Logika matematyczna (16) (JiNoI I)
|
|
|
- Sabina Marszałek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
2 Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
3 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
4 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
5 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
6 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Katarzyna Paprzycka Samouczek logiki zda«i logiki kwantykatorów; tematy 1522, pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
7 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Katarzyna Paprzycka Samouczek logiki zda«i logiki kwantykatorów; tematy 1522, pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
8 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Katarzyna Paprzycka Samouczek logiki zda«i logiki kwantykatorów; tematy 1522, pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski Logika matematyczna; pliki krp300.pdf, krp311.pdf, krp322.pdf, krp333.pdf, krp344.pdf, krp355.pdf (plik krp366.pdf jest w opracowaniu), dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
9 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Katarzyna Paprzycka Samouczek logiki zda«i logiki kwantykatorów; tematy 1522, pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski Logika matematyczna; pliki krp300.pdf, krp311.pdf, krp322.pdf, krp333.pdf, krp344.pdf, krp355.pdf (plik krp366.pdf jest w opracowaniu), dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
10 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Katarzyna Paprzycka Samouczek logiki zda«i logiki kwantykatorów; tematy 1522, pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski Logika matematyczna; pliki krp300.pdf, krp311.pdf, krp322.pdf, krp333.pdf, krp344.pdf, krp355.pdf (plik krp366.pdf jest w opracowaniu), dost pne na stronie: Andrzej Wi±niewski Logika II; pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
11 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Katarzyna Paprzycka Samouczek logiki zda«i logiki kwantykatorów; tematy 1522, pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski Logika matematyczna; pliki krp300.pdf, krp311.pdf, krp322.pdf, krp333.pdf, krp344.pdf, krp355.pdf (plik krp366.pdf jest w opracowaniu), dost pne na stronie: Andrzej Wi±niewski Logika II; pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
12 Wprowadzenie W semestrze letnim roku akademickiego zajmowa si b dziemy Klasycznym Rachunkiem Predykatów. Zalecane zadania do rozwi zania: zadania ze zbioru wiczenia z logiki Pani Profesor Barbary Stanosz. Zalecane materiaªy dydaktyczne online: Katarzyna Paprzycka Samouczek logiki zda«i logiki kwantykatorów; tematy 1522, pliki dost pne na stronie: Jerzy Pogonowski Logika matematyczna; pliki krp300.pdf, krp311.pdf, krp322.pdf, krp333.pdf, krp344.pdf, krp355.pdf (plik krp366.pdf jest w opracowaniu), dost pne na stronie: Andrzej Wi±niewski Logika II; pliki dost pne na stronie: Nie ma zakazu korzystania z innych ¹ródeª. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
13 Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
14 Wprowadzenie Uwaga. Na ka»dych zaj ciach semestru letniego poszczególni studenci i studentki b d przedstawia zadane tematy. Maksymalny czas wyst pienia: 45 minut. Pierwsze propozycje tematów zostan podane 15 i 16 lutego 2006 roku. Wtedy te» omówione zostan zasady prezentacji. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
15 Wprowadzenie Uwaga. Na ka»dych zaj ciach semestru letniego poszczególni studenci i studentki b d przedstawia zadane tematy. Maksymalny czas wyst pienia: 45 minut. Pierwsze propozycje tematów zostan podane 15 i 16 lutego 2006 roku. Wtedy te» omówione zostan zasady prezentacji. W poprzednim semestrze otrzymali±cie handout dotycz cy semantyki Klasycznego Rachunku Zda«. Dzisiejsza prezentacja jest jego odpowiednikiem dla semantyki Klasycznego Rachunku Predykatów (tekst pochodzi z pliku krp300.pdf). Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
16 Wprowadzenie Uwaga. Na ka»dych zaj ciach semestru letniego poszczególni studenci i studentki b d przedstawia zadane tematy. Maksymalny czas wyst pienia: 45 minut. Pierwsze propozycje tematów zostan podane 15 i 16 lutego 2006 roku. Wtedy te» omówione zostan zasady prezentacji. W poprzednim semestrze otrzymali±cie handout dotycz cy semantyki Klasycznego Rachunku Zda«. Dzisiejsza prezentacja jest jego odpowiednikiem dla semantyki Klasycznego Rachunku Predykatów (tekst pochodzi z pliku krp300.pdf). Pó¹niej otrzymacie te» podobne materiaªy dotycz ce dedukcyjnych aspektów KRP. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
