Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza"

Transkrypt

1 Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza

2 Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania struktury pliku, zmiany jego formatu, dystrybuowania go oraz odtwarzania publicznie. Zbiór zadań z geometrii przestrzennej c 2015 opyright for Polish edition by Netina.pl & Michał Kieza

3

4 Przedmowa Niniejszy zbiór zadań z geometrii przestrzennej przeznaczony jest dla uczniów startujących w Olimpiadzie Matematycznej Gimnazjalistów, zarówno tych początkujących, jak i bardziej zaawansowanych, także sięgających wzrokiem w kierunku Olimpiady Matematycznej. Polecam go też tym, którzy próbują swoich sił w Olimpiadzie Matematycznej, jednak zadania z Kącików Przestrzennych w elcie są dla nich zbyt zaawansowane. Zbiór może też okazać się dobrą pomocą dla nauczycieli przygotowujących uczniów do olimpiad. Zadania, które zebrałem, pochodzą z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów lub są zbliżone do nich poziomem. Nie wahałem się jednak dać trochę nieco trudniejszych zadań, które starałem się rozbić na podpunkty lub dać je obok zadań z tego samego tematu żywiąc nadzieję, że nawet mniej zaawansowany uczeń poradzi sobie z nimi. Pozwoliłem sobie także na omówienie niektórych bardziej zaawansowanych zagadnień jak np. równoległościan opisany na czworościanie czy metoda objętości, ilustrując je odpowiednio dobranymi trudnościowo przykładami. Zbiór zawiera ponad 120 zadań. o każdego z nich jest rozwiązanie (czasem nawet kilkoma sposobami) niemal we wszystkich przypadkach opatrzone rysunkiem. Większość rozdziałów zawiera krótki wstęp wraz z omówionymi przykładami. Michał Kieza 3

5 4 Michał Kieza Spis treści 1. Proste i płaszczyzny str zworościan dowolny podstawowe własności str Twierdzenia o krawędziach bocznych i apotemach str Metoda siatek str Najmocniejsze twierdzenie stereometrii str Objętość str zworościan foremny str zworościany mające szczególne własności str Zadania różne str Rozwiązania zadań str. 41 Proste i płaszczyzny str. 41 zworościan dowolny podstawowe własności str. 58 Twierdzenia o krawędziach bocznych i apotemach str. 70 Metoda siatek str. 78 Najmocniejsze twierdzenie stereometrii str. 83 Objętość str. 94 zworościan foremny str. 104 zworościany mające szczególne własności str. 114 Zadania różne str. 126

6 1. Proste i płaszczyzny 5 1. Proste i płaszczyzny Prostopadłość efinicje. Proste prostopadłe proste k i l znajdujące się w przestrzeni są prostopadłe, gdy albo leżą w jednej płaszczyźnie i są prostopadłe albo istnieje prosta m równoległa do l współpłaszczyznowa z k i do niej prostopadła. Prosta prostopadła do płaszczyzny prosta k jest prostopadła do płaszczyzny π, gdy jest prostopadła do każdej z prostych zawartych w tej płaszczyźnie. Płaszczyzny prostopadłe płaszczyzny π 1 i π 2 są prostopadłe, gdy istnieje prosta k zawarta w płaszczyźnie π 1 prostopadła do płaszczyzny π 2. Twierdzenie 1.1. Prosta k jest prostopadła do płaszczyzny π wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do pewnych dwóch nierównoległych prostych leżących w tej płaszczyźnie. owód Wystarczy oczywiście dowieść implikację w lewo. Niech M będzie punktem przecięcia się prostej k z płaszczyzną π (rys. 1). Załóżmy, że prosta k jest prostopadła do pewnych dwóch prostych l i m oraz że obie one przechodzą przez punkt M (możemy tak zrobić, bowiem przesunięcie równoległe prostych l i m nie wpływa na ich prostopadłość do prostej k). Wystarczy jeśli udowodnimy, że prosta k jest prostopadła do dowolnej prostej n przechodzącej przez punkt M (z tego samego, co wcześniej powodu). k m n M N l π rys. 1 Niech i będą dwoma punktami leżącymi na prostej k po przeciwnych stronach punktu M, takimi, że M =M. Na prostych l i m wybierzmy w dowolny sposób odpowiednio punkty i (różne od M) oraz niech prosta przecina prostą n w punkcie N. Z prostopadłości prostej k do prostych l i m oraz równości M =M wnosimy, że = oraz =. W takim razie

