1 Pierścienie, algebry
|
|
- Krystyna Sadowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O Shea, Ideals, varieties and algorithms, Springer- Verlag 5. S.Lang, Algebra, PWN 1 Pierścienie, algebry Niech P bȩdzie przemiennym pierścieniem z jedynk a. Wtedy 1 = 0 P jest zbiorem jednoelementowym 0 jest jedynym elementem neutralnym dla dodawania 1 jest jedynym elementem neutralnym dla mnożenia x P, 0 x = 0 Każde ciało K jest pierścieniem. Zbiór wielomianów K[X] = K[X 1,..., X n ] jest pierścieniem. Definicja. Odwzorowanie pierścieni h : P S nazywamy homomorfizmem jeżeli x, y P h(x + y) = h(x) + h(y) h(x y) = h(x) h(y) h(1) = 1
2 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 2 h(0) = 0 ker h = {x P h(x) = 0} j adro h Im h = {s S x P s = h(x)} obraz h Homomorfizm h : P S jest izomorfizmem, jeżeli istnieje homomorfizm odwrotny g : S P, tzn. g h = id P, h g = id S Homomorfizm h jest izomorfizmem h jest wzajemnie jednoznaczny, tzn. różnowartościowy i na ker h = {0} oraz Im h = S Definicja. Jeżeli istnieje homomorfizm η : R P, to pierścień P nazywamy R algebr a. Pierścień wielomianów K[X] jest K algebr a Jeżeli P jest K algebr a a K jest ciałem, to P jest w naturalny sposób przestrzeni a wektorow a nad K. Dla r K oraz p P definiujemy iloczyn r p = η(r) p. W szczególności K[X] jest K przestrzeni a wektorow a. Definicja. Element p P nazywamy odwracalnym, jeżeli istnieje taki s P, że ps = 1 dzielnikiem zera, jeżeli istnieje taki s P, s 0, że ps = 0 (Jeżeli p 0 to p jest właściwym dzielnikiem zera.) nilpotentnym, jeżeli istnieje taka liczba naturalna n 1, że p n = 0. (Przyjmujemy, że jeżeli p 0 to p 0 = 1.) Definicja. P zbiór elementów odwracalnych w P. (Zawsze 1 P ; 0 P o ile 1 0.) Fakt 1.1 Jeżeli a n = 0 oraz p jest odwracalny, to p + a też jest odwracalny. Definicja. Jeżeli P nie zawiera właściwych dzielników zera, to nazywamy go pierścieniem bez dzielników zera (lub dziedzin a całkowitości). Fakt 1.2 Każdy element p P \ {0} jest odwracalny P jest ciałem.
3 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 3 Ćwiczenia. 1. Element odwracalny nie jest dzielnikiem zera (o ile 1 0). 2. Dzielnik zera nie jest odwracalny (o ile 1 0). 3. Jeżeli P jest pierścieniem bez dzielników zera, to zbiór elementów odwracalnych w P jest zbiorem elementów odwracalnych w P [X]. 4. Jeżeli iloczyn p q jest odwracalny, to p oraz q s a odwracalne. 5. Jeżeli p jest nieodwracalny, to dla dowolnego q, element p q jest nieodwracalny. 6. W pierścieniu Z/4Z, element 3 jest odwracalny, element 2 jest właściwym dzielnikiem zera i elementem nilpotentnym. 7. Każdy właściwy element nilpotentny jest właściwym dzielnikiem zera. 8. Dowolny pierścień jest Z algebr a. 9. Z = {±1}. 10. (Z/4Z) = {1, 3}. 2 Ideały Definicja. Ideałem pierścienia P nazywamy każdy podzbiór I P spełniaj acy warunki: (a) r, s I r + s I (b) r I, p P r p I {0}, P s a ideałami. Każdy ideał I P nazywamy właściwym Ideał I zawiera element odwracalny I = P Wybierzmy p 1,..., p k P. Wtedy I = {p 1 a p k a k p 1,..., p k P }
