Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza"

Transkrypt

1 Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza

2 Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania struktury pliku, zmiany jego formatu, dystrybuowania go oraz odtwarzania publicznie. Zbiór zadań z geometrii przestrzennej c 2015 opyright for Polish edition by Netina.pl & Michał Kieza

3

4 Przedmowa Niniejszy zbiór zadań z geometrii przestrzennej przeznaczony jest dla uczniów startujących w Olimpiadzie Matematycznej Gimnazjalistów, zarówno tych początkujących, jak i bardziej zaawansowanych, także sięgających wzrokiem w kierunku Olimpiady Matematycznej. Polecam go też tym, którzy próbują swoich sił w Olimpiadzie Matematycznej, jednak zadania z Kącików Przestrzennych w elcie są dla nich zbyt zaawansowane. Zbiór może też okazać się dobrą pomocą dla nauczycieli przygotowujących uczniów do olimpiad. Zadania, które zebrałem, pochodzą z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów lub są zbliżone do nich poziomem. Nie wahałem się jednak dać trochę nieco trudniejszych zadań, które starałem się rozbić na podpunkty lub dać je obok zadań z tego samego tematu żywiąc nadzieję, że nawet mniej zaawansowany uczeń poradzi sobie z nimi. Pozwoliłem sobie także na omówienie niektórych bardziej zaawansowanych zagadnień jak np. równoległościan opisany na czworościanie czy metoda objętości, ilustrując je odpowiednio dobranymi trudnościowo przykładami. Zbiór zawiera ponad 120 zadań. o każdego z nich jest rozwiązanie (czasem nawet kilkoma sposobami) niemal we wszystkich przypadkach opatrzone rysunkiem. Większość rozdziałów zawiera krótki wstęp wraz z omówionymi przykładami. Michał Kieza 3

5 4 Michał Kieza Spis treści 1. Proste i płaszczyzny str zworościan dowolny podstawowe własności str Twierdzenia o krawędziach bocznych i apotemach str Metoda siatek str Najmocniejsze twierdzenie stereometrii str Objętość str zworościan foremny str zworościany mające szczególne własności str Zadania różne str Rozwiązania zadań str. 41 Proste i płaszczyzny str. 41 zworościan dowolny podstawowe własności str. 58 Twierdzenia o krawędziach bocznych i apotemach str. 70 Metoda siatek str. 78 Najmocniejsze twierdzenie stereometrii str. 83 Objętość str. 94 zworościan foremny str. 104 zworościany mające szczególne własności str. 114 Zadania różne str. 126

6 1. Proste i płaszczyzny 5 1. Proste i płaszczyzny Prostopadłość efinicje. Proste prostopadłe proste k i l znajdujące się w przestrzeni są prostopadłe, gdy albo leżą w jednej płaszczyźnie i są prostopadłe albo istnieje prosta m równoległa do l współpłaszczyznowa z k i do niej prostopadła. Prosta prostopadła do płaszczyzny prosta k jest prostopadła do płaszczyzny π, gdy jest prostopadła do każdej z prostych zawartych w tej płaszczyźnie. Płaszczyzny prostopadłe płaszczyzny π 1 i π 2 są prostopadłe, gdy istnieje prosta k zawarta w płaszczyźnie π 1 prostopadła do płaszczyzny π 2. Twierdzenie 1.1. Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny π wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do pewnych dwóch nierównoległych prostych leżących w tej płaszczyźnie. owód Wystarczy oczywiście dowieść implikację w lewo. Niech M będzie punktem przecięcia się prostej k z płaszczyzną π (rys. 1). Załóżmy, że prosta k jest prostopadła do pewnych dwóch prostych l i m oraz że obie one przechodzą przez punkt M (możemy tak zrobić, bowiem przesunięcie równoległe prostych l i m nie wpływa na ich prostopadłość do prostej k). Wystarczy jeśli udowodnimy, że prosta k jest prostopadła do dowolnej prostej n przechodzącej przez punkt M (z tego samego, co wcześniej powodu). k m n M N l π rys. 1 Niech i będą dwoma punktami leżącymi na prostej k po przeciwnych stronach punktu M, takimi, że M =M. Na prostych l i m wybierzmy w dowolny sposób odpowiednio punkty i (różne od M) oraz niech prosta przecina prostą n w punkcie N. Z prostopadłości prostej k do prostych l i m oraz równości M =M wnosimy, że = oraz =. W takim razie