7 6 Michał Kieza trójkąty i są przystające. To zaś oznacza, że przystające są także trójkąty N i N (bok-kąt-bok), skąd N = N. Trójkąt N jest więc równoramienny, zatem jego środkowa M N jest prostopadła do podstawy. To pociąga za sobą prostopadłość prostych n i k i kończy dowód twierdzenia. Zadania dotyczące prostopadłości rozwiązuje się w oparciu o następujący schemat. Załóżmy, że chcemy dowieść, że prosta a jest prostopadła do prostej b. W tym celu musimy najpierw znaleźć dwie nierównoległe proste p i q (leżące w tej samej płaszczyźnie, co prosta b), które są prostopadłe do prostej a. Następnie wystarczy zastosować twierdzenie 1.1. W rozwiązaniach niektórych zadań można zastosować twierdzenie o trzech prostych prostopadłych, które sformułujemy poniżej. Jest ono szczególnym przypadkiem opisanego schematu, choć być może nie widać tego na pierwszy rzut oka. Twierdzenie 1.2. (Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych) Prosta k przecina płaszczyznę π w punkcie P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l należy do płaszczyzny π i przechodzi przez punkt P. Niech k będzie rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę π. Wówczas prosta l jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k. owód Niech będzie dowolnym punktem na prostej k różnym od P, zaś jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę π. Wówczas punkt należy do prostej k, a prosta jest prostopadła do płaszczyzny π, w szczególności także do prostej l. k l P k π rys. 2 Załóżmy najpierw, że prosta l jest prostopadła do prostej k. Stąd i z prostopadłości k oraz wynika, że prosta l jest prostopadła do płaszczyzny P wyznaczonej przez k i (twierdzenie 1.1). W takim razie dostajemy l k. Przyjmijmy teraz, że prosta l jest prostopadła do prostej k. Znów wykorzystując twierdzenie 1.1 dostajemy prostopadłość l do płaszczyzny P. To prowadzi do wniosku, że l k.

8 1. Proste i płaszczyzny 7 Powyższy dowód zaprezentował nam także wcześniej opisany schemat. Użyjmy go teraz do rozwiązania poniższego zadania. Przykład 1.1. Udowodnić, że jeśli w czworościanie wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się, to krawędzie i są prostopadłe. rys. 3 Załóżmy, że wysokości i danego czworościanu przecinają się (rys. 3). Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest też prostopadła do krawędzi. nalogicznie dowodzimy, że prosta jest prostopadła do krawędzi. To zaś oznacza, że płaszczyzna wyznaczona przez proste i jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1). W takim razie prosta jest prostopadła do dowolnej prostej leżącej w tej płaszczyźnie, a więc w szczególności do prostej. Uwaga. Można chcieć zredagować powyższe rozwiązanie wprowadzając punkt H przecięcia wysokości poprowadzonych z wierzchołków i i rozważać dalej proste H, H oraz płaszczyznę H. Jednakże punkt H może pokrywać się np. z punktem (czworościan z zadania 1.2 jest takim przykładem punkt należy do każdej jego wysokości) i wtedy ani prosta H ani płaszczyzna H nie są określone. Zadania any jest czworościan. Odcinek E jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Wykazać, że jeśli E jest wysokością tego czworościanu, to <) = <) = any jest czworościan, w którym wszystkie kąty przy wierzchołku są proste. owieść, że spodek wysokości tego czworościanu, opuszczonej z wierzchołka jest ortocentrum trójkąta.

9 8 Michał Kieza 1.3. any jest czworościan, w którym <) = <) = <) = 90. Udowodnić, że rzut prostokątny punktu na płaszczyznę jest punktem symetrycznym do punktu względem środka krawędzi Udowodnić, że jeśli w czworościanie krawędzie i są prostopadłe, to wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się Wykazać, że jeśli w czworościanie istnieje punkt wspólny wszystkich wysokości, to spodek każdej z nich pokrywa się z ortocentrum ściany, na którą została ta wysokość poprowadzona Wykazać, że jeśli w czworościanie spodek pewnej wysokości pokrywa się z ortocentrum ściany, do której została ta wysokość poprowadzona, to przeciwległe krawędzie są prostopadłe Rozstrzygnąć, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami prostokątnymi? 1.8. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje ostrosłup n S o podstawie n, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi Rozstrzygnąć, czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda krawędź boczna jest prostopadła do którejś krawędzi podstawy? Przecinanie się prostych i płaszczyzn w przestrzeni efinicje. Płaszczyzny równoległe dwie płaszczyzny są równoległe, gdy się pokrywają albo nie mają punktów wspólnych. Prosta równoległa do płaszczyzny prosta jest równoległa do płaszczyzny, gdy nie ma z nią żadnego punktu wspólnego. Prostą konsekwencją pierwszej definicji jest to, że płaszczyzny nierównoległe (takie, które mają punkt wspólny, ale nie pokrywają się) przecinają się wzdłuż pewnej prostej. odatkowo warto odnotować, że zarówno dwie proste równoległe, jak i dwie proste przecinające wyznaczają jednoznacznie płaszczyzny zawierające je. Odnotujmy na koniec następującą obserwację: Jeśli płaszczyzny π 1 i π 2 przecinają się wzdłuż prostej k, zaś prosta l leżąca w płaszczyźnie π 1 jest równoległa do płaszczyzny π 2, to k l. la uzasadnienia zauważmy, że gdyby proste k i l nie były równoległe, to miałyby punkt wspólny (bo obie leżą w płaszczyźnie π 1 ). Ten punkt należałby jednak także do płaszczyzny π 2, co przeczyłoby równoległości prostej l i płaszczyzny π 2.