17 Wprowadzenie Uwaga. Na ka»dych zaj ciach semestru letniego poszczególni studenci i studentki b d przedstawia zadane tematy. Maksymalny czas wyst pienia: 45 minut. Pierwsze propozycje tematów zostan podane 15 i 16 lutego 2006 roku. Wtedy te» omówione zostan zasady prezentacji. W poprzednim semestrze otrzymali±cie handout dotycz cy semantyki Klasycznego Rachunku Zda«. Dzisiejsza prezentacja jest jego odpowiednikiem dla semantyki Klasycznego Rachunku Predykatów (tekst pochodzi z pliku krp300.pdf). Pó¹niej otrzymacie te» podobne materiaªy dotycz ce dedukcyjnych aspektów KRP. A na koniec, przed egzaminem, postaram si przygotowa prezentacj zbiorcz, obejmuj c to, co na egzaminie b dzie wymagane. Przypominam,»e przed egzaminem planuj odrobienie zaj, które si nie odbyªy z powodu mojego udziaªu w konferencjach, obronach doktoratów i habilitacji, itp. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
18 Skªadnia j zyka KRP Skªadnia j zyka KRP Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
19 Skªadnia j zyka KRP Skªadnia j zyka KRP Niech I, J, K b d dowolnymi zbiorami. Rozpatrzmy alfabet Σ = Σ 1 Σ 2 Σ 3 Σ 4 Σ 5 Σ 6, gdzie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
20 Skªadnia j zyka KRP Skªadnia j zyka KRP Niech I, J, K b d dowolnymi zbiorami. Rozpatrzmy alfabet Σ = Σ 1 Σ 2 Σ 3 Σ 4 Σ 5 Σ 6, gdzie: Σ 1 = {x 0, x 1, x 2,...} zmienne indywiduowe, Σ 2 = {P n i } i i I (n i N ) predykaty, Σ 3 = {f n j } j j J (n j N ) symbole funkcyjne, Σ 4 = {a k } k K staªe indywiduowe, Σ 5 = {,,,,,, } staªe logiczne, Σ 6 = {,, (, )} symbole pomocnicze. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
21 Skªadnia j zyka KRP Skªadnia j zyka KRP Niech I, J, K b d dowolnymi zbiorami. Rozpatrzmy alfabet Σ = Σ 1 Σ 2 Σ 3 Σ 4 Σ 5 Σ 6, gdzie: Σ 1 = {x 0, x 1, x 2,...} zmienne indywiduowe, Σ 2 = {P n i } i i I (n i N ) predykaty, Σ 3 = {f n j } j j J (n j N ) symbole funkcyjne, Σ 4 = {a k } k K staªe indywiduowe, Σ 5 = {,,,,,, } staªe logiczne, Σ 6 = {,, (, )} symbole pomocnicze. P n i nazywamy n i i -argumentowym predykatem, f n j nazywamy j n j -argumentowym symbolem funkcyjnym, symbol nazywamy kwantykatorem generalnym, a symbol kwantykatorem egzystencjalnym. Symbole: (koniunkcja), (alternatywa), (implikacja), (negacja) i (równowa»no± ) znane s z wykªadu semestru zimowego. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
22 Skªadnia j zyka KRP Skªadnia j zyka KRP Niech I, J, K b d dowolnymi zbiorami. Rozpatrzmy alfabet Σ = Σ 1 Σ 2 Σ 3 Σ 4 Σ 5 Σ 6, gdzie: Σ 1 = {x 0, x 1, x 2,...} zmienne indywiduowe, Σ 2 = {P n i } i i I (n i N ) predykaty, Σ 3 = {f n j } j j J (n j N ) symbole funkcyjne, Σ 4 = {a k } k K staªe indywiduowe, Σ 5 = {,,,,,, } staªe logiczne, Σ 6 = {,, (, )} symbole pomocnicze. P n i nazywamy n i i -argumentowym predykatem, f n j nazywamy j n j -argumentowym symbolem funkcyjnym, symbol nazywamy kwantykatorem generalnym, a symbol kwantykatorem egzystencjalnym. Symbole: (koniunkcja), (alternatywa), (implikacja), (negacja) i (równowa»no± ) znane s z wykªadu semestru zimowego. Zbiór σ = Σ 2 Σ 3 Σ 4 nazwiemy sygnatur. W dalszym ci gu mówi b dziemy o pewnej ustalonej sygnaturze σ. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
23 Skªadnia j zyka KRP Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
24 Skªadnia j zyka KRP Wyra»eniem j zyka KRP nazywamy ka»dy sko«czony ci g symboli alfabetu tego j zyka. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
25 Skªadnia j zyka KRP Wyra»eniem j zyka KRP nazywamy ka»dy sko«czony ci g symboli alfabetu tego j zyka. Denicja termu j zyka KRP jest indukcyjna: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
26 Skªadnia j zyka KRP Wyra»eniem j zyka KRP nazywamy ka»dy sko«czony ci g symboli alfabetu tego j zyka. Denicja termu j zyka KRP jest indukcyjna: (i) wszystkie zmienne indywiduowe x n oraz wszystkie staªe indywiduowe a k s termami; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
27 Skªadnia j zyka KRP Wyra»eniem j zyka KRP nazywamy ka»dy sko«czony ci g symboli alfabetu tego j zyka. Denicja termu j zyka KRP jest indukcyjna: (i) wszystkie zmienne indywiduowe x n oraz wszystkie staªe indywiduowe a k s termami; (ii) je±li t 1,..., t n j s dowolnymi termami, to wyra»enie f n j (t j 1,..., t n j ) jest termem; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
28 Skªadnia j zyka KRP Wyra»eniem j zyka KRP nazywamy ka»dy sko«czony ci g symboli alfabetu tego j zyka. Denicja termu j zyka KRP jest indukcyjna: (i) wszystkie zmienne indywiduowe x n oraz wszystkie staªe indywiduowe a k s termami; (ii) je±li t 1,..., t n j s dowolnymi termami, to wyra»enie f n j (t j 1,..., t n j ) jest termem; (iii) nie ma innych termów (j zyka KRP) prócz zmiennych indywiduowych oraz staªych indywiduowych oraz tych termów, które mo»na skonstruowa wedle reguªy (ii). Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
