Ewolucja ukªadu kwantowego
|
|
- Alicja Kubiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Informacje o wykªadzie ródªa Metody Symulacji w Nanotechnologii dr hab. Jan Iwaniszewski Zakªad Mechaniki Kwantowej Instytut Fizyki Uniwersytet Mikoªaja Kopernika semestr zimowy 03/4 tre± wykªadu opis ewolucji ukªadów kwantowych, zjawisko tunelowania, przepªyw ªadunków przez ukªady kropek kwantowych, metody numeryczne Warunki zaliczenia wykªad 6 h) wiczenia 6 h) opracowanie symulacji numerycznej problemów ewolucyjnych Literatura R. L. Libo, Wst p do mechaniki kwantowej, PWN 987, S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, L. I. Schi, Mechanika kwantowa, PWN jiwanisz/ Symulacje PhET, University of Colorado Boulder - QuVis, University of St Andrews Ewolucja ukªadu kwantowego Funkcja falowa B dziemy si zajmowa cz stk kwantow o masie m znajduj c sie w przestrzeni jednowymiarowej, tzn. jej poªo»enie jest okre±lone jedynie przez wspóªrz dn x. stan ukªadu kwantowego zespolona funkcja falowa Ψx, t) probabilistyczny sens funkcji falowej prawdopodobie«stwo znalezienia ukªadu w przedziale x, x + dx) w chwili czasu t Prob{x, x + dx}, t) = Px, t)dx = ψx, t) dx = ψx, t)ψ x, t)dx Px, t) = ψx, t) g sto± rozkªadu prawdopodobie«stwa prawdopodobie«stwo znalezienia ukªadu w przedziale Ω = x, x ) x x P Ω t) = Px, t)dx = Px, t)dx = ψx, t) dx Ω x x Operatory Wielko±ci zyczne opisywane s przez operatory oznaczane Â: operator poªo»enia ˆx = x operator p du ˆp = i x operator energii hamiltonian Ĥ = Ê k + Ê p = ˆp m + ˆV = m x + V x) warto± ±rednie operatora w stanie Ψx, t): Â = dx ψ x) Âx) ψx) = ψ Â ψ Ewolucja ukªadu kwantowego 4 Ewolucja ukªadu kwantowego 5 Ewolucja ukªadu kwantowego 6 Zagadnienie wªasne operatora Zagadnienie wªasne operatora p du Równanie Schrödingera Âϕ a x) = aϕ a x) a - warto± wªasna dyskretna lub ci gªa), ϕ a x) - funkcja wªasna Zbiór wszystkich funkcji wªasnych operatora tworzy baz w przestrzeni funkcji falowych { δa,b, dyskretne warto±ci wªasne; ϕ a ϕ b = δa b), ci gªe warto±ci wªasne. { a ψx) = c aϕ a x), da ca)ϕa x), dyskretne warto±ci wªasne; ci gªe warto±ci wªasne. Ewolucja ukªadu kwantowego 7 ˆpϕ k x) = i x ϕ kx) = k ϕ k x) warto± wªasna p du k ϕ k x) = π e ikx ψx) = dk ck) e ikx π ck) = ϕ k ψ = dk e ikx ψx). π W bazie funkcji wªasnych operatora p du funkcja falowa ψx) i wspóªczynniki rozwiniecia ck) tworz par transformat Fouriera. zd. Wykaza sªuszno± powy»szych wzorów. Ewolucja ukªadu kwantowego 8 Funkcja falowa dla problemu jednowymiarowego speªnia zale»ne od czasu równanie Schrödingera: i Ψx, t) = ĤΨx, t) t Je±li potencjaª V x) nie zale»y od czasu, to funkcj falow mo»na sfaktoryzowa Ψx, t) = χt)ϕx): Hϕx) = Eϕx) χt) = e iet/. zd. Wykaza,»e dla hamiltonianu niezale»nego od czau funkcje falow mo»na sfaktoryzowa. Ewolucja ukªadu kwantowego 9
