ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ *

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ *"

Transkrypt

1 Alica Wolny-Dominiak Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ZMODYFIKOWANA REGRESJA LOGARYTMICZNO-NORMALNA W SZACOWANIU REZERWY SZKODOWEJ * Wprowadzenie W pracy est analizowany proces wyznaczania rezerwy szkodowe na szkody zaistniałe i niezgłoszone (oz. rezerwa IBNR). Rezerwę tą definiue się następuąco: est to wartość odpowiadaąca wysokości odszkodowań, które zostaną wypłacone dla szkód zaszłych w danym okresie sprawozdawczym, ale nie zostały dotychczas zgłoszone ubezpieczycielowi lub wartość szacunkowa ustalona na podstawie oceny stopnia kataklizmu (huraganu, suszy itp.). Wysokość i liczba odszkodowań nie est znana i może być edynie szacowana na podstawie danych historycznych, co dae duże możliwości eżeli chodzi o zastosowanie metody do prognozowania. Przykładowo można stosować modele oparte na analizie falkowe stosowane w zagadnieniach aktuarialnych [Dyduch, 011]. Oba parametry są istotne w ocenie działalności finansowe w każde firmie ubezpieczeniowe [Szkutnik, 004]. Zgodnie z wytycznymi Solvency II, które weszły w życie r., rezerwę IBNR należy wyznaczać zgodnie z zasadą best estimate. Zasada ta dae zakładom ubezpieczeń możliwość stosowania modeli stochastycznych w procesie wyznaczania rezerwy IBNR, które są szeroko opisywane w literaturze aktuarialne [Wüthrich, Merz, 008; England, Verrall, 00; Wolny, 005; Pobłocka, 011]. W pracy przedstawiono stochastyczną metodę kalkulaci rezerwy IBNR, w które est stosowana regresa logarytmiczno-normalna do szacowania wartości przyszłych odszkodowań (oz. RLN) [Bradu, Mundlak, 1970]. Zaproponowano korektę obciążenia funkcą g m oraz przeprowadzono studium przypadku. * Praca częściowo finansowana przez grant Narodowego Centrum Nauki (nr NN ).

2 0 Alica Wolny-Dominiak 1. Analiza rozwou szkodowości Do oszacowania wartości rezerwy IBNR wykorzystue się naczęście dane w postaci macierzy zwane trókątem szkód. Rozważmy trókąt szkód, który przedstawia tab. 1 Nieskumulowany trókąt szkód Tabela 1 i 1... n 1 n 1 S 1,1... S 1,n 1, S 1,n... S,1 S,n n S n,1 W powyższym trókącie: i okres wystąpienia szkody (okres wypadkowy), i = 0,..., n 1, opóźnienie w wypłacie odszkodowania (okres rozwou szkody), = 0,..., n 1, n 1 okres bieżący, S wartość wypłaconych odszkodowań dla szkód, które zaszły w okresie wypłaconych z opóźnieniem. Celem rozważane metody RLN est prognoza wartości Ŝ leżących poniże przekątne trókąta szkód (1), co w literaturze przedmiotu est nazywane krótko analizą rozwou szkodowości [Straub, 1988]. Prognozowaną wartość rezerwy IBNR wyznacza się następuąco: Proces kalkulaci w rezerwy IBNR metodą RLN można zatem zapisać w etapach: (i) zdefiniowanie modelu stochastycznego, (ii) estymaca parametrów modelu, (iii) prognozowanie nieznanych wartości S, (iv) prognozowanie rezerwy IBNR, (v) wyznaczenie przedziału ufności. ()