10 1. Proste i płaszczyzny 9 Przykład 1.2. any jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Pewna płaszczyzna przecina krawędzie S, S, S i S odpowiednio w punktach,, i. Odcinki i przecinają się w punkcie P, zaś odcinki i przecinają się w punkcie P. Wykazać, że punkty P, P i S leżą na jednej prostej. Płaszczyzna S zawiera odcinki i, a więc także punkty P i P (rys. 4). nalogicznie stwierdzamy, że płaszczyzna S również zawiera punkty P i P. W takim razie punkty P, P i S leżą na prostej, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny S i S. S P P Zadania. rys Punkty, i leżą wewnątrz odpowiednio ścian,, czworościanu. Wiadomo, że proste i przecinają się, proste i przecinają się oraz proste i przecinają się. Wykazać, że istnieje punkt wspólny prostych, i W czworościanie punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty i. Udowodnić, że proste L i K przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy = Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły EF. Wykazać, że proste, E i F przecinają się w jednym punkcie Rozważmy graniastosłup sześciokątny prawidłowy o podstawach i oraz płaszczyznę, która przecina krawędzie i i w punktach i dla i = 1,2,...,6. owieść, że a) przeciwległe boki sześciokąta są równoległe, b) przekątne 1 4, 2 5 i 3 6 sześciokąta mają punkt wspólny.

11 10 Michał Kieza Pewna płaszczyzna przecina krawędzie,,, czworościanu odpowiednio w punktach K, L, M, N. owieść, że proste KN, LM i przecinają się lub są równoległe Na kartce papieru narysowany jest czworościan, punkty K, L, M leżące odpowiednio na jego krawędziach,, oraz punkt P, który należy do ściany. Wiadomo ponadto, że żadna z krawędzi, i nie jest równoległa do płaszczyzny KLM. Za pomocą linijki wyznaczyć a) prostą będącą częścią wspólną płaszczyzn i KLM, b) punkt przecięcia prostej P z płaszczyzną KLM any jest czworościan. Punkty, i leżą odpowiednio na krawędziach, i. Odcinki i przecinają się w punkcie K, odcinki i w punkcie L, natomiast odcinki i w punkcie M. Wykazać, że proste K, L i M mają punkt wspólny. Przekroje Przykład 1.3. Na kartce papieru narysowany jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Pewna płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa. Mając dane punkty K, L i M przecięcia tej płaszczyzny odpowiednio z krawędziami S, S i S wyznaczyć przekrój ostrosłupa S tą płaszczyzną. Wyznaczymy najpierw punkt N przecięcia rozważanej płaszczyzny z krawędzią S ostrosłupa S. Na początku rysujemy odcinki i przecinające się w punkcie P (rys. 5). Punkt P oraz punkty K i M leżą na płaszczyźnie S. Następnie prowadzimy odcinki P S i KM przecinające się w punkcie Q, który należy do płaszczyzny zawierającej punkty K, L i M. Prowadząc prostą LQ do przecięcia z odcinkiem S otrzymujemy punkt N (z treści zadania wynika, że rozważana płaszczyzna przecina odcinek S, więc prosta LQ musi także jego przeciąć). S S K N Q M K N M L L P rys. 5 rys. 6

