Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5

Transkrypt

1 Fizyka 1(mechanika) AF14 Wykład 5 Jerzy Łusakowski

2 Plan wykładu Ziemia jako układ nieinercjalny

3 Fizyka 1(mechanika) AF14 Wykład 5 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzonymi współrzędnymi punktu Y Y Q r u X r R O α = ωt O X Chcemy wyrazić położenie, prędkość i przyspieszenie mierzone w układzie O przez położenie, prędkość i przyspieszenie mierzonewukładzie O

4 Zacznijmy od położenia. Zgodnie z rysunkiem r = r + R alezauważmy,żechcemy,aby r byłwyznaczonyprzez współrzędne i wersory układu primowanego: x e x +y e y +z e z = x e x +y e y +z e z +R x e x +R y e y +R z e z. Dla uproszczenia rachunków zakładamy, że ruch względny układów(złożony z obrotu i przesunięcia) jest ograniczony do płaszczyzny xy. Wtedy e x = cosα e x +sinα e y e y = sinα e x +cosα e y e z = e z.

5 Po podstawieniu i prostych przekształceniach otrzymamy: oraz x = (x cosα y sinα)+r x y = (x sinα+y cosα)+r y z = z +R z (1) x = (x R x )cosα+(y R y )sinα y = (x R x )cosα+(y R y )sinα z = z R z (2)

6 Te równania należy rozumieć w następujący sposób: jeśli obserwator Omierzywukładzieodniesienia e x, e y, e z współrzędne (x,y,z)punktup,aoberwator O mierzyw układzieodniesienia e x, e y, e zwspółrzędne (x,y,z )tego punktu, to równania(1) i(2) dają związki między współrzędnymi. Podkreślmy: każdy z obserwatorów rzutuje wektor położenia na osie własnego układu odniesienia. x e x +y e y +z e z R x e x R y e y R z e z = x e x +y e y +z e z

7 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzoną pochodną wektora Zajmiemy się teraz znalezieniem relacji pomiędzy pochodną wektora Pmierzonąprzezobserwatorów OiO. Pjestdowolnymwektorem, może symbolizować wektor położenia, prędkości, itp. Zakładamy też, że kąt obrotu między jednego układu względem drugiego może się zmieniać: α = ωt. Y Y P X α = ωt X R

8 Wukładzie O: P = Px e x +P y e y +P z e z. Wukładzie O : P = P x e x +P y e y +P z e z. Wprowadźmyoznaczenie P : P = P x e x +P y e y +P z e z. rozumiejąctowtensposób,żewektor P jesttowektor P wyrażonyprzezwspółrzędneiwersoryukładu O.

9 P = P x e x +P y e y +P z e z = P x e x +P y e y +P z e z = P. Podstawiając wersory primowane otrzymujemy: P = P x e x +P y e y +P z e z = = P x (cosα ex +sinα ey)+p y ( sinα ex +cosα ey)+p z ez = = (P x cosα P y sinα) ex +(P x sinα+p y cosα) ey +P z ez. Zastanówmy się, co oznacza ta równość w prostym przypadku, gdy wektor Pjestwektoremstałymwukładzie O.Jeśliorientacjaukładu O względem układu Ojestustalona(tzn.kąt αniezmieniasięwczasie)towspółrzędne primowane też muszą być stałe w czasie. Inaczej jest, gdy układ primowany obraca się względem nieprimowanego - widać, że w takiej sytuacji zmiana wartości funkcji sin α i cos α musi być skompensowana zmianą wartości współrzędnych primowanych. Inaczej mówiąc, dla obserwatora O wektor Pzmieniasię(bozmieniająsięjegowspółrzędnew układzieprimowanym).zatem,mimożepochodnawektora Pwukładzie O jestrównazero,wukładzie O jestróżnaodzera.znajdziemyteraz związek między tymi pochodnymi.

10 Wogólności,zmieniająsięwspółrzędnewektora Pwobu układach. Zgodnie z założeniem, że ruch obrotowy zachodzi tylkowpłaszczyźnie xy,mamy α = ωt,gdziewektorprędkości kątowej ω = (0,0,ω)jestmierzonyprzezobserwatora O. Różniczkując(i wykorzystując związki między wersorami w obu układach), dostajemy: d P dt = dp x dt e x + dp y dt e y + dp z dt e z = = dp x e dt x + dp y e dt y + dp z e dt z ωp y e x +ωp x e y. Czyli: dp dt = d P dt + ω P.

11 Zastosujmytenwynikdowektorapołożeniapunktu Q: r = r + R. Wektor Rjestpołożeniem Owzględem O,wyrażonymwe współrzędnych nieprimowanych. Aby uzyskać pełną analogię z powyższymrozumowaniem,obliczmypochodnąwektora r R = r : d( r R) dt = d r dt υ u = υ + ω r, gdzie: υ- mierzona przez O zmiana wektora r(wyrażona przez współrzędne i wersory nieprimowane ), czyli prędkość punktu Q w układzie O; υ -mierzonaprzez O zmianawektora r (wyrażonaprzez współrzędne i wersory primowane ), czyli prędkość punktu Q w układzie O ; u-mierzonaprzez Ozmianawektora R(wyrażonaprzezwspółrzędne iwersory nieprimowane ),czyliprędkość O wukładzie O.

12 Znajdźmy teraz związek między przyspieszeniami: υ u = υ + ω r d dt ( υ u) = d dt ( υ + ω r )+ ω ( υ +(ω r )) Ostatecznie, otrzymujemy: a = a + a tr + d ω dt r +2 ω υ + ω ( ω r ), gdzie: a -przyspieszeniemierzonewo ; a tr -przyspieszeniepostępowe O względem O,mierzonewO; 2 ω υ -przyspieszeniecoriolisa; υ -mierzonewo ; d ω dt r -przyspieszeniekątowe O względem O; ω ( ω r )-przyspieszeniedośrodkowe. Zauważmy,że a, a tr oraz ωsąmierzonewo.

13 Przykład: przyspieszenie w ruchu po okręgu Zadanie. Rozpatrzmypunkt Q,który-wukładzie O-poruszasiępo okręguopromieniu Rzprędkościąkątową ω = χt, t 0. Chcemyznaleźćprzyspieszenietegopunktuwukładzie Oi O, przyczymukład O wirujewrazzporuszającymsiępunktem,a środkiukładówsiępokrywają.wchwili t = 0osie xix oraz y i y -odpowiednio-siępokrywały,apołożeniepunktu Qw układzie O danejestprzez (x,y ) = (R,0).

14 Rozwiązanie Prędkośćwukładzie Omawartość υ = χrtorazskładowe: υ x = χrtsinα e x, υ y = χrtcosα e y, α(t) = 1 2 χt2. Prędkośćwukładzie O wynosi-napodstawietreścizadaniazero, ale możemy ją wyznaczyć stosując zależność υ = υ ω r. (υ x,υ y ) = χrtsinα e x +χrtcosα e y ωr e y = (0,0)

15 Przyspieszenie w układzie primowanym jest równe zero (punkt Qjestwtymukładzienieruchomy).Ponieważ a tr = 0, υ = 0,więcpowinniśmystwierdzić,że a = d ω dt r + ω ( ω r ). Lewą stronę obliczamy różniczkując składowe prędkości w układzie O: a x = ( χrsin χt2 2 χ2 Rt 2 cos χt2 2 ) e x, a x = (χrcos χt2 2 χ2 Rt 2 sin χt2 2 ) e y, a = a x e x +a y e y = χr e y χ 2 t 2 R e x. Zauważmy,namarginesie,żewersory e x i e y sąrówne, odpowiednio, wersorom układu biegunowego związanego z O: a = χ 2 t 2 R e +χr e ϕ.

16 Prawąstronęobliczamywukładzie O : d ω dt r = (0,0,χ) (R,0,0) = χr e y ω ( ω r ) = ω( ω R e x ) R e x ω2 = χ 2 t 2 R e x. Widać, że obliczenia różnych wielkości w dwóch układach współrzędnych dają ten sam wynik.

17 Ziemia jako układ nieinercjalny Ruch obrotowy Ziemi ω ver ω ω hor φ Prędkość kątową ruchu obrotowego Ziemi rozkładamy na dwie składowe: ω = ω ver + ω hor. ω ver jestprędkościąkątowąobrotu płaszczyzny horyzontu wokół kierunku radialnego- odpowiada za zmianę płaszczyzny wahań wahadłafoucaulta.prędkość ω hor określa szybkość podnoszenia się płaszyzny horyzontu na zachodzie i opuszczania się na wschodzie.

18 Ziemia jako układ nieinercjalny Wahadło na obracającej się Ziemi AKW&JAZ,Wstępdofizyki

19 Ziemia jako układ nieinercjalny Wahadło Faucaulta Zademonstrowane przez Jeana Bernarda Leona Foucaulta w Obserwatorium Astronomicznym w Paryżu w 1851 r. jest dowodem dobowego ruchu obrotowego Ziemi. Płaszczyzna wahań obraca się z częstością ω ver = ωsinφ. AKW&JAZ,Wstępdofizyki

20 Ziemia jako układ nieinercjalny Siła odśrodkowa i przyspieszenie na powierzchni Ziemi Z powodu ruchu Ziemi wokół osi, mierzona wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej φ. Jeśli ciało nie porusza się względem ω 2 R Ziemi, to działa na niego siła bezwładności skierowana wzdłuż promienia równoleżnika, φ g 0 +ω 2 R g 0 ω 2 R związana z przyspieszeniem odśrodkowym ω 2 R = ω 2 Rcosφ.Wskutektegowypadkowe przyspieszenie ziemskie nie ma kierunku radialnego i opisane jest wektorem g(φ), który spełnia równanie: g 0 = g(φ) + ω ( ω R(φ)),gdzie g 0 jest przyspieszeniem grawitacyjnym mierzonym w układzie inercjalnym na powierzchni kuli o masie i promieniu Ziemi.

21 Ziemia jako układ nieinercjalny Spadek swobodny przy powierzchni Ziemi Przyspieszenie odśrodkowe ma dwie składowe: radialną i horyzontalną. Składowa radialna dodaje się do skierowanego radialniewektora g 0.Składowahoryzontalnaodpowiadaza odchylanie toru ciała spadającego swobodnie: na południe na półkuli północnej i na północ na półkuli południowej. Podczas spadku ciało się porusza w układzie nieinercjalnym ( v 0),wzwiązkuzczympojawiasiędodatkowyefektprzyspieszenie Coriolisa, które na obu półkulach powoduje odchylenie toru na wschód. Czyli, tor spadającego ciała odchyla się od kierunku radialnego na południowy wschód na półkuli północnej i na północny wschód na półkuli południowej.