3 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna Metoda RLN estymaca parametrów modelu Zakładamy, że elementy trókąta szkód (1) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie logarytmiczno-normalnym [Kelly et. al, 1995]. W pierwszym etapie kalkulaci rezerwy IBNR definiuemy model stochastyczny, wykorzystuąc regresę logarytmiczno-normalną [Christofides, 1990]: S = C i P, (3) gdzie C i oznacza efekt okresu wypadkowego, natomiast P oznacza efekt okresu rozwou szkody. W modelu występue zatem n parametrów. Logarytmuąc powyższe równanie, uzyskuemy postać liniowego modelu ekonometrycznego: n 1 n 1 s = ci X i + X + ξ i= 0 = n p, gdzie ξ est składnikiem losowym oraz ln S = s, ln C = c, ln P = p. Zmienne obaśniaące X są zmiennymi binarnym które definiue się w zależności od i i i numeru indeksu: X = 1 dla wszystkich obserwaci w okresie wypadkowym i X = 0 dla wszystkich obserwaci w okresie wypadkowym różnym od okresu i gdzie i = 0,..., n 1, X X = 1 dla wszystkich obserwaci w okresie opóźnienia, = 0 dla wszystkich obserwaci w okresie opóźnienia, gdzie = n,..., n 1. W drugim etapie estymuemy parametry modelu (4), stosuąc klasyczną metodę namnieszych kwadratów (oz. KMNK). Dla danego trókąta szkód konstruuemy zero-edynkową macierz X. Jedynki odpowiadaą obserwacom dla okresów wypadkowych oraz opóźnień spełniaących warunek n i 1. Liczba wierszy macierzy est równa liczbie wszystkich możliwych par ( ), dla których n i 1. W dalszych rozważaniach przez X będziemy oznaczać kolumnę macierzy, które odpowiada para ( ). Postać macierzowa modelu (4) est następuąca: c0 M cn gdzie cp est wektorem postaci cp = p1 M pn (4) S = X. cp + ξ, (5) 1 1. Estymator cpˆ uzyskany

4 Alica Wolny-Dominiak KMNK dany est wzorem: ĉ i = (X T X) 1 X T s, = 0,..., n 1 (6) Oszacowane wartości c i to zatem n pierwszych elementów wektora cpˆ, natomiast p to n ostatnich elementów. Macierz warianci i kowarianci est natomiast dana wzorem: D (cpˆ ) = σ (X T X) 1, (7) gdzie nieobciążonym estymatorem warianci składnika losowego σ est warianca resztowa. Korzystaąc z macierzy (7), obliczamy średni błąd szacunku dla parametrów modelu: D ( ˆ ), D ( ˆ ), i, = 0,..., n 1. (8) c i p Estymatory (6) parametrów modelu są liniowe, nieobciążone oraz naefektywniesze przy spełnieniu założeń KMNK. 3. Metoda RLN prognozowanie rezerwy IBNR Kolenymi etapami w procesie wyznaczania wartości rezerwy IBNR est prognozowanie elementów trókąta szkód, a ostatecznie rezerwy. W pierwsze koleności prognozuemy logarytmiczne wartości okresowych wypłat odszkodowań s dla okresów spełniaących warunek > n i 1. W tym celu konstruuemy macierz X * dla okresów > n i 1, analogicznie ak w przypadku macierzy X. Stosuąc zasadę predykci nieobciążone mamy: gdzie błąd średni te predykci wyraża się wzorem: s i S = X * cpˆ, (9) * T T 1 B, = σ (X ) (X X) X. (10) Dale przechodzimy do prognozowania wartości wypłaconych odszkodowań S. W tym celu wykorzystuemy fakt, iż zmienne te posiadaą rozkład logarytmiczno-normalny o parametrach [Green, 1993]: *

