Regionalne Koło Matematyczne
|
|
- Alojzy Kozieł
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Lista rozwiązań zadań nr 12 ( ) Elementy kombinatoryki Komentarz I Rozwiązywanie zadania kombinatorycznego często sprowadza się do zliczenia elementów pewnych zbiorów skończonych. Obowiązuje zasada: zanim policzymy elementy pewnego zbioru, musimy najpierw opisać elementy tego zbioru w sposób jednoznaczny. Zbiory skończone będziemy oznaczać wielkimi literamix,y,a,..., a ich liczności (czyli ich moce) przez X,Ȳ,Ā,... Zadanie 1. Sporządzono listę wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 3, które w zapisie dziesiątkowym mają siedem cyfr i cyframi tymi są tylko jedynki lub zera. Ile jest liczb na liście? Rozwiązanie. Jeślin=a 6 a 5...a 1 a 0 jest siedmiocyfrową liczbą zapisaną przy pomocy tylko zer i jedynek, a przy tym podzielną przez 3, toa 6 =1isuma cyfrs=a 6 +a a 1 +a 0 jest podzielna przez 3. Ponieważ1 S 7, więcs jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdys=3 lubs=6. Oznacza to, że zbiórx wszystkich liczb siedmiocyfrowych, podzielnych przez 3 i zapisanych przy pomocy zer i jedynek, jest sumą dwóch rozłącznych zbiorówx 1 ix 2 : X 1 ={1a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ; wśróda 5,...,a 0 są 2 jedynki i 4 zera}, X 2 ={1a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ; wśróda 5,...,a 0 jest 5 jedynek i 1 zero}. X 2 =6, gdyż mamy 6 możliwości wyboru miejsca na jedyne zero (na pozycji zerowej, pierwszej,..., piątej). ZbiórX 1 rozbijamy na pięć rozłącznych podzbiorów: X 1 =U 1 U 2 U 3 U 4 U 5, 1
2 przy czym U 1 ={11a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ; wśróda 4,...,a 0 jest jedna jedynka i 4 zera}, U 2 ={101a 3 a 2 a 1 a 0 ; wśróda 3,...,a 0 jest jedna jedynka i 3 zera}, U 3 ={1001a 2 a 1 a 0 ; wśróda 2,a 1,a 0 jest jedna jedynka i 2 zera}, U 4 ={10001a 1 a 0 ;a 1,a 0 {0,1},a 1 a 0 }, U 5 ={ }. Mamy X 1 =U 1 +U 2 +U 3 +U 4 +U 5 = =15. Stąd X=X 1 +X 2 =15+6=21. Komentarz II Rozwiązanie Zadania 1. oparte jest o dobrze osadzoną w intuicjach regułę. Reguła I JeżeliA,B są skończonymi zbiorami ia B=, toa B=A+B. JeżeliA 1,A 2,...A n są skończonymi zbiorami ia k A l = dlak l, to A 1 A 2... A n =A 1 +A A n. Warto zatem czasami zbiór, którego elementy zliczamy, rozbić na sumę parami rozłącznych podzbiorów, zliczyć elementy każdego z nich oddzielnie, a następnie dodać do siebie otrzymane liczby. Zadanie 2. Ile jest liczb trzycyfrowych, które 1. są podzielne przez 2, 2. są podzielne przez 3, 3. są podzielne przez 5, 4. są podzielne przez 7, 5. są podzielne przez 2 i 3, 6. są podzielne przez 3 i 5 i 7, 7. są podzielne przez 2 lub 3, 8. są podzielne przez 2 lub 3 lub 5, 9. są podzielne przez 2 lub 3 lub 5 lub 7, 10. nie są podzielne ani przez 2, ani przez 3, ani przez 7? 2
3 Rozwiązanie. SymbolemP i oznaczmy zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez liczbę i. Prawdziwe są równości: P 2 =450, P 3 =300, P 5 =180, P 7 ={105,112,119,...,994}={7k;k=15,16,...,142}=128. Zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez 2 i przez 3 to część wspólna zbiorów P 2 ip 3, która jest zbioremp 6. Mamy Podobnie, P 2 P 3 =P 6 =150. P 2 P 3 P 7 =P 42 ={126,168,...,966}={42k;3 k 23}=21. Zbiór liczb podzielnych przez 2 lub przez 3 jest sumą zbiorówp 2 ip 3, przy czym zbiory te mają niepustą część wspólnąp 2 P 3 =P 6. Zauważmy, że jeśli chcemy podać liczbę elementów w sumie zbiorówp 2 P 3, to nie możemy tego zrobić dodawszy po prostu liczby P2 i P3, bo