ANALIZA WRAŻLIWOŚCI OPTYMALNEGO WYBORU ASORTYMENTU PRODUKCJI ZAKŁADU ODLEWNICZEGO

Transkrypt

1 18/6 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2002, Rocznik 2, Nr 6 Archives of Foundry Year 2002, Volume 2, Book 6 PAN - Katowice PL ISSN ANALIZA WRAŻLIWOŚCI OPTYMALNEGO WYBORU ASORTYMENTU PRODUKCJI ZAKŁADU ODLEWNICZEGO J. PIĄTKOWSKI 1, J. SZYMSZAL 2, A. GIEREK 3 Katedra Technologii Stopów Metali i Kompozytów, Politechnika Śląska, ul. Krasińskiego 8, Katowice, Polska STRESZCZENIE Spośród różnych możliwości skutecznie prowadzonego procesu decyzyjnego, czołową rolę odgrywają zagadnienia optymalizacji liniowej, bazujące na algorytmie simpleks. Jest to jedna z metod badań operacyjnych, polegająca na ocenie wrażliwości optymalnego wyboru asortymentu produkcji wybranego zakładu odlewniczego. Praca określa profil produkcyjny odlewni, czyli które wyroby i w jakich ilościach należy wytworzyć, aby nie przekroczyć posiadanych zasobów środków produkcji oraz spełnić ewentualne ograniczenia, dotyczące struktury możliwości wykonawczych, przy uzyskaniu maksymalnego zysku z ich sprzedaży. Key words: analysis sensibilities, module Solver, and linear optimisation 1. WSTĘP Następstwem coraz bardziej złożonych przedsięwzięć wytwórczych oraz dystrybucyjnych, jest podejście systemowe i analiza rachunków optymalizacyjnych, które ułatwiają podejmowanie trafnych decyzji gospodarczych. Prawidłowe określenie zakresów stabilności zadania optymalnego pozwala na właściwe podejmowanie decyzji menedżerskich, co daje przewagę nad tymi, którzy działają bez znajomości podstawowych zagadnień logistycznych w produkcji [1]. 1 dr inż. adiunkt, 2 dr inż. adiunkt, 3 prof. zw. dr hab. inż. profesor. 161

2 Zakład metalurgiczny może produkować n jednostek produkcyjnych wyrobów, a do ich realizacji wykorzystać różne środki produkcji, z których część (np. k) jest dostępna tylko w ograniczonych ilościach. Na podstawie norm zużycia środków produkcji na jednostkę każdego wyrobu, zasobów produkcyjnych, zasobów czasu produkcji, warunków płacowych oraz ceny lub zysków jednostkowych ze sprzedaży wyrobów należy określić, które artykuły i w jakich ilościach można wyprodukować, aby osiągnąć ma k- symalny przychód (lub zysk) z ich sprzedaży. Ogólny model matematyczny zagadnienia wygląda następująco [2]: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n < b 1,, a k1 x 1 + a k2 x a kn x n < b k ; d j < x j < g j dla niektórych j, warunki ograniczające (1) gdzie: 162 c 1 x 1 + c 2 x c n x n max, a ij zużycie i-tego środka produkcji na wytworzenie jednostki j-ego wyrobu dla (i=1,...,k oraz j=1,...,n) (w tym również czas pracy urządzeń oraz płace robotników na wytworzenie jednostki j-ego wyrobu), b i posiadany zasób i-tego środka produkcji, c j cena lub zysk jednostkowy ze sprzedaży j-ego wyrobu, d j minimalna ilość j-ego wyrobu, jaką trzeba wyprodukować, m j maksymalna ilość j-ego wyrobu, jaką można sprzedać, x j wielkość produkcji j-ego wyrobu (dla x 1 > 0,..., x n > 0). Plany produkcji spełniające ograniczenia i warunki brzegowe będą rozwiązaniem dopuszczalnym, natomiast rozwiązaniem optymalnym będzie to, (lub będą te) spośród rozwiązań dopuszczalnych, dla którego (lub dla których) funkcja celu przyjmuje wa r- tość maksymalną [3]. 2. METODYKA I CEL BADAŃ funkcja celu Analizę wrażliwości optymalnego wyboru asortymentu produkcji przedstawiono w oparciu o przykładowy zakład metalurgiczny produkujący dwa rodzaje piasku otaczanego. Celem badań było ustalenie jednodniowej produkcji próbnej masy formie r- skiej, aby z jej sprzedaży osiągnięty zysk był maksymalny. Na uruchomienie produkcji można przeznaczyć na przykład 7 godzin pracy urządzenia oraz 350 kg żywicy formaldehydowej. Założono, że pracownicy wykonujący tę pracę powinni zarobić co najmniej 500 zł. W tabeli 1 podano założone, jednostkowe nakłady czasu pracy urządzeń, ilość żywicy oraz roboczogodziny dotyczące produkcji obu rodzajów mas. Tabela zawiera (2)