29 Skªadnia j zyka KRP Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
30 Skªadnia j zyka KRP Formuª atomow j zyka KRP nazywamy ka»de wyra»enie postaci P n i (t i 1,..., t n i ), gdzie t 1,..., t n i s dowolnymi termami. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
31 Skªadnia j zyka KRP Formuª atomow j zyka KRP nazywamy ka»de wyra»enie postaci P n i (t i 1,..., t n i ), gdzie t 1,..., t n i s dowolnymi termami. Denicja formuªy j zyka KRP jest indukcyjna: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
32 Skªadnia j zyka KRP Formuª atomow j zyka KRP nazywamy ka»de wyra»enie postaci P n i (t i 1,..., t n i ), gdzie t 1,..., t n i s dowolnymi termami. Denicja formuªy j zyka KRP jest indukcyjna: (i) ka»da formuªa atomowa jest formuª ; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
33 Skªadnia j zyka KRP Formuª atomow j zyka KRP nazywamy ka»de wyra»enie postaci P n i (t i 1,..., t n i ), gdzie t 1,..., t n i s dowolnymi termami. Denicja formuªy j zyka KRP jest indukcyjna: (i) ka»da formuªa atomowa jest formuª ; (ii) je±li A jest dowoln formuª, to wyra»enia (A), x n (A), x n (A) s formuªami; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
34 Skªadnia j zyka KRP Formuª atomow j zyka KRP nazywamy ka»de wyra»enie postaci P n i (t i 1,..., t n i ), gdzie t 1,..., t n i s dowolnymi termami. Denicja formuªy j zyka KRP jest indukcyjna: (i) ka»da formuªa atomowa jest formuª ; (ii) je±li A jest dowoln formuª, to wyra»enia (A), x n (A), x n (A) s formuªami; (iii) je±li A i B s dowolnymi formuªami, to wyra»enia (A) (B), (A) (B), (A) (B), (A) (B) s formuªami; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
35 Skªadnia j zyka KRP Formuª atomow j zyka KRP nazywamy ka»de wyra»enie postaci P n i (t i 1,..., t n i ), gdzie t 1,..., t n i s dowolnymi termami. Denicja formuªy j zyka KRP jest indukcyjna: (i) ka»da formuªa atomowa jest formuª ; (ii) je±li A jest dowoln formuª, to wyra»enia (A), x n (A), x n (A) s formuªami; (iii) je±li A i B s dowolnymi formuªami, to wyra»enia (A) (B), (A) (B), (A) (B), (A) (B) s formuªami; (iv) nie ma innych formuª (j zyka KRP) prócz tych, które mo»na utworzy wedle reguª (i)(iii). Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
36 Skªadnia j zyka KRP Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
37 Skªadnia j zyka KRP Wyra»enie A w dowolnej formule o postaci x n (A) lub o postaci x n (A) nazywamy zasi giem odpowiedniego kwantykatora. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
38 Skªadnia j zyka KRP Wyra»enie A w dowolnej formule o postaci x n (A) lub o postaci x n (A) nazywamy zasi giem odpowiedniego kwantykatora. Zmienna x n wyst puj ca na danym miejscu w formule A jest na tym miejscu zwi zana, je»eli jest ona podpisana pod którym± z kwantykatorów lub te» znajduje si w zasi gu jakiego± kwantykatora, pod którym podpisana jest równie» zmienna x n. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
39 Skªadnia j zyka KRP Wyra»enie A w dowolnej formule o postaci x n (A) lub o postaci x n (A) nazywamy zasi giem odpowiedniego kwantykatora. Zmienna x n wyst puj ca na danym miejscu w formule A jest na tym miejscu zwi zana, je»eli jest ona podpisana pod którym± z kwantykatorów lub te» znajduje si w zasi gu jakiego± kwantykatora, pod którym podpisana jest równie» zmienna x n. Je»eli zmienna x n, wyst puj ca na danym miejscu w formule A, nie jest na tym miejscu zwi zana, to mówimy,»e jest ona na tym miejscu wolna w A. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
40 Skªadnia j zyka KRP Wyra»enie A w dowolnej formule o postaci x n (A) lub o postaci x n (A) nazywamy zasi giem odpowiedniego kwantykatora. Zmienna x n wyst puj ca na danym miejscu w formule A jest na tym miejscu zwi zana, je»eli jest ona podpisana pod którym± z kwantykatorów lub te» znajduje si w zasi gu jakiego± kwantykatora, pod którym podpisana jest równie» zmienna x n. Je»eli zmienna x n, wyst puj ca na danym miejscu w formule A, nie jest na tym miejscu zwi zana, to mówimy,»e jest ona na tym miejscu wolna w A. Mówimy,»e x n jest zmienn woln w A wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej na jednym miejscu zmienna ta jest wolna w A. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