wówczas liczby podzielne przez 6 policzylibyśmy dwa razy. Mamy natomiast równość: P 2 P 3 =P 2 +P 3 P 6 = =600. Z mocą zbioru liczb podzielnych przez 2 lub 3 lub 5, czyli z mocą sumy trzech zbiorów :P 2,P 3,P 5 sprawa jest bardziej skomplikowana. Mamy: P 2 P 3 P 5 = P 2 +P 3 +P 5 P 2 P 3 P 2 P 5 P 3 P 5 +P 2 P 3 P 5 = P 2 +P 3 +P 5 P 6 P 10 P 15 +P 30 = =660. Jak poprzednio, dodanie mocy zbiorówp 2,P 3,P 5 spowodowałoby, że np. liczby podzielne przez 2 i 3, zostałyby policzone dwa razy zamiast jeden raz; stąd moce części wspólnych każdej z par zbiorów występują w naszym rachunku ze znakiem -. Zauważmy także, że konieczne jest dodanie P30, bo w przeciwnym razie w ogóle nie policzylibyśmy wielokrotności 30. Elementy zbioru liczb podzielnych przez 2 lub 3 lub 5 lub 7, czyli elementy sumy zbiorówp 2 P 3 P 5 P 7, zliczamy analogicznie, modyfikując odpowiednio rachunek: P 2 P 3 P 5 P 7 = P 2 +P 3 +P 5 +P 7 P 2 P 3 P 2 P 5 P 2 P 7 P 3 P 5 P 3 P 7 P 5 P 7 +P 3 P 5 P 7 +P 2 P 5 P 7 +P 2 P 3 P 7 +P 2 P 3 P 5 P 2 P 3 P 5 P 7 = P 2 +P 3 +P 5 +P 7 P 6 P 10 P 14 P 15 P 21 P 35 +P 105 +P 70 +P 42 +P 30 P 210 = =694. 3
4 Aby dać odpowiedź na ostatnie pytanie zauważmy, że zbiór X liczb trzycyfrowych niepodzielnych ani przez 2, ani przez 3, ani przez 7 jest różnicą zbioru liczb trzycyfrowych oraz zbioru liczb trzycyfrowych podzielnych przez 2 lub 3 lub 7: skąd wynika równość X={100,101,...,999} (P 2 P 3 P 7 ), X=900 P 2 P 3 P 7, a liczbęp 2 P 3 P 7 uzyskamy tak, jak poprzednio: Komentarz III P 2 P 3 P 7 = P 2 +P 3 +P 7 P 2 P 3 P 2 P 7 P 3 P 7 +P 2 P 3 P 7 = P 2 +P 3 +P 7 P 6 P 14 P 21 +P 42 = =642. Rozwiązanie Zadania 2. oparte jest o następującą regułę Reguła II (prawo włączeń i wyłączeń dla mocy) Jeżeli A, B są skończonymi zbiorami, to prawdziwa jest równość A B=A+B A B. Jeżeli A, B, C są skończonymi zbiorami, to prawdziwa jest równość A B C=A+B+C A B A C B C+A B C. JeżeliA,B,C,Dsą skończonymi zbiorami, to prawdziwa jest równość A B C D = A+B+C+D A B A C A D B C B D C D+B C D+A C D +A B D+B C D A B C D. JeżeliA 1,A 2,...A n są skończonymi zbiorami, to liczbę elementów zbioru A 1 A 2... A n można wyliczyć dodając moce wszystkich zbiorówa i, następnie odejmując moce wszystkich iloczynów postacia i A j, potem dodając moce wszystkich iloczynów postacia i A j A k, następnie odejmując moce wszystkich iloczynów długości cztery, itd. Regułę dowodzi się indukcyjnie. Zadanie 3. Zapisujemy liczby czterocyfrowe używając cyfr ze zbioru {2,3,5,7,8,9}. Ile jest 4
5 1. wszystkich takich liczb, 2. takich liczb, w których zapisie każda cyfra jest inną, 3. takich liczb, które są parzyste i większe niż 5000, 4. liczb parzystych, w których zapisie wystepują cztery różne cyfry? Rozwiązanie.(1) Rozważamy liczby postaciabcd, gdziea,b,c,d {2,3,5,7,8,9}. Wyobraźmy sobie, że zapis liczby tworzymy w czterech etapach: I etap: wybieramy cyfręa można to uczynić na 6 sposobów, II etap: wybieramy cyfręb można to uczynić na 6 sposobów (niezależnie od wyboru cyfry a), III etap: wybieramy cyfręc można to uczynić na 6 sposobów (niezależnie od poprzednich wyborów), IV etap: wybieramy cyfręd można to uczynić na 6 sposobów (niezależnie od poprzednich wyborów). Na każdy wybór cyfryaprzypada 6 możliwych wyborów cyfryb. Zatem parę uporządkowanąab można wybrać na6 6=36 sposobów. Dalej, na każdy wybór pary ab (jeden z trzydziestu sześciu) przypada 6 sposobów wyboru cyfry c, a więc trójkę uporządkowanąabc można utworzyć na6 36=216 sposobów. I wreszcie na każdy wybór trójki abc przypada 6 sposobów wyboru cyfry d. Wynika stąd, że wszystkich liczb czterocyfrowych zbudowanych z cyfr 2,3,5,7,8,9 jest = Rozwiązanie.