIS Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Uogolnione modele liniowe

Uogolnione modele liniowe Uogolnione modele liniowe Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Uogolnione modele liniowe grudzien 2013 1 / 17 (generalized linear model - glm) Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Ubezpieczenia majątkowe

Ubezpieczenia majątkowe Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza

ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ Joanna Bryndza Wprowadzenie Jednym z kluczowych problemów w szacowaniu poziomu ryzyka przedsięwzięcia informatycznego

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych

Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny mgr Karolina Pasternak-Winiarska mgr Kamil Gala Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele dynamiczne. Paweł Cibis 27 kwietnia 2006

Ekonometria. Modele dynamiczne. Paweł Cibis 27 kwietnia 2006 Modele dynamiczne Paweł Cibis pcibis@o2.pl 27 kwietnia 2006 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej 2 Etap I Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie

Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznego nt. Wybrane metody statystyczne w analizach makroekonomicznych dr

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń stanów i filtr Kalmana w teorii ubezpieczeń 1

Przestrzeń stanów i filtr Kalmana w teorii ubezpieczeń 1 Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych Zeszyt 31/213 Helena Jasiulewicz Przestrzeń stanów i filtr Kalmana w teorii ubezpieczeń 1 Streszczenie W pracy przedstawiono elastyczne narzędzie służące do wyznaczania

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Dane kategoryczne

Wykład 8 Dane kategoryczne Wykład 8 Dane kategoryczne Wrocław, 19.04.2017r Zmienne kategoryczne 1 Przykłady zmiennych kategorycznych 2 Zmienne nominalne, zmienne ordynalne (porządkowe) 3 Zmienne dychotomiczne kodowanie zmiennych

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ

WYKŁAD 2. Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ WYKŁAD 2 Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ 1. Istota, pojęcie i podstawy tworzenia rezerw Rezerwy w rachunkowości to potencjalne

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

RAPORT. szkodowość w roku polisowym 2011 stan na dzień przygotowany dla Urzędu Miasta Łodzi. Raport szkód za rok polisowy 2011.

RAPORT. szkodowość w roku polisowym 2011 stan na dzień przygotowany dla Urzędu Miasta Łodzi. Raport szkód za rok polisowy 2011. RAPORT szkodowość w roku polisowym 2011 stan na dzień 31-03- 2012 przygotowany dla Urzędu Miasta Łodzi Raport szkód za rok polisowy 2011. 1 Program ubezpieczenia mienia, odpowiedzialności cywilnej, ubezpieczeń

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa wprowadzenie

Regresja liniowa wprowadzenie Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Wykresy wachlarzowe projekcji inflacji i wzrostu PKB

Wykresy wachlarzowe projekcji inflacji i wzrostu PKB Wykresy wachlarzowe projekcji inflacji i wzrostu PKB Biuro Prognoz i Projekcji 8 grudnia 2008 r. 1 Plan prezentacji 1. Istotność dla polityki pieniężnej analizy niepewności prognoz/projekcji 2. Wyznaczanie

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 220 2015 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii ozef.biolik@ue.katowice.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu...

... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem do celu... 4 Prognozowanie historyczne Prognozowanie - przewidywanie przyszłych zdarzeń w oparciu dane - podstawowy element w podejmowaniu decyzji... prognozowanie nie jest celem samym w sobie a jedynie narzędziem

Bardziej szczegółowo

Wykłady specjalistyczne. (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku)

Wykłady specjalistyczne. (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku) Wykłady specjalistyczne (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku) w roku akademickim 2015/2016 (semestr zimowy) Spis treści 1. MODELE SKOŃCZONYCH

Bardziej szczegółowo

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych

Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wielkości wejściowych Obliczanie niepewności rozszerzonej metodą analityczną opartą na splocie rozkładów wejściowych Paweł Fotowicz * Przedstawiono ścisłą metodę obliczania niepewności rozszerzonej, polegającą na wyznaczeniu

Bardziej szczegółowo