41 Skªadnia j zyka KRP Wyra»enie A w dowolnej formule o postaci x n (A) lub o postaci x n (A) nazywamy zasi giem odpowiedniego kwantykatora. Zmienna x n wyst puj ca na danym miejscu w formule A jest na tym miejscu zwi zana, je»eli jest ona podpisana pod którym± z kwantykatorów lub te» znajduje si w zasi gu jakiego± kwantykatora, pod którym podpisana jest równie» zmienna x n. Je»eli zmienna x n, wyst puj ca na danym miejscu w formule A, nie jest na tym miejscu zwi zana, to mówimy,»e jest ona na tym miejscu wolna w A. Mówimy,»e x n jest zmienn woln w A wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej na jednym miejscu zmienna ta jest wolna w A. Formuªy nie zawieraj ce»adnych zmiennych wolnych nazywamy zdaniami (j zyka KRP). Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
42 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
43 Nazwiemy interpretacj j zyka o sygnaturze σ dowolny ukªad M, σ,, gdzie M jest zbiorem, a funkcj (funkcj denotacji) o dziedzinie σ, która przyporz dkowuje: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
44 Nazwiemy interpretacj j zyka o sygnaturze σ dowolny ukªad M, σ,, gdzie M jest zbiorem, a funkcj (funkcj denotacji) o dziedzinie σ, która przyporz dkowuje: ka»dej staªej indywiduowej a k element (a k ) M; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
45 Nazwiemy interpretacj j zyka o sygnaturze σ dowolny ukªad M, σ,, gdzie M jest zbiorem, a funkcj (funkcj denotacji) o dziedzinie σ, która przyporz dkowuje: ka»dej staªej indywiduowej a k element (a k ) M; ka»demu predykatowi P n i relacj n i i -argumentow (P n i ) M n i ; i Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
46 Nazwiemy interpretacj j zyka o sygnaturze σ dowolny ukªad M, σ,, gdzie M jest zbiorem, a funkcj (funkcj denotacji) o dziedzinie σ, która przyporz dkowuje: ka»dej staªej indywiduowej a k element (a k ) M; ka»demu predykatowi P n i relacj n i i -argumentow (P n i ) M n i ; i ka»demu symbolowi funkcyjnemu f n j funkcj n j j -argumentow (f n j ) : M n j M. j Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
47 Nazwiemy interpretacj j zyka o sygnaturze σ dowolny ukªad M, σ,, gdzie M jest zbiorem, a funkcj (funkcj denotacji) o dziedzinie σ, która przyporz dkowuje: ka»dej staªej indywiduowej a k element (a k ) M; ka»demu predykatowi P n i relacj n i i -argumentow (P n i ) M n i ; i ka»demu symbolowi funkcyjnemu f n j funkcj n j j -argumentow (f n j ) : M n j M. j Wtedy strukturami relacyjnymi sygnatury σ s dowolne ukªady M, [σ], gdzie jest funkcj denotacji, a [σ] oznacza ci g (indeksowany elementami zbioru I J K) wszystkich warto±ci funkcji σ. Je±li M = M, [σ] jest struktur relacyjn, to M nazywamy uniwersum M. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
48 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
49 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
50 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
51 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... jest warto±ciowaniem w M oraz m M, to przez w i m oznaczamy warto±ciowanie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
52 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... jest warto±ciowaniem w M oraz m M, to przez w i m oznaczamy warto±ciowanie w 0, w 1,..., w i 1, m, w i+1,.... Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
53 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... jest warto±ciowaniem w M oraz m M, to przez w i m oznaczamy warto±ciowanie w 0, w 1,..., w i 1, m, w i+1,.... Je±li t jest termem sygnatury σ, M, [σ] struktur relacyjn sygnatury σ oraz w = w i jest warto±ciowaniem zmiennych w M, to warto± termu t w strukturze M, [σ] przy warto±ciowaniu w, oznaczana przez w (t) okre±lona jest indukcyjnie: Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
54 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... jest warto±ciowaniem w M oraz m M, to przez w i m oznaczamy warto±ciowanie w 0, w 1,..., w i 1, m, w i+1,.... Je±li t jest termem sygnatury σ, M, [σ] struktur relacyjn sygnatury σ oraz w = w i jest warto±ciowaniem zmiennych w M, to warto± termu t w strukturze M, [σ] przy warto±ciowaniu w, oznaczana przez w (t) okre±lona jest indukcyjnie: gdy t jest zmienn x i, to w (t) = w i ; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
55 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... jest warto±ciowaniem w M oraz m M, to przez w i m oznaczamy warto±ciowanie w 0, w 1,..., w i 1, m, w i+1,.... Je±li t jest termem sygnatury σ, M, [σ] struktur relacyjn sygnatury σ oraz w = w i jest warto±ciowaniem zmiennych w M, to warto± termu t w strukturze M, [σ] przy warto±ciowaniu w, oznaczana przez w (t) okre±lona jest indukcyjnie: gdy t jest zmienn x i, to w (t) = w i ; gdy t jest staª a k, to w (t) = (a k ); Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
