EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0

2 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji Opis wymagań pojęcia wartości bezwzględnej Poprawna odpowiedź ( p) C Zadanie (0 ) Wykonanie obliczeń procentowych B Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Rozłożenie wielomianu na czynniki z zastosowaniem wyłączenia wspólnego czynnika poza nawias B Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie układu równań D Zadanie (0 ) Rozwiązanie równania liniowego i sprawdzenie czy rozwiązanie należy do danego przedziału D Zadanie 6 (0 ) Sprawdzenie, które z podanych liczb spełniają nierówność i wybranie z nich najmniejszej B Zadanie (0 ) Zinterpretowanie rozwiązania nierówności kwadratowej i liniowej na osi liczbowej C Zadanie 8 (0 ) definicji logarytmu B

3 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 9 (0 ) Określenie funkcji za pomocą wzoru i interpretowanie wykresów funkcji kwadratowych A Zadanie 0 (0 ) Obliczenie miejsca zerowego funkcji liniowej D Zadanie (0 ) Zastosowanie wzory na n-ty wyraz ciągu geometrycznego D Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego C Zadanie (0 ) Wyznaczenie wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego, gdy dana jest wartość jednej z nich A Zadanie (0 ) Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego B Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w przestrzeni C Zadanie 6 (0 ) Skorzystanie ze związków między kątem środkowym i kątem wpisanym B Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich A

4 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 8 (0 ) Zbadanie równoległości i prostopadłości prostych na podstawie ich równań kierunkowych C Zadanie 9 (0 ) Posłużenie się równaniem okręgu ( x a) + ( y b) = r i sprawdzanie czy dana prosta jest styczną B Zadanie 0 (0 ) Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie D Zadanie (0 ) Wyznaczenie związków miarowych w bryłach obrotowych B Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Zastosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia D Zadanie (0 ) Obliczenie średniej arytmetycznej D

5 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Rozwiązanie nierówności kwadratowej Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap może być realizowany na sposoby: I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 0x + obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ= 00 = 6 i stąd x = = oraz x = = 6 6 stosujemy wzory Viète a: 0 x+ x = oraz x x = i stąd x = oraz x = podajemy je bezpośrednio, np zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu, lub zaznaczając na wykresie x =, x = lub x ( x ) lub y x II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego nierówność w postaci, np x 0, stąd x a następnie x 0x + i zapisujemy

6 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci iloczynowej x x ( x ) x 0 przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości bezwzględnej 0 6 x 6 6 Drugi etap rozwiązania: 0 8 x 6 6 Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x lub Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x =, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) = x 0x+ i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x ( x ) i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność 0 8 o zapisze nierówność x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze 6 6 zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność 0 o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np: x + x = 0 i x x = lub x + x = i x x = i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, lub x,

7 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy o błędnie zapisze nierówność, np błędu rozwiąże nierówność 0 8 x + i konsekwentnie do popełnionego 6 6 Zdający otrzymuje pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:, lub x, lub x, sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów Uwaga Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x = i x = i zapisze np x,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Zadania (0 ) x Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie zależności arytmetycznej z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia I sposób rozwiązania Ponieważ a b + =, więc ( a b) + =, czyli a + ab+ b = Ponieważ a + b =, więc ab + = Stąd mamy, że ab Stosując wzory skróconego mnożenia, zapisujemy wyrażenie a ( ) a + b a b = czyli II sposób rozwiązania Przekształcamy tezę w sposób równoważny: a + b = ( ) a + b a b = 9 ab = ab = 9 9= co należało uzasadnić = ab = 9 ab = i ( ) + b = w postaci:

8 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Korzystając z założeń a + b = i a+ b=, otrzymujemy ab + = Stąd ab = Zatem ab = 9, co kończy dowód Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: korzystając z założeń obliczy, że ab = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy przekształci tezę w sposób równoważny do postaci ab = 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie III sposób rozwiązania Tak jak w sposobie I obliczamy, że ab = Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona: ( ) 6 ( ) 6( ) a+ b = a + a b+ a b + ab + b = a + ab a + b + ab + b = ( ) ( ) = a + b = a + b 8+ = a + b 0 Stąd a + b = Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy poda lub obliczy wartość wyrażenia ab = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy wykorzysta wzór dwumianowy Newtona i zapisze np ( ) ( ) 6( ) a+ b = a + ab a + b + ab + b Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie IV sposób rozwiązania Rozwiązujemy układ równań, wyznaczając a i b : a + b = stąd: a+ b=