(2) Policzymy teraz w analogiczny sposób, ile jest liczb czterocyfrowych, zbudowanych z cyfr 2,3,5,7,8,9, o różnych cyfrach. Tak, jak poprzednio, wyobrażamy sobie, że liczby abcd o różnych cyfrach tworzymy w czterech etapach, za każdym razem wybierając inna cyfrę: I etap: wybieramy cyfręa można to uczynić na 6 sposobów, II etap: wybieramy cyfręb można to uczynić na 5 sposobów (jedna z cyfr została użyta w pierwszym etapie i nie można jej wybrać po raz drugi), III etap: wybieramy cyfręc można to uczynić na 4 sposoby (nie możemy bowiem brać pod uwagę cyfr wybranych w I i II etapie), IV etap: wybieramy cyfręd można to uczynić już tylko na 3 sposoby (w trakcie realizacji trzech poprzednich etapów wybrano już trzy cyfry, i czwartą cyfrę trzeba wybierać sposród pozostałych trzech). Z naszych rozważań wynika, że liczb o wspomnianych wyżej własnościach jest =360. Rozwiązanie.(3) Rozważamy teraz wszystkie czterocyfrowe liczby zbudowane z cyfr 2, 3, 5, 7, 8, 9, parzyste i większe niż 5000, a więc liczbyabcd takie, żea {5,7,8,9}, b,c {2,3,5,7,8,9} id {2,8}. Ponownie wyobrażamy sobie proces zapisywania takich liczb w czterech etapach: 5
6 I etap: wybieramy cyfręa można to uczynić na 4 sposoby, II etap: wybieramy cyfręb można to uczynić na 6 sposobów (niezależnie od wyboru cyfry a), III etap: wybieramy cyfręc można to uczynić na 6 sposobów (niezależnie od pierwszych dwóch wyborów), IV etap: wybieramy cyfręd można to uczynić na 2 sposoby. Wynika stąd, że liczb parzystych, większych od 5000 i zbudowanych z cyfr 2,3,5,7,8,9 jest =288. Rozwiązanie.(4) Aby zliczyć wszystkie liczby czterocyfrowe parzyste, abcd, o różnych cyfrach i zbudowane z cyfr 2, 3, 5, 7, 8, 9, postąpimy podobnie, jak w zadaniach (1), (2) i (3). Tym razem jednak zmienimy kolejność czynności. Zauważmy, że gdybyśmy tworzyli liczbę wybierając najpierw cyfry a, b, i c, to pojawiłby się kłopot z ustaleniem liczby możliwych realizacji wyboru cyfryd(musiałaby to być cyfra 2 lub 8, ale przecież nie jest jasne, czy któraś z nich nie została wybrana wcześniej). Dlatego warto zacząć tym razem od cyfry jedności: I etap: wybieramy cyfręd można to uczynić na 2 sposoby, (musi to być dwójka lub ósemka), II etap: wybieramy cyfręa można to uczynić na 5 sposobów (dwójka lub ósemka stała się przed chwilą cyfrą jedności i nie można jej wybrać po raz drugi), III etap: wybieramy cyfręb można to uczynić na 4 sposoby (nie możemy bowiem brać pod uwagę cyfr wybranych w I i II etapie), IV etap: wybieramy cyfręc można to uczynić już tylko na 3 sposoby (w trakcie realizacji trzech poprzednich etapów wybrano już trzy cyfry, i czwartą cyfrę trzeba wybierać sposród pozostałych trzech). Widać więc, że liczb o podanych własnościach jest = 120. Zwroćmy uwagę na to, że ważne tutaj było, żeby najpierw wybrać cyfrę jedności; realizcja pozostałych trzech etapów mogła przebiegać w dowolnej kolejności. Komentarz IV Rozwiązanie Zadania 3. oparte jest o następującą regułę Reguła III (reguła mnożenia) Jeżeli pewną czynność można zrealizować w dwóch etapach, przy czym I etap można zrealizować nan 1 sposobów, II etap można zrealizować nan 2 sposobów, niezależnie od przebiegu pierwszego etapu, to wszystkich możliwych realizacji obu etapów łącznie jestn 1 n 2. 6
7 Jeżeli pewną czynność można zrealizować w k etapach, przy czym pierwszy etap można zrealizować nan 1 sposobów, drugi etap można zrealizować nan 2 sposobów, niezależnie od przebiegu pierwszego etapu, trzeci etap można zrealizować nan 3 sposobów, niezależnie od przebiegu etapów poprzednich,... etap o numerzek można zrealizować nan k sposobów, niezależnie od przebiegu etapów wcześniejszych, to wszystkich możliwych realizacji całej czynności jestn 1 n 2 n 3... n k. Regułę mnożenia dowodzi się indukcyjnie. Zadanie 4. Na ile różnych sposobów można ustawić 20 osób 1. w jednym rzędzie, 2. w jednym rzędzie i tak, aby panowie A i B stali obok siebie, 3. w jednym rzędzie i tak, aby panowie A i B nie stali obok siebie, 4. w jednym rzędzie i tak, ża między panami A i B stoją dwie osoby? Komentarz V Ustawienie w jednym rzędzienróżnych obiektów o nazwacho 1,o 2,o 3,...o n 1,o n opisujemy przy pomocy ciągu uporządkowanego długościnpostaci(x 1,x 2,...,x n ), gdziex i {1,2,3,...,n} dlai=1,2,...,n orazx i x j dlai j.x 1 oznacza numer pozycji, na której znajduje się obiekto 1,x 2 - numer pozycji, na której znajduje się obiekto 2, i ogólnie,x j oznacza numer pozycji, którą zajmuje obiekto j, gdziej=1,2,...,n. Każdy taki ciąg nazywamy n-elementową permutacją bez powtórzeń zbioru{o 1,o 2,o 3,...,o n }. Dwa ciągi uporządkowane,(p 1,p 2,...,p n ) i(s 1,s 2,...,s n ), są identyczne, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego j takiego, że1 j n, prawdziwa jest równośćp j =s j. Dwa ciągi uporządkowane,(p 1,p 2,...,p n ) i(s 1,s 2,...,s n ), nie są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalnaj,1 j n, taka żep j s j. Rozwiązanie. (1) Każde ustawienie 20 osób opisane jest przez uporządkowany ciąg (x 1,x 2,...,x 20 ), przy czymx 1,x 2,...x 20 {1,2,...,20},x i x j dlai j, orazx j jest numerem miejsca, które zajmuje osoba z numerem j. Wyobraźmy sobie, że ustawiamy osoby (a więc tworzymy ciąg(x 1,x 2,...,x 20 )) w następujący sposób: I etap: osobę nr 1 ustawiamy na pozycjix 1 mamy do wyboru 20 miejsc, II etap: osobę nr 2 ustawiamy na pozycjix 2 mamy do wyboru 19 miejsc (jedno jest już zajęte), 7
8 III etap: osobę nr 3 ustawiamy na pozycjix 3 mamy do wyboru 18 miejsc (bo dwa są już zajęte),... XX etap: osobę nr 20 ustawiamy na pozycjix 20 tutaj już nie mamy wyboru, gdyż zostało tylko jedno miejsce. Z zasady mnożenia wynika, że jest =20! różnych ustawień dwudziestu osób. (Osoby są zawsze rozróżnialne!). Rozwiązanie. (2) Policzymy teraz, ile jest takich ustawień, w których panowieaib stoją obok siebie. Przyjmijmy, że panajest osobą z numerem 1, a panb osobą z numerem 2. Rozważamy ciągi,(x 1,x 2,...,x 20 ) o wartościach ze zbioru{1,2,...,20}, różnowartościowe i takie, że jeślix k =1, tox k+1 =2lubx k 1 =2. Zauważmy, że ciągów, w których dwójka znajduje się bezpośrednio za jedynką jest tyle samo co ciągów, w których dwójka bezpośrednio poprzedza jedynkę. Wystarczy zliczyć ciągi pierwszego rodzaju i ich liczbę przemnożyć przez 2. Ciąg, w którym dwójka występuje bezpośrednio po jedynce tworzymy stopniowo; I etap: osobę nr 1 (panaa) ustawiamy na pozycjix 1 mamy do wyboru 19 miejsc (za nim musi się jeszcze znaleźć miejsce dla panab), II etap: osobę nr 2 (panab) ustawiamy na pozycjix 2 jej miejsce zostało zdeterminowane w momencie wyboru miejsca dla osoby nr 1 mamy tylko jedną możliwość, III etap: osobę nr 3 ustawiamy na pozycjix 3 mamy do wyboru 18 miejsc (bo panom A i B miejsca zostały przydzielone), IV etap: osobę nr 4 ustawiamy na pozycjix 4 mamy do wyboru 17 miejsc,... XX etap: osobę nr 20 ustawiamy na pozycjix 20 tutaj już nie mamy wyboru, gdyż zostało tylko jedno miejsce. Z zasady mnożenia wynika, że liczba ustawień 20 osób tak, aby panastał bezpośrednio przed panemb jest =19! a takich ustawień, w których panastoi obok panab z dowolnej jego strony jest2 19!. Rozwiązanie. (3) Mając rozwiązane zadania (1) i (2) łatwo podać rozwiązanie zadania (3). Wystarczy zauważyć, że zbiór możliwych ustawień 20 osób, w których pananie stoi obok pana B, jest różnicą zbioru wszystkich ustawień i zbioru tych ustawień, w ktorych panastoi obok panab. Mamy moc zbioru {(x 1,x 2,...,x 20 ); x 1,x 2,...x 20 {1,2,...,20},x i x j dlai j, oraz jeślix k =1, tox k+1 2ix k 1 2} równą20! 2 19!=19! 18. Rozwiązanie. (4) Rozważamy teraz takie ustawienia 20 osób, w kórych między panamiaib stoją dokładnie dwie osoby, czyli takie ciągi(x 1,x 2,...,x 20 ), żex 1,x 2,...x 20 {1,2,...,20},x i x j dlai j, oraz w ciągu wystepuje jeden z bloków (1,a i,a i+1,2) lub(2,a i,a i+1,1) dla pewnegoi {2,3,...,18}. Tworzymy ciąg w kolejnych etapach: 8
9 I etap: wybieramy miejsce w ciągu dla bloku czteroelementowego i na skrajnych jego pozycjach ustawiamy pana A i pana B, czyli mamy ustalone wartości dlax 1 ix 2 można to uczynić na17 2=34 sposoby, II etap: osobę nr 3 ustawiamy na pozycjix 3 jednej z 18 wolnych, III etap: osobę nr 4 ustawiamy na pozycjix 4 mamy do wyboru 17 miejsc IV etap: osobę nr 5 ustawiamy na pozycjix 5 mamy do wyboru 16 miejsc,... XIX etap: osobę nr 20 ustawiamy na pozycjix 20 tutaj już nie mamy wyboru, gdyż zostało tylko jedno miejsce. Z zasady mnożnia wynika, że wszystkich ciągów o wspomnianych wyżej własnościach jest34 18!. Zadanie 5. Ile różnych łańcuchów na choinkę można zrobić wykorzystując 150 papierowych pasków czerwonych i 100 pasków złotych? Załóżmy dodatkowo, że na jednym końcu łańcucha przyczepiamy dodatkowo ogniwo białe. Ile różnych łańcuchów można zrobić mając do dyspozycji 150 pasków czerwonych, 100 pasków złotych i 80 pasków niebieskich? Rozwiązanie. Jest zasadnicza różnica między sytuacją opisaną w tym zadaniu i sytuacją z zadania poprzedniego. Osoby ustawiane w rzędzie są obiektami rozróżnialnymi; paski tego samego koloru, z których robimy ogniwa łańcucha na choinkę, nie rożnią się miedzy sobą. Gdyby na każdym pasku napisano ołówkiem jego numerek, np. czerwone paski miałyby oznaczeniac 1,c 2,...,c 150, a złotez 1,z 2,...,z 100, to odpowiedź byłaby łatwa. Łańcuch byłby ciągiem(x 1,x 2,...,x 250 ) takim, żex i {c 1,c 2,...,c 150 z 1,z 2,...,z 100 } dla dowolnegoi {1,2,...,250} i rożnowartościowym. W oparciu o zasadę mnożenia, zastosowaną tak, jak w rozwiazaniu Zadania 4(1), można by uzasadnić, że takich ciągów jest 250!. Skoro jednak paski jednego koloru sa nierozróżnialne, to różnych łańcuchów jest na pewno mniej. Zanim podamy wynik, wyjaśnimy pewną ważną kwestię w kolejnym Komenarzu. Komentarz VI Prawdziwe jest twierdzenie: Jeżeli zbiór X ma n elementów i k jest liczbą naturalną,0 k n, to ze zbiorux można wybrać podzbiór k- elementowy na ( ) n k = n! sposobów. k! (n k)! Z zasady mnożenia wynika, że ciągów(y 1,y 2,...,y k ) różnowartościowych utworzonych z elementów zbioru X jestn (n 1)... (n k+1). Istotnie, ciąg można zbudować w wielu krokach, wybierający 1 nansposobów, następniey 2 na(n 1) sposobów,y 3 na(n 2) sposobów, itd. Ostatnim krokiem będzie wskazanie tego elementu zbioru X, który znajdzie się na ostatniej, k- tej pozycji. Można go będzie wybrać spośródn k+1 elementów, które jeszcze zostały. Zróbmy teraz następujace doświadczenie myślowe (to nic, że mało realne!). Wyobraźmy sobie, że na oddzielnych kartkach mamy spisane wszystkie takie ciągi. Posegregujmy te kartki na stosy tak, by w każdym ze stosów znalazły się ciągi, w których występują te same elementy zbioru X (lecz w innej kolejności). Co ciekawego powinniśmy dostrzec? To, że w każdym ze stosów jest taka sama liczba kartek:k! Stosów będzie n (n 1)... (n k+1) = ( ) n k! k. Ważne jest, by zrozumieć, że każdy stos dobrze 9
