wykład nr 5 metody Monte Carlo zastosowanie metod do obliczenia całek wielokrotnych Nr: 1 Metody obliczeniowe

Transkrypt

1 Nr: Metody obliczeniowe wykład nr 5 etody Monte Carlo zastosowanie etod do obliczenia całek wielokrotnych

2 Nr: Obliczanie całek wielokrotnych Ω... f (,..., d... n d n = kubatury - wielowyiarowe odpowiedniki kwadratur złoŝonych dla funkcji n- ziennych podział na n-wyiarowe obszary regularne w których znane są wzory kwadratur prostych? Z dla funkcji n-ziennych dokonując podziału odcinka [a i,b i ] (i=,...,n na części otrzyujey n n-wyiarowych kostek -5 - Y X Ω... f (,..., n d... d = Ω f ( X n śr?

3 Nr: 3 Prawo wielkich liczb ilustracja Przy dostatecznie duŝej liczbie prób częstość wystąpienia danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie ało róŝniła od jego prawdopodobieństwa. (Bernoulli 73 X zienna losowa: zdarzenie losowe rzut onetą oŝliwe wartości ziennej {,} = : wyrzucenie reszki =: wyrzucenie orła EX wartość oczekiwana ziennej X (= p + p =/ S n =X(+...+X(n sua wartości n realizacji ziennej losowej X przeprowadzając duŝą liczbę rzutów syetryczną onetą, oŝey oczekiwać Ŝe stosunek liczby "wyrzuconych" orłów do liczby wszystkich rzutów będzie bliski,5 ty większe są na to szanse i większa jest liczba rzutów

4 Nr: 4 Prawo wielkich liczb zasada etody Monte Carlo Z prawdopodobieństwe dowolnie bliski oŝna się spodziewać iŝ przy dostatecznie duŝej liczbie prób średnia wartość ziennej losowej będzie się dowolnie ało róŝniła od wartości oczekiwanej tej ziennej. X(i realizacje ziennej losowej X o rozkładzie noralny Definiując zienną losową S n = X(+...+ X(n wnioskujey iŝ dla dowolnych ε>, δ> : Sn P( EX < ε < δ n dla n Mówiy Ŝe ciąg ziennych losowych S n /n jest zbieŝny (wg prawdopodobieństwa do wartości oczekiwanej ziennej losowej X

5 Nr: 5 Przykład wykorzystywanie zjawisk losowych w procesach obliczeniowych Igła Buffona obliczenie wartości liczby π za poocą losowych rzutów igły na płaszczyznę l długość igły (l<d d odległość poiędzy równoległyi liniai odległość środka igły od najbliŝszej prostej niejszy z kątów poiędzy igłą a prostopadłą do linii M liczba wszystkich wykonanych rzutów N liczba rzutów w których igła przecięła jedną z linii kaŝdy rzut realizacja ziennej losowej - wyiarowej (, (, [,d/] [,π/] l igła przecina jedną z prostych jeśli < cos Zienna losowa: zdarzenie losowe (rzut igłą (, [,d/] [,π/]

6 Nr: 6 F ( = P( X < Przykład Igła Buffona dystrybuanta ziennej losowej X li F( = oznacza prawdopodobieństwo, Ŝe zienna losowa X jest niejsza od pewnej liczby rzeczywistej. gęstość prawdopodobieństwa ziennej losowej ciągłej X - funkcja f( spełniająca warunek: F ( = f ( t dt li F(, =

7 Nr: 7 F ( = P( X < Przykład Igła Buffona dystrybuanta ziennej losowej X dystrybuanta ziennej losowej (, F(, = P( X <, Φ < li F( = oznacza prawdopodobieństwo, Ŝe zienna losowa X jest niejsza od pewnej liczby rzeczywistej. gęstość prawdopodobieństwa ziennej losowej ciągłej X - funkcja f( spełniająca warunek: F ( = f ( t dt li F(, = gęstość prawdopodobieństwa ziennej losowej ciągłej(, F(, = f ( t, u dtdu

8 Nr: 8 PoniewaŜ Przykład Igła Buffona P( X < lub < = (, [,d/] [,π/] P( X > d / lub > π / = d/ F(, = f ( t, u dtdu li F(, =. π /

9 Nr: 9 PoniewaŜ Przykład Igła Buffona P( X < lub Φ < = (, [,d/] [,π/] P( X > d / lub Φ > π / =..8.6 d/ F(, = f ( t, u dtdu li F(, =.4. π / f (, = 4 πd d π, p. p. -.