4 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 4 jest ideałem. Mówimy, że I jest generowany przez a 1,..., a k, i oznaczamy I = (a 1,..., a k ). Jeżeli I ma jeden generator a, to mówimy że I = (a) jest ideałem głównym. W ciele K istniej a tylko dwa ideały: {0}, K. Jeżeli P {0} posiada tylko dwa ideały {0} oraz P, to P jest ciałem Jeżeli h : P S jest homomorfizmem pierścieni, to ker h jest ideałem Jeżeli V K n to jest ideałem w K[X]. I(V ) = {f K[X] f V 0} Jeżeli I K[X] jest ideałem, to definiujemy V (I) = {p K n f I f(p) = 0} Przekrój dowolnej rodziny ideałów jest ideałem. W szczególności, dla dowolnego zbioru A P istnieje najmniejszy ideał w P zawieraj acy A, równy przekrojowi rodziny wszystkich ideałów zawieraj acych A. Nazywamy go ideałem generowanym przez A, i oznaczamy: (A) Jeżeli A = {a 1,..., a k }, wtedy (A) = (a 1,..., a k ) Ideał (A) składa siȩ z tych elementów, które można przedstawić w postaci p 1 a p s a s, gdzie s 1, a 1,..., a s A, p 1,..., p s P Niech I 1, I 2 bȩd a ideałami. Wtedy I 1 + I 2 = {a 1 + a 2 a 1 I 1, a 2 I 2 } jest najmniejszym ideałem zawieraj acym I 1 oraz I 2 Pierścień P nazywamy pierścieniem ideałów głównych, gdy wszystkie ideały w P s a główne. Z oraz pierścień wielomianów jednej zmiennej K[X] s a pierścieniami ideałów głównych. Ćwiczenia. 1. r, s I r s I
5 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 5 2. Niech x 0 R. Wtedy I = {f R[X] f(x 0 ) = 0} jest ideałem właściwym generowanym przez X x 0 3. Niech x 1,..., x k R. Wtedy I = {f R[X] f(x 1 ) = = f(x k ) = 0} jest ideałem właściwym. Jakie s a generatory I? Czy I jest główny? 4. Niech p = (p 1,..., p n ) K n, K = R, C. Używaj ac wzoru Taylora pokaż, że I({p}) jest generowany przez X 1 p 1,..., X n p n 5. Jeżeli I P jest ideałem, P jest K algebr a, to I jest K podprzestrzeni a liniow a w P 6. Ideał I K[X] jest właściwy I nie zawiera żadnej stałej 7. h : Z R, h(m) = m, jest homomorfizmem, ale h((2)) nie jest ideałem. 8. Jeżeli I J to I + J = J. 9. Czy X 2 K[X, Y ] należy do ideałów (X 3, X 4 ), (X 3, Y 4 ), (X + 1, Y + 1), (X 2 + Y, Y ), (X 3 + 1, X 2 + X + 1) 10. I J = {a 1 b a s b s a i I, b i J} jest ideałem. Czy I J = {ab a I, b J}? 11. I J I oraz I J J. 12. Jeżeli I 1,..., I n s a ideałami, to zdefiniowany indukcyjnie zbiór I 1 I n = (I 1 I n 1 ) I n jest ideałem. 13. Którym z symboli " ", "=", " "można zawsze zast apić symbol "?"we wzorze I 1 I n? I 1... I n 3 Kongruencje, pierścień ilorazowy Niech I bȩdzie ideałem w pierścieniu P. Relacja a b a b I jest relacj a równoważności. p 0 p I.
6 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 6 Jeżeli a 1 a 2 oraz b 1 b 2, to wtedy a 1 + b 1 a 1 + b 2 oraz a 1 b 1 a 2 b 2. Klasy abstrakcji relacji nazywamy warstwami. Warstwa stowarzyszna z elementem p jest zbiorem postaci {p + a a I}. Oznaczac j a bȩdziemy symbolem p + I lub [p]. Zbiór klas abstrakcji, oznaczany symbolem P/I, jest pierścieniem z działaniami zdefiniowanymi w naturalny sposób na reprezentantach warstw: [p] + [q] = [p + q] [p] [q] = [p q] Pierscień P/I jest nazywany pierścieniem ilorazowym. Odwzorowanie κ : P P/I zdefiniowane jako κ(p) = [p] jest surjektywnym homomorfizmem, ker κ = I. Odwzorowanie κ jest nazywane kanonicznym homomorfizmem. Niech h : P S bȩdzie homomorfizmem. Załóżmy, że I = ker h. Wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm h : P/I S, taki ze h = h κ. Nazywamy go homomorfizmem indukowanym. Jeżeli P jest R algebr a, to P/I też jest R algebr a. A wiȩc jeżeli R = K jest ciałem, to wtedy P/I jest przestrzeni a wektorow a nad ciałem K, a homomorfizm kanoniczny κ : P P/I jest odwzorowaniem K liniowym. Niech h : P S bȩdzie surjektywnym homomorfizmem K algebr (K ciało), niech I = ker h. Wtedy h : P/ ker h S jest izomorfizmem, oraz dim K S = dim K P/I. Jeżeli J I są ideałami, to istnieje surjektywny homomorfizm h : P/J P/I. Wtedy: h jest izomorfizmem J = I dim K P/J = dim K P/I. Ćwiczenia. 1. Jeżeli I = (m) Z, to Z/I = Z/mZ.
