METODY WYZNACZANIA ROZWIĄZAŃ SYTUACJI KONFLIKTO- WYCH Z MOŻLIWOŚCIĄ KOOPERACJI

Transkrypt

1 METODY WYZNACZANIA ROZWIĄZAŃ SYTUACJI KONFLIKTO- WYCH Z MOŻLIWOŚCIĄ KOOPERACJI Beata SIEMIEŃSKA Wojskowa Akademia Techniczna w Warszawie Wydział Cybernetyki Kierunek: Bezpieczeństwo Narodowe Specjalność: Zarządzanie Kryzysowe & Uniwersytet Technologiczno Humanistyczny w Radomiu Wydział Informatyki i Matematyki Kierunek Matematyka finansowa i komputerowa Streszczenie: Referat dotyczy modelowania matematycznego sytuacji konfliktowych z możliwością kooperacji i przedstawienia tego problemu w postaci funkcji charakterystycznej gry. Ponadto w referacie zaproponowano kilka koncepcji rozwiązań kompromisowych kooperacyjnych, ze szczególnym uwzględnieniem gier z jednoelementowym C-jądrem. Słowa kluczowe: sytuacje konfliktowe, funkcja charakterystyczna, gry kooperacyjne, gry wyjściowe, gry znormalizowane, koalicja, zbiór imputacji, C-jądro, rozwiązania kompromisowe, nucleolus, teoria gier, dobre rozwiązanie. WSTĘP Niniejszy referat powstał na podstawie pracy dyplomowej, napisanej przeze mnie pod takim samym tytułem. Kierownikiem pracy jest wybitny pracownik naukowy Wojskowej Akademii Technicznej wydziału Cybernetyki z Instytutu Systemów Informatycznych, Pan prof. dr hab. inż. Andrzej Ameljańczyk, który na co dzień zajmuje się problematyką tego typu, a także wieloma innymi zagadnieniami z zakresu matematyki stosowanej i skutecznie wdraża je w życie. Warto sięgnąć po publikacje naukowe Pana profesora, gdyż stanowią one spory dorobek naukowy w tym zakresie. 1

2 Inspiracją przy wyborze obszaru zainteresowania, a następnie tematu pracy, było zaprezentowanie szerokich możliwości wykorzystania aparatu matematycznego do rozwiązywania sytuacji konfliktowych, z którymi często spotykamy się w życiu codziennym. Celem referatu jest zatem przedstawienie matematycznych sposobów podejmowania decyzji grupowej w sytuacjach konfliktowych z możliwością kooperacji oraz modelowanie tego zjawiska w postaci funkcji charakterystycznej gry. W referacie przedstawiony został krótki przegląd metod rozwiązywania gier kooperacyjnych, zarówno w sposób klasyczny jak i analityczny. Zaprezentowano szerzej podejście rozwiązań kompromisowych oraz ogólną metodę wyznaczania Nucleolusa, jako dwa przykłady dobrego rozwiązania dla zadań powszechnie stosowanych w praktyce przy rozwiązywaniu problemów z dziedziny polioptymalizacji. Zakres zagadnień omówionych w referacie jest niewielki w stosunku do całego dorobku matematycznego w tej dziedzinie i skupia się zaledwie na kilku wybranych metodach rozwiązywania sytuacji konfliktowych z możliwością kooperacji. W niniejszej pracy można byłoby przybliżyć również inne zagadnienia dotyczące podobnych metod, lecz z powodów objętościowych jest to niemożliwe. Dostępna literatura z tego zakresu to min. Teoria Gier A. Ameljańczyka, Elementy optymalizacji wielokryterialnej tego samego autora, czy też Teoria Gier P. Straffina. Zainteresowanie problematyką w literaturze bierze się z potrzeb rynku i nie tylko. W wielu dziedzinach życia dążymy do tego, aby podejmować trafne i najbardziej optymalne decyzje, a aparat matematyczny pomaga nam w tym procesie. Stąd też tak duże zainteresowanie teorią gier, co przedkłada się tym samym na tworzenie nowych opracowań naukowych z propozycjami rozwiązań podobnych problemów. 2