7 6 Michał Kieza trójkąty i są przystające. To zaś oznacza, że przystające są także trójkąty N i N (bok-kąt-bok), skąd N = N. Trójkąt N jest więc równoramienny, zatem jego środkowa M N jest prostopadła do podstawy. To pociąga za sobą prostopadłość prostych n i k i kończy dowód twierdzenia. Zadania dotyczące prostopadłości rozwiązuje się w oparciu o następujący schemat. Załóżmy, że chcemy dowieść, że prosta a jest prostopadła do prostej b. W tym celu musimy najpierw znaleźć dwie nierównoległe proste p i q (leżące w tej samej płaszczyźnie, co prosta b), które są prostopadłe do prostej a. Następnie wystarczy zastosować twierdzenie 1.1. W rozwiązaniach niektórych zadań można zastosować twierdzenie o trzech prostych prostopadłych, które sformułujemy poniżej. Jest ono szczególnym przypadkiem opisanego schematu, choć być może nie widać tego na pierwszy rzut oka. Twierdzenie 1.2. (Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych) Prosta k przecina płaszczyznę π w punkcie P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l należy do płaszczyzny π i przechodzi przez punkt P. Niech k będzie rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π. Wówczas prosta l jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k. owód Niech będzie dowolnym punktem na prostej k różnym od P, zaś jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę π. Wówczas punkt należy do prostej k, a prosta jest prostopadła do płaszczyzny π, w szczególności także do prostej l. k l P k π rys. 2 Załóżmy najpierw, że prosta l jest prostopadła do prostej k. Stąd i z prostopadłości k oraz wynika, że prosta l jest prostopadła do płaszczyzny P wyznaczonej przez k i (twierdzenie 1.1). W takim razie dostajemy l k. Przyjmijmy teraz, że prosta l jest prostopadła do prostej k. Znów wykorzystując twierdzenie 1.1 dostajemy prostopadłość l do płaszczyzny P. To prowadzi do wniosku, że l k.

8 1. Proste i płaszczyzny 7 Powyższy dowód zaprezentował nam także wcześniej opisany schemat. Użyjmy go teraz do rozwiązania poniższego zadania. Przykład 1.1. Udowodnić, że jeśli w czworościanie wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się, to krawędzie i są prostopadłe. rys. 3 Załóżmy, że wysokości i danego czworościanu przecinają się (rys. 3). Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest też prostopadła do krawędzi. nalogicznie dowodzimy, że prosta jest prostopadła do krawędzi. To zaś oznacza, że płaszczyzna wyznaczona przez proste i jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1). W takim razie prosta jest prostopadła do dowolnej prostej leżącej w tej płaszczyźnie, a więc w szczególności do prostej. Uwaga. Można chcieć zredagować powyższe rozwiązanie wprowadzając punkt H przecięcia wysokości poprowadzonych z wierzchołków i i rozważać dalej proste H, H oraz płaszczyznę H. Jednakże punkt H może pokrywać się np. z punktem (czworościan z zadania 1.2 jest takim przykładem punkt należy do każdej jego wysokości) i wtedy ani prosta H ani płaszczyzna H nie są określone. Zadania any jest czworościan. Odcinek E jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Wykazać, że jeśli E jest wysokością tego czworościanu, to <) = <) = any jest czworościan, w którym wszystkie kąty przy wierzchołku są proste. owieść, że spodek wysokości tego czworościanu, opuszczonej z wierzchołka jest ortocentrum trójkąta.

9 8 Michał Kieza 1.3. any jest czworościan, w którym <) = <) = <) = 90. Udowodnić, że rzut prostokątny punktu na płaszczyznę jest punktem symetrycznym do punktu względem środka krawędzi Udowodnić, że jeśli w czworościanie krawędzie i są prostopadłe, to wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się Wykazać, że jeśli w czworościanie istnieje punkt wspólny wszystkich wysokości, to spodek każdej z nich pokrywa się z ortocentrum ściany, na którą została ta wysokość poprowadzona Wykazać, że jeśli w czworościanie spodek pewnej wysokości pokrywa się z ortocentrum ściany, do której została ta wysokość poprowadzona, to przeciwległe krawędzie są prostopadłe Rozstrzygnąć, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami prostokątnymi? 1.8. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje ostrosłup n S o podstawie n, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi Rozstrzygnąć, czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda krawędź boczna jest prostopadła do którejś krawędzi podstawy? Przecinanie się prostych i płaszczyzn w przestrzeni efinicje. Płaszczyzny równoległe dwie płaszczyzny są równoległe, gdy się pokrywają albo nie mają punktów wspólnych. Prosta równoległa do płaszczyzny prosta jest równoległa do płaszczyzny, gdy nie ma z nią żadnego punktu wspólnego. Prostą konsekwencją pierwszej definicji jest to, że płaszczyzny nierównoległe (takie, które mają punkt wspólny, ale nie pokrywają się) przecinają się wzdłuż pewnej prostej. odatkowo warto odnotować, że zarówno dwie proste równoległe, jak i dwie proste przecinające wyznaczają jednoznacznie płaszczyzny zawierające je. Odnotujmy na koniec następującą obserwację: Jeśli płaszczyzny π 1 i π 2 przecinają się wzdłuż prostej k, zaś prosta l leżąca w płaszczyźnie π 1 jest równoległa do płaszczyzny π 2, to k l. la uzasadnienia zauważmy, że gdyby proste k i l nie były równoległe, to miałyby punkt wspólny (bo obie leżą w płaszczyźnie π 1 ). Ten punkt należałby jednak także do płaszczyzny π 2, co przeczyłoby równoległości prostej l i płaszczyzny π 2.