3 ARCHIWUM ODLEWNICTWA również dane związane z zyskiem, jaki zakład osiągnie ze sprzedaży 100 kg każdego rodzaju masy przy aktualnych kosztach produkcji i zaplanowanych cenach zbytu. Tabela 1. Hipotetyczne dane potrzebne do obliczenia optymalnego wyboru asortymentu produkcji Table 1. Hypothetic necessary dates to calculation of optimum choice assortment of production Nakłady na 100 kg produkcji Rodzaj masy rdzeniowej (symbol) Masy żywicy [kg / j. pr.] Pracy mieszarki [h / j. pr.] Roboczogodzin [zł / j. pr.] Zysk ze sprzedaży 100 kg masy [zł] Masa1 20 3, Masa2 35 1, Zasoby 350 [kg] 7 [h] 500 [zł] - 3. OPTYMALIZACJA LINIOWA Do rozwiązania przedstawionego zadania optymalizacyjnego wykorzystano moduł Solver, arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel. Wyznaczenie decyzji optymalnej w ujęciu matematycznym sprowadza się do wyznaczenia wektora x [x 1 x 2 ], stanowiącego rozwiązanie zadania, w którym funkcja celu przyjmuje postać: f(x) = 520 x x 2 max, oraz warunków ograniczających: (W1): 20 x x 2 < 350 (co do zasobów masy żywicy), (W2): 3 x 1 + 1,8 x 2 < 7 (co do zasobów czasu pracy mieszarki), (W3): 120 x x 2 > 500 (co do warunków płacowych). Jak widać, jest to zadanie optymalizacji liniowej, gdyż funkcja celu (3) oraz zapisane w nim ograniczenia definiujące zbiór decyzji dopuszczalnych (4) są wyrażeniami typu liniowego zmiennych decyzyjnych x 1 i x 2 [2]. Fragment arkusza kalkulacyjnego z wprowadzonymi danymi określającymi funkcję celu (B3:C3), optymalną ilością produkowanych mas (w początkowej fazie przyjmuje się wartości zerowe B5:C5), całkowitym zyskiem z produkcji mas (D5) oraz zdefiniowanymi warunkami ograniczającymi przedstawiono na rysunku 1. Następnie, z menu Narzędzia wybrano opcje Solver i wypełniono okno dialogowe Solver-Parametry. Jak wynika z zależności (3), komórce celu ($D$5) przypisano wartość maksymalną, zdefiniowano komórki zmiennych decyzyjnych ($B$5:$C$5) oraz zgodnie z zależnością (4) wprowadzono warunki ograniczające. Okno dialogowe Solver Parametry przedstawiono na rysunku 2. W celu wyznaczenia zbioru decyzji dopuszczalnych, należy uruchomić okno dialogowe Solver-Opcje (wybierając przycisk Opcje), zadeklarować liniowość zadania optymalizacyjnego i nieujemność komórek zmienianych decyzyjnych gdyż z założenia odrzucamy wszystkie ujemne rozwiązania. (3) (4) 163

4 Rys.1. Funkcja celu i zdefiniowane warunki ograniczające. Fig.1. Function aim and defined restrictive conditions. 164 Rys.2. Okno dialogowe Solver Parametry. Fig.2. Window dialogue Solver Parameters. Obliczenia kończą się w momencie pojawienia się okna dialogowego Solver-Wyniki, które pozwala na generowanie trzech raportów (Wyników, Wrażliwości i Granic) oraz na przechowanie rozwiązania lub przywrócenia wartości początkowych. Rozwiązanie zadania optymalnego wyboru asortymentu produkcji zakładu odlewniczego przedstawia rysunek 3.

5 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Te same wyniki można zobaczyć w pierwszym z możliwych raportów, tzw. Raporcie Wyników, co ilustruje rysunek 4. Rys.3. Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego. Fig.3. Solution of assignment optimisation. Rys.4. Raport Wyników. Fig.4. The report of Results. 165