3 CZĘŚĆ ZASADNICZA 1. WPROWADZENIE Teoria gier (TG) jest dziedziną matematyki stosowanej, która zajmuje się budową i analizą modeli matematycznych sytuacji konfliktowych, a także szukaniem optymalnych metod postępowania w takich sytuacjach. Jest ona opisem matematycznym pewnych zjawisk społecznych oraz ma zastosowanie w wielu dziedzinach życia codziennego, a w szczególności w ekonomii. W praktyce gospodarczej zastosowania teorii gier dotyczą głównie zagadnień konkurencji i kooperacji. Za datę narodzin tej dyscypliny uważa się rok 1944, w którym to opublikowano monografię J. Neumanna i O. Morgensterna, zatytułowaną Theory of Games and Economic Behavior. Nazwa TG jest często kojarzona z grami towarzyskimi, lecz dziedzina, w której jest ona najbardziej obecna, to ekonomia. Szczególne znaczenie ma jej związek z matematyką, gdyż ta stanowi narzędzie w TG, natomiast TG inspiruje rozwój i badania matematyczne. Mamy tu na myśli: optymalizację wielokryterialną, analizę nieliniową, podstawy matematyki, czy teorię zbiorów. Teoria gier zajmuje się więc opisem sytuacji, w których biorą udział podmioty, podejmujące decyzje w sposób świadomy, a rozstrzygnięcia owych decyzji mogą mieć wpływ na zmianę sytuacji danego decydenta. TG zajmuje się w szczególności sytuacjami konfliktowymi, ale rozważa również takie, gdzie interesy graczy są zgodne. Uczestnikami w grze mogą być zarówno producenci, konsumenci, jak też dowódcy wojskowi, których sposoby postępowania określa się mianem strategii. Decydenci zawsze dążą do jakiegoś celu, z reguły jest to wygranie gry i uzyskanie odpowiedniej wypłaty. Zatem preferencja gracza jest reprezentowana przez funkcję użyteczności. Na slajdzie przedstawiona jest jedna z możliwych klasyfikacji w ramach TG: 3

4 Schemat 1. Klasyfikacja gier Teoria gier podaje wiele sposobów, które można stosować do przedstawienia sytuacji konfliktowej, jednak każdy z nich odpowiada opisowi tylko konkretnych klas konfliktu i nie nadaje się do przedstawienia pozostałych. Do znanych więc matematycznych modeli sytuacji konfliktowych możemy zaliczyć postać rozwiniętą gry oraz postać normalną. Jednak klasycznym modelem konfliktowej sytuacji z możliwością kooperacji jest funkcja charakterystyczna. Modelowanie sytuacji konfliktowych kooperacyjnych polega zatem na definiowaniu funkcji charakterystycznej gry. 2. MODELOWANIE SYTUACJI KONFLIKTOWYCH Z MOŻLIWOŚCIĄ KOOPE- RACJI O istnieniu kooperacyjnej sytuacji konfliktowej w grze mówimy wtedy, gdy występują co najmniej dwaj gracze, czyli dwie strony konfliktu, którzy wspólnie mogą uzgadniać swoje strategie, jeżeli one mogą zapewnić im większe korzyści. W konflikcie kooperacyjnym występuje zatem problem negocjacji, który towarzyszy podziałowi dodatkowego zysku. Charakterystyczną cechą modelowania sytuacji konfliktowej jest mała przydatność modeli ekstensywnych oraz modeli w postaci normalnej., tutaj wykorzystywana jest funkcja charakterystyczna gry. W sytuacji konfliktowej kooperacyjnej występuje również zjawisko porównywania łącznych korzyści, związanych z tworzeniem się koalicji poszczególnych graczy. 4