10 1. Proste i płaszczyzny 9 Przykład 1.2. any jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Pewna płaszczyzna przecina krawędzie S, S, S i S odpowiednio w punktach,, i. Odcinki i przecinają się w punkcie P, zaś odcinki i przecinają się w punkcie P. Wykazać, że punkty P, P i S leżą na jednej prostej. Płaszczyzna S zawiera odcinki i, a więc także punkty P i P (rys. 4). nalogicznie stwierdzamy, że płaszczyzna S również zawiera punkty P i P. W takim razie punkty P, P i S leżą na prostej, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny S i S. S P P Zadania. rys Punkty, i leżą wewnątrz odpowiednio ścian,, czworościanu. Wiadomo, że proste i przecinają się, proste i przecinają się oraz proste i przecinają się. Wykazać, że istnieje punkt wspólny prostych, i W czworościanie punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty i. Udowodnić, że proste L i K przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy = Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły EF. Wykazać, że proste, E i F przecinają się w jednym punkcie Rozważmy graniastosłup sześciokątny prawidłowy o podstawach i oraz płaszczyznę, która przecina krawędzie i i w punktach i dla i = 1,2,...,6. owieść, że a) przeciwległe boki sześciokąta są równoległe, b) przekątne 1 4, 2 5 i 3 6 sześciokąta mają punkt wspólny.

11 10 Michał Kieza Pewna płaszczyzna przecina krawędzie,,, czworościanu odpowiednio w punktach K, L, M, N. owieść, że proste KN, LM i przecinają się lub są równoległe Na kartce papieru narysowany jest czworościan, punkty K, L, M leżące odpowiednio na jego krawędziach,, oraz punkt P, który należy do ściany. Wiadomo ponadto, że żadna z krawędzi, i nie jest równoległa do płaszczyzny KLM. Za pomocą linijki wyznaczyć a) prostą będącą częścią wspólną płaszczyzn i KLM, b) punkt przecięcia prostej P z płaszczyzną KLM any jest czworościan. Punkty, i leżą odpowiednio na krawędziach, i. Odcinki i przecinają się w punkcie K, odcinki i w punkcie L, natomiast odcinki i w punkcie M. Wykazać, że proste K, L i M mają punkt wspólny. Przekroje Przykład 1.3. Na kartce papieru narysowany jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Pewna płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa. Mając dane punkty K, L i M przecięcia tej płaszczyzny odpowiednio z krawędziami S, S i S wyznaczyć przekrój ostrosłupa S tą płaszczyzną. Wyznaczymy najpierw punkt N przecięcia rozważanej płaszczyzny z krawędzią S ostrosłupa S. Na początku rysujemy odcinki i przecinające się w punkcie P (rys. 5). Punkt P oraz punkty K i M leżą na płaszczyźnie S. Następnie prowadzimy odcinki P S i KM przecinające się w punkcie Q, który należy do płaszczyzny zawierającej punkty K, L i M. Prowadząc prostą LQ do przecięcia z odcinkiem S otrzymujemy punkt N (z treści zadania wynika, że rozważana płaszczyzna przecina odcinek S, więc prosta LQ musi także jego przeciąć). S S K N Q M K N M L L P rys. 5 rys. 6

12 1. Proste i płaszczyzny 11 Wystarczy teraz połączyć punkty K, L, M i N odcinkami i otrzymany czworokąt KLM N jest szukanym przekrojem (rys. 6). Zadania Na kartce papieru narysowany jest ostrosłup pięciokątny ES o podstawie pięciokąta wypukłego E. Pewna płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa. Mając dane punkty K, L i M przecięcia tej płaszczyzny odpowiednio z krawędziami S, S i S wyznaczyć przekrój ostrosłupa ES tą płaszczyzną Na kartce papieru narysowany jest czworościan. Za pomocą linijki narysować przekrój tego czworościanu płaszczyzną przechodzącą przez punkty K, L, M, jeśli a) punkty K i L leżą odpowiednio na krawędziach i, zaś punkt M leży na półprostej poza krawędzią, b) punkty K, L, M leżą odpowiednio na krawędziach,, any jest sześcian o krawędzi długości 1. Wyznaczyć przekrój danego sześcianu płaszczyzną P QR, gdzie punkty P, Q i R leżą odpowiednio na krawędziach, i, przy czym a) P = Q = R = 1 3, b) P = Q = 1 3 oraz R = Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi, i Sześcian przecięto płaszczyzną otrzymując w przekroju pięciokąt. Rozstrzygnąć, czy pięciokąt ten może być foremny? any jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Rozstrzygnąć, czy można tak przeciąć krawędzie boczne tego ostrosłupa płaszczyzną, aby w przekroju otrzymać równoległobok.

