KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac"

Transkrypt

1 KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty kombinatoryczne TRZY TYPY ZAGADNIEŃ: (1) Czy istnieje obiekt o zadanych własnościach? (2) Ile jest obiektów o zadanych własnościach? (3) Czy można znaleźć obiekt optymalny według zadanych kryteriów? Odpowiedź na pytanie (1) tak lub nie, a w ogólności twierdzenie charakteryzujące kryterium. Odpowiedź na pytanie (2) liczba, a w ogólności wzór lub metoda obliczeniowa. Odpowiedź na pytanie (3) podanie struktury optymalizującej, a w ogólności algorytmu znajdującego taką strukturę. Problem przydziału prac Do obsadzenia sześć stanowisk pracy: (m) - murarza (d) - dekarza (s) - stolarza (c) - cieśli (b) - betoniarza (i) - instalatora Pięciu kandydatów: A, B, C, D, E A - uprawnienia ( s, i ) B - uprawnienia ( s, d ) C - uprawnienia ( s, d ) D - uprawnienia ( m, s, c, i ) E - uprawnienia ( b, i ) PYTANIE 1: Czy można tak dopasować kandydatów do stanowisk pracy, aby każdy otrzymał pracę zgodnie ze swoimi uprawnieniami? TAK A -i, B -s, C -d, D -m, E -b stanowisko cieśli nie jest obsadzone Uwaga: przy zmianie uprawnień D (d,i) - odpowiedź NIE Barbara Głut 1

2 PYTANIE 2: Na ile sposobów można dopasować kandydatów do stanowisk pracy? 4 sposoby (trzy inne - B i C mogą się zamienić, D może być cieślą) Dodatkowo ustalono przydatność kandydatów do stanowisk (skala 1-6), 0 - brak kwalifikacji m s b d c i A B C D E PYTANIE 3: Który z dopuszczalnych przydziałów pracy jest najkorzystniejszy (daje największą liczbę punktów)? Przydział A - i (3), B - d (3), C - s (5), D - c (4), E - b (2) suma - 17 punktów Przedmioty w pudełkach Na ile sposobów można rozmieścić trzy przedmioty w dwóch pudełkach? Przypadek 1: pudełka i przedmioty (a, b, c) rozróżnialne abc ab c ac b bc a abc c ab b ac a bc Przypadek 2: przedmioty rozróżnialne, pudełka nie tylko 4 rozmieszczenia odrzucamy 4 z drugiego wiersza, bo to samo Przypadek 3: pudełka rozróżnialne, przedmioty nie o o o o o o o o o o o o Przypadek 4: pudełka nierozróżnialne, przedmioty też dwie możliwości: o o o o o o Barbara Głut 2

3 rim struktura jest bardziej nieoznaczona, tym mniej rozwiązań (ale trudniej je przeliczyć). rprzed przystąpieniem do przeliczania trzeba ustalić, które obiekty uważamy za różne. rprzeliczanie przez wypisywanie wszystkich możliwości ma sens tylko, gdy mała liczba obiektów. Trzeba znaleźć wzór lub metodę. USTAWIENIA Ile słów można utworzyć z liter A K R używając każdej z nich tylko jeden raz? AKR ARK KAR KRA RAK RKA = 6 słów Gdybyśmy mieli do dyspozycji 4 litery? = 24 słowa Dla n różnych liter? n (n 1) (n 2) sposobów ustawienia n silnia Definicja: n! = (n 1) n 0! = 1 Też definicja rekurencyjna: 1! = 1 n! = (n 1)! n Określa liczbę wszystkich ustawień albo uporządkowań, albo PERMUTACJI n przedmiotów. Barbara Głut 3