10 Nr: Przykład Igła Buffona PoniewaŜ (, [,d/] [,π/] f (, = 4 πd d π, p. p. F(, = f ( t, u dtdu F(, = P( X <, Φ < igła przecina jedną z prostych jeśli π l φ [, ], < cos prawdopodobieństwo iŝ igła przetnie jedną z prostych wynosi: π l p = F(, cos

11 Nr: Przykład Igła Buffona =.., 4, ( p p d d f π π PoniewaŜ (, [,d/] [,π/] prawdopodobieństwo iŝ igła przetnie jedną z prostych wynosi: igła przecina jedną z prostych jeśli π φ cos ], [, l < d l d d d d d f l F p l l π π π π π 4, ( cos, ( cos cos = = = = = dtdu u t f F, (, (, (, ( < Φ < = X P F

12 Nr: Przykład Igła Buffona prawdopodobieństwo iŝ igła przetnie jedną z prostych wynosi l p = πd

13 Nr: 3 Przykład Igła Buffona prawdopodobieństwo iŝ igła przetnie jedną z prostych wynosi p p( M l = πd p(m prawdopodobieństwo epiryczne zdarzenia - igła przetnie jedną z prostych, wyznaczone na podstawie M rzutów N M porównujey wartości p i p(m: p p(m l πd N M π l d M N Zadanie: zapisz kod prograu wyznaczający liczbę π opisaną etodą, wykorzystaj funkcję SciLaba rand( do generowania liczb losowych.

14 Nr: 4 Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo Dana funkcja y = f (,..., całkowalna po obszarze doknięty i ograniczony S. Obliczay całkę geoetrycznie liczba I przedstawia -wyiarową objętość walcoidu prostego w przestrzeni R +, zbudowanego nad podstawą S, ograniczonego z góry daną powierzchnią Czy = S I... f (,..., d... d... f (,..., d... d S f ( X śr = S?

15 Nr: 5 Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo Dana funkcja y = f (,..., całkowalna po obszarze doknięty i ograniczony S. Obliczay całkę geoetrycznie liczba I przedstawia -wyiarową objętość walcoidu prostego w przestrzeni R +, zbudowanego nad podstawą S, ograniczonego z góry daną powierzchnią Czy = S I... f (,..., d... d... f (,..., d... d S f ( X śr Określa zienną losową X: zdarzenie losowe: wybór punktu z obszaru S wartość ziennej losowej: wartość funkcji f w wybrany punkcie Całka z funkcji f oŝe być określona jako = S?... f (,..., d... d S = S EX

16 Nr: 6 Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo = Całkę I... f (,..., d... d przekształcay w ten S sposób, by obszar całkowania zawarty był w całości wewnątrz n- wyiarowego prostopadłościanu o boku jednostkowy obszar S ograniczay -wyiarowy równoległobokie ai i Ai i =,,..., dokonujey zaiany ziennych: i = ai + ( Ai ai ξi i =,,...,

17 Nr: 7 Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo obliczay Jacobian przekształcenia otrzyujey całkę...( ( ( a A a A a A a A a A a A = (,..., ( ( (... ( (,..., (...,..., (... a A a a A a f a A a A a A F d d F I ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ σ + + = =

18 Nr: 8 Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo wybieray ciągów losowych o rozkładzie równoprawdopodobny w przedziale [,] ( ( ( { ξ, ξ,..., ξ,...} { ξ... { ξ ( (, ξ, ξ ( (,..., ξ,..., ξ ( n,...},...} punkty oŝey rozpatrywać jako punkty losowe ( ( ( M i = ( ξi, ξi,..., ξi i =,,... bierzey N punktów (dostatecznie duŝą liczbę: M,M,...,M N sprawdzay które z nich naleŝą do obszaru σ niech (dla wygody zieniay wskaźniki: n ( n M M i i σ σ dla dla i i =,,..., N = N +, N +,..., N

19 Nr: 9 Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo biorąc dostatecznie duŝą liczbę punktów M,M,...,M N naleŝących do obszaru σ oŝey przybliŝyć wartość oczekiwaną EX ziennej losowej X przez średnią arytetyczną (prawo wielkich liczb y = N F( śr N M i i= szukana całka wyraŝa się wzore (σ oznacza -wyiarową objętość obszaru całkowania σ N σ I = σy = F( M śr N i jeśli objętość σ trudno obliczyć, oŝey przyjąć i= σ N N I F( M i N N i=

20 Nr: Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo przykład obliczeniowy obliczay całkę = ( + obszar całkowania określony jest nierównościai, y generujey N punktów losowych, leŝących w [,] [,] I y ddy S

21 Nr: Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo przykład obliczeniowy N liczba wygenerowanych punktów losowych N liczba punktów naleŝących do obszaru całkowania średnia wartość N /N przybliŝone pole obszaru całkowania I przybliŝona wartość całki błąd procentowy wartość dokładna całki.875 Zadanie: zapisz kod prograu obliczający etodą Monte Carlo wartość całki z funkcji f(,y,z=+y+z po toroidzie powstały w wyniku obrotu kwadratu o boku =, punkte obrotu środek układu współrzędnych, proień obrotu = 5.