56 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... jest warto±ciowaniem w M oraz m M, to przez w i m oznaczamy warto±ciowanie w 0, w 1,..., w i 1, m, w i+1,.... Je±li t jest termem sygnatury σ, M, [σ] struktur relacyjn sygnatury σ oraz w = w i jest warto±ciowaniem zmiennych w M, to warto± termu t w strukturze M, [σ] przy warto±ciowaniu w, oznaczana przez w (t) okre±lona jest indukcyjnie: gdy t jest zmienn x i, to w (t) = w i ; gdy t jest staª a k, to w (t) = (a k ); gdy t jest termem zªo»onym postaci f n j (t j 1,..., t n j ), gdzie t 1,..., t n j s termami, to w (t) = (f n j )( j w (t 1 ),..., w (t n j )). Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
57 Warto±ciowaniem zmiennych w uniwersum M nazywamy dowolny niesko«czony przeliczalny ci g w = w n elementów zbioru M. Gdy w = w n = w 0, w 1,..., w i 1, w i, w i+1,... jest warto±ciowaniem w M oraz m M, to przez w i m oznaczamy warto±ciowanie w 0, w 1,..., w i 1, m, w i+1,.... Je±li t jest termem sygnatury σ, M, [σ] struktur relacyjn sygnatury σ oraz w = w i jest warto±ciowaniem zmiennych w M, to warto± termu t w strukturze M, [σ] przy warto±ciowaniu w, oznaczana przez w (t) okre±lona jest indukcyjnie: gdy t jest zmienn x i, to w (t) = w i ; gdy t jest staª a k, to w (t) = (a k ); gdy t jest termem zªo»onym postaci f n j (t j 1,..., t n j ), gdzie t 1,..., t n j s termami, to w (t) = (f n j )( j w (t 1 ),..., w (t n j )). Mo»na pokaza,»e warto± termu przy danym warto±ciowaniu zmiennych zale»y jedynie od warto±ci nadanych przy tym warto±ciowaniu zmiennym wyst puj cym w rozwa»anym termie. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
58 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
59 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
60 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : (a ) M = w P n i (t i 1,..., t n i ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi (P n i )( i w (t 1 ),..., w (t n i )); Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
61 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : (a ) M = w P n i i (P n i (t 1,..., t n i ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi i )( w (t 1 ),..., w (t n i )); (b ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A oraz M = w B; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
62 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : (a ) M = w P n i i (P n i (t 1,..., t n i ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi i )( w (t 1 ),..., w (t n i )); (b ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A oraz M = w B; (c ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A lub M = w B; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
63 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : (a ) M = w P n i i (P n i (t 1,..., t n i ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi i )( w (t 1 ),..., w (t n i )); (b ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A oraz M = w B; (c ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A lub M = w B; (d ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M = w A lub zachodzi M = w B; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
64 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : (a ) M = w P n i i (P n i (t 1,..., t n i ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi i )( w (t 1 ),..., w (t n i )); (b ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A oraz M = w B; (c ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A lub M = w B; (d ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M = w A lub zachodzi M = w B; (e ) M = w (A) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M = w A; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
65 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : (a ) M = w P n i i (P n i (t 1,..., t n i ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi i )( w (t 1 ),..., w (t n i )); (b ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A oraz M = w B; (c ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A lub M = w B; (d ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M = w A lub zachodzi M = w B; (e ) M = w (A) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M = w A; (f ) M = w x i (A) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w i m A dla ka»dego m M; Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