9 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 a = + b = lub + a = b = a + b = Układ równań a+ b= możemy rozwiązać jednym z podanych sposobów I sposób Podstawiamy b= a do równania a a ( a) + b =, stąd otrzymujemy równanie + =, które jest równoważne równaniu a a = 0 Obliczamy Δ= oraz a a 6 0 =, czyli a = + b = lub + a = b = II sposób Oznaczamy: a= + x, b= x Wtedy a + b = + x =, stąd x =, czyli Stąd otrzymujemy: x =, więc x =, x = a = + b = lub + a = b = III sposób Obliczamy ab = tak jak w I sposobie rozwiązania Mamy zatem układ równań: a+ b= ab = Stąd otrzymujemy: a = + b = lub + a = b =

10 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Obliczamy a + b, korzystając ze wzoru ( c+ d) + ( c d) = c + c d + d : + a + b = + = = + + = = + + = 69 8 = + + = = Uwaga Zdający może także obliczyć: a = = = = = = = = = a = = oraz + b = = = = = = = = = b = = Zatem + a + b = + = Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt + + gdy obliczy jedną z wartości a = lub a = lub b = lub b = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Uwaga + + Jeżeli zdający obliczy jedną z wartości a = lub a =, lub b =, lub b = i uzasadni tezę tylko dla tej jednej wartości, to otrzymuje punkty

11 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 6 (0 ) i tworzenie informacji Odczytanie z wykresu funkcji: zbioru wartości oraz maksymalnego przedziału, w którym funkcja maleje Rozwiązanie Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji:, Zapisujemy przedział maksymalnej długości, w którym funkcja jest malejąca:, Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: zapisze zbiór wartości funkcji f :, i na tym poprzestanie zapisze zbiór wartości funkcji f :, i błędnie zapisze przedział maksymalnej długości, w którym ta funkcja jest malejąca zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca:, i na tym poprzestanie zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, np:, i błędnie zapisze zbiór wartości funkcji f Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze zbiór wartości funkcji f :, oraz przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca:, Uwagi Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, w postaci x lub x,, lub x, ), lub x (,, lub x (,) Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci y lub x, Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, w postaci,0 0, Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym, funkcja f jest malejąca, w postaci { }

12 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadania (0 ) Modelowanie matematyczne Zastosowanie wzorów na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub wykorzystanie własności trzech kolejnych wyrazów tego ciągu I sposób rozwiązania Liczby x, y, 9 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, stąd y = x+ 9 Zapisujemy więc układ równań y = x+ 9 x + y = 8 którego rozwiązaniem jest x = i y = 9 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy wykorzysta własności ciągu arytmetycznego i zapisze równanie np y = x+ 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy: x = i y = 9 Uwaga Zdający może jako rozwiązanie podać ciąg (, 9, 9) i wtedy również otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Liczby x, y, 9 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny Niech r będzie różnicą tego ciągu i x = a, y = a = a+ r, 9 = a = a+ r Otrzymujemy układ równań a+ a+ r = 8 a + r = 9 Rozwiązaniem tego układu jest a =, r = 0 Stąd: x= a =, y = a = 9 Uwaga Możemy również otrzymać następujące układy równań: a + r = 8 y = x+ r a + 9 lub 9 = x + r = a + r x + y = 8 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy wprowadzi oznaczenia x = a, y = a = a+ r i zapisze równanie a + r = 9 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy: x = i y = 9

13 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwiązania Wprowadzamy oznaczenia x = a, y = a, 9 = a Obliczamy: S = x+ y+ 9 = = Korzystając ze wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, a + 9 otrzymujemy = Stąd a =, zatem x =, y = 9 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt a+ a gdy wprowadzi oznaczenia x = a, y = a, 9 = a i zapisze równanie = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy: x = i y = 9 Uwaga Jeżeli zdający zapisze x = i y = 9 bez obliczeń i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt Zadanie 8 (0 ) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego I sposób rozwiązania sin cos Sprowadzamy wyrażenie + = do wspólnego mianownika i otrzymujemy cos sin sin + cos = Korzystając z tożsamości sin + cos =, otrzymujemy sincos sincos =, a stąd sincos = Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: sin cos sprowadzi wyrażenie + = do wspólnego mianownika i na tym cos sin poprzestanie lub dalej popełnia błędy sin cos doprowadzi wyrażenie + = do postaci sin + cos = sincos cos sin i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sincos =

