17 Naturalne jednostki w fizyce atomowej

Transkrypt

1 7 Naturalne jednostki w fizyce atomowej W systemie CGS wszystkie wielkości fizyczne wyrażane są jako potęgi trzech fundamentalnych jednostek:. długości (l) cm,. masy (m) g, 3. czasu (t) s. Wymiary innych wielkości, z którymi mamy do czynienia w mechanice wyprowadza się z równań. Przykładowo z równań wynika p mv, E mv, F dp dt, df x da η v x y [pęd] m l t, [energia] m l t, [siła] m l t, [lepkość] m l t l ( l t l ) m l t. (7.) Inne jednostki: funt, cal, ar są pochodnymi tych podstawowych. W elektrodynamice pojawia się ładunek. Nowa jakość wymaga nowej jednostki, np. Coulomb czy Faraday. Dziś wiemy, że ładunek odpowiada pewnej liczbie elektronów, np: C 6, elektronów. (7.) Niezależna jednostka nie jest potrzebna, można użyć jednostek podstawowych, korzystając z prawa Coulomba (nie da się tego jednak zrobić dla grawitacji): skąd dostajemy F e e r [ładunek] [siła] / l m / l 3/ t. (7.3) Zatem podstawowa jednostka ładunku w systemie CGS to [ładunek] g/ cm 3/. s Jest tak, bo napisaliśmy prawo Coulomba bez stałej proporcjonalności. Gdy e e i r cm, wtedy siła F dyna. Taki ładunek nazywamy skrótowo esu lub stat Coulomb. Wynosi on około, elektrona. 88

2 W układzie MKS (SI) jest inaczej. Nowe jednostki ad hoc wprowadza się dowolnie dodając stałe proporcjonalności do wzorów. W MKS Coulomb jest w gruncie rzeczy równoważny pewnej liczbie elektronów (ilu). Definicja: jest to ładunek przenoszony przez prąd o natężeniu jednego ampera w czasie sekundy. Prawo Coulomba F 4πε 0 Q Q r. (7.4) Argument, który pozwala w CGS zdefiniować ładunek, można rozciągnąć na wszystkie wielkości elektrodynamiczne: F e E + e v B (7.5) ale też F e E + e c v B (7.6) wersja jednostek Gaussa. Stąd pole magnetyczne [pole magnetyczne] [siła] [ładunek] [siła] [siła] / l m/ l / t. (7.7) Kiedy jednak opuszczamy świat ludzkich rozmiarów, układ CGS przestaje być naturalny. Świadczą o tym duże potęgi /0 w stałych h czy c wyrażonych w CGS. h h π, (63) 0 7 g cm s, c, cm s, E ev, (49) 0 g cm s. System jednostek, w którym każda wielkość może być wyrażona przez h, c jest powszechnie używany w fizyce atomowej, jądrowej, astrofizyce, fizyce wysokich energii. Jest to Naturalny Układ Jednostek. m, l oraz t są niezależne, można jednak użyć innych niezależnych jednostek: [działanie] m l t, [prędkość] l t, [energia] m l t. (7.8) Każda wielkość D w CGS może być przeliczona na te jednostki gdzie [D] m a l b t c E α h β c γ m α+β l (α+β)+γ t α β γ, (7.9) α a b c, β b + c, γ b a. (7.0) 89

3 W tych jednostkach mamy [masa] ev c, [czas] ev h, [długość] ev h c, [pęd] ev c, [siła] ev h c, [ciśnienie] ev 4 h 3 c 3, [ładunek ] h c, [pole magnetyczne] ev h 3/ c 3/. Powody, dla których ten układ jednostek jest dobry: Prostota. Można opuścić h i c. To można było zrobić w CGS, elminując np. cm i sekundę wyrażając wszystkie wielkości w gramach. Nie robi się tego, bo nie ma po temu żadnej fundamentalnej przyczyny i dlatego, bo lubimy różne jednostki dla różnych wielkości. W przypadku jednostek naturalnych h i c są wyróżnione i stanowią naturalne jednostki działania i prędkości dla zjawisk atomowych. Druga niedogodność jest zrównoważona przez wygodę. Czynniki konversji: ( MeV 0 6 ev, fm 0 3 cm). hc 97, 37053(59) MeV fm, h 6, 580(0) 0 MeV s, (7.) Naturalność. Stała Plancka i prędkość światła wyznaczają skalę zjawisk kwantowych. Przykłady. Energia odpowiadająca masie elektronu to 5 kev, więc w jednostkach naturalnych m e 5 kev. (7.) Jakiej odległości to odpowiada: l e h m e c hc m e c 97 5 MeV fm kev 385 fm 3, 85 0 cm. To jest długość fali Comptona elektronu. Jaki to czas? t e l e c, 8 0 s. (7.3) To jest czas, jaki potrzba, żeby światło przeleciało długość fali Comptona elektronu. 90