2 Zagadnienie wªasne hamiltonianu Funkcja falowa w bazie funkcji wªasnych Równanie na cz ± przestrzenn funkcji falowej to zagadnienie wªasne hamiltonianu Hϕ k x) = E k ϕ k x), gdzie ϕ k x) jest funkcj wªasn, a E k energia wªasn. Indeks k przyjmuje warto±ci dyskretne np. niesko«czona studnia potencjaªu, atom wodoru) lub ci gªe np. cz stka swobodna). Je»eli cz stka ma energi równ energii wªasnej hamiltonianu, to jej ewolucja opisana jest funkcj Ψx, t) = χt)ϕx) = ϕ k x)e ie k t owolne rozwi zanie zale»nego od czasu równania Schrödingera mo»na przedstawi w postaci kombinacji liniowej funkcji wªasnych: Ψx, t) = k c k ϕ k x)e ie k t. Wspóªczynniki c k mo»na wyznaczy np. z warunku pocz tkowego Ψx, t = 0) = k c k ϕ k x), c k = ϕ k Ψt = 0). Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej Ewolucja ukªadu kwantowego 0 Ewolucja ukªadu kwantowego Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej Fale pªaskie Ewolucja swobodnej paczki falowej la cz stki swobodnej V x) 0, wi c Ĥ = m x. Zagadnienie wªasne hamiltonianu ma rozwi zanie w postaci Hϕ k x) = d ϕ k x) = m dx E k ϕ k x), ϕ k x) = π e ikx, E k = k m. Rozwi zanie zale»nego od czasu równania Schrödingera to Ψx, t) = ck) e ikx e ie k t = ck)ψ k x, t), k π k ψ k x, t) = e ikx ω kt), ωk = E k / π Funkcja ψ k x, t) = π e ikx ω kt) ma tak sam zale»no± od zmiennych x i t, jak w zyce klasycznej np. w optyce) fala bie» ca rozchodz ca si w prawo dlaczego?) z pr dko±ci fazow v = ω k /k. Stan opisany funkcj ψ k x, t) ma dokªadnie okre±lony p d p = k. G sto± rozkªadu prawdopodobie«stwa znalezienia cz stki w punkcie x to P k x, t) ψ k x, t) = e ikx ω kt) = π π = const Cz stka nie jest nigdzie zlokalizowana poªo»enie cz stki nie jest okre±lone wªasno± nieklasyczna). Rzeczywista cz stka jest zlokalizowana w pewnym obszarze przestrzeni. Opisuje si j wprowadzaj c poj cie tzw. paczki falowej lub pakietu falowego funkcji falowej, która jest istotnie ró»na od zera w sko«czonym obszarze przestrzeni. Np. Np. pakiet gaussowski: { /b dla x [x0, x ψx, t = 0) = 0 + b], 0 dla x / [x 0, x 0 + b]. ψ G x, t = 0) = πa ) 4 P G x, t = 0) = ψ G x, 0) = e ikx e x 4a = Ne ikx e x 4a x e a πa Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 3 Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 4 Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 5 Ewolucja pakietu Gaussowskiego Ewolucja pakietu Gaussowskiego Wartosci ±rednie P G x, t = 0) = ψ G x, 0) = Rozwi zanie równania Schrödingera ma posta : x e a πa i t ψ G x, t) = m x ψ G x, t) ψ G x, t) = N e ikx ωt) e x bt)) 4a gt) gt) N = πa ), ω = k 4 m, bt) = k m t, γ = ma, gt) = + iγt, gt) = + γ t zd 3. Wyprowadzi powy»sze wzory dla ψ G x, t). Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 6 pakiet falowy P G x, t) = ψ G x, t) = x bt)) e a gt) πa gt) Pakiet falowy czastka) przesuwa z pr dko±ci v = bt)/t = k/m i poszerza delokalizuje) do szerokosci agt) = a + γ t. symulacja Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 7 informacja o wªasno±ciach ukªadu warto± ±rednia operatora Â: Â = dx ψ x) Âx) ψx) = ψ Â ψ odchylenie standardowe: Â = varâ) = Â Â Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 8