14 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy II sposób rozwiązania Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz zaznaczamy kąt ostry taki, że sin = a c lub cos = b c a c b Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c = a + b Ponieważ sin cos a b a + b c + =, więc + =, czyli = Stąd cos sin b a ab ab = Ponieważ sincos = ab, to sincos = c III sposób rozwiązania Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz zaznaczamy kąt ostry taki, że sin = a c lub cos = b c a c b Ponieważ sin cos + =, więc otrzymujemy kolejno: cos sin a b a + b + =, =, a + b = ab, b a ab stąd ( ) π a b = 0, więc a = b Zatem = = Wtedy sin = sin = i cos = cos = Obliczamy sincos = =

15 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania II i III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie kąt i zapisze: sin = a c, cos = b c i a + b = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy ab sin = a c, cos = b c i a + b = a b i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sincos = Uwaga Zdający może także odczytać z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych i obliczyć: sin cos 0,0 0,0 0,999 0, Nie akceptujemy innych przybliżeń IV sposób rozwiązania Wyrażenie sin cos + = zapisujemy w postaci tg + = cos sin tg Stąd tg tg + = 0 Zatem tg = i stąd = Obliczamy wartość wyrażenia, sin cos = = Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze równanie tg + = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy tg Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy sincos = V sposób rozwiązania Zauważamy, że suma liczby i jej odwrotności jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba sin jest równa Zatem tg = = i stąd =, a więc sin cos = = cos

16 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze, że suma liczby i jej odwrotności jest równa wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa, zapisze tg = lub sin = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy cos Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy sincos = Uwaga Jeżeli zdający w V sposobie rozwiązania zapisze bez uzasadnienia: tg = lub sin = lub cos = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 0 punktów tg = lub sin = lub cos = i poprawnie obliczy sincos =, to otrzymuje punkt Zadania 9 (0 ) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty I sposób rozwiązania Niech CED = Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD, to EDC = CED = Zatem DCE = 80 Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny i AEB = EAB = β, to ABE = 80 β Kąty ABE i DCE są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i DCE + ABE = 80 Stąd β = 80, czyli + β = 80 + β = 90 AED = 80 CED AEB = 80 β = 80 + β = 90 Zatem ( ) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy napisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE, np DCE = 80 i ABE = 80 β i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90

17 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy II sposób rozwiązania D C F β E β A β Niech CED = i AEB = β Trójkąty DCE i ABE są równoramienne Zatem EDC = CED = oraz AEB = EAB = β Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD Kąty naprzemianległe CDE i DEF mają równe miary, zatem EDC = DEF = Analogicznie EAB = AEF = β Zatem BEC = 80 = + β, więc + β = 90 Stąd AED = 90, co kończy dowód Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne, dorysuje odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD i zapisze, że EDC = DEF = i EAB = AEF = β Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 (uzasadnienie równości kątów może być przedstawione na rysunku) B

18 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwiązania D 80 C F E Niech ABC =, stąd BCD = 80 A 90 Ponieważ CE = CD i EB = BA, więc trójkąty DCE i ABE są równoramienne 80 Zatem AEB = EAB = = 90 oraz EDC = CED = Dorysowujemy w danym trapezie odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD, więc zachodzi równość: EDC = CED = DEF = i AEB = EAB = AEF = 90 Stąd otrzymujemy AED = AEF + DEF = 90 + = 90 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy napisze, że trójkąty DCE i ABE są równoramienne i przyjmie, że ABC =, dorysuje odcinek EF równoległy do podstaw trapezu ABCD i zapisze, 80 że AEB = EAB = AEF = i EDC = CED = DEF = Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 (uzasadnienie równości kątów może być przedstawione na rysunku) B

19 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 IV sposób rozwiązania D C E β A β B Niech CED = Ponieważ trójkąt DCE jest równoramienny i EC = CD, to EDC = CED = Podobnie, ponieważ trójkąt ABE jest równoramienny, to AEB = EAB = β Kąty ADC i BAD są kątami wewnętrznymi trapezu ABCD i ADC + BAD = 80 Stąd ADE + EAD = 80 ( + β ) Zatem w trójkącie DAE mamy: ( ) AED = + β = + β Stąd BEC = 80 = DEC + AED + AEB = + β, czyli + β = 90 Zatem AED = 90 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach równoramiennych ABE i DCE, np EDC = CED = oraz AEB = EAB = β i zapisze, że ADC + BAD = 80 Zdający otrzymuje pkt gdy poprawnie uzasadni, że AED = 90 Uwaga Jeżeli zdający przyjmie dodatkowe założenia o trapezie ABCD, przez co rozważa tylko szczególny przypadek, np ABC = 90 lub DEC =, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów

20 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie 0 (0 ) Użycie i tworzenie strategii Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia I sposób rozwiązania (metoda klasyczna) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary( ab, ) liczb z podanego zbioru Jest to model klasyczny Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na otrzymaniu liczb, których suma jest podzielna przez, np wypisując je i zliczając: A =,,,,,,,,,,,,,6,,,,,,,,,, 6,, 6,6,,,,, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )} czyli A = 6 6 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA= ( ) 9 II sposób rozwiązania (metoda tabeli) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary( ab, ) liczb z podanego zbioru Jest to model klasyczny Tworzymy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu 6 X X X X X X X X X X X X 6 X X X X Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω = Zliczamy oznaczone krzyżykami zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A: A = 6 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 6 PA= ( ) 9 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: Ω = = 9 obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A = 6 Zdający otrzymuje pkt 6 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA= ( ) 9

21 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie Prawdopodobieństwo na każdym odcinku tego drzewa jest równe Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 6 PA= ( ) 6 = 9 IV sposób rozwiązania (metoda drzewa) Rysujemy drzewo, uwzględniając tylko istotne gałęzie i zapisujemy na nich prawdopodobieństwo {, 6 } {,, } {,} {, 6 } {, } {,, } Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( ) 6 P A = + + =

22 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami Zdający otrzymuje pkt 6 gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA= ( ) 9 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA> ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę w rozwiązaniu niektóre gałęzie i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkt Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, np 6 PA= ( ) =, to otrzymuje punkty 9 Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie współrzędnych punktu styczności prostej z okręgiem I sposób rozwiązania Wyznaczamy współczynnik kierunkowy m prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = x : m = S =, : Zapisujemy równanie prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez punkt ( ) y = x + Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań: y = x y = x + x + = x x = Stąd y = Zatem punkt styczności ma współrzędne:,

23 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = x, np m = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt y = x Zapisanie układ równań y = x + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np x + = x lub y = y + Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie współrzędnych punktu styczności:, Uwaga Jeśli zdający zapisał układ równań liniowych i odgadł jego rozwiązanie, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania Obliczamy odległość d środka okręgu S = (,) od prostej y = x : 6 d = = + Punkt P= ( x,x ) jest punktem styczności okręgu o środku w punkcie S = (,) i prostej y = x Zatem PS = d oraz PS x x = ( ) + ( 0) 6 Przekształcamy równanie ( x ) + (x 0) = do postaci x 6x + 09 = 0 Rozwiązujemy równanie x 6x + 0 = 0, stąd x = Zatem punkt styczności ma współrzędne: P =, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt 6 obliczenie odległości punktu S od danej prostej d = = + zapisanie długości odcinka PS : PS = ( x ) + (x 0) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt y = x Zapisanie układ równań, np ( ) ( x ) + y =

24 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np x 6x + 0 = 0 ( x ) + (x 0) = Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie współrzędnych punktu P styczności:, III sposób rozwiązania P= x, y jest punktem styczności okręgu o środku S = (,) i prostej y = x Punkt ( ) ( x ) + ( y ) = r Zapisujemy układ równań: y = x Przekształcamy układ równań do równania kwadratowego z niewiadomą x: ( x ) + (x 0) = r x 6x+ 09 r = 0 Zapisujemy warunek Δ= 0, dla którego okrąg ma jeden punkt wspólny z prostą y = x i obliczamy r : 6 6 Δ= 6 + 0r, 0r 6 = 0, 0r = 6, r = = 0 Rozwiązujemy równanie: 6 x 6x + 09 = 0 x 6x + 0 = 0 x = Zatem punkt styczności ma współrzędne: P =, Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie układu równań i warunku pozwalającego wyznaczyć promień okręgu: ( x ) + ( y ) = r y = x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą x 6x+ 09 r = 0, zapisanie 6 r : r = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania kwadratowego, np x 6x + 0 = 0 Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie współrzędnych punktu styczności: P =, warunku Δ= 0 i obliczenie

25 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Uwaga Jeśli zdający popełnił błąd rachunkowy, przekształcając układ równań do równania kwadratowego, rozwiązał to równanie i otrzymał dwa punkty styczności, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego z jedną niewiadomą I sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x y = Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o dni więcej, idąc każdego dnia o km mniej, wówczas zapisujemy równanie: ( x+ ) ( y ) = x y = Zapisujemy układ równań, np ( x+ ) ( y ) = Z pierwszego równania wyznaczamy y = x = x y podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy ( ) x + = x + ( y ) = y Przekształcamy to równanie do równania Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np x + x 8= 0 kwadratowego, np y y 8 = 0 Δ= 9 + = = Δ= + 9 = 96 = x = = sprzeczne z zał x > 0 y = = 6 sprzeczne z zał y > 0 + x = = + y = = 8 Obliczamy y: y = = 8 Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km II sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Drogę przebytą przez turystę opisujemy równaniem x y = Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o dni więcej, idąc każdego dnia o km mniej, wówczas zapisujemy równanie: ( x+ ) ( y ) = x y = Zapisujemy układ równań, np ( x+ ) ( y ) = x y = Stąd otrzymujemy kolejno x y x + y 6 =

26 6 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy x y = x+ y 6 = x y = x + y 6 = 0 W równaniu x y 6 0 Otrzymujemy x y+ = 0, stąd wyznaczamy + = obie strony dzielimy przez ( ) y = x+ x = y podstawiamy do równania pierwszego i rozwiązujemy x ( x+ ) = x + x = 0 y y = x + x 8= 0 0 Δ= 9 + = = y y = y y 8 = 0 x = = sprzeczne z zał x > 0 Δ= + 9 = 96 = + x = = y = = 6 sprzeczne z zał y > 0 Obliczamy y: y = + = 8 + y = = 8 Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km Odp: Turysta przechodził dziennie 8 km Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie zależności między przebytą drogą, liczbą dni wędrówki oraz liczbą kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np: ( x+ ) ( y ) = x y = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y odpowiednio: liczbą dni wędrówki i liczbą x y = kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, np ( x+ ) ( y ) = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np: ( ) x + = lub + ( y ) =, lub x ( x+ ) =, x y lub y y = Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą

27 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę rozwiązanie równania z niewiadomą x lub y z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 8 km III sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę Liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę opisujemy równaniem y = x Turysta może przeznaczyć na wędrówkę o dni więcej, idąc każdego dnia o km mniej, wówczas zapisujemy równanie: x x+ Przekształcamy to równanie do postaci x + x 8= 0 Rozwiązaniem równania są: x = = sprzeczne z założeniem x > 0 + i x = = Obliczamy y: y = = 8 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Przyjęcie oznaczeń: x - liczba dni wędrówki, y liczba kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i zapisanie zależności, np y = x y = x + + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą: x = x+ + Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie i nie obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę rozwiązanie równania z niewiadomą x błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę, przy czym obliczona liczba kilometrów musi być większa od

28 8 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie liczby kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę: 8 km Uwagi Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający odgadnie liczbę kilometrów przebytych każdego dnia przez turystę i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje punkt Zadanie (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie związków miarowych w sześcianie Rozwiązanie H L G E F M A D B K C Trójkąt ABK jest trójkątem prostokątnym, zatem AK = + Stąd AK = Trójkąt MAK jest trójkątem prostokątnym, zatem MK = MA + AK = + = Analogicznie dla trójkątów MEL i LGK obliczamy kwadraty długości boków ML i KL: ML = KL = Ponieważ ML = KL = MK, więc trójkąt KLM jest równoboczny Zatem jego pole wyraża się wzorem MK P =, stąd P = = 8 Uwaga Zdający nie musi obliczać kwadratów długości boków ML i KL Wystarczy, że korzystając z przystawania trójkątów MAK, MEL, LGK uzasadni równość boków: ML = KL = MK

29 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy 9 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie kwadratu długości odcinka AK : AK = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt obliczenie kwadratów długości lub długości boków trójkąta KLM: 6 ML = KL = MK = lub ML = KL = MK = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy zauważenie, że trójkąt KLM jest równoboczny i obliczenie kwadratu długości jednego z boków tego trójkąta, np MK = Rozwiązanie pełne pkt Obliczenie pola trójkąta KLM : P = 8 Uwaga Akceptujemy rozwiązanie, w którym zdający przyjmuje, że długość krawędzi sześcianu jest oznaczona literą l

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM)

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) O SCHEMATACH OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH PRÓBNEJ MATURY Z MATEMATYKI przeprowadzonej 3 listopada 009 r. Projekt, w ramach

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy luty 01 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotował zespół w składzie: Agnieszka Sałaj Nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 7 6 6 =

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014 Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO

PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO ZADANIA OPRACOWANE PRZEZ Agnieszkę Sumicką Katarzynę Hejmanowską

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM Podstawowy Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp z oo Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014

Przedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014 I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo