ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1
|
|
- Sławomir Jastrzębski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Projekt współfinansowany ze środków Unii uropejskiej w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego. ZNI N OWOZNI GOMTRI Z. 1 utor: Wojciech Guzicki Materiały konferencyjne Wrzesień 010 entralna Komisja gzaminacyjna Zespół ds. realizacji projektów współfinansowanych z uropejskiego Funduszu Społecznego ul. Lewartowskiego 6, Warszawa tel./fax (0) tel. (0)
2 ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. I Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych matury próbnej(listopad 009 r.) i matury podstawowej (maj 010 r.) znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania zdający mógł otrzymać pkt. Zatem były to tzw. zadania krótkiej odpowiedzi. Przy wystawianiu oceny za rozwiązanie zadania na dowodzenie kierowano się zasadą, że dowód matematyczny powinien być kompletny i tylko w wyjątkowych sytuacjach można uznać, że zdający pokonał zasadnicze trudności zadania, nie doprowadzając przy tym rozwiązania do końca. W tym opracowaniu pokazuję 1 zadań geometrycznych na dowodzenie o podobnym stopniu trudności jak zadania ze wspomnianych wyżej arkuszy. Przyjmuję, że za poprawne rozwiązanie każdego z tych zadań przyznaje się pkt. Natomiast kwestia, za jakie rozwiązanie częściowe można przyznać 1 pkt, jest w każdym przypadku sprawą dyskusyjną. Pokazuję trzy typy zadań na dowodzenie. Pierwszy polega na tzw. rachunku kątów. owód geometryczny sprowadza się do wyznaczenia miar pewnych istotnych w zadaniu kątów i wyciągnięciu właściwych wniosków z przeprowadzonych obliczeń. W takich zadaniach pokonanie zasadniczych trudności zadania może polegać na właściwym wybraniu kątów wyjściowych i wyznaczeniu(za ich pomocą) miar innych kątów. okończenie rozwiązania sprowadza się wówczas do wyciągnięcia wniosków. rugi typ zadań to proste nierówności geometryczne, w dowodzie których wykorzystuje się tzw. nierówność trójkąta. Pokonanie zasadniczych trudności zadania może polegać na właściwym wyborze trójkątów i zapisaniu nierówności trójkąta dla nich. Znów dokończenie rozwiązania może polegać na zebraniu razem tych nierówności. Wreszcie trzeci typ zadań to proste zadania, w których korzysta się z przystawania trójkątów. Pokonanie zasadniczych trudności zadania może polegać na właściwym wyborze trójkątów i pełnym uzasadnieniu ich przystawania(dokończenie rozwiązania polega wówczas na wyciągnięciu wniosku) lub na właściwym wyborze trójkątów, stwierdzeniu ich przystawania i wyciągnięciu poprawnego wniosku przy braku pełnego uzasadnienia przystawania. We wszystkich przedstawionych dowodach korzystamy z następujących twierdzeń geometrycznych, które powinny być dobrze znane każdemu maturzyście: 1.Sumakątówtrójkątajestrówna180. 1a.Sumakątówostrychtrójkątaprostokątnegojestrówna90. 1b. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. 1c.Sumakątówczworokątajestrówna360.. Kąty wierzchołkowe są równe. 3.Sumakątówprzyległychjestrówna Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. 5. Kąty odpowiadające i naprzemianległe przy dwóch prostych równoległych są równe. 1
3 5a. Suma kątów położonych przy tym samym boku równoległoboku jest równa b. Przeciwległe kąty równoległoboku są równe. 6. Suma dwóch boków trójkąta jest większa od boku trzeciego. 7. oki trójkąta położone naprzeciw równych kątów są równe. Korzystamy także z trzech cech przystawania trójkątów.