3 Wartosci ±rednie Zasada nieoznaczono±ci Heisenberga poªo»enie ˆx = bt), ˆx = b t) + a gt) varˆx) = ˆx ˆx = a + γ t ) ˆx = a + γ t = a + 4m a 4 t ˆx ˆp = a + γ t ) 4a = + γ t = = + 4m a 4 t Zasada nieoznaczono±ci nieokre±lono±ci) Heisenberga Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego p d ˆp = i x = k, ˆp = k + 4a varˆp) = 4a ˆp = a ˆx ˆp nie jest mo»liwe jednoczesne wyznaczenie z dowoln dokªadno±ci zarówno poªo»enia jak i p du cz stki kwantowej zd 4. Porówna zasad nieoznaczono±ci Heisenberga dla pakietu gaussowskiego z wzorami charakteryzuj cymi dokªadno± numerycznych transformat Fouriera. Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 9 Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 0 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego Przypomnienie Ruch w polu potencjaªu ograniczaj cego np. niesko«czona studnia potencjaªu i Ψx, t) = ĤΨx, t) t Ĥ = ˆp + V x) = m m x + V x) Hϕ k x) = E k ϕ k x) Je±li dla x ± zachodzi V x), to potencjaª ogranicza ruch cz stki nie jest ona swobodna, lecz porusza si w ograniczonym obszarze odbijaj c si od granic obszaru. np. prostok tna studnia potecjaªu ϕ n x) = A sin nπ/l x), E n x) = π ml n z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 ϕ k x) funkcja wªasna, E k energia wªasna. Ψx, t) = k c k ϕ k x)e ie k t. Ψx, t = 0) = k c k ϕ k x), c k = ϕ k Ψt = 0). Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 3 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 4 Ruch w polu potencjaªu ograniczaj cego Oscylator harmoniczny pakiet w ski Oscylator harmoniczny pakiet szeroki np. oscylator harmoniczny V x) = k/ x z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 Pakiet gaussowski dla t = 0 pozostaje gaussowski przez caªy czas. Oscyluj periodycznie w czasie parametry pakietu odpowiadaj ce za poªo»enie maksimum i szeroko± rozkªadu prawdopod. Ψx, t). Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 5 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 6 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 7
4 Oscylator harmoniczny pakiet koherentny Ruch w polu potencjaªu nieograniczaj cego z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 Je±li dla x zachodzi V x) V R < lub dla x zachodzi V x) V L <, to w granicy x lub w granicy x cz stka zachowuje si jak cz stka swobodna. Rozpraszanie na potencjale potencjaª o prostok tnych ksztaªtach jam i barier zd 5. Pokaza,»e w czasie ewolucji w polu potencjaªu harmonicznego pakiet gaussowski jest zachowany uzyska wzory na zale»no±c parametrów od czasu). w punktach x i skoki potencjaªu impulsy "kopni cia") siªy F x) = U x) = δx x i ) Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 8 Rozpraszanie na potencjale 9 Rozpraszanie na potencjale 30 prostok tna bariera potencjaªu strumienie cz stek kwantowych i Ψx, t) = HΨx, t) x Ψx, t) = exp iet/ )ϕx) d m dx ϕx)+v x)ϕx) = Eϕx) cz stki o energii E docieraj ce do bariery potencjaªu z lewej strony, cz stki odbite od bariery potencjaªu odbiegaj ce na lewo) 3 cz stki przechodz ce przez barier potencjaªu odbiegaj ce na prawo) obszar I: x < 0 ϕ I x) = Ae ikx + Be ikx k = me/ superpozycja funkcji falowych cz stki padaj cej z lewej strony i cz stki odbiegaj cej na lewo obszar II: 0 < x < a E > V 0 ϕ II x) = Fe iαx + Ge iαx, α = me V 0 )/ 0 < E < V 0 ϕ II x) = Fe βx + Ge βx, β = mv 0 E)/ obszar III: a < x ϕ III x) = Ce ikx + e ikx k = me/ superpozycja funkcji falowych cz stki odbiegaj cej na prawo i cz stki padaj cej z prawej strony warunki brzegowe na granicach obszarów 'zszywanie' funkcji falowych ci gªo± funkcji falowej i jej pochodnej ϕx g ) = ϕx + g ), ϕ x g ) = ϕ x + g ) dla x g = 0 Ae ik 0 + Be ik 0 = Fe iα 0 + Ge iα 0 ikae ik 0 ikbe ik 0 = iαfe iα 0 iαge iα 0 dla x g = a Fe iα a + Ge iα a = Ce ik a + e ik a iαfe iα a iαge iα a = ikce ik a ike ik a Rozpraszanie na potencjale 3 Rozpraszanie na potencjale 3 Rozpraszanie na potencjale 33 zapis macierzowy ) ) A F N = N, B G ) ) F C N 3 = N 4 G ) A = N B N N 3 N 4 ) ) M M C M M ) ) C C = M = wspóªczynniki odbicia R i przej±cia T R = B A, T = C A [ E > V 0 : T = + V 0 sin αa) 4EE V 0 ) [ 0 < E < V 0 : T = + V 0 sinh βa) 4EV 0 E) ] ] Ewolucja przez stany rezonansowe tunelowanie Rozpraszanie na potencjale 34 Rozpraszanie na potencjale 35 Ewolucja przez stany rezonansowe 36
5 Stany zlokalizowane studnia niesko«czona studnia sko«czona R = ma V 0 Energie wªasne dane sa formuª E n = π n 8ma. Poniewa» ±ciany studni sa niesko«czenie wysokie, to wszystkie stany wªasne sa zlokalizowane cz stka nie mo»e 'uciec'). graczne wyznaczanie energii stanów zwi zanych punkty przeci cia dwóch rodzin krzywych π Je»eli N R π N + ) to w studni znajduje si N + poziomów. Podwójna bariera potencjaªu W ukªadzie takim pojawiaj si stany zwi zane energie E z < 0) oraz rezonansowe E r > 0) b d - ce ±ladem po stanach w niesko«czonej studni. Sa to stany o sko«czonym czasie»ycia metastabilne) - cz stka przygotowana w takim stanie, zlokalizowana w obszarze podwójnej bariery potencjaªu, po pewnym czasie opusci j i oddali si od niej. Problem: jak cz stka kwantowa pokonuje taki ukªad, gdy jej energia E jest: ró»na od energii stanu rezonansowego jest prawie) równa energii stanu rezonansowego E E r Podwójna bariera potencjaªu Je±li na ukªad pada strumie«cz stek opisywany fal pªask e ikx podobnie jak dla pojedynczej bariery potencjaªu), to wspóªczynnik transmisji równy jest T = { + [ η cosk a) sinhκc) + εη sink a) coshκc) ηε sink a) ] } gdzie: k = me/, k = me + V 0 )/, κ = mv E)/ ) ) ε = κ k k, η = κ κ k + k c = b a κ ) ) ε = κ k, η = κ k κ + k k κ Ewolucja przez stany rezonansowe 37 Ewolucja przez stany rezonansowe 38 Ewolucja przez stany rezonansowe 39 Podwójna bariera potencjaªu Metoda Cranka-Nicolson i ψ = Hψ ψt + ) = e i H ψt) = U )ψt) i H )ψt) V = 0, V 0 = 0, krzywe dla fali pªaskiej wzór teoretyczny) i pakietu Gaussowskiego o ró»nych szeroko±ciach s, pojawiaj si piki rezonansowe. Ewolucja przez stany rezonansowe 40 Metody numeryczne Metody numeryczne 4 e i H i H ) = + i H U ) = i = e H e i H = e i H U ) ) U ) wzór Cayle'ya + i H ) i H ) i H ) ψt + ) = U )ψt) = + i H ) i H ) ψt) metoda Cranka-Nicolson + i H ) ψt + ) = i H ) ψt) Metody numeryczne 4 Metoda Cranka-Nicolson ψt + ) = + i H ) i H ) ψt) + i H ) ψt + ) = i H ) ψt) ψt + ) ψt) = i ψt + ) + ψt) H Metody numeryczne 43 Metody z ró»nicami sko«czonymi siatka równoodlegªych punktów krok ε pierwsza pochodna f x) f x) = f x) = f x) = druga pochodna f x) f x) = f x + ε) f x) ε wzór progresywny) f x) f x ε) ε wzór wsteczny) f x + ε) f x ε) ε wzór centralny) f x + ε) f x) + f x ε) ε Metody numeryczne 44 Metoda Cranka-Nicolson = + i H, + i H = i H = ψt + ) = )ψt) = )ψt) H = m x + V x) Hψ = ψ n+ ψ n + ψ n + m ε V n ψ n ψ = ψ n + i ] [ ψ n+ ψ n + ψ n + m ε V n ψ n ψ n = σψ n + + σ + i ) V n ψ n σψ n+, σ = i 4mε jest macierz trójdiagonaln Metody numeryczne 45
6 Metoda rozszczepienia czasu time splitting) Ewolucja f x, t) = Lx, t; f )f x, t) t Lx, t) = g x + g 0x, t; f ) f x, t + h) = explx)h) f x, t), Lx, t; f ) nie zale»y od czasu [ ] t+h f x, t + h) = T exp Lx, s; f s)) f x, t), t Lx, t; f ) zale»y od czasu T - operator iloczynu chronologicznego) Wzór Bakera-Campbella-Hausdora f x, t + h) = exp [Lx)h] f x, t) ] = exp [g x h + g 0x)h f x, t) ] ] exp [g x h exp [g 0 x)h] f x, t) = exp [g h x F x, t) ] = exp [g h x dk exp ikx) F k, t) = dk exp ikx) exp g hk ) F k, t) fast Fourier transform) Kropki kwantowe expa + B) = expa) expb) exp [A, B]...) expa) expb) Metody numeryczne 46 Metody numeryczne 47 Kropki kwantowe 48 Tunelowanie 98 - rozpad j der atomowych, Gamov dioda tunelowa, Esaki, nagr. Nobla z I. Giaever, B.. Josephson, 973, za eksperymentalne prace nad tunelowaniem w póªprzewodnikach i nadprzewodnikach) skaningowy mikroskop tunelowy nagr. Nobla H. Rohrer, G. Binnig, 986) Kropki kwantowe 49 Kropki kwantowe 50 Kropki kwantowe 5 Kropki kwantowe 5 Kropki kwantowe 53 Kropki kwantowe 54
7 Co b dzie na pracowni? Kropki kwantowe 55 Kropki kwantowe 56 Pracownia 57 Program wicze«ewolucja paczki falowej evolucja swobodna V x) 0) pakietu gaussowskiego tunelowanie przez barier potencjaªu 3 tunelowanie przez podwójn barier potencjaªu program rozwi zujacy równanie Schrödingera zale»ne od czasu, ilustracja graczna ewolucji lm, obrazki poklatkowe,...) wyznaczenie prawdopodobie«stwa znalezienia ukªadu w wybranym obszarze analiza zale»no±ci czasowej prawdopodobie«stwa przej±cia i odbicia od bariery potencjaªu wyznaczenie wsólczynników odbicia i transmisji tunelowanie rezonansowe oszacowanie poªo»enia stanów rezonansowych wyznaczenie poªo»enia stanów rezonansowych z numerycznych warto±ci wsólczynnika tunelowania We wszystkich przypadkach porównywa wyniki numeryczne ze ±cisªymi. Pracownia 58
Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007
Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoψ x < a/2 2mE ψ x > a/2
Studnia prostok tna - stany zwi zane Szukaj c stanów zwi zanych w studni prostok tnej wygodnie jest umie±ci j symetrycznie wzgl dem x = 0, gdy» wiadomo wtedy,»e funkcje falowe musz by parzyste lub nieparzyste.
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, Funkcja falowa
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 193) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMechanika klasyczna zasada zachowania energii. W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, Cząstka przechodzi z obszaru I do II.
