2 Zmienne losowe dyskretne

Transkrypt

1 PROB2 Zmienne losowe dyskretne 1 plik dyskretne.tex 9 grudnia 2005, ELEMENTY PROBABILISTYKI R.2 2 Zmienne losowe dyskretne 2.1 Ogólne definicje i w lasności Zmienna losowa X jest zmienna losowa dyskretna, jeśli przyjmuje tylko skończona (lub przeliczalna) liczbe wartości x 0, x 1,..., x k z określonymi prawdopodobieństwami p 0, p 2,..., p k. Tak wiec mamy: x 0, x 1,..., x k możliwe wartości zmiennej losowej, p 0, p 1,..., p k p-stwa wystapienia poszczególnych wartości. Liczba k może oznaczać dowolnie duża liczbe ca lkowita, w szczególności możliwych wartości x i może być nieskończenie wiele. Piszemy wtedy x 0, x 1,...,. Zbiór wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej X bedziemy oznaczać symbolem H i nazywać nośnikiem rozk ladu zmiennej X. Prawdopodobieństwa p i, i = 0,..., k (lub i = 0,..., ) musza spe lniać warunki: 1) 0 p i 1, 2) i H p i = 1. Równoważne oznaczenia prawdopodobieństw p i : p i = P (X = x i ), lub p i = P (X = i). Przyk lad. Zmienna losowa przyjmujaca 4 wartości. Zmienna losowa X określona w tabelce poniżej przyjmuje tylko 4 wartości, podane w pierwszym wierszu tabelki. Drugi wiersz tabelki zawiera odpowiednie prawdopodobieństwa. W trzecim wierszu tabelki (cum p i ) zsumowano kolejne prawdopodobieństwa. Jak widać, sumuja sie one do jedności. x i zbiór H, nośnik rozk ladu p i kolejne prawdopodobieństwa sum p i skumulowane p-stwa Tak wiec, rozk lad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest określony za pomoca par {x i, p i }. Dla omawianego przyk ladu rozk lad ten jest przedstawiony graficznie na rys. 2.1, lewy wykres: 0.5 Discrete probabilities 1 Cumulative p.d.f p(x) F(x) x x Rysunek 2.1: Przyk ladowy rozk lad dyskretnej zmiennej losowej X (lewa strona) oraz jego skumulowane wartości (prawy strona).

2 PROB2 Zmienne losowe dyskretne 2 Na tym samym rysunku (2.1), na wykresie z prawej strony, jest przedstawiony wykres skumulowanych wartości dla omawianego rozk ladu. Jak widzimy, dla zmiennej losowej dyskretnej wykres ten przedstawia niemalejac a funkcje schodkowa. Funkcja ta ma punkty nieciag lości dla wartości x 1, x 2,..., x k ; wielkości skoków sa równe wartościom p i przyjmowanym przez X w tych punktach. Funkcja F(x) przedstawiajaca skumulowane wartości zosta la w tym przypadku zdefiniowana jako F (x) = P (X x) = P (X = x i ) (2.1) x i x Typowymi przyk ladami zmiennych losowych dyskretnych sa: 1. rozk lad binarny, czyli zerojedynkowy 2. rozk lad dwumianowy, rozk lad Poissona 3. rozk lad Pascala, czyli ujemny dwumianowy 4. rozk lad geometryczny 5. rozk lad hipergeometryczny 2.2 Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej dyskretnej Zanim przejdziemy do omówienie niektórych z wymienionych rozk ladów, Wprowadzimy bardzo ważne określenia charakteryzujace rozk lady zmiennych losowych. Sa nimi wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej X. Deficje te podajemy dla zmiennych losowych dyskretnych. Wartość oczekiwana µ wskazuje na wartość średnia rozk ladu, natomiast odchylenie standardowe σ na rozproszenie wartości x i wokó l średniej µ. Definicja. Wartościa oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej X nazywa sie wyrażenie (H oznacza nośnik wartości zmiennej losowej X): Sumowanie możemy również zapisać z wyszczególnieniem elementów sumowanych, np. ki=1, lub i=0. E(X) = x i H x i p i. Wartość oczekiwana oznacza sie czesto symbolem µ. Mamy wiec: µ = E(X). Definicja. Wariancja dyskretnej zmiennej losowej X nazywa sie wyrażenie: V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = x i H (x i µ) 2 p i. Wariancja jest oznaczana również symbolem σ 2. Pierwiastek z wariancji nazywa si e odchyleniem standardowym. Przyklad z poprzedniej sekcji, kontynuacja. Obliczamy E(X) i V ar(x) Wartość oczekiwana: E(X) = = 2.8. Wariancja: V ar(x) = ( 2.8) = = Odchylenie standardowe: σ = V ar(x) = = 1.4.