5 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna... 3 s wartość oczekiwana E(S ) = exp (s + 0,5B ), warianca D s (S ) = exp [s + (B ) s ].[exp (B ) 1]. Stawiamy zatem prognozę na poziomie wartości oczekiwane i otrzymuemy postać predykci: ˆ exp( ˆ 0,5 ˆ s S = s + B ). (11) Jednakże powyższy estymator est estymatorem obciążonym. Aby zlikwidować obciążenie, wprowadzamy korektę obciążenia za pomocą funkci g m (x) [Finney, 1941], daną wzorem: z g m( x) = m ( m + z) x, (1) ( m + l) z! z z = 0 l = 0 gdzie m est liczbą stopni swobody rozkładu warianci składnika losowego σ. Funkca ta korygue obciążenie estymatora danego ogólnym wzorem [Bradu, Mundlak, 1970]: ê = exp (s + d σ ), (13) gdzie d est dowolną stałą. Nieobciążony estymator ma więc postać: * T T 1 * eˆ = exp( sˆ ) g [( a 0,5(X ) (X X) X ) ˆ i m ]. (14), σ Dla uproszczenia zapisu przymuemy w dalszych rozważaniach oznaczenie * * T T 1 * x = (X ) (X X) X. Prognozowana okresowa wypłata odszkodowań ma zatem postać: ˆ i m σ S z * = exp( sˆ ) g [0,5(1 x ) ˆ ]. (15) Średni błąd te predykci można przedstawić następuąco: ˆ D S S ) = D ( S ) + D ( Sˆ ), (16) ( co wynika z niezależności zmiennych S oraz Ŝ [Verrall, 1994]. Widzimy zatem, iż do szacunku tego błędu niezbędne est oszacowanie zmiennych D (Ŝ ) oraz D (S ). W pierwszym przypadku stosuemy estymator nieobciążony, dany wzorem: D ( Sˆ ˆ m m * * ) = exp( sˆ ){ g [0,5(1 x ) σˆ ] g [(1 x ) σˆ ]}. (17)

6 4 Alica Wolny-Dominiak Do oszacowania drugie zmienne stosuemy wzór na wariancę rozkładu logarytmiczno-normalnego, skorygowany funkcą g m [Verrall, 1994]: ˆ ( S m m D * * ) = exp( sˆ ){ g [(1 x ) σˆ ] g [(1 x ) σˆ ]}. (18) Ostatecznie przechodzimy do prognozowania wartości całkowite rezerwy IBNR: n 1 n 1 Sˆ i, i= 1 = n i R ˆ =. (19) Estymator ten est nieobciążony pod warunkiem nieobciążoności estymatorów Ŝ. Średni błąd B r powyższe predykci nieobciążone obliczamy z następuące równości: ˆ D ( R R) = D ( R) + D ( Rˆ ). (0) Korzystaąc z niezależności zmiennych R i Ȓ, analogicznie ak w przypadku zmiennych S oraz Ŝ. Przy założeniu niezależności zmiennych S mamy: n 1 n 1 D ( R) = D ( ). (1) i= 1 = n i S i, W przypadku zmiennych Ŝ nie est uż spełnione założenie o niezależnośc gdyż oddziałuą na nie parametry P, takie same dla każdego okresu wypadkowego. W związku z tym do obliczenia D (Ȓ) niezbędne est wprowadzenie kowarianci: n 1 n 1 D ( Sˆ ) + i= 1 = n i, k, l D ( Rˆ ) = cov( Sˆ, Sˆ ). () n n Druga suma zawiera dokładnie elementów, takich że ( ) (k, l). Widzimy że niezbędna est zatem znaomość estymatora kowarianci côv(ŝ, Ŝ ). k, l Aby otrzymać estymator nieobciążony, ponownie zastosowanie znadue funkca g m : ˆ ˆ = ˆ + ˆ * * côv( S, S ) exp( S S ){ g [0,5(1 x ) σˆ ] g [0,5(1 x ) ˆ ] (3) k k m m k σ * * Τ 1 * * Τ g [(1 0,5(Χ + Χ )(Χ Χ) (Χ Χ ) ) σˆ ]. m k + Ostatecznie średni błąd prognozy rezerwy IBNR ma postać: k k, l

7 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna... 5 ˆ ˆ ( ) ˆ B r = D R + D ( Rˆ ). (4) Wykorzystuąc predykcę Rˆ oraz Bˆ r przechodzimy do wyznaczania przedziału ufności rezerwy całkowite, który definiuemy ako przedział ufności dla R. Aby wyznaczyć ednak ten przedział, niezbędna est znaomość rozkładu zmienne R. Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym przy dostatecznie duże liczbie obserwaci est przymowany rozkład normalny. W przypadku rezerwy IBNR rozkład ten nie powinien być ednakże symetryczny, gdyż wartości rezerwy IBNR dla okresów wypadkowych są niskie dla początkowych okresów i i dale zwiększaą się znacznie dla okresów końcowych. W związku z tym przymuemy rozkład logarytmiczno-normalny, w którym wykorzystuemy Ȓ oraz Bˆ r ako estymatory parametrów rozkładu: wartości oczekiwane oraz warianci. Przedział ufności na poziomie ufności 90% ma postać [Mack, 1994] PZ = [Ȓa; Ȓb], gdzie c c ˆ r B a = exp(1,8c ), gdzie b = exp( 1,8c ), oraz c = ln[1 + ( ) ]. Rˆ Widzimy, iż przymuąc model (4), praktyczna aplikaca est skomplikowana poprzez zawiłą postać funkci g m. Do znalezienia odpowiednie wartości te funkci niezbędne est obliczenie nieskończone sumy szeregu. Korekta obciążenia stae się zatem zasadniczo problemem czysto numerycznym. 4. Kalkulaca rezerwy IBNR studium przypadku W studium przypadku był analizowany trókąt szkód zaczerpnięty z literatury w postaci nieskumulowane (tab. ). Tabela Nieskumulowany trókąt szkód

8 6 Alica Wolny-Dominiak W pierwsze koleności została zastosowana metoda RLN z korektą obciążenia funkcą g m. Dale w celach porównawczych skalkulowano rezerwę IBNR metodami: MackChainLadder (MCL) [Mack, 1994], BootChainLadder (BCL) [England, Verrall, 00], MultiChainLadder (MultiCL) [Zhang, 010]. Do obliczeń wykorzystano program R oraz pakiet {ChainLadder} [R Core Team, 01]. W analizowanym trókącie szkód, rozwó szkodowości graficznie obrazue rys. 1. Rys. 1. Skumulowane wartości wypłaconych odszkodowań w poszczególnych latach rozwou szkody W pierwsze koleności zostały oszacowane parametry c i oraz p za pomocą KMNK oraz również średnie błędy szacunku uzyskanych wartości estymatorów: D ( c i ), D ( p ). Wyniki przedstawia tab. 3. Tabela 3 Oszacowane parametry modelu Oszacowanie Średni błąd szacunku 1 3 c0 7,63 0,0 c1 7,11 0,0 c 7,6 0,0 c3 7,55 0,1 c4 7,44 0, c5 7,35 0,3 c6 7,56 0,5 c7 8,05 0,9 c8 9,0 0,39 p1 0,34 0,0

9 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna p -0,08 0,1 p3-0,73 0, p4-1,70 0,3 p5 -,66 0,5 p6-4,09 0,8 p7-5,8 0,33 p8-6,51 0,44 Otrzymane wyniki pokazuą, iż średnie błędy szacunku dla większości powyższych parametrów zawieraą się w przedziale od 0, do 0,9. Wyątkiem są parametry c 8, p 7 oraz p 8, dla których błędy są wyższe. Jest to efektem małe liczby obserwaci dla okresów opóźnień 7 oraz 8. Warianca resztowa kształtue się na poziomie σˆ = 0,159. Często stosowaną praktyką est pomianie parametru p 0, co dae pewność, iż macierz X est macierzą nieosobliwą, co również uczyniono w tym przykładzie [Verrall, 1994]. W kolenym etapie szacowano wartości trókąta szkód poniże przekątne, uzyskuąc następuące wyniki: Tabela 4 Prognozy okresowych wartości wypłat odszkodowań cd. tabeli ,81 S ˆ i, 0,55 Dˆ ( ˆ ) S ,35 3,01 S ˆ i, 5,45 1,87 Dˆ ( ˆ ) S ,70,83 S ˆ i, 0,38 4,93 0,81 Dˆ ( ˆ ) S