4 Jaka to częstość? ν e t e 7, Hz (7.4) co stanowi częstość każdego z dwóch fotonów (promieni światła) wyemitowanych w wyniku anihilacj elektron-pozyton. Morał: wszystkie interesujące skale kwantowe i relatywistyczne związane z elektronem są naturalne w Naturalnym Układzie Jednostek.. Elektron o energii 0 ev rozprasza się na atomie pod kątem 0, radiana. Jaką odległość wgłąb atomu penetruje taki elektron? Najpierw policzmy jego pęd p me ( 5 kev 0 ev) / 3, kev. (7.5) Dla małych przekazów pędu w przybliżeniu p θp 0, 64 kev.użyjemy teraz zasady nieoznaczoności (bez /, bo chodzi o rząd wielkości) x h p (0, 64 kev) 97 MeV fm 0, 64 kev 3, 0 3 cm 3, A, czyli 4 rzędy wielkości mniej niż promień atomu Bohra. 3. Zgodnie z (7.3) kwadrat ładunku elektronu ma ten sam wymiar co hc: [e ] m l3 t [ h c]. Ile wynosi e / hc, która to kombinacja jest bezwymiarową miarą siły oddziaływań elektromagnetycznych? Z doświadczenia e, [cm 3 g/s ], hc 3, [cm 3 g/s ], stąd α ELM e hc Dokładna wartość (37, (6))., 30 3, 6 0, (7.6) 4. W klasycznej elektrodynamice siła może być dowolnie duża poprzez kumulację ładunku w jednym miejscu. W fizyce atomowej są ograniczenia: p < mc aby nie powstawały pary elektron-pozyton, więc x > h/mc (długość fali Comptona). Ponieważ nie możemy zlokalizować elektronu, więc energia oddziaływania dwóch elektronów jest rzędu (lub mniej) V e h/mc. Naturalną skalą energii dla tego problemu jest energia równoważna masie spoczynkowej elektronu mc : V mc e hc α ELM. (7.7) Zatem oddziaływania elektronów są słabe. 9

5 5. Wróćmy do skal atomowych. Długość fali Comptona elektronu wynosi λ h/mc. Ponieważ mamy do dyspozycji α ELM, które jest bezwymiarowe, możemy budować różne skale wielkości posiadające różne potęgi e. Np.: r e λα ELM e mc, (7.8) gdzie h się uprościło. Jest to więc wielkość klasyczna, często nazywana klasycznym promieniem elektronu. Precyzyjniej, jest to skala klasycznego rozkładu ładunku, którego energia potencjalna jest rzędu masy elektronu. Nie odgrywa ona roli w mechanice kwantowej. Bardziej interesująca jest wielkość a 0 λ α ELM h me, (7.9) czyli promień Bohra. Zwróćmy uwagę, że a 0 jest jedyną wilkością o wymiarze długości, która zawiera h, m oraz e, bez c. A zatem jest to jedyna skala długości, która charakteryzuje nierelatywistyczne efekty kwantowe w atomie. Analogicznie jedyna nierelatywistyczna skala energii (bez c) daje się zapisać jako E 0 e me4 a 0 h (7.0) co rzeczywiście odpowiada energii stanu podstawowego z dokładnością do E E 0 /. 6. Inny przykład analizy wymiarowej: poniewż α ELM jest bezwymiarowa, e / h ma wymiar prędkości. Zatem predkość elektronu w atomie wodoru v c α Ruch w polu magnetycznym 8. Poziomy Landaua Dotychczas omówiliśmy dość szczegółowo oddziaływanie cząstki naładowanej z zewnętrznym polem elektrycznym (atom wodoru). Aby opisać także ruch w polu magnetycznym, musimy skwantować odpowiedni hamiltonian klasyczny H ( p q A( r, m c t)) + qv ( r, t), (8.) gdzie q jest ładunkiem cząstki, zaś c prędkością światła. Przypomnijmy, że pola elektryczne i magnetyczne wyrażają się przez potencjały w następujący sposób: E c A t V, B A. (8.) 9

6 O ile część elektryczna nie przedstawia problemów, to część zawierająca potencjał wektorowy A nie daje się prosto skwantować, gdyż potencjał A jest funkcją r, a r nie komutuje z operatorem pędu. Jako przykład rozpatrzmy ruch elektronu w stałym polu magnetycznym B (0, 0, B). Wygodnie przyjąć potencjał wektorowy w postaci: Stąd Ĥ A B y 0 0 [ ( p q A c ) (ˆp x + qb ˆp x + ˆp z + ˆp y + m e Tu separację zmiennych przeprowadzamy zakładając. (8.3) ) c y + ˆp y + ˆp z ( qb m e c ] ) y + qb m e c yˆp x. (8.4) ψ(x, y, z) f(y)e ip xx/ h e ip zz/ h. (8.5) Podstawiając funkcję (8.5) do równania Schrödingera możemy zastąpić operatory ˆp z i ˆp x przez wartości własne. Oznaczając otrzymujemy Ĥ ω qb m e c p z + ˆp y + m e ω y + ωyp x + p x p z + ˆp y + m e ω ω (8.6) ( y + p x m e ω y + m e ω p x ). (8.7) Zmieniając zmienne otrzymujemy η y + p x m e ω (8.8) Ĥ p z + ˆp η + m e ω η. (8.9) Jest to hamiltonian oscylatora o częstości ω (plus ruch swobodny w kierunku z): ( E N,pz h ω N + ) + p z hω (N + ) + p z. (8.30) 93

7 Zwróćmy uwagę, że poziomy te są nieskończenie razy zdegenerowane ze względu na p x. Inna metoda znalezienia energii poziomów Landaua opiera się na uzyciu innego cechowania: A y B x. (8.3) 0 Wówczas Definiując nowe operatory mamy Zbadajmy komutator [ Ĥ (ˆp x + qb ) ( c y + ˆp y qb ) ] c x + ˆp z [(ˆpx h ω + m e ωy ) (ˆpx + m e ωx ) ] + ˆp z. (8.3) m e h ω m e h ω ˆπ x ˆp x + m e ωy, ˆπ y ˆp y m e ωx, (8.33) me h ω me h ω [ˆπ x, ˆπ y ] m e h ω Ĥ h ω [ˆπ x + ˆπ y ] + ˆp z. (8.34) { m e ω [ˆp x, x] + } m e ω [y, ˆp y ] i. (8.35) Widzimy zatem, że relacja komutacji [ˆπ x, ˆπ y ] przypomina (z dokładnością do h) relację komutacji między położeniem a pędem. Skonstruujmy nowe operatory â (ˆπ x + iˆπ y ), â (ˆπ x iˆπ y ), (8.36) których relacja komutacji jest w rzeczywistości relacją komutacji operatorów kreacji i anihilacji: [â, â ] i { [ˆπ x, ˆπ y ] + [ˆπ y, ˆπ x ]}. (8.37) Z kolei czyli Zatem â â (ˆπ x + ˆπ y + i [ˆπ x, ˆπ y ] ) (ˆπ x + ˆπ y ), (8.38) (ˆπ x + ˆπ y) â â +. (8.39) [ Ĥ h ω â â + ] + ˆp z. (8.40) 94

8 Dostajemy stąd, że energia poziomów Landaua E h ω (n + ) + p z (8.4) w zgodzie z (8.30). Zgodnie z naszymi poprzednimi rozważaniami, poziomy Landaua są nieskończenie zdegenerowane. Aby się przekonać, że w cechowaniu (8.3) mamy także do czynienia z nieskończoną degeneracją, zapiszmy operator anihilacji â w reprezentacji położeń: â { me h ω me h ω ˆp x + ( m e ωy + i ) { i h ( x + i y W reprezentacji położeń stan podstawowy spełnia równanie ˆp y )} m e ωx i } m e ω (x + iy). (8.4) â r 0 0, (8.43) co jest równoważne równaniu różniczkowemu {( x + i ) + m } e ω (x + iy) r 0 0. (8.44) y h Wielkość h/m e ω ma wymiar kwadratu długości i ma sens kwadratu promienia klasycznej orbity elektronu w ruchu w polu magnetycznym B. Oznaczmy: Wprowadźmy nowe zmienne r B h m e ω. (8.45) u x + iy, v x iy. Wówczas u ( x i ), y ( v x + i ) y (8.46) i równanie (??) przyjmuje postać ( v + ) u r 0 0. (8.47) 4rB Rozwiącanie tego równania jest bardzo proste r 0 f(u)e uv 4r B, (8.48) 95

9 gdzie f(u) jest dowolną funkcją spełniającą warunek normalizacji. Zatem rzeczywiście stan podstawowy jest nieskończnie zdegenerowany. Łatwo pokazać, że stany wzbudzone, które otrzymujemy działając na stan podstawowy operatorem â i r ( B u ) v (8.49) 4rB nie znosi tej degeneracji. 96