10 ilustruje jeden jedyny k-elementowy podzbiór zbioru X, i że jest tyle podzbiorów k-elementowych zbioru X, ile stosów. Wracamy do zliczania łańcuchów. Proces projektowania pojedynczego łańcucha można sprowadzić do tego, że sposród numerów ogniw od 1 do 250 wskazujemy 150 pozycji, na których ma być kolor czerwony. Na pozostałych pozycjach umieścimy ogniwa złote. Inaczej mówiąc, aby opisać ciąg(x 1,x 2,...,x 250 ) taki, żex i c,z, dla 1 i 250, przy czymcwystępuje w ciągu 150 razy az 100 razy, wystarczy wskazać, na których miejscach znajdą się symbolec. Z Komentarza V wynika, że można to zrobić na ( ) sposobów. Nietrudno także policzyć, ile można zrobić różnych łańcuchów ze 150 pasków czerwonych, 100 pasków złotych i 80 pasków niebieskich. Łańcuch - to ciąg(x 1,x 2,...,x 330 ) taki, żex i {c,z,n} dlai {1,2,...,330}, przy czymcpowtarza się 150 razy,z 100 razy, an80 razy. Można sobie wyobrazić, że projektujemy go w trzech etapach: I etap: spośród 330 miejsc wybieramy 150 miejsc na ogniwa czerwone można to uczynić na ( ) sposobów, II etap: spośród pozostałych 180 miejsc wybieramy 100 miejsc na ogniwa złote możliwości mamy ( ) , III etap: pozostałe 80 miejsc zapełniamy ogniwami niebieskimi można to zrobić tylko na jeden sposób. ( Z zasady ) ( ) mnożenia liczba możliwych sposobów utworzenia łańcuchów jest równa: = 330! ! 100! 80!. Zadanie 6. Na ile sposobów można z klasy 30-osobowej wybrać 1. 3 osoby: przewodniczącego klasy, jego zastępcę oraz skarbnika, 2. drużynę 7-osobową? Rozwiązanie. (1)A={(p,z,s);p,z,s {1,2,...,30},p z,p s,z s}. Trójkę uprządkowaną tworzymy w trzech etapach. I etap: wybieramy przewodniczącego(p) można to uczynić na 30 sposobów, II etap: spośród pozostałych 29 członków klasy wybieramy zastępcę mamy 29 możliwości, III etap: sposród pozostałych 28 członków klasy wybieramy skarbnika mamy 28 możliwości. Z zasady mnożenia wynika, że możliwych wyborów jesta= Rozwiązanie (2)B={{x 1,x 2,...,x 7 };x i {1,2,...,30} dlai=1,2,...7} Z Komentarza V wynika:b= ( ) Zadanie 7. Na ile sposobów można rozdać talię 52 kart czterem brydżystom N, W, S i E? Rozwiązanie. Pojedyncze rozdanie kart można opisać jako uporządkowaną czwórkę(a,b,c,d), przy czyma,b,c, idsą rozłącznymi, 13-elementowymi podzbiorami zbioru{1,2,...,52} odpowiadającego talii kart. ZbiórAto zestaw kart gracza N,B to karty gracza W,C karty graczas adkarty gracza E. Taką czwórkę uporządkowaną można utworzyć w czterech etapach. 10
11 I etap: spośród 52 kart (czyli liczb 1,2,...,52) wybieramy 13 dla gracza N można to zrobić na ( ) sposobów, II etap: spośród pozostałych 39 kart wybieramy 13 dla gracza W można to zrobić na ( ) sposobów, III etap: spośród 26 pozostałych kart wybieramy 13 dla gracza S można to zrobić na ( ) sposobów, IV etap: pozostałe 13 kart przeznaczamy dla gracza E tutaj nie mamy żadnego wyboru. Z zasady mnożenia liczba wszystkich opisanych wyżej rozdań jest równa ( ) ( ) ( ) ( ) 13 = 52! 13 (13!) 4. 11
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania
Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich
Bardziej szczegółowo1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru
. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1
W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak
ĆWCZENA nr 1 - KOMBNATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak. Reguła mnożenia Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą mamy k 1 możliwości
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoliczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?
KOMBINATORYKA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI 1. Udziel odpowiedzi na poniższe pytania: a) Ile jest możliwych wyników w rzucie jedną kostką? W rzucie jedną kostką możemy otrzymać jeden spośród następujących wyników:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
wykład : Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa STTYSTYK OPISOW Wanda Olech Katedra Genetyki i Ochrony Zwierząt Statystyka zajmuje się Zjawiskami losowymi - które bada przez doświadczenie U podstaw współczesnej
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum
1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/10 Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi YX przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoLXIII Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoWokół Problemu Steinhausa z teorii liczb
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoWYBUCHAJĄCE KROPKI ROZDZIAŁ 1 MASZYNY
WYBUCHAJĄCE KROPKI ROZDZIAŁ 1 MASZYNY Witaj w podróży. Jest to podróż matematyczna oparta na historii mojej, Jamesa, która jednak nie wydarzyła się naprawdę. Kiedy byłem dzieckiem, wynalazłem maszynę -
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoMatematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń
Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 4 kwietnia 2019 1 Dodajmy kontekst! Rozważaliśmy
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN KOMBINATORYKA
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoEtap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017
Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017 Zadanie 1. (7 punktów) Nieuporządkowane rzędy Niech n oznacza liczbę krzeseł w rzędzie. Sala konferencyjna ma 9n krzeseł. Podczas pierwszej konferencji
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie) (1) Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8? (2) Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowoLISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoOLIMPIADA MATEMATYCZNA
OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z
Bardziej szczegółowoII Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich
II Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich Rozwiązania zadań konkursowych 14 czerwca 2013 r. Zadanie 1. Rozłóż na czynniki
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoPRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR
PRZELICZANIE JEDNOSTEK MIAR Kompleks zajęć dotyczący przeliczania jednostek miar składa się z czterech odrębnych zajęć, które są jednak nierozerwalnie połączone ze sobą tematycznie w takiej sekwencji,
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowo1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004
ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna zestaw II ( )
Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2
1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one
Bardziej szczegółowo