66 Niech M = M, [σ] b dzie struktur relacyjn sygnatury σ, w warto±ciowaniem w M, a A formuª sygnatury σ. Denicja relacji M = w A speªniania formuªy A w strukturze M przez warto±ciowanie w ma nast puj c posta indukcyjn : (a ) M = w P n i i (P n i (t 1,..., t n i ) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi i )( w (t 1 ),..., w (t n i )); (b ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A oraz M = w B; (c ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A lub M = w B; (d ) M = w (A) (B) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M = w A lub zachodzi M = w B; (e ) M = w (A) wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M = w A; (f ) M = w x i (A) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w i m A dla ka»dego m M; (g ) M = w x i (A) wtedy i tylko wtedy, gdy M = w i m A dla pewnego m M. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
67 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
68 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
69 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Je±li M = w A dla ka»dego warto±ciowania w, to mówimy,»e formuªa A jest prawdziwa w M i piszemy wtedy M = A. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
70 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Je±li M = w A dla ka»dego warto±ciowania w, to mówimy,»e formuªa A jest prawdziwa w M i piszemy wtedy M = A. Piszemy M =A, gdy nie zachodzi M = A. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
71 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Je±li M = w A dla ka»dego warto±ciowania w, to mówimy,»e formuªa A jest prawdziwa w M i piszemy wtedy M = A. Piszemy M =A, gdy nie zachodzi M = A. Šatwo pokaza,»e gdy A jest zdaniem (tj. formuª bez zmiennych wolnych), to A jest prawdziwa w M wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A dla co najmniej jednego warto±ciowania w. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
72 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Je±li M = w A dla ka»dego warto±ciowania w, to mówimy,»e formuªa A jest prawdziwa w M i piszemy wtedy M = A. Piszemy M =A, gdy nie zachodzi M = A. Šatwo pokaza,»e gdy A jest zdaniem (tj. formuª bez zmiennych wolnych), to A jest prawdziwa w M wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A dla co najmniej jednego warto±ciowania w. Mówimy,»e zdanie A jest faªszywe w M, gdy nie jest ono prawdziwe w M. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
73 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Je±li M = w A dla ka»dego warto±ciowania w, to mówimy,»e formuªa A jest prawdziwa w M i piszemy wtedy M = A. Piszemy M =A, gdy nie zachodzi M = A. Šatwo pokaza,»e gdy A jest zdaniem (tj. formuª bez zmiennych wolnych), to A jest prawdziwa w M wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A dla co najmniej jednego warto±ciowania w. Mówimy,»e zdanie A jest faªszywe w M, gdy nie jest ono prawdziwe w M. Tautologi (klasycznego rachunku predykatów sygnatury σ) nazywamy ka»d formuª (sygnatury σ), która jest prawdziwa we wszystkich strukturach relacyjnych (sygnatury σ). Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
74 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Je±li M = w A dla ka»dego warto±ciowania w, to mówimy,»e formuªa A jest prawdziwa w M i piszemy wtedy M = A. Piszemy M =A, gdy nie zachodzi M = A. Šatwo pokaza,»e gdy A jest zdaniem (tj. formuª bez zmiennych wolnych), to A jest prawdziwa w M wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A dla co najmniej jednego warto±ciowania w. Mówimy,»e zdanie A jest faªszywe w M, gdy nie jest ono prawdziwe w M. Tautologi (klasycznego rachunku predykatów sygnatury σ) nazywamy ka»d formuª (sygnatury σ), która jest prawdziwa we wszystkich strukturach relacyjnych (sygnatury σ). Je±li M = A dla wszystkich A ze zbioru Ψ, to mówimy,»e M jest modelem Ψ i piszemy M = Ψ. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
75 wiczenie. Podaj denicj dla przypadku M = w (A) (B). Je±li M = w A dla ka»dego warto±ciowania w, to mówimy,»e formuªa A jest prawdziwa w M i piszemy wtedy M = A. Piszemy M =A, gdy nie zachodzi M = A. Šatwo pokaza,»e gdy A jest zdaniem (tj. formuª bez zmiennych wolnych), to A jest prawdziwa w M wtedy i tylko wtedy, gdy M = w A dla co najmniej jednego warto±ciowania w. Mówimy,»e zdanie A jest faªszywe w M, gdy nie jest ono prawdziwe w M. Tautologi (klasycznego rachunku predykatów sygnatury σ) nazywamy ka»d formuª (sygnatury σ), która jest prawdziwa we wszystkich strukturach relacyjnych (sygnatury σ). Je±li M = A dla wszystkich A ze zbioru Ψ, to mówimy,»e M jest modelem Ψ i piszemy M = Ψ. Mówimy,»e A wynika logicznie z Ψ wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy model Ψ jest te» modelem {A}. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
76 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
77 Uwaga terminologiczna. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
78 Uwaga terminologiczna. W polskiej literaturze przedmiotu terminów struktura relacyjna, system relacyjny oraz struktura algebraiczna u»ywa si wymiennie. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
79 Uwaga terminologiczna. W polskiej literaturze przedmiotu terminów struktura relacyjna, system relacyjny oraz struktura algebraiczna u»ywa si wymiennie. Gdy sygnatura nie zawiera predykatów, to mówimy o algebrach, gdy za± sygnatura nie zawiera ani staªych ani symboli funkcyjnych, to mówimy o strukturach relacyjnych czystych. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
80 Uwaga terminologiczna. W polskiej literaturze przedmiotu terminów struktura relacyjna, system relacyjny oraz struktura algebraiczna u»ywa si wymiennie. Gdy sygnatura nie zawiera predykatów, to mówimy o algebrach, gdy za± sygnatura nie zawiera ani staªych ani symboli funkcyjnych, to mówimy o strukturach relacyjnych czystych. Uwaga notacyjna. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
81 Uwaga terminologiczna. W polskiej literaturze przedmiotu terminów struktura relacyjna, system relacyjny oraz struktura algebraiczna u»ywa si wymiennie. Gdy sygnatura nie zawiera predykatów, to mówimy o algebrach, gdy za± sygnatura nie zawiera ani staªych ani symboli funkcyjnych, to mówimy o strukturach relacyjnych czystych. Uwaga notacyjna. W dalszym ci gu b dziemy u»ywa pewnych, powszechnie stosowanych, uproszcze«notacyjnych. Omówione zostan one podczas wykªadów. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
82 Uwaga terminologiczna. W polskiej literaturze przedmiotu terminów struktura relacyjna, system relacyjny oraz struktura algebraiczna u»ywa si wymiennie. Gdy sygnatura nie zawiera predykatów, to mówimy o algebrach, gdy za± sygnatura nie zawiera ani staªych ani symboli funkcyjnych, to mówimy o strukturach relacyjnych czystych. Uwaga notacyjna. W dalszym ci gu b dziemy u»ywa pewnych, powszechnie stosowanych, uproszcze«notacyjnych. Omówione zostan one podczas wykªadów. Uwaga organizacyjna. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
83 Uwaga terminologiczna. W polskiej literaturze przedmiotu terminów struktura relacyjna, system relacyjny oraz struktura algebraiczna u»ywa si wymiennie. Gdy sygnatura nie zawiera predykatów, to mówimy o algebrach, gdy za± sygnatura nie zawiera ani staªych ani symboli funkcyjnych, to mówimy o strukturach relacyjnych czystych. Uwaga notacyjna. W dalszym ci gu b dziemy u»ywa pewnych, powszechnie stosowanych, uproszcze«notacyjnych. Omówione zostan one podczas wykªadów. Uwaga organizacyjna. Prosz nie spodziewa si,»e na ka»de z naszych spotka«w semestrze letnim otrzymacie osobn prezentacj. B dzie tych prezentacji kilka, w skondensowanej formie omawiaj cych caªe grupy zagadnie«. Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16 lutego / 12
Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
Drobinka semantyki KRP
Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym
Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ) ( xϕ xψ); Kilka wa»nych tautologii 1 x(ϕ ψ)
Logika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Logika [dla Psychologii UW]
![Logika [dla Psychologii UW]](/thumbs/94/118488875.jpg "Logika [dla Psychologii UW]")
Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 19 grudnia 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne. J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, Jerzy Pogonowski
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne J zykoznawstwo i Informacja Naukowa I, UAM, 2002 Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Dwa zestawy pyta«egzaminacyjnych z Logiki Matematycznej:
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego
Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Preliminaria logiczne
Preliminaria logiczne Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Preliminaria
LOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Modele i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 1. Języki pierwszego rzędu i modele Czy moŝna odkryć wszystkie prawa arytmetyki, tzn. wszystkie zdania prawdziwe dotyczące
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Klasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Rachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015
Rachunki sekwentów Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 1xii2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Dowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Semantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Informacje ogólne. Językoznawstwo i nauka o informacji
Informacje ogólne 1. Nazwa Logika matematyczna 2. Kod LOGMAT 3. Rodzaj obowiązkowy 4. Kierunek i specjalność studiów Językoznawstwo i nauka o informacji 5. Poziom studiów I 6. Rok studiów I 7. Semestr
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Logika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Logika Matematyczna (I JiIN UAM)
Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 31V-1VI 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) 31V-1VI 2007 1
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Równowano modeli oblicze
Równowano modeli oblicze Interpretacja rachunku 1 2 Twierdzenie Gödla o pełnoci Interpretacja jzyka FOL W 1931 K. Gödel udowodnił, e Jeeli formuła jest prawdziwa, to istnieje dowód tej formuły. Problem
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V)
Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 25 listopada 2006 Jerzy Pogonowski (MEG) Naukoznawstwo (Etnolingwistyka V) 25 listopada
Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Metoda aksjomatyczna
Metoda aksjomatyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 27x2015 Jerzy Pogonowski (MEG)
Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Rekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Wstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Spis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe
wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe 1 Wprowadzenie 1.1 rodowisko programistyczne NetBeans https://netbeans.org/ 1.2 Dokumentacja j zyka Java https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Geometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Metalogika. Jerzy Pogonowski. Geneza metalogiki. Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM
Metalogika Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Geneza metalogiki Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika Geneza metalogiki 1 / 22 Wst p Cel wykªadów Cel
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Logika Radosna 4. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRP. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Radosna 4 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 4 Semantyka KRP 1 / 204 Wprowadzenie Uszy i Ogon
Egzamin z wykªadu monogracznego. Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12. Poj cia, terminologia i notacja:
Egzamin z wykªadu monogracznego Poj cia, terminologia i notacja: Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12 Przyjmujemy zwykª denicj sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorzmu;
Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Juwenilia logiczne Romana Suszki
Juwenilia logiczne Romana Suszki Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 12 maja 2009 Jerzy Pogonowski (MEG) Juwenilia logiczne Romana Suszki 12 maja 2009 1
Logika Matematyczna (1-3) Zadania
Logika Matematyczna (1-3) Zadania Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 24 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1-3) Zadania 24 X 2007 1 / 14
Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek
Rachunki relacji Rachunki relacji 1. RRK Relacyjny Rachunek Krotek 2. RRD Relacyjny Rachunek Dziedzin 3. Datalog Database Prolog Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski T. Pankowski, Rachunki
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
TABLICE ANALITYCZNE KLASYCZNY RACHUNEK LOGICZNY: (PRELIMINARIA MATEMATYCZNE I LOGICZNE) (DRZEWA, INFORMACJE O KRZ I KRP) JERZY POGONOWSKI
KLASYCZNY RACHUNEK LOGICZNY: TABLICE ANALITYCZNE (PRELIMINARIA MATEMATYCZNE I LOGICZNE) (DRZEWA, INFORMACJE O KRZ I KRP) JERZY POGONOWSKI ZAKŁAD LOGIKI STOSOWANEJ UAM http://www.logic.amu.edu.pl Niniejsza
Spis tre±ci. 1 Podstawy termodynamiki - wiczenia 2. 2 Termodynamika - wiczenia 4. 3 Teoria maszyn cieplnych - wiczenia 6
Spis tre±ci 1 Podstawy termodynamiki - wiczenia 2 2 Termodynamika - wiczenia 4 3 Teoria maszyn cieplnych - wiczenia 6 4 Przenoszenie ciepªa/wymiana ciepªa i wymienniki - wykªad 7 5 Wymiana ciepªa i wymienniki
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wyksztaªcenie u studentów podstaw j zyka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiej tno- ±ci przeprowadzania
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne Daniel Nowak Piotr Fulma«ski instagram.com/vorkof piotr@fulmanski.pl 18 kwietnia 2018 Table of contents 1 O czym b dziemy mówi 2 Dawno, dawno temu... 3 System
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Logika Radosna 5. Jerzy Pogonowski. KRP: tablice analityczne. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Radosna 5 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl KRP: tablice analityczne Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 5 KRP: tablice analityczne 1 / 111 Wprowadzenie
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Matematyczne podstawy kognitywistyki
Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1