6 W raporcie tym z bloku Komórka celu (Maks) wynika, że, przy danych warunkach ograniczających, maksymalny zysk wyniesie około 1210 zł. Osiągniecie tego celu jest możliwe po wyprodukowaniu 1,377 jednostki produkcyjnej Masy1 (tzn. 137,7 kg) oraz 1,594 jednostki produkcyjnej Masy2 (tzn. 159,4 kg). Z ostatniego bloku komórek Raportu wyników wynika, że warunki ograniczające dotyczące zasobów czasu pracy mieszarki (W2) i warunków płacowych (W3) są napięte (wiążące) przy decyzji optymalnej, natomiast warunek ograniczający (W1) dotyczący zasobów masy żywicy jest luźny (nie wiążący) przy decyzji optymalnej. Na tej podstawie można stwierdzić, że przy optymalnym planie produkcji w całości wykorzysta się dostępny czas pracy mieszarki (ograniczenie typu < i z tego powodu luz dla drugiego warunku wynosi 0), natomiast wynagrodzenia za pracę dla decyzji opt y- malnej ustali się na poziomie minimalnym (ograniczenie typu > i z tego powodu luz dla trzeciego warunku wynosi 0). Wartość (po zaokrągleniu) 266,67 dla pierwszego waru n- ku ograniczającego informuje, że po wykonaniu optymalnego planu produkcji pozost a- nie około 266,67 kg niewykorzystanej żywicy formaldehydowej (350-83,33). 4. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI DECYZJI OPTYMALNEJ Moduł Solver, po rozwiązaniu zadania optymalizacji liniowej nie ogranicza się wyłącznie do przedstawienia w Raporcie Wyników decyzji optymalnej i optymalnej wartości funkcji celu. Uzyskane rezultaty można uzupełnić o posiłkowe informacje przyjętego rozwiązania optymalnego (w Raporcie Wyników), dotyczące np. wyszczególnienia napiętych i luźnych warunków ograniczających. Dodatkowy zestaw informacji o decyzji optymalnej dotyczy jej wrażliwości na zmiany parametrów modelu i jest zawarty w Raporcie Wrażliwości. Dla obu zmiennych decyzyjnych Przyrost krańcowy jest równy zero, co oznacza, że nie można brać pod uwagę jakiejkolwiek zmiany dodatnich wartości zmiennych decyzyjnych. 166

7 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Jest to jednoznaczne z informacją, że wyznaczona decyzja optymalna jest jedyną decyzją optymalną w rozpatrywanym przykładzie (rys.5). Rys.5. Raport Wrażliwości. Fig.5. Report of sensibility. Liczby w kolumnach Dopuszczalny wzrost i Dopuszczalny spadek w bloku informacyjnym Komórki decyzyjne, określają zakresy stabilności decyzji optymalnej względem zmian wartości poszczególnych współczynników funkcji celu, gdy wartości innych pozostaną bez zmian. Tak więc, jeśli chodzi o wartości odpowiadające zmiennej x 1 to okazuje się, że jeśli jej współczynnik (wynoszący 520, który jest zyskiem z produkcji 100 kg Masy1) zmniejszy się o nie więcej niż 3,33 zł (czyli obniży się co najwyżej do wartości 516,67 zł), to nie spowoduje to zmiany decyzji optymalnej, (przy nie zmienion ym zysku z produkcji 100 kg Masy2 wynoszącym 310 zł). Zmiana decyzji optymalnej nie nastąpi ró w- nież wówczas, gdy zysk ze sprzedaży Masy1 wzrośnie o dowolną dodatnią wartość (w notacji naukowej Solver określił ją na poziomie ), co w rzeczywistości oznacza brak ograniczenia z góry. Podobne informacje dotyczące produkcji Masy2, zawiera wiersz raportu komórek dec y- zyjnych przyporządkowany zmiennej x 2, z którego można wnioskować, że nawet spadek wartości zysku ze sprzedaży 100 kg Masy2 z kwoty 310 zł o dowolnie dużą wartość, (przy stałym zysku ze sprzedaży 100 kg Masy1 wynoszącym 520 zł) nie doprowadzi do zmiany decyzji optymalnej. Decyzji tej nie zmieni również wzrost zysku ze sprzedaży 100 kg Masy2 o kwotę 2 zł, to znaczy do wartości 312 zł/100 kg. Druga część raportu wrażliwości zawiera dane dotyczące stabilności decyzji optymalnej względem zmian wyrazów wolnych z warunków ograniczających. W kolumnie Wartość końcowa, Solver podaje ponownie liczby lewych stron warunków ograniczających otrzymane dla optymalnych wartości zmiennych decyzyjnych. Tu również istnieje mo ż- liwość sprawdzenia warunku poprzez porównanie Wartości końcowej z Prawą stroną w.o. W raporcie wrażliwości mamy jednak jeszcze inną możliwą interpretację bilansu wartości lewej i prawej strony każdego z warunków ograniczających przy uzyskanej decyzji optymalnej, na co pozwala, tzw. Cena dualna wyrazów wolnych. 167