4 Definicja: Permutacją bez powtórzeń n elementów nazywamy ciąg składający się z n elementów uporządkowanych i różnych. Liczba możliwych permutacji zbioru n-elementowego: P n = n! Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n różnych przedmiotów? Np.: Ile można utworzyć słów dwuliterowych ze zbioru liter A, B, C, D tak, aby litery nie powtarzały się w słowie? AB BA CA DA AC BC CB DB 12 ustawień AD BD CD DC 1 element na 4 sposoby, 2 element na 3 sposoby 4 3 = 12 Ogólnie, gdy ustawiamy k-elementowy ciąg: 1 element n sposobów 2 element n 1 3 element n 2... k element n k + 1 n! n (n 1) (n 2)... (n k+1) = ( n k)! Barbara Głut 4

5 Definicja: Wariacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy ciąg k elementów wybranych z n elementów, przy czym elementy te są różne między sobą. Ciąg ważna jest kolejność elementów Liczba wariacji bez powtórzeń V k n n! = ( n k)! Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n przedmiotów? Np.: Ile można utworzyć liczb dwucyfrowych z cyfr 1, 2, 3? tworzymy ciągi dwucyfrowe ze zbioru trójelementowego kolejność odgrywa rolę cyfry mogą się powtarzać N 1 1L 2 O 3 N 1 2L 2 O 3 N 1 3L 2 O Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 2, 3? Barbara Głut 5

6 Rzut kostkami Rzucamy dwoma rozróżnialnymi kostkami do gry. (Jedna zielona, druga czerwona) Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6 2 A gdyby rzucać trzema kostkami? = 6 3 A gdyby kostek było k? 6 k Ustawiamy k elementów wybranych spośród n elementów Pierwszy element ciągu możemy wybrać na n sposobów, drugi też, trzeci n n n... n = n k Definicja: Wariacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n elementów nazywamy ciąg k elementów wybranych spośród n elementów. Elementy ciągu mogą być różne lub mogą nie różnić się między sobą. Liczba wariacji z powtórzeniami W = n k n k Barbara Głut 6

7 Permutacje z wyróżnioną parą Na ile sposobów można zapisać w jednym rzędzie cyfry 0, 1,..., 9 tak, by cyfry 1 i 2 stały obok siebie? Traktujemy 1 i 2 jak pojedynczy element 9 elementów Permutujemy je na 9! sposobów. Ale: dla cyfr 1 i 2 musimy wybrać kolejność, w jakiej stoją obok siebie 2 możliwości Czyli wszystkich sposobów jest: 2 9! A gdy będzie n elementów, a wśród nich są dwa wyróżnione, które powinny znaleźć się obok siebie? 2 (n 1)! Permutacje koralikowe Szczególny wariant permutacji, gdzie nie jest wyróżniony początek ani koniec np. elementy rozstawione na okręgu n krzeseł wokół okrągłego stołu Ważne, kto siedzi obok kogo, a nie, gdzie kto siedzi Liczba ustawień: n! = ( n 1)! n Barbara Głut 7

8 Permutacje z powtórzeniami Definicja: Permutacją z powtórzeniami nazywamy ciąg składający się z n elementów, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n 1, n 2,..., n k razy. Np. Wypisać wszystkie 3-elementowe permutacje elementów a i b, w których element a powtarza się dwa razy. aab aba baa A ile jest takich możliwości, gdy permutacje mają być 4-elementowe, a element a powtarza się trzy razy? aaab aaba abaa baaa Pytanie: Jak obliczyć, ile można utworzyć 4-elementowych permutacji z elementów a i b, w których element a powtarza się trzy razy? Istnieje 24 (bo 4!) permutacji z 4 elementów a 1 a 2 a 3 a 4. Załóżmy, że element b=a 1. Pozostałe trzy elementy tworzą 3!=6 permutacji. Jeśli a 2 = a 3 = a 4 = a, te 6 permutacji da jedną permutację baaa. Element b może też wystąpić na drugim, trzecim i czwartym miejscu. Czyli liczba 4-elementowych permutacji o powtarzającym się trzykrotnie elemencie a jest 3!=6 razy mniejsza od liczby 4-elementowych permutacji bez powtórzeń. Ogólnie: Liczba permutacji n-elementowych o powtarzających się elementach odpowiednio n 1, n 2,..., n k razy n, n,..., n n! 1 2 k Pn = n! n!... n! 1 2 k Barbara Głut 8