13 Strony są niedostępne.

14 Rozwiązania zadań Rozwiązania zadań Proste i płaszczyzny 1.1. any jest czworościan. Odcinek E jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Wykazać, że jeśli E jest wysokością tego czworościanu, to <) = <) = 90. E rys. 29 Udowodnimy, że <) = 90 (równość <) = 90 dostajemy analogicznie). Jeśli punkt E pokrywa się z punktem, to nie ma czego dowodzić. W przeciwnym razie, skoro E jest wysokością danego czworościanu, to E (rys. 29). Z treści zadania wnosimy dodatkowo, że <)E = 90. W takim razie płaszczyzna E jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1), skąd otrzymujemy <) = any jest czworościan, w którym wszystkie kąty przy wierzchołku są proste. owieść, że spodek wysokości tego czworościanu, opuszczonej z wierzchołka jest ortocentrum trójkąta. H rys. 30 Niech będzie rzutem prostokątnym punktu na prostą, zaś H spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka trójkąta (rys. 30). Skoro kąty i są proste, to prosta jest prostopadła do płaszczyzny, a więc w szczególności do prostej. Stąd i z prostopadłości

15 42 Michał Kieza prostych i wnosimy, że płaszczyzna jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1). Zatem H, co wraz z prostopadłością prostych H i oznacza, że prosta H jest prostopadła do płaszczyzny. W takim razie spodek wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka leży na wysokości trójkąta. nalogicznie dowodzimy, że leży on na pozostałych wysokościach tego trójkąta, co kończy dowód any jest czworościan, w którym <) = <) = <) = 90. Udowodnić, że rzut prostokątny punktu na płaszczyznę jest punktem symetrycznym do punktu względem środka krawędzi. Niech P będzie rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę. Udowodnimy, że czworokąt P jest prostokątem (rys. 31). Prosta P jest prostopadła do płaszczyzny, a więc też do prostej. Stąd i z prostopadłości prostych i wynika, że płaszczyzna P jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1), zatem <)P = 90. nalogicznie dowodzimy, że <)P = 90. W takim razie czworokąt P jest prostokątem. Środki przekątnych i P prostokąta P pokrywają się, skąd bezpośrednio wynika teza zadania. P E rys. 31 rys Udowodnić, że jeśli w czworościanie krawędzie i są prostopadłe, to wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się. Niech E będzie takim punktem na prostej, że prosta E jest prostopada do prostej (rys. 32). Prosta jest prostopadła do prostych E i, zatem jest także prostopadła do płaszczyzny E. Niech i będą wysokościami trójkąta E. Proste te mają punkt wspólny i wystarczy wykazać, że są one wysokościami czworościanu. Prosta leży w płaszczyźnie E, która jest prostopadła do prostej, a więc. Stąd i z prostopadłości prostych i E wynika, że

16 Rozwiązania zadań 43 prosta jest prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez proste i E. W takim razie jest wysokością czworościanu. W analogiczny sposób uzasadniamy, że jest wysokością danego czworościanu Wykazać, że jeśli w czworościanie istnieje punkt wspólny wszystkich wysokości, to spodek każdej z nich pokrywa się z ortocentrum ściany, na którą została ta wysokość poprowadzona. Przyjmijmy, że mamy dany czworościan, którego wysokości,,, przecinają się w jednym punkcie (rys. 33). Wystarczy, jeśli wykażemy, że punkt jest ortocentrum trójkąta dla pozostałych punktów dowód przebiega analogicznie. Załóżmy także, bez straty dla ogólności, że punkt nie pokrywa się z żadnym z punktów i. Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest też prostopadła do prostej. Podobnie dowodzimy, że prosta jest prostopadła do prostej. Proste i mają punkt wspólny, więc leżą w jednej płaszczyźnie, która z twierdzenia 1.1 również jest prostopadła do prostej. W takim razie prosta, leżąca w tej płaszczyźnie, także jest prostopadła do prostej. nalogicznie udowodnimy, że. To oznacza, że punkt jest ortocentrum trójkąta. rys. 33 rys Wykazać, że jeśli w czworościanie spodek pewnej wysokości pokrywa się z ortocentrum ściany, do której została ta wysokość poprowadzona, to przeciwległe krawędzie są prostopadłe. Przyjmijmy dla ustalenia uwagi, że spodek wysokości czworościanu jest ortocentrum trójkąta (rys. 34). Wykażemy, że krawędzie i są prostopadłe. Prosta jest jest prostopadła do płaszczyzny, a więc też do prostej. Jeśli punkt pokrywa się z punktem, to nie ma czego dowodzić. W przeciwnym razie prosta jest wysokością trójkąta, a więc