8 Pierwszy warunek ograniczający, (dotyczący zasobów masy żywicy) jest luźny przy decyzji optymalnej. Zasoby żywicy formaldehydowej przeznaczonej do produkcji mas (350 kg) nie zostały w całości wykorzystane. Można zauważyć, że zwiększanie podaży żywicy ponad 350 kg nie wpłynie na zmianę wielkości produkcji, czyli na zmianę łącznego zysku. Bezpośrednio informuje o tym zerowa wartość ceny dualnej wyrazu wolnego w pierwszym warunku ograniczającym. Drugi warunek ograniczający, (odnośnie zasobów czasu pracy mieszarki) jest napięty przy decyzji optymalnej, co oznacza, że dostępny czas pracy mieszarki do produkcji piasku otaczanego (7 h) jest wykorzystany w całości. Gdyby jednak udało się ten czas zwiększyć o godzinę (jednostkę), nie zmieniając jednocześnie ani zasobów żywicy, ani minimalnej kwoty przeznaczonej na płace robotników, to wtedy optymalny plan produkcji Masy1 i Masy2 zapewniałby łączny zysk o 173,91 zł. większy od maksymalnego zysku 1210,14 zł, osiąganego bez wydłużania czasu pracy mieszarki. Trzeci warunek ograniczający jest również napięty przy decyzji optymalnej. Pracown i- cy produkujący piaski otaczane zarobią łącznie 500 zł, czyli minimalną kwotę (prawa strona tego warunku to właśnie 500 zł) przeznaczoną na opłacenie robocizny. Cena dualna wyrazu wolnego w trzecim warunku ograniczającym jest ujemna i wynosi 0,01. Oznacza to, że zwiększenie kosztów robocizny o 1 zł (jednostkę) bez zmiany czasu pracy mieszarki i zmiany zasobów żywicy spowoduje zmniejszenie łącznego zysku netto tylko o 0,01 zł. Informacje zawarte w kolumnach Dopuszczalny wzrost oraz Dopuszczalny spadek w drugiej części Raportu Wrażliwości dotyczą zmian wyrazów wolnych, które nie zmienią zestawu dodatnich zmiennych w decyzji optymalnej, choć ich dodatnie wartości będą ulegać zmianom. Zmniejszenie dostępnego zasobu żywicy o mniej niż 266,67 (do dolnej wartości krytycznej 83,33 kg) albo jej zwiększenie o dowolną wielkość nie spowoduje żadnych zmian w wielkości produkcji obu rodzajów mas (warunek ten jest luźny). Zależność ta jest słuszna wówczas, gdy czas pracy mieszarki nie zmnie j- szy się więcej niż o 2,71 godz. do dolnej wartości krytycznej równej 4,29 h, (7,0-2,71), albo nie zwiększy się więcej niż o 5,5 godz. do górnej wartości krytycznej równej 12,5 h (7,0+5,5), Wtedy, optymalny plan realizacji będzie nadal oparty na produkcji obu rodzajów mas, przy kosztach robocizny, będących w granicach od 280 zł ( ) do 816,67 zł ( ,67), a produkcja w odpowiednich ilościach przyniesie maksymalny łączny zysk od 1205,56 zł. (przy kosztach robocizny 816,67 zł), do 1211,88 zł. (przy kosztach robocizny 380 zł). 168

9 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Trzecim możliwym do uzyskania raportem po zastosowaniu modułu Solver jest Raport granic, przedstawiony na rysunku 6. Rys.6. Raport Granic. Fig.6. Report of limits. Podaje on informację odnośnie dopuszczalnego zakresu zmian każdej ze zmiennych decyzyjnych, które osiągnęły wartość dodatnią, przy nie zmienionych warto ściach pozostałych zmiennych. Z raportu tego wynika, że nie można zmieniać optymalnej wie l- kości produkcji obu rodzajów mas, bez jednoczesnego zachowania drugiej zmiennej decyzyjnej. LITERATURA [1] Mała encyklopedia ekonomiczna. PWN, Warszawa (1974). [2] K. Kukuła: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa (2001). [3] S. Abt: Systemy logistyczne w gospodarowaniu. Wyd. Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań (1997). 169

10 ANALYSIS SENSIBILITY OF THE OPTIMUM CHOICE OF ASSORTMENT PRODUCTION OF FOUNDRY SUMMARY From among different possibility effectively led process linear base of optimisation questions play decision front part on algorithm simplex. It is this one from met h- ods of investigations operating depending on opinion of sensibility of optimum choice of assortment of production of chooses metal institution. Article defines that is executive profiles of foundry, which articles and in which one should quantities to produce, to not to cross possessed supplies of resources of produ c- tion as well as to fulfil possible limitations of relate structure of executive possibility, at obtainment of maximum profit from them of sale. Recenzował: prof. dr hab. inż. Stanisław Jura 170