5 We współczesnym świecie, przepełnionym wielostronnymi zależnościami rzadko mamy do czynienia z konfliktami 2-osobowymi, a dobrymi tego przykładami są gry ekonomiczne, polityczne, czy społeczne, które jednocześnie angażują wielu uczestników, dlatego gry N-osobowe wzbudzają tak powszechne zainteresowanie. Jednak na potrzeby referatu skupiono się głównie na grach 3-osbowych, gdyż tesa proste do wyznaczenia i można łatwo przedstawić je w postaci graficznej 2.1. Postać wyjściowa gry Sytuację konfliktową N-osobową z możliwością kooperacji można przedstawić w postaci: gra wyjściowa, - zbiór numerów graczy w konflikcie, - funkcja charakterystyczna gry wyjściowej, - zbiór możliwych koalicji. Dla gry 3-osobowej kooperacyjnej, matematyczny model sytuacji konfliktowej przyjmie postać:, gdzie:. Przykład gry wyjściowej zamieszczony w tabeli: S Ø ,2 1,3 2,3 1,2,3 v`(s) Funkcja charakterystyczna jest więc modelem matematycznym, który opisuje przede wszystkim możliwość kooperacji (współdziałania) członków danych koalicji, które mogą powstać i pokazuje nam zdolności negocjacyjne i kooperacyjne poszczególnych graczy lub ich koalicji. Jest ona zatem najlepszym narzędziem, służącym do badania poszczególnych koalicji. O funkcji charakterystycznej gry N-osobowej możemy powiedzieć, że jest ona funkcją rzeczywistą, określoną na zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru która przyporządkowuje każdemu zbiorowi wypłatę maksyminową (łącznie członkom koalicji ) Gry znormalizowane Z uwagi na prostotę wyliczeń, stosowanych w grach (0,1), gry wyjściowe zamieniamy na znormalizowane. Mówimy, że gra jest w (0,1)-zredukowanej formie (znormalizowana), gdy koalicjom jednoosobowym przyporządkuje się wartość zero, 5

6 natomiast wielkiej koalicji wartość jeden, jest to tzw. warunek normalizacji. Każda gra istotna jest równoważna dokładnie jednej znormalizowanej grze. Zbiór wszystkich gier N-osobowych znormalizowanych stanowi podzbiór zwarty w przestrzeni euklidesowej. Część dodatnia zbioru wszystkich gier N-osobowych posiada jednoznacznie określone stabilne zbiory, które pokrywają się z C-jądrem. Dla gry 3-osobowej funkcja charakterystyczna przedstawiona w tabeli: S Ø ,2 1,3 2,3 1,2,3 v`(s) y 1 y 2 y 3 1 Aby wyznaczyć 3-osobową grę znormalizowaną równoważną grze wyjściowej, należy znaleźć taką dodatnią liczbę, a także liczby, aby zachodził warunek oraz musi być spełniony warunek normalizacji. Rozwiązaniem takiej gry znormalizowanej jest więc wektor. Liczba stanowi wartość znormalizowanej wypłaty dla gracza, która stanowi o jego udziale procentowym w podziale dodatkowego zysku, który to wynika z faktu kooperacji. Natomiast rozwiązaniem równoważnym dla gry wyjściowej jest wartość wynikająca z wzoru. Badając gry kooperacyjne można więc ograniczyć się do analizy gier znormalizowanych jako reprezentantów poszczególnych klas równoważności. Sprowadzona gra do (0,1)-formy posiada tę własność, że funkcja charakterystyczna określa bezpośrednio siłę koalicji, czyli dodatkową wartość wypłaty, którą decydenci otrzymują po utworzeniu tej właśnie koalicji. To znacznie upraszcza operacje liczbowe Rozwiązania gier znormalizowanych Warto jest krótko scharakteryzować zbiór rozwiązań wszystkich gier 3-osobowych kooperacyjnych, które są superaddytywne, istotne oraz znormalizowane. Otóż zbiór ten jest sześcianem o krawędzi równej jeden, umieszczonym w 3-wymiarowym układzie współrzędnych i dzieli się on na wiele drobniejszych brył, do których należą poszczególne klasy gier, a wśród nich możemy min. wyróżnić: 6

7 klasę gier z niepustym C-jądrem; klasę gier z C-jadrem 1-elementowym; klasę gier pustym C-jądrem; i inne. 3. PRZEGLĄD METOD ROZWIĄZYWANIA GIER KOOPERACYJNYCH Rozwiązanie N-osobowej gry kooperacyjnej polega na wytypowaniu wypłat dla poszczególnych graczy zbioru w taki sposób, aby sugestia ta nie zachęcała żadnego z nich, ani żadnej koalicji do zrezygnowania z tej właśnie propozycji. Ponadto zakłada się, iż sumaryczna wartość do podziału powinna spełniać warunek Pareto. Zatem wektor wypłat, który nie jest zdominowany przez żaden inny, nazywamy optymalnym w sensie Pareto. Można powiedzieć, że sytuacja optymalna w sensie Pareto to taka, dla której nie istnieje żadna inna sytuacja korzystniejsza dla wszystkich graczy. Dla gier N-osobowych istnieje wiele atrakcyjnych i użytecznych koncepcji rozwiązania, lecz jak wcześniej wspomniano, żadnego z nich nie da się zastosować do każdego przypadku. Obszerna literatura, zawierająca analizę i opis gier kooperacyjnych, przedstawia wiele propozycji ich rozwiązywania. Wśród nich możemy wyróżnić naturalne klasyczne metody, takie jak: zbiór imputacji ; imputację solidarną ; imputację równomierną ; rozwiązanie Shapley`a ; C-jądro gry. oraz propozycje, które realizują postulaty decyzyjne, gwarantujące dobrą definicję rozwiązania, czyli klasa gier z 1-elementowym C-jądrem, a do nich zaliczamy: N-jądro gry (rozwiązanie Schmeidlera) ; rozwiązanie kompromisowe 7

8 3.1. Zbiór imputacji Z uwagi na wciąż nurtujące pytanie, w jaki sposób koalicja powinna podzielić się zyskiem, Neumann i Morgenstern skupili się przede wszystkim na podziale wypłaty pomiędzy wszystkich decydentów, biorących udział w grze. W efekcie tego uzyskano rozwiązanie w postaci wektora -liczb, który nazwano podziałem, czyli imputacją. Zatem, aby rozwiązać daną grę -osobową, należy wskazać zbiór imputacji, które będą stanowić wynik gry racjonalnie rozgrywanej. Imputacja jest zbiorem wszystkich możliwych (dopuszczalnych) rozwiązań gry, zarówno stabilnych jak i nie stabilnych, dlatego też mówimy, że stanowi ona rozwiązanie w słabym sensie. Imputacja jest więc racjonalną propozycją wypłaty dla graczy, a wektorem oznaczamy rozwiązanie dopuszczalne w grze kooperacyjnej N-osobowej, jeżeli zachodzą następujące warunki: - warunek indywidualnej racjonalności; - warunek optymalności w sensie Pareto. - jest zatem propozycją wypłaty dla gracza, natomiast - jest zbiorem rozwiązań dopuszczalnych (w słabym sensie) w grze Imputacja równomierna. Jedną z klasycznych koncepcji rozwiązania gier 3-osobowych kooperacyjnych jest imputacja równomierna, czyli równomierny podział wypłat, który polega na takiej koncepcji podziału zysku, że każdemu decydentowi proponuje się wypłatę, która stanowi wartość proporcjonalną do jego indywidualnych możliwości, czyli wkładu, który uczestnik wniósł do gry. Zatem imputacja równomierna w grze, która spełnia warunek to wektor:, dla którego zachodzą zależności: ; - liczba to współczynnik korzyści kooperacyjnych. 8