12 1. Proste i płaszczyzny 11 Wystarczy teraz połączyć punkty K, L, M i N odcinkami i otrzymany czworokąt KLM N jest szukanym przekrojem (rys. 6). Zadania Na kartce papieru narysowany jest ostrosłup pięciokątny ES o podstawie pięciokąta wypukłego E. Pewna płaszczyzna przecina wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa. Mając dane punkty K, L i M przecięcia tej płaszczyzny odpowiednio z krawędziami S, S i S wyznaczyć przekrój ostrosłupa ES tą płaszczyzną Na kartce papieru narysowany jest czworościan. Za pomocą linijki narysować przekrój tego czworościanu płaszczyzną przechodzącą przez punkty K, L, M, jeśli a) punkty K i L leżą odpowiednio na krawędziach i, zaś punkt M leży na półprostej poza krawędzią, b) punkty K, L, M leżą odpowiednio na krawędziach,, any jest sześcian o krawędzi długości 1. Wyznaczyć przekrój danego sześcianu płaszczyzną P QR, gdzie punkty P, Q i R leżą odpowiednio na krawędziach, i, przy czym a) P = Q = R = 1 3, b) P = Q = 1 3 oraz R = Wyznaczyć przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi, i Sześcian przecięto płaszczyzną otrzymując w przekroju pięciokąt. Rozstrzygnąć, czy pięciokąt ten może być foremny? any jest ostrosłup czworokątny S o podstawie czworokąta wypukłego. Rozstrzygnąć, czy można tak przeciąć krawędzie boczne tego ostrosłupa płaszczyzną, aby w przekroju otrzymać równoległobok.

13 Strony są niedostępne.

14 Rozwiązania zadań Rozwiązania zadań Proste i płaszczyzny 1.1. any jest czworościan. Odcinek E jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie. Wykazać, że jeśli E jest wysokością tego czworościanu, to <) = <) = 90. E rys. 29 Udowodnimy, że <) = 90 (równość <) = 90 dostajemy analogicznie). Jeśli punkt E pokrywa się z punktem, to nie ma czego dowodzić. W przeciwnym razie, skoro E jest wysokością danego czworościanu, to E (rys. 29). Z treści zadania wnosimy dodatkowo, że <)E = 90. W takim razie płaszczyzna E jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1), skąd otrzymujemy <) = any jest czworościan, w którym wszystkie kąty przy wierzchołku są proste. owieść, że spodek wysokości tego czworościanu, opuszczonej z wierzchołka jest ortocentrum trójkąta. H rys. 30 Niech będzie rzutem prostokątnym punktu na prostą, zaś H spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka trójkąta (rys. 30). Skoro kąty i są proste, to prosta jest prostopadła do płaszczyzny, a więc w szczególności do prostej. Stąd i z prostopadłości

15 42 Michał Kieza prostych i wnosimy, że płaszczyzna jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1). Zatem H, co wraz z prostopadłością prostych H i oznacza, że prosta H jest prostopadła do płaszczyzny. W takim razie spodek wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka leży na wysokości trójkąta. nalogicznie dowodzimy, że leży on na pozostałych wysokościach tego trójkąta, co kończy dowód any jest czworościan, w którym <) = <) = <) = 90. Udowodnić, że rzut prostokątny punktu na płaszczyznę jest punktem symetrycznym do punktu względem środka krawędzi. Niech P będzie rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę. Udowodnimy, że czworokąt P jest prostokątem (rys. 31). Prosta P jest prostopadła do płaszczyzny, a więc też do prostej. Stąd i z prostopadłości prostych i wynika, że płaszczyzna P jest prostopadła do prostej (twierdzenie 1.1), zatem <)P = 90. nalogicznie dowodzimy, że <)P = 90. W takim razie czworokąt P jest prostokątem. Środki przekątnych i P prostokąta P pokrywają się, skąd bezpośrednio wynika teza zadania. P E rys. 31 rys Udowodnić, że jeśli w czworościanie krawędzie i są prostopadłe, to wysokości poprowadzone z wierzchołków i przecinają się. Niech E będzie takim punktem na prostej, że prosta E jest prostopada do prostej (rys. 32). Prosta jest prostopadła do prostych E i, zatem jest także prostopadła do płaszczyzny E. Niech i będą wysokościami trójkąta E. Proste te mają punkt wspólny i wystarczy wykazać, że są one wysokościami czworościanu. Prosta leży w płaszczyźnie E, która jest prostopadła do prostej, a więc. Stąd i z prostopadłości prostych i E wynika, że

16 Rozwiązania zadań 43 prosta jest prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez proste i E. W takim razie jest wysokością czworościanu. W analogiczny sposób uzasadniamy, że jest wysokością danego czworościanu Wykazać, że jeśli w czworościanie istnieje punkt wspólny wszystkich wysokości, to spodek każdej z nich pokrywa się z ortocentrum ściany, na którą została ta wysokość poprowadzona. Przyjmijmy, że mamy dany czworościan, którego wysokości,,, przecinają się w jednym punkcie (rys. 33). Wystarczy, jeśli wykażemy, że punkt jest ortocentrum trójkąta dla pozostałych punktów dowód przebiega analogicznie. Załóżmy także, bez straty dla ogólności, że punkt nie pokrywa się z żadnym z punktów i. Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to jest też prostopadła do prostej. Podobnie dowodzimy, że prosta jest prostopadła do prostej. Proste i mają punkt wspólny, więc leżą w jednej płaszczyźnie, która z twierdzenia 1.1 również jest prostopadła do prostej. W takim razie prosta, leżąca w tej płaszczyźnie, także jest prostopadła do prostej. nalogicznie udowodnimy, że. To oznacza, że punkt jest ortocentrum trójkąta. rys. 33 rys Wykazać, że jeśli w czworościanie spodek pewnej wysokości pokrywa się z ortocentrum ściany, do której została ta wysokość poprowadzona, to przeciwległe krawędzie są prostopadłe. Przyjmijmy dla ustalenia uwagi, że spodek wysokości czworościanu jest ortocentrum trójkąta (rys. 34). Wykażemy, że krawędzie i są prostopadłe. Prosta jest jest prostopadła do płaszczyzny, a więc też do prostej. Jeśli punkt pokrywa się z punktem, to nie ma czego dowodzić. W przeciwnym razie prosta jest wysokością trójkąta, a więc

17 44 Michał Kieza. Stąd i z wcześniej udowodnionej prostopadłości prostych i mamy, że płaszczyzna jest prostopadła do prostej, czyli. nalogicznie dowodzimy, że oraz Rozstrzygnąć, czy istnieje czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami prostokątnymi? Odpowiedź: Tak. Rozważmy czworościan, w którym <) = 90, a krawędź jest jego wysokością (rys. 35). Wtedy <) = <) = 90. Skoro prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to również. To wraz z zależnością dowodzi, że płaszczyzna wyznaczona przez proste i jest prostopadła do prostej. W takim razie proste i są prostopadłe, czyli <) = 90. Tym samym wszystkie ściany danego czworościanu są trójkątami prostokątnymi. S rys rys Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje ostrosłup n S o podstawie n, którego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Odpowiedź: Tak. Niech n będzie wielokątem wypukłym, w którym <) = <) =... = <) 1 n 1 n = 90. Rozważmy ostrosłup n S o podstawie n, w którym krawędź 1 S jest wysokością (rys. 36). Wykażemy, że jego wszystkie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Oczywiście mamy <) 2 1 S = <) n 1 S = 90, czyli trójkąty 2 1 S oraz n 1 S są prostokątne. Skoro krawędź 1 S jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to <) 2 1 S = <) 3 1 S = 90. Wykorzystując dodatkowo równość <) = 90 oraz korzystając z poprzedniego zadania wnosimy, że trójkąt 2 3 S jest prostokątny. nalogicznie dowodzimy, że prostokątne są trójkąty 3 4 S,..., n 1 n S. To kończy rozwiązanie zadania.

18 Rozwiązania zadań Rozstrzygnąć, czy istnieje taki ostrosłup czworokątny, którego każda krawędź boczna jest prostopadła do którejś krawędzi podstawy? Odpowiedź: Tak. Przedstawimy dwa sposoby konstrukcji takiego ostrosłupa. Sposób I. Niech będzie takim czworokątem, że <) = <) = <) = 90. Niech ponadto S będzie takim punktem w przestrzeni, że prosta S jest prostopadła do płaszczyzny i rozważmy ostrosłup S (rys. 37). Wykażemy, że a) S, b) S, c) S, d) S. Skoro krawędź S jest prostopadła do płaszczyzny podstawy danego ostrosłupa, to jest też w szczególności prostopadła do krawędzi zawartej w tej płaszczyźnie. Krawędź S jest także prostopadła do prostej, co wraz z warunkiem <) = 90 oznacza, że płaszczyzna S i krawędź są prostopadłe. Zatem S. nalogicznie uzasadniamy, że S oraz S. S S rys. 37 P rys. 38 Sposób II. Niech będzie takim czworokątem wypukłym, że <) = <) = 90, zaś P punktem przecięcia jego przekątnych. Niech S będzie takim punktem w przestrzeni, że prosta SP jest prostopadła do płaszczyzny (rys. 38). Wykażemy, że ostrosłup S spełnia warunki zadania. Prosta SP jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, a więc także do krawędzi. Stąd i z równości <) = 90 wynika, że płaszczyzna S

19 46 Michał Kieza wyznaczona przez proste SP i jest prostopadła do krawędzi. W takim razie krawędź jest prostopadła do krawędzi S i S zawartych w tej płaszczyźnie. nalogicznie dowodzimy, że krawędź jest prostopadła do krawędzi S i S Punkty, i leżą wewnątrz odpowiednio ścian,, czworościanu. Wiadomo, że proste i przecinają się, proste i przecinają się oraz proste i przecinają się. Wykazać, że istnieje punkt wspólny prostych, i. Przypuśćmy, że teza nie jest prawdziwa. Wtedy, jeśli K jest punktem wspólnym prostych i, L punktem wspólnym prostych i, zaś M punktem wspólnym prostych i, to punkty K, L i M są parami różne. W takim razie płaszczyzna przez nie wyznaczona zawiera proste, i, a to nie jest możliwe W czworościanie punkty K i L są środkami okręgów wpisanych w trójkąty i. Udowodnić, że proste L i K przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy =. Jeśli proste L i K mają punkt wspólny, to punkty,, K, L leżą na jednej płaszczyźnie (rys. 39). Niech E będzie punktem przecięcia dwusiecznej K z prostą. Punkt E leży wówczas na płaszczyźnie zawierającej punkty,, K, L, skąd wniosek, że punkty, L, E leżą na jednej prostej. Innymi słowy prosta E jest dwusieczną w trójkącie. W takim razie z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że = E E =, skąd =. L L K E K E rys. 39 rys. 40 Załóżmy teraz, że =. Niech E będzie takim punktem na prostej, że E jest dwusieczną w trójkącie (rys. 40). Wtedy E

20 Rozwiązania zadań 47 jest dwusieczną w trójkącie. Punkty K i L leżą więc odpowiednio na odcinkach E i E trójkąta E. W takim razie proste L i K mają punkt wspólny Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie jego krawędzie boczne. W przekroju otrzymano sześciokąt wypukły EF. Wykazać, że proste, E i F przecinają się w jednym punkcie. S F E P rys. 41 Niech P będzie punktem przecięcia prostej zawierającej wysokość danego ostrosłupa z płaszczyzną sześciokąta EF (rys. 41). Wystarczy udowodnić, że punkt P leży na każdej z prostych, E, F. Niech S oznacza wierzchołek danego ostrosłupa. Ponieważ ostrosłup jest prawidłowy, to jego wysokość leży w płaszczyźnie S. Wobec tego prosta zawierająca wysokość ostrosłupa przecina prostą. Stąd wynika, że punkt P leży na prostej. nalogicznie dowodzimy, że punkt P leży na prostych E i F, co kończy rozwiązanie zadania Rozważmy graniastosłup sześciokątny prawidłowy o podstawach i oraz płaszczyznę, która przecina krawędzie i i w punktach i dla i = 1,2,...,6. owieść, że a) przeciwległe boki sześciokąta są równoległe, b) przekątne 1 4, 2 5 i 3 6 sześciokąta mają punkt wspólny. a) Wykażemy, że proste 1 2 i 4 5 są równoległe (dla pozostałych par postępujemy analogicznie). Ponieważ dany graniastosłup jest prawidłowy, to płaszczyzny i są równoległe, a więc nie mają punktów wspólnych (rys. 42). Prosta 1 2 należy do pierwszej z tych płaszczyzn, a prosta 4 5 do drugiej. Stąd wniosek, że również te dwie proste nie mają punktów wspólnych. Leżą one ponadto w jednej płaszczyźnie , a zatem muszą być równoległe.

21 48 Michał Kieza l rys rys. 43 b) Niech l będzie prostą łączącą środki podstaw graniastosłupa (rys. 43). Niech będzie punktem przecięcia tej prostej z płaszczyzną Udowodnimy, że punkt jest punktem wspólnym przekątnych 1 4, 2 5 i 3 6. Prosta l leży w płaszczyźnie , a zatem punkt także leży w tej płaszczyźnie. Punkt leży więc na przecięciu płaszczyzn i , a więc na prostej 1 4. Podobnie dowodzimy, że punkt należy do prostych 2 5 i 3 6, co kończy dowód Pewna płaszczyzna przecina krawędzie,,, czworościanu odpowiednio w punktach K, L, M, N. owieść, że proste KN, LM i przecinają się lub są równoległe. Załóżmy, że proste i KN przecinają się w punkcie P (rys. 44). Punkt ten należy do każdej z płaszczyzn i KLMN, a więc wraz z punktami L i M należy do wspólnej prostej tych dwóch płaszczyzn. To dowodzi, że w tym przypadku proste KN, LM i przecinają się w punkcie P. P M L M L N K N K rys. 44 rys. 45 Przyjmijmy teraz, że proste i KN są równoległe (rys. 45). Gdyby proste LM i miały punkt wspólny, to przeprowadzając analogiczne rozumowanie, jak w poprzednim akapicie, udowodnilibyśmy, że proste i KN mają punkt wspólny, co jest nieprawdą. W takim razie proste LM i także

22 Strony są niedostępne.

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo

Cztery punkty na okręgu

Cztery punkty na okręgu Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 0, grupa zaawansowana (7.03.010) krąg dziewięciu

Bardziej szczegółowo

Stereo. (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014

Stereo. (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014 Stereo (a miejscami nawet surround) 30 stycznia 2014 To kółko wiele zawdzięcza niezrównanym artykułom Michała Kiezy z Kącika Przestrzennego Delty. Oprócz tego zadania pochodzą z OMów oraz prezentacji Adama

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Metoda siatek zadania

Metoda siatek zadania Metoda siatek zadania 1. (Leningrad 1984) Wykazać, że jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku S ostrosłupa SA 1 A 2... A n (n 3) jest większa niż 180, to każda z krawędzi bocznych jest mniejsza od

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie. Joanna Sendorek

Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie. Joanna Sendorek Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie Joanna Sendorek Spis treści Wstęp 2 2 Stosunki odcinków w czworokątach 2 3 Twierdzenie o podziale odcinków w czworokącie 4 4 ibliografia 5 Wstęp W swojej pracy

Bardziej szczegółowo

Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów.

Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów. GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY Bryły czyli figury przestrzenne dzielimy na: graniastosłupy ostrosłupy bryły obrotowe Graniastosłupy i ostrosłupy nazywamy wielościanami Graniastosłupy mają dwie podstawy, a

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli

Bardziej szczegółowo

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)

Bardziej szczegółowo

Własności punktów w czworokątach

Własności punktów w czworokątach Własności punktów w czworokątach Autor: Michał Woźny Gimnazjum nr 2 im. A. Mickiewicza w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1. Wstęp str. 3 2. Badanie punktów będących środkami boków w

Bardziej szczegółowo

Skrypt 19. Bryły. 14. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczania pól powierzchni ostrosłupów

Skrypt 19. Bryły. 14. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczania pól powierzchni ostrosłupów Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Bryły 11. Ostrosłupy - rozpoznawanie,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria

Spis treści. Wyrażenia wymierne. Prawdopodobieństwo. Stereometria Spis treści Wyrażenia wymierne Przekształcanie wielomianów... 8 Równania wymierne... 12 Hiperbola. Przesuwanie hiperboli... 19 Powtórzenie... 26 Praca badawcza Hiperbola, elipsa, parabola... 28 Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Skrypt 33. Powtórzenie do matury:

Skrypt 33. Powtórzenie do matury: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:

Bardziej szczegółowo

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza

1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza 1. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza Tematyka zajęć: WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM PODSTAWOWY Potęga o wykładniku rzeczywistym powtórzenie Funkcja wykładnicza i jej własności

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego

2. Permutacje definicja permutacji definicja liczba permutacji zbioru n-elementowego Wymagania dla kl. 3 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:

Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych: Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1 Projekt współfinansowany ze środków Unii uropejskiej w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego. ZNI N OWOZNI GOMTRI Z. 1 utor: Wojciech Guzicki Materiały konferencyjne Wrzesień 010 entralna Komisja gzaminacyjna

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V = Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne zakres podstawowy klasa 3A

Wymagania edukacyjne zakres podstawowy klasa 3A Ciągi Pojęcie ciągu. Sposoby opisywania ciągów Monotoniczność ciągów Ciąg arytmetyczny Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Ciąg geometryczny Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Procent

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Renata Nowak MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Twierdzenie Pitagorasa inaczej cz. 2 Wróćmy do twierdzenia Pitagorasa, które dobrze znamy. Mówi ono o związkach między bokami w trójkącie prostokątnym. Może w jego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wymagań na wszystkie oceny niższe.) DZIAŁ Potęgi DOPUSZCZAJĄCY

Bardziej szczegółowo

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 5. Wielościany. Punkty przebicia. Przenikanie wielościanów.

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 5. Wielościany. Punkty przebicia. Przenikanie wielościanów. Grafika inżynierska geometria wykreślna 5. Wielościany. Punkty przebicia. Przenikanie wielościanów. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

Planimetria 1 12 godz.

Planimetria 1 12 godz. Planimetria 1 1 godz. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 1 definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º Trygonometria zastosowania Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta,

10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, 10. Elementy kombinatoryki geometrycznej: suma kątów wielokąta, liczba przekątnych wielokąta, porównywanie pól wielokątów w oparciu o proste zależności geometryczne jak np. przystawanie i zawieranie, rozpoznawanie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który umie: 1.zapisywać potęgi w postaci iloczynów 2. zapisywać iloczyny jednakowych

Bardziej szczegółowo

Klasa 2. Ostrosłupy str. 1/4

Klasa 2. Ostrosłupy str. 1/4 Klasa 2. Ostrosłupy str. 1/4 1. Liczba wierzchołków ostrosłupa ośmiokątnego wynosi: A. 9 B. 16 C. 8 D. 7 2. Łączna długość prętów potrzebnych do wykonania szkieletu namiotu w kształcie ostrosłupa prawidłowego

Bardziej szczegółowo

Skrypt 26. Stereometria: Opracowanie Jerzy Mil

Skrypt 26. Stereometria: Opracowanie Jerzy Mil Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 26 Stereometria: 1. Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

GRANIASTOSŁUPY. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są.

GRANIASTOSŁUPY. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych nie są. GRANIASTOSŁUPY Euklides (365-300 p.n.e.) słynny grecki matematyk i fizyk. Jego najwybitniejsze dzieło Elementy składało się z trzynastu ksiąg, z czego trzy ostatnie księgi dotyczą geometrii przestrzennej:

Bardziej szczegółowo

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1 Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI

Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Wymagania edukacyjne dla klasy VI z matematyki. Opracowane na podstawie programu nauczania Matematyka z plusem LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Ocena dopuszczająca: - nazwy działań - algorytm mnożenia i dzielenia

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Symetrie) zna pojęcie punktów symetrycznych względem prostej, umie rozpoznawać figury

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA IV budownictwo ZAKRES ROZSZERZONY (135 godz.)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA IV budownictwo ZAKRES ROZSZERZONY (135 godz.) WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA IV budownictwo ZARES ROZSZERZONY (135 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry);

Bardziej szczegółowo

KLASA II WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA. Wymagania edukacyjne. dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I

KLASA II WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA. Wymagania edukacyjne. dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM KLASA II DZIAŁ I POTĘGI I PIERWIASTKI Poziomy wymagań edukacyjnych: K - konieczny

Bardziej szczegółowo

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E''

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E'' GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2012/2013 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR 1. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach 4 cm x 6 cm x 10 cm jest równa. A. 20 cm B. 40 cm C. 60 cm D.

SPRAWDZIAN NR 1. Suma długości krawędzi prostopadłościanu o wymiarach 4 cm x 6 cm x 10 cm jest równa. A. 20 cm B. 40 cm C. 60 cm D. SPRAWDZIAN NR 1 ARTUR ANTAS IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Zaznacz poprawną odpowiedź. Który wielokąt jest podstawą ostrosłupa o 6 wierzchołkach? A. Trójkąt. B. Czworokąt. C. Pięciokąt. D. Sześciokąt.

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające;

Bardziej szczegółowo

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na powtórzenie

Zagadnienia na powtórzenie Zagadnienia na powtórzenie TERESA ZIEGLER IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Zaznacz takie dokończenie zdania, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Sześcian przecięto płaszczyzną zawierającą dwie równoległe

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Wymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za

Bardziej szczegółowo

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY CELUJĄCY Uczeń: Uczeń: - porównuje liczby zapisane w postaci. potęg

DZIAŁ DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY CELUJĄCY Uczeń: Uczeń: - porównuje liczby zapisane w postaci. potęg Kryteria oceniania osiągnięć uczniów z matematyki w klasie II gimnazjum. ( Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego) opracowała Marta Wcisło DZIAŁ DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA DRUGA GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA DRUGA GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA DRUGA GIMNAZJUM I. POTĘGI. 1. Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym. 2. Umie zapisać potęgę w postaci iloczynu. 3. Umie zapisać iloczyn jednakowych

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo