Krzysztof Borowski Katedra Bankowości. Zastosowanie fraktalnej, adaptacyjnej średniej ruchomej w analizie technicznej (FRAMA 1 )

Transkrypt

1 Krzysztof Borowski Katedra Bankowości Zastosowanie fraktalnej, adaptacyjnej średniej ruchomej w analizie technicznej (FRAMA 1 ) Wprowadzenie Podstawowym zadaniem, jakie stawiają analitycy róŝnego rodzaju filtrom jest eliminacja poŝądanych sygnałów (kupna lub sprzedaŝy) od niepoŝądanych. Zastosowanie średnich ruchomych w analizie technicznej (A) wiąŝe się z przyjęciem kompromisu pomiędzy wielkością uśrednienia (czy teŝ inaczej wygładzenia wykresu długość średniej), a liczbą fałszywych sygnałów, która moŝe być jeszcze tolerowana. W ciągu ostatnich kilku lat obserwuje się dwa odrębne nurty analizy technicznej: pierwszy - powrót metod wykorzystujących teorię chaosu i fraktali, i drugi - bazujący na średnich ruchomych. Połączenie obu niezaleŝnych trendów doprowadziło do wykształcenia nowego narzędzi analizy technicznej tj. średniej ruchomej, do tworzenia której zastosowanie znajdą zdobycze teorii fraktali. 1. Wymiar fraktalny Jedną z alternatywnych hipotez, rozwijających się bardzo dynamicznie w ostatnim czasie jest hipoteza rynku fraktalnego 3 (Fractal Market Hypothesis FMH). Pierwszy raz została ona zaprezentowana przez Petersa 4 w 1994 r., a oparta jest na teorii chaosu 5. Kształty fraktalne mogą powstawać na wiele sposobów. ajprostszym jest wielokrotna iteracja reguły generującej (np. trójkąt Sierpińskiego, zbiór Cantora czy teŝ krzywa Kocha 6 ). Wszystkie te figury generowane są w sposób deterministyczny i wszystkie mają wymiar fraktalny, czyli ułamkowy. Istnieją takŝe fraktale losowe tj. ceny akcji, które generowane są za pomocą reguł probabilistycznych. Aby określić wymiar fraktalny obserwowanego wykresu, naleŝy pokryć wykres małymi obiektami, z których kaŝdy ma rozmiar S. Związek pomiędzy liczbą obiektów 1 i, jakie słuŝą do pokrycia pierwszego i drugiego wykresu obiektami odpowiednio o wielkości S 1 i S, opisuje zaleŝność 7 : D S 1 S 1 gdzie D jest wymiarem fraktalnym. 1 Skrót FRAMA pochodzi od pierwszych liter angielskiej nazwy tej średniej: Fractal adaptive moving average. Szersze mówienie zastosowania średnich ruchomych w analizie technicznej moŝna znaleźć m.in. w: owakowski J., Borowski K. Zastosowanie teorii Carolana i Fischera na rynku kapitałowym, Difin, Warszawa 005 oraz Borowski K. owe metody obliczania średnich ruchomych i ich zastosowanie w analizie technicznej, Prace aukowe Akademii Ekonomicznej im. O. Lanego we Wrocławiu, nr 1088, tom 1: Inwestycje finansowe i ubezpieczenia tendencje światowe a polski rynek, Wrocław 005, tom 1, str Fraktal (łac. Fractus złamany składający się z kawałków) obiekt, którego części w pewien sposób związane są z całością, tak, Ŝe poszczególne elementy są samopodobne. 4 Peters E. Fractal Market Analysis: Applying Chaos heory to Investment and Economics, John Wiley & Sons, ew York Polskie wydanie: Peters E. eoria chaosu a rynki finansowe. owe spojrzenie na cykle, ceny i ryzyko, WIG-Press, Warszawa Chaos to nieliniowy system dynamiczny, który wykazuje duŝą wraŝliwość na zmianę warunków początkowych: Drabik E. Zastosowania teorii gier do inwestowania w papiery wartościowe, Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok Peitgen H., Jurgens H., Saupe D. Granice chaosu fraktale, Wydawnictwo aukowe PW, Warszawa Schuster H. Chaos deterministyczny, Wydawnictwo aukowe PW, Warszawa 1995,

2 Proste przekształcenia matematyczne powyŝszego równania z wykorzystaniem funkcji logarytmu prowadzą do zaleŝności: 1 log D S 1 log S Przykładowo obliczmy wymiar fraktalny 10 metrowej linii. Wybierzmy dwa rodzaje małych obiektów słuŝących do jej pokrycia o bokach: S 1 1 metr i S 0,1 metra. W przypadku pierwszego obiektu potrzebnych nam ich będzie 10 dla przykrycia całej 10 metrowej linii. W przypadku drugiego obiektu 100. Stąd teŝ 1 10, a 100. Wymiar fraktalny linii wynosi więc: 100 log 10 D 1 1 log 0,1 Przejdźmy teraz do przestrzeni dwuwymiarowej rozwaŝmy np. akcjogram w kształcie kwadratu o bokach 10 na 10 metrów. Stosując małe kwadraty o bokach 1 metr i 0,1 metra, potrzebujemy odpowiednio 1 100, a obiektów dla pokrycia w całości naszego akcjogramu. Stad wymiar fraktalny akcjogramu: log 100 D 1 log 0,1 aturalne fraktale tj. linia brzegowa charakteryzują się brakiem prawdziwej regularności w algorytmicznej strukturze, ale za to są samopowtarzalne 8 w sensie statystycznym. W celu określenia wymiaru fraktalnego struktur naturalnych oblicza się najpierw wymiary fraktalne przy zastosowaniu róŝnych skal, a następnie z otrzymanych wyników wyciąga się średnią. a rynku kapitałowym istnieje moŝliwość zmierzenia wymiaru fraktalnego pokrywając krzywą ceny (lub indeksu) przy pomocy małych kwadracików. Dzieląc róŝnicę najwyŝszej H i najniŝszej ceny L wykresu przez długość zastosowanej ramy czasowej K otrzymujemy wymaganą do tego celu liczbę prostokątów 9 : H L 1 K Rozpatrzmy ramę czasową od dzisiaj do sesji wcześniej (Box1), oraz ramę czasową od do sesji wcześniej (Box). Stąd w przypadku Box1 liczba potrzebnych prostokątów o szerokości jednej sesji wyniesie 1 : 8 empczyk M. eoria chaosu dla odwaŝnych, Wydawnictwo aukowe PW, Warszawa a podstawie; 1. Ehlers J. Fractal Adaptive Moving Average, echnical Analysis of Stock & Commodities October 005,. Ehlers J. Rocket Science For raders, John Wiley & Sons, ew York 001, 3. Ehlers J. Cybernetics Analysis For Stocks And Futures, John Wiley & Sons, ew York 004, 4. Kaufman P. ew rading Systems And Methods, John Wiley & Sons, ew York 005, 5. ushar C., Kroll S. he ew echnical rader, John Wiley & Sons, ew York 1994,

3 H L 1 gdzie: H najwyŝsza cena w okresie od sesji dzisiejszej do sesji wcześniej L najniŝsza cena w okresie od sesji dzisiejszej do sesji wcześniej W przypadku Box liczba potrzebnych prostokątów to: H L gdzie: H najwyŝsza cena w okresie od sesji sesji do sesji wcześniej L najniŝsza cena w okresie od sesji sesji do sesji wcześniej Zdefiniujmy takŝe 0-3 jako liczbę prostokątów potrzebnych do pokrycia obszaru od sesji dzisiejszej do sesji wcześniej: 0 3 H 0 L 0 Z uwagi na fakt, Ŝe przesuwamy się wzdłuŝ osi czasu do tyłu wymiar fraktalny wyniesie: 1+ Log 0 3 Log ( 1+ ) Log ( 0 3) D Log () Log i będzie dla róŝnych akcjogramów oscylował w przedziale od 1 do.. Zastosowanie wymiaru fraktalnego w konstrukcji średniej ruchomej Wymiar fraktalny moŝe zostać wykorzystany do konstrukcji parametru α w wykładniczej średniej ruchomej (EMA - Exponential Moving Average)). Przypomnijmy, Ŝe średnia ruchoma wykładnicza, będąca modyfikacją liniowo waŝonej średniej, nadaje większą wagę bardziej aktualnym cenom 10 : 1 C0 + a C 1 + a C a C + 1 EMA, C 1 1+ a + a a gdzie: parametr a < 1, C 0 cena zamknięcia na sesji ostatniej, C -1 cena zamknięcia na sesji poprzedniej C - cena zamknięcia dwie sesje wcześniej itd., Innym sposobem obliczenia tej średniej moŝe być wzór rekurencyjny: EMA α C0 + ( 1 α) EMA 1 gdzie: EMA -1 wartość średniej w poprzednim okresie, 10 Hutson J. Filter Price Data: Moving Averages Versus Exponential Moving Averages, echnical Analysis of Stock & Commodities, May / June 1984, Volume, umber 5/6. oraz Lambert D. Exponentially Smoothed Moving Averages, echnical Analysis of Stock & Commodities, September / October 1984, Volume, umber 9/10.

4 a parametr α < 1 Przyjmując obecnie, Ŝe parametr α jest funkcją wymiaru fraktalnego: α exp( 4,6 ( D 1)) zauwaŝamy Ŝe: Dla D1 wartość parametru α 1. W tym przypadku wartość EMA zmienia się najszybciej jak to tylko moŝliwe. W tym przypadku takŝe EMA C0. Dla D wartość parametru α 0, 01, co oznacza, Ŝe wartość EMA zmienia się najwolniej jak to tylko moŝliwe. Szybkość zmiany tej średniej ruchomej moŝna porównać do tempa zmiany 00 sesyjnej zwykłej średniej ruchomej. Zachowanie się fraktalnej średniej ruchomej zmienia się od szybkiej średniej ruchomej (przypadek gdy D1) do wolnej średniej ruchomej (przypadek gdy D). Własność ta ma szczególne znaczenie przy zastosowaniu fraktalnej średniej ruchomej na rynku kapitałowym: w trendzie horyzontalnym FRAMA zmienia się bardzo wolno potwierdzając tym samym tworzenie się formacji bazy, w trendzie spadkowym lub wzrostowym zmiana FRAMA jest duŝa i odpowiada szybkości zmiany ceny w trendzie. 3. Przykłady zastosowania FRAMA na rynku kapitałowym a rys. 1 przedstawiony został przykład zastosowania FRAMA 11 na wykresie ceny akcji 7Bulls: 1. W okresie kwiecień lipiec 005 r. cena znajdowała się w lekkim kanale wzrostowym. FRAMA sygnalizuje swoim nachylenie powolną aprecajacę ceny, balansując na przemian nad i pod ceną zamknięcia.. a przełomie lipca i sierpnia 005 r. dochodzi do wybicia się ceny akcji w dół poprzez dolne ograniczenia kanału wzrostowego. endencja spadkowa trwa do połowy września 005 r. W tym samym okresie FRAMA silnie zniŝkuje potwierdzając tym samym trend spadkowy i działając na cenę jako ruchomy opór. 3. W okresie od połowy września do połowy listopada 005 r. tworzy się platforma do zmiany trendu ze spadkowego na wzrostowy. W tym samym okresie FRAMA porusza się głównie w trendzie bocznym. 4. Pod koniec listopada cena przechodzi w silny trend wzrostowy trwający do połowy stycznia 006 r. Aprecjacji ceny towarzyszy zmiana kierunku FRAMA na wzrostowy. W trakcie kilku sesji zwyŝkująca FRAMA staje się wsparciem dla ceny minimalnej na danej sesji. 11 W Programie Metastock Professional v. 8.0 fraktalną średnią ruchomą moŝna zapisać przy wykorzystaniu języka tego programu w następujący sposób: y:input("okres czasu",1,0,8); y:*y; n1:(hhv(h,y)-llv(l,y))/y; n:ref((hhv(h,y)-llv(l,y))/y,-y); n3:(hhv(h,y)-llv(l,y))/y; x:(log(n1+n)-log(n3))/log(); xt:exp(-4.6*(x-1)); x1:if(xt<0.1,0.1,if(xt>1,1,xt)); x:1-x1; If(Cum(1)y, (MP()*x1)+(Ref(MP(),-1)*x), (MP()*x1)+(PREV*x))

5 Istnieje moŝliwość zastosowania róŝnego rodzaju wskaźników i oscylatorów analizy technicznej do analizy tempa zmiany FRAMA. a rys. 1 przedstawiony został 30 sesyjny wskaźnik RSI obliczany na bazie 15 sesyjnej FRAMA. W analizowanym na rys. 1 przykładzie wzrost wskaźnika RSI stanowi potwierdzenie tendencji wzrostowej FRAMA w okresie kwiecień lipiec 005 r. i w okresie koniec listopada 005 r. połowa stycznia 006 r. Rysunek 1. Przykład zastosowania 15 okresowej średniej FRAMA na wykresie ceny akcji spółki 7Bulls Relative Strength Index (79.477)(FRAMA) 30 sesyjny RSI z 15 sesyjnego FRAMA 30 0 Wzrost RSI 10 Wzrost RSI BULLS (3.0000, ,.900, , ), FRAMA (3.05) Powolny kanał wzrostowy - mała zmiana FRAMA Dynamiczne wybicie w dół - szybkie tempo zmiany FRAMA rend boczny - mała zmiana wartości FRAMA Dynamiczne wybicie w górę - szybkie tempo zmiany FRAMA x10 x ry March April May June July August September October ovember December 006 February Źródło: Opracowanie własne. a rys. i rys. 3 zaprezentowana została 15 sesyjna FRAMA i 15 sesyjna średnia ruchoma zwykła (SMA). Pierwsza z tych dwu średnich, jako rodzaj adaptacyjnej średniej ruchomej jest połoŝona bliŝej ceny niŝ druga średnia. FRAMA znacznie szybciej sygnalizuje zmianę trendu z horyzontalnego na wzrostowy lub spadkowy. W okresie silnej fali zwyŝkowej maj czerwiec 005 r. i silnej deprecjacji ceny akcji Jutrzenki z okresu grudzień 005 luty 006 r. - rys. 3, sygnały kupna i sprzedaŝy na FRAMA wyprzedzają analogiczne wskazania na SMA. Warto zauwaŝyć, Ŝe w trendzie horyzontalnym FRAMA i SMA połoŝone są blisko siebie, a w lekkim trendzie wzrostowym czasami zdarza się, Ŝe SMA jest połoŝona bliŝej ceny niŝ FRAMA (np. lipiec październik 005 r. na rys. 3).

6 Rysunek. 15 sesyjna FRAMA i 15 sesyjna średnia ruchoma zwykła na wykresie ceny akcji KGHM KGHM Polska Miedz (.00, 7.000,.00, 7.000, ), FRAMA ( ) FRAMA leŝy bliŝej ceny niŝ SMA ry March April May June July August September October ovember December 006 February Źródło: Opracowanie własne. Rysunek sesyjna FRAMA i 15 sesyjna średnia ruchoma zwykła na wykresie ceny akcji Jutrzenki JURZEKA Przedsiebiorstwo Cukiernicze ( , 65.00, , 63.00, ), FRAMA (66.514) FRAMA leŝy bliŝej ceny niŝ SMA FRAMA leŝy bliŝej ceny niŝ SMA February March April May June July August September October ovember December 006 February Źródło: Opracowanie własne. Podsumowanie FRAMA jest kolejną metodą zastosowania średnich ruchomych na rynkach kapitałowych, tym razem bazującą na zastosowaniu teorii fratkali. aleŝy zauwaŝyć, Ŝe w ciągu ostatnich kilku lat obserwujemy renesans metod opartych na zastosowaniu średnich ruchomych w

7 analizie technicznej połączony z wypracowaniem nowych metod inwestowania w oparciu o średnie ruchome. aleŝy oczekiwać powstania kolejnego zastosowania średnich ruchomych tym razem w oparciu o wykorzystanie teorii atraktora. Bibliografia 1. Achelis S. Analiza techniczna od A do Z, Oficyna Wydawnicza L&P, Warszawa Borowski K. owe metody obliczania średnich ruchomych i ich zastosowanie w analizie technicznej, Prace aukowe Akademii Ekonomicznej im. O. Lanego we Wrocławiu, nr 1088, tom 1: Inwestycje finansowe i ubezpieczenia tendencje światowe a polski rynek, Wrocław 005, tom 1, str Drabik E. Zastosowania teorii gier do inwestowania w papiery wartościowe, Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok Ehlers J. Fractal Adaptive Moving Average, echnical Analysis of Stock & Commodities October Ehlers J. Rocket Science For raders, John Wiley & Sons, ew York Ehlers J. Cybernetics Analysis For Stocks And Futures, John Wiley & Sons, ew York Hutson J. Filter Price Data: Moving Averages Versus Exponential Moving Averages, echnical Analysis of Stock & Commodities, May / June 1984, Volume, umber 5/6. 8. Kaufman P. ew rading Systems And Methods, John Wiley & Sons, ew York Lambert D. Exponentially Smoothed Moving Averages, echnical Analysis of Stock & Commodities, September / October 1984, Volume, umber 9/ owakowski J., Borowski K. Zastosowanie teorii Carolana i Fischera na rynku kapitałowym, Difin, Warszawa Peitgen H., Jurgens H., Saupe D. Granice chaosu fraktale, Wydawnictwo aukowe PW, Warszawa Peters E. Fractal Market Analysis: Applying Chaos heory to Investment and Economics, John Wiley & Sons, ew York Polskie wydanie: Peters E. eoria chaosu a rynki finansowe. owe spojrzenie na cykle, ceny i ryzyko, WIG-Press, Warszawa Schuster H. Chaos deterministyczny, Wydawnictwo aukowe PW, Warszawa empczyk M. eoria chaosu dla odwaŝnych, Wydawnictwo aukowe PW, Warszawa ushar C., Kroll S. he ew echnical rader, John Wiley & Sons, ew York 1994.

8 Streszczenie artykułu: W artykule przedstawiona została konstrukcja i zastosowanie na rynku kapitałowym średniej ruchomej opartej na wymiarze fraktalnym akcjogramu. Rozwój technik obliczeniowych i renesans średnich ruchomych we współczesnej analizie technicznej owocuje powstawaniem średnich ruchowych wykorzystujących nowe pomysły i koncepcje obliczeniowe.