10 8 Alica Wolny-Dominiak cd. tabeli ,71,54 S ˆ i, 81,83 17,35 4,3 0,69 Dˆ ( ˆ ) S ,94,31 S ˆ i, ,88 14,73 3,6 0,59 Dˆ ( ˆ ) S ,81,86 S ˆ i, ,60 16,33 4,06 0,65 Dˆ ( ˆ ) S ,9 4,64 S ˆ i, ,60 1,73 5,44 0,79 Dˆ ( ˆ ) S ,11 1,8 S ˆ i, ,00 31,47 7,19 1,45 Dˆ ( ˆ ) S Opieraąc się na powyższych wynikach, uzyskano prognozowaną wartość rezerwy IBNR, która wynosi Rˆ = 3 989,1. Średni błąd predykci oraz przedział zmienności PZ na poziomie ufności 90% wynosi natomiast odpowiednio Bˆ r = ,1 oraz PZ = [0 014,1; ,85]. W analizie porównawcze przeprowadzono estymacę punktową, uzyskuąc następuące wyniki. Tabela 5 Wartości rezerwy IBNR w analizowanych modelach Wartość rezerwy IBNR Średni błąd szacunku RLN z korektą obciążenia 3 989, ,1 MCL , ,54 BCL , ,84 MultiCL , ,51

11 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna... 9 Widać, iż w metodzie RLN z korektą obciążenia funkcą g m uzyskano naniższą wartość rezerwy IBNR, co est korzystne z punktu widzenia zakładu ubezpieczeń. Otrzymano również stosunkowo niski błąd prognozy. W analizowanym trókącie szkód naniższy błąd uzyskał ednak model bootstrsapowy. Zgodnie z zasadą Solvency II best estimate, należałoby zatem zawiązać rezerwę IBNR na poziomie uzyskanym w tym modelu. Podsumowanie Szacowanie wartości rezerwy IBNR za pomocą regresi logarytmiczno-liniowe est alternatywą do klasycznego podeścia chain-ladder. Po zastosowaniu korekty obciążenia może dawać interesuące wyniki. W dobie rozwou technik obliczeniowych techniczny problem kalkulaci rezerwy IBNR nie est obecnie przeszkodą i pozwala na dalszy rozwó tego podeścia. Literatura Bradu D., Mundlak Y., 1970: Estimation in Lognormal Linear Models. JASA, Vol. 6. Christofides E., 1989: Claims Reserving Manual: Vol. II. The Institute of Actuaries, London. Dyduch M.: Niekonwenconalna metoda prognozy wartości ednostek funduszy emerytalnych. W: Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka. Red. W. Ostasiewicz. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław 011. England P.D., Verrall R.J., 00: Stochastic Claims Reserving in General Insurance With Discussion. British Actuarial Journal 8, III. Green W.H., 1993: Econometric Analysis. Macmillan Publishing Company, New York. Kelly M.V., 199: Practical Loss Reserving Method with Stochastic Development Factor. CAS Discussion Paper Program. Mack T., 1999: The Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates: Recursive Calculation and Inclusion of a Tail Factor. Astin Bulletin, Vol. 9, No.. Pobłocka A., 011: Rezerwa IBNR w ubezpieczeniach maątkowych-praktyczne metody e szacowania. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław. R Core Team, 01: R: A language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. Straub E., 1988: Non-Life Insurance Mathematics. Springer-Verlang, New York. Szkutnik W., 004: Ryzyko ubezpieczeniowe w aspekcie szczególnych warunków realizaci procesu szkód. W: Zastosowania metod ilościowych w ekonomii i zarządzaniu. Red. J. Mika. Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne, Katowice. Verrall R.J., 1994: Statistical Methods for the Chain-Ladder technique. Casualty Actuarial Society Forum, Spring.

12 30 Alica Wolny-Dominiak Wolny A., 005: Podeście Aktuarialne do kalkulaci rezerwy szkodowe. Statystyczne zaawansowane metody kalkulaci rezerwy szkodowe. W: Metody kalkulaci ryzyka rezerw szkodowych w ubezpieczeniach maątkowo-osobowych. Red. W. Szkutnik, A. Wolny. Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne, Katowice. Wüthrich M.V., Merz M., 008: Stochastic Claims Reserving Methods in Non-Life Insurance. John Willey & Sons, England. Zhang Y., 010: A General Multivariate Chain Ladder Model. Insurance: Mathematics and Economics, 46. MODIFIED LOG-NORMAL REGRESSION IN LOSS RESERVING Summary In the paper we consider the problem of loss reserving estimation in non-life insurance company. We focus on the log-normal regression as in [Bradu, Mundlak, 1970; Chrostofieds, 1989]. In order to reduce the bias of IBNR reserve estimator we propose some modification by introducing function. In the case study we compare few different methods of loss reserving with modified log-normal regression. It is now typical practice in insurance business according Solvensy II and Best Estimate rule. In all calculation we apply R software and {ChainLadder} package.