17 44 Michał Kieza. Stąd i z wcześniej udowodnionej prostopadłości prostych i mamy, że płaszczyzna jest prostopadła do prostej, czyli. nalogicznie dowodzimy, że oraz Rozstrzygnąć, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami prostokątnymi? Odpowiedź: Tak. Rozważmy czworościan, w którym <) = 90, a krawędź jest jego wysokością (rys. 35). Wtedy <) = <) = 90. Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to również. To wraz z zależnością dowodzi, że płaszczyzna wyznaczona przez proste i jest prostopadła do prostej. W takim razie proste i są prostopadłe, czyli <) = 90. Tym samym wszystkie ściany danego czworościanu są trójkątami prostokątnymi. S rys rys Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje ostrosłup n S o podstawie n, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Odpowiedź: Tak. Niech n będzie wielokątem wypukłym, w którym <) = <) =... = <) 1 n 1 n = 90. Rozważmy ostrosłup n S o podstawie n, w którym krawędź 1 S jest wysokością (rys. 36). Wykażemy, że jego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Oczywiście mamy <) 2 1 S = <) n 1 S = 90, czyli trójkąty 2 1 S oraz n 1 S są prostokątne. Skoro krawędź 1 S jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to <) 2 1 S = <) 3 1 S = 90. Wykorzystując dodatkowo równość <) = 90 oraz korzystając z poprzedniego zadania wnosimy, że trójkąt 2 3 S jest prostokątny. nalogicznie dowodzimy, że prostokątne są trójkąty 3 4 S,..., n 1 n S. To kończy rozwiązanie zadania.

18 Rozwiązania zadań Rozstrzygnąć, czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda krawędź boczna jest prostopadła do którejś krawędzi podstawy? Odpowiedź: Tak. Przedstawimy dwa sposoby konstrukcji takiego ostrosłupa. Sposób I. Niech będzie takim czworokątem, że <) = <) = <) = 90. Niech ponadto S będzie takim punktem w przestrzeni, że prosta S jest prostopadła do płaszczyzny i rozważmy ostrosłup S (rys. 37). Wykażemy, że a) S, b) S, c) S, d) S. Skoro krawędź S jest prostopadła do płaszczyzny podstawy danego ostrosłupa, to jest też w szczególności prostopadła do krawędzi zawartej w tej płaszczyźnie. Krawędź S jest także prostopadła do prostej, co wraz z warunkiem <) = 90 oznacza, że płaszczyzna S i krawędź są prostopadłe. Zatem S. nalogicznie uzasadniamy, że S oraz S. S S rys. 37 P rys. 38 Sposób II. Niech będzie takim czworokątem wypukłym, że <) = <) = 90, zaś P punktem przecięcia jego przekątnych. Niech S będzie takim punktem w przestrzeni, że prosta SP jest prostopadła do płaszczyzny (rys. 38). Wykażemy, że ostrosłup S spełnia warunki zadania. Prosta SP jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a więc także do krawędzi. Stąd i z równości <) = 90 wynika, że płaszczyzna S

19 46 Michał Kieza wyznaczona przez proste SP i jest prostopadła do krawędzi. W takim razie krawędź jest prostopadła do krawędzi S i S zawartych w tej płaszczyźnie. nalogicznie dowodzimy, że krawędź jest prostopadła do krawędzi S i S Punkty, i leżą wewnątrz odpowiednio ścian,, czworościanu. Wiadomo, że proste i przecinają się, proste i przecinają się oraz proste i przecinają się. Wykazać, że istnieje punkt wspólny prostych, i. Przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa. Wtedy, jeśli K jest punktem wspólnym prostych i, L punktem wspólnym prostych i, zaś M punktem wspólnym prostych i, to punkty K, L i M są parami różne. W takim razie płaszczyzna przez nie wyznaczona zawiera proste, i, a to nie jest możliwe W czworościanie punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty i. Udowodnić, że proste L i K przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy =. Jeśli proste L i K mają punkt wspólny, to punkty,, K, L leżą na jednej płaszczyźnie (rys. 39). Niech E będzie punktem przecięcia dwusiecznej K z prostą. Punkt E leży wówczas na płaszczyźnie zawierającej punkty,, K, L, skąd wniosek, że punkty, L, E leżą na jednej prostej. Innymi słowy prosta E jest dwusieczną w trójkącie. W takim razie z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że = E E =, skąd =. L L K E K E rys. 39 rys. 40 Załóżmy teraz, że =. Niech E będzie takim punktem na prostej, że E jest dwusieczną w trójkącie (rys. 40). Wtedy E

