KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
|
|
- Stefan Karczewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty kombinatoryczne TRZY TYPY ZAGADNIEŃ: (1) Czy istnieje obiekt o zadanych własnościach? (2) Ile jest obiektów o zadanych własnościach? (3) Czy można znaleźć obiekt optymalny według zadanych kryteriów? Odpowiedź na pytanie (1) tak lub nie, a w ogólności twierdzenie charakteryzujące kryterium. Odpowiedź na pytanie (2) liczba, a w ogólności wzór lub metoda obliczeniowa. Odpowiedź na pytanie (3) podanie struktury optymalizującej, a w ogólności algorytmu znajdującego taką strukturę. Problem przydziału prac Do obsadzenia sześć stanowisk pracy: (m) - murarza (d) - dekarza (s) - stolarza (c) - cieśli (b) - betoniarza (i) - instalatora Pięciu kandydatów: A, B, C, D, E A - uprawnienia ( s, i ) B - uprawnienia ( s, d ) C - uprawnienia ( s, d ) D - uprawnienia ( m, s, c, i ) E - uprawnienia ( b, i ) PYTANIE 1: Czy można tak dopasować kandydatów do stanowisk pracy, aby każdy otrzymał pracę zgodnie ze swoimi uprawnieniami? TAK A -i, B -s, C -d, D -m, E -b stanowisko cieśli nie jest obsadzone Uwaga: przy zmianie uprawnień D (d,i) - odpowiedź NIE Barbara Głut 1
2 PYTANIE 2: Na ile sposobów można dopasować kandydatów do stanowisk pracy? 4 sposoby (trzy inne - B i C mogą się zamienić, D może być cieślą) Dodatkowo ustalono przydatność kandydatów do stanowisk (skala 1-6), 0 - brak kwalifikacji m s b d c i A B C D E PYTANIE 3: Który z dopuszczalnych przydziałów pracy jest najkorzystniejszy (daje największą liczbę punktów)? Przydział A - i (3), B - d (3), C - s (5), D - c (4), E - b (2) suma - 17 punktów Przedmioty w pudełkach Na ile sposobów można rozmieścić trzy przedmioty w dwóch pudełkach? Przypadek 1: pudełka i przedmioty (a, b, c) rozróżnialne abc ab c ac b bc a abc c ab b ac a bc Przypadek 2: przedmioty rozróżnialne, pudełka nie tylko 4 rozmieszczenia odrzucamy 4 z drugiego wiersza, bo to samo Przypadek 3: pudełka rozróżnialne, przedmioty nie o o o o o o o o o o o o Przypadek 4: pudełka nierozróżnialne, przedmioty też dwie możliwości: o o o o o o Barbara Głut 2
3 rim struktura jest bardziej nieoznaczona, tym mniej rozwiązań (ale trudniej je przeliczyć). rprzed przystąpieniem do przeliczania trzeba ustalić, które obiekty uważamy za różne. rprzeliczanie przez wypisywanie wszystkich możliwości ma sens tylko, gdy mała liczba obiektów. Trzeba znaleźć wzór lub metodę. USTAWIENIA Ile słów można utworzyć z liter A K R używając każdej z nich tylko jeden raz? AKR ARK KAR KRA RAK RKA = 6 słów Gdybyśmy mieli do dyspozycji 4 litery? = 24 słowa Dla n różnych liter? n (n 1) (n 2) sposobów ustawienia n silnia Definicja: n! = (n 1) n 0! = 1 Też definicja rekurencyjna: 1! = 1 n! = (n 1)! n Określa liczbę wszystkich ustawień albo uporządkowań, albo PERMUTACJI n przedmiotów. Barbara Głut 3
4 Definicja: Permutacją bez powtórzeń n elementów nazywamy ciąg składający się z n elementów uporządkowanych i różnych. Liczba możliwych permutacji zbioru n-elementowego: P n = n! Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n różnych przedmiotów? Np.: Ile można utworzyć słów dwuliterowych ze zbioru liter A, B, C, D tak, aby litery nie powtarzały się w słowie? AB BA CA DA AC BC CB DB 12 ustawień AD BD CD DC 1 element na 4 sposoby, 2 element na 3 sposoby 4 3 = 12 Ogólnie, gdy ustawiamy k-elementowy ciąg: 1 element n sposobów 2 element n 1 3 element n 2... k element n k + 1 n! n (n 1) (n 2)... (n k+1) = ( n k)! Barbara Głut 4
5 Definicja: Wariacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy ciąg k elementów wybranych z n elementów, przy czym elementy te są różne między sobą. Ciąg ważna jest kolejność elementów Liczba wariacji bez powtórzeń V k n n! = ( n k)! Ile jest ustawień k przedmiotów wybranych spośród n przedmiotów? Np.: Ile można utworzyć liczb dwucyfrowych z cyfr 1, 2, 3? tworzymy ciągi dwucyfrowe ze zbioru trójelementowego kolejność odgrywa rolę cyfry mogą się powtarzać N 1 1L 2 O 3 N 1 2L 2 O 3 N 1 3L 2 O Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 2, 3? Barbara Głut 5
6 Rzut kostkami Rzucamy dwoma rozróżnialnymi kostkami do gry. (Jedna zielona, druga czerwona) Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6 2 A gdyby rzucać trzema kostkami? = 6 3 A gdyby kostek było k? 6 k Ustawiamy k elementów wybranych spośród n elementów Pierwszy element ciągu możemy wybrać na n sposobów, drugi też, trzeci n n n... n = n k Definicja: Wariacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n elementów nazywamy ciąg k elementów wybranych spośród n elementów. Elementy ciągu mogą być różne lub mogą nie różnić się między sobą. Liczba wariacji z powtórzeniami W = n k n k Barbara Głut 6
7 Permutacje z wyróżnioną parą Na ile sposobów można zapisać w jednym rzędzie cyfry 0, 1,..., 9 tak, by cyfry 1 i 2 stały obok siebie? Traktujemy 1 i 2 jak pojedynczy element 9 elementów Permutujemy je na 9! sposobów. Ale: dla cyfr 1 i 2 musimy wybrać kolejność, w jakiej stoją obok siebie 2 możliwości Czyli wszystkich sposobów jest: 2 9! A gdy będzie n elementów, a wśród nich są dwa wyróżnione, które powinny znaleźć się obok siebie? 2 (n 1)! Permutacje koralikowe Szczególny wariant permutacji, gdzie nie jest wyróżniony początek ani koniec np. elementy rozstawione na okręgu n krzeseł wokół okrągłego stołu Ważne, kto siedzi obok kogo, a nie, gdzie kto siedzi Liczba ustawień: n! = ( n 1)! n Barbara Głut 7
8 Permutacje z powtórzeniami Definicja: Permutacją z powtórzeniami nazywamy ciąg składający się z n elementów, wśród których pewne elementy powtarzają się odpowiednio n 1, n 2,..., n k razy. Np. Wypisać wszystkie 3-elementowe permutacje elementów a i b, w których element a powtarza się dwa razy. aab aba baa A ile jest takich możliwości, gdy permutacje mają być 4-elementowe, a element a powtarza się trzy razy? aaab aaba abaa baaa Pytanie: Jak obliczyć, ile można utworzyć 4-elementowych permutacji z elementów a i b, w których element a powtarza się trzy razy? Istnieje 24 (bo 4!) permutacji z 4 elementów a 1 a 2 a 3 a 4. Załóżmy, że element b=a 1. Pozostałe trzy elementy tworzą 3!=6 permutacji. Jeśli a 2 = a 3 = a 4 = a, te 6 permutacji da jedną permutację baaa. Element b może też wystąpić na drugim, trzecim i czwartym miejscu. Czyli liczba 4-elementowych permutacji o powtarzającym się trzykrotnie elemencie a jest 3!=6 razy mniejsza od liczby 4-elementowych permutacji bez powtórzeń. Ogólnie: Liczba permutacji n-elementowych o powtarzających się elementach odpowiednio n 1, n 2,..., n k razy n, n,..., n n! 1 2 k Pn = n! n!... n! 1 2 k Barbara Głut 8
9 LICZBY WYBORÓW Gdy chcemy określić tylko liczbę możliwych wyborów lub kombinacji k przedmiotów, nie interesuje nas k silnia różnych sposobów ich ustawienia. Zatem, liczbę wyborów otrzymujemy przez podzielenie liczby ustawień przez k! Np. 3-elementowy zbiór { a, b, c }. Z niego wybieramy 2-elementowe wariacje bez powtórzeń. Liczba ustawień jest równa: 3! = 6 1! ( a, b) ( a, c ) ( b, a ) ( c, a ) ( b, c ) ( c, b ) Gdy interesuje nas jedynie liczba możliwych wyborów zbiorów 2-elementowych z trzech elementów: { a, b } { a, c } { b, c } 3! = 3 1! 2! Definicja: Kombinacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n elementów nazywamy zbiór składający się z k różnych elementów wybranych spośród n różnych elementów. Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone. Liczba k-elementowychk kombinacji bez powtórzeń ze zbioru n elementów: C k n n n! = = k k!( n k)! symbol Newtona: n k Barbara Głut 9
10 Znów rzucamy dwoma kostkami, ale kostki są nierozróżnialne! Wynik doświadczenia: nieuporządkowana para { i, j }, i, j =1, 2,..., 6 Ile możliwych różnych wyników? {1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6} {4,4} {4,5} {4,6} {5,5} {5,6} {6,6} Na ile sposobów można pomalować k jednakowych kul, mając do dyspozycji n kolorów? n = k = 3 kolory: czerwony (c), niebieski (n), zielony (z) { z z z } { z z c } { z c c } { c c c } { z z n } { z n n } { n n n } { n n c } { n c c } { c n z } Wyniki doświadczeń zbiory (kolejność elementów nieistotna) Ale: elementy mogą występować kilka razy, czyli mogą się powtarzać. Definicja: Kombinacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-elementowego nazywamy zbiór składający się z k elementów różnych lub nie różniących się między sobą, wybranych spośród n różnych elementów. Obojętne jest, w jakim porządku elementy tego zbioru są rozmieszczone Liczba kombinacji z powtórzeniami: C k n n + k 1 n + k 1 = = k n 1 Barbara Głut 10
11 SCHEMATY LOSOWANIA k elementów z n-elementowego zbioru Przed przystąpieniem do losowania należy odpowiedzieć na 2 pytania? I Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów? II Czy wylosowane elementy mogą się powtarzać? I TAK II TAK Wariacje z powtórzeniami I TAK II NIE Wariacje bez powtórzeń I NIE II NIE Kombinacje bez powtórzeń I NIE II TAK Kombinacje z powtórzeniami ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA PRAWO SUMY: A i B zbiory skończone A (1) jeśli A B = (zbiory rozłączne), to A B = A + B (2) ogólnie: A B = A + B A B A B B Dla trzech zbiorów: A B C = A + B + C + A B A C B C + A B C A C B Barbara Głut 11
12 Przykład Spośród 100 studentów - 50 uczy się angielskiego, 40 - francuskiego, w tym 20 obu języków. Ilu studentów nie uczy się ani angielskiego, ani francuskiego? A - angielski, F - francuski 100 ( A + F A F ) = = 100 ( ) = 30 Przykład 30 - osobowa grupa: A - 20 uczy się angielskiego, B - 14 uczy się francuskiego, C - 10 uczy się niemieckiego. Jeśli żadna osoba nie uczy się wszystkich trzech języków, a 8 osób nie uczy się żadnego, to ilu uczy się francuskiego i niemieckiego? 30 8 = 22 osoby uczą się wymienionych języków A B C = 22 A B C = 0 22 = A B A C B C + 0 A B + A C + B C = 22 co pokrywa zbiór osób uczących się języków Każda osoba uczy się dwóch języków, jeśli uczy się języka A = A B + A C = 20 B C = 2 Barbara Głut 12
13 Zasada włączeń i wyłączeń: Aby określić liczbę elementów zbioru A 1 A 2... A n należy znaleźć liczby elementów wszystkich możliwych przecięć zbiorów spośród {A 1, A 2,..., A n }, dodać do siebie wyniki uzyskane dla przecięć nieparzystej liczby zbiorów, a następnie odjąć wyniki uzyskane dla przecięć parzystej liczby zbiorów. Należy włączyć, czyli dodać do siebie liczebności poszczególnych zbiorów, następnie wyłączyć - czyli odjąć liczności wszystkich przecięć po dwa zbiory, potem znów włączyć liczności przecięć po trzy zbiory itd. Zasada nadaje się do sytuacji, w których: chcemy jedynie znać wielkość zbioru A 1 A 2... A n, liczby wielokrotnych przecięć daje się łatwo obliczyć. Wzór Sylwestra: Dla dowolnych zbiorów A 1, A 2,..., A n gdzie: n n k 1 ( n) U A i = ( 1) Sk i= 1 k= 1 I ( n) S k = Ai k I [ n] i I [n] k rodzina k-elementowych podzbiorów zbioru { 1, 2,..., n} Niech N r - liczba elementów zbioru X, które należą do dokładnie r spośród zbiorów A 1, A 2,..., A n ; A i X, i = 1,...,n n k r k ( n) Nr = { x X : { i : x Ai } = r} = ( 1) S r k k= r Barbara Głut 13
14 Skończony zbiór obiektów, które mogą (ale nie muszą) posiadać własności 1,2,..., n. Niech N(i 1,..., i r ) - liczba obiektów mających co najmniej r własności. Wówczas liczba obiektów w zadanym zbiorze posiadających co najmniej jedną z własności wynosi: N(1) + N(2) N(n) N(1, 2) N(1, 3)... N(n 1, n) + N(1, 2, 3) + N(1, 2, 4) N(n 2, n 1, n) ( 1 ) n-1 N(1, 2,..., n) Przykład: Nieporządkiem nazywamy permutację bez punktów stałych. Na przykład jest, a nie jest nieporządkiem ( 4 pojawiła się na czwartym miejscu - punkt stały). Ile jest takich permutacji zbioru {1, 2,..., n}, które są nieporządkiem? Dla dowolnej permutacji - własność i oznacza, że punkt i jest punktem stałym. Liczba nieporządków = liczba permutacji nie posiadających żadnej z tych własności n! N(1) N(2)... N(n) + N(1, 2) + N(1, 3) N(n 1, n) N(1, 2, 3) N(1, 2, 4)... N(n 2, n 1, n)... + ( 1 ) n N(1, 2,..., n) n n n 1 n n n n! ( n 1)! + ( n 2)! K+ ( 1) 1! + ( 1) 0! 1 2 n 1 n n n 1 k 1 n! ( + K+ ( 1) ) = n! ( 1) 2! 3! 4! n! k! k= 2 Barbara Głut 14
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Reguła dodawania. Reguła dodawania
Kombinatoryka Dział matematyki, który zajmuje się obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria zliczania). W jakich
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
wykład : Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa STTYSTYK OPISOW Wanda Olech Katedra Genetyki i Ochrony Zwierząt Statystyka zajmuje się Zjawiskami losowymi - które bada przez doświadczenie U podstaw współczesnej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak
ĆWCZENA nr 1 - KOMBNATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak. Reguła mnożenia Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą mamy k 1 możliwości
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do kombinatoryki
Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoElementy kombinatoryki
Elementy kombinatoryki Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 04 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Elementy kombinatoryki 04 1 / 59 Permutacje Definicja. Permutacja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoELEMENTY KOMBINATORYKI
ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoZestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!!
Zestaw 1-1 1. Napisz program pobierający od użytkownika liczbę całkowitą R (R>1) i liczbę rzeczywistą dodatnią S, a następnie informujący ile kolejnych liczb z ciągu 1, R-1, R 2-2, R 3-3, R 4-4, należy
Bardziej szczegółowo( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).
KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.
Bardziej szczegółowoDo rozwiązania większości zadań często wystarcza reguła mnożenia i wzór na kombinację.
Kombinatoryka Spis treści Kombinatoryka a prawdopodobieństwo Reguła mnożenia Prezentacja wyników za pomocą drzewa Elementy kombinatoryki Kombinatoryka Silnia Permutacja Wariacja bez powtórzeń Wariacja
Bardziej szczegółowo1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru
. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 07.10.2011 Spis treści 1 Kombinatoryka 1 1 Kombinatoryka permutacja bez powtórzeń
Bardziej szczegółowoKlasyczne zagadnienie przydziału
Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Tomasz Górecki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wciągu ćwiczeń zostaną przeprowadzone 2 kolokwia. Na każdym z nichbędziedozdobycia25punktów(5zadańpo5punktówkażde).
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN KOMBINATORYKA
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013
Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Rachunek prawdopodobieństwa. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka Spis treści Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Liczba wyników doświadczenia losowego. Reguła mnożenia i reguła dodawania
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoSkrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
Bardziej szczegółowoWykład 4. Elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna Wstęp do probabilistyki
Bardziej szczegółowoliczb naturalnych czterocyfrowych. Mamy do dyspozycji następujące cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. g) Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?
KOMBINATORYKA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI 1. Udziel odpowiedzi na poniższe pytania: a) Ile jest możliwych wyników w rzucie jedną kostką? W rzucie jedną kostką możemy otrzymać jeden spośród następujących wyników:
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych
Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa oraz realizacja ośmiu głównych kompetencji kluczowych Kategoria: Materiały z warsztatów przedmiotowych Słowa kluczowe: kombinatoryka, rachunek
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2 Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoGrupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.
Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element
Bardziej szczegółowoĆw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6
Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna zestaw II ( )
Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowo0.1 Kombinatoryka. n! = (n 1) n. Przyjmujemy umownie że 0! = 1 Wypiszmy silnie kolejnych liczb naturalnych
1 0.1 Kombinatoryka Kombinatoryka obejmuje takie pojȩcia jak silnia liczby naturalnej n, permutacje, wariacje bez powtȯrzeṅ i wariacje z powtȯrzeniami oraz kombinacje. Niżej podajemy opis tych pojȩċ z
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowo=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Silnia, Kombinacje i Wariacje n! = 1 2 3 (n 1) n, silnia Cn k n! = k!(n k)!, kombinacje Vn k n! =, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoPrezydent wszystkich kombinacji czyli rzecz o filtrowaniu systemów Lotto
Prezydent wszystkich kombinacji czyli rzecz o filtrowaniu systemów Lotto Czy zastanawiałeś się kiedyś nad tym, że prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb w lotto o określonej sumie nie jest jednakowe?
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Zbiór zadań kolekcjonowanych w ciągu semestralnego kursu Matematyka dyskretna prof. dr hab. M. Morayne dla studentów informatyki magisterskiej WPPT PWr wiosna-lato 2005 UWAGA: Zadania
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoW grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.
W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:
Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C A B C Zadanie 1
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 3b Kombinatoryka i prawdopodobieństwo Kombinatoryka i prawdopodobieństwo Często spotykamy się z problemem obliczenia wartości wyrażającej prawdopodobieństwo zajścia
Bardziej szczegółowoMałopolski Konkurs Matematyczny r. etap wojewódzki A B C D E
SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ Z KARTY ODPOWIEDZI Numer zadania SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ TESTOWYCH Liczba punktów za zadanie Miejsce na odpowiedź ucznia A B C D E 1 X X X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X
Bardziej szczegółowo