Próg potencjału Mecanika klasyczna zasada zacowania energii mvi mv E + V W obszarze I cząstka biegnie z prędkością v I, E > V w obszarze cząstka biegnie z prędkością v Cząstka przecodzi z obszaru I do.
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoKwantowa teoria wzgl dno±ci
Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 16 wrze±nia 2006 Plan wykªadu Grawitacja i geometria 1 Grawitacja i geometria 2 3 Grawitacja Grawitacja i geometria wedªug Newtona:
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Bardziej szczegółowo1 Promieniowanie Ciaªa Doskonale Czarnego. 2 Efekt Fotoelektryczny. 3 Efekt Comptona. 4 Promienie Röntgena. 5 Zjawiska kwantowe.
1 Promieniowanie Ciaªa Doskonale Czarnego 2 Efekt Fotoelektryczny 3 Efekt Comptona 4 Promienie Röntgena 5 Zjawiska kwantowe 6 Literatura Adam Szmagli«ski (IF PK) Fizyka Wspóªczesna Kraków, 5.12.2013 1
Bardziej szczegółowoElementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera
Elementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera Fale materii de Broglie a (rok 1923) De Broglie zaproponował, że każdy
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowowstrzykiwanie "dodatkowych" nośników w przyłożonym polu elektrycznym => wzrost gęstości nośników (n)
UKŁADY STUDNI KWANTOWYCH I BARIER W POLU LEKTRYCZNYM transport podłużny efekt podpasm energia kinetyczna ruchu do złącz ~ h 2 k 2 /2m, na dnie podpasma k =0 => v =0 wstrzykiwanie "dodatkowych" nośników
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia
1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoFIZYKA 2. Janusz Andrzejewski
FIZYKA 2 wykład 12 Janusz Andrzejewski Światło Falowa natura Dyfrakcja Interferencja Załamanie i odbicie Korpuskuralna natura Teoria promieniowania ciała doskonale czarnego Zjawisko fotoelekryczne Zjawisko
Bardziej szczegółowor. akad. 2012/2013 wykład III-IV Mechanika kwantowa Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Mechanika kwantowa
r. akad. 01/013 wykład III-IV Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Mechanika kwantowa Zakład Zakład Biofizyki Biofizyki 1 Falowa natura materii Zarówno fale elektromagnetyczne (fotony) jaki i
Bardziej szczegółowoDualizm korpuskularno falowy
Dualizm korpuskularno falowy Fala elektromagnetyczna o długości λ w pewnych zjawiskach zachowuje się jak cząstka (foton) o pędzie p=h/λ i energii E = h = h. c/λ p Cząstki niosą pęd p Cząstce o pędzie p
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowow jednowymiarowym pudle potencja lu
Do wyk ladu II czastka w pudle potencja lu oscylator harmoniczny rotator sztywny Ścis le rozwiazania równania Schrödingera: atom wodoru i jon wodoropodobny) Czastka w jednowymiarowym pudle potencja lu
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 2
Wykład 7.12.2016 Budowa atomu 2 O atomach cd Model Bohra podsumowanie Serie widmowe O czym nie mówi model Bohra Wzbudzenie, emisja, absorpcja O liniach widmowych Kwantowomechaniczny model atomu sformułowanie
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoStudnie i bariery. Fizyka II, lato
Studnie i bariery Fizyka II, lato 017 1 Nieskończona studnia potencjału Nieskończenie duży potencjał na krawędziach studni nie pozwala elektronom opuścić obszaru 0
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowo1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 26, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 26, 28.05.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Wykład 25 - przypomnienie
Bardziej szczegółowoCzastka swobodna Bariera potencja lu Pud lo jednowymiarowe FEMO Pud la wielowymiarowe. Wyk lad 3. Uk lady modelowe I
Wyk lad 3 Uk lady modelowe I Hamiltonian, równania Schrödingera hamiltonian Ĥ(x) = ˆT (x) = 2 d 2 2m dx 2 równanie Schrödingera zależne od czasu stany stacjonarne 2 2 Ψ(x, t) Ψ(x, t) 2m x 2 = i t dψ E
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoZasada nieoznaczoności Heisenberga
Fale materii paczki falowe o różnej szerokości Dwa gaussowskie rozkład amplitud fal armonicznc o różnc szerokościac σ p i różnc wartościac średnic pędu p. Części rzeczwista ReΨ i urojona mψ funkcji falowc
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoWykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie
Wykład 9 Podstawy teorii kwantów fale materii, dualizm falowo-korpuskularny, funkcja falowa, równanie Schrödingera, stacjonarne równanie Schrödingera, zasada nieoznaczoności Heisenberga, ruch cząstki swobodnej,
Bardziej szczegółowofalowa natura materii
10 listopada 2016 1 Fale de Broglie a Dyfrakcja promieni X 1895 promieniowanie X dopiero w 1912 dowód na ich falowa naturę - to promieniowanie elektromagnetyczne zjawiska falowe: ugięcia, dyfrakcji - trudne:
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoMichał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.
Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa I (2006/2007) Szczegóªowy program wykªadu (wersja nr 13 z dnia )
Jacek Dobaczewski Uniwersytet Warszawski Instytut Fizyki Teoretycznej Warszawa, 7 grudnia 2006 Mechanika Kwantowa I (2006/2007) Szczegóªowy program wykªadu (wersja nr 13 z dnia 7.12.2006) 1. Wykªad 3 pa¹dziernika
Bardziej szczegółowoNormalizacja funkcji falowej
Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 2
D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tom 5, PWN, Warszawa 2003. H. D. Young, R. A. Freedman, Sear s & Zemansky s University Physics with Modern Physics, Addison-Wesley Publishing Company,
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze.................
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
Bardziej szczegółowoKinetyczna teoria gazów
Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoLogarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej
Logarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej Tomasz Sowiński Seminarium CFT p.1/17 Nieliniowa mechanika kwantowa Dwa konteksty nielinowej mechaniki kwantowej: czy istnieja
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL'
Rozdziaª 9 Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL' W tym rozdziale zapoznamy si z metodami sªu» cych do rozwi zywania ukªadów równa«liniowych przy pomocy uzyskiwaniu odpowiednich rozkªadów macierzy
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowoMikroskopia polowa. Efekt tunelowy Historia odkryć Uwagi o tunelowaniu Zastosowane rozwiązania. Bolesław AUGUSTYNIAK
Mikroskopia polowa Efekt tunelowy Historia odkryć Uwagi o tunelowaniu Zastosowane rozwiązania Bolesław AUGUSTYNIAK Efekt tunelowy Efekt kwantowy, którym tłumaczy się przenikanie elektronu w sposób niezgodny
Bardziej szczegółowoFaculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów
Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni
Bardziej szczegółowoCiało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.
1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoKinematyka 2/15. Andrzej Kapanowski ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków. A. Kapanowski Kinematyka
Kinematyka 2/15 Andrzej Kapanowski http://users.uj.edu.pl/ ufkapano/ Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagiello«ski, Kraków 2018 Podstawowe poj cia Kinematyka jest cz ±ci mechaniki, która zajmuje si opisem
Bardziej szczegółowowartość oczekiwana choinki
wartość oczekiwana choinki Plan seminarium cośo równaniu Schrödingera analityczne metody rozwiązywania algorytm & obliczenia Schrödinger w studni koniec choinka ortogonalna Coś o równaniu Schrödingera
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:
Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej Równanie Schrödingera: ĤΨ = EΨ Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = h 2 K α=1 1 2M α 2 α h2 2m
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoWykład 13 Mechanika Kwantowa
Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki kwantowej i budowy materii
Podstawy fizyki kwantowej i budowy materii prof. dr hab. Aleksander Filip Żarnecki Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Instytut Fizyki Doświadczalnej Wykład 5 7 listopada 2016 A.F.Żarnecki Podstawy
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu
Bardziej szczegółowoWykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną. 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja
Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja probabilistyczna 2. Wielkości fizyczne operatory hermitowskie (obserwable)
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowo