WŁASNOŚCI FUNKCJI. Poziom podstawowy

Transkrypt

1 WŁASNOŚCI FUNKCJI Poziom podstawowy Zadanie ( pkt) Które z przyporządkowań jest funkcją? a) Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowana jest jej odwrotność b) Każdemu uczniowi klasy pierwszej przyporządkowane są jego oceny okresowe z przedmiotów c) Każdemu kwadratowi przyporządkowany jest obwód, który jest liczbą całkowitą dodatnią d) Każdej liczbie naturalnej przyporządkowana jest liczba o trzy większa Zadanie (4 pkt) Dana jest funkcja f:{,,, 4 } R określona wzorem f ( ) = + Podaj określenie tej funkcji za pomocą: a) grafu; b) tabeli; c) opisu słownego; d) wykresu Zadanie (5 pkt) Funkcję f określono następująco: każdej liczbie ze zbioru X = { -, - -, 0,,, } przyporządkowujemy liczbę będącą jej kwadratem a) Wyznacz zbiór wartości tej funkcji b) Daną funkcję określ za pomocą : tabelki, wzoru, grafu i wykresu Zadanie 4 (9 pkt) Odczytaj z wykresu funkcji f : a) dziedzinę i zbiór wartości; b) argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne; c) argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości większe od ; d) przedziały monotoniczności; e) odczytaj f(0), f(4), f(7); f) wartość najmniejszą i największą; g) narysuj wykres funkcji g ( ) = f ( ) + ; h) narysuj wykres funkcji h ( ) = f ( )

2 Zadanie 5 (6 pkt) Znajdź dziedzinę funkcji o równaniu: f ( ) = Zadanie 6 (5 pkt) Naszkicuj wykres funkcji spełniający następujące warunki wiedząc, że a) D f = 4; ) 4; + ) ; b) zbiór wartości Y = ;5) ; c) miejsce zerowe: 0 = ; d) funkcja rośnie w przedziale 4; ) ; e) funkcja maleje w przedziale 4 ;+ ) Zadanie 7 (4 pkt) Dana jest funkcja y= Naszkicuj wykres funkcji g () jeśli: a) g ( ) = + ; b) ( ) = ( ) g ; c) ( ) = ( + ) 4 g Zadanie 8 (4 pkt) 6 dla 5 Funkcja określona jest wzorem f ( ) = + dla 5 < dla < 5 Podaj miejsca zerowe tej funkcji Zadanie 9 ( pkt) 4 Funkcja dana jest wzorem f ( ) = 6 a) określ dziedzinę funkcji f; b) wyznacz jej miejsca zerowe Zadanie 0 (4 pkt) Rozważmy zbiór wszystkich prostokątów o obwodzie 40 Funkcja f przyporządkowuje długości jednego boku prostokąta z tego zbioru długość jego drugiego boku: a) wyznacz dziedzinę tej funkcji; b) ustal wzór, który opisuje to przyporządkowanie; c) wyznacz zbiór wartości funkcji Zadanie (5 pkt) Oblicz brakującą współrzędną jeśli, ( ) = + 7 g i A ( 6, a), ( b,) B Zadanie ( pkt) Punkt C o odciętej należy do wykresu funkcji f ( ) = Wyznacz rzędną tego punktu

3 Zadanie ( pkt) Punkt D o rzędnej równej - należy do wykresu funkcji f ( ) = + Wyznacz odciętą punktu D Zadanie 4 (4 pkt) Rowerzysta wjeżdża pod górę bez pedałowania z prędkością opisaną równaniem: v( t) =, 5t m/s Po jakim czasie zatrzyma się? Zilustruj daną sytuację w układzie współrzędnych Zadanie 5 (6 pkt) Basia opuściła schronisko o 7 00 W ciągu pierwszych dwóch godzin marszu przeszła 0 km W trzeciej godzinie wspinała się pod górę i przeszła tylko km Następnie odpoczywała 45 minut i wyruszyła w dalszą drogę ze średnią prędkością 4 km/h W południe dotarła do kolejnego schroniska Narysuj wykres funkcji obrazującej zależność drogi, którą pokonała Basia, od czasu zakładając, że na poszczególnych odcinkach poruszała się ze stałą prędkością Jaką drogę pokonała Basia od chwili zakończenia odpoczynku? Zadanie 6 (4 pkt) Koszt wynajęcia żaglówki Z obliczany jest ze wzoru Z ( ) = 0+ 50, a żaglówki Z według wzoru Z ( ) = 5+ 00, gdzie oznacza liczbę dni Narysuj wykresy obu funkcji i odpowiedz na pytanie, którą żaglówkę bardziej opłaca się wynająć? Zadanie 7 (5 pkt) Całkowity koszt produkcji stołów opisuje funkcja liniowa (zmienna jest liczba wyprodukowanych stołów) Wiedząc, że wyprodukowanie 0 stołów kosztuje 45 EURO, a 75 stołów kosztuje 4550 EURO, znajdź wzór tej funkcji Jaka powinna być dziedzina tej funkcji? Jaki jest całkowity koszt wyprodukowania 00 stołów? Ile stołów można wyprodukować dysponując kwotą 00 EURO? Zadanie 8 (6 pkt) Termograf wykreślił przebieg temperatury powietrza Odczytaj z wykresu: a) o której godzinie temperatura była najwyższa i podaj jej wartość; b) o której godzinie temperatura była najniższa i podaj jej wartość; c) przedziały czasu, w których temperatura rosła; d) przedziały czasu, w których temperatura malała; e) przedziały czasu, w których temperatura była dodatnia; f) o której godzinie temperatura powietrza była równa 0 ο C?

4 Zadanie 9 (5 pkt) Opłata wstępna w taksówce wynosi 6 zł, a cena przejazdu za km wynosi,6 zł a) Oblicz ile kilometrów przejechaliśmy, jeśli zapłaciliśmy 5,0 zł b) Oblicz, czy zł wystarczy na przejechanie 6 km? Zadanie 0 (4 pkt) Wyrażony w tysiącach złotych koszt C() usuwania procent zanieczyszczeń powietrza powstałych podczas pewnego procesu produkcyjnego wyraża się wzorem: 000 C ( ) = 0;99) 0,99 a) Jaki jest koszt usunięcia 50% zanieczyszczeń? b) Jaki procent zanieczyszczeń może być usunięty, jeśli dysponujemy kwotą złotych? Zadanie (8 pkt) Poniższy wykres przedstawia długość kolejki samochodów oczekujących na odprawę celną na jednym z przejść granicznych Sytuacja ta dotyczy pewnego dnia w godzinach popołudniowych Wiedząc, że w ciągu godziny odprawia się 0 samochodów, odpowiedz na następujące pytania: a) co działo się na przejściu granicznym o godzinie 4 00 b) w jakim tempie powiększała się kolejka między godziną 4 00 a 5 00 c) co wydarzyło się o godzinie 5 00 d) ile samochodów dołączyło do kolejki między godziną 6 00 a 8 00 e) pan Nowak dojechał do przejścia granicznego o godzinie 6 40 O której godzinie przekroczył granicę f) co działo się między 8 00 a 0 00 g) co działo się między 0 00 a 00 h) co działo się po godzinie 00? Zadanie (8 pkt) Zbiór wartości funkcji f ( ) = możemy wyznaczyć w następujący sposób + Niech Z oznacza zbiór wartości tej funkcji Wówczas m Z = m, +

5 wtedy = m( + ), czyli m m= 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie A zatem m m= 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie różne od Wyróżnik = ( m) 4 ( m) = m + m przyjmuje wartości dodatnie dla m ( ; ) ( 0; + ) i dla tych m równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania Gdyby dla pewnego m równanie miało rozwiązanie =, to musi być różne od Jeżeli m = 0, to równanie ma postać = 0 i jego rozwiązanie = 0 jest różne od Jeżeli m =, to równanie ma postać + + 6= 0 i jego rozwiązanie = 6 jest różne od A zatem Z = ( ; 0; + ) Analogicznie wyznacz zbiór wartości funkcji g ( ) = Zadanie (8 pkt) W przykładach A, B, C, D funkcje określono różnymi sposobami Określ dziedzinę i zbiór wartości każdej z nich: Zadanie (9 pkt) Mając wykres funkcji f() : Poziom rozszerzony Sporządź wykresy następujących funkcji: a( ) = f ( ), b( ) = f ( ), c( ) = f ( ), d ( ) = f ( ), e ( ) = f ( ), g ( ) = f (), h ( ) = f ( ), i( ) = f ( ), j ( ) = f ( )

6 Zadanie (7 pkt) Sprawdź, czy funkcja g( ) = log jest funkcją parzystą + Zadanie (6 pkt) Korzystając z definicji funkcji rosnącej wykaż, że funkcja f o równaniu f ( ) = + 4 jest rosnąca w przedziale ;+ ) Zadanie 4 ( pkt) Narysuj wykres funkcji o równaniu + f ( ) = ma, Zadanie 5 (5 pkt) Dana jest funkcja o równaniu f ( ) = Oblicz miejsca zerowe funkcji g ( ) = f ( f ( ))

7 SCHEMAT PUNKTOWANIA WŁASNOŚCI FUNKCJI Poziom podstawowy Numer L pkt Stwierdzenie, że przyporządkowanie a) jest funkcją Stwierdzenie, że przyporządkowanie c) jest funkcją Stwierdzenie, że przyporządkowanie d) jest funkcją Określenie funkcji za pomocą grafu Określenie funkcji za pomocą tabeli Określenie funkcji za pomocą opisu słownego Określenie funkcji za pomocą wykresu Wyznaczenie zbioru wartości funkcji { 0, 4,, 4 } Przedstawienie wykresu funkcji za pomocą tabelki, wzoru, grafu i wykresu 4 Wyznaczenie dziedziny i zbioru wartości: : 5;5) { 6} ZWF : y,6 D, Wyznaczenie argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne 5; ;5) { 6} Wyznaczenie argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe 5; 4 0,5 od Odp ) ( ) Podanie przedziałów monotoniczności: dla 5 (, ) dla, ( ) funkcja rosnąca, dla (,5) funkcja malejąca, funkcja stała Wyznaczenie wartości dla podanych argumentów: f ( 0) =, f ( 4) = 4, f (7) nie istnieje Wyznaczenie wartości najmniejszej i największej: wartość największa M = 6 dla = 5, wartość najmniejsza m = dla = Narysowanie wykresu funkcji g() Narysowanie wykresu funkcji h() + 0 Zapisanie warunków: Rozwiązanie układu warunków Podanie dziedziny funkcji D : (-, ) \{ 0,} Sporządzenie wykresu spełniającego wyżej wymienione warunki Za każdy spełniony warunek po pkt 5

8 Numer L pkt Narysowanie wykresu y= Narysowanie wykresu a) Narysowanie wykresu b) Narysowanie wykresu c) Podanie miejsca zerowego dla 5 : = 6 i D Podanie miejsca zerowego dla 5 < 5 : = i D Podanie miejsca zerowego dla < 5 : = 5 i D Podanie miejsc zerowych funkcji: {,6} 0 Określenie dziedziny funkcji R \{ } D= Rozwiązanie równania 4= 0 Odp: = lub = Podanie miejsca zerowego 0 = Analiza Określenie dziedziny funkcji D = ( 0,0) Podanie wzoru y= 0 Wyznaczenie zbioru wartości funkcji: ZWf = ( 0,0) Ułożenie równania a = g( 6) Obliczenie a = 0 Ułożenie równania = b+ 7 Rozwiązanie równania b = 6 Ułożenie równania: y= f () Wyznaczenie rzędnej y = 6 Ułożenie równania y = Wyznaczenie = 4 Podanie, że nie istnieje taka odcięta Zapisanie równania v ( t) = 0 Wyznaczenie t = 8 Sporządzenie wykresu funkcji z uwzględnieniem dziedziny Obliczenie jaki odcinek drogi przeszła po odpoczynku: 6 km Sporządzenie wykresu Za każdy prawidłowo zaznaczony etap po pkt 4 Droga :00 09:00 0:00 0:45 :00 Czas

9 Numer L pkt Narysowanie wykresu funkcji Z () Narysowanie wykresu funkcji Z () Sformułowanie odpowiedzi: do 0 dni opłaca się wynająć żaglówkę Z, powyżej 0 dni żaglówkę Z Podanie wzoru funkcji f ( ) = Określenie dziedziny funkcji: D = N Obliczenie f ( 00) = 5775 Obliczenie f ( ) = 00 Odp: = 5 Sformułowanie odpowiedzi a) Najwyższa temperatura była o godz4 i wynosiła ο C Sformułowanie odpowiedzi b) Najniższa temperatura była o godz 0 0 i wynosiła nieco więcej niż 5 ο C Sformułowanie odpowiedzi c) Temperatura rosła od godz 9 do godz4 i od 0 0 Sformułowanie odpowiedzi d) Temperatura malała od północy do godz 9 i od godz 4 do godz 0 0 Sformułowanie odpowiedzi e) Temperatura była dodatnia od godz do godz 7 Sformułowanie odpowiedzi f ) Temperatura była zerowa o godz i o godz 7 Napisanie wzoru funkcji opisującej zależność y= 6+, 6 Obliczenie ile kilometrów przejechaliśmy = Za ułożenie odpowiedniego równania prowadzącego do otrzymania rozwiązania pkt Obliczenie f ( 6) =, 6 Sformułowanie odpowiedzi: Nie wystarczy 000 0,5 Obliczenie C ( 0,5) = 00, 4 0,99 0,5 000 Ułożenie równania: 0000= 0,99 < 0;99) Rozwiązanie równania = 0, 9 Sformułowanie odpowiedzi 90% O godzinie 4 liczba samochodów nowo przybyłych na przejście graniczne oraz odprawianych była taka sama i wynosiła samochód/ minuty Między godziną 4 a 5 kolejka zwiększyła się o 0 samochodów O godzinie 5 przyjechało 0 samochód Między godziną 6 a 8 liczba samochodów w kolejce nie uległa zamianie Pan Nowak był 40 w kolejce, a skoro 0 samochodów jest odprawianych na godzinę, oznacza to, że granicę przekroczy za godziny, czyli o 8 40 Między 8 a 0 liczba samochodów w kolejce spadła o 0 samochodów (o 0 na godzinę), czyli odprawianych było samochody co 6 minut, a do przejścia dojeżdżał tylko jeden nowy samochód Między 0 a kolejka oczekujących stopniała do 0, czyli w przeciągu tej godziny odprawiono 0 samochodów, a w tym czasie nie dojechał żaden nowy Po godzinie samochody odprawiano na bieżąco lub nie odprawiano w ogóle

10 Numer L pkt Ułożenie równania, kiedy g() ma co najmniej jedno rozwiązanie m+ m= 0 Obliczenie wyróżnika = m 8m Obliczenie miejsc zerowych wyróżnika m = 0, m = 8 Określenie, kiedy wyróżnik przyjmuje wartości dodatnie m m ( ;0) ( 8; + ) Rozwiązanie równania dla m = 0, = 0 Rozwiązanie równania dla m = 8, = 4 Podanie zbioru wartości Z = (-,0> <8, + ) Określenie dziedziny i zbioru wartości a): D = 4,,0,5, ZWf = 0,,,7 { } { } Określenie dziedziny i zbioru wartości b): = { a, b, c, d}, ZWf = {,} D Określenie dziedziny i zbioru wartości c): D = 0,,,,, ZWf = 0,,,, Określenie dziedziny i zbioru wartości d): D =,, ZWf =, Poziom rozszerzony Numer L pkt Za sporządzanie odpowiedniego wykresu funkcji po pkt 9 + Ustalenie warunków: 0 > 0 + Wyznaczenie dziedziny: D g : ( ;) + Zapisanie wyrażenia g( ) = log, gdzie Dg Przekształcenie wyrażenia + + g( ) = log = log = log + Sformułowanie odpowiedzi: jeśli g ( ) = g( ) funkcja ta jest parzysta Podanie założenia: ;+ ) i ;+ ) oraz < to < 0 Obliczenie f ) = 4 i f ) = 4 ( + ( + Wyznaczenie f ( ) f ( ) = + f ( ) f ( ) = = + + = ( )( + + ) Sprowadzenie różnicy do postaci iloczynowej: = ( ) ( ) ( )( ) ( )=

11 Numer 4 5 L pkt Wykorzystanie założenia do określenia znaku różnicy f ( ) f ( ) > 0 Uzasadnienie, że jest to funkcja rosnąca Zapisanie wzoru funkcji f wykorzystując określenie warunków: + dla () f ( ) = + dla () Rozwiązanie warunku ) ( ; ) ( ; + ) Rozwiązanie warunku ) ;),,) Zapisanie wzoru funkcji f ( ) = +, (, ) (, ) Narysowanie wykresu dla ;) Narysowanie wykresu dla ( ; ) ( ; + ) 4 Wyznaczenie funkcji g ( ) = Podstawienie = t, gdzie t 0 i sprowadzenie równania do postaci t 6t+ 5= 0 Obliczenie miejsc zerowych równania kwadratowego: t =, t = 5 Podanie miejsc zerowych funkcji f () : - 5, -,, 5