13 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna Załącznik A Wyniki kalkulaci rezerwy szkodowe uzyskane w pakiecie {ChainLadder} <MackChainLadder(Triangle, weights = 1, alpha=1, est.sigma= log-linear, tail=false, tail.se=null, tail.sigma=null) Rys. A.1. Szczegółowe wyniki dla MCL

14 3 Alica Wolny-Dominiak Rys. A.. Analiza reszt dla MCL <BootChainLadder(Triangle, R=999, process.distr= gamma ) Rys. A.3. Szczegółowe wyniki dla BCL

15 Zmodyfikowana regresa logarytmiczno-normalna Rys. A.4. Symulaca dla BCL <MultiChainLadder(list(Triangle), fit.method = SUR ) Rys. A.5. Szczegółowe wyniki dla MultiCL

16 34 Alica Wolny-Dominiak Rys. A.6. Wykres kwantyli dla MultiCL

Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR 1

Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR 1 Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR Alica Wolny-Dominiak Możliwości programu R w szacowaniu rezerwy IBNR 1 W zakładach ubezpieczeń maątkowych istotną pozycę w funduszu ubezpieczeniowym zamue

Bardziej szczegółowo

Karolina Napierała Wojciech Otto

Karolina Napierała Wojciech Otto Kalkulaca rezerw w ubezieczeniach maątkowych w oarciu o teorię zaufania, z równoczesnym r wykorzystaniem danych o odszkodowaniach wyłaconych i rezerwie liczone metodą indywidualną Karolina Naierała Wociech

Bardziej szczegółowo

Badanie zmienności rezerwy IBNR w ubezpieczeniach majątkowych

Badanie zmienności rezerwy IBNR w ubezpieczeniach majątkowych Zarządzanie i Finanse Journal of Management and Finance Vol. 12, No. 1/2014 Tomasz Jurkiewicz * Agnieszka Pobłocka ** Badanie zmienności rezerwy IBNR w ubezpieczeniach majątkowych Wstęp Szacowanie rezerwy

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Aktuariat i matematyka finansowa Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Tworzenie rezerw i ich wysokość wpływa na Obliczanie zysku dla potrzeb podatkowych, Sprawozdawczość dla udziałowców,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Wybrane aspekty ubezpieczeń i reasekuracji Nazwa w języku angielskim: Selected Aspects Of Insurance And Reinsurance Kierunek

Bardziej szczegółowo

estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń

estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń estymacja wskaźnika bardzo niskiej intensywności pracy z wykorzystaniem modelu faya-herriota i jego rozszerzeń Łukasz Wawrowski, Maciej Beręsewicz 12.06.2015 Urząd Statystyczny w Poznaniu, Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2

MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA,

Bardziej szczegółowo

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki Taryfikacja w ubezpieczeniach

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Podstawy ekonometrii. Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF

Podstawy ekonometrii. Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF Podstawy ekonometrii Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF Cele przedmiotu: I. Ogólne informacje o przedmiocie. - Opanowanie podstaw teoretycznych, poznanie przykładów zastosowań metod modelowania

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA

EKONOMETRIA PRZESTRZENNA EKONOMETRIA PRZESTRZENNA Wstęp podstawy ekonometrii Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie, 2012 1 EKONOMETRIA wybrane definicje (Osińska) Ekonometria dziedzina ekonomii wykorzystująca modele i sposoby wnioskowania

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych

Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych Wykorzystanie informacji kredytowej w procesie oceny ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach komunikacyjnych Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny mgr Karolina Pasternak-Winiarska mgr Kamil Gala Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO

ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 006 Bogusław GUZIK ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO W artykule sformułowano standardowy układ założeń stochastycznych

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH Nazwa w języku angielskim STATISTICAL DATA ANALYSIS Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ

WYKŁAD 2. Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ WYKŁAD 2 Temat: REZERWY, ICH CHARAKTERYSTYKA, WYCENA, DOKUMENTACJA I UJĘCIE W KSIĘGACH RACHUNKOWYCH ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ 1. Istota, pojęcie i podstawy tworzenia rezerw Rezerwy w rachunkowości to potencjalne

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 220 2015 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii ozef.biolik@ue.katowice.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Wykłady specjalistyczne. (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku)

Wykłady specjalistyczne. (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku) Wykłady specjalistyczne (specjalność: Matematyka w finansach i ekonomii) oferowane na stacjonarnych studiach I stopnia (dla 3 roku) w roku akademickim 2015/2016 (semestr zimowy) Spis treści 1. MODELE SKOŃCZONYCH

Bardziej szczegółowo

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to

metoda momentów, Wartość oczekiwana (pierwszy moment) dla zmiennej o rozkładzie γ(α, λ) to E(X) = αλ, drugi moment (wariancja) to 3.1 Wprowadzenie do estymacji Ile mamy czerwonych krwinek w krwi? Ile karpi żyje w odrze? Ile ton trzody chlewnej będzie wyprodukowane w przyszłym roku? Ile białych samochodów jeździ ulicami Warszawy?

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA

UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVII ZESZYT 4 010 CZESŁAW DOMAŃSKI UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA 1. MIARY SKOŚNOŚCI I KURTOZY W literaturze statystycznej prezentuje się wiele miar skośności i spłaszczenia (kurtozy).

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7.

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Lekcja II. Macierze kowariancji i korelacji. Metoda składowych głównych

Lekcja II. Macierze kowariancji i korelacji. Metoda składowych głównych Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych Lekca II. Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych Cel: Wprowadzenie do metody analizy składowych głównych (PCA). Pokazanie

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

OTWARTE FUNDUSZE EMERYTALNE W POLSCE Struktura funduszy emerytalnych pod względem liczby członków oraz wielkości aktywów

OTWARTE FUNDUSZE EMERYTALNE W POLSCE Struktura funduszy emerytalnych pod względem liczby członków oraz wielkości aktywów OTWARTE FUNDUSZE EMERYTALNE W POLSCE Struktura funduszy emerytalnych pod względem liczby członków oraz wielkości aktywów Tomasz Gruszczyk Informatyka i Ekonometria I rok, nr indeksu: 156012 Sopot, styczeń

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych

Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych Statystyka Małych Obszarów w badaniach próbkowych Łukasz Wawrowski l.wawrowski@stat.gov.pl Urząd Statystyczny w Poznaniu SKN Estymator, UEP 5.03.2012 1 Wprowadzenie Podstawowe pojęcia Badanie 2 Estymator

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 1

Ekonometria - ćwiczenia 1 Ekonometria - ćwiczenia 1 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 5 października 2012 1 Sprawy organizacyjne 2 Czym jest

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY BEZROBOCIA WŚRÓD OSÓB NIEPEŁNOSPRAWNYCH W POLSCE W 2010 ROKU

WYKORZYSTANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY BEZROBOCIA WŚRÓD OSÓB NIEPEŁNOSPRAWNYCH W POLSCE W 2010 ROKU STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Beata Bieszk-Stolorz Uniwersytet Szczeciński WYKORZYSTANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY BEZROBOCIA WŚRÓD OSÓB NIEPEŁNOSPRAWNYCH W POLSCE W

Bardziej szczegółowo

Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe jako podstawa wypłacalności i stabilności finansowej zakładów ubezpieczeń

Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe jako podstawa wypłacalności i stabilności finansowej zakładów ubezpieczeń Ewa Spigarska * Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe jako podstawa wypłacalności i stabilności finansowej zakładów ubezpieczeń Wstęp Rezerwy są zabezpieczeniem jednostki przed znanym jej ryzykiem przyszłej

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

Metody oceny ryzyka operacyjnego

Metody oceny ryzyka operacyjnego Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH

ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Małgorzata Szerszunowicz Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Wprowadzenie Statystyczna kontrola jakości ma na celu doskonalenie procesu produkcyjnego

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota Pekasiewicz Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota

Bardziej szczegółowo

O PORÓWNYWANIU DWÓCH POPULACJI WIELOWYMIAROWYCH Z WYKORZYSTANIEM OBJĘTOŚCI ELIPSOID UFNOŚCI

O PORÓWNYWANIU DWÓCH POPULACJI WIELOWYMIAROWYCH Z WYKORZYSTANIEM OBJĘTOŚCI ELIPSOID UFNOŚCI Jacek Stelmach Grzegorz Kończak Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach O PORÓWNYWANIU DWÓCH POPULACJI WIELOWYMIAROWYCH Z WYKORZYSTANIEM OBJĘTOŚCI ELIPSOID UFNOŚCI Wprowadzenie Statystyka dostarcza wielu

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych)

Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych) Planowanie eksperymentu (optymalizacja procesów chemicznych) dr inż. Agnieszka Gadomska-Gajadhur E-mail: agadomska@ch.pw.edu.pl Lab. Pawilon, nr tel. 34 54 63 Plan wykładu Dlaczego planujemy eksperymenty?

Bardziej szczegółowo

Quick Launch Manual:

Quick Launch Manual: egresja Odds atio Quick Launch Manual: regresja logistyczna i odds ratio Uniwesytet Warszawski, Matematyka 28.10.2009 Plan prezentacji egresja Odds atio 1 2 egresja egresja logistyczna 3 Odds atio 4 5

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Statystyka komputerowa Computer statistics Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Management and Engineering of Production Rodzaj przedmiotu: Fakultatywny - oferta Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE

METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Dominik Krężołek Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach METODY APROKSYMACJI INDEKSU OGONA ROZKŁADÓW ALFA-STABILNYCH NA PRZYKŁADZIE GPW W WARSZAWIE Wprowadzenie Procesy i zjawiska ekonomiczne obserwowane

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja i pomiar ryzyka pierwszy krok w zarządzaniu ryzykiem.

Identyfikacja i pomiar ryzyka pierwszy krok w zarządzaniu ryzykiem. Identyfikacja i pomiar ryzyka pierwszy krok w zarządzaniu ryzykiem. Andrzej Podszywałow Własność przemysłowa w innowacyjnej gospodarce. Zarządzanie ryzykiem, strategia zarządzania własnością intelektualną

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

Liniowy model ekonometryczny Metoda najmniejszych kwadratów Laboratorium 1.

Liniowy model ekonometryczny Metoda najmniejszych kwadratów Laboratorium 1. Liniowy model ekonometryczny Metoda najmniejszych kwadratów Laboratorium 1. mgr mgr Krzysztof Czauderna Instytut Statystyki i Demografii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa w Warszawie

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY

PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY Joanna Chrabołowska Joanicjusz Nazarko PROGNOZOWANIE PRZYCHODÓW ZE SPRZEDAŻY NA PRZYKŁADZIE PRZEDSIĘBIORSTWA HANDLOWEGO TYPU CASH & CARRY Wprowadzenie Wśród wielu prognoz szczególną rolę w zarządzaniu

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Egzamin ze Statystyki, Studia Licencjackie Stacjonarne czerwiec 2007 Temat A

Egzamin ze Statystyki, Studia Licencjackie Stacjonarne czerwiec 2007 Temat A (imię, nazwisko, nr albumu).. Przy rozwiązywaniu zadań, jeśli to konieczne, naleŝy przyjąć poziom istotności 0,01 i współczynnik ufności 0,95. Zadanie 1 W 005 roku przeprowadzono badanie ankietowe, którego

Bardziej szczegółowo

Joanna Dębicka, Agnieszka Marciniuk. Modelowanie małżeńskich rent hipotecznych w stochastycznym otoczeniu ekonomicznym

Joanna Dębicka, Agnieszka Marciniuk. Modelowanie małżeńskich rent hipotecznych w stochastycznym otoczeniu ekonomicznym Joanna Dęicka, Agnieszka Marciniuk Modelowanie małżeńskich rent hipotecznych w stochastycznym otoczeniu ekonomicznym Warszawa, 22-24.9.24 PLAN WYSĄPIENIA I. WPROWADZENIE II. MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ

Bardziej szczegółowo