9 LICZBY WYBORÓW Gdy chcemy określić tylko liczbę możliwych wyborów lub kombinacji k przedmiotów, nie interesuje nas k silnia różnych sposobów ich ustawienia. Zatem, liczbę wyborów otrzymujemy przez podzielenie liczby ustawień przez k! Np. 3-elementowy zbiór { a, b, c }. Z niego wybieramy 2-elementowe wariacje bez powtórzeń. Liczba ustawień jest równa: 3! = 6 1! ( a, b) ( a, c ) ( b, a ) ( c, a ) ( b, c ) ( c, b ) Gdy interesuje nas jedynie liczba możliwych wyborów zbiorów 2-elementowych z trzech elementów: { a, b } { a, c } { b, c } 3! = 3 1! 2! Definicja: Kombinacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n elementów nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych spośród n różnych elementów. Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone. Liczba k-elementowychk kombinacji bez powtórzeń ze zbioru n elementów: C k n n n! = = k k!( n k)! symbol Newtona: n k Barbara Głut 9

10 Znów rzucamy dwoma kostkami, ale kostki są nierozróżnialne! Wynik doświadczenia: nieuporządkowana para { i, j }, i, j =1, 2,..., 6 Ile możliwych różnych wyników? {1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6} {4,4} {4,5} {4,6} {5,5} {5,6} {6,6} Na ile sposobów można pomalować k jednakowych kul, mając do dyspozycji n kolorów? n = k = 3 kolory: czerwony (c), niebieski (n), zielony (z) { z z z } { z z c } { z c c } { c c c } { z z n } { z n n } { n n n } { n n c } { n c c } { c n z } Wyniki doświadczeń zbiory (kolejność elementów nieistotna) Ale: elementy mogą występować kilka razy, czyli mogą się powtarzać. Definicja: Kombinacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy zbiór składający się z k elementów różnych lub nie różniących się między sobą, wybranych spośród n różnych elementów. Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone Liczba kombinacji z powtórzeniami: C k n n + k 1 n + k 1 = = k n 1 Barbara Głut 10

11 SCHEMATY LOSOWANIA k elementów z n-elementowego zbioru Przed przystąpieniem do losowania należy odpowiedzieć na 2 pytania? I Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów? II Czy wylosowane elementy mogą się powtarzać? I TAK II TAK Wariacje z powtórzeniami I TAK II NIE Wariacje bez powtórzeń I NIE II NIE Kombinacje bez powtórzeń I NIE II TAK Kombinacje z powtórzeniami ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA PRAWO SUMY: A i B zbiory skończone A (1) jeśli A B = (zbiory rozłączne), to A B = A + B (2) ogólnie: A B = A + B A B A B B Dla trzech zbiorów: A B C = A + B + C + A B A C B C + A B C A C B Barbara Głut 11

12 Przykład Spośród 100 studentów - 50 uczy się angielskiego, 40 - francuskiego, w tym 20 obu języków. Ilu studentów nie uczy się ani angielskiego, ani francuskiego? A - angielski, F - francuski 100 ( A + F A F ) = = 100 ( ) = 30 Przykład 30 - osobowa grupa: A - 20 uczy się angielskiego, B - 14 uczy się francuskiego, C - 10 uczy się niemieckiego. Jeśli żadna osoba nie uczy się wszystkich trzech języków, a 8 osób nie uczy się żadnego, to ilu uczy się francuskiego i niemieckiego? 30 8 = 22 osoby uczą się wymienionych języków A B C = 22 A B C = 0 22 = A B A C B C + 0 A B + A C + B C = 22 co pokrywa zbiór osób uczących się języków Każda osoba uczy się dwóch języków, jeśli uczy się języka A = A B + A C = 20 B C = 2 Barbara Głut 12

13 Zasada włączeń i wyłączeń: Aby określić liczbę elementów zbioru A 1 A 2... A n należy znaleźć liczby elementów wszystkich możliwych przecięć zbiorów spośród {A 1, A 2,..., A n }, dodać do siebie wyniki uzyskane dla przecięć nieparzystej liczby zbiorów, a następnie odjąć wyniki uzyskane dla przecięć parzystej liczby zbiorów. Należy włączyć, czyli dodać do siebie liczebności poszczególnych zbiorów, następnie wyłączyć - czyli odjąć liczności wszystkich przecięć po dwa zbiory, potem znów włączyć liczności przecięć po trzy zbiory itd. Zasada nadaje się do sytuacji, w których: chcemy jedynie znać wielkość zbioru A 1 A 2... A n, liczby wielokrotnych przecięć daje się łatwo obliczyć. Wzór Sylwestra: Dla dowolnych zbiorów A 1, A 2,..., A n gdzie: n n k 1 ( n) U A i = ( 1) Sk i= 1 k= 1 I ( n) S k = Ai k I [ n] i I [n] k rodzina k-elementowych podzbiorów zbioru { 1, 2,..., n} Niech N r - liczba elementów zbioru X, które należą do dokładnie r spośród zbiorów A 1, A 2,..., A n ; A i X, i = 1,...,n n k r k ( n) Nr = { x X : { i : x Ai } = r} = ( 1) S r k k= r Barbara Głut 13

14 Skończony zbiór obiektów, które mogą (ale nie muszą) posiadać własności 1,2,..., n. Niech N(i 1,..., i r ) - liczba obiektów mających co najmniej r własności. Wówczas liczba obiektów w zadanym zbiorze posiadających co najmniej jedną z własności wynosi: N(1) + N(2) N(n) N(1, 2) N(1, 3)... N(n 1, n) + N(1, 2, 3) + N(1, 2, 4) N(n 2, n 1, n) ( 1 ) n-1 N(1, 2,..., n) Przykład: Nieporządkiem nazywamy permutację bez punktów stałych. Na przykład jest, a nie jest nieporządkiem ( 4 pojawiła się na czwartym miejscu - punkt stały). Ile jest takich permutacji zbioru {1, 2,..., n}, które są nieporządkiem? Dla dowolnej permutacji - własność i oznacza, że punkt i jest punktem stałym. Liczba nieporządków = liczba permutacji nie posiadających żadnej z tych własności n! N(1) N(2)... N(n) + N(1, 2) + N(1, 3) N(n 1, n) N(1, 2, 3) N(1, 2, 4)... N(n 2, n 1, n)... + ( 1 ) n N(1, 2,..., n) n n n 1 n n n n! ( n 1)! + ( n 2)! K+ ( 1) 1! + ( 1) 0! 1 2 n 1 n n n 1 k 1 n! ( + K+ ( 1) ) = n! ( 1) 2! 3! 4! n! k! k= 2 Barbara Głut 14

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania

Kombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania

Bardziej szczegółowo

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska

Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa wykład : Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa STTYSTYK OPISOW Wanda Olech Katedra Genetyki i Ochrony Zwierząt Statystyka zajmuje się Zjawiskami losowymi - które bada przez doświadczenie U podstaw współczesnej

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak

ĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak ĆWCZENA nr 1 - KOMBNATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak. Reguła mnożenia Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą mamy k 1 możliwości

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do kombinatoryki

Wprowadzenie do kombinatoryki Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Elementy kombinatoryki

Elementy kombinatoryki Elementy kombinatoryki Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 04 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Elementy kombinatoryki 04 1 / 59 Permutacje Definicja. Permutacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY KOMBINATORYKI

ELEMENTY KOMBINATORYKI ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy

Bardziej szczegółowo

Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.

Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów. PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!!

Zestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!! Zestaw 1-1 1. Napisz program pobierający od użytkownika liczbę całkowitą R (R>1) i liczbę rzeczywistą dodatnią S, a następnie informujący ile kolejnych liczb z ciągu 1, R-1, R 2-2, R 3-3, R 4-4, należy

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ). KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.

Bardziej szczegółowo

Do rozwiązania większości zadań często wystarcza reguła mnożenia i wzór na kombinację.

Do rozwiązania większości zadań często wystarcza reguła mnożenia i wzór na kombinację. Kombinatoryka Spis treści Kombinatoryka a prawdopodobieństwo Reguła mnożenia Prezentacja wyników za pomocą drzewa Elementy kombinatoryki Kombinatoryka Silnia Permutacja Wariacja bez powtórzeń Wariacja

Bardziej szczegółowo

1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru

1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru . Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich

Bardziej szczegółowo

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I

Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 07.10.2011 Spis treści 1 Kombinatoryka 1 1 Kombinatoryka permutacja bez powtórzeń

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Tomasz Górecki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wciągu ćwiczeń zostaną przeprowadzone 2 kolokwia. Na każdym z nichbędziedozdobycia25punktów(5zadańpo5punktówkażde).

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.

= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013

Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka Spis treści Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Liczba wyników doświadczenia losowego. Reguła mnożenia i reguła dodawania

Bardziej szczegółowo

Typy zadań kombinatorycznych:

Typy zadań kombinatorycznych: Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Elementy kombinatoryki

Wykład 4. Elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna Wstęp do probabilistyki

Bardziej szczegółowo

liczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?

liczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych? KOMBINATORYKA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI 1. Udziel odpowiedzi na poniższe pytania: a) Ile jest możliwych wyników w rzucie jedną kostką? W rzucie jedną kostką możemy otrzymać jeden spośród następujących wyników:

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych

Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych Kategoria: Materiały z warsztatów przedmiotowych Słowa kluczowe: kombinatoryka, rachunek

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2 Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna zestaw II ( )

Matematyka dyskretna zestaw II ( ) Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA

PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Kurs w skrócie

Wstęp. Kurs w skrócie Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

0.1 Kombinatoryka. n! = (n 1) n. Przyjmujemy umownie że 0! = 1 Wypiszmy silnie kolejnych liczb naturalnych

0.1 Kombinatoryka. n! = (n 1) n. Przyjmujemy umownie że 0! = 1 Wypiszmy silnie kolejnych liczb naturalnych 1 0.1 Kombinatoryka Kombinatoryka obejmuje takie pojȩcia jak silnia liczby naturalnej n, permutacje, wariacje bez powtȯrzeṅ i wariacje z powtȯrzeniami oraz kombinacje. Niżej podajemy opis tych pojȩċ z

Bardziej szczegółowo

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka 1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:

Bardziej szczegółowo

=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.

=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami. 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Silnia, Kombinacje i Wariacje n! = 1 2 3 (n 1) n, silnia Cn k n! = k!(n k)!, kombinacje Vn k n! =, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Prezydent wszystkich kombinacji czyli rzecz o filtrowaniu systemów Lotto

Prezydent wszystkich kombinacji czyli rzecz o filtrowaniu systemów Lotto Prezydent wszystkich kombinacji czyli rzecz o filtrowaniu systemów Lotto Czy zastanawiałeś się kiedyś nad tym, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb w lotto o określonej sumie nie jest jednakowe?

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Zbiór zadań kolekcjonowanych w ciągu semestralnego kursu Matematyka dyskretna prof. dr hab. M. Morayne dla studentów informatyki magisterskiej WPPT PWr wiosna-lato 2005 UWAGA: Zadania

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. 1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,

Bardziej szczegółowo

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:

Zadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C A B C Zadanie 1

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy informatyki

Teoretyczne podstawy informatyki Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 3b Kombinatoryka i prawdopodobieństwo Kombinatoryka i prawdopodobieństwo Często spotykamy się z problemem obliczenia wartości wyrażającej prawdopodobieństwo zajścia

Bardziej szczegółowo

Małopolski Konkurs Matematyczny r. etap wojewódzki A B C D E

Małopolski Konkurs Matematyczny r. etap wojewódzki A B C D E SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ Z KARTY ODPOWIEDZI Numer zadania SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ TESTOWYCH Liczba punktów za zadanie Miejsce na odpowiedź ucznia A B C D E 1 X X X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X

Bardziej szczegółowo