Cztery punkty na okręgu

Transkrypt

1 Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma kątów przeciwległych tego czworokąta jest równa 180, (3) jeżeli punkty,, są niewspółliniowe oraz dla punktu, leżącego w tej samej półpłaszczyźnie o krawędzi, co i punkt, zachodzi równość <) =<), to punkty,,, leżą na jednym okręgu, (4) dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta i symetralna boku przeciwległego przecinają się w punkcie leżącym na okręgu opisanym na tym trójkącie, (5) kąt wpisany oparty na danym łuku jest równy kątowi dopisanemu opartemu na tym samym łuku (kąt dopisany to kąt między sieczną a styczną), (6) jeżeli proste i przecinają się w punkcie P oraz punkt P należy do każdego z odcinków i, albo punkt P nie należy do żadnego z tych odcinków, to P P = P P wtedy i tylko wtedy, gdy punkty,,, leżą na jednym Zadanie 1. wa okręgi przecinają się w punktach i. Przez punkt poprowadzono prostą, która przecięła dane okręgi w punktach i, różnych od. W punktach i poprowadzono do tych okręgów styczne, które przecięły się w punkcie E. Wykazać, że punkty,,, E leżą na jednym Niech <)=α i <) =β. Zauważmy, że <)= = <)E = α oraz <) = <)E = β. W trójkącie E: <)E = 180 (α+β). E Stąd <) +<)E = <) +<) +<)E = 180, czyli punkty,, i E leżą na jednym Uwaga. Należy jeszcze zbadać inne położenie prostej. Zadanie 2. Na bokach,, trójkąta wybrano odpowiednio takie punkty K, L, M, że <)LK =<)LM =<). Odcinki M i K przecinają się w punkcie P. Wykazać, że punkty, K, P, M leżą na jednym 1

2 Niech <) =<)LK =<)LM =α. Ponieważ <)KL = = 180 α = 180 <)K, więc na czworokącie KL możemy opisać okrąg i stąd <)KL = <)KL. nalogicznie <)ML =180 α =180 <)K, więc na czworokącie ML również możemy opisać okrąg i stąd <)LM = = <) LM. Wykorzystując teraz otrzymane równości kątów, dostajemy <)KP M = <)P = 180 (<)LM +<)KL) = = 180 (<)KL+<)LM) = 180 α, stąd punkty, K, P, M leżą na jednym M K P L Zadanie 3. any jest trójkąt. Okrąg o środku O, dopisany do trójkąta, jest styczny do boku. Punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie O. Wykazać, że punkty,, i leżą na jednym Niech α, β, γ będą kątami trójkąta (oznaczenia standardowe). Wówczas <) O = = α 2, <)O = 90 β 2. Zatem <)O = β +<)O = 90 + β. W trójkącie O mamy 2 <)O = 180 α ( β ) = γ. Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym 2 2 <) = 2 <)O = γ. Ponieważ <) = <), więc punkty,, i leżą na jednym Zadanie 4. any jest trójkąt, w którym < <. Na boku wybrano takie punkty 1, 1, że 1 = i 1 =. Na boku wybrano taki punkt 2, że 1 = = 2, a na boku wybrano taki punkt 2, że 1 = 2. Wykazać, że punkty 1, 2, 1, 2 leżą na jednym Trójkąty 1 2 i 1 są równoramienne, więc i 2 = 1 1. Zatem czworokąt jest trapezem równoramiennym i stąd punkty 1, 2,, 1 leżą na jednym okręgu (opisanym na trójkącie 1 1 ). nalogicznie punkty 1, 2,, 1 leżą na jednym okręgu (opisanym na trójkącie 1 1 ). W takim razie punkty 1, 2, 1, 2 leżą na jednym Zadanie 5. W trójkącie na boku istnieją takie punkty i E, że = i E = = E (punkt E leży między punktami i ). Punkt F jest środkiem łuku, nie zawierającego punktu, okręgu opisanego na trójkącie. Wykazać, że punkty, E,, F leżą na jednym 2

3 Niech <) = α. Wtedy <) = 180 2α oraz <)F = 1 2 <) = 90 α. Punkty E i F są jednakowo oddalone od punktów i, dlatego prosta F E jest symetralną odcinka, stąd <)F E = 90 <)F = α. Zatem <)E = α = <)F E, więc punkty, E,, F leżą na jednym E F Zadanie 6. W trójkącie punkty K i L są rzutami prostokątnymi wierzchołków i na dwusieczną kąta, punkt M jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka, a punkt N jest środkiem boku. Wykazać, że punkty K, L, M i N leżą na jednym Niech P i będą odpowiednio punktami przecięcia dwusiecznej kąta z bokiem oraz z okręgiem opisanym na trójkącie. Ponieważ <) =<), więc jest środkiem łuku. Zatem jego rzut prostokątny na prostą pokrywa się ze środkiem N boku. alszą część rozwiązania można zrobić dwoma sposobami. Sposób I. Trójkąty P M i P K (prostokątne) są podobne (mają jednakowy kąt przy wierzchołku P ). nalogicznie, podobne są trójkąty P L i P N. ostajemy stąd równości: P : P = P M : P K oraz P : P = P L : P N. Punkt P jest punktem przecięcia się odcinków MN i KL (jednocześnie odcinków i ). Punkty,,, leżą na jednym okręgu, więc P P = P P. Wykorzystując teraz wcześniejsze proporcje dostajemy, P K P L = P M P N, a to oznacza, że punkty K, L, M i N leżą na jednym Sposób II. Ponieważ <)K =<)M (=90 ), więc na czworokącie MK można opisać okrąg. nalogicznie na czworokącie LN można opisać okrąg. Stąd <)KMN = <) = = <) = <)KLN, więc punkty K, M, L, N leżą na jednym Zadanie 7. W czworokącie wypukłym przekątne i są prostopadłe i przecinają się w punkcie E. Obrazami punktu E w symetriach względem prostych,,, są odpowiednio punkty P, Q, R, S. Udowodnić, że leżą one na jednym Niech P 1,, R 1, będą punktami wspólnymi odpowiednio odcinków: EP i, EQ i, ER i oraz ES i. Zauważmy, że czworokąty P QRS i P 1 R 1 są jednokładne w skali 1 (środkiem jednokładności jest punkt E). Wystarczy zatem 2 wykazać, że punkty P 1,, R 1, leżą na jednym M P L K N 3

4 Na każdym z czworokątów: EP 1, E R 1, ER 1 i E P 1 można opisać okrąg, bo każdy ma po dwa przeciwległe kąty proste. Zauważmy, że więc <)EP 1 = <)E, <)EP 1 = <)E, <)ER 1 = <)E, <)ER 1 = <)E, <)EP 1 +<)EP 1 +<)ER +<)ER 1 = =<)E+<)E+<)E+<)E= =180, co oznacza, że na czworokącie P 1 R 1 można opisać okrąg, a więc punkty P, Q, R i S leżą na jednym Zadanie 8. W trójkącie, w którym <) =60, poprowadzono dwusieczną kąta. Przecięła ona bok w punkcie L. Niech I będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Okrąg opisany na trójkącie LI przecina bok trójkąta w punkcie. Wykazać, że punkty, L, i leżą na jednym Ponieważ punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt, więc proste I i I są dwusiecznymi kątów odpowiednio i. Stąd <)I+<)I= 1 2 <) <) = 1 2 (180 <))=60. latego <)LI = 60, jako kąt zewnętrzny trójkąta I. alej, punkty, L, I, leżą na jednym okręgu, stąd <)L=<)LI=60, ponieważ oba kąty opierają się na tym samym łuku. W takim razie <)L = 60 = = <)L. Znaczy to, że punkty, L,, leżą na jednym I L Zadanie 9. W trójkącie równoramiennym kąt jest prosty. Punkt leży na boku, przy czym = 2. Punkt E jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. Punkt F jest punktem przecięcia prostej E i boku. Wykazać, że punkty,, E, F leżą na jednym Niech G będzie rzutem prostokątnym punktu na bok. Na mocy twierdzenia Talesa mamy G = = 3 2. Oznaczmy: = = a. Obliczmy teraz długości odcinków E i E w zależności od a. Na mocy twierdzenia Talesa G= 1 3 a oraz G= 2 3a. Zatem z twierdzenia Pitagorasa = 1 3 a 5. Trójkąty prostokątne G i E mają wspólny kąt przy wierzchołku, więc są podobne. Zatem E F G 4

5 E : = G :, skąd wyliczając wielkość E otrzymujemy E = 1 5 a 5. Ponadto E = E = 1 3 a a 5 = 2 15 a 5, skąd E : E = 3 : 2. Równość ta oznacza, że punkty, E, G są współliniowe, czyli G = F. Ponieważ <)E = <)F = 90, więc punkty,, E F leżą na jednym Zadanie 10. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Punkt P leży wewnątrz tego trójkąta, przy czym <)P + <)P = <)P + <)P. Wykazać, że punkty,, I, P leżą na jednym 10. Niech M będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta z okręgiem opisanym na trójkącie. Wówczas M = M oraz <)MI = <)I +<)I = <)I +<)I = = <)M +<)I = <)IM. Stąd dostajemy, że MI =M i w konsekwencji punkt M jest środkiem okręgu przechodzącego przez punkty, oraz I. Punkt P jest punktem wewnętrznym trójkąta, więc <)P +<)P +<)P +<)P = <) +<). Wobec tego równość dana w treści zadania jest równoważna warunkowi I P M czyli <)P = <). Z drugiej strony mamy <)P +<)P = 1 2 ( <) +<)), <)I = ( <) +<)) = <), co daje równość <)P = <)I. Ponieważ punkty leżą po jednej stronie prostej, więc punkty,, I oraz P leżą na jednym okręgu (o środku M). 5

6 Literatura 1. Fomin. W., Kochaś K. P. i inni, Sankt-Petersburskie olimpiady matematyczne Wydawnictwo Łania, Sankt-Petersburg 2007 (po rosyjsku). 2. Iwanow S. W., Kochaś K. P. i inni, Sankt-Petersburskie olimpiady matematyczne Wydawnictwo Newski ialekt, Sankt-Petersburg 2007 (po rosyjsku). 3. Kuczma M. E., Olimpiady matematyczne, t. 8. WSiP, Warszawa Pawłowski H., Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Planimetria i stereometria. Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń Prasolov W. W., Zadania z planimetrii. Nauka, Moskwa 1991 (po rosyjsku). 6. L Olimpiada Matematyczna. Sprawozdanie Komitetu Głównego. Olimpiada Matematyczna, Warszawa LVII Olimpiada Matematyczna. Sprawozdanie Komitetu Głównego. Olimpiada Matematyczna, Warszawa