22 Nr: Postępowanie Zasady etody Monte Carlo opisanie danego zadania obliczeniowego w języku rachunku prawdopodobieństwa poprzez wprowadzenie ziennej losowej w oparciu o generatory liczb losowych wielokrotna realizacja ziennej losowej na podstawie otrzyanych wyników, przy uŝyciu etod statystycznych uzyskanie pewnych inforacje o rozkładzie tej ziennej losowej (najczęściej oszacowanie wartości oczekiwanej rozwaŝanej ziennej losowej

23 Nr: 3 Zasada etody Monte Carlo Rozwiązanie klasycznego probleu obliczeniowego algoryt (ciąg działań obliczeniowych znalezienie szukanej wielkości f dokładnie albo z zadany błęde proces ściśle zdeterinowany: kaŝda realizacja algorytu przy bezbłędny wykonaniu daje ten sa wynik Metody Monte Carlo proces obliczeniowy niezdeterinowany określają go wyniki prób losowych, róŝne realizacje algorytu ogą dawać róŝne wyniki skonstruowanie klasycznego algorytu jest praktycznie nieoŝliwe algoryt jest bardzo złoŝony, lub wyaga długotrwałych obliczeń

24 Nr: 4 Niektóre zastosowania etody Monte Carlo rozwiązywanie układów równań liniowych odwracanie acierzy obliczanie całek wielokrotnych zadania związane z ruche (sieci kolejowe, sterowanie sygnalizacją uliczną syulacja zjawisk fizycznych

25 Nr: 5 Zastosowanie etody Monte Carlo określenie prawdopodobieństwa awarii obiektu budowlanego N nośność : oŝliwość przejęcia przez obiekt (fundaent obciąŝeń zewnętrznych (wypadkowa wszystkich sił utrzyujących konstrukcję w równowadze S oddziaływanie (obciąŝenie wypadkowa wszystkich sił dąŝących do utraty stateczności przez konstrukcję Funkcja stanu granicznego G = N S oddziela strefę bezpieczną od strefy zagroŝenia G = < stan bezpieczny stan zagroŝenia prawdopodobieństwo awarii (niespełnienia warunku granicznego p = P{ G < }

26 Nr: 6 Zastosowanie etody Monte Carlo określenie prawdopodobieństwa awarii obiektu budowlanego N nośność : fundaent palowy N = S p π D 4 q + i S s i A s i t i S p : współczynnik technologiczny =,3 D[] : średnica pala =,5 q [kpa]: jednostkowa wytrzyałość gruntu pod podstawą pala = 56 kpa S si : współczynnik technologiczny A si [ ] : pole pobocznicy t i [kpa]:jednostkowa wytrzyałość gruntu wzdłuŝ pobocznicy i indeks warstwy gruntu Paraetry S p,q,t i określono jako zienne losowe o rozkładzie noralny i współczynniku zienności =,

27 Nr: 7 Zastosowanie etody Monte Carlo określenie prawdopodobieństwa awarii obiektu budowlanego Rozkład noralny N(µ,σ (σ = współczynnik zienności µ - funkcja gęstości prawdopodobieństwa (krzywa Gaussa = P ( a < b f ( t dt b a // losowa wartość ziennej losowej // o rozkładzie noralny N(, rand(,, noral

28 Nr: 8 Zastosowanie etody Monte Carlo określenie prawdopodobieństwa awarii obiektu budowlanego Paraetry S p,q,t i określono jako zienne losowe o rozkładzie noralny i współczynniku zienności =, Przy uŝyciu funkcji SciLaba rand( wygenerowanie wartości (realizacji dla rozkładu N(, dla kaŝdej ziennej losowej q = 56 kpa q = q wsp_z rand(n,, noral + q Rozkład noralny N(, Rozkład noralny dla paraetru q (56 kpa

29 Nr: 9 Zastosowanie etody Monte Carlo określenie prawdopodobieństwa awarii obiektu budowlanego Obliczenia: wykorzystano progra koputerowy napisany w języku Scilab w algorytie uŝyto etody Monte Carlo odpowiednio dla N = prób losowych N - liczba prób losowych N - liczba prób losowych w których G< { G } N N P < Zadanie: obliczyć, wykorzystując opisaną etodę, oraz podane wyŝej dane prawdopodobieństwo awarii fundaentu, przyjując iŝ fundaent znajduje się w jednej warstwie gruntu o paraetrach: S s =,8; t =64 kpa; A s =4. Przyjąć obciąŝenie S=85 kn ObciąŜenie S j [kn]

30 Nr: 3 Zastosowanie etody Monte Carlo określenie prawdopodobieństwa awarii obiektu budowlanego Prawdo po dobieńs two awarii,6,5,4,3,, obciąŝe nie na pal [kn] 84 pale - pierwotny 77 pali 79 pali 8 pali 83 pa le 84 pale

31 Nr: 4 funkcje SciLaba rand( generator liczb losowych

32 Nr: 43 Podsuowanie Zastosowanie etod Monte-Carlo Istota i załoŝenia etody Monte Carlo pojęcie zbieŝności stochastycznej wnioski z prawa wielkich liczb Igła Buffon a Obliczenie całki wielokrotnej etodą Monte Carlo przekształcenie obszaru całkowania wykorzystanie generatora liczb losowych obliczenie wartości przybliŝonej całki