20 Rozwiązania zadań 47 jest dwusieczną w trójkącie. Punkty K i L leżą więc odpowiednio na odcinkach E i E trójkąta E. W takim razie proste L i K mają punkt wspólny Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły EF. Wykazać, że proste, E i F przecinają się w jednym punkcie. S F E P rys. 41 Niech P będzie punktem przecięcia prostej zawierającej wysokość danego ostrosłupa z płaszczyzną sześciokąta EF (rys. 41). Wystarczy udowodnić, że punkt P leży na każdej z prostych, E, F. Niech S oznacza wierzchołek danego ostrosłupa. Ponieważ ostrosłup jest prawidłowy, to jego wysokość leży w płaszczyźnie S. Wobec tego prosta zawierająca wysokość ostrosłupa przecina prostą. Stąd wynika, że punkt P leży na prostej. nalogicznie dowodzimy, że punkt P leży na prostych E i F, co kończy rozwiązanie zadania Rozważmy graniastosłup sześciokątny prawidłowy o podstawach i oraz płaszczyznę, która przecina krawędzie i i w punktach i dla i = 1,2,...,6. owieść, że a) przeciwległe boki sześciokąta są równoległe, b) przekątne 1 4, 2 5 i 3 6 sześciokąta mają punkt wspólny. a) Wykażemy, że proste 1 2 i 4 5 są równoległe (dla pozostałych par postępujemy analogicznie). Ponieważ dany graniastosłup jest prawidłowy, to płaszczyzny i są równoległe, a więc nie mają punktów wspólnych (rys. 42). Prosta 1 2 należy do pierwszej z tych płaszczyzn, a prosta 4 5 do drugiej. Stąd wniosek, że również te dwie proste nie mają punktów wspólnych. Leżą one ponadto w jednej płaszczyźnie , a zatem muszą być równoległe.

21 48 Michał Kieza l rys rys. 43 b) Niech l będzie prostą łączącą środki podstaw graniastosłupa (rys. 43). Niech będzie punktem przecięcia tej prostej z płaszczyzną Udowodnimy, że punkt jest punktem wspólnym przekątnych 1 4, 2 5 i 3 6. Prosta l leży w płaszczyźnie , a zatem punkt także leży w tej płaszczyźnie. Punkt leży więc na przecięciu płaszczyzn i , a więc na prostej 1 4. Podobnie dowodzimy, że punkt należy do prostych 2 5 i 3 6, co kończy dowód Pewna płaszczyzna przecina krawędzie,,, czworościanu odpowiednio w punktach K, L, M, N. owieść, że proste KN, LM i przecinają się lub są równoległe. Załóżmy, że proste i KN przecinają się w punkcie P (rys. 44). Punkt ten należy do każdej z płaszczyzn i KLMN, a więc wraz z punktami L i M należy do wspólnej prostej tych dwóch płaszczyzn. To dowodzi, że w tym przypadku proste KN, LM i przecinają się w punkcie P. P M L M L N K N K rys. 44 rys. 45 Przyjmijmy teraz, że proste i KN są równoległe (rys. 45). Gdyby proste LM i miały punkt wspólny, to przeprowadzając analogiczne rozumowanie, jak w poprzednim akapicie, udowodnilibyśmy, że proste i KN mają punkt wspólny, co jest nieprawdą. W takim razie proste LM i także

22 Strony są niedostępne.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Cztery punkty na okręgu

Cztery punkty na okręgu Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

Bardziej szczegółowo

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

Metoda siatek zadania

Metoda siatek zadania Metoda siatek zadania 1. (Leningrad 1984) Wykazać, że jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku S ostrosłupa SA 1 A 2... A n (n 3) jest większa niż 180, to każda z krawędzi bocznych jest mniejsza od

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1 Projekt współfinansowany ze środków Unii uropejskiej w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego. ZNI N OWOZNI GOMTRI Z. 1 utor: Wojciech Guzicki Materiały konferencyjne Wrzesień 010 entralna Komisja gzaminacyjna

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta,

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, 10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, liczba przekątnych wielokąta, porównywanie pól wielokątów w oparciu o proste zależności geometryczne jak np. przystawanie i zawieranie, rozpoznawanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1 Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

GRANIASTOSŁUPY. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są.

GRANIASTOSŁUPY. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są. GRANIASTOSŁUPY Euklides (365-300 p.n.e.) słynny grecki matematyk i fizyk. Jego najwybitniejsze dzieło Elementy składało się z trzynastu ksiąg, z czego trzy ostatnie księgi dotyczą geometrii przestrzennej:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na powtórzenie

Zagadnienia na powtórzenie Zagadnienia na powtórzenie TERESA ZIEGLER IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Zaznacz takie dokończenie zdania, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Sześcian przecięto płaszczyzną zawierającą dwie równoległe

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera

Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Andrzej Sendlewski WMiI UMK Koło Matematyczne 15 maja 2010 DGS programy komputerowe CINDERELLA ver. 1.4, ver. 2.0 (komercyjna) Circle & Ruler (R.

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE IV TECHNIKUM. I. Podstawowe pojęcia statystyki. 1. Sposoby prezentowania danych, interpretacja wykresów. 2. Mediana i dominanta. 3. Średnia arytmetyczna

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część IX: Stereometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH

KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH KARTA KURSU DLA STUDIÓW PODYPLOMOWYCH Nazwa Nazwa w j. ang. Geometria Geometry Punktacja ECTS* 9 Opis kursu (cele kształcenia) Celem przedmiotu jest powtórzenie i pogłębienie wiadomości słuchaczy z geometrii

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1. Oprocentowanie lokat i kredytów - zna pojęcie procentu prostego i składanego; - oblicza

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII

ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA Wydział Nowych Technologii i Chemii KATEDRA ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII Temat: Grafika inżynierska Podstawy Inżynierii Wytwarzania T 1: elementy przestrzeni rzuty

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa cm 3. Oblicz

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część II Na rysunku przedstawiony jest obszar pewnego miasta wraz z zaznaczonymi szkołami podstawowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy przydzielić

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM MATEMATYKA 2 - WYDAWNICTWO OPERON DZIAŁ 1 POTĘGI DOPUSZCZAJĄCY uczeń: Zapisuje potęgę w postaci iloczynu jednakowych czynników Przedstawia iloczyn jednakowych

Bardziej szczegółowo

Krzyżówka oraz hasła do krzyżówki. Kalina R., Przewodnik po matematyce dla klas VII-VIII, część IV, SENS, Poznań 1997, s.20-22.

Krzyżówka oraz hasła do krzyżówki. Kalina R., Przewodnik po matematyce dla klas VII-VIII, część IV, SENS, Poznań 1997, s.20-22. Omnibus matematyczny 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: zna pojęcia matematyczne z zakresu szkoły podstawowej i gimnazjum. b) Umiejętności Uczeń: potrafi podać odpowiednie pojęcie matematyczne na podstawie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Tworzenie siatek brył bez kleju w programie GeoGebra

Tworzenie siatek brył bez kleju w programie GeoGebra Tworzenie siatek brył bez kleju w programie GeoGebra Bryłki bez kleju znam od dawna i jestem nimi oczarowana. Moi uczniowie i koleżanki też je znają. Nie jeden raz pytałam Wacka Zawadowskiego kto tworzy

Bardziej szczegółowo

1.Funkcja logarytmiczna

1.Funkcja logarytmiczna Kryteria oceniania z matematyki dla klasy IV TI poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1.Funkcja logarytmiczna -potrafi obliczyć logarytm liczby dodatniej; -zna i potrafi stosować

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

dla punktów o obu współrzędnych wymiernych współrzędnych całkowitych zna definicję funkcji, rozróżnia argument i wartość funkcji

dla punktów o obu współrzędnych wymiernych współrzędnych całkowitych zna definicję funkcji, rozróżnia argument i wartość funkcji MATEMATYKA - klasa 2 gimnazjum kryteria ocen według treści nauczani (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wymagań na wszystkie oceny niższe) Dział programu

Bardziej szczegółowo

2.Piszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P i S

2.Piszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P i S Zadanie 1. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt odcinka o koocach M N. Rozwiązanie - 1 sposób 1.Znajdujemy współrzędne punktu S będącego środkiem odcinka MN: oraz środek 2.Piszemy równanie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. (0 1) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe.

Zadanie 2. (0 1) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. Strona 1 z 12 liczba osób Informacje do zadań 1. i 2. W dwóch dziesięcioosobowych grupach uczniów przeprowadzono test sprawności notując czas (w sekundach) wykonywania ćwiczenia. Wyniki przedstawia poniższy

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań na poszczególne oceny z matematyki dla kl. VI Program nauczania Matematyka wokół nas

Katalog wymagań na poszczególne oceny z matematyki dla kl. VI Program nauczania Matematyka wokół nas Katalog wymagań na poszczególne oceny z matematyki dla kl. VI Program nauczania Matematyka wokół nas OCENA DOPUSZCZAJĄCA (wymagania na ocenę dopuszczającą są równoważne z minimum programowe dla klasy VI)

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... Rozwiązania zadań. Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE Rozwiązania zadań Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Miejski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Opolu Publiczne Liceum

Bardziej szczegółowo

3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej

3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej Klasa I - zakres podstawowy Etap rejonowy 07.0.004 rok Zadanie 1 ( pkt ) Uzasadnij, że 7 50 : 81 37 jest liczbą większą od 8. Zadanie ( pkt ) Spośród 40 uczniów pewnej klasy 17 gra w szachy, 1 w brydża,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym co

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE PÓL I OBWODÓW FIGUR PŁASKICH

OBLICZANIE PÓL I OBWODÓW FIGUR PŁASKICH OBLICZANIE PÓL I OBWODÓW FIGUR PŁASKICH Zadanie 1 Jeden z boków prostokąta ma 5 cm, a drugi jest 3 razy dłuższy. Oblicz pole prostokąta. Zadanie 2 Oblicz pole kwadratu, którego obwód wynosi 6 dm. Zadanie

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE WYMAGAŃ NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

OKREŚLENIE WYMAGAŃ NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM OKREŚLENIE WYMAGAŃ NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM (założone osiągnięcia ucznia w klasach I III gimnazjum zgodnie z programem nauczania Matematyka z plusem (DPN-5002-17/08) realizującym

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

TEKSTY ZADAŃ. Zawody stopnia pierwszego

TEKSTY ZADAŃ. Zawody stopnia pierwszego TEKSTY ZŃ Zawody stopnia pierwszego. owieść, że wśród liczb postaci 50 n +(50n+) 50, gdzie n jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 6.

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 6. Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 6. Semestr 1 Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

TEST. str. 1. Punktacja testu: odpowiedź poprawna 2 punkty, odpowiedź błędna 0 punktów. Na rozwiązanie testu i krzyżówki masz 70 minut. POWODZENIA!

TEST. str. 1. Punktacja testu: odpowiedź poprawna 2 punkty, odpowiedź błędna 0 punktów. Na rozwiązanie testu i krzyżówki masz 70 minut. POWODZENIA! Przed Tobą test zadań zamkniętych i krzyżówka. W każdym zadaniu zamkniętym tylko jedna odpowiedź jest poprawna. Swoje odpowiedzi do testu zaznacz w karcie odpowiedzi. Krzyżówkę rozwiąż na kartce, na której

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

RZUT CECHOWANY ODWZOROWANIA INŻYNIERSKIE

RZUT CECHOWANY ODWZOROWANIA INŻYNIERSKIE SERIA GEOMATYKA RZUT CECHOWANY ODWZOROWANIA INŻYNIERSKIE SKRYPT DLA STUDENTÓW STUDIÓW NIESTACJONARNYCH KIERUNKÓW BUDOWNICTWO I INŻYNIERIA ŚRODOWISKA dr inż. arch. DOMINIKA WRÓBLEWSKA ISBN 978-83-934609-9-1

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY ...................................... pieczątka nagłówkowa szkoły kod pracy ucznia KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP SZKOLNY Drogi Uczniu Witaj na I etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE

GEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE Bożena Kotarska-Lewandowska GEOMETRIA WYKREŚLNA ZADANIA TESTOWE Katedra Mechaniki Budowli i Mostów Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej Gdańsk 2011 SPIS TREŚCI Spis treści...

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 6. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 6 Liczby naturalne i ułamki Program Matematyka z plusem Odczytywanie liczb na osi liczbowej. Zapisywanie potęg w postaci iloczynu i obliczanie ich wartości. Sprawność rachunkowa w pisemnych

Bardziej szczegółowo

Numer zadania Liczba punktów

Numer zadania Liczba punktów Kod ucznia Łączna liczba punktów Numer zadania 1 13 14 16 17 18 19 20 Liczba punktów Drogi Uczniu! Przed Tobą test składający się z 20 zadań. Za wszystkie zadania razem możesz zdobyć 45 punktów. Aby mieć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 6

MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 6 MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 6 UCZEŃ Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę,

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

PAPIEROWE ZABAWY GEOMETRYCZNE

PAPIEROWE ZABAWY GEOMETRYCZNE ZUZANNA CYUNEL MAREK ŁOBAZIEWICZ z klasy 4a PAPIEROWE ZABAWY GEOMETRYCZNE ODWZOROWANIE FIGUR GEOMETRYCZNYCH BEZ UŻYCIA PRZYRZĄDÓW praca wykonana pod kierunkiem mgr Piotra Dylewskiego Szkoła Podstawowa

Bardziej szczegółowo

LVII Olimpiada Matematyczna

LVII Olimpiada Matematyczna LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (12 września 2005 r 5 grudnia 2005 r) Zadanie 1 Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite n, dla których liczba

Bardziej szczegółowo