3 PROB2 Zmienne losowe dyskretne 3 Obliczenia najlepiej zorganizować w tabelce, wtedy trudniej o omy lke: x i p i x i p i (x i µ) (x i µ) 2 (x i µ) 2 p i suma Otrzymamy wtedy: E(X) µ = 2.8, V ar(x) σ 2 = 1.96, czyli te same wyniki co poprzednio. Zadania Zadanie 2.1. Loteria zawiera 1 los wygrywajacy 1000 $, dwa losy wygrywajace 500 $, 5 losów wygrywajacych 100 $, oraz 50 losów wygrywajacych 5 $. Poza tym sa losy puste, czyli nie wygrywajace nic. Jaka jest oczekiwana wygrana? Ile powinien kosztować los, aby organizatorzy nie stracili na loterii? Zadanie 2.2. W urnie znajduja sie: 4 kule czerwone, 3 bia le i 1 czarna. Grajacy otrzymuje 10 centów, gdy wyciagnie kule czerwona, nie otrzymuje nic, gdy wyciagnie kule bia l a, i p laci 50 centów, gdy wyciagnie kule czarna. Jaka jest oczekiwana wygrana? Zadanie 2.3. W zakladzie opracowano nowy produkt. Jest on wart (można go sprzedać) za 1000 $. Wylansowanie i wprowadzenie na rynek produktu kosztuje 1500 $. Cz eść A. Produkt wprowadzony na rynek może a) odnieść duży sukces z p-stwem =.2, b) odnieść umiarkowany sukces z p-stwem 0.5, c) nie spotkać si e z żadnym zainteresowaniem z p-stwem 0.3. Ocena zysków: w przypadku a): $, w przypadku b): 4000 $, w przypadku c): 6000 $. Cześć B. Postanowiono przed ostateczna decyzja (sprzedać produkt czy lansować go samodzielnie) przeprowadzić odpowiednie badania rynkowe. Badania takie kosztuja 500 $. Badania rynkowe moga być pozytywne (że rynek jest zainteresowany produktem) lub negatywne (że rynek nie jest zainteresowany produktem). Niezależnie od opinii z badań rynkowych zak lad może chcieć mimo wszystko wprowadzić swój produkt na rynek. Wtedy p-stwa dużego sukcesu, umiarkowanego sukcesu i porażki, oceniane osobno dla przypadków pozytywnej i negatywnej opinii badań, przedstawiaja sie nastepuj aco: Projekt może odnieść Duży sukces Umiarkowany sukces Ma ly sukces Gdy badania rynkowe pozytywne Gdy badania rynkowe negatywne Jakie s a oczekiwane zyski w obu przypadkach? Czy zaklad powinien wprowadzać swój produkt na rynek, czy też sprzedać go?

4 PROB2 Zmienne losowe dyskretne Rozk lad binomialny (dwumianowy lub Bernoulliego) Mamy serie n niezależnych doświadczeń. Wynikiem każdego doświadczenia jest sukces lub porażka (np. orze l lub reszka). Prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w każdym doświadczeniu i wynosi p, gdzie 0 < p < 1. Określamy zmienna losowa X jako liczbe sukcesów w opisanej serii n doświadczeń. Zmienna losowe X może przyjmować wartości 0, 1,... n z prawdopodobieństwami p 0, p 1,..., p n określonymi nastepuj aco: ( ) n p i = P (X = i) = p i (1 p) n i, i = 0, 1,..., n. i Parametrami rozk ladu binomialnego sa: n d lugość serii, oraz p prawdopodobieństwo sukcesu w jednym doświadczeniu, dlatego też zmienna o rozk ladzie binomialnym oznacza sie jako funkcje b(i; n, p). Chcac zaznaczyć wyraźnie, że zmienna losowa X ma rozk lad binomialny, dajemy literke b jako wskaźnik dolny symbolu oznaczajacego te zmienna i piszemy X b jako oznaczenie tej zmiennej losowej X b b(n, p). Dla przyk ladu pokazujemy rozk lad binomialny b(i; 24, 0.75) i jego dystrybuante. Argumenty obu funkcji sa oznaczone symbolem x. Latwo sprawdzić, że wartość oczekiwana tego rozk ladu wynosi np = = 18.00, a wariancja np(1 p) = = Rysunek 2.2. Rozk lad prawdopodobieństwa (góra) i skumulowane prawdopodobieństwa (dó l) dla rozk ladu binomialnego z parametrami n = 24, p = 0.75, czyli rozk ladu b(i; 24, 0.75). i prob[x=i] prob[x<=i] prob[x>i]

5 PROB2 Zmienne losowe dyskretne 5 Rysunki i tabele otrzymano za pomoca pakietu WINSTATS. Pokazuje sie, że wartość oczekiwana zmiennej X o rozk ladzie b(n,p) wynosi µ = np, a wariancja σ 2 = np(1 p). Podstawiajac q = 1 p otrzymujemy: E(X b ) = np, V ar(x b ) = npq. Można pokazać, że rozk lad binomialny jest rozk ladem symetrycznym. W przypadku n parzystego rozk lad binomialny posiada dwie takie same wartości modalne, natomiast w przypadku n nieparzystego dok ladnie jedna wartośc modalna. 2.4 Rozk lady graniczne rozk ladu binomialnego przy n + Co si e dzieje z rozk ladem binomialnym, gdy liczba doświadczeń n rośnie nieograniczenie, czyli staje si e bardzo duża? W zależności od p, prawdopodobieństwa sukcesu, wyróżniamy tu dwa przypadki: A. Parametr p wykazuje wartośc umiarkowana, tj. ani bardzo ma l a, ani bardzo duża. Na ogó l oznacza to, że 0.05 < p < Wtedy można wykazać, że rozk lad binomialny daży asymptotycznie do rozk ladu normalnego (Gaussa Laplace a) o parametrach µ = np i σ 2 = npq, gdzie q = 1 p. Oznacza to, że dla dużego n prawdopodobieństwa z rozk ladu binomialnego b(n, p) moga być wyznaczane za pomoca prawdopodobieństw w rozk ladzie normalnym N (µ = np, σ 2 = npq) {rozk ladem tym bedziemy sie zajmować w rozdziale 4}. Przyk ladowo na rysunku 2.2 (góra) można zobaczyć, że dla n = 24, p = 0.75 przedstawiony rozk lad binomialny jest już dość dobrze aproksymowany rozk ladem normalnym. Dalsze przyk lady rozk ladu binomialnego sa pokazane na końcu tego rozdzia lu. B. Parametr p jest ma ly, czyli wystapienie sukcesu jest zjawiskiem rzadkim. Po lóżmy: np = λ i obliczmy granice, gdy n (odpowiada to sytuacji, gdy do partii towaru zawierajacego pewien procent braków bedziemy dodawać coraz to wiecej sztuk dobrych). Otrzymujemy wtedy lim n ( ) n p i (1 p) n i = lim i n ( n i ) ( λ n ) i ( 1 λ n ) n i =... = λi i! e λ. Otrzymujemy ostatecznie rozk lad noszacy nazwe rozk ladu Poissona: P (X = i λ) = λi i! e λ, i = 0, 1,.... Rozk lad ten jest opisywany w nast epnej podsekcji jako kolejny przyk lad rozk ladu dyskretnego, którego nośnik zawiera nieskończenie wiele wartości.

6 PROB2 Zmienne losowe dyskretne Rozk lad Poissona Definicja. Zmienna losowa X ma rozk lad Poissona, jeśli przyjmuje wartości i = 0, 1, 2,... z prawdopodobieństwami p i wyznaczonymi nastepuj acym wzorem: p i = P (X = i λ) = λi i! e λ, i = 0, 1,.... Wartość λ > 0 jest parametrem rozk ladu. Oczywiście i=0 p i = λ i i=0 e λ 1. i! Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej o rozk ladzie Poissona wynosza odpowiednio: E(X P oisson ) = λ, V ar(x P oisson ) = λ. Rysunek 2.3: Rozk lad prawdopodobieństwa (lewa) i jego wartości skumulowane (prawa) dla rozk ladu Poissona z parametrami λ = 2.5 i λ = 5.0. Na lożono również aproksymacj e rozk ladem normalnym lambda = 2.5 lambda = 5.0 i prob[x=i] prob[x<=i] prob[x>i] i prob[x=i] prob[x<=i] prob[x>i]

7 PROB2 Zmienne losowe dyskretne 7 Rysunek 2.3 pokazuje wykresy rozk ladu Poissona dla parametrów λ = 2.5 i λ = 5.0 oraz odpowiednie wartości prawdopodobieństw. Rozk lad Poissona otrzymuje sie jako rozk lad graniczny rozk ladu dwumianowego, gdy d lugość serii (n) jest duża, a prawdopodobieństwo sukcesu (p) ma le. Duże n oznacza wartości wieksze niż 30, ma le p oznacza wartości mniejsze niż Pojecia duże i ma le sa pojeciami rozmytymi ( fuzzy ) i zależa od stopnia przybliżenia jaki chcemy osiagnć. Z kolei, przy dużych wartościach λ, rozk lad Poissona może być aproksymowany rozk ladem normalnym N (µ = λ, σ 2 = λ). Przyk lad takiej aproksymacji jest pokazany na rysunku 3.3; nie jest ona jeszcze bardzo dok ladna. Zadania Zadanie 2.4. Liczba b l edów pope lnianych przez studentów kursu jez. angielskiego przy dyktandzie pewnego testu opisuje sie rozk ladem Poissona z parametrem λ = 5.0. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba piszaca dyktando a) nie pope lni żadnego b l edu, b) pope lni 10 b l edów lub wiecej, c) pope lni dok ladnie 4 lub 5 b l edów? Zadanie 2.5. Producent twierdzi, że jego produkty (zapalniczki) nie zawieraja wiecej, niż 2,5 procent wadliwych sztuk. Zbadano karton zapalniczek zawierajacy 100 sztuk i znaleziono 5 wadliwych zapalniczek. Czy można mieć watpliwość co do twierdzenia producenta, że jego towar zawiera nie wiecej niź 2,5 procent wadliwych sztuk? Zadanie 2.6. Na podstawie przeprowadzonej wyrywkowej kontroli ocenia si e wadliwość masowo produkowanych wkr etów na 2,5 %. Wkr ety pakuje si e w pude leczka po 50 sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pude leczku nie b edzie wadliwej sztuki. Rachunek można przeprowadzić w oparciu o rozk lad Poissona lub rozk lad dwumianowy (dlaczego?). Porównaj wyniki. Literatura [1] Bobrowski D., Elementy rachunku prawdopodobieństwa z elementami statystyki matematycznej. Wydawnictwo Naukowe WSNHID, Poznań s. X+159. [2] Pakiet winstats Dodatek. Inne przyk ladowe wykresy i tablice wartości zmiennych losowych o rozk ladzie binomialnym

8 PROB2 Zmienne losowe dyskretne 8 i prob[x=i] prob[x<=i] prob[i<x] i prob[x=i] prob[x<=i] prob[i<x] BINOMIAL b[12, 0.25] BINOMIAL b[12, 0.75] BINOMIAL b[16, 0.25] BINOMIAL b[16, 0.75]