4 ZNI 1. Rachunek kątów 1. PunktOleżywewnątrztrójkąta.Udowodnij,że O>.. any jest trójkąt ostrokątny równoramienny, w którym =. Odcinek jestwysokościątegotrójkąta.udowodnij,że =. 3. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wybrano punkty i wtakisposób,by=oraz=.udowodnij,że = anyjesttrójkąt,wktórym =, =βoraz =γ.na bokach,itegotrójkątawybranoodpowiedniopunkty,ifwtaki sposób,by=f,=fi=.udowodnij,że F= +β =90 γ. 5. W pięciokącie wypukłym poprowadzono wszystkie przekątne. Udowodnij, że = anyjestczworokątwypukły.punktyp,q,rissąpunktamiprzecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych czworokąta. Udowodnij, że sumy przeciwległych kątów czworokąta P QRS są równe. 7. Wrównoległoboku,wktórymbokjestdwarazydłuższyodboku, połączonośrodekmbokuzwierzchołkamii.udowodnij,żekątm jest prosty. 8. Punktyileżąodpowiedniowewnątrzbokówitrójkąta.Punkt F jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów i. Udowodnij, że + = F. 9. Na bokach trójkąta równobocznego, na zewnątrz trójkąta, zbudowano dwa kwadratyfighoraztrójkątrównobocznytakjaknarysunku: G F H 3
5 Udowodnij, że kąt H jest prosty. 10. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że==.udowodnij, że = Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że = Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że = Nierówność trójkąta 13. PunktyKiLleżąnabokutrójkąta.Udowodnij,żeobwódtrójkątaKL jest mniejszy od obwodu trójkąta. 14. W trójkącie połączono wierzchołek z dowolnym punktem boku. Udowodnij, że >+. 3. Przystawanie trójkątów 15. Nabokach,itrójkątazbudowano(nazewnątrztrójkąta)trzy trójkątyrównoboczne:f,i.udowodnij,że==f. 16. Na bokach i równoległoboku zbudowano(na zewnątrz równoległoboku) trójkąty równoboczne K i L. Udowodnij, że trójkąt KL jest równoboczny. 17. any jest równoległobok z kątem ostrym przy wierzchołku. Na półprostej wyznaczonopunktm(m )taki,że=m,anapółprostejpunkt N(N )taki,że=n.udowodnij,żem=n. 18. NabokachikwadratuobranoodpowiedniopunktyiFtakie,że +F=.Udowodnij,żesumakątówF,Fiwynosi Na bokach, i trójkąta zbudowano trzy trójkąty równoboczne: P,RiQ.TrójkątRleżypotejsamejstroniebokucotrójkąt,pozostałedwależąnazewnątrztrójkąta.Udowodnij,żepunkty,P, R i Q są współliniowe lub są wierzchołkami równoległoboku. 0. anesądwakwadraty:ifg.wobukwadratachpodanakolejność wierzchołków jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara. Udowodnij, że = G. 4
6 1. PunktPleżynabokuprostokąta.PunktyQiRsąrzutamipunktu Pnaprzekątnei.Punktjestrzutemwierzchołkanaprzekątną. Udowodnij,żePQ+PR=. 5
7 ROZWIĄZNI ZŃ 1. Rachunek kątów 1. PunktOleżywewnątrztrójkąta.Udowodnij,że O>. Rozwiązanie; sposób I. Przedłużmy odcinek O do przecięcia z bokiem trójkąta. O KątOjestkątemzewnętrznymtrójkątaO;zatem O> O.KątO jest kątem zewnętrznym trójkąta ; zatem O >. Stąd wynika, że O>. Rozwiązanie; sposób II. Oznaczmy kąty tak jak na rysunku: O ε β η Mamy wówczas =+ε, =β+η. Stąd wynika, że awięc < O. =180 =180 β ε η= =(180 β) (ε+η)= O (ε+η),. any jest trójkąt ostrokątny równoramienny, w którym =. Odcinek jestwysokościątegotrójkąta.udowodnij,że =. 6
8 Rozwiązanie.Oznaczmy =γoraz =. γ Wtedyγ=180,czyli= 180 γ =90 γ.stąddostajemy = = (90 γ)=90 γ 90 +γ= γ, czyli =γ=. 3. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wybrano punkty i wtakisposób,by=oraz=.udowodnij,że =45. Rozwiązanie. Oznaczmy kąty ostre trójkąta tak jak na rysunku: β Ponieważ=,więc = = 180 =90.Stądwynika,że =.Wpodobnysposóbpokazujemy,że = β.zatem =90 β =90 +β =90 90 = anyjesttrójkąt,wktórym =, =βoraz =γ.na bokach,itegotrójkątawybranoodpowiedniopunkty,ifwtaki sposób,by=f,=fi=.udowodnij,że Rozwiązanie. F= +β γ =90 γ. F β 7
9 PonieważtrójkątFjestrównoramienny(zzałożeniamamyF=),więc F= F= 180 =90. Podobnie trójkąt F jest równoramienny, skąd wynika, że F= F=90 β. Stąd dostajemy F=180 ( 90 ) ( 90 β ) = +β = 180 γ =90 γ. 5. W pięciokącie wypukłym poprowadzono wszystkie przekątne. Oblicz sumę kątów Rozwiązanie. Niech P i Q będą punktami przecięcia przekątnej odpowiednio z przekątnymi i. Oznaczmy kąty literami greckimi tak jak na rysunku: δ ε Q ψ ϕ P γ β KątϕjestkątemzewnętrznymtrójkątaP,awięcϕ=β+δ.Kątψjestkątem zewnętrznymtrójkątaq,więcψ=+γ.sumakątówtrójkątapqjestrówna ϕ+ψ+ε=180,skądwynika,że+β+γ+δ+ε= anyjestczworokątwypukły.punktyp,q,rissąpunktamiprzecięcia dwusiecznych kątów zewnętrznych czworokąta. Udowodnij, że sumy przeciwległych kątów czworokąta P QRS są równe. 8
10 Rozwiązanie. Oznaczmy kąty tak jak na rysunku: R S δ γ β Q P Wówczas P= 1 (180 )=90.Podobnie P=90 β.stąddostajemy P= +β γ+δ.wpodobnysposób R=.Zatem P+ R= +β + γ+δ = +β+γ+δ = 360 =180 ipodobnie Q+ S= Wrównoległoboku,wktórymbokjestdwarazydłuższyodboku, połączonośrodekmbokuzwierzchołkamii.udowodnij,żekątm jest prosty. Rozwiązanie.Oznaczmykątliterą.TrójkątyMiMsąrównoramienne, bo=m=m=. M Zatem M= 180 oraz M= 180 (180 ) =.Stądwynika,że M+ M= =90, czyli M= Punktyileżąodpowiedniowewnątrzbokówitrójkąta.Punkt F jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów i. Udowodnij, że + = F. 9
11 Rozwiązanie.Przyjmijmyoznaczenia: =, =β, =δoraz =ε: F δ β ε Zauważmy, że Zatem =180 (+ε) oraz =180 (β+δ). + =360 (+β+δ+ε). PonieważpunktFleżynadwusiecznychkątówi,więc Zatem F= +δ oraz F= β+ε. F=180 ( F+ F)=180 +β+δ+ε. Stądnatychmiastwynika,że + = F. 9. Na bokach trójkąta równobocznego, na zewnątrz trójkąta, zbudowano dwa kwadratyfighoraztrójkątrównobocznytakjaknarysunku: G F H Udowodnij, że kąt H jest prosty. 10
12 Rozwiązanie.PonieważH===,więctrójkątHjestrównoramienny. Następnie H=360 H = =150, skąd wynika, że H= 1 (180 H)=15. Podobniedowodzimy,że =15.Zatem c.b.d.o. H= H+ + = =90, 10. Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że==.udowodnij, że =36. Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą : Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc =. Ponieważ kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta, więc = + =. Trójkątjestrównoramienny,więc =.Wreszcie = =, bo trójkąt jest równoramienny. Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie dostajemy teraz równanie + + =180, czyli++=180.zatem5=180,czyli= Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że =36. 11
13 Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą : Wówczas =(botrójkątjestrównoramienny)oraz =(bo trójkątjestrównoramienny).zatem = + =.Ponieważ trójkątjestrównoramienny,więc =.Stądwynika,że =3. Mamy zatem równanie + + =180, czyli+3+=180.zatem5=180,czyli= Trójkąt równoramienny, w którym =, rozcięto odcinkiem na dwatrójkątyrównoramienneitak,że=oraz=. Udowodnij,że = Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą : Ponieważ trójkąt jest równoramienny, więc =. Ponieważ kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta, więc = + =. Trójkątjestrównoramienny,więc =.Stądwynika,że =3 oraz = =3,botrójkątjestrównoramienny.Ztwierdzeniao sumie kątów w trójkącie dostajemy teraz równanie + + =180, czyli3+3+=180.zatem7=180,czyli=
14 . Nierówność trójkąta 13. PunktyKiLleżąnabokutrójkąta.Udowodnij,żeobwódtrójkątaKL jest mniejszy od obwodu trójkąta. Rozwiązanie. Korzystamy dwukrotnie z nierówności trójkąta: K L K<K+, L<L+. odajemy stronami te nierówności, a następnie do obu stron dodajemy KL: K+L+KL<K++L++KL= W trójkącie połączono wierzchołek z dowolnym punktem boku. Udowodnij, że >+. Rozwiązanie. Korzystamy dwukrotnie z nierówności trójkąta dla trójkątów i: Otrzymujemy <+, <+. Po dodaniu tych nierówności stronami, otrzymujemy +< ++= +, czyli >+. 13
15 3. Przystawanie trójkątów 15. Na bokach, i trójkąta równobocznego leżą odpowiednio punkty,iftak,że==f.udowodnij,żetrójkątfjestrównoboczny. Rozwiązanie.Ponieważ==Fi==,więc==F. F Terazzauważamy,że F F(cechaprzystawaniaK),skąd wynika,że=f=f. 16. Na bokach i równoległoboku zbudowano(na zewnątrz równoległoboku) trójkąty równoboczne K i L. Udowodnij, że trójkąt KL jest równoboczny. Rozwiązanie.Przypuśćmy,żekątjestkątemostrymrównoległobokuoraz<60. Pozostałe przypadki pozostawimy jako ćwiczenie. L K Wówczas=L=LorazK==K.Ponadto K=360 K=360 (180 ) 60 =10 +, L=360 L L=360 (180 ) 60 =10 +, LK= + K+ L= =
16 Stądwynika,żetrójkątyK,LiLKsąprzystające,awięcK=L=LK. 17. any jest równoległobok z kątem ostrym przy wierzchołku. Na półprostej wyznaczonopunktm(m )taki,że=m,anapółprostejpunkt N(N )taki,że=n.udowodnij,żem=n. Rozwiązanie. Oznaczmy kąt literą M N Wtedy =.Zauważmynastępnie,żetrójkątyMiNsąrównoramienne iichkątyprzypodstawiesąrówne(bokątyminsąwierzchołkowe).zatem M= Nistądwynika,że N= N+= M+= M. ZatemtrójkątyNiMsąprzystające(cechaprzystawaniaK)iN=M. 18. NabokachikwadratuobranoodpowiedniopunktyiFtakie,że +F=.Udowodnij,żesumakątówF,Fiwynosi90. Rozwiązanie.Ponieważ=F,więc= = ( F)=F. Zatemtakże=F. F 15
17 Zzałożeńwynika,żetrójkątyF isąprzystające(=,=f, F= =90,cechaprzystawaniaK).PodobnietrójkątyiFsą przystające. Stąd wynika, że F+ F+ = + F+ F= = Na bokach, i trójkąta zbudowano trzy trójkąty równoboczne: P,RiQ.TrójkątRleżypotejsamejstroniebokucotrójkąt,pozostałedwależąnazewnątrztrójkąta.Udowodnij,żepunkty,P, R i Q są współliniowe lub są wierzchołkami równoległoboku. Rozwiązanie. Przypuśćmy, że punkty, P, R i Q nie są współliniowe. Rozpatrujemy tylkoprzypadek,gdy <60,tzn.gdypółprostależywewnątrzkątaR. Pozostałe przypadki zostawiamy zytelnikowi. P R Q TrójkątyiRPsąprzystające( =60 R= RP,=R, =P,cechaprzystawaniaK).ZatemPR=.Wpodobnysposóbdowodzimy,żetrójkątyiRQsąprzystające.ZatemQ=Q=.Stądwynika, żepr=q.ztegodrugiegoprzystawaniawynikarównież,żep==rq. zworokąt P QR ma zatem przeciwległe boki równe, a więc jest równoległobokiem. 0. anesądwakwadraty:ifg.wobukwadratachpodanakolejność wierzchołków jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara. Udowodnij, że = G. Rozwiązanie. Rozpatrujemy przypadek, gdy wierzchołek leży wewnątrz kwadratu. F G TrójkątyiGsąprzystające( =90 = G,=, =G,cechaprzystawaniaK).Zatem=G. 16
18 1. PunktPleżynabokuprostokąta.PunktyQiRsąrzutamipunktu Pnaprzekątnei.Punktjestrzutemwierzchołkanaprzekątną. Udowodnij,żePQ+PR=. Rozwiązanie.NiechbędzierzutempunktunaprzekątnąiniechFbędzie rzutempunktupnaodcinek. F Q R P zworokątprfjestprostokątem,więcpr=f.zauważamyteraz,żepf, skądwynika,że PF= = = PQ.Stądwynika,żetrójkątyprostokątnePFiPQsąprzystające.ZatemPQ=F,czyliPQ+PR=F+F=, co kończy dowód. 17
ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki
ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy
Bardziej szczegółowoTrójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +
Bardziej szczegółowoNawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk
PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowo2 Figury geometryczne
Płaszczyzna, proste... 21 2 igury geometryczne 1 Płaszczyzna, proste i półproste P 1. Wypisz proste, do których: a) prosta k jest równoległa, o n k l b) prosta p jest prostopadła, m c) prosta k nie jest
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania
SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoCztery punkty na okręgu
Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowoFigury geometryczne. 1. a) Narysuj prostą prostopadłą do prostej, przechodzącą przez punkt. b) Narysuj prostą równoległą do prostej,
Figury geometryczne str. 1/7...... imię i nazwisko lp. w dzienniku...... klasa data 1. a) Narysuj prostą prostopadłą do prostej, przechodzącą przez punkt. b) Narysuj prostą równoległą do prostej, przechodzącą
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoProjekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć
Kartka papieru i własności trójkątów. Ćwiczenie 1 Uczniowie ustalają ile znają rodzajów trójkątów. Podział ze względu na miary kątów Podział ostrokątny prostokątny rozwartokątny ze względu na długości
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa
Bardziej szczegółowoO Z A D A N I A C H N A D O W O D Z E N I E W G E O M E T R I I W. G U Z I C K I ORE, 6 kwietnia 2017 r.
O ZNIH N OWOZNI W GOMTRII W. GUZIKI W. Guzicki: O zadaniach na dowodzenie w geometrii 1 Zadanie1.anyjesttrójkątrównoramienny,wktórym=.Wtymtrójkącie poprowadzono wysokość. Udowodnij, że =2. W. Guzicki:
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA. Klasyfikacja kątów ze względu na
GEOMETRIA Geometrię należy zacząć od definicji najprostszych pojęć z nią związanych: z punktem i prostą. Są to pojęcia niedefiniowalne...na szczęście dla ucznia nie mają definicji. Punkty oznaczamy wielką
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoMATURA probna listopad 2010
MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA PODSTAWOWA GEOMETRIA Z TRYGONOMETRIA
www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI MTUR PRÓN POSTWOW GEOMETRI Z TRYGONOMETRI ZNIE 1 (1 PKT) W trójkacie prostokatnym naprzeciw kata ostrego α leży przyprostokatna długości 3 cm.
Bardziej szczegółowoXVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Zadanie. 4 Rozwiąż równanie 07 sin( ). Wiadomo, że: wyrażenie 4 przyjmuje wartości nieujemne dla każdego
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 0, grupa zaawansowana (7.03.010) krąg dziewięciu
Bardziej szczegółowoPraca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)
Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Wojewódzki
pieczątka WKK Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Wojewódzki Drogi Uczniu Witaj na III etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza
Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria
Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1
Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 1 Twierdzenie Pitagorasa, potrzebne do rozwiązywania trójkątów, na ogół jest wprowadzane przez nauczyciela i rzadko bywa na lekcjach
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoSkrypt 28. Przygotowanie do egzaminu Podstawowe figury geometryczne. 1. Przypomnienie i utrwalenie wiadomości dotyczących rodzajów i własności kątów
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 28 Przygotowanie do egzaminu Podstawowe figury
Bardziej szczegółowoPYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2
Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)
PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Kolokwium nr 3: 27.01.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Kolokwium nr 4: 3.02.2015 (wtorek), godz. 8:15-10:00 (materiał zad. 1-309) Ćwiczenia 13,15,20,22.01.2015 (wtorki, czwartki) 266.
Bardziej szczegółowoProjekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.
Bardziej szczegółowoMiędzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA
ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest
Bardziej szczegółowoMałopolski Konkurs Matematyczny r. etap wojewódzki A B C D E
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ Z KARTY ODPOWIEDZI Numer zadania SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ TESTOWYCH Liczba punktów za zadanie Miejsce na odpowiedź ucznia A B C D E 1 X X X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. rok szkolny 2016/2017. Etap III etap wojewódzki- klucz odpowiedzi
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2016/2017 Etap III etap wojewódzki- klucz odpowiedzi W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp)
Kod ucznia Nazwisko i imię ucznia M A T E M A T Y K A klasa -(pp) MAJ 07 Czas pracy: 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron (zadania -4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Bardziej szczegółowoMetoda objętości zadania
Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki w kl. V.
Scenariusz lekcji matematyki w kl. V. T em a t : Powtórzenie wiadomości o czworokątach. C z a s z a jęć: 1 jednostka lekcyjna (45 minut). C e l e o g ó l n e : utrwalenie wiadomości o figurach geometrycznych
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6
Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 6 Lang: Długość okręgu. pole pierścienia będę chciał znaleźć inne wyrażenie na pole pierścienia. oszacowanie
Bardziej szczegółowoGeometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom podstawowy. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania 22 = 2
Vademecum KRYTERI OENINI OPOWIEZI Próbna Matura z OPERONEM Operon 00% MTUR 07 V EMEUM ZKRES POSTWOWY KO WEWNĄTRZ Poziom podstawowy Zacznij przygotowania do matury już dziś Listopad 06 Zadania zamknięte
Bardziej szczegółowoXXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy
XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej
Bardziej szczegółowoPytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Bardziej szczegółowoTest kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Bardziej szczegółowoZadanie 2. ( 4p ) Czworokąt ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach B i D. Ponadto AB = BC i BH = 1.
Zadanie 1. ( p ) Dodatnia liczba naturalna n ma tylko dwa dzielniki naturalne, podczas gdy liczba n + 1 ma trzy dzielniki naturalne. Liczba naturalna n + ma. dzielniki naturalne. Liczna n jest równa..
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię.. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Klasa Nazwisko i imię.. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut MARZEC ROK 2019 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 22 strony (zadania
Bardziej szczegółowoTwierdzenie o podziale odcinków w czworokącie. Joanna Sendorek
Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie Joanna Sendorek Spis treści Wstęp 2 2 Stosunki odcinków w czworokątach 2 3 Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie 4 4 ibliografia 5 Wstęp W swojej pracy
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom podstawowy. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania 22 = 2
Vademecum GIELMTURLN.PL OIERZ KO OSTĘPU* Matematyka - Twój indywidualny klucz do wiedzy! *Kod na końcu klucza odpowiedzi KRYTERI OENINI OPOWIEZI Próbna Matura z OPERONEM Operon 00% MTUR 07 V EMEUM Matematyka
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY V : 1. doda i odejmie liczby naturalne sposobem pisemnym z przekraczaniem progów
Bardziej szczegółowoZadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1
Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 19, grupa zaawansowana (20.03.2010) Zastosowania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum
WYMAGANIA na poszczególne oceny-klasa I Gimnazjum Oceny z plusem lub minusem otrzymują uczniowie, których wiadomości i umiejętności znajdują się na pograniczu wymagań danej oceny głównej. (Znaki + i -
Bardziej szczegółowoSkrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 24 Geometria analityczna:
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Bardziej szczegółowo