7 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 7 2. Niech I K[X] (K ciało). Wtedy istnieje wielomian h taki, że I = (h). Weźmy f, g K[X]. Dziel ac te wielomiany z reszt a przez h otrzymamy: Wtedy f g r 1 = r 2. f = ph + r 1, deg(r 1 ) < deg(h), g = qh + r 2, deg(r 2 ) < deg(h). 3. R[X]/(X + 7) jest izomomorficzny z R. 4. R[X]/(X 2 + 5) jest izomorficzny z C. 5. R[X]/(X 2 3) jest izomorficzny z R R. 6. Jeżeli 0 h R[X] jest wielomianem posiadającym tylko jednokrotne pierwiastki, to R[X]/(h) jest izomorficzny (jako R agebra!) z R } {{ R } } C {{ C }, r s gdzie r jest liczbą pierwiastków rzeczywistych, s jest połową liczby pierwiastków nie leżących na osi rzeczywistej. Czy można podobnie opisać R[X]/(h) jeżeli dopuścimy istnienie pierwiastków wielokrotnych? 4 Chińskie twierdzenie o resztach Jeżeli P 1,..., P n s a pierścieniami, to ich iloczyn kartezjański P 1 P n, z naturalnie zdefiniowamymi działaniami, jest też pierścieniem. Uwaga. Jeżeli P 1,..., P n s a ciałami, to P 1 P n nie musi być ciałem. Bȩdziemy od teraz zakładać, że wszystkie pierścienie s a K- algebrami dla ustalonego ciała K.
8 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 8 Skoro teraz każdy P i jest K algebr a, to P 1 P n jest też K algebr a. Niech I 1,..., I n bȩd a ideałami w pierścieniu P. Dla 1 k n oraz p P, [p] k oznaczać bȩdzie warstwȩ elementu p w P/I k. Ćwiczenie. 1. Odwzorowanie h : P P/I 1 P/I n : jest homomorfizmem K algebr. h(p) = ([p] 1,..., [p] n ) Twierdzenie 4.1 (Chińskie twierdzenie o resztach) Załóżmy, że k l, I k + I l = P. Wtedy (i) I 1... I n = I 1 I n. (ii) Istnieje kanoniczny izomorfizm K algebr P/I 1... I n P/I 1 P/I n zdefiniowany wzorem p + I 1... I n ([p] 1,..., [p] n ). Przykład. Jeżeli m 1,..., m n s a wzglȩdnie pierwszymi liczbami całkowitymi, to Z/m 1 m n Z/m 1 Z Z/m n Z. Wniosek 4.2 Załóżmy, że k l, I k + I l = P. Wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy dim K P/I 1... I k < 1 k n dim K P/I k <. Wniosek 4.3 Jeżeli k l, I k +I l = P oraz I 1... I n = I 1 I n = {0} to P P/I 1 P/I n.
9 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 9 5 Ideały pierwsze i maksymalne Definicja. Ideał I P nazywamy pierwszym, gdy dla dowolnych elementów a, b P : ab I a I lub b I. Jeżeli I jest pierwszy, a 1 a n I to 1 i n a i I. Jeżeli P S jest homomorfizmem oraz S jest pierścieniem bez dzielników zera, to ker h jest ideałem pierwszym. {0} P jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy P jest pierścieniem bez dzielników zera. Ideał I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest pierścieniem bez dzieników zera. Jeżeli h : P S jest homomorfizmem oraz J S ideałem pierwszym, to h 1 (J) P jest ideałem pierwszym. Definicja. Ideał właściwy I P nazywamy maksymalnym, gdy dla każdego ideału J P : I J J = I lub J = P. I jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest ciałem. Ideał maksymalny jest pierwszy. Każdy ideał zawiera siȩ w pewnym ideale maksymalnym. Ćwiczenia 1. Załóżmy, że h : P S jest surjektywnym homomorfizmem oraz I P jest ideałem pierwszym. Czy h(i) S jest zawsze pierwszy? 2. (n) Z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczb a pierwsz a. 3. Niech f Z[X] bȩdzie wielomianem stopnia 2. Ideał (f) jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy f nie ma pierwiastków rzeczywistych.
10 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG Niech h : P S bȩdzie surjektywnym homomorfizmem oraz niech I P będzie ideałem maksymalnym. Czy h(i) S jest zawsze ideałem maksymalnym? 5. Niech P bȩdzie pierścieniem ideałów głównych bez dzielników zera. Niezerowy ideał właściwy I jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy I jest maksymalny. 6 Pierścienie noetherowskie Definicja Pierścień nazywamy noetherowskim, gdy każdy ideał tego pierścienia jest skończenie generowany. Każdy pierścień ideałów głównych jest noetherowski. Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim Twierdzenie 6.1 Poniższe warunki s a równoważne: (i) P jest noetherowski, (ii) Każdy wstȩpuj acy ci ag ideałów I 1 I 2 stabilizuje siȩ, tzn. dla pewnego n: I n = I n+1 =. (iii) Każda niepusta rodzina ideałów posiada element maksymalny ze wzglȩdu na relacje zawierania. Twierdzenie 6.2 (Twierdzenie Hilberta o bazie) Jeżeli P jest noetherowski, to pierścień wielomianów P [X] jest też noetherowski. Wiȩc pierścień wielomianów n zmiennych K[X] = K[X 1,..., X n 1 ][X n ] o współczynnikach w ciele K jest noetherowski. Ćwiczenia. 1. Z[X] nie jest pierścieniem ideałów głównych. 2. Niech I bȩdzie ideałem w pierścieniu noetherowskim P. Wtedy pierścień P/I jest noetherowski. 3. Niech I, J bȩda takimi ideałami w pierścieniem noetherowskim P, że: f I k > 0 f k J, g J l > 0 g l I. Wtedy istniej a stałe r, s > 0 takie, że I r = I } {{ I} J, J s I. r
11 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG Niech f α bȩdzie dowoln a rodzin a wielomianów w K[X]. Oznaczmy V = α f 1 α (0). Każdy zbiór tej postaci nazywamy zbiorem algebraicznym. Pokaż, że istnieje skończony podzbiór indeksów α 1,..., α m taki, że V = m i=1 f 1 α i (0), a wiȩc każdy zbiȯr algebraiczny może być opisany za pomoc a skończonej ilości równań. 7 Twierdzenie Hiberta o zerach Twierdzenie 7.1 Załóżmy, że m C[X] jest ideałem maksymalnym. Wtedy istnieje jednoznacznie wyznaczony punkt p = (p 1,..., p n ) C n taki, że m = m p = {f C[X] f(p) = 0} = (X 1 p 1,..., X n p n ). Wniosek 7.2 Jeżeli m C[X] jest ideałem maksymalnym, to C[X]/m C. Przykład. Ideał (X 2 + 1) R[X] jest maksymalny, ale R[X]/(X 2 + 1) R. Definicja. Jeżeli I jest ideałem, to rad(i) = {p P n > 0 p n I} jest ideałem. Nazywamy go radykałem ideału I. Twierdzenie 7.3 (Tw. Hilberta o zerach I) Niech f 1,..., f r C[X]. Wtedy układ równań f 1 = = f r = 0 ma rozwiazanie w C n wtedy i tylko wtedy, gdy ideał (f 1,..., f r ) C[X] jest właściwy, tzn. nie zawiera żadnego elementu odwracalnego, czyli niezerowej stałej.
12 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 12 Twierdzenie 7.4 (Tw. Hilberta o zerach II) Niech I C[X] bȩdzie ideałem, niech V = V (I). Załóżmy, że g C[X] jest takim wielomianem, że g V 0. Wtedy istnieje m > 0 takie, że g m I (czyli g rad(i)). Ćwiczenia. Dla K = C: 1. V (f 1,..., f r ) = V (g 1,..., g s ) rad(f 1,..., f r ) = rad(g 1,..., g s ), czyli V (I) = V (J) rad(i) = rad(j). 2. I J V (I) V (J). 3. V (I) V (J) rad(i) rad(j). 4. V (I J) = V (I) V (J). 5. V (I J) = V (I) V (J). 6. V (I k ) = V (I). 7. V (I + J) = V (I) V (J). 8. Jeżeli V (I) = V (J), to istniej a k, l > 0 takie, że I k J oraz J l I. 9. W których z powyższych zadań można zast apić ciało C przez R? 8 Rozszerzenia całkowite Niech B bȩdzie pierścieniem bez dzielników zera. Definicja. Podzbiór A B nazywamy podpierścieniem, jeżeli A z działaniami indukowanymi z B jest pierścieniem. Załóżmy, że A B jest podpierścieniem. Definicja. Mówimy, że element b B jest całkowity wzglȩdem A, jeżeli istnieje taki wielomian unormowany f A[X], że f(b) = 0, tzn.: dla pewnych a 0,..., a n 1 A. b n + a n 1 b n a 0 = 0
13 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 13 B nazywamy rozszerzeniem całkowitym pierścienia A, jeżeli każdy element b B jest całkowity wzglȩdem A. Podzbiór M B nazywamy skończenie generowanym A modułem, jeżeli istniej a b 1,..., b s B, takie że M = {a 1 b a s b s a i A} = A b A b s. Ćwiczenia. 1. Jeżeli M jest skończenie generowanym A modułem, to m 1, m 2 M m 1 + m 2 M, a A, m M a m M. 2. Jeżeli b 1,..., b s B to A[b 1,..., b s ] = {f(b 1,..., b s ) f A[X 1,..., X s ]} jest podpierścieniem w B. Wyjaśnij, jaka jest różnica pomiȩdzy A[b 1,..., b s ] oraz A b A b s. 3. Niech k L bȩd a ciałami. Wtedy b L jest całkowity wzglȩdem k wtedy i tylko wtedy, gdy b jest algebraiczny wzglȩdem k. Lemat 8.1 Jeżeli b B jest całkowity wzglȩdem A, to A[b] = {h(b) h A[X]} jest skończenie generowanym A modułem. Twierdzenie 8.2 Poniższe warunki s a równoważne: (i) B jest rozszerzeniem całkowitym A, (ii) jeżeli b 1,..., b s B, to A[b 1,..., b s ] jest skończenie generowanym A modułem, (iii) każdy skończony podzbiór zbioru B jest zawarty w pewnym podpierścieniu C B, który jest skończenie generowanym A modułem. Wniosek 8.3 Jeżeli B jest skończenie generowanym A modułem, to B jest rozszerzeniem całkowitym A. Wniosek 8.4 Zbiór wszystkich elementów w B cakowitych wzglȩdem A jest podpierścieniem w B.
14 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 14 Twierdzenie 8.5 Jezeli A B C s a pierścieniami bez dzielników zera, B jest rozszerzeniem całkowitym A oraz C jest rozszerzeiem całkowitym B, to C jest rozszerzeniem całkowitym A. Niech k bȩdzie ciałem, zaś k[x] pierścieniem wielomianów. Niech { } f(x) k(x) = f, g k[x], g 0 g(x) bȩdzie ciałem funkcji wymiernych. Oczywiście istnieje naturalne zanurzenie k[x] k(x). Twierdzenie 8.6 Jeżeli h k(x) jest całkowity wzglȩdem k[x], to h k[x]. Wniosek 8.7 Załóżmy, że ciało k jest podciałem ciała L.Załóżmy, że element b L jest przestȩpny wzglȩdem ciała k, tzn. b nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu o współczynnikach z k. Wtedy k[x] k[b], k(x) k(b). Jeżeli f k(b) jest całkowity wzglȩdem k[b], to f k[b]. (Oczywiście k[b] k(b).) 9 Pierścienie lokalne Definicja. Pierścień A nazywamy lokalnym, gdy zawiera dokładnie jeden ideał maksymalny m. Np. każde ciało jest pierścieniem lokalnym, m = {0}. Fakt 9.1 Jeżeli I jest ideałem właściwym w pierścieniu lokalnym A, to A/I jest pierścieniem lokalnym. Twierdzenie 9.2 Poniższe warunki s a równoważne: (i) A jest pierścieniem lokalnym, (ii) zbiór elementów nieodwracalnych w A jest ideałem (właściwym) Twierdzenie 9.3 (Lemat Nakayamy I) Niech I, J bȩd a ideałami w pierścieniu lokalnym (A, m). Załóżmy, że I jest skończenie generowany oraz I J +m I. Wtedy I J.
15 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 15 Wniosek 9.4 (Lemat Nakayamy II) Jeżeli I jest takim skończenie generowanym ideałem w pierściniu lokalnym (A, m), że I = m I, to wtedy I = {0}. Wniosek 9.5 Jeżeli A jest lokalnym pierścieniem noetherowskim, to dla dowolnych ideałów I, J A: (i) I J + m I I J, (ii) I = m I I = {0}. Twierdzenie 9.6 Załóżmy, że (A, m) jest pierścieniem lokalnym i K algebr a, gdzie K A/m. Załóżmy też, że ideał maksymalny m jest skończenie generowany oraz I jest ideałem w A. Wtedy poniższe warunki s a równoważne: (1) dim K A/I < (2) l m l I (3) l m l + I = m l+1 + I Symbolem N oznaczmy zbiór złożony z zera i liczb naturalnych, tzn. N = {0, 1, 2,...}. Definicja. Każdy napis a α X α = α α a α X α 1 1 Xα n n, gdzie α = (α 1,..., α n ) N n oraz a α K, nazywamy formalnym szeregiem potȩgowym. Zbiór szeregów potȩgowych oznaczamy symbolem K[[X]] = K[[X 1,..., X n ]]. K[[X]] z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia jest K- algebr a. Twierdzenie 9.7 K[[X]] jest pierścieniem noetherowskim i lokalnym. Ideał maksymalny m składa siȩ z tych szeregów, których wyraz wolny jest równy zero.
16 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 16 Ćwiczenie. Dla dowolnego ideału I K[X] i punktu p V (I); niech m p = {f K[X] f(p) = 0} = (X 1 p 1,..., X n p n ) K[X] bȩdzie ideałem maksymalnym stowarzyszonym z punktem p. Wtedy dla każdej liczby naturalnej k; 1. pierścień ilorazowy K[X]/(I +m k p) jest pierścieniem noetherowskim i lokalnym, gdzie jedynym ideałem maksymalnym jest [m p ] = (I + m p )/(I + m k p), 2. f = f(x) jest odwracalny w K[X]/(I + m k p) wtedy i tylko wtedy, gdy wyraz wolny f(p) 0, 3. znajdź (2 + X 2 1 X 2 ) 1 w K[X]/m 6 0, 4. znajdź (2 + X 2 1 X 2 ) 1 w K[[X]]. 10 Algebry skończenie wymiarowe Niech I K[X] będzie ideałem. Niech V (I) = V (I) K = {p K n f I, f(p) = 0}, oznacza zbiór zer ideału I. Niech A = A K = K[X]/I oznacza K-algebrę stowarzyszoną z ideałem I. (Symbolu V (I) K lub A K używa się aby podkreślić jakie ciało K rozpatrujemy.) Twierdzenie 10.1 (i) dim K A = 0 V (I) =, (ii) dim K A < V (I) jest zbiorem skończonym, (iii) K = C oraz V (I) C = dim C A C = 0, (iv) V (I) C skończony dim C A C <. Definicja. Algebra A jest skończenie wymiarowa, jeżeli dim K A <.
17 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 17 Ćwiczenia. 1. Załóżmy, że X 3 XY oraz Y 2 + X Y należą do ideału I K[X, Y ]. Pokaż, że dim K A Niech f i K[X] = K[X 1,..., X n ] będą takimi wielomianami, że f i = X k(i) i + p i (1 i n) gdzie wielomian p i ma stopień < k(i). Niech Pokaż, że dim K A <. f 1,..., f n I K[X], A = K[X]/I. 3. Niech I = (X 2 +Y, XY 1) K[X, Y ]. Pokaż,że dim K K[X, Y ]/I <. Ćwiczenia 1. Jeżeli f = c α X α C[X], to f = c α X α C[X] oraz f = 1 2 (cα + c α )X α R[X]. 2. Jeżeli f C[X] to: f R[X] f = f f = f. Fakt 10.2 Niech g, f 1,..., f r R[X]. Oznaczmy: I R ideał generowany przez f 1,..., f r w R[X] I C ideał generowany przez f 1,..., f r w C[X] Wtedy (i) g I R g I C, więc I R = I C R[X]. (ii) I R = R[X] I C = C[X]. Fakt 10.3 Niech I R (odp. I C ) będzie ideałem w R[X] (odp. w C[X]) generowanym przez f 1,..., f r R[X]. Wtedy dim R R[X]/I R = dim C C[X]/I C, oraz dim R C[X]/I C = 2 dim C C[X]/I C = 2 dim R R[X]/I R.
18 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 18 Twierdzenie 10.4 Niech f 1,..., f r K[X]. Jeżeli 0 < dim K K[X]/(f 1,..., f r ) < to r n. Ćwiczenie. Udowodnij powyższe Twierdzenie, gdy n = 2. Definicja. Wielomian h K[X] jest jednorodny stopnia k jeżeli wszystkie jego jednomiany są stopnia k, tzn. h = α a α X α, α = k. (Przyjmujemy że wielomian zerowy ma dowolny stopień!) Każdy wielomian f stopnia p daje się jednoznacznie przedstawić jako suma f = (f) 0 + (f) (f) p, gdzie (f) k jest sumą jednomianów z f stopnia k, oraz (f) p 0. Jeżeli h jest jednorodny stopnia k 1, to 0 h 1 (0). Wielomiany jednorodne stopnia 0 są stałymi. Ćwiczenia. 1. Niech h 1,..., h s będą wielomianami jednorodnymi. Jeżeli x 0 h 1 1 (0)... h 1 s (0), x 0 0 to prosta K x 0 jest zawarta w h 1 1 (0)... h 1 s (0). Więc h 1 1 (0)... hs 1 (0) jest zbiorem pustym jeżeli jeden z h i 0 jest stopnia 0, = {0}, albo jest zbiorem nieskończonym. (Jeżeli n = 2 to w trzecim wypadku jest to skończona suma prostych przechodzących przez początek układu 0.)
19 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG Jednorodny wielomian h C[X, Y ] daje się jednoznacznie (z dokładnością do niezerowej stałej) rozłożyć na iloczyn składników liniowych postaci ax + by. Twierdzenie 10.5 (Bézout I) Jeżeli h 1,..., h n C[X] = C[X 1,..., X n ] są jednorodne stopni k 1,..., k n to poniższe warunki są równoważne: (i) h 1 1 (0)... h 1 n (0) jest skończony (tzn. = {0}), (ii) dim C C[X]/(h 1,..., h n ) <, (iii) dim C C[X]/(h 1,..., h n ) = k 1 k n. Twierdzenie 10.6 (Bézout II) Niech g 1,..., g n K[X] = K[X 1,..., X n ] będą stopnia k 1,..., k n (K = C lub K = R). Niech h 1 = (g 1 ) k1,..., h n = (g n ) kn. Jeżeli {z C n h 1 (z) = = h n (z) = 0} jest skończony (tzn. = {0}), to dim K K[X]/(g 1,..., g n ) = k 1 k n. Twierdzenie 10.7 (Bézout I, wersja lokalna) Jeżeli h 1,..., h n C[X] = C[X 1,..., X n ] są jednorodne stopni k 1,..., k n to poniższe warunki są równoważne: (i) h 1 1 (0)... h 1 n (0) jest skończony (tzn. = {0}), (ii) dim C C[[X]]/(h 1,..., h n ) <, (iii) dim C C[[X]]/(h 1,..., h n ) = k 1 k n. Twierdzenie 10.8 (Bézout II, wersja lokalna) Niech g 1,..., g n K[X] = K[X 1,..., X n ] będą niezerowymi wielomianami. Wtedy istnieją niezerowe jednorodne wielomiany h i stopnia l i takie, że g i = h i + jednomiany stopnia > l i. Jeżeli {z C n h 1 (z) = = h n (z) = 0} jest skończony (tzn. = {0}), to dim K K[[X]]/(g 1,..., g n ) = l 1 l n.
20 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG Bazy Gröbnera dla dwóch zmiennych W zbiorze N 2 można wprowadzić tzw. porządek leksykograficzny z gradacją: Definicja. Jeżeli α = (α 1, α 2 ), β = (β 1, β 2 ) należą do N 2 to α > β jeśli α > β, lub α = β i α 1 > β 1. Dla niezerowego wielomianu f = α a αx α K[X, Y ] oznaczmy multideg(f) = max(α a α 0), LC(f) = a multideg(f), LM(f) = X multideg(f), LT(f) = a multideg(f) X multideg(f). Fakt 11.1 multideg(f g) = multideg(f) + multideg(g), LC(f g) = LC(f) LC(g), LM(f g) = LM(f) LM(g), LT(f g) = LT(f) LT(g). Definicja. Niech I K[X] będzie niezerowym ideałem. Oznaczmy: LT(I) = {LT(f) f I \ {0}}, < LT(I) > ideał generowany przez LT(I). Fakt 11.2 Jeżeli jednomian X α < LT(I) >, to dla każdego β N 2 jednomian X α X β = X α+β < LT(I) >. Twierdzenie 11.3 (i) Istnieją g 1,..., g s I takie, że ideał < LT(I) > jest generowany przez LM(g 1 ),..., LM(g s ), (ii) g 1,..., g s generują ideał I,
21 Podstawowe własności pierścieni, Instytut Matematyki UG 21 (iii) dla dowolnego f K[X] istnieje dokładnie jeden wielomian g = g(f) oraz dokładnie jeden wielomian r = r(f) takie, że f = r(f) + g(f) = r + f, g I oraz żaden jednomian wielomianu r nie dzieli się przez żaden z jednomianów LM(g 1 ),..., LM(g s ). Definicja. Wielomiany g 1,..., g s nazywamy bazą Gröbnera ideału I. Wielomian r(f) nazywamy postacią normalną wielomianu f. (Uwaga: nie każdy zbiór generatorów ideału jest jego bazą Gröbnera!) Wniosek 11.4 Każdy element pierścienia ilorazowego K[X]/I daje się jednoznacznie przedstawić jako skończona K liniowa kombinacja jednomianów które nie dzielą się przez żaden z jednomianów LM(g 1 ),..., LM(g s ), wymiar dim K K[X]/I jest równy ilości jednomianównie które nie dzielą się przez żaden z jednomianów LM(g 1 ),..., LM(g s ). Ćwiczenie. Niech f 1, f 2 K[X] = K[X, Y ] będą takimi wielomianami, że f 1 = X k(1) + p 1, f 2 = Y k(2) + p 2, gdzie wielomian p i ma stopień < k(i). Niech I = (f 1, f 2 ) K[X]. Pokaż, że f 1, f 2 są bazą Gröbnera ideału I. (Można skorzystać z Twierdzenia Bézout.) 12 Dziedziny z jednoznacznością rozkładu Niech P będzie dziedziną całkowitości. Element a 0 nazywamy nierozkładalnym, jeżeli nie jest odwracalny, i jeżeli a = bc, to b lub c jest odwracalny.
22 Zbiór wszystkich elementów P jest sumą parami rozłącznych zbiorów: {0}, zbiór elementów odwracalnych, zbiór elementow nierozkładalnych, zbiór elementow rozkładalnych. Element nieodwracalny jest pierwszy, jeżeli: a bc a b lub a c. Fakt 12.1 Elementy pierwsze są nieodwracalne. Dziedzinę całkowitości P nazywamy dziedziną z jednoznacznością rozkładu, jeżeli (a) każdy element rozkładalny jest iloczynem pewnej liczby elementow nierozkładalnych, (b) przedstawienie w postaci iloczynu jest jednoznaczne z dokładnością do porządku i stowarzyszenia. Twierdzenie 12.2 P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy (i) każdy element rozkładalny jest iloczynem elementów nierozkładalnych, (ii) każdy element nierozkładalny jest pierwszy. Twierdzenie 12.3 Jeżeli P jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, to pierścień wielomianów P [x] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Twierdzenie 12.4 Jeżeli K jest ciałem ułamków dziedziny z jednoznacznością rozkładu P i element a P [x] jest nierozkładalny w P [x], to a jest nierozkładalny w K[x] lub a P i a jest nierozkładalny w P. (Więc jeżeli a jest rozkładalny w K[x], to jest też rozkładalny w P [x].)
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoDefinicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoSpektrum pierścienia i topologia Zariskiego
Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoAlgebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.
Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoAlgebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Bardziej szczegółowoO ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady
Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoWielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoAlgebraiczna Teoria Liczb
Algebraiczna Teoria Liczb Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze letnim roku 2008r. (niekompletne- pominięto ostatnie wykłady o szeregach Diricheta) 08.05.2008r. W tej części rozważań wszystkie
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoPojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański
Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoPodciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 6. Znajomość podstaw logiki, teorii mnogości i algebry liniowej.
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Algebra abstrakcyjna Abstract algebra Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Prof. dr hab. Kamil Rusek Zespół dydaktyczny: Dr Antoni Chronowski Opis kursu (cele kształcenia)
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoUniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoAlgebraiczna geometria rzutowa
Algebraiczna geometria rzutowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Czerwiec 2003 Spis treści
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoWielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoim = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Bardziej szczegółowo