9 Problem pojawia się w sytuacji, gdy, co stanowi wadę tej koncepcji rozwiązania, gdyż należy przyjąć wówczas dodatkowe wymuszone założenia Imputacja solidarna. Kolejnym klasycznym przykładem rozwiązania gry kooperacyjnej -osobowej jest imputacja solidarna. Najprościej mówiąc jest to solidarny podział zysku, który polega na tym, że każdemu graczowi proponuje się jednakową kwotę wypłaty, bez względu na jego wkład indywidualny. Imputacja solidarna w grze, to wektor dla którego zachodzą poniższe zależności: ; ) - liczba to współczynnik solidarnego zysku. Wadą jest to, że podział solidarny niekoniecznie stanowi podział sprawiedliwy C-jądro gry rdzeń Problem przydziału dodatkowego zysku pomiędzy graczy współpracujących w ramach koalicji sprawił, że teoretycy XX w. zaproponowali ponad kilkanaście alternatywnych koncepcji rozwiązania dla gier, lecz tylko nieliczne z nich zyskały więcej uwagi. Jedną z takich propozycji zasugerował w roku 1953 Gillies, wprowadzając pojęcie rdzenia jako zbioru wszystkich niezdominowanych wypłat (imputacji) dla graczy. Rozwiązanie to znalazło zastosowanie przede wszystkim w naukach gospodarczych, dotyczących działalności na rynkach. Rdzeń zwany C-jądrem gry, to zbiór wszystkich racjonalnych koalicyjnie podziałów, takich, że nie zakwestionuje ich żadna koalicja. Podziały, które należą do rdzenia są uważane za sensowne rozwiązanie każdej gry. Inaczej możemy powiedzieć, że C- jądro to zbiór wszystkich niezdominowanych imputacji w grze, który jest wypukły, ograniczony, domknięty i zwarty. Jest on zbiorem imputacji, które są racjonalne koalicyjnie dla wszystkich koalicji. Rozwiązanie to zbiór takich wektorów, że. Rdzeń gry można potraktować zatem jako uzupełnienie warunków imputacji o warunek koalicyj- 9

10 nej racjonalności dla koalicji -osobowej. Powiemy, że imputacja należy do rdzenia, jeżeli członkowie każdej koalicji mogą otrzymać łączną wypłatę przynajmniej taką, jaką koalicja sama może sobie zagwarantować. Rozważając rozwiązania zadań w sensie C-jądra napotyka się szereg wad: C-jądro często bywa zbiorem pustym ; w grach 2-osobowych C-jądro pokrywa się ze zbiorem imputacji; dla wielu gier stanowi niejednoznaczne rozwiązanie; do C-jądra mogą należeć imputacje które znacznie różnią się niektórymi współrzędnymi, co stanowi dodatkową trudność w uzyskaniu porozumienia kooperacyjnego, pomimo tego, że stabilność rozwiązania jest tak samo dobra; 3.5. Wektor Shapley`a. Z uwagi na brak ogólnego twierdzenia, które wskazywałoby na istnienie rozwiązania dla gier N-osobwych, w 1953 roku matematyk Lloyd Shapley wysunął propozycję pojedynczej imputacji, dającej (w pewnym sensie) sprawiedliwy podział zysku, który nazwano wartością Shapley`a. Matematyk sformułował trzy aksjomaty owego podziału i opracował proste, analityczne wyrażenie do obliczania wypłat: W związku z powyższym Shapley udowodnił twierdzenie, według którego istnieje tylko jedna metoda, która przypisuje imputację grze na bazie sformułowanych aksjomatów. Dla każdej kooperacyjnej gry istnieje dokładnie jeden wektor Shapley`a, który spełnia powyższe warunki i jest on imputacją. Ponadto gra wyjściowa i gra znormalizowana, które są strategicznie równoważne, posiadają wektory Shapley`a, które pokrywają się. Ponadto wektor Shapley`a możemy stosować w przypadku gier, gdzie uzyskaliśmy wynik równoważny, że jest zbiorem pustym. Dla gier 3-osobowych znormalizowanych wektor Shapley`a przyjmuje postać, gdzie 10

11 i jest to stała Shapley`a. Jeżeli to jest rozwiązaniem stabilnym. Procedura wyliczania wektora Shapley`a dla gier N-osobowych jednak komplikuje się wraz ze wzrostem liczby graczy Rozwiązania kompromisowe Rozwiązania kompromisowe stosujemy w N-osobowych grach kooperacyjnych, rozpatrywanych jako przykłady zadań optymalizacji wielokryterialnej, gdzie: - zbiór imputacji (rozwiązań), wektorowe kryterium imputacji, natomiast to relacja dominowania w danym zadaniu. Istotę tej metody stanowi zagadnienie kompromisu przy wyborze finalnego rozwiązania problemu. Rozwiązania kompromisowe są najczęściej stosowane w zadaniach optymalizacji wielokryterialnej, gdyż tutaj z reguły nie sprawdzają się inne metody rozwiązania, które posiadają szereg wad. Rozwiązania kompromisowe można uzyskać, stosując metodę punktu idealnego lub metodę punktu wyznaczającego również z wykorzystaniem rzutu ortogonalnego, co właśnie stanowi istotę kompromisu. W praktyce, w problematyce optymalizacji wielokryterialnej od rozwiązania idealnego oczekuje się kilku dość istotnych cech, które wyrażane są następującymi postulatami: rozwiązanie idealne powinno istnieć dla obszernej klasy zadań; powinno ono być jedynym rozwiązaniem w zadaniu; rozwiązanie idealne powinno stanowić rozwiązanie niezdominowane, o ile ten zbiór nie jest zbiorem pustym. Powyższe postulaty są realizowane najczęściej właśnie przez rozwiązania kompromisowe, dlatego też są one dość powszechnie stosowane w rozwiązaniach zadań optymalizacji wielokryterialnej. Rozwiązania kompromisowe mogą różnic się pomiędzy sobą, co jest uwarunkowane wartością parametru oraz wyborem postaci normy. Wśród zadań z parametrem na szczególną uwagę zasługują te, gdzie. Mamy wówczas do czynienia z normą 11

12 euklidesową, natomiast wynik otrzymany jest możliwie najbliższym wobec punktu idealnego względem odległości geometrycznej, i można zaprezentować go graficznie. Rozwiązania kompromisowe należą oczywiście do C-jądra jednoelementowego Rozwiązanie Schmeidlera Rozwiązanie to sformułowane zostało przez Davida Shmeidlera w 1969 r. określane mianem nukleolusa jako alternatywna koncepcja względem propozycji Shapley`a. W przeciwieństwie do sprawiedliwego podziału Shapley`a, przyjmuje ono postać również pojedynczej imputacji, lecz takiej, która odwołuje się raczej do pojęcia przetargu a nie sprawiedliwości. Zaletą metody Shmeidlera jest to, że możemy ją zastosować nawet wtedy, kiedy C-jądro okaże się zbiorem pustym. W tej sytuacji można próbować znaleźć imputację najbliższą, która spełni warunek przynależności do C-jądra dla wszystkich koalicji. Jednym ze sposobów rozwiązania Schmeidlera może być wybór takiej imputacji, dla której największe przekroczenie (potencjalna strata) jest jako to najmniejsze spośród pozostałych imputacji. Nucleolus ponadto należy do C- jądra jednoelementowego. Wspomniane przekroczenie jest nazywane ekscesem i przyjmuje postać: orazi stanowi różnicę pomiędzy tym, co członkowie koalicji mogą sobie zapewnić, gdy decydują się na współpracę, a tym, co mogą uzyskać łącznie od imputacji, która w tym przypadku stanowi miarę niezadowolenia dla koalicji. Propozycja Schmeidlera dotyczyła zatem takiego planu podziału wypłat, który zminimalizuje niezadowolenie najbardziej niezadowolonego gracza i niezadowolenie to (przekroczenie) określa jako eksces. Niestety, w odróżnieniu od wartości Shapley`a, Schmeidler pokazał, ze istnieje też nie zamknięta forma wzoru dla N-jądra. Jest ono zatem obliczane numerycznie w sposób iteracyjny poprzez rozwiązanie serii problemów programowania liniowego. Do tego typu wyliczeń można posłużyć się pakietem matematycznym GAMS. W N-osobowej grze w postaci funkcji charakterystycznej N-jądro jest definiowane w n-tym kroku. W sekwencyjnej metodzie PL, która bazuje na uporządkowaniu leksykograficznym Maschler pokazał, że aby znaleźć nucleolus, musimy najpierw zmniej- 12

13 szyć największy exces dla wszystkich koalicji tak mocno jak to możliwe, a następnie zmniejszyć drugi co do wielkości exces tak mocno jak to możliwe i kontynuować ten proces do momentu, aż w n-tym kroku imputacja zostanie zdeterminowana. Wnikliwe analizy, które w tym zakresie przeprowadzili matematycy M. Leng oraz M. Parlar pozwoliły na przedstawienie analitycznych wyrażeń do obliczenia nucleolusa w sposób bezpośredni bez konieczności stosowania w/w obliczeń iteracyjnych. Zgodnie z ich założeniem analizie poddano 3-osobowe gry kooperacyjne istotne oraz superaddytywne, wyrażone za pomocą funkcji charakterystycznej oraz przedstawiono algebraiczną metodę, która wyznacza N-jądro analitycznie w sposób prosty (za pomocą zamkniętej formy wyrażenia) bez konieczności iteracyjnych algorytmów. Uczeni najpierw analizie poddali kooperacyjną grę z pustym rdzeniem, a następnie grę z rdzeniem niepustym i obliczyli nucleolus analitycznie dla pięciu możliwych przypadków, wynikających z własności funkcji charakterystycznej Wnioski Z uwagi na ograniczenia objętościowe referatu celowo pominięto przykłady liczbowe, które pokazują istotę wykorzystania zaproponowanych metod, służących do rozwiązywania sytuacji konfliktowych z możliwością kooperacji. Ciekawe wyniki uzyskuje się stosując algorytmy: rozwiązania kompromisowego z parametrem względem punktu wyznaczającego ; analityczną formę wzoru, opracowaną przez M.Parlar`a oraz M. Leng`a do obliczenia N-jądra; oraz klasyczną postać algorytmu Schmeidlera do wyznaczenia nucleolusa z wykorzystaniem pakietu GAMS, przeznaczonego do skomplikowanych problemów programowania liniowego. Nucleolus jako rozwiązanie 3-osobowej istotnej i superaddytywnej gry kooperacyjnej posiada kilka interesujących własności, a mianowicie: zawsze istnieje, zawsze stanowi pojedynczą imputację oraz jest łatwy do wyznaczenia. Nucleolus w przeciwieństwie do wektora Schapley`a zawsze należy do C-jądra, jeśli ono nie jest zbiorem 13

14 pustym. Istotnym argumentem przemawiającym za akceptacją nucleolusa jako rozwiązania w sytuacji pustego C-jądra jest dążenie do stabilności. Natomiast wadą tego rozwiązania jest to, że w niektórych przypadkach rozwiązania wyznaczone przez N-jądro w porównaniu z wartością Schapley`a potrafią być niezbyt przyjazne dla niektórych decydentów. Pomimo tego, że rozwiązanie Schmeidlera stanowi tzw. dobre rozwiązanie 3- osobowych gier kooperacyjnych, spełniając odpowiednie postulaty, istnieją również takie gry, dla których N-jądro nie zmienia się oraz przyjmuje stałą wartość. Wadę tę podkreśla również fakt, że w w/w zbiorze istnieje wiele gier, które pomimo jednakowego rozwiązania pod postacią N-jądra różnią się zdolnością kooperacyjną poszczególnych decydentów, a także kształtem i wielkością C-jądra. Metoda Schmeidlera natomiast ich nie rozróżnia, przypisując graczom jednakową wypłatę, co może prowadzić do niestabilności w grze, gdyż nie wszyscy uczestnicy zaakceptują wypłatę w takiej wysokości. Mankamentu tego nie posiadają natomiast rozwiązania kompromisowe, ktore znacznie różnicują pozycje poszczególnych decydentów w zależności od ich negocjacyjnej siły w grze. Uwarunkowane to jest wyborem normy oraz parametru p i to jest właśnie zaleta tej koncepcji. W tym przypadku, gry pomimo jednakowego N-jądra znacznie różnią się specyfiką kooperacyjną, co może mieć istotny wpływ na stabilność w danej sytuacji. Można zatem zaryzykować stwierdzenie, że rozwiązanie kompromisowe jest propozycją lepszą dla uczestników konfliktu niż rozwiązanie nucleolusa, pomimo tego, że oba przypadki spełniają postulaty dobrego rozwiązania. 14

15 PODSUMOWANIE Celem referatu była analiza metod rozwiązywania sytuacji konfliktowych z możliwością kooperacji. Nadrzędny cel analizy stanowiła natomiast praktyczna przydatność różnych koncepcji rozwiązania. Praktyczna przydatność jest rozumiana tutaj, jako stopień spełnienia trzech postulatów dobrego rozwiązania, a mianowicie: postulatu istnienia, jednoznaczności i stabilności rozwiązań sytuacji konfliktowych. Stąd główny nacisk analizy porównawczej położony na analizę rozwiązań kompromisowych i tzw. N-jądra gry. Ze względu na to, że koncepcja rozwiązania kompromisowego i N-jądra są podobne, dlatego dodatkowym celem była potrzeba porównania ich zalet oraz wad. Z uwagi na fakt złożoności procesów obliczeniowych, rozważania ograniczono do przypadku gier 3-osobowych. W ramach realizacji powyższego celu dokonano charakterystyki różnych podejść matematycznych, służących do uzyskania rozwiązania kompromisowego, a także wspomniano o przykładowych algorytmach, służących do wyliczenia N-jądra. Zaznaczono, że rozwiązanie kompromisowe, jako przykład zadania optymalizacji wielokryterialnej może przybierać różne formy z uwagi na fakt narzuconego kryterium oraz rodzaj relacji, wykorzystanej w uzyskaniu ostatecznego rozwiązania. W pracy zwrócono również uwagę na istotę samego kompromisu, który może dotyczyć wyboru punktu idealnego lub wyznaczającego oraz normy. Kolejnym zagadnieniem, któremu poświęcono uwagę, to problem obliczania N-jądra gry, które również spełnia postulaty dobrego rozwiązania. Z uwagi na fakt zawiłości przy uzyskaniu wyniku tego typu, zaproponowano metodę z wykorzystaniem pakietu GAMS, który wspomaga rozwiazywanie trudnych zagadnień z zakresu programowania liniowego. Kolejnym algorytmem wartym uwagi, o którym wspomniano w referacie, to propozycja dwóch matematyków: M. Leng`a oraz M. Parlar`a, którzy przedstawili analityczną zamkniętą formę wzoru do wyznaczenia nucleolusa dla gier 3-osobowych. Istotą tej koncepcji jest oddzielna analiza gier z pustym C-jądrem oraz z C-jądrem niepustym. Zaznaczono, że metoda M. Parlara oraz M. Lenga jest o wiele prostsza w zastosowaniu niż propozycja Schmeidlera. 15

16 Zatem rozważania i analizy w niniejszej pracy dowiodły tego, że metoda rozwiązań kompromisowych daje bardziej efektywne rezultaty w rozwiązywaniu problemów konfliktowych z możliwością kooperacji niż rozwiązanie Schmeidlera, gdyż nie posiada tylu wad, co ta pierwsza. Jest ona bardziej elastyczną formą budowania problemu polioptymalizacji, która opiera się na zasadach kompromisu pomiędzy uczestnikami gry. 16

17 BIBLIOGRAFIA 1. Ameljańczyk A. Elementy optymalizacji wielokryterialnej, wybrane metody rozwiązania, WAT, Warszawa 1981; 2. Ameljańczyk A. Optymalizacja wielokryterialna, WAT, Warszawa 1986; 3. Ameljańczyk A. Teoria gier, Warszawa 1978; 4. Ameljańczyk A. Teoria Gier i Optymalizacja Wektorowa, WAT, Warszawa 1980; 5. Ameljańczyk A. Rozwiązania kompromisowe wieloosobowych gier kooperacyjnych i ich własności, WAT, Warszawa 2011; 6. Ameljańczyk A. Uproszczona metoda wyznaczania gier równoważnych i ich rozwiązań, WAT, Warszawa 2011; 7. Ameljańczyk A. Wykłady z Teorii gier, WAT, Warszawa 2010; 8. Filist L. Malina A. Solecka A. Słownik Matematyczny, EUROPA, Wrocław Leng M. Parlar M. Analytic Solution for the Nucleolus of a Three-Player Cooperative Game, Final.pdf; 10. Malawski M. Wieczorek A. Sosnowska H. Konkurencja i Kooperacja, Teoria Gier w Ekonomii i Naukach Społecznych, PWN, Warszawa 2006; 11. Owen G. Teoria Gier, PWN, Warszawa 1975; 12. Straffin P. D. Teoria Gier, SCHOLAR, Warszawa